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Data 7 ottobre 2019

TRIGONOMETRIA – 4

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Quanto vale il coseno di 30 gradi?

 

COSENO DI 30 GRADI, DIMOSTRAZIONE

Per ricavare il valore di cos30° in maniera semplice, ti consigliamo di disegnare la circonferenza goniometrica e di staccare un angolo di trenta gradi in senso antiorario dall’asse delle ascisse.

43-INIZIO TRIGO. 4

A questo punto, partendo dal raggio disegnato in figura con il colore rosso, disegna la retta verticale e quella orizzontale, che corrispondono rispettivamente al seno e al coseno di 30°.

44-

Abbiamo così ottenuto un triangolo rettangolo, dove il coseno di 30 e il seno di 30 sono i cateti maggiore e minore. Il raggio, che nella circonferenza goniometrica vale 1, è invece il segmento disegnato in rosso.

Che tipo di triangolo è? Sicuramente è un triangolo rettangolo particolare perché ha gli angoli di 30°, 90° e 60°.

 

In questo tipo di triangoli vale che il cateto minore è la metà dell’ipotenusa. Quindi se

Ipotenusa=r=1 → Cateto Minore= sen30°=1/2

Per calcolare il coseno di 30, applichiamo la formula inversa del teorema di Pitagora. Quindi possiamo scrivere che vale:

 

Ipotenusa²=Cateto²+cateto² → r²=sen30²+cos30²=1

(cos30°)²=1-(sen30°)²

cos30°=√[1-(1/2)²]

cos30°=√(1-3/4)

cos30°=√3/2

 

Abbiamo quindi dimostrato quanto vale il coseno di 30, semplicemente utilizzando il teorema di Pitagora e pochi semplici passaggi algebrici.

 

CONSIGLI PER GLI STUDENTI

E’ vero che all’inizio non è facile imparare a memoria i valori delle funzioni goniometriche. Come si fa a ricordare il coseno di 30°, il seno di 45° e tutti gli altri angoli? Con un po’ di pratica e facendo tanti esercizi.

Il nostro consiglio è di impararli a memoria, perché in questo modo diventerà molto più semplice trovare i valori per angoli più complessi utilizzando poi le regole degli archi associati.

Inoltre anche la calcolatrice scientifica da questo punto di vista non è tanto utile, perché se proviamo a calcolare il coseno di 30 il risultato è 0,866… A noi serve il risultato con il radicale e non quello con la virgola.

L’aspetto positivo però è che i valori da ricordare sono sostanzialmente 2: √3/2 (per il coseno di 30°) e 1/2 (per il seno di 30°). Per l’angolo di 60°, ad esempio, i valori sono semplicemente invertiti, cioè cos60°=1/2 e sen60°=√3/2. Quindi alla fine dei conti dovrai ricordare solo questi due numeri!

 

Quanto vale il seno di 45°

eccone la dimostrazione completa

 

il seno di 45 gradi vale √2/2, cioè radical due mezzi (che vale circa 0,707). Possiamo quindi scrivere che:

sen45°=√2/2

A volte troverai il valore dell’angolo in radianti, per cui è possibile anche calcolare il seno di 45 esprimendolo nel seguente modo:

senπ/4=√2/2

Se non ricordi come trasformare un angolo espresso in gradi sessagesimali in radianti, dai un’occhiata alla lezione sulla conversione gradi radianti.

 

SENO DI 45, DIMOSTRAZIONE

Iniziamo disegnando la circonferenza goniometrica e staccando su di essa un angolo di 45 gradi.

45-

Sulla circonferenza goniometrica andiamo ora a disegnare il segmento orizzontale e verticale partendo proprio dal raggio e che corrispondono (guarda la definizione di seno e coseno) proprio al coseno e al seno di 45 gradi.

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Si nota che il triangolo colorato che abbiamo disegnato è in realtà un triangolo rettangolo isolscele. Questo perché c’è di sicuro un angolo di 90° che si forma tra la linea blu e quella verde. Essendo poi l’angolo che abbiamo disegnato di 45°, l’altro dovrà necessariamente essere pari a 45°.

Questo implica che la linea verde e quella blu, cioè il coseno e il seno di 45°, sono uguali tra loro. Possiamo così applicare il teorema di Pitagora.

 

sen²α+cos²α=1

 

(equazione fondamentale della trigonometria)

 

Perché 1? Perché la circonferenza goniometria è una circonferenza con centro nell’origine e raggio 1. Vuol dire che il segmento rosso disegnato vale proprio 1. Poiché coseno e seno di 45° sono uguali, possiamo anche scrivere:

 

sen²α+sen²α=1

2sen²α=1

sen²α=1/2

 

Facciamo a questo punto la radice quadrata a primo e secondo membro…

 

√(sen²α)=√(1/2)

senα=1/√2

 

Per rendere il risultato esteticamente più gradevole si esegue una razionalizzazione dei radicali. Quindi moltiplico e divido per radical 2.

 

senα=√2/2

 

Abbiamo quindi dimostrato quanto vale il seno di 45. Poiché il coseno è uguale al seno, allora resta univocamente determinato anche il valore di cos45°.

 

UN PICCOLO CONSIGLIO PER LO STUDENTE

Il seno di 45 gradi è uno di quei valori di seno e coseno di angoli noti che sarebbe preferibile imparare a memoria. E’ sconsigliabile l’uso della calcolatrice perché nella maggior parte dei casi darà come risultato non radical due mezzi (che è la forma che ci interessa di più), ma 0,717.

Inoltre imparando a memoria questo valore ottenuto, sarà molto più facile andare a lavorare con la determinazione delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) di angoli più complessi utilizzando gli archi associati.

 

Lunghezza di un arco di circonferenza

la formula per calcolarla

Come si può calcolare l’arco di una circonferenza? Esiste una formula che consente di misurarne la lunghezza conoscendo l’angolo al centro. Prima di arrivare alla formula vediamo che cos’è per definizione l’arco di circonferenza.

 

CHE COS’È L’ARCO DI UNA CIRCONFERENZA?

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CALCOLARE LA LUNGHEZZA DELL’ARCO DI CIRCONFERENZA

Consideriamo sempre la figura sulla destra. Se la misura dell’angolo in gradi al centro è α, allora la lunghezza dell’arco è:

 

L=π·r·α/180°

 

mentre se abbiamo la misura dell’angolo in radianti possiamo utilizzare la formula di calcolo:

 

L=ρ·r

 

dove ρ è appunto la misura dell’angolo al centro espressa però in radianti. La lunghezza dell’arco di circonferenza viene detta anche misura lineare.

 

OSSERVAZIONI

Ora osserviamo che:

 

– noto il raggio della circonferenza, data l’ampiezza (in grado o in radianti) dell’angolo al centro, risulta univocamente determinata la lunghezza dell’arco di circonferenza;

– viceversa, data la misura dell’arco di circonferenza, è possibile determinare in maniera univoca l’ampiezza dell’angolo al centro.

 

Pertanto come misura dell’arco si può considerare anche la misura (in gradi o radianti) dell’ampiezza del suo angolo al centro corrispondente. Tale misura è detta misura angolare dell’arco di circonferenza.

Quindi in seguito quando si parlerà di ampiezza potremo intendere indifferentemente l’ampiezza dell’angolo al centro oppure la lunghezza dell’arco della circonferenza.

Nella misura di un arco, sia lineare che angolare, come per gli angoli, si ha:

 

– una misura assoluta se non si considera il verso di percorrenza dell’arco;

– una misura relativa se si considera il verso di percorrenza e precisamente positiva se il verso è antiorario, negativa se il verso è orario.

 

Conversione gradi radianti

come si passa da gradi a radianti?

 

ρ=α°·π / 180°

Per passare da gradi a radianti ti basta aggiungere il pi-greco davanti l’angolo e dividere tutto per 180°. Generalmente si ottiene una frazione per cui è necessario semplificare numeratore e denominatore.

 

IL METODO FACILITATO CON LA CALCOLATRICE

Generalmente gli studenti delle scuole superiori hanno la possibilità di utilizzare la calcolatrice scientifica (anche se non sempre al primo anno). Avendo la possibilità di utilizzarla, si possono risparmiare i calcoli da fare a mano. Come? Ecco come passare da gradi a radianti con la calcolatrice scientifica.

– digita il valore dell’angolo espresso in gradi;

– premi il pulsante della frazione (generalmente indicato con ab/c (vedi l’immagine)

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– si può scrivere ora al denominatore 180 e premere il pulsante invia per eseguire il calcolo.

– se il valore dell’angolo ti sembra strano premi di nuovo il pulsante ab/c per avere la misura dell’angolo sotto forma di frazione.

 

ESEMPIO 1

Dato l’angolo di 30° sessagesimali, effettuare la trasformazione da gradi a radianti.

Utilizziamo la formula vista cioè ρ=α°·π / 180°, andando a sostituire 30° al posto di alfa.

ρ=α°·π / 180°

ρ=30°·π / 180°=(30/180)π

Semplifichiamo 30 con 180, per ottenere 1/6. Per cui il risultato finale è (1/6)π che possiamo scrivere anche come π/6.

 

ESEMPIO 2

Effettuare la conversione gradi radianti di un angolo la cui misura in gradi sessagesimali è 10°15’30”

In questo esercizio la situazione è leggermente più complessa visto che non ci sono solo i gradi, ma anche i primi e i secondi. Per cui per passare da gradi a radianti è necessario prestare un po’ più di attenzione nei calcoli. Il primo passo è quindi quello di portare tutto il valore dell’angolo in gradi esprimendolo sotto forma di frazione.

15°15’30” = (10+15/60+30/3600)°

Eseguiamo le semplificazioni così da rendere i calcoli più semplici.

(10+1/4+1/120)°= (1231/120)°

 

A questo punto possiamo utilizzare la formula per la conversione gradi radianti. Sostituiamo la frazione appena trovata al posto di alfa come fatto nell’esercizio precedente.

ρ=α°·π / 180°

ρ=(1231/120)°·π / 180°

ρ=(1231/21600)π

 

Formule parametriche nei problemi di trigonometria

 

Le formule parametriche del seno e del coseno vengono utilizzate in trigonometria per esprimere le principali funzioni goniometriche (seno e coseno) in funzione di un parametro t. Diventeranno importanti soprattutto con l’uso degli integrali, per cui è opportuno approfondire l’argomento.

In questa lezione vedremo quali sono le formule parametriche, come si dimostrano e in quali tipi di esercizi di trigonometria vanno utilizzate. Per la dimostrazione è importante ricordare le formule di duplicazione del seno e del coseno, perché si parte proprio da queste ultime.

 

FORMULE PARAMETRICHE SENO

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Per entrambe vale che tg(α/2)=t

Le formule che hai appena visto vengono chiamate parametriche perché prevedono al loro interno l’uso di un parametro t. Queste ci permettono di esprimere il seno e il coseno di un arco in funzione razionale della tangente dell’arco metà. Esse sono valide solo per:

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DIMOSTRAZIONE FORMULE PARAMETRICHE SENO

Non è importa che il tuo professore a scuola le abbia studiate o meno. E’ il caso almeno di leggere la dimostrazione delle formule parametriche perché potrebbero servirti in futuro. Iniziamo subito con il seno partendo dalle formule di duplicazione.

 

sen2α=2senαcosα

Andiamo a sostituire α/2 al posto di α per ottenere quindi:

sen2α=2sen(α/2)cos(α/2)

e poiché vale sen²α+cos²α=1 → sen²(α/2)+cos²(α/2)=1

possiamo sostituire ancora:

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Abbiamo così dimostrato le formule parametriche per il seno.

 

DIMOSTRAZIONE FORMULE PARAMETRICHE COSENO

La dimostrazione è del tutto analoga a quella utilizzata per il seno. Quindi si parte da quelle di duplicazione:

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ESEMPIO 1

Sapendo che tgα=1/3, determiniamo nel modo più semplice sen2α e cos2α.

Per le formule parametriche si ha:

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Commento: l’esercizio è piuttosto semplice. Il metodo utilizzato per risolverlo è stato quello di moltiplicare gli angoli per due. Quindi invece di considerare t come la tangente di α/2, abbiamo lasciato l’angolo come α.

 

ESEMPIO 3

Esprimiamo la seguente espressione come funzione razionale di un’unica variabile.

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CONCLUSIONI

Come hai potuto notare, si tratta di una semplice formula che purtroppo va imparata a memoria ma, fidati, ti servirà soprattutto quando ti ritroverai a risolvere gli integrali. Inoltre non è particolarmente difficile da memorizzare.

 

Formule di prostaferesi

tabella, esempi ed applicazioni

 

Le formule di prostaferesi vengono studiate generalmente poco dopo le formule di addizione e sottrazione nel programma di trigonometria. Vengono infatti utilizzate per riscrivere in maniera diversa e più semplice le addizioni e le sottrazioni tra le seno e coseno. Permettono la risoluzione di esercizi in cui ci sono funzioni goniometriche strane come cos5x, sen3x, ecc… Vediamo subito quali sono le formule di prostaferesi con una tabella completa.

 

TABELLA FORMULA DI PROSTAFERESI

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E’ possibile utilizzare le formule di prostaferesi anche per trasformare la somma e la differenza della tangente o della cotangente di due angoli. Infatti possiamo scrivere che:

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Per ottenere la formula di prostaferesi per la cotangente, basta invertire numeratore e denominatore dell’ultima formula.

 

DIMOSTRAZIONE DELLE FORMULE DI PROSTAFERESI

Consideriamo le formule di addizione del seno:

 

– sen(α+β)=senαcosβ+cosαcosβ

– sen(α-β)=senαcosβ-cosαcosβ

 

Proviamo a sommare membro a membro le due formule. Si ottiene così:

sen(α+β)+sen(α-β)=senαcosβ+cosαcosβ + senαcosβ-cosαcosβ

Si eliminano i termini opposti ottenendo:

sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ

Poniamo:

 

α+β=p

α-β=q

 

Sommando e sottraendo questi due valori possiamo ottenere:

 

– sommando: α+β+α-β=p+q → 2α=p+q→α=(p+q)/2

– sottraendo:α+β-α+β=p-q→2β=p-q→β=(p-q)/2

 

Sostituendo i dati appena ottenuti nell’equazione segnata in arancione, abbiamo:

 

sen(p)+sen(q)=2sen[(p+q)/2]cos[(p-q)/2]

 

Abbiamo così dimostrato la formula di prostaferesi per la somma del seno. Per dimostrare la sottrazione del seno, semplicemente si sottraggono membro a membro i termini precedentemente addizionati. In maniera del tutto analoga, te lo lasciamo come esercizio per casa, si possono ottenere le formule di prostaferesi per il coseno andando ad agire sulle formule di addizione e sottrazione del coseno.

Per trasformare anche la somma e la differenza della tangente o della cotangente di due angoli, si dimostra invece che:

 

tgα±tgβ=senα/cosα±senβ/cosβ

tgα±tgβ=(senαcosβ±cosαsenβ)/cosαcosβ

tgα±tgβ=sen(α+β)/cosαcosβ

 

CONSIGLI ED APPLICAZIONI

CURIOSITA’: sai che significa la parola prostaferesi? Deriva dall’unione di prosthesis e aphairesis due termini di origine greca che significano rispettivamente somma e differenza.

Le formule di prostaferesi servono a trasformare in un prodotto la somma o la differenza di funzioni goniometriche. Vediamo più nel dettaglio come si utilizzano queste formule con alcuni esercizi svolti con difficoltà crescente.

 

ESEMPIO 1

Trasformiamo in prodotto la somma: √3/2+senα

Dobbiamo quindi utilizzare la formula di prostaferesi della somma del seno:

√3/2+senα=sen60°+senα=2sen[(60+α)/2]/2⋅cos[(60-α)/2]/2

 

ESEMPIO 2

Trasformiamo in prodotto la somma: sen7x-sen3x

In questo caso utilizziamo la formula di prostaferesi della differenza del seno:

sen7x-sen3x=

=2cos[(7x+3x)/2]/2⋅sen[(7x-3x)/2]/2=

=2cos5x⋅sen2x.

 

ESEMPIO 3

Trasformiamo in prodotto la somma: cos20°+cos50°+2cos35°

Attenzione: piuttosto che usare le formule di prostaferesi con 3 addendi, risolviamo due somme alla volta.

cos20°+cos50°+2cos35°=

=2cos[(20°+50°)/2]cos[(20°-50°)/2]+2cos35°=

=2cos35°cos15°+2cos35°

A questo punto piuttosto che provare calcoli e passaggi complessi con le formule di prostaferesi, eseguiamo un raccoglimento a fattor comune totale (o messa in evidenza) di 2cos35°

=2cos35°(cos15°+1)

A questo punto, poiché il 1 possiamo scriverlo anche come cos0°, allora abbiamo:

 

=2cos35°(cos15°+cos0°)=

=2cos35°⋅2cos15°/2⋅cos15°/2=

=4cos35°cos²15°/2.

 

ESEMPIO 4

Trasformiamo in prodotto la somma: senx+cosy

Non possiamo utilizzare direttamente le formule di prostaferesi dato che non c’è una somma o differenza di seni o di coseni, ma il problema è misto. Trasformiamo quindi il coseno in seno usando gli archi associati. Per cui abbiamo:

senx+cosy=

=sex+sen(90°-x)=

=2sen[(x+90-y)/2]cos[(x-90+y)/2]=

=2sen[(x-y)/2+45°]cos[(x-y)/2-45°]

Da questo ultimo esercizio, come hai potuto notare, è possibile trasformare in un prodotto anche la somma o la differenza di un seno e di un coseno. Per usare infatti le formule viste in tabella ad inizio capitolo, è sufficiente trasformare il coseno nel seno dell’angolo complementare e successivamente applicare le formule di prostaferesi.

 

Tabella seno coseno con tutti gli angoli

 

Quando si studia trigonometria, almeno all’inizio, è importante avere una tabella con seno e coseno di tutti gli angoli così da poterla consultare rapidamente e risolvere equazioni e disequazioni goniometriche.

Il nostro consiglio è di imparare gli angoli principali, cioè 0°, 30°, 45°, 60°, 90° con i rispettivi archi associati. Per tutti gli altri, più difficili da ricordare, consigliamo di utilizzare questa tabella seno coseno completa. Puoi portarla sempre con te: salva questa pagina ai preferiti e consultala ogni volta che ne hai bisogno.

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CONSIDERAZIONI FINALI

Non spaventarti! I valori della tabella seno e coseno non vanno imparati a memoria. Sarebbe impossibile oltre che inutile. Generalmente i docenti si limitano a chiedere gli angoli principali, come già detto all’inizio di questa lezione. Tutti gli altri valori di seno e coseno possono essere ricavati anche attraverso l’uso della calcolatrice.

 

 Come calcolare un angolo dal seno o dal coseno

 

IL METODO GRAFICO

Cominciamo col ricordarci che cos’è la circonferenza goniometrica e per questa prima volta disegnamola. In seguito possiamo saltare questo passaggio e semplicemente immaginarla mentalmente.

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A questo punto ti chiediamo di fare un unico sforzo di memoria e ricordare pochissimi numeri, che corrispondono poi ai valori di seno e coseno. Sono 5 in tutto ed ecco cosa ricordare:

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– I numeri 0 e 1 li utilizzerai per tutti gli angoli multipli dell’angolo retto (90°, 180°, 270° e 360°).

– Radice di 2 fratto 2, lo utilizzerai solo l’angolo di 45° e suoi simili sugli altri quadranti (45° nel primo quadrante, 45+90=135° nel secondo quadrante, 135+90= 225° nel terzo quadrante e 225+90=315° nel quarto quadrante).

– 1/2 e la radice di 3 fratto due li utilizzerai per tutti gli angoli di 30° e 60° e simili sugli altri quadranti (30° e 60° nel primo quadrante, 30+90=120° e 60+90=150° nel secondo quadrante, 120+90=210° e 150+90=240° nel terzo quadrante, 210+90=300° e 240+90=330° nel quarto quadrante).

– Ricordati infine che 1/2 vale 0,5 mentre la radice di 3 fratto 2 vale 0,86. Quindi 1/2, tra i due numeri, è quello più piccolo.

– Il seno è il segmento verticale il coseno è il segmento orizzontale che troveremo sulla circonferenza goniometrica.

Questo è tutto quello che devi ricordare. Niente di più.

 

COME CALCOLARE UN ANGOLO SAPENDO IL SENO O IL COSENO? ECCO ALCUNI ESEMPI

Una volta disegnata la circonferenza, immaginiamo di sapere ad esempio che il seno vale 1/2. Quanto vale l’angolo partendo dal seno? Il ragionamento da fare è il seguente:

– il valore 1/2 ci fa subito capire che stiamo parlando di un angolo che puoi essere o 30° o 60°. Ci resta capire solo quale dei due. In figura ti abbiamo riportato entrambi i casi.

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– Se l’angolo è di 30° il segmento verticale (il seno) è quello più piccolo e quindi tra i due numeri (1/2 e rad3/2) vale proprio 1/2. Se invece l’angolo fosse di 60° allora il seno, cioè il segmento verticale sarebbe quello più grande, corrispondente al numero più grande, cioè rad3/2.

Quindi l’angolo vale 30°. Ma attenzione! Non c’è un solo valore dell’angolo partendo dal seno. L’esercizio non è finito: quando il seno è positivo vuol dire che ci troviamo nel I e II quadrante (il segmento verticale deve essere positivo quindi si troverà al di sopra dell’asse delle x).

Vuol dire che dobbiamo trovare il valore specchiato di 30° nel II quadrante. La caratteristica di questo angolo è che il suo segmento verticale (il seno) sia sempre il segmento più piccolo se confrontato col coseno. Qual è questo valore? Basta trovare il simmetrico di P rispetto all’asse y, che è proprio 150°, ovvero 180°-30°. Prova a disegnarlo se non ci credi e vedrai che il suo segmento del seno è più piccolo del coseno.

Quindi se l’esercizio ci chiede: calcolare il valore dell’angolo sapendo che senx=1/2, allora la risposta è x=π/6+2kπ e x=5/6 π + 2kπ. Questo è il risultato dell’esercizio.

Nel caso in cui troviamo un problema che ci chiede di calcolare l’angolo con il seno di rad2/2, allora si semplifica tutto. L’angolo è necessariamente di 45°, cioè espresso in radianti, pigreco/4. Ovviamente a questo bisogna aggiungere il suo simmetrico sull’altro quadrante che è 135°.

 

CALCOLARE IL VALORE DELL’ANGOLO PARTENDO DAL COSENO

Proviamo a fare un secondo esempio. Questa volta abbiamo noto il coseno che immaginiamo essere anche negativo, ad esempio pari a -rad3/2 così complicarci leggermente la vita. Ricorda:

# se il seno è negativo siamo nel III o IV quadrante

# se il coseno è negativo siamo nel II o nel III quadrante

Il metodo usato però è sempre lo stesso. Ignoriamo per un secondo il segno meno. Qual è il valore dell’angolo se il coseno è rad3/2? Il coseno deve essere il segmento più lungo rispetto al seno. Nella prima figura, con l’angolo a 30°, abbiamo visto che il coseno è il segmento più grande rispetto al seno. Quindi l’angolo è 30°. Ma essendo negativo dobbiamo trovare il suo corrispondente nel II e III quadrante.

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Come puoi vedere in figura i due angoli da considerare sono 150° e 210° e rappresentano la soluzione del problema.

 

CALCOLARE L’ANGOLO CON LA CALCOLATRICE

Un secondo metodo apparentemente più semplice è quello di usare direttamente la calcolatrice. Non sempre lo consigliamo: innanzitutto serve una buona calcolatrice scientifica e seconda cosa deve essere impostata in maniera corretta altrimenti rischia di darci i risultati sbagliati.

 

# Per calcolare un angolo dal seno basta che premi il pulsante sen-1, cioè la funzione arcoseno.

# Per calcolare un angolo dal coseno basta che premi il pulsante cos-1, cioè la funzione arcocoseno.

Il problema della calcolatrice è che ti restituisce un solo valore. Spetta poi a te associare il suo simmetrico per completare la soluzione. Ricordati che se salti questo passaggio, che dovrai fare comunque tu manualmente, l’esercizio non può definirsi completo.

 

Sistemi di equazioni goniometriche

 

Per procedere con la risoluzione di un sistema goniometrico a due equazioni, cioè per trovare le soluzioni comuni alle due equazioni, a volte si può usare il metodo di sostituzione. Cioè si risolve una delle equazioni rispetto ad un’incognita e si sostituisce l’espressione trovata nell’altra equazione. A volte, però, capita che questo metodo non sia sufficiente e, soprattutto negli esercizi più difficili, occorre applicare degli artifizi – delle semplificazioni o sostituzioni – che permettano di semplificare l’esercizio da svolgere.

 

ESERCIZIO SVOLTO CON IL METODO DI SOSTITUZIONE

Questo primo esercizio è piuttosto semplice, ma prova a seguirlo ugualmente. E’ importante perché ti fa capire come si risolvono i sistemi di equazioni goniometriche con il metodo della sostituzione. Vediamo subito questo esempio allora… Risolviamo il seguente sistema.

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RISOLVERE IL SISTEMA CON METODI ALTERNATIVI

Proviamo a risolvere questo esercizio. Ad uno primo sguardo potrebbe sembrare semplice ma, se volessimo risolverlo con la sostituzione, dovremmo far ricorso alle formule di addizione e sottrazione e probabilmente anche alle formule di triplicazione. Vediamo allora un metodo più semplice per risolverlo:

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Poiché senx=seny, vuol dire che x=y oppure per le proprietà degli archi associati x=180-y. Abbiamo così individuato due valori di x, non ci resta che sostituire la prima equazione del sistema in quella così ottenuta per ottenere le due soluzioni.

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Abbiamo quindi suddiviso il problema in due momenti diversi. Trovate le due soluzioni x che risolvono il sistema le abbiamo inserite (una alla volta) ottenendo così le due soluzioni finali. La parte più difficile è senza dubbio quella iniziale, dato che difficilmente lo studente si ferma a ragionare su come risolvere un sistema di equazioni.

 

ESERCIZIO SVOLTO CON PROSTAFERESI

Da un libro di testo abbiamo trovato un interessante esercizio che vogliamo mostrarti. Questa volta sono state usate le formule di prostaferesi per risolverlo. Ecco la traccia e la soluzione con tutti i passaggi. (trovi in seguito il commento e la spiegazione dell’esercizio)

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Sono state qui utilizzate le Formule di Prostaferesi perché queste contengono al loro interno la somma degli argomenti delle funzioni trigonometriche seno e coseno. In questo modo è stato sufficiente applicare la prima equazione alla seconda trasformata per poter automaticamente eliminare il seno dal problema. Si è così trovata la soluzione del coseno considerando le due incognite (abbiamo cioè trovato x-y=…..). Si sostituisce di nuovo nella prima equazione del sistema goniometrico e si arriva rapidamente alla soluzione.

 

SISTEMI DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE – ESERCIZI DA RISOLVERE

Ti lasciamo con i seguenti esercizi. Puoi provare a risolverli da solo a casa, saranno certamente un valido allenamento per quelli che ti verranno assegnati in classe dal tuo docente. In questi esercizi prova ad usare, oltre alla sostituzione, anche le formule che hai studiato fino a questo momento: dall’equazione fondamentale della trigonometria alle formule di duplicazione. L’importante è arrivare il più rapidamente possibile ad ottenere il risultato esatto.

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Formule di addizione e sottrazione seno e coseno

 

Se stai studiando la trigonometria scoprirai presto che anche qui ci sono le operazioni algebriche come l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Tuttavia non possono essere risolte come hai fatto finora perché esistono delle formule trigonometriche come le formule di addizione e sottrazione, le formule di duplicazione e le formule di bisezione. Nella lezione di oggi vedremo le prime con una dimostrazione che troverai molto facile.

Infatti quando ci troviamo davanti una funzione trigonometrica accade che:

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Questo significa che quando hai un esercizio di trigonometria in cui c’è la somma di due angoli come argomento di un seno o di un coseno, non puoi spezzare l’addizione. Un matematico ti direbbe che il seno della somma di due angoli non equivale alla somma dei seni dei due angoli.

Vediamo con un esempio: per verificare quello che abbiamo scritto sopra possiamo prendere due valori di alfa e beta, per esempio a=30° e b=60°.

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E quindi è necessario usare delle formule fondamentali per la trigonomietria.

 

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Ecco lo schema in cui trovi ogni formula di addizione e sottrazione di seno e coseno.

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Con queste formule puoi risolvere le espressioni trigonometriche, ma se vuoi approfondire l’argomento ecco la dimostrazione della formula di addizione e sottrazione del coseno!

 

DIMOSTRAZIONE FORMULA SOTTRAZIONE DEL COSENO

Prendiamo una circonferenza goniometrica. Disegniamo l’angolo α nel terzo quadrante e l’angolo β nel secondo quadrante tali che la loro differenza, (α – β), sia un angolo del primo quadrante.

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Possiamo applicare la formula della distanza tra due punti ottenendo:

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Ricordi che nelle scorse lezioni abbiamo visto le formule fondamentali della trigonometria? Abbiamo visto che il seno al quadrato più il coseno al quadrato danno sempre come risultato 1, per cui possiamo continuare a scrivere la formula di sottrazione del coseno come:

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DIMOSTRAZIONE FORMULA ADDIZIONE DEL COSENO

Per passare dalla formula di sottrazione del coseno, alla formula di addizione del coseno basta sostituire – β al posto di β. Aggiungendo il segno meno otteniamo quindi:

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DIMOSTRAZIONE FORMULA ADDIZIONE DEL SENO

Si parte dalla formula di sottrazione del coseno dimostrata prima e andiamo a sostituire 90-α al posto di α e sfruttiamo gli archi associati all’interno dell’equazione trigonometrica che otteniamo:

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DIMOSTRAZIONE FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL SENO

Partendo dall’equazione appena ottenuta, vediamo come dimostrare la regola che riguarda la sottrazione del seno. Come per la dimostrazione per la formula di addizione del coseno, sostituiamo  – β al posto di β.

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Preferiamo mantenere snella questa lezione, per cui lasciamo a te, come esercizio, la dimostrazione delle formule di addizione e sottrazione di tangente e cotangente. Il nostro suggerimento è di partire dalla definizione di tangente di un angolo (tgx=senx/cosx).

 

Al posto di x usa a+β e sviluppa il rapporto tra seno e coseno, usando le formula di addizione e sottrazione di seno e coseno dimostrate fino ad ora.

 

ESERCIZI SVOLTI:

Riprendiamo l’esempio che abbiamo fatto all’inizio per cui  a = 30° e b = 60° e risolviamo la seguente espressione:

 

sen(30°+60°)=

Usiamo la formula di addizione del seno:

sen(a+β)=sen(a)cos(β)+cos(a)sen(β)

sen(30°+60°)=sen(30°)cos(60°)+cos(30°)sen(60°)=

78-

# cos(105°)=

In questo caso possiamo risolvere l’esercizio considerando che 105° = 60° + 45°.

cos(a+β)=cos(a)cos(β)-sen(a)sen(β)

cos(60°+45°)=cos(60°)cos(45°)-sen(60°)sen(45°)=

=(1/2)( √2/2)-(√3/2)(√2/2)=

=√2/4-√6/4=

(√2-√6)/4

 

Relazioni fondamentali della goniometria

 – formule e regole

 

LE TRE FORMULE DI TRIGONOMETRIA DA SAPERE

Queste che vedi in elenco sono le tre relazioni fondamentali della trigonometria.

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PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE  DELLA TRIGONOMETRIA

La prima e più importante delle relazioni fondamentali della trigonometria parte da un concetto noto. Prendiamo infatti una circonferenza goniometrica, che abbia cioè raggio unitario e centro nell’origine O. Disegniamo su questa un angolo a. Tracciamo una linea verticale che va dal punto P all’asse delle x (ascisse): otteniamo così il punto P’ detto proiezione del punto P.

80-

Guardando il disegno possiamo notare che abbiamo ottenuto un triangolo rettangolo OPP’. Ricordiamo adesso che nel caso di triangoli rettangoli vale il teorema di Pitagora che dice:

“In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è sempre uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.”

Applicando questa facile definizione al triangolo OPP’ che abbiamo costruito, posso ricavare la formula:

81-

Abbiamo in questo modo dato una facile dimostrazione della formula fondamentale della trigonometria. Questa sarà molto importante nella risoluzione di esercizi ed espressioni goniometriche perché ci permette di calcolare il seno e il coseno. Sfruttando infatti la formula inversa posso scrivere:

82-

 

SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE  DELLA TRIGONIOMETRIA

Nella lezione sulla tangente di un angolo abbiamo imparato che la tangente è il rapporto tra seno e coseno di un angolo: tga=sena/cosa. Portandoci al primo membro il seno, ricaviamo la formula inversa:

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TERZA RELAZIONE FONDAMENTALE  DELLA TRIGONIOMETRIA

Riprendendo la definizione di cotangente di un angolo possiamo scrivere che questa funzione trigonometrica è pari al rapporto tra coseno e seno. Ci ricaviamo il coseno da questa relazione ottenendo la formula inversa:

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Le tre relazioni fondamentali della goniometria ci serviranno per trasformare tra loro le funzioni trigonometriche. Potremo cioè passare da seno a coseno, a tangente o a cotangente ogni volta che ne abbiamo bisogno.

 

Archi associati spiegazione ed esercizi svolti

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Abbiamo visto nelle lezioni come calcolare seno e coseno e anche cotangente e tangente di un angolo e che è possibile risolvere esercizi di trigonometria con l’aiuto delle tabelle.

Queste però sono utili se gli angoli variano da 0 a 90°. Come risolviamo un’espressione trigonometrica se ho angoli maggiori di 90°?

Si utilizzano allora gli angoli associati o archi associati.

 

ARCHI O ANGOLI ASSOCIATI

Per definizione gli angoli associati sono gli angoli:

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Cioè oltre all’angolo alfa, ci stiamo chiedendo come calcolare le funzioni trigonometriche per 180°-alfa, 180°+alfa e 360°+alfa. Ecco la tabella sugli archi associati che ti consigliamo di stampare e di memorizzare:

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Lo schema sui valori degli archi associati ti permette di risolvere gli esercizi con angoli maggiori di 90°.

Tuttavia se vuoi una spiegazione degli archi associati più chiara e capire cosa significano queste formule possiamo far riferimento alla circonferenza goniometrica e trovare le relazioni che esistono tra i vari angoli.

Fate attenzione perché studiare gli archi associati attraverso il grafico vi aiuta a non dover ricordare a memoria le formule della tabella

 

DIMOSTRAZIONE DEGLI ARCHI ASSOCIATI

VALORI PER 90-ALFA – I QUADRANTE

Nel primo quadrante possiamo trovare le relazioni tra l’angolo a e 90°-a: notate che il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al cos(90°-α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al sen(90°-α) ossia il segmento OD (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

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Possiamo quindi concludere che il seno e il coseno si scambiano e sono entrambi positivi. Per ottenere la relazione di tangente e cotangente basta ricordare che la tangente è il rapporto tra seno e coseno, mentre la cotangente è il rapporto tra coseno e seno.

 

VALORI DI 90+ALFA – II QUADRANTE

Nel secondo quadrante troviamo le relazioni tra l’angolo a e 90°+a: in questo caso il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al cos(90°+α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al sen(90°+α) ossia il segmento OD (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

89-

Quindi anche in questo caso si scambiano ma il coseno di 90° + a è negativo, infatti si trova sul lato sinistro dell’asse delle x.

 

VALORI DI 180-ALFA: II QUADRANTE

Nel secondo quadrante abbiamo anche le relazioni tra l’angolo a e 180°-a: in questo caso il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al sen(180°- α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al cos(180°- α) ossia il segmento OC (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

90-

Notate che il disegno è specchiato rispetto all’asse delle y e quindi seno e coseno non si scambiano ma il coseno diventa negativo perché sul lato sinistro dell’asse delle x.

 

VALORI DI 180+ALFA – III QUADRANTE

Nel terzo quadrante abbiamo le relazioni tra l’angolo a e 180°+a: il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al sen(180°+ α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al cos(180°+ α) ossia il segmento OD (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

91-

In questo caso seno e coseno non si scambiano ma diventano entrambi negativi.

 

VALORI DI 270-ALFA: III QUADRANTE

Sempre nel terzo quadrante abbiamo le relazioni tra l’angolo a e 270°-a: il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al cos(270°-α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al sen(270°-α) ossia il segmento OD (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

92-

Il seno e il coseno si scambiano e sono entrambi negativi.

 

VALORI DI 270+ALFA – IV QUADRANTE

Nel quarto quadrante abbiamo le relazioni tra l’angolo a e 270°+a: il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al cos(270°+α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al sen(270°+α) ossia il segmento OD (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

93-

Il seno e il coseno si scambiano ed il seno diventa negativo.

 

VALORI DI 360-ALFA – IV QUADRANTE

Sempre nel quarto quadrante abbiamo le relazioni tra l’angolo a e 360°-a: il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento AC che corrisponde al sen(360°- α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al cos(360°- α) che è ancora il segmento OA (perché i triangoli rettangoli OAB e OAC sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

94-

 

Il seno e il coseno non si scambiano ma il seno è negativo.

 

VALORI DI -ALFA – IV QUADRANTI

Ed infine nel quarto quadrante abbiamo anche le relazioni tra l’angolo a e -a: come si può vedere il disegno è identico al caso di 360°-a e quindi si hanno le stesse relazioni.

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ESERCIZI SVOLTI SUGLI ARCHI ASSOCIATI

3COS(120°)=

Per svolgere questa espressione trigonometrica ricordiamo la regola degli archi associati e cerchiamo la relazione che il nostro angolo, in questo caso 120°, può avere con pigreco/2, p, 3/2pigreco, 2pigreco.

 

Notiamo che possiamo scrivere il nostro angolo 120° in due diversi modi:

120°=180°-60° cioè 180°-a

120°=90°+30° cioè 120°-a

Nel primo caso a=60°, mentre nel secondo a=30°. Svolgiamo l’esercizio scegliendo l’uguaglianza 120°=180°-a con a = 60° (ovviamente il risultato sarebbe lo stesso se scegliessimo a = 30°), quindi

3 cos (120°) = 3 cos (180°- 60°) =

Cerchiamo sulla tabella degli archi associati a cosa corrisponde il cos(180°-a).

96-

Troviamo così la relazione cos(180°-a)=-cosa e quindi

97-

Dal punto di vista grafico vediamo che siamo nel caso in cui il disegno è specchiato rispetto all’asse delle y: senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al sen(180°-α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al cos(180°- α) ossia il segmento OC che è negativo perché sia trova sul lato sinistro dell’asse delle x.

98-

 

COTG(270°)=?

Anche per questa espressione trigonometrica utilizziamo le regole degli archi associati. Notiamo che possiamo scrivere il nostro angolo 270° in due modi differenti:

270°=180°+90° cioè 180°+a

270°=360°-a cioè 360°-a

Scegliamo la prima uguaglianza e cerchiamo sulla tabella a cosa corrisponde la ctg(180° +a). Anche in questo caso la scelta dell’arco associato è assolutamente arbitraria: avremmo potuto anche scegliere 360-a il risultato sarebbe rimasto invariato.

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Troviamo così la relazione ctg (180°+a )=ctga e quindi

100-

Dal punto di vista grafico siamo nel terzo quadrante e il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al sen(180°+ α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al cos(180°+ α) ossia il segmento OD.

Per esercitarti verifica che il risultato sia lo stesso scegliendo la seconda formula degli archi associati proposta dall’esercizio, cioè 270° = 360° – a e quindi a = 90°.

 

Tangente di un angolo e cotangente di un angolo

 

DEFINIZIONE DI TANGENTE DI UN ANGOLO

Definizione di tangente: dato un triangolo rettangolo, la tangente è una funzione che si usa in goniometria definita come il rapporto tra il seno e il coseno dell’angolo:

101-

Guardiamo la circonferenza goniometrica e capiamo cosa vuol dire. Dal punto di vista geometrico la tangente dell’angolo a è il segmento AT riportato sul grafico.

102-

Notiamo che abbiamo due triangoli rettangoli: OPP’ e il triangolo rettangolo OAT. Essendo due angoli simili possiamo scrivere una proporzione tra i cateti:

103-

OP’: OA = P’P : AT

Dove ricaviamo AT che è proprio la tangente che stiamo cercando. Ricordando la definizione di seno e coseno possiamo ottenere che:

104-

TANGENTE DI UN ANGOLO DI 90 GRADI

Vi hanno detto in classe o avete letto sul vostro libro che “La tangente di 90° non esiste”, ma piuttosto che imparalo a memoria capiamo cosa vuol dire: guardate il disegno della circonferenza goniometrica in cui abbiamo scelto due angoli a e a’.

 

a è molto piccolo (si avvicina a zero)

a’ è molto grande (si avvicina a 90°)

105-

Se chiamiamo le relative tangenti AB e AC notiamo che AB è molto piccola, AC è molto grande. Per il calcolo della tangente possiamo così dire che:

 

# Quanto più a si avvicina allo 0 tanto più il segmento AB diventa piccolo, fino ad annullarsi.

# Quanto più a’ si avvicina ai 90° tanto più il segmento AC diventa grande, fino a che le due rette diventano parallele e non si incontrano mai!

 

Ecco perché diciamo che è impossibile calcolare la tangente a 90°, non può esistere o meglio non esiste la tangente di

106-

Con k si indicano numeri reali interi, cioè 0, 1, 2, 3, 4…

In questo modo racchiudiamo in una sola formula tutti gli angoli pari: a = 90°+0, a = 90° + 180°, a = 90° + 360°…

 

COS’È LA COTANGENTE DI UN ANGOLO?

Definizione di cotangente: la cotangente di un angolo è definita come il rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo, o come il reciproco della sua tangente:

107-

Considerando che i due triangoli rettangoli OGF e OPP’ sono simili, possiamo scrivere la proporzione:

GF : OP’ = OG : PP’

E ricordando la definizione di seno e coseno possiamo ottenere che OP’= cosa, P’P = sena e OG = 1 perché coincide con il raggio della circonferenza goniometrica.

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COTANGENTE DI UN ANGOLO DI 90 GRADI

Come fatto per la tangente, per capire il valore della cotangente a 90°, guardiamo il disegno: abbiamo ancora due angoli a e a’.

a è molto piccolo (si avvicina a zero)

a’ è molto grande (si avvicina a 90°)

109-

Se chiamiamo le relative cotangenti GF e GE notiamo che:

GF è molto grande

GE è molto piccola

# Quanto più a si avvicina allo 0 tanto più il segmento GF diventa grande, fino ad essere una retta parallela all’asse delle x;

# Quanto più a’ si avvicina ai 90° tanto più il segmento GE diventa piccolo, fino a diventare nullo.

Praticamente accade il contrario di quello che abbiamo visto per la tangente e quindi possiamo dire che la cotangente non esiste se:

110-

E cioè diciamo che non è definita (assume valore infinito) la cotangente negli angoli pari: a = 0°, 180°, 360°…

 

VALORI TANGENTE E COTANGENTE – TABELLA CON GLI ANGOLI NOTI

Ecco una tabella con i valori delle funzioni goniometriche tangente e cotangente in alcuni angoli notevoli.

111-

Con i valori riportati in tabella e le formule di sottrazione e addizione, di duplicazione, di bisezione, e quelle parametriche è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

 

ESERCIZI SVOLTI SU TANGENTE E COTANGENTE

Ecco alcuni esercizi svolti utilizzando la tabella dei valori di tangente e cotangente:

112-

Ora puoi mettere alla prova le tue conoscenze con gli esercizi con soluzioni su tangente e cotangente:

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Seno e coseno

 – definizione e tabella dei valori

 

UNO STUDENTE SI TROVA SPESSO A DOVER UTILIZZARE IL SENO E IL COSENO DI UN ANGOLO, SIA DURANTE LE ORE DI MATEMATICA, IN PARTICOLARE QUANDO SI STUDIA LA TRIGONOMETRIA, CHE IN FISICA, PER LO STUDIO DEL PIANO INCLINATO E DELLA SUDDIVISIONE DELLE FORZE.

 

IL COSENO DI UN ANGOLO

Per capire cos’è il coseno di un angolo dobbiamo fare riferimento alla circonferenza goniometrica. Prendiamo un angolo a  sulla nostra circonferenza tracciano una linea dall’origine. Dove la linea interseca la circonferenza segniamo un punto che possiamo chiamare P.

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Guardando il disegno possiamo notare che abbiamo ottenuto un triangolo rettangolo OPP’:

Il coseno dell’angolo a è dato dal rapporto tra i segmenti OP’, cateto sull’asse delle x, e OP, ipotenusa del triangolo e raggio della circonferenza.

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Quindi cosa=OP’. Possiamo quindi dare una definizione del coseno:

si definisce il coseno prendendo una circonferenza di raggio unitario e una semiretta uscente dall’origine che forma un angolo x con l’asse delle ascisse. Il coseno dell’angolo x è quindi definito come il valore della coordinata x del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza.

Vuoi un suggerimento facile, un trucchetto per ricordare cos’ è il coseno? Tieni presente che è sempre il segmento ORIZZONTALE (sull’asse delle x).

 

IL SENO DI UN ANGOLO

Considerando lo stesso triangolo per il seno e coseno:

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Il seno dell’angolo in trigonometria è dato dal rapporto fra il segmento PP’, cateto sull’asse delle y, e OP, ipotenusa del triangolo e raggio della circonferenza.

Anche in questo caso ricordiamo che il raggio della circonferenza goniometrica è pari ad 1, quindi: sena=P’P. Possiamo quindi dare la definizione del seno:

si definisce il seno di un angolo x a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano. Presa la semiretta uscente dall’origine che forma un angolo x con l’asse delle ascisse, il seno dell’angolo è quindi definito come il valore della coordinata y del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza.

Un trucchetto per ricordarsi cos’è il seno? Tenete presente che è sempre il segmento VERTICALE (sull’asse delle y).

Per calcolare il seno e il coseno si utilizza una tabella dei valori che si riferisce ad alcuni angoli notevoli.

 

TABELLA VALORI SENO E COSENO

Con dei valori riportati in tabella e le formule di sottrazione e addizione, di duplicazione, di bisezione, di prostaferesi, di Werner e di quelle parametriche è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

117-

ESERCIZI SVOLTI SU SENO E COSENO

Con l’aiuto della tabella dei valori di seno e coseno possiamo svolgere assieme i primi esercizi di trigonometria. Risolvere le seguenti espressioni.

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ESERCIZI DA RISOLVERE

2cos(15°)+sen(60°)-cos(30°)

3sen(45°)-4cos(18°)

sen(90°)-cos(75°)-7cos(90°)

 

Conversione gradi radianti

 

CONVERSIONE GRADI RADIANTI: LA FORMULA DA USARE

ρ=α°·π / 180°

Per passare da gradi a radianti ti basta aggiungere il pi-greco davanti l’angolo e dividere tutto per 180°. Generalmente si ottiene una frazione per cui è necessario semplificare numeratore e denominatore.

 

IL METODO FACILITATO CON LA CALCOLATRICE

Generalmente gli studenti delle scuole superiori hanno la possibilità di utilizzare la calcolatrice scientifica (anche se non sempre al primo anno). Avendo la possibilità di utilizzarla, si possono risparmiare i calcoli da fare a mano. Come? Ecco come passare da gradi a radianti con la calcolatrice scientifica.

 

# digita il valore dell’angolo espresso in gradi;

# premi il pulsante della frazione (generalmente indicato con ab/c (vedi l’immagine)

119-FINE TRIGO. 4

# si può scrivere ora al denominatore 180 e premere il pulsante invia per eseguire il calcolo.

se il valore dell’angolo ti sembra strano premi di nuovo il pulsante ab/c per avere la misura dell’angolo sotto forma di frazione.

 

ESEMPIO 1

Dato l’angolo di 30° sessagesimali, effettuare la trasformazione da gradi a radianti.

Utilizziamo la formula vista cioè ρ=α°·π / 180°, andando a sostituire 30° al posto di alfa.

ρ=α°·π / 180°

ρ=30°·π / 180°=(30/180)π

Semplifichiamo 30 con 180, per ottenere 1/6. Per cui il risultato finale è (1/6)π che possiamo scrivere anche come π/6.

 

ESEMPIO 2

Effettuare la conversione gradi radianti di un angolo la cui misura in gradi sessagesimali è 10°15’30”

In questo esercizio la situazione è leggermente più complessa visto che non ci sono solo i gradi, ma anche i primi e i secondi. Per cui per passare da gradi a radianti è necessario prestare un po’ più di attenzione nei calcoli. Il primo passo è quindi quello di portare tutto il valore dell’angolo in gradi esprimendolo sotto forma di frazione.

15°15’30” = (10+15/60+30/3600)°

Eseguiamo le semplificazioni così da rendere i calcoli più semplici.

(10+1/4+1/120)°= (1231/120)°

A questo punto possiamo utilizzare la formula per la conversione gradi radianti. Sostituiamo la frazione appena trovata al posto di alfa come fatto nell’esercizio precedente.

ρ=α°·π / 180°

ρ=(1231/120)°·π / 180°

ρ=(1231/21600)π

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