Valori seno e coseno di angoli notevoli
Quali sono i valori di seno e coseno che vanno ricordati? Esistono degli angoli notevoli più ricorrenti all’interno di problemi ed esercizi? E’ possibile avere una tabella degli angoli noti?
Risposta
Negli esercizi che dovrai svolgere con il programma di geometria analitica, ci saranno tantissimi tipi di angoli di cui calcolare le principali funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente). Tuttavia esistono alcuni angoli notevoli che si presenteranno più spesso rispetto ad altri.
I valori di seno e coseno degli angoli noti possono essere raggruppati all’interno di una tabella goniometrica che esplicita quanto valgono queste funzioni al variare dell’angolo.
VALORI DI SENO E COSENO PER ANGOLI NOTI
I seguenti valori che trovi in tabella si rispecchiano nell’andamento della funzione sinosoide e cosinusoide che rappresentano il seno e il coseno.
dove:
α° è il valore dell’angolo in gradi
α RAD è il valore dell’angolo in radianti
Puoi provare a calcolare i valori degli angoli noti di seno e coseno anche attraverso l’uso della calcolatrice. Prova a scrivere un angolo (ad esempio 90) sulla calcolatrice e premere il seno. Il risultato è 1. Tuttavia non tutte le calcolatrici sono efficaci. Se provi ad esempio a scrivere 45 e a premere il pulsante del coseno, il risultato potrebbe essere 0,707… Insomma non ci dà un risultato esatto! Per questa ragione il nostro consiglio è di imparare a memoria i valori di seno e coseno degli angoli noti.
UN CONSIGLIO PER MEMORIZZARLI
Hai fatto caso che i valori in tabella sono praticamente gli stessi? Gli unici numeri da imparare a memoria sono 0, 1, 1/2, √3/2 e √2/2. Ricordati che 0 e 1 si riferiscono a 0, 90, 180, 270 e 360°. Inoltre √2/2 si riferisce alle bisettrici dei quadranti degli assi cartesiani (come ad esempio 45°).
√3/2 e 1/2 si riferiscono quindi necessariamente a 30° e 60° e i valori di seno e coseno di questi angoli noti si invertono. Se guardi la tabella, infatti, ti accorgerai che il seno di 30° è uguale al coseno di 60°. Così anche il coseno di 30° e uguale al seno di 60°.
COME TROVARE SENO E COSENO DEGLI ALTRI ANGOLI
Ti capiterà sicuramente di avere a che fare con angoli differenti da quelli noti ricorrenti. Come mi muovo se devo calcolare il seno di 120°? Semplicemente considerando l’angolo di 120° come la somma di 90°+30°, due angoli noti. Oppure si può considerare 120° come la differenza tra 180° e 60°, altri due angoli noti.
Formule di bisezione seno e coseno, tabella e dimostrazione
Le formule di bisezione sono delle formule trigonometriche che permettono di calcolare seno, coseno, tangente e cotangente della metà di un angolo. La trasformazione avviene portando tutto in funzione del coseno.
ATTENZIONE: La formula di bisezione per la tangente è valida solo se viene soddisfatta la condizione di esistenza (denominatore diverso da 0). Cioè:
1+cosα≠0 → α≠180°+kπ
sinα≠0 → α≠kπ
ESEMPI SVOLTI
Determiniamo le funzioni goniometriche di 22,5°.
L’angolo su cui ci viene chiesto di eseguire uno studio è la metà dell’angolo di 45°. Per questa ragione possiamo calcolare seno, coseno e tangente di 45°/2.
DIMOSTRAZIONE FORMULE BISEZIONE SENO E COSENO
Si parte dalla formula di duplicazione del coseno per ottenere le formule di bisezione del seno e coseno. Abbiamo già visto nelle precedenti lezioni che possono essere anche scritte come:
Basta poi fare la radice quadrata delle formule di bisezione del coseno e del seno per ottenere quelle definitive che vedremo poi nella tabella riassuntiva.
DIMOSTRAZIONE FORMULA BISEZIONE TANGENTE E COTANGENTE
Trovate le formule di seno e coseno al quadrato, basta sfruttare le relazioni fondamentali della trigonometria per andare avanti con le dimostrazioni. Ecco come si fa la dimostrazione della formula bisezione della tangente.
FORMULE BISEZIONE, ESERCIZI SVOLTI
In questo ultimo paragrafo vedremo come si usano le formule di bisezione con degli esempi pratici con cui provare le formule appena calcolate.
ESERCIZIO SVOLTO 1
In questo primo facile esercizio, è stata applicata la formula di bisezione della tangente. Dopo pochi calcoli algebrici è stata applicata la razionalizzazione dei radicali moltiplicando e dividendo per la radice quadrata di 2.
ESERCIZIO SVOLTO 2
Sapendo che tga=2 e che 0<a<π, determiniamo tg(5/2 a).
Si tratta di un esercizio difficile ma che si basa su una sola riflessione. Non potendo fare la tangente di 5/2 dell’angolo, è necessario dividere quella frazione in due addendi che possiamo risolvere in maniera più semplice. Poiché 5/2 = 1/2 + 2, allora possiamo trasformare la traccia dell’esercizio:
Come puoi vedere è stato trasformato prima l’angolo 5/2 e poi è stata applicata la formula di addizione della tangente. A questo punto possiamo calcolare separatamente la tg2a attraverso le formule di duplicazione e la tga/2 con la formula di bisezione della tangente.
Teorema di Nepero o delle tangenti
Il teorema di Nepero è una formula utilizzata in trigonometria che permette di risolvere un generico triangolo nel caso in cui si conoscano le misure di due lati e dell’angolo compreso. Viene chiamato anche teorema delle tangenti perché nella formula principale compare l’uso diretto delle tangenti degli angoli.
Non capita spesso di utilizzare il teorema di Nepero, tanto che spesso viene tralasciato. Tuttavia merita un approfondimento, seppure breve, almeno per valutarne formula e potenzialità. Il nome di questa teorie viene dal matematico Nepero, lo stesso che formulò quello che oggi viene appunto chiamato numero di Nepero, fondamentale nello studio dei logaritmi.
FORMULA DEL TEOREMA DI NEPERO
Per prima cosa disegniamo un generico triangolo (quindi un triangolo scaleno) in cui andiamo ad indicare l’ampiezza degli angoli e la misura dei lati.
ENUNCIATO
In ogni triangolo, la somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti sta alla tangente della loro semidifferenza.
(oppure)
In ogni triangolo rettangolo la somma di due lati sta alla loro differenza come la cotangente della metà dell’angolo compreso sta alla tangente della semidifferenza degli angoli opposti.
FORMULE
CONSIDERAZIONI SUL TEOREMA DI NEPERO
Dato si tratta di formule non molto utilizzate, ne tralasciamo la dimostrazione. Facciamo invece alcune considerazioni di carattere pratico. Quando si usa questo teorema negli esercizi di trigonometria?
– quando è noto un lato e due angoli
– quando sono noti due lati e l’angolo compreso
Perché il teorema delle tangenti viene usato poco? Perché sostanzialmente non permette di arrivare sempre ad una soluzione semplice. Può capitare infatti che porti a calcolare la tangente della somma di due angoli, di cui magari uno è incognito. Per questa ragione si preferisce in genere sfruttare molto più facilmente e rapidamente il teorema del seno.
Teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria
I teoremi della trigonometria sui triangoli rettangoli sono delle formule che mettono in relazione i cateti, l’ipotenusa e gli angoli del generico triangolo rettangolo. Nelle formule trigonometriche compaiono le funzioni goniometriche, cioè seno, coseno, tangente e cotangente.
I teoremi dei triangoli rettangoli in trigonometria sono utili per risolvere tantissimi tipi di problemi geometrici e potranno essere utilizzati anche in numerose applicazioni nel proseguo degli studi. Capita spesso anche nel problema dell’esame di stato di dover risolvere un triangolo rettangolo usando le formule trigonometriche.
Le formule trigonometriche sui triangoli rettangoli che vedremo in questa lezione vanno ad aggiungersi a quelle note della geometria euclidea e che hai già studiato alle scuole medie. Puoi trovare una tabella riepilogativa alla lezione sulle formule del triangolo rettangolo.
Di seguito indicheremo con A, B e C i vertici (disposti in genere in senso antiorario) di un triangolo qualsiasi, con α (alfa) β (beta) γ (gamma) le misure degli angoli di vertici rispettivamente A, B e C. Se il triangolo è rettangolo indicheremo con A il vertice dell’angolo retto e quindi con a la misura dell’ipotenusa, mentre b e c sono le misure dei due cateti e β e γ i due angoli acuti.
PRIMO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto ad esso oppure per il coseno dell’angolo acuto ad esso adiacente.
AB = BC · senγ
AB = BC · cosβ
AC = BC · senβ
AC = BC · cosγ
Attraverso il primo teorema della trigonometria, in un triangolo rettangolo si può ottenere la misura del cateto conoscendo l’ipotenusa e il seno (o il coseno) dell’angolo opposto (o adiacente)
FORMULE INVERSE
Sfruttando invece le formule inverse del primo teorema della trigonometria si possono trovare l’ipotenusa o gli angoli (ovviamente bisogna applicare l’arcoseno o l’arcocoseno). Per esempio dalla prima delle quattro formule viste, si possono ricavare:
– AB = BC · senγ → senγ = AB/BC → γ = arcsen(AB/BC)
– AB = BC · senγ → BC = AB/senγ
DIMOSTRAZIONE TEOREMA TRIGONOMETRIA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Partiamo dalla circonferenza goniometrica e dalla definizione di seno e coseno.
Per le definizioni viste avremo:
senγ=AB/BC
cosγ=AC/BC
Nel caso della circonferenza goniometrica, il raggio BC era pari a 1. Nel caso invece di un triangolo rettangolo generico, l’ipotenusa ha una misura generica. Con un semplice passaggio algebrico, alle due formule appena viste passiamo alle seguenti:
AB = senγ · BC
AC = cosγ · BC
L’angolo α=90°, mentre gli β e γ sono tra loro complementari. Questo significa che senβ=cosγ e senβ=senγ. Per cui possiamo scrivere le formule del primo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo:
AB = senγ · BC = cosβ · BC
AC = cosγ · BC = senβ · BC
SECONDO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto oppure per la cotangente dell’angolo acuto ad esso adiacente.
AB = AC · tgγ
AB = AC · cotgβ
AC = AB · tgβ
AC = AB · cotgγ
Attraverso il secondo teorema della trigonometria sul triangolo rettangolo, si può trovare un cateto avendo la misura dell’altro cateto e un angolo, opposto o adiacente non importa.
FORMULE INVERSE
Attraverso un semplice passaggio algebrico si possono ottenere le formule inverse che permettono sostanzialmente di trovare l’angolo conoscendo i due cateti. Bisogna ovviamente applicare l’arcotangente per avere la misura in gradi o radianti. Per esempio, dalla prima formula:
AB = AC · tgγ → γ = arctg(AB/AC)
DIMOSTRAZIONE II TEOREMA TRIGONOMETRIA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Sappiamo che la tangente di un angolo non è altro che il coefficiente angolare della retta. Dovendo scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto B possiamo scrivere:
dove:
m = coefficiente angolare = tgγ
q = intercetta all’origine = 0
y = AB
x = AC
Ricomponendo l’equazione otteniamo la formula trigonometrica:
AB=tgγ · AC
Poiché l’angolo γ e β sono tra loro complementari, allora tgγ=cotgβ, per cui
AB= AC · cotgβ
COME SI USANO QUESTI TEOREMI?
Le formule di trigonometria sui triangoli rettangoli vengono usate per risolvere problemi in cui vengono richieste le misure di cateti, angoli o ipotenusa. In particolare, per capire quali di questi 2 teoremi usare, basta valutare quali sono gli elementi noti:
CASO 1 – SONO NOTI 2 CATETI
In questo caso si possono trovare immediatamente gli angoli
γ=arctg(AB/AC)
β=arctg(AC/AB)
Si può a questo punto calcolare anche l’ipotenusa sfruttando il primo teorema della trigonometria:
BC=AB/senγ
Ovviamente l’ipotenusa può anche essere calcolata con il teorema di Pitagora.
CASO 2 – SONO NOTI 1 CATETO E L’IPOTENUSA
In questo caso si applica subito la prima formula trigonometrica per trovare l’angolo:
AB=BC·senγ → γ=arcsin(AB/BC)
L’angolo β lo possiamo a questo punto calcolare semplicemente come β=90°- γ. L’ultimo cateto invece può essere calcolato con Pitagora.
CASO 3 – SONO DATI IL CATETO E UN ANGOLO ACUTO
Dato γ, possiamo subito calcolare β come angolo complementare: β=90°- γ. A questo punto posso calcolare anche l’ipotenusa come AB = senγ · BC. L’ultimo cateto possiamo infine ricavarlo con il teorema di Pitagora.
CASO 4 – SONO NOTI L’IPOTENUSA E UN ANGOLO ACUTO
Anche in questo caso possiamo usare la formula inversa del primo teorema trigonometrico.
AB=senγ·BC → BC=AB/senγ
Avendo calcolato il cateto, possiamo calcolare il secondo angolo acuto come β=90°- γ, mentre l’ultimo cateto sempre con il teorema di Pitagora.
CONCLUSIONI
I teoremi sui triangoli rettangoli della trigonometria permettono di poter risolvere completamente un triangolo. Sono sufficienti cioè 2 informazioni note (cateto, ipotenusa, angoli) per poter determinare tutto il resto.
Disequazioni goniometriche
Le disequazioni goniometriche sono delle disequazioni nelle quali la variabile x compare anche come argomento di una o più funzioni goniometriche. Ecco alcuni esempi di disequazioni trigonometriche:
cosx>0; sen²x-senx-2<o;
tgx>secx; 1-sen²x<0;
x-cotgx≤0; x²+x-senx≥0.
Per risolvere le disequazioni goniometriche è necessario determinare tutti i valori dell’incognita per i quali essa è soddisfatta. Si tratta cioè di determinare tutti gli angoli x che verificano la disuguaglianza tra i due membri della disequazione goniometrica stessa.
Valgono gli stessi principi che regolano la risoluzione delle disequazioni algebriche. E’ necessario però tener conto del particolare andamento delle funzioni seno, coseno, tangente, … al fine di determinare gli intervalli che costituiscono le soluzioni della disequazione goniometrica.
DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
Quelle che hai appena visto sono la forma base più semplice che possa essere trovata negli esercizi. L’obiettivo è sempre ricondursi ad una di queste quattro diseguaglianze elementari. Per ciascuna di queste ci sarà un risultato differente. Vediamo singolarmente i casi appena presentati.
CASO 1
Immaginiamo di avere la disequazione goniometrica elementare senx>m. Per quanto detto nello studio della funzione seno, quest’ultima esiste solo per valori compresi tra -1 e +1. Questo vuole dire che, per senx>m:
– se m<-1, la disequazione è sempre verificata, cioè è valida ∀x∈R.
– se m>+1, la disequazione è impossibile.
– se -1<m<+1, analizziamo il grafico in figura:
Le soluzioni sono date dagli intervalli dei valori dell’arco x per i quali il grafico della funzione si trova sopra il grafico della sinusoide:
Le soluzioni delle disequazioni trigonometriche elementari con il seno sono date dagli intervalli dei valori dell’angolo x per i quali il grafico della sinusoide si trova sopra la retta y=m. Considerando solo l’intervallo che va da 0 a 2π, gli angoli per i quali senx=m sono in figura α e β. Possiamo quindi scrivere le soluzioni della disequazione nel seguente modo:
Α+2KΠ < X < Β+2KΠ
Si procede in modo del tutto analogo nel caso si debba risolvere la disequazione goniometrica elementare senx<m (oppure senx≤m). Ricordiamo soltanto che, in questo caso, se m<-1 la disequazione è impossibile. Se m>1 la disequazione è verificata sempre cioè ∀x∈R.
Esempio
Risolviamo la disequazione goniometrica 2senx-1≤0
Abbiamo senx≤1/2
Rappresentiamo graficamente la situazione:
Analizzando il grafico si può dedurre che la disequazione goniometriche è verificata per
2kπ < x <π/6+2kπ ∪ 5/6π+2kπ < x <2π+2kπ
CASO 2
Immaginiamo di avere cosx>n.
– Se n<-1, la disequazione è verificata sempre, cioè ∀x∈R.
– Se n>1, la disequazione è impossibile.
– Se -1≤n≤+1, analizziamo il grafico della cosinusoide.
Le soluzioni della disequazione goniometrica sono date dagli intervalli dei valori di x per i quali il grafico della funzione y=cosx si trova sopra il grafico della retta y=n. In tali intervalli è infatti verificata la disuguaglianza cosx>n. Chiamati α e β gli angoli, compresi tra 0 e 2π, per i quali il coseno ha valore n, possiamo scrivere le soluzioni della disequazione nel seguente modo:
2KΠ ≤ X≤Α+2KΠ ∪ Β+2KΠ<X<2Π+2KΠ
In modo del tutto analogo si procede per la risoluzione dell’equazione goniometrica elementare cosx<n (oppure cosx≤n); in questo caso, se n<-1 la disequazione è impossibile. Se n>1 la disequazione è verificata ∀x∈R.
Esempio
Risolviamo la disequazione trigonometrica 2cosx+√2≥0
Iniziamo sistemandoci tutti i termini al posto giusto:
cosx≥-√2/2
Rappresentiamo graficamente la funzione coseno e la retta orizzontale y=-√2/2.
I valori che soddisfano la disequazione goniometrica sono tutti quelli che stanno al di sopra la retta orizzontale disegnata. Per cui possiamo dire che la soluzione dell’esercizio è:
2kπ < x <3/4π+2kπ ∪ 5/4π+2kπ < x <2π+2kπ
CASO 3
Analogamente a quanto fatto con i primi due casi, analizziamo tgx>p. Si tracci il grafico della tangente:
Detto α (con 0<α<π, α≠π/2) l’arco per il quale la tangente ha valore p, possiamo scrivere le soluzioni della disequazione goniometrica come segue:
KΠ+Α< X<Π/2+KΠ
Dovendo risolvere la disequazione tgx>p con p<0, si dovrà tenere presente che l’angolo α (compreso tra 0 e 180°) per il quale la tangente ha valore p, è maggiore di π/2. Le soluzioni si scriveranno come segue:
KΠ+Α≤X<Π/2+KΠ ∪ Α+KΠ<X<Π+KΠ
Considerazioni analoghe valgono per la risoluzione delle disequazioni goniometriche elementari con tgx<p (o con il simbolo minore e uguale).
Esempio
Risolviamo la disequazione trigonometrica 3tg²x-2√3tgx+1>0
Si tratta di un polinomio che può essere ridotto a quadrato di binomio. Per cui si ottiene:
(√3tgx-1)²>0
Essendo un quadrato sempre positivo o al limite nullo, la disequazione è soddisfatta per i seguenti valori di tgx.
tgx≠+√3/3
ossia dai seguenti valori dell’angolo x:
x≠π/6+kπ ∪ x≠π/2+kπ
CASO 4
Come nei casi precedenti, sia cotgx>q. Analizziamo il grafico in figura:
Poiché il codominio della funzione y=cotgx è l’insieme R dei numeri reali, la disequazione cotgx>q è sempre risolvibile.
Detto α l’angolo per il quale la cotangente ha valore q (0<α<π), possiamo scrivere le soluzioni della disequazione goniometrica nel seguente modo:
KΠ< X<Α+KΠ
Considerazioni analoghe valgono per la risoluzione della disequazione cotgx<q (e con il segno minore e uguale).
Esempio
Risolviamo la disequazione trigonometrica cotgx>√3
Rappresentiamo graficamente la traccia dell’esercizio:
La disequazione è verificata per
kπ<x<π/6+kπ
UN METODO DI RISOLUZIONE ALTERNATIVO
Le disequazioni goniometriche elementari possono essere anche risolte con l’ausilio della circonferenza goniometrica, oltre che con il metodo appena presentato. Ad esempio, la disequazione senx≤1/2 che abbiamo trattato nel primo esempio, può essere risolta facendo riferimento alla figura seguente.
Si inizia prendono quei valori degli angoli per cui il seno vale 1/2. Cioè l’angolo π/6 e 5/6π. Sopra la linea tratteggiata ci sono tutti gli angoli che hanno un seno superiore a 1/2. Sotto la linea tratteggiata ci sono tutti quegli angoli che rispettano la disequazione trigonometrica senx<1/2. Per cui si ottengono le soluzioni:
2kπ < x <π/6+2kπ ∪ 5/6π+2kπ < x <2π+2kπ
CONCLUSIONI
Abbiamo visto come risolvere le disequazioni goniometriche elementari in due diversi metodi. La scelta dell’uno o dell’altro è soggettiva e, come dimostrato, non cambia il risultato ottenuto. Anche negli esercizi più complessi sarà necessario ricondursi ad una di queste 4 forme base. Sei pronto quindi ora per passare alle disequazioni goniometriche non elementari.
Esercizi sulle equazioni goniometriche
ESERCIZI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
ESERCIZIO 1
2senx=1
Otteniamo subito senx=-1/2 e, visto che sen210=-1/2, possiamo scrivere che l’equazione è soddisfatta per:
x=210°+2k·180° ∪ x=330°+2k·180°
Applicando la conversione gradi radianti, il risultato dell’esercizio è:
x=7/6π+2kπ ∪ x=11/6π+2kπ
Ricordiamo che se α è un angolo per cui senα=m, anche l’angolo (180°-α) ha seno uguale a m. Se hai bisogno di un approfondimento sull’argomento ti consigliamo di leggere la lezione sugli archi associati. Nel nostro caso α=210°, 180°-α=180°-210°=-30° e quest’ultimo angolo non è altro che l’angolo di 330°.
ESERCIZIO 2
cos(x-30°)=√3/2
Poiché cos30° =√3/2, possiamo scrivere:
x-30°=30°+2k·180° ∪ x-30°=-30°+2k·180°
Spostando il 30° che compare al primo membro a destra dell’equazione goniometrica, otteniamo:
x=60°+2k·180° ∪ x=2k·180°
ESERCIZIO 3
tgx=√3
Poiché tg(π/3)=√3, possiamo scrivere le soluzioni come segue:
x=π/3+kπ
Da notare come la periodicità della funzione tangente sia espressa in questo caso da kπ, mentre nel seno e coseno è data da 2kπ. Questo perché la tangente è periodica per ogni 180°.
ESERCIZIO 4
2 sen(x+π/4)=√2
Il primo passaggio è quello di spostare il 2 al secondo membro dell’equazione. Otteniamo quindi:
sen(x+π/4)=√2/2
Ricordando che il seno di 45° vale proprio √2/2, possiamo quindi dire che l’esercizio sull’equazione goniometrica si risolve per:
x+π/4=π/4+2kπ ∪ x+π/4=3/4 π + 2kπ
Ossia:
x=2kπ ∪ x=π/2+2kπ
ESERCIZIO 5
tg(2x-30°)
Poiché tg135°=-1, scriviamo le soluzioni come segue:
2x-30°=135°+k·180°
da cui otteniamo:
2x=165°+k·180°
Dividendo tutto per 2, si arriva alla soluzione finale:
x=82°30’+k·90°
ESERCIZI EQUAZIONI GONIOMETRICHE RICONDUCIBILI ALLE ELEMENTARI
ESERCIZIO 1
8sen³x+1=0
La prima operazione da fare è provare a scomporre questo polinomio di terzo grado. Troverai nelle lezioni sulle scomposizioni di polinomi anche una regola che vale per la somma di cubi.
x³ + a³ = (x+a)(x²-ax+a²)
Allora il nostro esercizio diventa:
(2senx+1)(4sen²x-2senx+1)=0
per la legge dell’annullamento del prodotto, possiamo individuare le soluzioni dell’equazione svolta ponendo:
2senx+1=0 ∪ 4sen²x-2senx+1=0
Otteniamo così due piccoli esercizi sulle equazioni goniometriche: il primo è elementare. Dalla prima equazione otteniamo:
senx=-1/2
da cui x=7/6π+2kπ ∪ x=11/6π+2kπ
Dalla seconda equazione non otteniamo alcuna radice reale. Se provi infatti ad applicare le regole delle equazioni di secondo grado, avrai un delta negativo. Per cui non ci sono soluzioni reali.
ESERCIZIO 2
2cos²x-cosx+1=0
Ponendo cosx=y, otteniamo un’equazione di secondo grado.
2y²-y-1=0
Le due soluzioni, applicando il metodo del delta, sono:
y=-1/2 ∪ y=1
Sostituendo di nuovo y=cosx, perveniamo così a due mini esercizi sulle equazioni goniometriche elemetari:
cosx=-1/2 e cosx=1
le quali risultano verificate rispettivamente per:
x=±2/3π+2kπ (soluzioni di cosx=-1/2)
x=2kπ (soluzioni di cosx=1)
ESERCIZIO 3
3tg²x-1=0
Iniziamo a scomporre il binomio della traccia, applicando la regola della differenza di quadrati. Attenzione: affinché l’equazione abbia un significato è che x≠90°+k180° (condizione di esistenza)
(√3tgx-1)(√3tgx-1)=0
Per la legge dell’annullamento del prodotto possiamo scrivere che:
√3tgx-1=0 → tgx=√3/3 → x=30°+kπ
√3tgx+1=0 → tgx=-√3/3 → x=150°+kπ
Da notare come a questo passaggio (che ti abbiamo segnato in blu) siamo arrivati attraverso una razionalizzazione del radicale. Si trovava infatti radice di 3 al denominatore ed abbiamo provveduto a portarlo al numeratore.
Il risultato di questo esercizio è quindi:
x=30°+kπ ∪ x=150°+kπ
ESERCIZIO 4
cotg²x-cotgx=0
Perché l’equazione abbia significato deve essere x≠kπ (condizione di esistenza)
Possiamo effettuare la messa in evidenza totale, da cui otteniamo:
cotgx(cotgx-1)=0
Per la legge dell’annullamento del prodotto possiamo determinare le soluzioni dell’equazione assegnata risolvendo le equazioni elementari:
cotgx=0 e cotgx-1=0
La prima è soddisfatta per x=π/2+kπ.
Le seconda è soddisfatta per x=π/4+2kπ.
ESERCIZIO 5
2sen³x-5sen²x+senx+2=0
Guarda la forma di questo esercizio… non ti ricorda in tutto e per tutto un’equazione di terzo grado? Proviamo infatti a sostituire senx=y ed otteniamo:
2y³-5y²+y+2=0
Possiamo scomporre il primo membro dell’equazione utilizzando la regola di Ruffini. Da notare che y=1 è uno zero del polinomio (cioè sostituendo y=0 otteniamo l’identità 0=0, per cui
(y-1)(2y²-3y-2)=0
sostituendo di nuovo senx=y, otteniamo il prodotto:
(senx-1)(2sen²x-3senx-2)=0
da cui, per la legge dell’annullamento del prodotto:
senx=1 ∪ 2sen²-3senx-2=0
Dall’equazione senx=1, otteniamo le soluzioni x=π/2+2kπ
Dall’equazione 2sen²-3senx-2=0 otteniamo:
senx=-1/2 ∪ senx=2 (abbiamo semplicemente usato la regola del delta per le equazioni di secondo grado)
Per cui:
senx=-1/2 → x=7/6π+2kπ ∪ x=11/6π+2kπ
senx=2 → nessuna soluzione, perché il seno non può essere maggiore di +1.
L’esercizio svolto quindi ammette soluzioni:
x=π/2+2kπ ∪ x=7/6π+2kπ ∪ x=11/6π+2kπ
Equazioni goniometriche
Schema per risolverle facilmente
Le equazioni goniometriche sono delle equazioni in cui l’incognita compare come argomento delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, cotangente). Esistono vari metodi per risolverle a seconda della tipolog
COSA SONO LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE
Si dice equazione goniometrica quella in cui l’incognita x compare come argomento di una o più funzioni trigonometriche. Vediamo subito un facile esempio:
– senx=1/2
– senx+cosx=1
– x cosx-1=0
– x-tgx=0
Come puoi vedere la x compare proprio all’interno di seno, coseno, tangente e cotangente, per cui i metodi che abbiamo fino ad ora studiato per risolvere le equazioni e disequazioni vanno ampliati. Per risolvere le equazioni goniometriche è necessario trovare quegli angoli che verificano l’uguaglianza tra i due membri dell’equazione stessa.
EQUAZIONI GIONIOMETRICHE ELEMENTARI
Prima di partire con le espressioni goniometriche più difficili, vediamo la forma base, la più semplice in assoluto. Il nostro obiettivo sarà, in tutti gli esercizi, cercare di ricondurci a una di queste 4 forme.
senx=m
cosx=n
tgx=p
cotgx=q
Queste quattro che ti abbiamo elencato vengono dette equazioni goniometriche elementari. Analizziamo ora singolarmente i vari casi e per ciascuna vedremo i metodi di risoluzione. Ecco una tabella molto schematica che ti aiuterà a comprendere meglio l’argomento.
SENX=M
Per risolvere questa prima equazione goniometrica è necessario che -1<=m<=1 (cioè m deve essere compreso o uguale da -1 e +1). In maniera molto semplice l’esercizio ti chiede di trovare quell’angolo x il cui valore del seno è pari a m. Poiché i valori del seno si ripetono ogni 360 gradi, allora possiamo dire che la soluzione sarà valida per ogni 2kπ.
x=a+2kπ
COSX=N
Anche in questo caso per risolvere l’equazione goniometrica è necessario che –1<=n<=1 (cioè n deve essere compreso o uguale a -1 e +1). In caso contrario l’equazione è impossibile. L’esercizio ci chiede di trovare il valore di quell’angolo il cui coseno è pari a n. Vale (per i 2kπ) quanto già detto con le equazioni con il seno.
x=a+2kπ
TGX=P
La condizione di esistenza, affinché l’equazione non sia impossibile, è che x deve essere diverso da 90° (cioè π/2 espresso in radianti). Per risolvere le equazioni elementari con la tangente è necessario trovare quell’angolo la cui tangente è pari a p. Poiché la tgx è una funzione periodica – cioè che si ripete – ogni 180°, allora il risultato sarà valido per ogni kπ.
x=a+kπ
COTGX=Q
Deve valere la condizione x diverso da kπ. E’ necessario ora trovare quell’angolo x la cui cotangente è proprio q. Vale lo stesso discorso della periodicità della tangente, per cui anche le equazioni con la cotangente sono valide ogni kπ.
x=a+kπ
ESEMPI SULLE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
ESERCIZIO 1
Ecco come ragionare per risolvere le equazioni goniometriche: l’esercizio mi chiede qual è quel valore dell’angolo per cui il seno vale 1/2. Poiché il seno di 30° e il seno di 150° sono uguali a 1/2, allora possiamo scrivere:
In questo secondo esercizio la traccia sostanzialmente ci ha chiesto: qual è quel valore dell’angolo x per cui il coseno vale radical 3 fratto 2? Ricordando che il coseno di 30 gradi e di 330 gradi valgono proprio radical 3 fratto 2, allora si arriva alla soluzione in un unico passaggio.
REGOLA GENERALE PER RISOLVERE LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE
Ogni volta che ti trovi di fronte ad un’equazione goniometrica elementare, poniti la domanda: che angolo devo trovare affinché la funzione trigonometrica mi restituisca quel valore? Disegna (se necessario) la circonferenza goniometrica, oppure stampa le nostre tabelle sui valori di seno e coseno.
Ecco altri 2 esempi svolti con la soluzione, ti trovi con il risultato?
EQUAZIONI GONIOMETRICHE RICONDUCIBILI AD ELEMENTARI
Alcune equazioni pur essendo non elementari, possono considerarsi riconducibili alla prima tipologia che abbiamo visto. A volte è sufficiente eseguire qualche passaggio algebrico, a volte se si presentano più funzioni goniometriche è possibile esprimerle attraverso una sola di esse (riguardati le relazioni generali della trigonometria), altre volte è possibile applicare le formule degli archi associati.
Chiariamo questo concetto con degli esercizi svolti:
Come puoi vedere i primi passaggi sono determinanti. Avendo una funzione al quadrato, vuol dire che l’equazione non è elementare. Posso però applicare la regola della moltiplicazione di una somma per una differenza. Successivamente applicando la regola dell’annullamento del prodotto si arriva facilmente alla soluzione. Prova a guardare ora quest’altro esercizio svolto:
In quest’ultimo esempio i metodi di risoluzione erano due: noi abbiamo preso la strada più breve cioè usando la scomposizione del quadrato di binomio. In realtà si poteva scomporre quest’equazione trinomia con il metodo del delta che hai imparato con le equazioni di secondo grado. Questo esercizio svolto infatti altro non era che un’equazione goniometrica riconducibile a elementare di secondo grado. Per risolverla sono semplicemente necessarie opportune scomposizioni iniziali.
RICONDUCIBILI AD ELEMENTARI CON LE FORMULE GONIOMETRICHE
Alcune equazioni goniometriche possono essere ridotte ad elementari, attraverso l’applicazione di opportune formule di addizione o sottrazione, oppure con le formule di duplicazione o bisezione, prostaferesi o Werner. Cerchiamo subito di chiarire questo concetto con 2 esempi:
In questo primo esempio abbiamo semplicemente applicato la formula di addizione, risolto pochi facili passaggi algebrici per arrivare alle equazioni goniometriche elementari rapidamente e quindi alla soluzione. Niente di particolarmente complesso, per cui vediamo un altro esercizio svolto…
L’ultimo esempio fa parte delle equazioni goniometriche con le formule di Prostaferesi (se non le ricordi ecco un file doc per poterle rivedere). Solo così possiamo da moltiplicazione a somma con le funzioni trigonometriche e ottenere la soluzione.
EQUAZIONI GONIOMETRICHE LINEARI
Un equazione lineare in seno e coseno si presenta nella forma a senx + b cosx = c. Distinguiamo ora due casi:
C=0
allora conviene dividere tutta l’equazione per cosx ottenendo:
a senx/cosx + b cosx/cosx = 0
a tgx + b = 0
tgx=-b/a
ossia un’equazione elementare.
C DIVERSO DA ZERO
In questo caso ci sono due metodi di risoluzione altrettanto validi. Il primo consiste nel risolvere le equazioni goniometriche con le formule parametriche. E’ il metodo più veloce e semplice (se ricordi le formule) per cui te lo consigliamo. Ecco degli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche parametriche:
Il secondo che ti stiamo presentare è il metodo grafico per le equazioni goniometriche lineari. Data l’equazione generica asenx+bcosx=c, possiamo porre senx=X e cosx=Y. Ricordando la relazione fondamentale della trigonometria (seno al quadrato più coseno al quadrato uguale a 1), possiamo scrivere il seguente sistema:
Sostanzialmente le due figure che si generano l’equazione di una retta e di una circonferenza. Dalla loro intersezione, quindi risolvendo il sistema indicato (se non ricordi come fare riguardati la nostra lezione sui sistemi di equazioni), otterrai le soluzioni dell’equazione lineare. Vediamo un esempio:
EQUAZIONI GONIOMETRICHE OMOGENEE
Le equazioni che si presentano nella forma:
si dicono omogenee di 2 grado in seno e coseno, perché tutti i termini sono di secondo grado. Per risolvere le equazioni omogenee in trigonometria si divide tutto per il coseno al quadrato (supposto che cosx=0 non è una soluzione del sistema, cioè effettuate le dovute condizioni di esistenza). In questo modo si esprime tutto in funzione della tangente. Vediamo subito un esempio:
La prima cosa da fare è chiederci: cosx=0 può essere una soluzione? Poiché per cosx=0, x=90°+2k180°, basta che vado ad inserire 90° nell’equazione. Se esce 0 allora anche la x che abbiamo verificato è una soluzione. Possiamo ora affrontare il calcolo:
Sono perfettamente identiche le equazioni trigonometriche riconducibili ad omogenee. L’unica differenza è che dovrai ingegnarti all’inizio con alcuni passaggi algebrici per poterti ridurre alla condizione di equazione omogenea.