Circonferenza Goniometria
La circonferenza goniometrica è una circonferenza con raggio unitario e centro nell’origine degli assi cartesiani. Grazie a questa figura si riescono a definire seno e coseno, assieme alle altre funzioni goniometriche.
E’ LA CIRCONFERENZA DI RAGGIO UNITARIO CON CENTRO NELL’ORIGINE
Vedi quanto è semplice la definizione? Però in base a questa ruota praticamente tutto il programma di geometria analitica. Ti ricordi qual è l’equazione di una circonferenza noto il centro e il raggio?
dove α e β sono ascissa e ordinata del centro. Poiché abbiamo detto per definizione che la circonferenza ha centro nell’origine, queste due coordinate cartesiane sono pari a 0. Tenendo conto anche che il raggio è pari a 1, l’equazione della circonferenza può riscriversi come:
Siamo così arrivati all’equazione della circonferenza goniometrica.
COME SI DISEGNA
Disegnare la circonferenza goniometrica è un procedimento molto semplice che puoi fare tranquillamente anche su un normale foglio a quadretti. Proviamo a farlo insieme:
– Tracciate un piano cartesiano con x, asse delle ascisse, e y, asse delle ordinate. Segniamo il loro punto di intersezione in O cioè l’origine.
Prendete un compasso e scegliete la dimensione del raggio aprendolo per esempio di 5 cm. Tracciate la circonferenza goniometrica puntando nell’origine degli assi, cioè il punto O.
Puoi vedere dalla figura che il raggio forma con l’asse delle x un angolo, che viene definito in matematica angolo orientato. Questo perché la sua misura dipende dal verso di percorrenza. L’angolo sarà positivo se il raggio si muove in senso antiorario (quindi va verso l’alto partendo dall’asse x), sarà negativo se si muove in senso orario (quindi va verso il basso partendo dall’asse x).
GLI ANGOLI DELLE CIRCONFERENZA GONIOMETRICA PIÙ IMPORTANTI
Da 0 a 360° sono davvero tanti gli angoli possibili che il raggio della circonferenza goniometrica può individuare con l’asse delle ascisse. Tuttavia ce ne sono alcuni, detti anche angoli noti, che ci ritroveremo spesso in esercizi e problemi. Vale quindi la pena iniziare a capire quali siano. Di seguito vengono elencati con la loro misura in gradi e in radianti. Per le trasformazioni da un sistema di misura all’altro consulta la nostra lezione sulla conversione gradi radianti.
ANGOLO DI 0°
E’ il primo che si individua quando il raggio della circonferenza goniometrica non ha neanche iniziato a muoversi.
ANGOLO DI 30° (Π/6)
Il raggio ha iniziato a muoversi e si ferma poco prima della bisettrice del primo e terzo quadrante.
ANGOLO DI 45° (Π/4)
Il raggio della circonferenza goniometrica è arrivato a metà strada tra 0° e 90°
ANGOLO DI 60° (Π/3)
E’ il valore speculare sulla circonferenza goniometrica dell’angolo di 30° e, come vedremo nelle prossime lezioni, è a lui molto simile per alcuni valori che assumerà con le funzioni trigonometriche.
ANGOLO DI 90° (Π/2)
Il raggio ha raggiunto l’asse delle ordinate della circonferenza goniometrica. Siamo arrivati all’angolo retto.
ANGOLO DI 180° (Π)
E’ l’angolo piatto. Continuando a spostarsi lungo la circonferenza goniometrica, il raggio ha toccato di nuovo l’asse delle ascisse.
ANGOLO DI 270° (3/2 Π)
E’ l’angolo sulla circonferenza goniometrica speculare all’angolo retto.
ANGOLO DI 360° (2 Π)
Il raggio ha percorso tutta la circonferenza unitaria ed è tornato al punto di partenza. Infatti tutto ciò che riguarda l’angolo di 360° lo si può dire ugualmente all’angolo di 0°.
A COSA SERVE LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA?
Abbiamo detto che questa figura geometrica particolare servirà a definire i concetti di seno, coseno, tangente e cotangente. In realtà la sua utilità non si ferma qui.
Da quanto abbiamo detto fino ad ora, lo studio sulla circonferenza trigonometrica si interessa di tutti gli angoli che vanno da 0 a 360°, quindi scritto in maniera matematica:
0≤Α≤2Π
Che cosa succede però quando l’angolo supera i 360°, cioè i due pi greco? Come ci si comporta con un angolo di 400° gradi ad esempio? Sena andare a complicarsi la vita per capire come trasformarli in radianti e senza affrontare le trattazioni teoriche di cui si è tanto discusso nei secoli ragioniamo in maniera semplice.
Quando il raggio supera i 360° inizia a percorrere da capo la circonferenza goniometrica percorrendo di fatto una strada già percorsa in precedenza. Per cui non fa altro che ripetere quanto già fatto prima. Per questa ragione ha senso ricondurre tutti gli angoli maggiori di 360° all’interno dell’intervallo 0-360°. Come? Basta sottrarre 360°!!
Ad esempio un angolo di 700°: 700-360=340°1507
Formule di Werner
Le formule di Werner permettono di trasformare il prodotto di due seni o di due coseni o di un seno per un coseno nella somma o differenza di seni e coseni.
Vediamo subito concretamente 2 esempi per applicare le formule di Werner.
ESERCIZIO 1
Calcoliamo (sin 37° 30′) · (cos 7° 30′)
Osserviamo che nel sistema di misura degli angoli (sessagesimale)
– la somma 37°30’+7°30′ = 45°
– la differenza 37°30′-7°30′ = 30°
Per cui possiamo scrivere che:
ESERCIZIO 2
Trasformiamo in una somma il prodotto cos3x·cos5x
Abbiamo:
DIMOSTRAZIONE
Le formule di Werner si ottengono direttamente dalle formule di Prostaferesi. In alternativa possono essere ricavate anche della formule di addizione e sottrazione.
PRIMA FORMULA DI WERNER
SECONDA FORMULA DI WERNER
TERZA FORMULA DI WERNER
CURIOSITÀ
Le formule di Werner devono il loro nome allo scienziato che le ideò nel XVI secolo. Nonostante non vengano oggi molto utilizzate, hanno portato alle formule di Prostaferesi, all’epoca molto utili ai naviganti per il tracciamento delle rotte in mare.
ESERCIZI RISOLTI
Trasformiamo in prodotti le seguenti somme con le formule di Werner.
Coseno iperbolico
Il coseno iperbolico si indica con il simbolo matematica cosh(x) ed appartiene alle funzioni iperboliche, una famiglia di funzioni con caratteristiche simili a quelle goniometriche. Mentre però queste ultime si basavano sulla circonferenza goniometrica, seno e coseno iperbolico si definiscono a partire dall’iperbole equilatera.
DEFINIZIONE
Si disegni sul piano cartesiano un’iperbole equilatera centrata nell’origine del sistema di riferimento. Essa avrà equazione X²-Y²=1. Dato il generico angolo α, è possibile individuare il settore iperbolico (disegnato in rosso in figura) di angolo α/2. Uno dei vertici di questa figura è il punto P.
Il coseno iperbolico è l’ascissa del punto P
cosh(x)=xP
Come tutte le altre funzioni iperboliche, cosh(x) si può definire attraverso le funzioni esponenziali. In particolare si può scrivere che:
Il coseno iperbolico è dato dalla media di ex e e-x.
PROPRIETÀ
GRAFICO DEL COSENO IPERBOLICO
Al grafico disegnato sul piano cartesiano si arriva facilmente attraverso un normale studio di funzione che ti riportiamo di seguito.
DOMINIO
Per analizzare il campo di esistenza di questa funzione, partiamo dalla sua definizione in termini esponenziali. Il dominio del coseno iperbolico è dato dall’unione di quello di ex e e-x. Poiché entrambi sono continui su tutto R (vedi dominio della funzione esponenziale), allora vale che:
D: ∀ x∈R
o anche
D=(-∞;+∞)
Il cosseno iperbolico è una funzione continua in tutto R.
SIMMETRIE
Poiché vale la relazione f(x)=f(-x), cioè
ex + e-x = e(-x) + e-(-x)
allora la funzione è pari. Questo vuol dire che il coseno iperbolico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
INTERSEZIONI CON GLI ASSI
Per calcolare gli zeri della funzione, si impone x=0.
y=(ex + e-x)/2
y=(e0 + e-0 )/2 → y=1
Abbiamo quindi scoperto un’interessante analogia con il coseno. Cioè per x=0, y=1
cosh(0)=1
STUDIO DEL SEGNO, POSITIVITÀ
Come si fa normalmente nello studio di funzione, si impone y>0, cioè:
y=(ex + e-x)/2>0
Poiché sia ex che e-x sono entrambi positivi, allora anche la loro somma sarà positiva. Questo vuol dire che il coseno iperbolico è una funzione sempre positiva, cioè sul grafico si trova sempre al di sopra dell’asse delle ascisse.
LIMITI AGLI ESTREMI
Sia il limite per x che tende a meno infinito che per x che tende a più infinito, portano come risultato a più infinito.
DERIVATA ED INTEGRALE
Riprendendo l’analogia con il coseno, la derivata del coseno iperbolico è pari al seno iperbolico cambiato di segno.
d(coshx)=-sinhx
Allo stesso modo, l’integrale sarà uguale al seno iperbolico a meno di una costante k.
∫cosh(x)dx=sinh(x)+k
Seno iperbolico
Il seno iperbolico si indica generalmente con sinh(x) o senh(x) e appartiene ad una famiglia di funzioni particolari con proprietà simili alle funzioni goniometriche. La differenza principale sta nel fatto che mentre seno e coseno si ricavano dalla circonferenza goniometrica, il seno iperbolico e il coseno iperbolico si ricavano dal grafico dell’iperbole.
DEFINZIONE
La prima domanda a cui bisogna rispondere è: che cos’è il seno iperbolico?
Data un’iperbole equilatera di equazione X²-Y²=1 centrata sull’origine degli assi cartesiani e dato un angolo α, andiamo a considerare il settore iperbolico disegnato in rosso di area α/2. Questo determina sull’iperbole un punto P. Si definisce seno iperbolico l’ordinata del punto P.
sinh(x)=yP
Le funzioni iperboliche vengono definite attraverso l’uso di funzioni esponenziali con base naturale. In questo caso possiamo scrivere che:
PROPRIETÀ
GRAFICO DEL SENO IPERBOLICO
Al grafico disegnato nel piano cartesiano si arriva facilmente effettuando un normale studio di funzione che riportiamo di seguito.
DOMINIO
Dalla definizione che abbiamo appena espresso, possiamo individuare il campo di esistenza della funzione seno iperbolico. Il dominio degli esponenziali ex e e-x è tutto R. Per cui possiamo scrivere che il dominio è
D: ∀ x∈R
o anche
D=(-∞;+∞)
Il seno iperbolico è una funzione continua in tutto R
SIMMETRIE
Poiché vale l’uguaglianza f(x)=-f(-x), cioè
ex – e-x=-(e-x – e+x)
allora la funzione seno iperbolico è dispari, cioè simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani.
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Si impone come sempre si fa nello studio di funzioni, sinh(x)=0. Moltiplicando subito primo membro e secondo membro per 2, si ottiene:
ex – e-x=0
ex = e-x
x=-x → 2x=0 → x=0
Quindi abbiamo scoperto che il seno iperbolico di 0 fa 0. sinh(0)=0
STUDIO DEL SEGNO E POSITIVITÀ
Si impone il sinh(x)>0. Per cui passando alla definizione di esponenziali e moltiplicando tutto per 2 otteniamo:
ex – e-x>0
ex > e-x
x>-x
2x>0
x>0
Quindi la funzione seno iperbolico è positiva per x>0, mentre è negativa per x<0.
LIMITI AGLI ESTREMI
I limiti del seno iperbolico a meno infinito e più infinito sono rispettivamente meno infinito e più infinito.
DERIVATA
Così come accadeva con il seno, la derivata del seno iperbolico è pari al coseno iperbolico.
d(sinhx)=coshx
INTEGRALE
Riprendendo ancora l’analogia con il seno, l’integrale del seno iperbolico è pari al coseno iperbolico cambiato di segno.
∫sinh(x)dx=-cosh(x)+k
Calcolare l’arcoseno con la calcolatrice scientifica
Facciamo una premessa: le inverse delle funzioni goniometriche, quindi anche la funzione arcoseno, non vengono riportate così come siamo abituate a scriverle nei nostri esercizi. La parola “arc” infatti non compare mai ma viene sostituita da un apice “-1” che sta appunto ad indicare la funzione inversa.
ARCOSENO CALCOLATRICE, DOVE SI TROVA?
Per prima cosa, per fare questo tipo di calcolo, è necessario avere una calcolatrice scientifica. I modelli più elementari senza le funzioni goniometriche non possono eseguire il calcolo. Vediamo come si presenta l’interfaccia e cosa premere per calcolare l’arcoseno sulla calcolatrice.
Come puoi vedere dall’immagine, sul pulsante “sin” c’è una scritta piccolina sopra: sin-1. Ebbene quello è l’arcoseno. Visto che si trova però sulla parte superiore del pulsante, si tratta di una funzione secondaria. Per attivarla basta premere:
SHIFT+SIN
In questo modo:
– con SHIFT dirai alla calcolatrice di considerare il pulsante secondario
– premendo il sin, attiverai la sua funzione secondaria, ovvero l’arcoseno.
L’ARCOSENO CON LA CALCOLATRICE DI WINDOWS
Per quanto riguarda il calcolatore presente su Windows 10, il procedimento è molto semplice. Apri la calcolatrice. Generalmente si aprirà la modalità standard, cioè il modello base:
Passa alla modalità scientifica premendo i tre trattini orizzontali in alto e clicca su SCIENTIFICA. Ecco che cosa vedrai…
Vedi dove c’è la freccia con la punta rivolta verso l’alto? Abbiamo messo un segno arancione per indicartelo… Ebbene è come la seconda funzione SHIFT per la calcolatrice scientifica.
Per calcolare l’arcoseno con la calcolatrice scientifica di Windows devi quindi:
– digitare il numero corrispondente all’argomento dell’arcsin
– premere la freccia con la punta verso l’alto
– premere poi il pulsante “sin-1“
AVVERTENZE
Limitare il calcolo dell’arcoseno alla calcolatrice senza fare altre riflessioni ti porterà a sbagliare. Vediamo perché: ti ricordi i valori della tabella goniometrica? Avevamo detto che ad esempio che il seno di 45° vale √2/2, ma non è solo il seno dell’angolo di 45° ad assumere tali valori, ma anche 225°. (Per approfondimenti guarda la lezione sugli archi associati).
Questo vuol dire che se calcoli l’arcoseno con la calcolatrice otterrai un solo valore (45°) e ti perderai un risultato. In pratica l’esercizio ti verrà conteggiato sbagliato o incompleto. Puoi quindi usare la calcolatrice per calcolare l’arcoseno, ma ricordati poi di ragionare sui possibili risultati aggiuntivi.
ATTENZIONE ALL’ERRORE
Attenzione: non confondere l’inversa della funzione con la potenza negativa -1. Ti ricordiamo infatti che la funzione inversa è una nuova funzione con caratteristiche completamente differenti da quella di partenza: come esempio ricordati proprio la funzione seno e l’arcoseno. Elevare a meno 1 significa invece, per le proprietà delle potenze, invertire denominatore e numeratore. Nel caso in cui il denominatore non è presente si sottintende uno. Facciamo subito un esempio per evitare ogni tipo di confusione:
sen-1x=arcsenx
(senx)-1=1/senx
Puoi notare da solo quanto questi due calcoli, apparentemente simili dal punto di vista della simbologia matematica, portino a due risultati completamente differenti.
Arcoseno – arcsen(x) o arcsin(x) – la funzione inversa del seno
L’arcoseno di x non è altro che la funzione inversa del seno applicata alla variabile x. E’ in genere un argomento che gli studenti considerano difficile, per cui ci soffermeremo cercando di rendere la spiegazione semplice e alla portata di tutti.
Per capire quali sono le proprietà dell’arcoseno e vederne il grafico, è necessario che alcuni concetti siano noti. Ovviamente bisogna conoscere la funzione seno, altrimenti non possiamo studiarne l’inversa, e sarebbe opportuno conoscere il concetto di funzione biunivoca.
In linguaggio matematico la funzione arcoseno si indica con i simboli arcsin(x) oppure arcsen(x), a seconda del testo e della notazione utilizzata. Entrambi sono tuttavia parimenti validi.
DEFINIZIONE DI ARCOSENO
DOMINIO E CODOMINIO – LA PREMESSA
Prima di vedere operativamente che cos’è l’arcoseno di x, è importante fare una premessa. La funzione y=sen(x) non è biunivoca perché un valore di y appartenente al codominio [-1;+1] è immagine di infiniti valori di x, ossia ci sono infiniti archi sulla circonferenza goniometrica che hanno lo stesso seno.
Poiché la funzione non è biunivoca, allora non è invertibile. Quini in linea teorica non si potrebbe neanche parlare di arcoseno. Tuttavia, se effettuiamo una restrizione della funzione y=senx, ossia consideriamo il sottoinsieme I={-π/2;+π/2} del suo insieme di definizione R e la sua immagine f(I)=[-1;+1], la funzione f risulta biiettiva tra gli insiemi I e f(I) e quindi relativamente a tali insiemi esiste la funzione inversa f-1.
CHE COS’È L’ARCOSENO
A questo punto siamo pronti per dare una spiegazione sull’arcoseno: è la funzione inversa del seno e si indica con:
x= f-1(y)=arcsen y
da cui, scambiando le variabili, si ha:
y= f-1(x)=arcsen x
DOMINIO ARCOSENO (E CODOMINIO)
Questa funzione inversa del seno ha il dominio D l’insieme che abbiamo precedentemente indicato con f(I). Per cui il dominio D=[-1;+1]. Il codominio invece è quello che precedentemente abbiamo indicato con I={-π/2;+π/2}.
GRAFICO ARCOSENO
Per disegnare il grafico dell’arcoseno è bene aver presente com’è fatta la sinusoide.
Arcoseno grafico: per disegnarlo dobbiamo il simmetrico della funzione f di partenza (in questo caso il seno) rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Per aiutarti a comprendere come si costruisce grafico arcsin x, ecco i vari passaggi.
Nell’immagine sopra ti abbiamo mostrato come costruire iniziare a costruire il grafico dell’arcoseno. Proseguendo con il disegno si ottiene quindi il grafico completo.
COME CALCOLARE ARCSIN X – ESEMPIO PRATICO
Per il calcolo dell’arcoseno puoi ricorrere alla calcolatrice, ma è difficile che questa ti restituisca un valore accettabile visto che generalmente lo ha già moltiplicato per pigreco.
Approfondimenti: come calcolare l’arcoseno con la calcolatrice
Molto meglio ragionare come segue:
– per trovare l’arcsen x devo chiedermi qual è l’angolo il cui seno è proprio pari a x.
Facciamo un esempio e proviamo a calcolare arcsen x, con x=1/2.
arcsen(1/2) → dobbiamo trovare l’angolo il cui seno vale √3/2. Sappiamo che il seno di 60 vale proprio √3/2, così come anche sen120°. Tuttavia abbiamo premesso Questo vuol dire che:
arcsen(1/2)=60° e 120° → Tuttavia ricordi cosa abbiamo detto? Che il codominio (cioè l’intervallo sull’asse delle y in cui la funzione è definita) varia tra -π/2 e +π/2. Quindi 120° (2/3 π) non va incluso nei risultati perché maggiore di π/2. Il risultato è quindi:
arcsen (1/2)=60°
e, volendo esprimere l’angolo in radianti, possiamo scrivere che:
arcsin (1/2) = π/3
PROPRIETÀ DELL’ARCOSENO
Avendo visto subito quali sono dominio e codominio, possiamo fare un’osservazione piuttosto semplice: l’arcoseno si ripete così come faceva il seno, ma questa volta in senso verticale. Per questa ragione non si può dire che l’arcoseno sia una funzione periodica.
Ricordi che cos’è una funzione matematica? E’ una relazione che associa ad un elemento della x, uno ed un solo elemento della y. Se provi a guardare l’ultimo grafico dell’arcoseno, noti che quando ad esempio x=1, ci sono vari valori della y. Per questa ragione il grafico non rappresenta una funzione ed è per quella stessa ragione che è stata necessaria la premessa con dominio e codominio.
SIMMETRIE
Si nota una simmetria della funzione rispetto all’origine degli assi, per cui possiamo dire che l’arcoseno è dispari. Matematicamente ciò si esprime attraverso la relazione:
f(x)=-f(-x)
INTERSEZIONI CON GLI ASSI
Dal grafico dell’arcoseno puoi immediatamente capire come ci sia una sola intersezione con l’asse delle ascisse nel punto di coordinate cartesiane 0(0;0), cioè nell’origine. Tenendo conto che la y può essere solo compresa tra -π/2 e +π/2, allora appare evidente che non ci sono altre intersezioni da prendere in considerazione.
L’ARCOSENO È UNA FUNZIONE CRESCENTE?
Se consideriamo l’intervallo indicato della y (e quindi solo la parte rossa del grafico in figura), allora la funzione arcoseno è monotona strettamente crescente su tutto il suo dominio. Questo vuol dire che da quando parte da x=-1 a x=+1 la funzione cresce sempre e nessuna y è mai uguale alle precedenti.
ALCUNI ESERCIZI SVOLTI
arcsin [sin (x)] = x
Si tratta di un’espressione breve che è bene ricordare. Applicare la funzione inversa alla funzione stessa, mi dà come risultato l’argomento. Quindi in termini matematici f-1[f(x)]=x, per cui l’arcoseno del seno è proprio pari alla x.
sin [arcsin x] = x
Si tratta del caso perfettamente analogo al precedente. C’è una rapida successione della funzione e della sua inversa, per cui il risultato è pari proprio all’argomento, cioè alla x.
Provare a disegnare il grafico y=arcsin(-x)
L’esercizio si risolve facilmente andando a ribaltare intorno all’asse y il grafico dell’arcoseno che abbiamo visto prima. Il risultato sarà quindi:
Per esserne convinti, proviamo ad assegnare 3 valori alla x (-π/2 ; 0 ; +π/2) e prova a calcolare l’arcoseno. Vedrai che otterrai i valori che sono presenti sul grafico.
CONCLUSIONI
Come puoi vedere la spiegazione dell’arcoseno non è molto complessa, ma ci sono alcune cose che vanno ricordate, come la restrizione del codominio tra -π/2 e +π/2. Purtroppo per calcolare arcsin x la calcolatrice non sempre ci è d’aiuto, ma con la tecnica che abbiamo visto, si può eseguire il calcolo dell’arcoseno a mente (se si tratta ovviamente di valori di seno e coseno di angoli noti).
Cosinusoide e la funzione coseno y=cos(x)
La funzione coseno appartiene alla famiglia delle funzioni trigonometriche, è definita per ogni x appartenente all’insieme dei numeri reali ed è periodica. Tracciando il grafico della funzione coseno, che in matematica viene rappresentata da y=cosx, si ottiene la cosinusoide.
GRAFICO DELLA FUNZIONE COSENO
Per ricavare la cosinusoide si riportano sugli assi cartesiani i valori del coseno compresi tra 0 e 2π. Oltre questo intervallo non conviene andare perché poi si ripetono all’infinito. Disegniamo così la circonferenza goniometrica sulla sinistra e riportiamo il valore del coseno per ogni angolo.
Per disegnare il grafico della funzione coseno y=cosx, facciamo coincidere il punto (0;-1) della circonferenza goniometrica con l’origine O degli assi cartesiani. Sull’asse delle x riportiamo l’ampiezza dell’angolo gradi o radianti, sull’asse delle y l’ascissa di B (cioè la funzione coseno dell’angolo)
COSINUSOIDE
Riportando tutti i punti sul grafico di y=cosx con x compreso tra 0 e 2π, si ottiene una curva detta cosinusoide. Questa non è altro che la rappresentazione grafica della funzione coseno sugli assi cartesiani.
LA FUNZIONE COSENO È PERIODICA
La prima cosa che puoi notare è che, analizzando il grafico della funzione coseno, quando la x=0 e quando la x=360° (o 2π), la funzione assume gli stessi valori, cioè la y sul grafico è la stessa. Questo vuol dire che la funzione coseno è periodica con periodo 2π, cioè si ripete in maniera ciclica (sia a sinistra che a destra del grafico) assumendo sempre gli stessi valori.
Possiamo quindi riportare il grafico della funzione coseno anche nella versione completa, cioè riportandone i valori sia a destra che a sinistra di 0 e 2π. Avremo così il disegno della cosinusoide completo.
DOMINIO DELLA FUNZIONE COSENO
Prova a rispondere a questa domanda guardando la curva cosinusoide. Vedi delle interruzioni sul grafico? Ci sono degli intervalli in cui la funzione si interrompe in qualche modo oppure ti sembra una linea continua che va avanti senza interruzioni? Se dovessi disegnarla non staccheresti mai la penna dal foglio.
Questo significa che la funzione è definita in tutto l’insieme dei numeri reali. Quindi se ti viene chiesto: qual è il dominio della funzione coseno? La risposta è: tutto R, o per essere più rigorosi nel linguaggio matematico, ∀x∈R
CODOMINIO DELLA FUNZIONE COSENO
Più raramente i docenti si preoccupano di chiedere il codominio delle funzioni, ma è il caso di saperlo. Senza entrare troppo nei dettagli, il codominio ti indica l’intervallo di variazione del grafico in senso verticale. La cosinusoide, come puoi vedere tu stesso dalla figura, non va mai al di sotto di -1 e non va mai al di sopra di +1.
Questo vuol dire che il codominio è l’intervallo chiuso [-1;+1]. Si parla di intervallo chiuso perché i valori -1 e +1 sono compresi e definiti nella funzione.
LA FUNZIONE COSENO È SIMMETRICA?
Continuando la nostra analisi della funzione seno, proviamo a fare un’osservazione. Prova a suddividere il grafico in due parti: la zona a sinistra dell’asse delle y (con x<0) e la zona a destra dell’asse delle x (con x>0). Hai fatto caso che sono praticamente uguali? Questo significa che c’è una simmetria rispetto all’asse y, cioè la funzione coseno è pari.
Quando inizierai a fare lo studio di funzioni, vedrai che questa condizione si dimostra matematicamente perché
f(x)=f(-x)
cioè
cos(x)=cos(-x)
Ad esempio il coseno di 30 è uguale al coseno di -30 (cioè 360-30=330°).
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Come puoi vedere dal grafico della cosinusoide, nell’intervallo tra 0 e 2π, la funzione coseno si interseca 2 volte con l’asse delle ascisse. I punti hanno coordinata x=π/2 e x=3/2π. Quindi per gli angoli di 90° e 270° la funzione coseno si annulla. Infatti, analizzando la tabella dei valori di seno e coseno sappiamo che:
cos90°=0
cos270°=0
Quindi i due punti di intersezione, che abbiamo segnato in rosso sul grafico sono P1(π/2;0) e P2(3/2π;0). Se volessimo individuare matematicamente questi due valori dovremmo mettere a sistema la funzione coseno y=cosx, con l’equazione della retta y=0 che rappresenta invece l’asse delle ascisse.
Per approfondimenti vedi come calcolare l’intersezione tra due rette (la regola si applica per l’intersezione di due generiche curve, quindi anche della cosinusoide)
ALTRI SPUNTI PER GLI ESERCIZI
Molto spesso negli esercizi vengono chieste delle funzioni meno elementari della cosinusoide. Capita quindi di dover studiare la funzione coseno al quadrato o la funzione cos2x o ancora la funzione coseno in valore assoluto. In base a quanto detto fino ad ora è possibile dedurre il grafico di altre funzioni del coseno.
ESEMPIO
TRACCIARE IL GRAFICO, EVENTUALMENTE APPROSSIMATO, DELLA SEGUENTE FUNZIONE COSENO → Y=COS|X|
Il grafico della funzione coseno valore assoluto si ottiene dalla normale cosinusoide y=cos(x) ribaltando attorno all’asse delle y le parti del grafico che si trovano a destra dell’asse verticale. Proviamo a scrivere i valori di cos|x| al variare dell’angolo x.
Si può notare che il grafico del coseno in valore assoluto è identico a quello della cosinusoide.
Quanto vale il seno di 60 gradi?
SENO 60 GRADI – COME SI RICAVA?
Iniziamo disegnando la circonferenza goniometrica, quindi che ha centro nell’origine e raggio unitario. Su questa andiamo a disegnare l’angolo di 60° partendo dall’asse delle x e con una rotazione in senso antiorario.
Abbiamo così disegnato il coseno e il seno di 60 gradi sulla circonferenza goniometrica. Per ricavarne il valore, basta applicare il teorema di Pitagora al triangolo che si è formato. Possiamo quindi scrivere che:
sen²60°+cos²60°=1
In realtà il triangolo in figura non è un semplice triangolo rettangolo, ma ha gli angolo di 30, 60 e 90°. Questo implica che il cateto minore è pari a metà dell’ipotenusa. Poiché quest’ultima è proprio il raggio che è pari a 1 (per definizione di circonferenza goniometrica), allora il cateto minore è 1/2. Quindi il coseno di 60° è 1/2. Per ricavare il seno di 60, basta fare sostituire quindi:
sen²60°+(1/2)²=1
sen²60°=1-1/4=3/4
A questo punto applichiamo la radice quadrata al primo e al secondo membro dell’equazione per eliminare il quadrato.
sen60°=√3/2
COME RICORDARLO IN MANIERA SEMPLICE.
Hai visto quanto è stato facile ricavare il seno di 60°? Ovviamente non possiamo metterci a fare la dimostrazione ogni volta che ci vengono chiesti i valori delle funzioni goniometriche. E’ necessario impararle comunque a memoria, così da avere la risposta pronta durante le interrogazioni.
Non preoccuparti però, noi abbiamo un metodo semplice per ricordarli tutti! Gli angoli più ricorrenti sono 0°, 30°, 45°, 60° e 90°. Quelli successivi si possono ricavare con le regole degli archi associati. Quindi concentriamoci su questi primi 5 e consideriamo che:
– seno e coseno di 45° sono uguali e l’unico valore da ricordare è √2/2;
– l’angolo di 0 e 90° hanno valori di seno e coseno semplici, come 0 e 1, quindi non ci sono radici;
A questo punto non ci resta che ricordare gli angoli di 30° e 60°. Per ricavare istantaneamente quanto vale il seno di 60°, immagina la circonferenza goniometrica e i due segmenti formati da seno e coseno. Uno è più lungo dell’altro, in particolare il seno è maggiore del coseno. Per cui, visto che i valori da ricordare sono √3/2 (circa 0,86) e 1/2 (pari a 0,5), allora il seno è √3/2.
Tabella goniometrica
TABELLA GONIOMETRICA COMPLETA
Come leggere la tabella di valori: nella prima colonna trovi l’angolo in gradi e radianti. Nella seconda colonna ci sono i valori del seno, poi il coseno, infine i valori di tangente e cotangente.
I valori presenti all’interno della tabella goniometrica possono essere individuati anche attraverso l’uso della calcolatrice, ma il problema è che questa non fornisce generalmente i risultati con i radicali e le frazioni, ma semplicemente con un numero con la virgola.
COME FARE PER IMPARARLI A MEMORIA
Il dramma di tutti gli studenti che affrontano il programma di trigonometria è proprio imparare i valori della tabella goniometrica a memoria. Sono tanti e apparentemente non hanno alcun senso. Tuttavia c’è un metodo molto rapido per ricavare istantaneamente tutti i valori.
COME CAMBIANO I SEGNI
Hai presente la circonferenza goniometrica? E’ divisa in 4 spicchi, chiamati quadranti. Su ciascuno di questi seno e coseno assumono un segno differente. La tangente e la cotangente si ricavano dividendo i segni: segno del seno fratto segno del coseno.
– 1° (+;+) → Nel primo quadrante (in alto a destra) il seno e coseno entrambi positivi. Quindi anche tangente e cotangente positivi.
– 2° (+;-) → Nel secondo quadrante (in alto a sinistra) il seno è positivo, il coseno è negativo. Quindi tg e cotg sono negativi;
3° (-;-) → Nel terzo quadrante (in basso a sinistra) seno e coseno sono negativi. Quindi tangente e cotangente sono positivi;
4° (-;+) → Nel quarto quadrante (in baso a destra) seno positivo e coseno negativo. Quindi tangente e cotangente negativi.
COSA SUCCEDE NEL PRIMO QUADRANTE
L’angolo 0 e l’angolo a 90° hanno funzioni goniometriche opposte. Quindi basta ricordare che a 0 gradi il seno vale 0, quindi il coseno vale 1. Quindi la tangente (seno/coseno) vale 0 e la cotangente infinito. A 90° gradi si invertono seno e coseno, tangente con cotangente.
Nell’angolo di 30° il segmento del coseno è più lungo del segmento del seno. Dato che i valori in gioco sono 0,5 e radical 3/2 (circa 0,9), allora il seno è 1/2, il coseno è √3/2. Tangente e cotangente li ricaviamo al momento dividendo seno/coseno.
Approfondimenti: quanto vale il coseno di 30°?
A 60 gradi si inverte il valore del seno con quello del coseno, si inverte il valore della tangente con quello della cotangente.
A 45° devo semplicemente ricordarmi che seno e coseno sono uguali e pari a √2/2. Quindi tangente e cotangente sono pari a 1.
COSA SUCCEDE NEGLI ALTRI QUADRANTI?
Hai visto la figura precedente con l’angolo di 30°? Ebbene prova a disegnare su un foglio di carta l’angolo da 150°, ti renderai conto che è identico all’angolo di 30°, ma ribaltato a destra. Quindi i valori della tabella goniometrica saranno gli stessi: il seno sarà 1/2 e il coseno radical 3/2. Ma attento ai segni, perché abbiamo detto che il coseno sarà negativo.
La stessa cosa si può dire anche con l’angolo da 120°. E’ il ribaltato sul secondo quadrante dell’angolo di 60°. Per cui i valori della tabella goniometrica sono gli stessi, ad eccezione dei segni. Questo ragionamento si ripete sia nel terzo che nel quarto quadrante.