Teorema di Carnot o Teorema del coseno
Si chiama Teorema di Carnot oppure Teorema del Coseno e permette di calcolare rapidamente la misura di un lato di un generico triangolo date le misure degli altri due lati e del loro angolo compreso.
Questo teorema si traduce in una formula trigonometrica estremamente utile nello svolgimento di esercizi e problemi. Assieme al teorema dei seni, il teorema del coseno (o teorema di Carnot) è una delle poche formule applicabili a qualsiasi tipo di triangolo.
Enunciato: in ogni triangolo, il lato di un quadrato è pari alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto dei due lati per il coseno dell’angolo tra loro compreso.
Sembra difficile da ricordare eppure, tra poco, ti renderai conto di quanto questo teorema sia semplice. Cerchiamo di tradurre con linguaggio matematico la definizione del teorema del coseno.
FORMULA DI CARNOT
Disegniamo innanzitutto un generico triangolo assegnando nomi a vertici ed angoli.
SPIEGAZIONE SEMPLIFICATA
Vediamo passo passo come l’enunciato ci porta alla formula. Dato il generico triangolo ABC, vogliamo calcolare il lato AB.
Il teorema del coseno ci dice che il lato AB al quadrato è pari alla somma dei quadrati degli altri due lati…
AB² = AC²+BC² …
… meno il doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo tra loro compreso. Gli altri due lati sono BC e AC, mentre l’angolo compreso tra questi lo abbiamo indicato con la lettera γ. Per cui la formula sarà:
AB² = BC² + AC² – 2·BC·AC·cosγ
Ovviamente il calcolo si può ripetere con tutti i lati del triangolo, ecco la ragione per cui abbiamo scritto 3 formule per il teorema di Carnot.
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DEL COSENO
Vediamo a questo punto come si dimostra il teorema di Carnot. Disegniamo il triangolo generico e l’altezza relativa al lato AB.
Consideriamo il triangolo rettangolo AHC ed utilizziamo le formule dei teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria. Possiamo così calcolare quindi l’altezza disegnata CH e il cateto AH e il in funzione del lato noto AC, ipotenusa del triangolo AHC.
Cateto = ipotenusa per il seno dell’angolo opposto o per il coseno dell’angolo adiacente
CH = AC · senα
AH = AC · cosα
Osservando il triangolo ABC, in particolar modo il segmento AB, possiamo notare che vale la relazione:
AB = AH + HB e quindi HB = AB-AH (abbiamo solo spostato i membri dell’equazione da una parte all’altra cambiando i segni).
Avendo calcolato AH, possiamo sostituire:
HB = AB – AH → HB = AB – AC cosα
Applichiamo a questo punto il teorema di Pitagora al secondo triangolo rettangolo BCH.
BC² = CH² + HB² e sostituiamo con HB appena calcolato e con l’HC che abbiamo calcolato prima (evidenziato in grassetto).
BC² = (AC senα)² + (AB – AC cosα)²
Sviluppiamo le operazioni algebriche. Da notare che al secondo membro c’è un quadrato di binomio, per cui non dimentichiamoci del doppio prodotto.
BC² = AC² sen²α + AB² + AC² cos²α – 2 AB AC cosα
Osserviamo che c’è un termina con AC² che può essere messo in evidenza. Facciamo quindi il raccoglimento a fattor comune.
BC² = AC² (sen²α + cos²α) + AB² – 2 AB AC cosα
Una delle relazioni fondamentali della trigonometria sottolinea come il seno al quadrato più il coseno al quadrato sono pari a 1, per cui:
BC² = AC² + AB² – 2 AB AC cosα
TEOREMA DEL COSENO E TEOREMA DI PITAGORA
Osservando bene la formula, ti renderai conto che il teorema di Carnot è molto simile al teorema di Pitagora, con la differenza che il primo è valido per tutti i triangoli, il secondo solo per i triangoli rettangoli.
Infatti si dice che il teorema del coseno è una generalizzazione di Pitagora. Avendo il triangolo rettangolo un angolo pari a 90° ed essendo il coseno di 90° pari a 0, allora applicando Carnot ottieni proprio la formula del teorema di Pitagora
AB² = BC² + AC² – 2 BC AC cosγ
γ= 90° → cosγ = cos90° = 0
AB² = BC² + AC²
ESERCIZI CON IL TEOREMA DEL COSENO
PROBLEMA 1
Dato il triangolo ABC, calcolare la misura del lato AB sapendo che gli altri due lati misurano 5 e 10 cm e l’angolo tra essi compreso ha ampiezza pari a 30°.
Svolgimento
Abbiamo già tutti i dati a disposizione per applicare il teorema di Carnot. Scriviamo quindi subito la formula:
AB² = BC² + AC² – 2 BC AC cosγ
AB² = (5)² + (10)² – 2 (5)(10) cos30°
Poiché il coseno di 30 gradi è pari a radical 3 fratto 2, allora il risultato sarà:
AB² = 25 + 100 – 50√3 = 125 – 50√3 = 38,4 cm²
AB = 6,2 cm
PROBLEMA 2
Determinare la misura di uno degli angoli del triangolo che ha per lati a=√3cm b=1cm e c=2cm
Svolgimento
In questo caso, visto che ci viene chiesto di calcolare l’ampiezza degli angoli, dovremo far riferimento alle formule inverse del teorema del coseno.
AB² = BC² + AC² – 2 BC AC cosγ
2 BC AC cosγ = BC² + AC² – AB²
cosγ = (BC² + AC² – AB²) / (2 BC AC)
cosγ = (1² + 2² – √3²) / (2·1·2) = (1+4-3)/(4) = 2/4 = 1/2
A questo punto possiamo calcolare l’angolo dal coseno semplicemente sfruttando l’arcocoseno.
γ = arccos(1/2) = 60°
Teorema dei seni
Il teorema dei seni stabilisce che in un generico triangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto resta costante.
QUANDO SI APPLICA E A CHE SERVE?
Il teorema del seno è valido per qualsiasi tipo di triangolo. Può essere quindi applicato sia ai triangoli rettangoli, che isosceli o equilateri.
Si tratta di uno dei più importanti teoremi di trigonometria, perché si rivela utilissimo negli esercizi e nei problemi sui triangoli in cui c’è bisogno di conoscere la misura di un angolo o di un lato.
TEOREMA DEI SENI: FORMULA E DEFINIZIONE
Oltre alla prima definizione, che abbiamo dato all’inizio di questa lezione, il teorema del seno (o dei seni) si può anche definire in un secondo modo.
In ogni triangolo i rapporti tra le misure dei lati e il seno degli angoli opposti sono costanti ed uguali tra loro.
Dato il triangolo scaleno ABC, indichiamo con le lettere α β γ i tre angoli interni.
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DEI SENI
Proviamo ora a dimostrare la validità di questo teorema. Ridisegniamoci il generico triangolo, cercando di ricondurlo ad un problema già risolto. In trigonometria sappiamo risolvere bene i triangoli rettangoli, per cui tracciamo l’altezza, dividendo la figura in due triangoli rettangoli.
Andiamo ora ad applicare i teoremi sui triangoli rettangoli della trigonometria.
Dato il triangolo HCB, rettangolo in H, possiamo scrivere che:
h=c · sinβ
Dato il triangolo AHC, rettangolo in H, possiamo scrivere che:
h=b · sinγ
Uguagliando le due quantità otteniamo che:
b · sinγ = c · sinβ
Dividendo tutto per sinγ e sinβ, otteniamo:
Rispetto alla formula del teorema dei seni che abbiamo visto ad inizio lezione, manca il lato a. Per ottenere quest’ultima parte, è sufficiente ridisegnare il triangolo con l’altezza relativa questa volta al lato c.
Ripetiamo gli stessi passaggi fatti nel caso precedente per cui, considerando i due triangoli rettangoli AHC e AHB, possiamo scrivere le relazioni:
h = a · sinβ
h = b · sinα
Da cui otteniamo infine:
ESERCIZI SVOLTI SUL TEOREMA DEI SENI
PROBLEMA 1
Determinare gli elementi incogniti di un triangolo ABC, sapendo che α=π/4, β=π/3 e b=8.
Svolgimento
Iniziamo a disegnare un generico triangolo, indicandone lati e angoli.
Determiniamo l’ampiezza dell’angolo γ. Ricordati che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a π. Il calcolo seguente può essere effettuato con gli angoli in gradi o in radianti, è indifferente.
γ = π – π/4 – π/3 = 5/12 π
Per il teorema dei seni si ha:
ESERCIZIO 2
Nel triangolo ABC si ha: CB/CA=√6/2 e α=75°. Determiniamo l’ampiezza degli angoli γ e β.
Svolgimento
Per il teorema dei seni si ha:
Teorema della corda in una circonferenza
Il teorema della corda esprime la relazione tra la generica corda della circonferenza, il suo diametro e il seno di quello che viene definito angolo al centro.
ENUNCIATO
Teorema della corda – In una circonferenza una corda è uguale al prodotto del diametro per il seno dell’angolo alla circonferenza (acuto o ottuso) che insiste su essa.
Detta AB la corda, r il raggio della circonferenza e α l’angolo al centro, allora vale la relazione:
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DELLA CORDA
Consideriamo una corda AB di una circonferenza di raggio r e un angolo qualsiasi ACB=α che insiste sulla corda AB ed inscritto ad esempio nell’arco maggiore BA, così come nella figura seguente.
Sia BD il diametro della circonferenza passante per un estremo della corda. Poiché il triangolo ABD è rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza valgono i teoremi della trigonometria sui triangoli rettangoli. Possiamo quindi scrivere che un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto.
Considerando il triangolo ABD, con angolo retto nel vertice A e bisettrice pari proprio all’ipotenusa BD, allora possiamo scrivere:
In questo modo abbiamo ottenuto la dimostrazione del teorema della corda in due semplici passaggi.
OSSERVAZIONE: Il teorema della orda vale anche se la corda AB coincide con il diametro. Infatti in tal caso α=90°, per cui il senα=1 ed AB=2rsenα diventa AB=2r.
FORMULE INVERSE
Dai teoremi sulle corde si possono ricavare 2 formule inverse che permettono di calcolare il raggio o il diametro di una circonferenza e l’angolo al centro.
Da notare che, nella seconda formula inversa, è necessario applicare l’arcoseno per trovare la misura dell’angolo.
A COSA SERVE IL TEOREMA DELLA CORDA
Il teorema della corda si rivela utile ogni volta che ci sono figure inscritte in una circonferenza. Ciò si verifica non solo nei problemi di trigonometria, ma anche in analisi e capita spesso anche negli esercizi della seconda prova di matematica durante gli esami di maturità.
ESERCIZI SVOLTI
Esercizio 1
Determiniamo la lunghezza della corda AB di una circonferenza di raggio r, sottesa da un angolo α, tale che α=π/4.
Applichiamo direttamente la formula del teorema della corda:
AB=2r · senα
Dobbiamo in questo primo esercizio semplicemente sostituire al seno di alfa il seno di 45.
AB=2r · sen(π/4)=2r(√2/2)= r√2
Esercizio 2
In una circonferenza di raggio r due corde AB=(4/3)r e BC=(4/5)r sono consecutive e il centro della circonferenza è interno all’angolo ABC. Determiniamo il perimetro e l’area del triangolo ABC.
Determiniamo il seno degli angoli del triangolo usando proprio il teorema della corda.
Una piccola considerazione merita l’angolo B. Lo abbiamo calcolato tenendo conto che B=180°-A-C. Per le formule sugli archi associati, il sin(180-α)=sen(α). Non conoscendo il valore dei due angoli, è necessario ricorrere alle formule di addizione. Per cui possiamo scrivere:
sen(A+C)=senA·cosC+cosA·senC
Dove il coseno di A e di C lo ricaviamo dall’equazione fondamentale della goniometria sen²a=1-cos²a. Per cui cosC=√5/3, cosA=√21/5. Per cui il coseno di B è pari a:
Come hai potuto notare soprattutto in quest’ultimo esercizio, il teorema della corda riveste un ruolo importantissimo nei problemi in cui c’è un triangolo inscritto in una circonferenza. Per questa ragione, ti consigliamo almeno di memorizzare la formula e di tenerla pronta nel caso in cui dovesse servirti.
Funzione seno, la sinusoide, caratteristiche e grafico di y=senx
La funzione seno è una funzione trigonometrica esprimibile attraverso la relazione y=senx. Come per la funzione coseno, è definita per tutto l’insieme dei numeri reali ed è periodica. Attraverso l’analisi della funzione seno si ottiene una curva chiamata sinusoide.
All’interno di questa lezione vedremo com’è fatta e quali sono le caratteristiche della funzione seno, analizzandone dominio, grafico, punti di intersezione ed eventuali simmetrie. Vedremo quindi assieme uno studio della funzione seno completo senza però usare limiti e derivate come si fa invece nel programma di analisi.
GRAFICO DELLA FUNZIONE SENO
Nelle precedenti lezioni abbiamo visto quali sono i valori di seno e coseno. Abbiamo visto che conviene eseguire uno studio nell’intervallo che va da 0 a 360°, perché successivamente avremmo delle ripetizioni (l’angolo di 400° ad esempio non è altro che l’angolo di 60°, quindi è inutile studiarlo due volte).
Si parte disegnando una tabella in cui riporto i 4 valori del seno degli angoli di 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.
Per ottenere il grafico della funzione seno y=senx, ci disegniamo gli assi cartesiani e poi andiamo ad inserire i valori delle x e delle y così come li abbiamo ricavati. Sull’asse delle ascisse sono cioè riportati i valori degli angoli noti e su quello delle ordinate il risultato del seno applicato a quell’angolo.
SINUSOIDE
La curva che si ottiene riportando sugli assi cartesiani i valori della funzione seno nell’intervallo da 0° e 360° si chiama sinusoide. Non è altro quindi che la rappresentazione grafica della funzione seno e sarà fondamentale per chi studierà in fisica il moto armonico e la natura delle onde nei programmi più avanzati.
LA FUNZIONE SENO È PERIODICA
Analizzando il grafico ottenuto si può notare che quando la x=0 e quando x=2π, la y è la stessa, cioè la funzione assume gli stessi valori. Questo significa che la funzione seno è periodica con periodo pari a 2π, cioè si ripete in maniera ciclica ogni 360° assumendo sempre gli stessi valori.
Andando a considerare anche i valori che si ripetono prima di 0° e dopo 360°, possiamo ottenere il grafico della sinusoide estesa.
DOMINIO DELLA FUNZIONE SENO
Prova a rispondere a questa domanda osservando la sinusoide: la curva ha delle interruzioni oppure se dovessi disegnarla non staccheresti mai la penna dal foglio? E’ evidente che non ci sono interruzione, per cui la funzione seno è continua in tutto l’intervallo dei numeri reali.
Quindi alla domanda: quale dominio ha la funzione seno? La risposta è tutto R o, per essere più precisi nel linguaggio matematico: ∀x∈R
CODOMINIO DELLA FUNZIONE SENO
Essendo la funzione seno invertibile, il codominio diventa dominio della funzione seno inversa (cioè la sinusoide). Proprio per questa ragione può essere chiesto dai docenti anche il codominio. Quest’ultimo non è altro che la variazione del grafico in senso verticale. La sinusoide, come puoi vedere dal grafico, è sempre compreso tra la retta y=-1 e y=+1.
Quindi il codominio è l’intervallo chiuso [-1;+1], dove i valori -1 e +1 sono compresi.
LA FUNZIONE SENO È SIMMETRICA?
Altra osservazione proseguendo l’analisi della funzione seno: immagine di dividere il grafico in due zone, quella a sinistra e quella a destra dell’asse delle ordinate (y). Puoi facilmente osservare che sono praticamente identiche ma specchiate. Cioè ciò che a destra sta sopra, a sinistra sta sotto. Questo significa che c’è una simmetria rispetto all’origine degli assi.
Possiamo quindi dire che la funzione seno è dispari. Dal punto di vista matematico, ciò si può esprimere come:
f(x)=-f(-x)
cioè
sen(x)=-sen(-x)
Ad esempio
– il seno di 60 gradi sen(60°)=+1/2
-sen(-60°)=-sen(360-60)=-sen(300°)=-(-1/2)=+1/2
INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Come puoi vedere dal grafico della sinusoide, ci sono dei punti in cui la curva si interseca con l’asse delle ascisse. In particolare questi due punti hanno x=π e x=2π. Questo significa che quando gli angoli valgono 180° e 360° il seno diventa 0.
Quindi i due punti di intersezione che sul grafico abbiamo disegnato in rosso sono i punti P1(π;0) e P2(2π;0). Per determinare matematicamente questi due punti dobbiamo applicare il metodo visto con il calcolo del’lintersezione tra due rette (la regola si applica per l’intersezione di due generiche curve, quindi anche della sinusoide)
ALTRI SPUNTI PER GLI ESERCIZI
Una volta capite le caratteristiche della funzione seno, possiamo fare qualche esercizio su grafici un po’ più complessi.
Molto spesso negli esercizi vengono chieste delle funzioni meno elementari della cosinusoide. Capita quindi di dover studiare la funzione coseno al quadrato o la funzione cos2x o ancora la funzione coseno in valore assoluto. In base a quanto detto fino ad ora è possibile dedurre il grafico di altre funzioni del coseno.
ESERCIZIO 1
PROVIAMO A DISEGNARE IL GRAFICO DELLA FUNZIONE SENO DI 2X → Y=SEN2X
Il grafico di y=sen2x si ottiene dal grafico di y=senx mediante la contrazione di rapporti h=1/2 e k=1. In parole povere, si impone x’=2x e y’=y. Quindi ogni punto della funzione seno viene trasformata in un punto di coordinate (x’,y’).
Ricordiamo che una contrazione è una trasformazione del piano che associa ad un punto P(x,y) un punto P'(x’,y’) tale che:
x’=hx
y’=ky
con |k|≤1 e |h|≤1. Si parla di dilatazione, invece, quando |k|≥1 e |h|≥1.
Si può così costruire il grafico della funzione seno di 2x
In alternativa, senza ricorrere a contrazioni e dilatazioni, semplicemente possiamo costruirci una tabella con i valori degli angoli nella prima colonna. Nella seconda ci saranno i valori della funzione seno 2x. Li si posizione sul grafico e si ottiene la sinusoide riferita a y=sen2x.
Si nota che il coefficiente che, considerato y=sen(k·x), il valore k provoca una contrazione della curva. Aumentano cioè le oscillazioni e la curva diventa più fitta. Si dice che tra un’”onda” e l’altra diminuisce l‘ampiezza.
ESERCIZIO 2
Tracciare il grafico della funzione seno in valore assoluto → y=sen|x|-1
Il grafico di y=sen|x|-1 si ottiene dal grafico di y=sen|x|. Quest’ultimo si ottiene dal grafico della sinusoide ribaltando attorno all’asse delle y le parti di tale grafico che si trovano a destra dell’asse verticale. In buona sostanza si prende la curva per x>0 e la si specchia a sinistra dell’asse y.
Si ricorda infatti che il grafico di y=f|x| si ottiene dal grafico di y=f(x) semplicemente ribaltando intorno all’asse y la parte di quest’ultimo grafico che si trova a destra dell’asse y stesso.
A questo punto occorre effettuare una traslazione di vettore v(0;-1). Cioè y’=y+1 e x’=x
y+1=sen|x|
y=sen|x|-1
Possiamo quindi rappresentare graficamente.
Si nota che il grafico si poteva ottenere a partire dalla funzione seno valore assoluto semplicemente traslando la sinusoide di 1 verso il basso.
ESERCIZIO 3
Lasciamo a te a casa lo svolgimento dello stesso tipo di esercizio ma con la funzione seno al quadrato. Quindi prova a disegnare y=sen²x.
Cotangente di un angolo
La cotangente di un angolo in trigonometria viene definita come il rapporto tra coseno e seno. Può anche essere definita come l’inverso della tangente.
In questa lezione vedremo nel dettaglio che cos’è e qual è il grafico della cotangente, analizzandone l’andamento nel piano cartesiano, le definizioni e i valori noti da ricordare (o come ricavarli).
VALORI COTANGENTE – LA TABELLA RIASSUNTIVA
DEFINIZIONE DI COTANGENTE
Consideriamo la circonferenza goniometrica e l’arco AB con A(1;0) e B(xB,yB). Detto C il punto di coordinate cartesiane (0;1), mandiamo la retta tangente alla circonferenza t per il punto A e la tangente s per il punto C come nel grafico seguente.
Se la retta s interseca la retta OB in un punto S, diremo che l’ascissa di S è la cotangente dell’angolo AOB. Si può quindi scrivere dal punto di vista matematico:
cotg AOB = xs
La cotangente di un angolo si indica con cotg oppure con ctg.
Poiché ys=1 perché coincide con il raggio della circonferenza goniometrica (che è unitario), allora possiamo anche scrivere:
dove KB e OK sono rispettivamente il coseno e il seno dell’angolo.
La cotangente si definisce quindi come il rapporto tra coseno fratto seno dell’angolo.
CARATTERISTICHE DELLA COTANGENTE
Come per il seno e il coseno, si può dimostrare che la cotangente di un angolo non dipende dall’unità di misura scelta, ossia dal raggio della circonferenza goniometrica, ma dipendono esclusivamente dall’ampiezza dell’arco.
Ai fini pratici c’è da ricordare che la cotangente non ha un’unità di misura, cioè è un numero adimensionale. Non dovrai quindi aggiungere cm, dm, m, o gradi dopo l’indicazione del valore.
IL SEGNO DELLA FUNZIONE COTANGENTE
La cotangente dell’angolo è positiva se B appartiene al primo o al terzo quadrante, ossia per 0°<α<90° oppure 180°<α<270°.
Assume invece un valore negativo se B appartiene al secondo o al quarto quadrante, ossia se 90°<α<180° oppure 270°<α<360°.
GRAFICO COTANGENTE
Per costruire il grafico della cotangente è sufficiente ricordarsi i valori degli angoli noti per il seno e il coseno. In particolare:
quando α=0 → cosα=1 senα=0 → cotgα=cosα/senα=∞
quando α=90° (π/2) → cosα=0 senα=1 → cotgα=cosα/senα=0
quando α=180° (π) → cosα=-1 senα=0 → cotgα=cosα/senα=∞
quando α=270° (2/3 π/) → cosα=0 senα=-1 → cotgα=cosα/senα=0
quando α=360° (2π) → cosα=1 senα=0 → cotgα=cosα/senα=∞
Da quello che si nota nel grafico della cotangente, se l’angolo AOB è uguale a 0° o a 180°, la retta OB del primo disegno di questa lezione è parallela alla retta s, per cui in tali casi non esiste la cotangente.
DOMINIO COTANGENTE – DISCONTINUITÀ E ASINTOTI
La funzione cotangente è di tipo periodico e, proprio come la tangente, si ripete in maniera ciclica ogni 180°. Per questa ragione, quando si risolve un esercizio si esplicita sempre alla fine la periodicità aggiungendo un …+kπ.
Come puoi vedere dal grafico, la cotangente non è una funzione continua perché ha diversi punti di discontinuità e si generano degli asintoti verticali in tutto il grafico.
Volendo calcolare il dominio della funzione cotangente, possiamo scrivere che:
D: ∀x∈R-{x=kπ}
Questo vuol dire che la funzione è sempre continua tranne per α=0° con tutti i valori della periodicità: 0+kπ =kπ. Questo vuole dire che ci sono degli asintoti verticali in corrispondenza di 0, 180°, 360°, 540°, …
ESEMPI SULLA COTANGENTE
Dato l’angolo 90°<α<180°, determiniamo le condizioni che deve soddisfare il parametro m affinché sia verificata la seguente uguaglianza.
(m+2)cotgα=-3m
Svolgimento
Attraverso un semplice passaggio algebrico trasformiamo l’equazione.
cotgα=-3m/(m+2)
Visto che l’angolo si trova nel II quadrante, la cotangente ha un valore negativo. Per questa ragione deve essere soddisfatta la condizione:
-3m/(m+2)<0
Si tratta di una normale disequazione fratta di primo grado con l’incognita m. Risolvendo otteniamo infatti:
3m/(m+2)>0
m>0
m+2>0
m<-2 U m>0
Formule trigonometriche
Le formule trigonometriche sono dette anche formule goniometriche e rappresentano forse l’argomento più impegnativo del programma di trigonometria. Ci sono tante formule, non facili da imparare.
Abbiamo quindi raccolto in un’unica pagina il formulario completo delle formule di trigonometria. Partiremo dalla relazione fondamentale della trigonometria per passare poi alle formule di duplicazione, bisezione, parametriche per seno e coseno, prostaferesi, Werner, eccetera…
Adesso vedremo solo le formule, mentre per le dimostrazioni delle formule trigonometriche ci sarà un approfondimento per ciascuna di esse. Abbiamo deciso di creare questo formulario per semplificare la vita allo studente, consapevoli del fatto che non è facile ricordarle tutte a memoria, per cui è meglio averle sempre a portata di mano in una tabella con un formulario completo. Partiamo subito con questa rassegna completa delle principali relazioni trigonometriche.
RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA
Iniziamo questo formulario di trigonometria con la primissima relazione che si studia in questo ramo della matematica. Viene detta anche identità o relazione fondamentale della goniometria. Permette di ricavare il seno a partire dal coseno e viceversa. Ti consigliamo di ricordarla perché viene molto utilizzata negli esercizi ed è piuttosto semplice.
sen²α+cos²α=1
Per ricavare seno e coseno basta ricorrere alle due formule inverse:
sen²α=1-cos²α
cos²α=1-sen²α
FORMULE TRIGONOMETRICHE SUGLI ARCHI ASSOCIATI
Gli archi associati sono utili per poter calcolare i valori delle varie funzioni goniometriche per tutti gli angoli a partire da seno e coseno di angoli noti. Ad esempio, avendo a disposizione il seno di 60 gradi possiamo calcolare il coseno anche di 120°, di 150°, eccetera…
Come ricordarle: quando c’è l’angolo di 90° (quindi π/2) ricorda che bisogna invertire seno e coseno. Il coseno con α+π/2 assumerà un segno meno perché ci troviamo nel II quadrante. (Leggi anche: quali sono i segni dei quadranti del piano cartesiano)
Come ricordarle: quando c’è l’angolo di 180° si conservano seno e coseno. Con il segno “meno” siamo nel II quadrante per cui il coseno assume segno negativo. Con il segno “più” sia il seno che il coseno diventano negativi.
Come ricordarle: quando c’è l’angolo da 270°, si ripete quello che accadeva con le formule trigonometriche riferita a 90°. Quindi si invertono seno e coseno. Attenzione ai segni perché siamo nel III e IV quadrante.
Come ricordarle: in questo caso abbiamo l’angolo negativo (che è sinonimo di 360-a). Seno e coseno si conservano solo che il seno è negativo e il coseno è positivo perché siamo nel IV quadrante.
FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Le formule di addizione e sottrazione servono per ricavare i valori di seno e coseno semplicemente sommando due angoli. Se ad esempio dovesse esserci chiesto di calcolare il seno di 75°, che non è un angolo noto, possiamo calcolarlo considerando 75° come la somma di 30° + 45°, che sono due angoli noti.
Note: alcuni testi riportano anche le formule goniometriche di addizione e sottrazione per la tangente. Tuttavia vengono utilizzate molto raramente. Abbiamo preferito non riportartele, anche perché se dovessi trovarti ad utilizzare un somma o differenza riferita alla tangente, calcola seno e coseno e poi li dividi. (Ricorda che tgα=senα/cosα, vedi la lezione sulla tangente di un angolo).
FORMULE DI DUPLICAZIONE
Le formule di duplicazione servono per calcolare la funzione goniometrica riferita al doppio dell’angolo.
FORMULE DI BISEZIONE
Le formule di bisezione servono per calcolare la funzione goniometrica riferita alla metà dell’angolo.
FORMULE PARAMETRICHE
Le formule parametriche prevedono un cambio di variabile. Al posto dell’angolo α si sostituisce il parametro t. Il loro uso è di fondamentale importanza per lo svolgimento delle equazioni goniometriche. Vengono anche utilizzate in programmi di matematica più avanzati, come nello studio degli integrali.
FORMULE DI PROSTAFERESI
Le formule di Prostaferesi permettono di risolvere quegli esercizi in cui compaiono le somme di seni e coseni di angoli diversi. Attraverso queste formule trigonometriche la somma viene trasformata in un prodotto rendendo più agevoli i calcoli.
FORMULE DI WERNER
Si tratta di formule goniometriche particolarmente utili negli esercizi in cui l’argomento di seno e coseno è moltiplicato per un numero. Ad esempio per calcolare sen7x·sen9x occorre utilizzare le formule di Werner.
Angoli associati
Gli angoli associati sono degli angoli che, attraverso delle somme o delle differenze, possono essere ricondotti ad angoli noti appartenenti al primo quadrante. Sono particolarmente utili per evitare di imparare a memoria tutti i valori delle funzioni trigonometriche, così da ricavarli in pochi istanti quando necessario.
Abbiamo già trattato l’argomento in maniera più dettagliata nella lezione riguardante gli archi associati. In questa pagina vedremo un riepilogo delle definizioni e delle formule degli angoli associati da usare. Troverai infine alcuni esercizi svolti per fare pratica con gli argomenti trattati.
DEFINIZIONE DI ANGOLI ASSOCIATI
Dato l’angolo α della circonferenza goniometrica in figura sotto, dal punto B tracciamo le parallele agli assi cartesiani, BC e BE ed i diametri BD e CE.
Gli archi AB, AC, AD e AE, aventi ampiezza rispettivamente pari a α, 180°-α, 180°+α, 360°-α si dicono angoli associati (o archi associati) e hanno i valori di seno, coseno, tangente e cotangente uguali in valore assoluto. Questo significa che cambiano solo i segni, ma i numeri restano gli stessi.
Se invece vogliamo esprimere tutto in radianti, allora le formule degli angoli associati vanno riferite a: α, π-α, π+α, 2π-α.
La precedente tabella con le formule può essere riscritta utilizzando la misura in radianti degli angoli. Non cambia nulla, basta sostituire π al posto di 180° e 2π al posto di 360°.
Ricordiamo infine che gli angoli α e α+2kπ hanno le stesse funzioni goniometriche. Ne consegue che l’angolo -α risulta essere associato ad α, poiché ha le stesse funzioni goniometriche dell’angolo 360°-α.
ESERCIZIO 1
Determinare gli angoli associati supplementari e giro a quelli dati: 32°, 101°, 189°, 315°.
Svolgimento
In questo caso la misura degli angoli è espressa in gradi. Se α è l’angolo assegnato dalla traccia del problema, gli angoli associati sono: 180°-α, 180°+α, 360°-α. Per cui cominciamo dal primo:
α=32°
180°-α=180°-32°=148°
180°+α=180°+32°=212°
360°-α=360°-32°=328°
Osserviamo che se alfa è un angolo appartenente al primo quadrante, i suoi angoli associati hanno estremi rispettivamente nel secondo, terzo e quarto quadrante.
α=101°
180°-α=180°-101°=79°
180°+α=180°+101°=281°
360°-α=360°-101°=259°
Osserviamo che se alfa è un angolo avente un estremo nel secondo quadrante, i suoi angoli associati hanno estremo, rispettivamente, nel primo, nel terzo e nel quarto quadrante.
189°
180°-α=180°-101°=79°
180°+α=180°+101°=281°
360°-α=360°-101°=259°
In questo caso si nota che se alfa è un angolo situato nel terzo quadrante, i suoi angoli associati si trovano invece nel quarto, nel primo e nel secondo quadrante.
315°
180°-α=180°-315°=-135°
180°+α=180°+315°=495°
360°-α=360°-315°=45°
In quest’ultimo caso notiamo che se alfa appartiene al quarto quadrante, allora i suoi angoli associati si trovano nel terzo, nel secondo e nel primo quadrante.
ESERCIZIO 2
Sfruttando le relazioni tra le funzioni goniometriche degli angoli associati, semplificare le seguenti espressioni:
sen(π-α)-cos(π+α)-cosα-sen(-α)·cotgα
cotg(180°+α) + tg(360°-α) + [sen(180°-α)-cosα]/cos(-α)
Svolgimento
sen(π-α)-cos(π+α)-cosα-sen(-α)·cotgα=
= senα+cosα-cosα+senα·cosα/senα=
= senα+cosα.
cotg(180°+α) + tg(360°-α)+ [sen(180°-α)-cosα] / cos(-α)=
= cosα/senα – senα/cosα + (senα-cosα)/cosα =
Essendoci un denominatore dobbiamo calcolare il minimo comune multiplo.
= (cos²α-sen²α+sen²α-cosαsenα) / senαcosα =
= (cos²α-cosα·senα)/senαcosα =
A questo punto basta eseguire una messa in evidenza totale al numeratore.
= cosα (cosα-senα)/senαcosα =
= (cosα-senα)/senα.
ESERCIZIO 3
Sfruttando le relazioni viste tra gli angoli associati, semplificare le seguenti espressioni algebriche.
Essendoci dei denominatori, è necessario imporre le condizioni di esistenza come si faceva in genere con le equazioni razionali fratte. Per cui l’espressione ha senso solo se:
a≠b, b≠0, a≠kπ/2
Formule di duplicazione
Le formule di duplicazione sono formule trigonometriche che permettono di ricavare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente del doppio di un angolo. Si incontrano spesso non solo nelle equazioni goniometriche ma anche nei programmi di matematica.
FORMULE DI DUPLICAZIONE TABELLA
In questa tabella trovi il formulario completo con tutte le formule di duplicazione del seno, coseno, tangente e cotangente. In seguito troverai poi tutte le dimostrazioni.
UN CONSIGLIO PER NON SBAGLIARE
Ricordati che sen2a è diverso da 2sena. Infatti tutto ciò che è all’interno dell’argomento del seno o del coseno non può essere portato fuori in maniera così semplice. Per rendertene conto basta che provi a fare il calcolo con a=30°.
Approfondimenti: quanto vale il seno di 60°
DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL SENO
Si parte dalle formule di addizione e sottrazione. In particolare si sommano due angoli uguali.
DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL COSENO
L’unica differenza con quella del seno sta nel fatto che in questo caso bisogna applicare la formula di addizione del coseno.
Abbiamo così trovato tre modi diversi per esprimere le formule di duplicazione del coseno, tutta valide e che possiamo utilizzare a nostro piacimento a seconda della necessità e dell’esercizio da risolvere.
DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA TANGENTE
Per dimostrare le formule di duplicazione della tangente, facciamo riferimento a quella che abbiamo considerato la dimostrazione della tangente di un angolo.
DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA COTANGENTE
Dimostrare la formula di duplicazione della cotangente è molto semplice, soprattutto se avete seguito la dimostrazione della formula di duplicazione della tangente.
Per questo motivo potete provare a farlo da soli ricordando che questa volta l’equazione da cui bisogna partire è cotg2a=cos2a/sen2a.
ESERCIZI SVOLTI SULLE FORMULE DI DUPLICAZIONE
