I blog di Alessioempoli

Data 15 ottobre 2019

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI – 1

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Equazioni di secondo grado fratte

 

Le equazioni di secondo grado fratte sono delle equazioni di secondo grado frazionarie in cui al denominatore compare anche l’incognita x. Vengono dette anche equazioni frazionarie di grado 2 o equazioni razionali fratte e per poterle risolvere è necessario ricondurle a delle equazioni di secondo grado.

Proprio per questa ragione è importante conoscere la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, quindi sapere che cos’è e come si calcola il delta. Essendoci anche delle frazioni, dovremo calcolare anche il minimo comune multiplo

 

EQUAZIONI FRATTE DI SECONDO GRADO, SPIEGAZIONE

Un’equazione fratta di secondo grado nella forma normale si presenta come una frazione algebrica in cui sia al numeratore che al denominatore ci sono due polinomi. Dal punto di vista matematico questo si scrive come:

1-

dove N(x) è il polinomio al numeratore di grado 2, mentre D(x) è un polinomio generico al denominatore.

OSSERVAZIONE: hai visto cosa ‘è al secondo membro? C’è lo zero. Questo vuol dire che per risolvere le equazioni di secondo grado fratte dovrai sempre assicurarti di passare tutto al primo membro.

 

LE SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE

Quante sono le soluzioni di un’equazione fratta di grado 2? Vale lo stesso discorso fatto con le equazioni di II grado. Possono esserci cioè:

 

# 2 soluzioni reali e distinte

# 2 soluzioni reali e coincidenti (su alcuni libri di testo troverai scritto che c’è 1 sola soluzione)

# Non ci sono soluzioni reali.

L’unica differenza, vedremo tra poco, è nella verifica delle condizioni di esistenza, che è di fondamentale importanza nelle equazioni fratte di secondo grado.

 

COME SI RISOLVONO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE

Dopo questa piccola premessa veniamo all’argomento principale della lezione: come risolvere le equazioni fratte di secondo grado. Suddividiamo il procedimento risolutivo in fasi.

 

PASSO 1CONDIZIONI DI ESISTENZA

La prima cosa da fare imporre le condizioni di esistenza. Perché sono importanti? Perché un’equazione fratta di secondo grado è una frazione algebrica e quindi ha un denominatore.

Hai mai provato a fare sulla tua calcolatrice una frazione con al denominatore zero? Vedrai che la calcolatrice ti dirà che c’è un errore. Questo perché al denominatore non può esserci mai zero. In base a questa piccola considerazione, possiamo dire che le condizioni di esistenza si impongono scrivendo che ogni denominatore deve essere diverso da zero.

2-

Alla fine dell’esercizio, andremo a verificare che le soluzioni delle equazioni di secondo grado fratte non siano uguali alle condizioni appena espresse.

 

PASSO 2RICONDURSI ALLA FORMA NORMALE

Generalmente per poter passare alla forma normale delle equazioni fratte di secondo grado, cioè N(x)/D(x)=0 servono alcuni passaggi algebrici. Ricordati di:

 

# spostare tutto al primo membro

# calcolare il minimo comune multiplo cambiando i segni

# ridurre tutto ad un unico denominatore

# svolgere le operazioni algebriche (somme, prodotti, ecc…)

 

PASSO 3PASSAGGIO ALL’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Una volta arrivato alla condizione N(x)/D(x)=0 ed imposte già le condizioni di esistenza, puoi eliminare il denominatore e risolvere semplicemente il numeratore come se fosse una normale equazione di secondo grado.

 

N(x)=0

 

Puoi scegliere il metodo che preferisci per risolvere l’equazione. Somma e prodotto, delta, delta quarti, scomposizione di polinomi, …

Come già detto a questo punto ci sono tre possibili casi:

 

# Δ>0 – L’equazione ha due radici reali e distinte:

x1= valore 1

x2= valore 2

# Δ=0 – L’equazione ha una sola soluzione (si dice anche che ne ha due reali e coincidenti)

x1,2= valore 1

# Δ<0 –  l’equazione non ha soluzioni reali.

 

PASSO 4 – VERIFICA DELLE SOLUZIONI

Non importa che tu abbia 1 o 2 soluzioni. E’ fondamentale verificare che queste siano compatibili con le condizioni di esistenza. Cioè verifica che i valori che ti escono nelle soluzioni siano diversi da quelli ottenuti nelle C.E.

Se dovesse esserci una o più soluzione non compatibile con le condizioni di esistenza, questa non può essere considerata accettabile. Per cui accanto ad essa andrai a scrivere soluzione non accettabile per le condizioni di esistenza. Vedremo tra poco alcuni esercizi svolti in cui ti troverai in questo caso.

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE ESERCIZI

ESERCIZIO 1

3-

Svolgimento

La prima osservazione da fare è che non ci sono, almeno per ora, polinomi di secondo grado al numeratore. Ciò però non significa che questo esercizio non rientri tra le equazioni fratte di secondo grado, perché ci sono una serie di calcoli da fare prima di arrivare alla forma normale.

La seconda osservazione riguarda i denominatori. In questo caso non ci sono polinomi di secondo grado, per cui non sono necessarie scomposizioni. Molto spesso però sarà conveniente, per semplificare sia le condizioni di esistenza che il mcm, effettuare delle scomposizioni e ridurre i denominatori in polinomi più semplici.

4-

A questo punto posso calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori.

mcm: x(x+1)

5-

 

Portiamo tutto al primo membro dell’equazione, ponendo tutto sotto un’unico denominatore. Nel frattempo iniziamo già a svolgere le moltiplicazioni tra polinomi al numeratore.

6-

A questo punto possiamo eliminare il denominatore e fare le somme algebriche al denominatore.

7-

Come puoi vedere già da questo primo esercizio, la prima soluzione viola le condizioni di esistenza per cui non può essere accettata. L’unica soluzione dell’esercizio sarà x=1.

 

ESERCIZIO 2

8-

Svolgimento

In questo secondo esercizio cerchiamo di fare attenzione ai denominatori. Ci capiterà spesso, per risolvere le equazioni di secondo grado fratte, di trovare dei denominatori “sospetti”. Cosa vuol dire? Guarda la prima frazione e guarda le altre due. Ricordi la regola del prodotto di una somma per una differenza?

x²-4=(x+2)(x-2)

Quindi possiamo riscrivere l’esercizio come:

9-

10-

11-

A questo punto eliminiamo il denominatore, sommiamo i termini simili e arriviamo all’equazione di II grado.

12-

Confrontando le due soluzioni con le condizioni di esistenza, possiamo scrivere il risultato finale:

 

x=+2 → Soluzione non accettabile per le C.E.

x=+3

 

ESEMPIO 3

13-

Svolgimento

Scomponiamo subito il secondo denominatore per avere:

14-

15-

16-

 

Poiché entrambe le soluzioni violano le condizioni di esistenza, allora l’esercizio ha come risultato impossibile.

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE – ESERCIZI DA SVOLGERE

Per continuare ad esercitarti, ti consigliamo di risolvere le equazioni fratte di secondo grado di seguito. Alcune di queste sono già state risolte negli esempi sopra.

17-

 

Disequazioni logaritmiche

 

Le disequazioni logaritmiche sono delle disequazioni in cui l’incognita compare come argomento del logaritmo.

Vedremo che cosa sono e come si risolvono le disequazioni logaritmiche attraverso una breve spiegazione teorica e numerosi esercizi svolti da usare come esempio.

Per poterlo fare è necessario conoscere bene quali sono le proprietà dei logaritmi, dal cambio di base alla trasformazione in esponenziali.

 

CHE COS’È UNA DISEQUAZIONE LOGARITMICA?

Nell’introduzione l’abbiamo già definita come una disequazione che ha l’incognita x all’interno dell’argomento del logaritmo. Ecco un esempio:

18-

Dei due esempi sopra, si nota come la prima rientri tra le disequazioni logaritmiche. La seconda invece no perché appartiene alle più semplici disequazioni di primo grado, visto che l’incognita x non è nell’argomento del logaritmo.

 

RISOLVERE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Ti ricordi come si risolvono le equazioni logaritmiche? Il ragionamento è molto simile: ci sono delle condizioni di esistenza da sviluppare parallelamente all’esercizio principale.

La differenza è che con le disequazioni logaritmiche abbiamo un sistema di disequazioni da risolvere. La prima disequazione è quella principale dell’esercizio, mentre tutte le altre sono date dalle condizioni di esistenza dei vari logaritmi.

 

COME SI RISOLVONO LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

19-

Le tre disequazioni possono apparire con il simbolo maggiore, minore, maggiore e uguale o minore e uguale. Queste rappresentano sostanzialmente i tre tipi di disequazioni con i logaritmi che si possono dover svolgere in esercizi o compiti.

Ricordando che la condizione di esistenza del logaritmo impone di scrivere che l’argomento maggiore di 0, allora possiamo risolvere le disequazioni logaritmiche scrivendo un sistema di disequazioni:

20-

Per ogni rigo si scriverà la condizione di esistenza di ogni logaritmo, mentre all’ultimo rigo si riscrive la disequazione logaritmica della traccia. Vediamo questi tre casi come si risolvono singolarmente.

 

DISEQUAZIONE LOGARITMICA DI TIPO 1

Abbiamo una disequazione con un logaritmo che ha al secondo membro lo 0.

21-

Abbiamo visto che questa disequazione si risolve scrivendo il sistema in cui sono incluse le condizioni di esistenza f(x)>0.

22-

Mentre la prima si risolve come una normale disequazione, resta da capire come risolvere la seconda. Sfruttiamo la proprietà dei logaritmi: il logaritmo di 1 è sempre uguale a 0.

ATTENZIONE: non confonderti con il logaritmo di 0 che invece non esiste!

Per cui possiamo trasformare lo 0 nel logaritmo con la stessa base:

23-

A questo punto, visto che nella disequazione logaritmica ci sono le stesse basi, possiamo considerare solo gli argomenti e togliere i logaritmi.

Con equazioni e disequazioni logaritmiche bisogna distinguere due casi a seconda della base del logaritmo.

 

# a>1 : la base del logaritmo è maggiore di 1, la disequazione con i logaritmi può essere riscritta senza alcuna variazione.

24-

 

# 0<a<1 : la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1. Si va a modificare il verso della disequazione con i logaritmi. Se c’è maggiore (o maggiore e uguale) si mette minore (o minore e uguale) e viceversa.

25-

 

DISEQUAZIONE LOGARITMICA DI TIPO 2

Vediamo come si risolvono le disequazioni logaritmiche in cui al secondo membro c’è una costante, cioè un numero diverso da 0.

26-

 

Abbiamo già visto che la disequazione, considerando anche la condizione di esistenza può essere riscritta aggiungendo f(x)>0.

La “b” della disequazione con il logaritmo può essere riscritta come “1·b”. Ricordandoci la regola dei logaritmi per cui un logaritmo con base e argomento uguali fa sempre 1, allora possiamo riscrivere.

 

# a>1 : quando la base del logaritmo è maggiore di 1 non cambia nulla ai segni o ai versi della disequazione.

27-

 

# 0<a<1 : quando la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1, il maggiore (o maggiore e uguale) diventa minore (o minore e uguale) e viceversa.

28-

 

DISEQUAZIONE LOGARITMICA DI TIPO 3

L’ultimo caso è quello più ricorrente. Vengono considerate dagli studenti le disequazioni logaritmiche più difficili: stiamo parlando di quelle in cui sono presenti più di un logaritmo. Vediamo come risolverle.

Se le basi dei logaritmi sono uguali diventa tutto più semplice. Si risolve semplicemente considerando gli argomenti dei logaritmi, come abbiamo già fatto nelle disequazioni di tipo 2. In parole povere basta eliminare il logaritmo.

Se invece dobbiamo risolvere disequazioni logaritmiche con basi diverse, allora dobbiamo usare la formula vista per il cambiamento di base:

29-

Per cui possiamo riscrivere il nostro caso come:

30-

Vedrai negli esercizi che il denominatore è un numero, per cui puoi scriverlo come una frazione. Considerando anche la base del logaritmo, anche in questo caso abbiamo due possibilità:

# se a>1 : argomento del logaritmo maggiore di 1

31-

 

# se 0<a<1 : argomento del logaritmo compreso tra 0 e 1, si modifica il verso della disequazione.

32-

 

UN CONSIGLIO PER IMPARARE A RISOLVERE LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Sconsigliamo sempre di imparare a memoria le formule viste fino a questo momento. E’ più importante invece capire come risolvere disequazioni logaritmiche di qualsiasi tipo con un unico metodo universale.

Ecco come procedere:

# si trasforma la disequazione logaritmica in un sistema in cui alle prime righe metteremo le condizioni di esistenza. All’ultimo rigo riscriviamo invece la disequazione con i logaritmi.

# risolviamo le tre disequazioni, trasformando l’ultima e facendo in modo di avere ai due membri due logaritmi con la stessa base.

# si valuta la base del logaritmo. Se maggiore di 1 non si modifica nulla e si risolve. Se la base è compresa tra 0 e 1 allora si inverte il segno.

# alla fine si mettono a sistema graficamente le disequazioni per trovare la soluzione finale.

 

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE ESERCIZI SVOLTI

ESERCIZIO 1

Risolvere la seguente disequazione logaritmica

log(x-1)>1

Svolgimento

Affinché la disequazione abbia senso è necessario imporre subito le condizioni di esistenza. Queste possono essere scritte subito oppure essere messe a sistema con la disequazione con il logaritmo.

x-1>0

x>1

Procediamo a questo punto trasformando l’1 al secondo membro. Ricordati che quando la base del logaritmo è sottintesa vuol dire che è pari a “e” (Numero di Nepero)

log(x-1)>loge

x-1>e

x>e+1

Da notare che, essendo la base e maggiore di 1, non sono stati modificati i versi della disequazione. Riportiamo il tutto su un unico grafico:

33-

Il risultato finale è:

x>1+e

 

ESERCIZIO 2

34-

Rientriamo ora nel caso delle disequazioni logaritmiche fratte. Il procedimento non cambia. Ovviamente dovremo risolvere delle disequazioni fratte che sono un po’ più impegnative delle normali disequazioni.

Iniziamo risolvendo la condizione di esistenza del logaritmo:

35-

A questo punto mettiamo a sistema le due soluzioni delle disequazioni su un unico grafico.

36-

 

Disequazioni fratte

 

COME RISOLVERE GLI ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI FRATTE

Prima di passare alle tracce degli esercizi, facciamo un breve riepilogo sulla tecnica di risoluzione. Tutte le disequazioni fratte, non importa il grado del polinomio, si risolvono sempre allo stesso modo. Ecco sintetizzati gli step da utilizzare in tutti gli esercizi:

 

# scomporre, se possibile, gli eventuali polinomi al denominatore di grado superiore al primo;

# calcolare il minimo comune multiplo tra tutti i denominatori;

# ricondursi alla forma canonica base delle disequazioni fratte:

 

37-

Ovviamente nella disequazione può esserci sia il simbolo maggiore, maggiore e uguale, minore o minore e uguale. Ai fini del calcolo cambia poco.

 

# Creare un “falso sistema” di disequazioni in cui si va ad imporre N>0 e D>0.

# Si mettono sul grafico le soluzioni delle due disequazioni e si sceglie il segno + o a seconda del segno iniziale della disequazione N/D.

 

DISEQUAZIONI FRATTE ESERCIZI

Risolvere le seguenti disequazioni fratte di primo grado.

ESERCIZIO 1

38-

Svolgimento

In questo caso la traccia ci porta già alla situazione di avere un numeratore e un denominatore unici. Per cui possiamo già risolvere le due disequazioni separatamente:

N>0 → x+1>0

D>0 → x+4>0

Risolvendo queste due piccole disequazioni di primo grado, abbiamo come risultato:

x>-1

x>-4

Poniamo i risultati ottenuti sul grafico, valutandone i segni:

39-

Poiché nella traccia dell’esercizio, la disequazione fratta ha il simbolo maggiore, prendiamo tutti gli intervalli con il segno positivo. Per cui il risultato corretto è:

x<-4 U x>-1

ESERCIZIO 2

40-

 

Svolgimento

Questa volta abbiamo un esercizio sulle disequazioni fratte di secondo grado. Per risolverla ripetiamo gli stessi passaggi dell’esercizio precedente. Per cui si impongono numeratore e denominatore maggiori di zero.

N>0 → x²-7x+12>0

D>0 → x²-5x+6>0

Si tratta di disequazioni di secondo grado che possono essere risolte con vari metodi: somma e prodotto, il calcolo del delta, … Iniziamo dalla prima:

41-

A questo punto poiché nella disequazione c’è il simbolo maggiore si prendono soluzioni esterne:

x<3 U x>4

Passiamo ora alla seconda disequazione del sistema.

42-

A questo punto possiamo creare un grafico unico con le due soluzioni:

43-

 

Poiché nella traccia dell’esercizio abbiamo N/D>0, prendiamo tutti i segni positivi. Per cui la soluzione finale è:

x<2 U x>4

ESERCIZIO 3

44-

A differenza degli esercizi precedenti, questa volta abbiamo più numeratori e denominatori. Ovviamente la prima considerazione è che il termine (x+1)/(x+1) si può semplificare ed è pari a 1. Bisogna poi riportarsi alla forma N/D. Per farlo è necessario calcolare il minimo comune multiplo, che è in questo caso è semplice:

mcm = 5(x+2)

Portiamo tutto a primo membro, così da scrivere un denominatore unico:

45-

A questo punto possiamo dividere numeratore e denominatore:

N≥0 → 2-9x≥0

D>0 → 2(x+2)>0

 

OSSERVAZIONE: al denominatore il simbolo dell’uguale non va mai posto perché andrebbe a violare le condizioni di esistenza. Se non ricordi cosa sono, vai a rileggerti la lezione sulle equazioni fratte di primo grado.

x≤2/9

x>-2

46-

Poiché nella forma N/D abbiamo il simbolo maggiore e uguale, prendiamo le soluzioni con segno positivo, ricordandoci di riportare il simbolo uguale sulla frazione 2/9. Il risultato dell’esercizio è quindi:

-2<x≤2/9

 

DISEQUAZIONI FRATTE ESERCIZI DA RISOLVERE

47-EQUAZ.E DISEQ. - 1-FINE

 

Data 15 ottobre 2019

ANALISI MATEMATICA – 3

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Dominio logaritmo

 – come si trova il dominio di un logaritmo?

 

Come si trova il dominio di un logaritmo? Ho un esercizio da risolvere in cui all’interno c’è un logaritmo e non so come calcolare il dominio. C’è una regola da seguire?

 

SOLUZIONE

Il dominio del logaritmo si calcola imponendo:

 

# argomento del logaritmo maggiore di 0;

# base del logaritmo maggiore di 0 e diversa da 1;

 

Nella quasi totalità dei casi, la base del logaritmo è un numero naturale, per cui l’unica regola da seguire per il calcolo del campo di esistenza è che l’argomento f(x) deve essere maggiore di 0.

89-INIZIO-ANAL.MAT.---3

DOMINIO DEL LOGARITMO NATURALE

Il  Logaritmo naturale è un normale logaritmo che ha alla base la lettera e (detta Numero di Nepero). In questi casi si segue alla lettera la regola che abbiamo sopra esposto: si impone l’argomento maggiore di 0. Facciamo subito un esempio:

 

y=log(x²+2x)

 

Dominio del logaritmo: x²+2x>0. Abbiamo quindi ottenuto una disequazione di secondo grado che andiamo a risolvere.

 

x>0

x+2>0 → x>-2

 

La soluzione finale sarà x<-2 U x>0

 

NOTE: alcuni  chiedono come si calcola il dominio del logaritmo a base 1/2. In questo caso non cambia assolutamente nulla. Nelle condizioni iniziali abbiamo infatti esplicitato che la base deve essere maggiore di 0 e diversa da 1. Essendo questo il nostro caso, ci è sufficiente imporre l’argomento del logaritmo maggiore di 0.

 

DOMINIO LOGARITMO FRATTO

L’esercizio diventa leggermente più difficile quando si ha a che fare con il dominio di un logaritmo fratto. La regola però è sempre la stessa: l’argomento della funzione logaritmica deve essere maggiore di zero. Vediamo con un esempio come si risolve questo caso specifico.

90-

Come puoi vedere, appena si impone la condizione del dominio del logaritmo fratto, si ha di fronte una semplice disequazione fratta di primo grado. Quindi si impone numeratore maggiore di 0 e il denominatore maggiore di 0. Si procede calcolando il falso sistema e si ottengono le soluzioni.

91-

DOMINIO DEL LOGARITMO AL DENOMINATORE

Nel caso in cui anche il logaritmo si trova al denominatore, l’esercizio si semplifica anche se bisogna ricordarsi di imporre la condizione di esistenza “denominatore diverso da 0”. Vediamo un esercizio svolto per essere più chiari.

92-

In questo caso le due condizioni devono valere contemporaneamente, per cui si crea un sistema con una parentesi graffa. La prima riga non è altro che un’equazione logaritmica. Ricordi come si risolve? Si trasforma l’equazione ponendo tutto all’esponente con base e. Il secondo rigo è invece una disequazione di primo grado.

93-

DOMINIO LOGARITMO SOTTO RADICE

Come accadeva con le funzioni fratte, l’introduzione della radice quadrata può complicare leggermente lo svolgimento dell’esercizio. Tuttavia non è il caso di spaventarsi. Ecco come si calcola il dominio di un logaritmo con la radice. Esempio svolto:

94-

Il primo passo da fare è riconoscere quali sono gli elementi che contribuiscono a restringere il campo di esistenza: il logaritmo e la radice quadrata. Quindi andiamo ad imporre il radicando (cioè tutto ciò che è sotto la radice) maggiore e uguale di 0. Assieme a questa condizione associamo che l’argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0.

La prima è una disequazione logaritmica. Ricordi come si risolvono? Si trasforma il logaritmo in esponente con base e e si fa qualche semplificazione. Al secondo rigo invece una banale disequazione di I grado. Ovviamente le due condizioni devono essere valide contemporaneamente, per cui si impone un sistema con la parentesi graffa.

95-

Unendo le due soluzioni, si arriva alla fine dell’esercizio:

x>-1/2.

 

CONCLUSIONI

abbiamo visto come si calcola il dominio di un logaritmo in tutti i vari casi. Abbiamo visto che, sostanzialmente, l’unica vera novità quando si risolve una funzione logaritmica è quella di imporre l’argomento maggiore di zero.

 

Dominio di una funzione esponenziale

 

Come si trova il dominio di un’esponenziale? E’ vero che è definito in tutto R, oppure ci sono dei casi particolari da prendere in considerazione? Per esempio, come si calcola il dominio di una funzione esponenziale fratta?

Risposta

Innanzitutto vediamo che cos’è una funzione esponenziale. Si tratta di una funzione in cui l’incognita x compare all’esponente. La base è invece un numero reale positivo diverso da 1.

96-

Con questa formula abbiamo già praticamente risposto alla prima domanda : il dominio della funzione esponenziale è tutto R, cioè l’insieme dei numeri reali. Proviamo a dare un’occhiata al grafico di questa funzione nei due casi principali.

97-

Sia nel caso in cui la base è un numero maggiore di 1 che nel caso in cui la base è compresa tra 0 e 1, il grafico è sempre continuo. Puoi vedere dei salti sulla linea blu ed arancione? Non ci sono punti di discontinuità, per cui il campo di esistenza, ovvero il dominio dell’esponenziale, è tutto R.

Ovviamente tutto cambia se non dobbiamo più calcolare semplicemente il dominio dell’esponenziale ma di una funzione più complessa. Vediamo qualche esempio.

 

DOMINIO ESPONENZIALE FRATTA

Senza perderci troppo con la teoria, vediamo subito un esempio pratico.

98-

Determinare il dominio della funzione esponenziale fratta con base e.

Nella lezione sul calcolo dei domini delle funzioni, abbiamo detto che bisogna fare un’analisi preliminare di che cosa potrebbe creare delle discontinuità del dominio. In particolare dicemmo che quando abbiamo logaritmo, radice ad indice pari e fratta, bisogna prestare attenzione. In questo nostro esercizio, abbiamo:

 

# funzione esponenziale → non crea problemi visto che il dominio esponenziale è R

# funzione fratta → il denominatore deve essere diverso da 0.

Per cui riassumendo, deve valere x+3≠0, cioè x≠-3.

Quindi in buona sostanza quando dobbiamo calcolare il dominio di una funzione esponenziale fratta, ciò che conta è il denominatore che deve essere diverso da 0.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE IRRAZIONALE

Che cosa succede invece quando abbiamo una radice? Vediamo come prima un esercizio svolto.

99-

Calcolare il dominio dell’esponenziale a base e e con esponente irrazionale.

Come abbiamo detto in precedenza, facciamo una valutazione preliminare di quello che compare nella funzione da studiare.

 

# funzione esponenziale → dominio valido in tutto R;

# funzione irrazionale (cioè la radice quadrata) → il radicando deve essere maggiore e uguale di 0.

 

Per cui avremo:

x+4≥0

x≥-4

 

CONCLUSIONI

Generalmente il dominio delle funzioni esponenziale non crea alcun tipo di problemi durante lo svolgimento degli esercizi. Attenzione però ai casi in cui la funzione presenta, oltre dominio dell’esponenziale, anche altre funzioni che hanno delle limitazioni sul campo di esistenza.

 

Logaritmo di infinito

 – Quanto vale ln di infinito?

 

UNA DOVEROSA PREMESSA PRIMA DI CALCOLARE LN DI INFINITO

è importante fare una piccola premessa. Chiedere quanto vale il logaritmo naturale di infinito potrebbe essere una domanda a trabocchetto. Questo perché è impossibile dare il risultato preciso sul comportamento di una funzione (come la funzione logaritmo) ad infinito. Non si può dare un risultato a ln(+∞) e ln(-∞).

 

Proprio per questa ragione si studia la teoria dei limiti e dell’intorno di un punto. Senza scendere troppo nei dettagli e per arrivare subito al punto, ti basti ricordare che in questi casi si va a studiare il comportamento della funzione negli intorni di infinito (nell’ipotesi che sia definita in un intervallo con l’infinito).

 

QUANTO VALE IL LOGARITMO DI INFINITO?

Cerchiamo subito di dare una risposta a questo punto. La prima osservazione che facciamo è: di quale logaritmo stiamo parlando? La funzione generica logaritmo è:

Y=LOGAX

Ricordi quello che hai imparato quando hai studiato le proprietà dei logaritmi? La base “a” che può essere:

 

# maggiore di 1

# compresa da o e 1

100-

Anche il grafico della funzione cambia a seconda della base e di conseguenza anche il risultato della tua domanda (quanto vale il logaritmo di infinito). Analizziamo il comportamento delle due curve: la rossa e la gialla.

 

LOGARITMO DI INFINITO CON BASE MAGGIORE DI 1

La curva rossa indica l’andamento della funzione logaritmo generica con base maggiore di 1. Che cosa succede quando la x va verso infinito? Detto in parole povere, la curva rossa dove tende man mano che si sposta verso destra? Verso l’alto… Cioè la sua y tende ad infinito. Per questa ragione ha senso dire che il logaritmo di infinito in questo caso vale infinito.

 

LOGARITMO DI INFINITO CON BASE COMPRESA TRA 0 E 1

Facciamo lo stesso tipo di ragionamento per curva gialla. Quindi cosa succede quando questa si sposta verso destra. In altre parole cosa succede alla y quando la x si sposta verso destra? Che va verso il basso… Cioè la y tende a meno infinito. Per questa ragione possiamo dire che il logaritmo di infinito in questo caso vale meno infinito.

 

CONCLUSIONI

Fermo restando quanto detto nella premessa, possiamo impropriamente dire che:

 

# il logaritmo di infinito con base maggiore di uno vale infinito limx→+∞logax=+∞ , con a>1

# il logaritmo di infinito con base compresa tra zero e 1 vale meno infinitolimx→+∞logax=-∞ , con 0<a<1

 

Il risultato è esprimibile anche attraverso l’uso dei logaritmi, ma come hai potuto vedere sopra, è sufficiente ricordarsi semplicemente il grafico della funzione logaritmo per dare una risposta esauriente e corretta, così come abbiamo fatto quando abbiamo visto quanto vale il logaritmo di zero.

 

Seconda prova matematica 2016

 

PROBLEMA 1

L’amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei modelli esistenti in commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigenze del condominio.

101-

 

Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l’amministratore ti fornisce il disegno in figura 1, aggiungendo le seguenti indicazioni:

 

# la lunghezza ? del serbatoio deve essere pari a 8 metri;

# la larghezza ? del serbatoio deve essere pari a 2 metri;

# l’altezza ℎ del serbatoio deve essere pari a 1 metro;

# il profilo laterale (figura 2) deve avere un punto angoloso alla sommità, per evitare l’accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con un angolo ? ≥ 10°;

# la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno 13 m3 , in modo da garantire al condominio il riscaldamento per tutto l’inverno effettuando solo due rifornimenti di gasolio;

# al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l’asse di simmetria (segmento ?? in figura 2) deve essere installato un indicatore graduato che riporti la percentuale di riempimento V del volume del serbatoio in corrispondenza del livello z raggiunto in altezza dal gasolio.

 

1) Considerando come origine degli assi cartesiani il punto ? in figura 2, individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può descrivere il profilo laterale del serbatoio per ? ∈ [−1, 1], ? intero positivo, motivando opportunamente la tua scelta:

?1(?) = (1 − |?|)1/?

?2(?) = −6|?|3 + 9??2 − 4|?| + 1

?3(?) = ???(?/2 ?? )

2) Determina il valore di ? che consente di soddisfare i requisiti richiesti relativamente all’angolo ? e al volume del serbatoio.

3) Al fine di realizzare l’indicatore graduato, determina l’espressione della funzione ?(?) che associa al livello ? del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento V del volume da riportare sull’indicatore stesso. Quando consegni il tuo progetto, l’amministratore obietta che essendo il serbatoio alto un metro, il valore ? del livello di gasolio, espresso in centimetri, deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il gasolio raggiunge un livello ? pari a 50 cm vuol dire che il serbatoio è pieno al 50%; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondenza del livello 50 cm, una percentuale di riempimento 59,7%.

4) Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all’amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello ? come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di ? in corrispondenza del quale esso si verifica

 

PROBLEMA 2

Nella figura 1 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua ?:[0, +∞) → ℝ, derivabile in ]0, +∞), e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.

102-

È noto che Γ è tangente all’asse ? in ?, che ? ed ? sono un punto di massimo e uno di minimo, che ? è un punto di flesso con tangente di equazione 2? + ? − 8 = 0.

 

Nel punto ? la retta tangente ha equazione ? + 2? − 5 = 0 e per ? ≥ 8 il grafico consiste in una semiretta passante per il punto ?. Si sa inoltre che l’area della regione delimitata dall’arco ????, dall’asse ? e dall’asse ? vale 11, mentre l’area della regione delimitata dall’arco ??? e dall’asse ? vale 1.

 

In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni ? = ?′(?) ?(?) = ∫ ?(?)?? – con estremi di integrazione 0 e x – Quali sono i valori di ? ′ (3) e ? ′ (5)? Motiva la tua risposta.

Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: ? = |?′(?)| ? = |?(?)|′ ? = 1 ?(?) specificando l’insieme di definizione di ciascuna di esse.

Determina i valori medi di ? = ?(?) e di ? = |?(?)| nell’intervallo [0,8], il valore medio di ? = ?′(?) nell’intervallo [1,7] e il valore medio di ? = ?(?) nell’intervallo [9,10].

Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione ?(?) nei suoi punti di ascisse 0 e 8, motivando le risposte.

 

QUESTIONARIO

1)  È noto che

103-

2) Data una parabola di equazione ? = 1 − ?? 2 , con ? > 0 si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse x, nel segmento parabolico delimitato dall’asse x. Determinare ? in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.

3)  Un recipiente sferico con raggio interno ? è riempito con un liquido fino all’altezza ℎ. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da: ? = ? ∙ (?ℎ2 − ℎ3/3 ).

4) Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?

5) Una sfera, il cui centro è il punto ?(−2, −1, 2), è tangente al piano Π avente equazione 2? − 2? + ? − 9 = 0. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?

6) Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta: “Esiste un polinomio ?(?) tale che: |?(?) − cos(?)| ≤ 10−3 , ∀? ∈ ℝ”.

104-

8) Data la funzione ?(?) definita in ℝ, ?(?) = ??(2? + ?2 ), individuare la primitiva di ?(?) il cui grafico passa per il punto (1, 2?).

9) Date le rette:

105-

e il punto ?(1, 0, −2) determinare l’equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette.

10) Sia ? la funzione così definita nell’intervallo ]1, +∞):

106-

Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di ? nel suo punto di ascissa √?.

 

SOLUZIONI SECONDA PROVA MATURITÀ 2016

SVOLGIMENTO PROBLEMA 1

Per poter iniziare ad affrontare questo problema di maturità 2016, è necessario fissare un sistema di riferimento. Un origine degli assi cartesiani nel punto A come ci viene suggerito dalla traccia. Per cui possiamo subito dare le coordinate cartesiane di alcuni punti:

107-

Quello che notiamo è che in B deve esserci un punto angoloso, per cui la derivata della funzione nel punto di ascissa 0 deve essere diversa da zero. Cioè f ‘ (0) diverso da 0.

Per questa ragione possiamo subito scartare la funzione f3 che ci viene proposta dalla traccia. Facendone la derivata otterrei il seno di qualcosa. Sostituendo 0 al posto della x otterrei il seno di 0, e quindi la funzione derivata prima in quel punto sarebbe nulla. Ciò non sarebbe compatibile con la figura e quindi possiamo scartare questa terza soluzione.

Altro dato che ci viene fornito dalla traccia è che la funzione passi sia per B che per C. Quindi sostituendo in f2 le coordinate di B(1;0) e C(0;1) deve uscire un’identità (del tipo un numero uguale a se stesso). Proprio per questa ragione possiamo escludere anche la seconda soluzione. Inoltre facendone la derivata seconda, otterrei un profilo concavo/convesso differente da quello suggerito dalla figura. Infatti:

 

f ” (x) = -36x+18

 

Facendo il calcolo di concavità e convessità -36x>-18 → x<1/2. Significa che in corrispondenza dell’ascissa x=1/2 dovrei avere un cambiamento di concavità. Cosa incompatibile con la figura. Per questa ragione la soluzione al punto 1 del problema 1 è f1. Cioè la funzione f1 rappresenta il grafico in figura.

Per rispondere al punto 2, occorre calcolare il volume del serbatoio. Per effettuare questo calcolo moltiplichiamo l’area della sezione trasversale (che chiamiamo S) per la lunghezza del serbatoio (L=8) → V= S · L

108-

Poiché K deve essere compreso tra 1 e 5 e allo stesso tempo deve essere maggiore di 13/3 (cioè di 4,3), allora possiamo scrivere che k=5. Per k=5 il volume diventa V=(16*5)/(5+1)= circa 13,3 metri cubi che è maggiore dei 13 metri cubi richiesti.

A questo punto possiamo calcolare il punto 3 del problema 1 della maturità 2016.

Bisogna calcolare il volume individuando una funzione V(z) che associa il livello di gasolio nel serbatoio la percentuale di riempimento del Volume da indicare sul serbatoio stesso.

109-

Fissata x l’ascissa possiamo trovare che:

z=(1-x)1/5

da cui possiamo ricavare la x

x=1-z5

Il volume di gasolio contenuto nel serbatoio è:

110-

Per risolvere l’ultimo punto, possiamo dire che abbiamo trovato k=5. Quando z=50cm, cioè mezzo metro, allora

P(0,5m)=120(0,5)- 20 x (0,5)6 =59,7 %

Il riempimento proposto del 50% è quindi sbagliato, poiché il volume individuato non è rettangolare ma ha una forma irregolare che lo porta ad essere più capiente verso la base. L’amministrazione propone invece di usare la formula:

P(a)= 100z

La differenza tra P(z) e P(a) è pari a d(z)=120z-20z6-100z=20z-20z6

Si calcola il massimo della funzione d(z) cioè d'(z)=20-120z5, continuando come si fa lo studio di funzione, si pone derivata prima uguale e poi maggiore di 0.

111-

Per cui l’errore massimo si ha in corrispondenza di z=0,7m.

112-

 

Quando una funzione è invertibile?

 

Iniziamo subito con la definizione di funzione invertibile, tanto importante nel programma di analisi.Una funzione invertibile è tale se si può definire una nuova funzione f-1 detta funzione inversa.

 

DEFINIZIONE DI FUNZIONE INVERTIBILE

data una funzione f:A -> B, se ad ogni y=f(x) appartenente a B corrisponde un solo x appartenente ad A viene definita una nuova funzione f-1 detta funzione inversa di f.

f-1:B -> A con x=f-1(y)

La funzione è una relazione che lega gli elementi dell’insieme A con quelli dell’insieme B. Così come vedi in figura.

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La funzione inversa invece si ha quando la freccia blu nell’immagine parte da B e arriva ad A. Sostanzialmente nella funzione normale hai la y a sinistra e tutte le x a destra. Sfruttando le funzioni invertibili hai invece la x a sinistra e tutte le y a destra.

 

ESEMPIO

Sia la nostra funzione da invertire y=x+1. Qual è la funzione inversa? Basta spostare la x a sinistra seguendo le regole delle equazioni di primo grado (come quella di cambiare il segno quando un elemento viene spostato). Il risultato è: x=y-1 ed è proprio la funzione inversa che stavamo cercando.

La domanda da porsi a questo punto è: ma tutte le funzioni sono invertibili? Quando una funzione è invertibile? Ci sono delle condizioni da rispettare, esiste una regola che mi possa aiutare a risolvere gli esercizi di matematica?

 

QUANDO UNA FUNZIONE È INVERTIBILE?

 

# Se una funzione è monotòna (cioè strettamente crescente o strettamente decrescente) allora la funzione è invertibile.

# Se l’equazione y=f(x) risolta rispetto ad x ammette una sola soluzione per qualsiasi valore di y, allora la funzione è invertibile.

 

Quando risolvi i tuoi esercizi, verifica che siano rispettate queste due condizioni. Sono sufficienti per definire una funzione invertibile.

 

ESERCIZI

La parte teorica è praticamente conclusa. Vediamo alcuni esercizi svolti così da verificare le nostre conoscenze.

 

Esempio 1

y=2x è una funzione invertibile?

Per saperlo basta ricavarci la x. L’inversa della funzione esponenziale è la funzione logaritmica, per cui ci basta fare il logaritmo in base 2 ad entrambi i membri per ottenere.

 

log2y=log22x    che diventa x=log2y

 

Esiste quindi una sola soluzione rispetto alla x, per cui l’esponenziale datoci dalla traccia è una funzione invertibile. Inoltre osserviamo che il dominio della funzione f è tutto R, mentre il codominio esiste solo per valori di y>0. Nella funzione inversa (cioè quella con il logaritmo che abbiamo calcolato) il dominio e il codominio sarà le inverse rispetto a quelle calcolate per f.

 

Esempio 2

y=x2 è una funzione invertibile?

 

Per scoprirlo come nell’esercizio precedente proviamo a calcolare la x, per ottenere x= ± radice quadrata di y. In questo caso la funzione è invertibile in un intervallo dato, cioè restringendo il suo dominio. In particolare:

 

# per x≥0 -> x=radice di y

# per x<0 -> x= – radice di y

 

Esempio 3

Verifichiamo che la funzione è invertibile anche solo localmente y=x2-2x-3.

Si tratta di un’equazione di secondo grado per cui facendo il grafico otteniamo una parabola. Questa figura ha come caratteristica di essere per un tratto decrescente ed uno crescente. Poiché il vertice è V(1;-4), allora la funzione è invertibile negli intervalli (-∞;1] e [1;+∞).

Provando a ricavare la x otteniamo: x1,2=1± radicequadrata(1+3+y)=1± radicequadrata(4+y), con y≥-4

 

# per x≤1 -> x=1-radicequadrata(4+y)

# per x>1 ->  x=1+radicequadrata(4+y)

 

Intorno di un punto

 Quando si definisce circolare, destro e sinistro

 

Prima di arrivare ai limiti ci sono alcuni concetti che bisogna affrontare. Dalla definizione di punto di accumulazione al concetto di intorno di un punto.  Ci concentreremo proprio su quest’ultimo argomento, andando a studiare che cos’è un intorno circolare, destro sinistro di un punto oppure di infinito.

Prima di capire che cos’è l’intorno di un punto facciamo un breve richiamo di geometria analitica. Ricordi quando abbiamo parlato di coordinate cartesiane nel piano? Dicemmo che esiste una corrispondenza biunivoca che lega i numeri reali ai punti di una generica retta orientata r. Su questa retta possiamo identificare un segmento di estremi A,B, come in figura.

114-

 

Come puoi vedere sul grafico in maiuscolo sono segnati i nomi dei punti sull’asse x, mentre in basso sono segnate dello stesso colore le rispettive coordinate. Fatta questa premessa e partendo proprio dal disegno che ti hai appena visto, possiamo dire che cos’è un intorno di un punto.

 

DEFINIZIONE

Si definisce intorno di un punto P, o anche intorno di x0, e si indica con I(P), l’insieme formato dai punti di r appartenenti ad un segmento contenente P al suo interno.

Vuoi una definizione più facile? L’intorno del punto P non è altro che tutto ciò che c’è prima e dopo quello stesso punto, specificando ovviamente quanto prima e quanto dopo bisogna procedere.

 

Esempio

Un vigile che si trova a centro strada per regolare il traffico, ha un campo di azione di 10 metri alla sua destra e alla sua sinistra. Se il vigile è il punto P, allora l’insieme delle automobili che si trovano a 10 metri a sinistra e a destra del vigile rappresentano l’intorno del punto.

Proviamo ora a tradurre la definizione teorica in una espressione matematica.

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Non è importante in questo momento se gli estremi siano inclusi o meno nell’intorno. Per ora è assolutamente indifferente. Ovviamente in base a quanto abbiamo detto fino ad ora, e ricordandoci come si calcola la distanza tra due punti A e B, possiamo dire che l’ampiezza dell’intorno è b-a.

 

CHE COS’È UN INTORNO CIRCOLARE?

Si parla di intorno circolare quando P è il punto medio del segmento AB, quindi la distanza x0-a è uguale a b-x0.

 

INTORNO DESTRO DI UN PUNTO

Molto analogamente a quanto già detto prima si può parlare di intorno destro quando il primo estremo dell’insieme è proprio la coordinata del punto P. Quindi il punto P diventa l’estremo sinistro dell’intervallo da considerare. Ecco la definizione.

Definiamo intorno destro di un punto P, e si indica con I+(P), l’insieme dei punti diversi da P e appartenenti ad un segmento che ha P come estremo sinistro.

Dal punto di vista matematico, questa definizione si traduce nella seguente formula

116-

In questo caso, invece, l’ampiezza dell’intorno è b-x0. Non ha senso in questo caso parlare di intorno circolare, visto che il punto P è diventato uno degli estremi e non può più essere il punto medio.

 

INTORNO SINISTRO DI UN PUNTO

Si parla invece di intorno sinistro quando il punto P diventa l’estremo destro, per cui si va a considerare l’insieme dei numeri reali minori di x0 fino ad arrivare alla coordinata di A.  Dal punto di vista matematico vale la formula:

117-

L’ampiezza dell’intorno sinistro è x0-a e anche in questo caso non ha senso parlare di intorno circolare, dato che P è nuovamente un estremo e non può essere punto medio del segmento.

 

INTORNO DI INFINITO

Fino a questo momento ci siamo occupato di insiemi circoscritti, i cui estremi cioè sono numeri reali. In matematica esistono anche gli intorni di intervalli aperti. In entrambi non ha senso parlare di intorno circolare dato che P continua ad essere un estremo del segmento.

 

INTORNO DI – INFINITO

L’intorno di meno infinito, ad esempio, è quell’insieme di valori che vanno da meno infinito fino ad un certo punto P.

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INTORNO DI + INFINITO

Allo stesso modo è possibile individuare l’intorno di più infinito come quell’intorno che va dal generico punto P fino a più infinito

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INTORNO BUCATO

Non c’è nulla di difficile in quest’ultima definizione che userai molto raramente nel tuo corso di studi, ma per completezza te la presentiamo. L’intorno bucato è un semplice intorno finito, quindi gli estremi sono punti appartenenti all’insieme dei numeri reali, di cui però lo stesso punto P va escluso.

L’intorno bucato può essere un intorno completo.

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Funzioni biettive

– grafico, esempi e definizione

 

Una funzione biettiva, detta anche funzione biiettiva, o biunivoca, è particolarmente importante per risolvere gli esercizi di matematica, poiché mi permette di stabilire quando una funzione è invertibile. Ad ogni modo cerchiamo subito di capire quali sono le funzioni biettive o biunivoche.

 

FUNZIONE BIETTIVA DEFINIZIONE

Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A, il dominio, in elemento dell’insieme B, codominio. Diciamo che f è una funzione biiettiva se essa è contemporaneamente una funzione iniettiva e una funzione suriettiva. Le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente:

 

# per ogni a1,a2 appartenenti ad A, con a1 diverso da a2, f(a1) deve essere diverso da f(a2)

# f(A)=B

 

“Come faccio a capire se una funzione è biiettiva?” La definizione di funzione biunivoca è molto più semplice rispetto alle iniettive e suriettive.

121-

Come puoi vedere dal grafico Una funzione di questo tipo viene anche chiamata corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e B.

A questo punto vediamo alcuni esempi pratici ed esercizi svolti per rendere più chiaro l’argomento.

 

ESEMPIO 1.

La funzione reale di variabile reale y=2x-1 è una funzione biettiva. Infatti il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali R. Inoltre se risolviamo l’equazione di primo grado portandoci la x a sinistra otteniamo:

 

x=y/2-1/2

 

Volendo calcolare il dominio riferito alla y e non alla x (cioè il codomonio) vediamo che l’insieme di definizione è sempre R. Questo significa che per ogni x esiste sempre una y e viceversa.

 

ESEMPIO 2.

y=x^2-4 è una funzione biiettiva? No, perché mentre il suo dominio è l’insieme dei numeri reali R, il suo codominio ha delle esclusioni. Andando a risolvere questa equazione di secondo grado portando la x a sinistra ottengo che x è uguale alla radice quadrata di y+4, che ammette valori reali solo nel caso in cui y sia maggiori o uguali di -4.  Per y=-5, ad esempio, non ho controimmagine, per cui non abbiamo una funzione biiettiva.

 

ESERCIZIO

Stabilire se la funzione è biettiva facendo bene attenzione agli insiemi che sono forniti dalla traccia.

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Il dominio della funzione è x-3 diverso da 0, che con un semplice passaggio algebrico diventa x diverso da 3. Questo significa che il dominio comprende l’insieme dei numeri reali ad esclusione del valore 3. La traccia mi permette questa soluzione.

Per quanto riguarda il codominio prima è necessario fare un passaggio matematico:

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A questo punto possiamo calcolare il codominio che comprende tutti i valori dei numeri reali ad esclusione di 2, lo stesso che mi consente la traccia. Per questa ragione si tratta di una funzione biettiva e quindi c’è corrispondenza biunivoca  tra x e y.

 

Funzione suriettiva

 – Grafico, definizione ed esempi svolti

 

Abbiamo già parlato nelle precedenti lezioni di come stabilire se una funzione è iniettiva. Oggi ci concentreremo su un’altra importante definizione di funzione. In particolare vedremo che cos’è una funzione suriettiva, partendo dalla definizione completa di grafico fino a vedere assieme degli esercizi.

Si tratta di un argomento spesso sottovalutato al liceo ma che è importante non solo per il programma di analisi ma anche per l’algebra lineare. Generalmente a scuola si da poco più che una definizione e una spiegazione sulle funzioni suriettive, spesso neanche molto chiara. Cercheremo di darti un’idea più chiara e completa dell’argomento, rendendoti tutto il più semplice possibile.

 

DEFINIZIONE DI FUNZIONE SURIETTIVA

Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A in elementi dell’insieme B. Diciamo che f è una funzione suriettiva se vale la condizione f(A)=B

Cerchiamo ora di capire bene il significato della definizione di funzione suriettiva, detta anche surgettiva in alcuni testi più vecchi. In maniera più matematica possiamo dire che la funzione è suriettiva quando tutti gli elementi di B posseggono almeno una controimmagine. Proviamo a rendere tutto ancora più semplice analizzando il seguente grafico.

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Nel grafico sono presenti due figure. Nella prima puoi vedere rappresentata una funzione suriettiva, mentre nella figura due è rappresentata una funzione non suriettiva. Cosa cambia? Come stabilire se una funzione è suriettiva? Come puoi vedere in figura 2 è presente un elemento che non ha una controimmagine, cioè non è collegato a nessun elemento di A.

Una funzione è suriettiva quando tutti gli elementi del codominio, cioè dell’insieme B di destra hanno un corrispondente elemento nel dominio della funzione, cioè l’insieme di sinistra. Per cercare di renderti tutto ancora più facile e chiaro, ecco alcuni esempi.

 

ESEMPIO 1

La funzione reale di variabile reale y=f(x), il cui grafico è rappresentato in figura, è suriettiva. Infatti ogni retta orizzontale (corrispondente ad un valore reale e qualsiasi) interseca la curva almeno in un punto. Tradotto dal linguaggio matematico, questo vuol dire che per ogni valore di y esiste sempre un valore di x.

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ESEMPIO 2

y=x^2 è l’equazione della parabola con vertice nell’origine. Ebbene la parabola non è una funzione suriettiva. Infatti il suo codominio è l’insieme R0+, cioè l’insieme dei numeri reali positivi e compreso lo 0. La curva infatti esiste solo nel primo e terzo quadrante del piano cartesiano. Se proviamo cioè a tracciare la retta y=-2, ad esempio, non intersecherà in alcun punto la funzione. Questo vuol dire che esistono dei valori di y che non hanno una corrispondenza nell’insieme delle x possibili.

 

COME STABILIRE SE UNA FUNZIONE È SURIETTIVA CON IL METODO ANALITICO

Quello che abbiamo visto sino ad ora è sostanzialmente il metodo grafico. Cioè si disegna la funzione e si verifica che per ogni y scelta ci sia almeno una x corrispondente. Una soluzione alternativa a questo tipo di esercizi può essere data dal metodo analitico per le funzioni suriettive. In cosa consiste? Nell’applicazione rigorosa della definizione di funzione suriettiva vista in precedenza.

Questo significa trovare per ogni y, almeno una x, tale che y=f(x). Come si fa? Basta risolvere l’equazione calcolando la x invece della y. Vediamo con un esercizio svolto di essere subito più chiari.

 

ESEMPIO 3

L’equazione della retta y=2x+1 è una funzione suriettiva? Dimostriamolo con il metodo analitico.

Mentre con il metodo grafico è sufficiente disegnare una retta nel piano cartesiano e si verifica immediatamente che per ogni retta orizzontale si interseca sempre la retta data, con il metodo analitico bisogna risolvere un’equazione di primo grado, andando cioè a spostare la x a sinistra.

y=2x+1  –> x=y/2 + 1/2

La funzione è suriettiva perché per qualsiasi valore di y si trova senza dubbio un corrispondente valore di x.

 

ESEMPIO 4

yx=2 è l’equazione di un’iperbole equilatera riferita agli assi. Proviamo a verificare che si tratti di una funzione suriettiva con il metodo analitico.

yx=2 –> x=2/y

Non è una funzione suriettiva perché immaginando di voler calcolare le condizioni di esistenza riferite alla y, troverei immediatamente che per y=0 non esiste alcun valore di x. E’ dato che la definizione sottolinea che devono essere tutti i valori del codominio ad avere controimmagine nel dominio, allora la funzione non è suriettiva.

 

Funzione iniettiva

– definizione, grafico ed esempi

 

, non è niente di particolarmente difficile da capire e anche se a scuola non ci hai capito nulla, vedrai che al termine di questa lezione avrai tutto molto più chiaro.

Ci concentreremo su ciascuna di queste vedendo qual è la definizione e come può essere spiegata in maniera semplice attraverso l’uso di un grafico. La prima domanda che sicuramente ti stai ponendo è: “a che servono le funzioni iniettive e suriettive?“. Nel programma di analisi ti troverai spesso a sentir parlare di funzioni inverse e invertibili. Tutto parte dai contenuti che affronteremo in maniera semplice e schematica nella lezione di oggi.

 

FUNZIONI INIETTIVE

Iniziamo subito con la definizione di funzione iniettiva così come la trovi sui libri di matematica che usi anche a scuola.

Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A in elementi dell’insieme B. Diciamo che f è una funzione iniettiva tra gli insiemi A e B se gli elementi di B posseggono al massimo una controimmagine.

 

Per capire quando una funzione si dice iniettiva basta che ricordi la definizione di funzione. Dicemmo che è una relazione che associa per ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Le funzioni iniettive hanno la caratteristica per cui anche agli elementi di B corrisponde un solo elemento dell’insieme A.

Ti facciamo notare come possano esistere degli elementi dell’insieme B privi di controimmagine (cioè di elementi collegati nell’insieme A)

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Nell’immagine la figura 1 è una funzione iniettiva, mentre la figura 2 non è una funzione iniettiva. Questo perché nel grafico a destra puoi vedere che alcuni elementi  dell’insieme a sinistra convergono verso un’unico elemento dell’insieme di destra, condizione non accettabile per la definizione.

 

ESEMPI

ESERCIZIO 1DIMOSTRARE CHE Y=1/X È UNA FUNZIONE INIETTIVA

Per verificare che la funzione assegnataci dalla traccia sia iniettiva occorre verifica che non solo passando da x a y (quindi dall’insieme A a quello B) c’è un solo collegamento per ogni elemento, ma deve valere anche il contrario. Per ogni elemento di y deve corrispondere 1 solo elemento di x.

Possiamo farlo andando a calcolare x=1/y. Assegniamo dei valori arbitrari (cioè a nostra scelta) alla y, tranne 0 perché non rientra nel dominio delle funzioni fratte.

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Dal grafico della funzione sul piano cartesiano puoi anche notare che per qualsiasi retta r orizzontale (tratteggiata in figura) ci sarà un solo punto di intersezione con curva. Questo significa che ogni valore dell’insieme B, come ad esempio il valore sull’asse delle y pari a r (y=r retta orizzontale) ha una sola controimmagine. Infatti puoi vedere che in corrispondenza di r esiste un solo valore sull’asse delle ascisse, pari a x0.

 

ESERCIZIO 2VERIFICARE CHE LA TRACCIA ESPRIMA UNA FUNZIONE INIETTIVA.

y=(1-x)/(1+x), dove la funzione è definita per l’insieme numerico Z (numeri interi relativi). Il dominio della funzione è l’insieme Z ed inoltre x deve essere diverso da -1.

Il codominio C della funzione è strettamente contenuto in Q, poiché si possono individuare gli elementi di Q privi di controimmagine; stabiliamo per esempio, se l’elemento 3/2 ha controimmagine:

128-

Il valore determinato non è accettabile poiché non è un numero intero relativo, quindi 3/2 (l’elemento dell’insieme B) non ha controimmagine (cioè non vi è associato alcun elemento dell’insieme A). Abbiamo così dimostrato che quel determinato valore non ha una controimmagine.

Quello che ci resta da stabilire per completare questo esercizio sulle funzioni iniettive è che presi due qualsiasi numeri x1 e x2 le loro immagini sono differenti, cioè f(x1) è diverso da f(x2). Si tratta di una dimostrazione che facciamo per assurdo. Supponiamo quindi che sia:

129-

L’esercizio ci ha portato ad un risultato che contrasta con l’ipotesi iniziale (cioè che x1 diverso da x2). Dobbiamo perciò considerare che f(x1)=f(x2). Abbiamo così dimostrato che le funzione di partenza assegnataci dalla traccia è iniettiva.

In realtà l’esercizio che ti abbiamo mostrato in questo secondo esempio è ben più complesso rispetto a quelli che svolgerai in classe. Generalmente i programmi e gli esercizi di matematica che ti vengono assegnati in aula non riguardano le funzioni iniettive e suriettive su cui invece ti limiterai all’enunciato e ad una rapida  spiegazione con gli insiemi. Dovrai cioè sapere quello che abbiamo studiato in questa prima parte di lezione.

 

La Funzione Esponenziale

 – definizione, grafico e dominio

 

La funzione esponenziale è una funzione così definita perché ha l’incognita x che compare all’interno dell’esponente.

DEFINIZIONE

Dato il numero reale positivo a ed il numero x variabile nel campo dei numeri reali R, se ad ogni elemento di x associamo l’elemento a elevato alla x, otteniamo la corrispondenza:

130-

Cerchiamo ora di dare una definizione di funzione esponenziale più semplice. Ci troviamo di fronte a funzioni esponenziali nel momento in cui ho una potenza e all’esponente compare la x.

 

DIFFERENZA TRA POTENZE ED ESPONENZIALI

La domanda che si potrebbe porre è: che senso ha studiare gli esponenziali quando possiamo studiare le potenze? L’esponenziale è in realtà molto diverso e anche il suo grafico presenta notevoli differenze.

Mentre il grafico di una potenza è una parabola (nel caso ad esempio di potenza ad indice due), con gli esponenziali ci troveremo una curva diversa. La sostanziale differenza tra potenza ed esponenziale sta nel fatto che nel primo caso la x sta alla base, nel secondo caso l’incognita compare invece all’esponente.

 

DOMINIO – CAMPO DI ESISTENZA

La funzione esponenziale ha un dominio valido su tutto R. Questo significa che non esistono punti di discontinuità sul grafico, in parole povere la funzione può spostarsi da meno infinito a più infinito senza problemi e senza subire alcuna interruzione.

Vedrai sul grafico della funzione esponenziale che non si scende mai al di sotto dell’asse x. Questo significa che la funzione è sempre positiva, per cui il codominio è R+, cioè per ogni x appartenente all’insieme dei numeri reali positivi.

 

STUDIO DEL SEGNO – POSITIVITÀ

Con lo studio del segno andiamo ad analizzare dove e quando la funzione esponenziale è positiva o negativa, cioè quando si trova sopra o sotto l’asse delle x. Per questa operazione, come in ogni studio di funzione, è necessario verificare la disequazione f(x)>0.

Per definizione la funzione esponenziale è sempre positiva, cioè si trova sempre al di sopra dell’asse delle x, qualsiasi sia la base.

 

GRAFICO DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE

Il grafico ha un andamento differente a seconda di quanto vale la base. Se infatti la base è un numero maggiore di 1 ho una funzione sempre crescente, se il suo valore è compreso tra 0 e 1 il suo andamento è sempre decrescente. Se infine a=1 allora ho una retta orizzontale. Vediamo i tre grafici:

 

A>1 – BASE MAGGIORE DI 1

131-

 

0<A<1 – BASE COMPRESA TRA 0 E 1

132-

A=1 – RETTA ORIZZONTALE

Nel caso in cui l’esponente sia uguale a 1, la funzione esponenziale y=a^x coincide con y=1, cioè una retta orizzontale.

 

CONSIDERAZIONI E OSSERVAZIONI SUL GRAFICO ESPONENZIALE

Possiamo così fare alcune considerazioni sul grafico della funzione esponenziale: in particolare notiamo che quando a>1 allora la curva è crescente, quando a è compresa tra 0 e 1 allora la curva disegnata è decrescente.

 

COME DISEGNARE LE FUNZIONI ESPONENZIALI?

Come si disegnano le funzioni esponenziali? Mentre per disegnare una retta partendo dalla sua equazione avevamo detto che erano sufficienti due punti, in questo caso ne serve qualcuno in più. Con 3 punti si disegna l’equazione di una parabola, per cui è necessario disegnarne almeno 4 o 5.

Vediamo subito un esempio facile per chiarire il concetto espresso fino ad ora:

Rappresentiamo graficamente, per punti, la seguente funzione esponenziale:

y=3^x

133-

 

Data 13 ottobre 2019

ANALISI MATEMATICA – 2

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Discontinuità di prima specie

 –  definizione, esempi ed esercizi svolti

 

La discontinuità di prima specie si ha nel momento in cui esistono e sono finiti il limite destro e sinistro, ma sono diversi tra loro indipendentemente dal valore che la funzione assume nel punto C.

Dal punto di vista matematico questo può essere scritto come:

48-ANAL.MATE. - 2

 

 

In poche parole, quando si ha una discontinuità di prima specie, detta anche discontinuità di primo tipo, sul grafico si vedrà un salto vero e proprio nella curva. Questa procederà normalmente fino ad un certo punto, poi si interromperà bruscamente per riprendere in corrispondenza di una nuova ordinata.

Ecco alcuni esempi di come potrebbero essere i grafici di una funzione con una discontinuità di 1° specie.

 

CASO 1

La definizione di discontinuità di prima specie stabilisce solo che esistono e sono finiti i limiti destro e sinistro della funzione nel punto C, ma non da alcuna informazione riguardo al valore che assume f(x) in C. Il primo caso è quello per cui la curva prosegue fino a C incluso, cioè il valore f(C) rientra nella prima parte della curva, subito dopo c’è il salto.

49-

CASO 2

Nell’immagine che vedi, è rappresentata una possibile discontinuità di prima specie dove questa volta, il limite sinistro assume un valore, f(C) cioè il valore della funzione nel punto C ne assume un altro, e il limite destro un altro ancora.

50-

CASO 3

Nell’ultimo caso che puoi vedere nell’immagine sotto, abbiamo una situazione in cui c’è un vero e proprio punto di discontinuità. Cioè la funzione nel punto C non esiste, per cui non è definito f(c). Tuttavia il limite destro e sinistro esistono, sono finiti e diversi tra loro.

51-

ESERCIZI SULLA DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE

Vediamo ora una esempio pratico di una funzione che presenta questo primo tipo di discontinuità.

52-

Abbiamo una funzione con un valore assoluto. Il primo passo è quello di calcolare il dominio della funzione. Essendo una fratta, si impone che il denominatore è diverso da zero. Per cui possiamo scrivere:

53-

Che significa quello che abbiamo scritto? Che, sul grafico:

 

# quando x>0, la funzione da studiare è y=+1, che è l’equazione di un retta orizzontale.

# quando x<0, la funzione da studiare è y=-1, anch’essa una retta orizzontale.

 

Poiché non esiste la funzione nel punto 0, perché non lo consentono le condizioni di esistenza, allora ho:

54-

Quindi la funzione dataci dalla traccia presenta una discontinuità di prima specie, con un salto do 2 unità. Infatti la distanza tra il risultato dei due limiti (cioè tra -1 e +1) è proprio pari a 2.

 

Intersezioni con gli assi

– come trovare i punti di intersezione con gli assi cartesiani

 

Le intersezioni con gli assi sono i punti di intersezione di una generica funzione f con gli assi cartesiani. Si tratta di un argomento estremamente importante nello studio di funzione perché permette di trovare preziosi informazioni sul grafico da disegnare.

Nel programma di geometria analitica avevamo già visto come trovare l’intersezione tra due rette. In questa lezione andremo a riprendere quanto già detto estendendo però il ragionamento a qualsiasi tipo di curva e funzione. Come si trovano i punti di intersezione con gli assi di una parabola, di una retta o di una qualsiasi funzione?

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

I punti di intersezione del grafico con gli assi cartesiani sono dei punti che si ottengono intersecando la funzione y=f(x) con l’asse delle ascisse (che ha coordinate y=0) e con l’asse delle ordinate (che ha coordinate x=0).

Non è detto che la nostra funzione abbia dei punti di intersezione con gli assi, ma dalla loro individuazione si possono già ricavare preziose informazioni da riportare sul grafico. Vediamo come procedere con questo doppio calcolo in maniera semplice.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y (X=0)

E’ necessario costruire un sistema composto da due equazioni. Sul primo rigo avremo la funzione y=f(x), sul secondo rigo l’equazione dell’asse delle ordinate x=0.

55-

Questo significa, in parole povere, che bisogna trovare un punto che ha coordinate P(0 ; yP) dove yP = f(0) lo si determina andando a sostituire, all’interno della funzione, al posto della x il valore 0.

E’ in genere il calcolo più immediato che può essere risolto a volte addirittura a mente grazie alla sua semplicità. Vedrai negli esercizi svolti dopo quanto questo calcolo sia semplice.

ATTENZIONE: non è detto che esista l’intersezione con l’asse delle ordinate. Se questo punto esiste, sarà unico, in base alla definizione di funzione. Ricordi cosa avevamo detto? Che per ogni valore di x associa uno e un solo valore di y, per cui non possono esserci 2 intersezioni con l’asse delle y.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE DELLE X (Y=0)

E’ necessario costruire un sistema composto da due equazioni. Sul primo rigo avremo sempre la funzione y=f(x), mentre sul secondo rigo metteremo la retta corrispondente all’equazione dell’asse delle x, ovvero y=0.

56-

Il punto di intersezione con l’asse delle ascisse ha coordinate P(xP;0). Per trovare l’ascissa del punto di intersezione con gli assi bisogna quindi andare a sostituire il valore 0 al posto della y. Dalla risoluzione dell’equazione che si ottiene ci sono due possibili casi:

 

# le equazioni sono impossibili o non hanno soluzioni: non ci sono intersezioni con l’asse x;

# le equazioni ammettono 1 o più soluzioni: queste sono proprio i valori delle ascisse dei punti di intersezione con l’asse x.

 

UN PRIMO SEMPLICE ESEMPIO

Proviamo subito a mettere in pratica quello che abbiamo scritto in termini generici con un facile esercizio svolto.

Calcolare le intersezioni con gli assi della funzione:

57-

INTERSEZIONI CON L’ASSE DELLE ORDINATE

x=0

y=√(0²-0+2) → y=√2

 

Quindi abbiamo semplicemente sostituito, nell’equazione della funzione, il valore 0 al posto della x. Abbiamo così trovato il primo punto di intersezione con gli assi cartesiani: P(0; √2)

 

INTERSEZIONI CON L’ASSE DELLE ASCISSE

58-

Come puoi vedere in questo caso, andando a sostituire al posto della y il valore 0 nella funzione, si ottiene un’equazione irrazionale. Quini dobbiamo determinare le condizioni di esistenza e poi elevare al quadrato. In realtà, quando effettueremo lo studio di funzione completo, le condizioni di esistenza non saranno necessarie perché non saranno altro che una ripetizione del dominio della funzione.

59-

La disequazione di secondo grado, una volta risolta, mi dà come risultato un delta negativo. Questo vuol dire che non ci sono intersezioni con l’asse delle ordinate.

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

Calcolare le intersezioni con gli assi cartesiani della funzione:

y=log(x-1)

In questo caso abbiamo una funzione logaritmica da studiare. Il procedimento è sempre lo stesso per cui iniziamo subito con i calcoli.

 

ATTENZIONE: quando andrai a studiare la funzione negli esercizi di analisi, dovrai per prima cosa calcolarne il dominio. In questo caso la condizione di esistenza della funzione è x-1>0, cioè x>1. Questo significa che è inutile calcolare l’intersezione con l’asse y (cioè mettere a sistema con x=0) perché i valori delle x validi sono da +1 fino a infinito. Non sei convinto? Proviamo a calcolare comunque l’intersezione con l’asse delle ordinate

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y

60-

Come puoi vedere il calcolo non ha fatto altro che confermare quello che già dal dominio potevamo intuire. Per cui, per evitare di sprecare tempo e fare calcoli inutili, fai attenzione al dominio prima di trovare le intersezioni con gli assi.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE X

61-

Una volta imposto il sistema, abbiamo semplicemente risolto l’equazione logaritmica che ne è derivata e siamo arrivati alla soluzione.

P(2;0)

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI DELLE FUNZIONI ESPONENZIALI

Trovare i punti di intersezione con gli assi cartesiani della funzione:

62-

INTERSEZIONE CON L’ASSE X

63-

 

L’intersezione con l’asse x non porta ad alcun risultato perché il logaritmo di 0 non esiste nel campo dei numeri reali. Per cui la funzione non si interseca con l’asse delle ascisse.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y

64-

L’esercizio potrebbe anche essere terminato ma vogliamo esprimere più correttamente il valore dell’ordinata, per cui è necessario eseguire una razionalizzazione del radicale.

65-

CONCLUSIONI

Abbiamo visto come il calcolo delle intersezioni con gli assi della generica funzione si risolve imponendo un sistema di due equazioni in due incognite. Dalla risoluzione del sistema si ottengono le coordinate dei punti che appartengono sia alla funzione che agli assi cartesiani.

 

Studio del segno di una funzione

 – come calcolare la positività di una funzione

 

Lo studio del segno di una funzione, detto anche positività di una funzione, è una tecnica di calcolo che permette di individuare quelle zone del grafico dove la curva studiata sta al di sopra o al di sotto dell’asse delle x.

Generalmente si effettua lo studio del segno della funzione subito dopo il calcolo del dominio, perché ciò permette di escludere rapidamente della vaste zone del grafico. Infatti attraverso l’analisi della positività è possibile andare ad eliminare dal disegno quelle zone sicuramente non attraversate dalla funzione.

 

DEFINIZIONE DI SEGNO DI UNA FUNZIONE

Immaginiamo di avere una generica funzione f:DR, cioè data una curva f di dominio D appartenente al campo dei numeri reali. Per la definizione di funzione sappiamo che ad ogni valore di x corrisponde un unico valore di y, per cui y=f(x).

Questo significa che assegnando un valore alla x, otteniamo la y di conseguenza. Qual è il segno assunto dalla y in questo caso? Positivo o negativo? A questa domanda si risponde attraverso lo studio del segno di una funzione.

 

A CHE COSA SERVE LO STUDIO DEL SEGNO?

Sostanzialmente la positività di una funzione permette suddividere l’asse cartesiano, e quindi il grafico da realizzare, in delle aree con un segno specifico: più (+) o meno (-). Alla fine dei calcoli si può:

 

# ottenere un intervallo in cui la funzione è positiva, cioè si trova sopra l’asse delle x, quindi primo o secondo quadrante.

# ottenere un intervallo in cui la funzione è negativa, cioè si trova sotto l’asse delle x, quindi terzo o quarto quadrante.

 

COME STUDIARE IL SEGNO DI UNA FUNZIONE

Lo studio della positività della funzione è davvero semplice dal punto di vista concettuale, perché si calcola semplicemente imponendo la condizione:

f(x)>0

Si tratta quindi di andare a risolvere una disequazione. Lo studio del segno di una funzione è difficile solo se la funzione è particolarmente complessa. Risolvendo questa disequazione otterremo degli intervalli da sistemare poi sul grafico. Tutto ciò ti sarà molto più chiaro negli esempi che vedremo tra poco.

 

SEGNO DI UNA FUNZIONE POLINOMIALE

Il caso più semplice da analizzare riguarda lo studio del segno di una funzione polinomio del tipo y =axn+bxn-1+…+z

 

ESEMPIO

Studiare il segno della funzione y=x²+4x+3

La condizione per lo studio del segno è y=x²+4x+3 > 0, per cui tutto quello che bisogna fare è risolvere una disequazione di secondo grado. Ecco come fare:

x²+4x+3 > 0 → la formula col delta è:

66-

A questo punto essendo il verso e il primo coefficiente concordi si prendono soluzioni esterne, cioè il risultato è:

x<-3 U x>-1

Questa non è altro che la soluzione dello studio del segno della funzione polinomiale. Non ci resta che mettere su grafico i valori ottenuti.

67-

Come puoi vedere dal grafico abbiamo tirato degli assi in corrispondenza delle estremità dell’intervallo individuato. Come detto all’inizio, lo studio del segno di una funzione ci indica quali sono i valori per cui la curva è positiva (quindi sopra l’asse x). Ciò significa che:

 

# quando x<-3 siamo sicuri che la funzione si trova sopra (per cui la zona inferiore di grafico si può cancellare)

# quando x>-1 siamo sicuri che la funzione si trovi sopra (per cui anche questa zona si può eliminare)

# in tutti gli altri valori sono sicuro che la funzione si trova sotto (per cui posso cancellare la zona superiore del grafico).

 

Quindi il grafico ottenuto dallo studio del segno diventa:

68-

Attraverso queste cancellazioni abbiamo così ottenuto delle zone del grafico in cui passa la funzione. Dallo studio del segno possiamo quindi dedurre che in corrispondenza di x=-3 o x=-1 possono esserci dei punti di intersezione con gli assi o degli asintoti, a seconda del dominio e dello studio dei limiti.

 

STUDIO DEL SEGNO DI UNA RAZIONALE FRATTA

Inizia leggermente a complicarsi il calcolo visto che viene introdotto un denominatore. Per cui non bisognerà più risolvere una semplice disequazione razionale, ma una razionale fratta. Vediamo subito un esercizio svolto.

69-

Poiché si prendono i valori positivi, il risultato sarà x<-1 U x>0. Questo è anche il risultato dello studio del segno della funzione, per cui possiamo completare il grafico finale. Anche in questo caso andremo ad eliminare (annerendole) la parte inferiore del grafico nell’intervallo trovato dal risultato. In tutto il resto si elimina sopra.

70-

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE IRRAZIONALE

In questo caso è importante avere una buona conoscenza sui metodi risolutivi delle disequazioni irrazionali. In caso contrario potremmo trovarci in difficoltà a risolvere le radici che si presenteranno per calcolare la positività della funzione.

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In questo caso dobbiamo studiare il segno di una funzione irrazionale fratta. Senza farci prendere dal panico per la presenza della radice, semplicemente applichiamo quanto visto fino ad ora, ovvero y>0.

Cerchiamo di essere furbi. Abbiamo una radice quadrata: hai mai visto una radice quadrata che come risultato da un numero negativo? NO! Questo perché la radice quadrata è una funzione sempre positiva, per cui la funzione si trova sempre sopra l’asse delle ascisse.

ATTENZIONE: in questo esercizio non è stato richiesto, ma la funzione ha ben due condizioni al dominio. Una disuguaglianza dovuta dalla presenza della radice (x+1)/(x-1)>0 e la condizione dettata dalla presenza del denominatore x≠+1. Questi valori devono essere cancellati anche dal grafico.

 

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

In questo caso è importante conosce le nozioni base delle equazioni logaritmiche. Vediamo subito un esempio di positività di funzione logaritmica. In questo esercizio inseriamo anche lo studio di funzione, visto che generalmente nei grafici dello studio del segno ha una sua influenza.

y=log(x+1)

Ricordati che anche in questo caso è necessario calcolare il dominio, cioè x+1>0 → x>-1. Per quanto riguarda lo studio del segno vale sempre la stessa regola:

log(x+1)>0 → elog(x+1)>e0 → x+1>1

x>0

Possiamo inserire il risultato sul grafico eliminando già i valori esclusi dal dominio (cioè si cancella tutto ciò che si trova prima di -1 che potrebbe essere un asintoto verticale)

72-

 

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

Per poter risolvere questo caso, è importante avere una buona conoscenza sulle equazioni esponenziali. Vediamo subito un esempio concreto su come si procede:

y=ex-1

y>0 → ex-1>0 →  ex>+1 → ln(ex)>ln(+1) → x>0

Il grafico in questo caso è estremamente semplice da realizzare, visto che si cancella la parte bassa del grafico in corrispondenza di x>0. Tutto il resto si cancella sopra.

73-

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE TRIGONOMETRICA

Per poter risolvere questo caso è necessario sapere come si risolvono le disequazioni goniometriche. Vediamo come procedere con i calcoli in questo caso. Il dominio della funzione seno che vedrai dalla traccia include tutto R per cui non ci sono punti o zone di discontinuità.

y=sinx-1/2

sinx-1/2>0 → sinx>+1/2

Nella lezione sulla funzione seno abbiamo visto il grafico della sinusoide. Come puoi vedere dall’immagine in basso, il seno è maggiore di -1/2 per valori di x compresi da 0 a 210° e da 330° a 360°. Sul grafico finale andremo ad inserire proprio questi valori

74-

 

Definizione di funzione matematica

 

Qual è la definizione di funzione matematica? Si tratta di uno degli argomenti più importanti ma allo stesso tempo difficili da capire per gli studenti. Implica alcuni concetti e definizioni (come il dominio) che saranno molto utili negli esercizi di analisi.

Per capire questa lezione è importante avere alcune nozioni che riguardano la teoria egli insiemi. Infatti per parlare di definizioni di funzioni reali, dovremo valutare le alcune condizioni che riguardano due insiemi particolari. Entriamo però subito nel vivo della lezione

 

DEFINIZIONI DI FUNZIONI

Iniziamo subito questa lezione dandoti la definizione di funzione matematica che trovi in genere su tutti i libri di testo:

Si definisce funzione matematica quella legge che associa ad ogni elemento di un insieme A uno ed un solo elemento dell’insieme B.

Per capire che cos’è una funzione iniziamo disegnando due insiemi generici, A e B, non vuoti, cioè che al loro interno sono presenti degli elementi.

75-

CHE COS’È UNA FUNZIONE?

Come puoi vedere l’elemento dell’insieme A viene collegato con l’elemento dell’insieme B con una freccina che si chiama f. E’ proprio questo il concetto di funzione. Detto quindi in parole povere da un insieme A (che sarà il dominio, cioè l’insieme delle x), attraverso un oggetto matematico (appunto la funzione) arriviamo all’insieme B (che sarà l’insieme delle y).

Scritto in maniera matematica:

f:A → B

 

Che significa? Applicando una f all’insieme A arriviamo in B.

Un altro modo per indicare la funzione in matematica è f(a)=b dove a e b sono i generici elementi dell’insieme A e B rispettivamente. Molto spesso troverai infatti scritto sui libri: data la funzione y=f(x).

Ma che cos’è una funzione? La definizione l’abbiamo capita, ma nella pratica chi è f? E’ una qualsiasi operazione o operatore matematico applicato alla x. Ecco alcuni esempi:

 

# x+1 è una funzione perché dato un valore di x, f ci dice di aggiungere +1 per ottenere la y.

# è una funzione perché dato un valore di x, la f ci dice di farne la radice quadrata per ottenere la y.

# sin x anche il seno è una funzione perché data una x, la f ci dice di applicare il seno per ottenere la y.

 

CHE COSA SONO IL DOMINIO E IL CODOMINIO

Accanto alla definizione di funzione, ci sono due concetti importanti da conoscere e che andranno applicati negli esercizi di analisi e negli studi di funzione: dominio e codominio. Che cosa sono?

 

# L’elemento dell’insieme B (il puntino a destra) si definisce immagine dell’elemento nell’insieme A (il puntino a sinistra)

# L’elemento dell’insieme A si definisce controimmagine dell’elemento in B

# L’insieme A si definisce dominio della funzione f e si indica con la lettera D

# L’insieme B si definisce codominio della funzione f e si indica con la lettera C

 

ESEMPIO: È UNA FUNZIONE

Vediamolo più facilmente con un esempio. Ti ricordi come si disegna una retta? Molto brevemente assegnavamo un valore alla x a nostra scelta e calcolavamo la y di conseguenza.

76-

y=2x+1 è una funzione, nello specifico è l’equazione di una retta. Ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di y, quindi è rispettata la definizione di funzione matematica.

 

ESEMPIO: NON È UNA FUNZIONE

La circonferenza non è una funzione matematica. Ti ricordi l’equazione della circonferenza? Vediamo l’esempio…

77-

Come puoi vedere in corrispondenza del valore 1/2 della x sono associati 2 valori alla y. Questo significa che la circonferenza goniometrica rappresentata dalla formula non è una funzione matematica.

78-

DEFINIZIONE DI FUNZIONE, ESERCIZI

Capito quindi che cos’è una funzione, consideriamo le seguenti equazioni e stabiliamo se esse rappresentano funzioni matematica.

79-

A partire dalla traccia abbiamo ricavato la y e poi verificato sul grafico la corrispondenza tra dominio e codominio. Questo primo esercizio è certamente una funzione perché per ogni valore di x che noi andiamo ad assegnare, esiste uno e un solo valore della y, proprio come dice la definizione di funzione. Il secondo esercizio invece è leggermente diverso.

80-

Una volta esplicitata la y in funzione della x, mi rendo subito conto che assegnando alla variabile indipendente (cioè alla x) un valore arbitrario, trovo due valori della variabile dipendente, cioè la y.

 

Dominio di una funzione

 – come si calcola il campo di esistenza

 

Il dominio di una funzione è l’insieme in cui la funzione stessa esiste ed è definita. In altre parole, nell’analisi matematica, il dominio di funzione va ad indicare quali valori della variabile x “non sono ammessi”. Per poterlo calcolare sono necessarie poche semplici regole da tenere presente.

E’ detto anche campo di esistenza ed è il primo passo per poter disegnare il grafico di una curva.

 

CHE COS’È IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

Quando abbiamo espresso la definizione di funzione matematica e della sua rappresentazione sul piano cartesiano abbiamo parlato anche di dominio e codominio.

 

ENUNCIATO

Il dominio di una funzione y=f(x) o campo di esistenza o anche insieme di definizione di f è l’insieme dei valori reali di x per i quali l’espressione f(x) ha significato.

Che significa ciò praticamente? Che il dominio della funzione f rappresenta quell’insieme dei valori che la x può assumere affinché la funzione stessa esista. Proprio per questa ragione il dominio di una funzione viene chiamata campo di esistenza.

81-

COME SI TROVA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

Molti libri e insegnanti propongono spesso metodi di calcolo che agli studenti risultano poco chiari o comunque non sempre applicabili in maniera istantanea.

Il nostro consiglio è di iniziare a riconoscere la funzione che si ha di fronte e di applicare per ciascuna di essa la regola che ti mostreremo. In base alla natura delle operazioni matematiche che caratterizzano f si sono classificate le funzioni in base ad uno schema preciso. Ecco come si trova il dominio delle funzioni elementari.

DOMINIO DI UNA FUNZIONE RAZIONALE INTERA

82-

Quando ti trovi di fronte ad un polinomio, non hai nulla di cui preoccuparti. Il grafico della tua funzione non avrà alcuna discontinuità per cui il dominio è “per ogni x appartenente a R“.

Questo significa che il campo di esistenza è tale per cui la funzione esiste per tutti i valori della x appartenenti all’insieme dei numeri reali. Lo stesso vale se devi fare il calcolo del dominio di una funzione di terzo grado, non ci sarà alcuna differenza

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE FRATTA

83-

Quando invece devi calcolare il dominio di una funzione razionale fratta dovrai escludere tutti i valori che annullano il denominatore.

Quindi la regola che devi applicare è imporre il denominatore diverso da zero. Quindi nella frazione A(x)/B(x) dovrai imporre B(x) diverso da 0.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE IRRAZIONALE

Come ben ricorderai dalle proprietà dei radicali e delle equazioni irrazionali, i casi che ti si possono presentare sono due. L’indice di radice può essere ad indice pari o ad indice dispari.

84

# Per calcolare il dominio di una funzione irrazionale ad indice di radice dispari, ti è sufficiente imporre  “per ogni x appartenente a R”. Infatti in questo caso non ci sarà alcuna limitazione al campo di esistenza.

# Per calcolare il dominio delle funzioni irrazionali ad indice pari dovrai invece imporre il radicando maggiore e uguale di zero, visto che una radice non può essere negativa.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

85-

Il dominio di una funzione esponenziale è definito per ogni x appartenente a R. Quindi quando incontri questo tipo di funzione non avrai problemi, dato che non ci sono discontinuità.

Così come nelle equazioni esponenziali non andavi a definire un campo di esistenza, anche ora sul grafico nel dominio non dovrai andare ad effettuare alcuna modifica.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

86-

Quando abbiamo affrontato le proprietà dei logaritmi ed in particolare quando abbiamo affrontato le equazioni logaritmiche abbiamo già calcolato il campo di esistenza, imponendo l’argomento maggiore di zero.

Nella formula generica che vedi al lato, dovrai semplicemente imporre tutto ciò che è nell’argomento del logaritmo maggiore di zero, cioè f(x)>0.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE TRIGONOMETRICA

y= senx e y=cosx, cioè seno e coseno non hanno un campo di esistenza limitato, per cui possiamo scrivere che il dominio è definito per ogni x appartenente a R.

t=tgx, cioè la tangente di un angolo esiste invece solo quando x è diverso da π/2+kπ, cioè non può mai assumere valori multipli di 90° e 270°. Allo stesso modo la cotangente di un angolo è definita solo quando x è diverso da π+kπ, cioè per valori multipli di 180°.

 

A COSA SERVE IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE SUL GRAFICO?

Presa la nostra traccia, la prima cosa che abbiamo imparato a fare, fino ad ora, è riconoscere il tipo di funzione e da qui abbiamo capito come calcolare il campo di esistenza. Ma tutto ciò a cosa serve per lo studio di funzione? Come i valori del dominio che ho ottenuto possono essere sistemati sul grafico? I casi possibili sono sostanzialmente 3:

# il dominio è “per ogni x appartenente a R”. In tal caso il grafico non viene modificato in alcun modo dalle condizioni di esistenza, cioè la mia curva può attraversare tutto il grafico senza alcuna limitazione.

# il dominio è una equazione con il simbolo diverso. In tal caso si disegna una retta verticale (ecco cosa sono gli asintoti verticali) in corrispondenza di quell’ascissa. La mia curva non potrà mai toccare l’asintoto, ma solo avvicinarsi ad esso. Il caso più frequente si verifica con il dominio di una funzione fratta.

# il dominio è una disequazione è una disequazione, come nel caso dei logaritmi o delle funzioni sotto radice. In questo caso si andrà a cancellare, tratteggiandola, tutta la zona del grafico non indicata dal campo di esistenza calcolato.

 

ESEMPIO

Calcolare il dominio della funzione composta seguente.

87-

Nella traccia di questo piccolo esercizio si comincia facendo il riconoscimento della funzione. Che cosa subisce la x per diventare y? Gli viene applicato il logaritmo (quindi è una funzione logaritmica), poi gli viene sottratto 1 (quindi si va nelle funzioni razionali) e infine gli viene applicata la radice (sarà quindi anche funzione irrazionale).

Trascurando il fatto che sia funzione razionale, visto che il dominio è per ogni x appartenente ad R per cui non influenza il risultato finale, concentriamoci sul calcolo del dominio della funzione logaritmica irrazionale.

In figura ti abbiamo già cerchiato quali sono gli argomenti su cui lavorare. L’argomento della radice va imposto maggiore e uguale di zero, mentre l’argomento del logaritmo solo maggiore di zero. Queste due condizioni devono essere verificate contemporaneamente per cui andremo a scrivere un sistema di disequazioni.

88-FINE ANALI. MATE. - 2

Come puoi vedere è stato imposto il sistema di disequazioni e con pochi semplici passaggi algebrici siamo arrivati alla soluzione dell’esercizio. Ora il risultato va riportato sul grafico. Nella parte bassa puoi vedere che abbiamo disegnato gli assi cartesiani e riportato sull’asse delle ascisse il numero di Nepero e.

E’ stata cancellata tutta la porzione di grafico che non rientra nel dominio della funzione. Dato che il calcolo del campo di esistenza ci aveva dato come soluzione x maggiore e uguale di e, vuol dire che la funzione esiste solo dal valore di e in poi. Quindi tutto ciò che sta alla sinistra del numero di Nepero è stato cancellato.

In questo modo abbiamo escluso tutta una porzione del grafico e sappiamo con certezza che la nostra curva sicuramente non passerà per quell’area.

 

 

 

Data 10 ottobre 2019

ANALISI MATEMATICA – 1

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Limite destro e sinistro di una funzione

 

Il calcolo del limite destro e sinistro di una funzione si rende necessario qualora si voglia studiare il comportamento di una curva nell’intorno destro o sinistro di un suo punto.

In particolare il limite sinistro è un limite in cui i valori tendono da sinistra al punto x0. Il limite destro è un limite in cui i valori tendono da destra al punto x0.

Vediamo però di essere più chiari e di spiegare in maniera più semplice ma precisa cosa sono il limite destro e sinistro di una funzione.

 

COSA SONO IL LIMITE DESTRO E SINISTRO?

Capiterà più volte di dover studiare il comportamento di una funzione nell’intorno di un punto x0, detto punto di accumulazione. Può essere interessante capire cosa succede un po’ prima o un po’ dopo che la x raggiunga questo punto.

Per questa ragione si studiano il limite destro o sinistro, a seconda che ci si concentri sull’intorno destro o sinistro del punto x0.

1-ANALISI MATEMATICA - 1

Detto in maniera più semplice: se stiamo studiando una curva, a quale valore tende la y, se la x tende

 

# da sinistra a x0, cioè ha dei valori che aumentano sempre più fino ad arrivare a x0? (LIMITE SINISTRO)

# da destra a x0, cioè ha dei valori che diminuiscono sempre più fino ad arrivare a x0? (LIMITE DESTRO)

 

Vedremo anche degli esempi in basso in cui studieremo proprio il comportamento di una funzione analizzandone limite destro e sinistro. Prima vediamo le definizioni…

 

DEFINIZIONE DI LIMITE DESTRO E SINISTRO

LIMITE DESTRO

Data una funzione reale y=f(x) con un punto di accumulazione x0, diremo che il valore l è il limite destro della funzione f(x) e si scrive come:

2-

SUGGERIMENTI UTILI

 

# Da notare come scrivere x0< x< x0+δ faccia proprio riferimento all’intorno destro di x0.

# Non confondere il limite destro e sinistro di una funzione. Il destro in questo caso ha vicino il punto di accumulazione il simbolo + (più).

 

LIMITE SINISTRO

Data una funzione reale f(x), con un punto di accumulazione x0 appartenente al dominio della funzione, diciamo che essa tende a l da sinistra e scriviamo:

3-

SUGGERIMENTI UTILI

 

# In questo caso l’intorno sinistro è rappresentato da  x0-δ< x< x0 .

# Per distinguere il limite destro e sinistro, in questo caso si usa il simbolo – (meno) accanto al punto di accumulazione.

 

LIMITE DESTRO E SINISTRO INFINITO

Le definizioni che abbiamo analizzato nei casi precedenti riguardano il caso di limite finito che tende a un valore finito.

Sappiamo che esistono altre tre casi da prendere in considerazione. Puoi trovare i casi generali nella lezione sulla definizione di limite. Per arrivare ai casi con i limiti infiniti basterà fare dei piccoli aggiustamenti e considerare, per il limite destro e sinistro, rispettivamente l’intorno destro e sinistro di x0.

 

CALCOLO LIMITE DESTRO E SINISTRO ESERCIZI SVOLTI

Eseguire il calcolo del limite destro e sinistro, tenendo presente le definizioni viste sopra.

 

ESERCIZIO SVOLTO 1

4-

Svolgimento

Siamo nel caso di limite finito per x tendente a valore finito da sinistra. Come facciamo a dirlo? Dal segno – (meno) che compare sul punto di accumulazione.

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Analizziamo l’ultima diseguaglianza. Questa equivale ad un sistema di disequazioni di primo grado. Questo perché le diseguaglianze devono essere verificate contemporaneamente.

6-

Una volta impostato il sistema e scritte le condizioni di esistenza delle disequazioni irrazionali, passiamo al loro svolgimento.

La seconda è sempre verificata a patto che siano rispettate le condizioni di esistenza, cioè per x∈(-∞;0] U [+1;+∞)

7-

 

Punto di accumulazione

 

x0 è un punto di accumulazione per l’insieme A se in ogni intorno di x0 cadono infiniti elementi di A.

In questa lezione vedremo che cosa sono i punti di accumulazione, un concetto non sempre facile per gli studenti, ma che serve per introdurre poi il concetto di limite.

Per poter capire che cos’è un punto di accumulazione è necessario sapere cosa si intende per sottoinsieme e per intorni di un punto.

 

PUNTO DI ACCUMULAZIONE DEFINIZIONE

Sia A un sottoinsieme di R, cioè A⊆R, un numero reale x0 si definisce punto di accumulazione di A se ogni intorno di x0 contiene almeno un elemento di A diverso da x0.

Su altri libri di testo viene anche scritto che x0 si dice punto di accumulazione quando per ogni intorno di x0 cadono infiniti elementi di A.

Le due definizioni sono perfettamente analoghe e possono essere utilizzate entrambe senza alcuna differenza.

Possiamo scrivere in termini matematici:

x0 è un punto di accumulazione per A⊆R se

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ALCUNE RAPIDE CONSIDERAZIONI

Nella definizione di punto di accumulazione ci sono alcune parole su cui è importante prestare la giusta attenzione.

Infatti affinché x0 possa definirsi punto di accumulazione è necessario che qualsiasi suo intorno contenga i punti del sottoinsieme A. Questo significa che non basta trovare un generico intorno che soddisfi la definizione, ma è importante che la proprietà valga per ogni intorno di x0.

Ci rendiamo perfettamente conto che per uno studente i punti di accumulazione possono risultare astratti e difficili da comprendere. Proprio per questa ragione vediamo di seguito alcuni esempi svolti e commentati.

 

ESEMPI SUI PUNTI DI ACCUMULAZIONE

ESEMPIO 1

Iniziamo studiando la funzione seguente:

9-

Andiamo a determinare il dominio della funzione D. Poiché la funzione è composta da due funzioni irrazionali, è sufficiente imporre il maggiore e uguale per ogni radicando.

Si ottengono così due disequazioni di secondo grado che si risolvono molto agevolmente e che poi vanno unite.

10-

Consideriamo ora D come sottoinsieme dei numeri reali R.

Tutti i punti che si trovano nell’intervallo [0;1] possono essere chiamati punti di accumulazione, perché qualsiasi intervallo se ne consideri all’interno, questo ricade sempre all’interno del dominio D. Vediamo graficamente di essere più chiari.

Nell’intervallo del dominio D (sottoinsieme di R) prendiamo in generico punto x0 che disegniamo in blu per chiarezza grafica.

11-

Tutti i punti dell’intorno disegnato in arancione ricadono nel sottoinsieme D. Per cui x0 è un punto di accumulazione. Puoi provare a disegnare qualsiasi punto all’interno di [0;1] e qualsiasi tipo di intervallo, avrai sempre lo stesso risultato.

Ciò invece non si può dire del punto x=2. Non essendo possibile disegnare degli intorni i cui punti ricadano nel dominio D, allora non è un punto di accumulazione e viene chiamato punto isolato.

 

Esempio 2

Dato il sottoinsieme A, verificare che x0 è un punto di accumulazione.

12-

Svolgimento

Consideriamo per semplicità degli intorni sferici. Ad esempio sia I(0,ε) un intorno sferico di 0. Verifichiamo se viene rispettata la definizione di punto di accumulazione, cioè se tutti i suoi punti appartengono ad A.

Deve risultare che 1/n<ε. Cioè qualsiasi ε piccolo a piacere noi individuiamo ricadrà sempre in A. Se ad esempio:

ε=0.01, allora risulterà che ogni elemento 1/n, con n>1/ε=1/0,01=100 appartiene all’intorno scelto.

Ciò significa che la proprietà vale per ogni intorno di 0, per cui x0 è un punto di accumulazione.

 

CONCLUSIONI

L’argomento generalmente a scuola non viene trattato in maniera molto approfondita. Tuttavia non è da trascurare perché è la premessa per la teoria dei limiti.

Un’ultima osservazione: il punto di accumulazione avrà anche una definizione non semplice da capire, ma alla fine si chiama “accumulazione” proprio perché all’interno vi si accumulano i punti.

 

Codominio di una funzione, che cos’è e come si trova?

 

Il codominio di una funzione matematica è il sottoinsieme in cui sono contenute le immagini della funzione.

Dominio e codominio sono senza dubbio uno degli argomenti più importanti ma allo stesso tempo più difficili per gli studenti delle superiori. In tanti ci hanno chiesto che cos’è e come trovare il codominio di una funzione.

In questa lezione vedremo di spiegare, attraverso anche degli esempi pratici, che cos’è il codominio, come si definisce e come si calcola in maniera semplice senza rischio di fare errori.

 

DEFINIZIONE CODOMINIO

Ti ricordi la definizione di funzione matematica? Avevamo detto che è una relazione tra due insiemi A e B per cui, per ogni elemento di A, si associa uno e un solo elemento di B.

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L’insieme di partenza A è detto dominio della funzione, mentre il sottoinsieme B, formato dalle immagini di A, si definisce codominio della funzione f.

Attenzione: non confondere le immagini della funzione con il codominio. Mentre infatti le immagini sono gli elementi che da A sono passati in B, il codominio di una funzione è l’insieme che contiene le immagini.

Quindi diremo che gli elementi x appartengono al dominio, mentre gli elementi y appartengono al codominio.

 

CODOMINIO ESERCIZI ED ESEMPI

Di seguito vediamo due esercizi svolti che ci aiuteranno a capire come si trova il codominio di una funzione.

Il primo esempio è un po’ più semplice, generalmente viene assegnato come esercitazione quando si studiano dominio e codominio. Il secondo esercizio è invece più complesso e potrebbe essere la traccia di un compito in classe.

 

ESERCIZIO 1

Determinare il codominio delle seguenti funzioni, di cui è dato il dominio A.

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Svolgimento

La traccia ci fornisce alcuni elementi del dominio. La prima cosa da fare è quindi determinare le immagini degli elementi di A, come nel grafico sotto…

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Calcoliamo quindi f nei 3 punti datici dalla traccia. Praticamente andiamo a sostituire ciascuno dei tre punti al posto della x della funzione.

16-

Ricordati che il codominio di una funzione è un insieme e come tale va espresso attraverso delle parentesi graffe.

 

ESERCIZIO 2

Studiare dominio e codominio della funzione:

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Svolgimento

Uno dei modi più semplici per trovare il codominio di una funzione è l’analisi del suo grafico. Se ricordiamo l’equazione della retta, possiamo renderci subito conto che la funzione è formata da 2 rette: la prima arriva fino a x minore è uguale di 1. Subito dopo vale la seconda retta.

Per cui possiamo disegnare il grafico:

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La retta arancione è -3x-1, mentre quella in verde è 2x-1/2. Si può notare che non si tratta di una funzione continua, poiché nel punto di ascissa x=1 c’è una discontinuità di prima specie, cioè c’è un salto.

Il dominio è: D(-∞;-1] U [+1;+∞)

Per calcolare il codominio si uniscono i codomini delle due funzioni. Per quanto riguarda la prima funzione, quella arancione, si parte dal valore +2 e si va a +∞.

19-

Per quanto riguarda la retta y=2x-1/2, vediamo dal grafico sotto che parte dal punto -5/2 (che si può calcolare sostituendo il valore -1 al posto della x) e va a infinito.

20-

Unendo i due grafici possiamo dire che, partendo dal basso:

 

# si parte da y=-5/2

# c’è un’interruzione per y=-2

# si tende poi a + infinito

 

Il risultato finale, cioè il codominio della funzione è:

21-

ESERCIZIO 3

Trovare il codominio di una funzione esponenziale

22-

Svolgimento

Per trovare il codominio di una funzione possiamo applicare un altro metodo oltre a quello grafico visto nell’esercizio 2.

Che cos’è il codominio? Alcuni lo definiscono come il dominio della funzione di arrivo. Per cui basta calcolare la funzione inversa e trovarne il dominio. Ecco come procedere:

23-

Per trovare il codominio a questo punto imponiamo l’argomento del logaritmo strettamente maggiore di 0.

Bisognerà a questo punto risolvere una semplice disequazione fratta di primo grado per ottenere la soluzione.

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CONCLUSIONI

Abbiamo visto come si calcola il codominio di una funzione matematica utilizzando ben 3 diversi metodi di calcolo.

L’ultimo, in realtà, è il più utilizzato perché permette di trovare la soluzione anche quando le funzioni da analizzare sono più complesse.

 

Asintoto verticale

 – definizione, formula ed esempi

 

L’asintoto verticale è una retta verticale che indica l’andamento tendenziale della funzione in corrispondenza di un intorno x0, generalmente non definito dal dominio. Tra i vari tipi di asintoti, quello verticale è il più facile da individuare e può essere sinistro, destro o bilatero.

 

DEFINIZIONE ASINTOTO VERTICALE

Sia f(x) una funzione definita in un sottoinsieme di R e sia x0 un punto di accumulazione del dominio. Allora se vale la relazione:

25-

 

la retta di equazione x=x0 è un asintoto verticale.

 

ALCUNI CHIARIMENTI

In poche parole quando la funzione si avvicina ad un punto finito sull’asse delle x, la sua y tende a più infinito o meno infinito. Nello studio di funzione generalmente si effettua il calcolo del limite sia sinistro che destro in quell’interno.

26-

Nel primo caso si parla di asintoto verticale sinistro, nel secondo caso, quando invece il limite viene da destra, si parla di asintoto verticale destro. Nel caso in cui siano verificate entrambi i limiti, allora si parla di asintoto verticale bilatero.

 

OSSERVAZIONE

 

Si sottolinea che non necessariamente il limite destro e sinistro devono tendere allo stesso infinito. In tantissimi esercizi capiterà che il limite destro tenda a più infinito mentre quello sinistro a meno infinito (o viceversa). Ciò non viola la definizione data, per cui saremo ancora in presenta di rette asintotiche verticali.

 

CALCOLO ASINTOTO VERTICALE

Come si procede in genere per trovare gli asintoti verticali di una funzione?

 

# Si effettua lo studio del dominio della funzione e si trovano eventuali punti di discontinuità. Nelle razionali fratte, ad esempio, imponendo il denominatore diverso da zero, si otterrà un risultato del tipo x≠x0. E’ proprio quest’ultimo valore che inseriremo all’interno dei limiti verticali.

# Si calcolano il limite destro e sinistro della funzione attorno al punto x0. Se i limiti tendono a ±∞, allora la retta x=x0 è un asintoto orizzontale.

 

LA DIFFERENZA CON GLI ALTRI ASINTOTI

Rispetto all’asintoto orizzontale o all’asintoto obliquo, in questo caso la ricerca del limite non avviene su valori infiniti. Nei casi precedenti eravamo abituati a studiare il limite della funzione per x che tende a infinito. In questo caso invece il limite va studiato in corrispondenza di un valore finito.

 

ASINTOTO VERTICALE ESEMPI

Quando una funzione presenta un asintoto verticale è sempre possibile stabilire con esattezza l’andamento del suo grafico in prossimità dell’asintoto calcolando i limiti destro e sinistro. In particolare sono possibili quattro casi:

 

CASO 1

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CASO 2

28-

CASO 3

29-

CASO 4

30-

ESERCIZI SVOLTI

Trovare gli asintoti verticali della seguente funzione:

31-

Svolgimento

Poiché la funzione è una razionale fratta, il dominio è:

D: x≠0

Si tratta di un dominio illimitato, visto che può andare sia a più che a meno infinito. C’è un punto singolare che genera la discontinuità. Può avere quindi un asintoto verticale. Per capirlo, calcoliamo il limite della funzione per x che tende a 0, sia da destra che da sinistra.

32-

Da notare come a sinistra della retta x=0 (che coincide con l’asse delle ordinate), la curva tenda a meno infinito, mentre a destra di x=0 la funzione tende a più infinito.

 

Asintoto obliquo

–  definizione, formule ed esercizi svolti

L’asintoto obliquo è una retta che indica l’andamento di una funzione ai suoi estremi. Per il calcolo degli asintoti obliqui è necessario che siano verificate tre condizioni, semplici ma indispensabili.

 

CALCOLO ASINTOTO OBLIQUO

Immaginiamo una funzione f(x) definita in un intervallo illimitato. Questo significa che dallo studio del dominio della funzione non vengono esclusi più infinito e meno infinito. Allora l’equazione della retta y=mx+q rappresenta un asintoto obliquo se sono verificate tutte le seguenti condizioni.

 

CONDIZIONE 1

33-

Il limite della funzione, per x che tende a infinito, deve essere pari a infinito.

Questa condizione esclude per definizione la presenza di un asintoto orizzontale, visto lo stesso limite avrebbe dovuto portare ad un valore finito. Nel calcolo degli asintoti obliqui invece è fondamentale che i limiti, per x che tende a infinito, siano infinito.

Se questa prima condizione non risulta verificata, è inutile verificare le altre due. Abbiamo infatti già la certezza che non esiste asintoto obliquo.

 

CONDIZIONE 2

34-

Il limite, per x che tende a infinito, della funzione intera fratto x, è pari ad un numero finito che indichiamo con la lettera m.

Se la condizione 2 risulta essere soddisfatta, allora possiamo verificare la terza e ultima condizione. Nel caso in cui invece il limite non dovesse esistere o se il limite è infinito, allora non esiste asintoto obliquo. Quella che abbiamo indicato con la lettera “m” sarà il coefficiente angolare della retta asintotica obliqua.

 

CONDIZIONE 3

35-

Il limite per x che tende a infinito della funzione a cui si sottrae “m·x” è un numero finito e viene indicato con la lettera q.

Se il limite non dovesse esistere o dovesse essere infinito, allora possiamo scrivere che non esiste asintoto obliquo. In caso contrario abbiamo verificato le tre condizioni e ricavato i coefficienti m e q della retta. Possiamo quindi scrivere che:

36-

ASINTOTI OBLIQUI DESTRO E SINISTRO

Nella prima condizione abbiamo verificato che il limite della funzione per x che tende a infinito fosse pari a infinito. Se la condizione vale sia per x→+∞ che per x→-∞ , allora bisogna calcolare i limiti delle condizioni 2 e 3 anche per x→-∞, perché potrebbero esserci due asintoti obliqui differenti.

 

GRAFICO DI UN ASINTOTO OBLIQUO

37-

La funzione f(x), man mano che la sua ascissa procede verso infinito, si avvicina sempre di più alla retta asintoto obliquo.

 

OSSERVAZIONE: In questo grafico abbiamo ipotizzato che la funzione, prima di tendere a infinito, venisse dal basso. In realtà con il solo calcolo dell’asintoto obliquo non possiamo dirlo. Per poter sapere con certezza l’andamento della curva è necessario studiarne il dominio, lo studio del segno e le intersezioni con gli assi.

 

ESEMPIO

Trovare gli asintoti obliqui, se esistono, della seguente funzione.

38-

 

Svolgimento

Per verificare il calcolo dell’asintoto obliquo vanno verificate le tre condizioni. Partiamo dalla prima: limite per x che tende a infinito della funzione. Se il risultato è infinito, allora possiamo proseguire.

39-

40-

OSSERVAZIONI

Come puoi vedere, nel grafico dell’esercizio precedente è stata disegnata la curva anche in corrispondenza di meno infinito. Prova a calcolare i limiti nel caso in cui x tende a meno infinito. Vedrai che uscirà la stessa identica retta.

Puoi anche notare che il grafico più probabile, con le informazioni ricevute con il calcolo dell’asintoto obliquo, tende alla retta y=x sia dall’alto che dal basso. Per scoprirne il comportamento è necessario calcolare il dominio della funzione, studio del segno, …

 

CONCLUSIONI

Abbiamo visto come non esista un’unica formula per l’asintoto obliquo, ma ci siano piuttosto 3 condizioni da soddisfare. Per risolvere gli esercizi senza commettere errori, procedi dalla prima condizioni e verificale una alla volta. Ne basta una che non sia verificata per cui il calcolo degli asintoti obliqui può considerarsi concluso.

 

 

Asintoto orizzontale

 – definizione, esempi ed esercizi svolti

 

L’asintoto orizzontale è una retta orizzontale a cui la funzione tende verso infinito. Va a rappresentare l’andamento del grafico tendenziale di una curva nei suoi estremi più infinito o meno infinito.

 

DEFINIZIONE DI ASINTOTO ORIZZONTALE DESTRO

Una condizione fondamentale affinché una funzione abbia un asintoto orizzontale, è che questa sia illimitata sia superiormente che inferiormente. Che significa? Che la funzione deve tendere ad un numero finito quando l’ascissa va a +∞ e -∞. Dal punto di vista matematico, questo si traduce con l’espressione:

41-

Cioè il limite della funzione per x che tende a più infinito è uguale a l. Allora l’equazione della retta y=l è per definizione un asintoto orizzontale destro.

Vediamo graficamente invece questo cosa significa:

42-

Come puoi osservare dalla figura, data la funzione segnata in rossa, esaminiamo il punto P, di coordinate x e f(x). Man mano che l’ascissa di P si avvicina a +∞, la y si avvicinerà sempre di più alla y della retta asintoto orizzontale.

 

DEFINIZIONE DI ASINTOTO ORIZZONTALE SINISTRO

Il caso è analogo per il limite che tende a meno infinito. In questo caso si parla di asintoto orizzontale sinistro. Dal punto di vista matematico questo si può scrivere come:

43-

Cioè il limite della funzione, per x che tende a meno infinito è uguale a l. In questo caso la retta di equazione y=l è per definizione un asintoto orizzontale sinistro.

Vediamo dal punto di vista grafico che cosa significa questa definizione:

44-

Come si vede dalla figura, data la figura segnata in rosso, quando l’ascissa del punto P si avvicina a -∞, la sua ordinata si avvicina sempre di più alla y della retta asintoto orizzontale.

 

ASINTOTO ORIZZONTALE ESEMPIO

Determiniamo le equazioni dei possibili asintoti orizzontali delle seguenti funzioni, rappresentandone il grafico probabile agli estremi del dominio.

45-

Svolgimento

Bisogna calcolare i limiti di y agli estremi:

46-

Calcolando l’asintoto orizzontale della funzione fratta si nota che sia a destra che a sinistra la funzione tende a +1. Possiamo scrivere che:

y=1

è un asintoto orizzontale. Dal punto di vista grafico possiamo dedurre che:

47-FINE ANAL.MATEM.-1

Questo significa che la funzione a più infinito e meno infinito tende a +1, ma in assenza di ulteriori informazioni non sappiamo se vi tende dall’alto o dal basso. Per avere quest’ulteriore informazione dovremmo conoscere anche gli eventuali asintoti verticali e il dominio.

 

Data 7 ottobre 2019

TRIGONOMETRIA – 4

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Quanto vale il coseno di 30 gradi?

 

COSENO DI 30 GRADI, DIMOSTRAZIONE

Per ricavare il valore di cos30° in maniera semplice, ti consigliamo di disegnare la circonferenza goniometrica e di staccare un angolo di trenta gradi in senso antiorario dall’asse delle ascisse.

43-INIZIO TRIGO. 4

A questo punto, partendo dal raggio disegnato in figura con il colore rosso, disegna la retta verticale e quella orizzontale, che corrispondono rispettivamente al seno e al coseno di 30°.

44-

Abbiamo così ottenuto un triangolo rettangolo, dove il coseno di 30 e il seno di 30 sono i cateti maggiore e minore. Il raggio, che nella circonferenza goniometrica vale 1, è invece il segmento disegnato in rosso.

Che tipo di triangolo è? Sicuramente è un triangolo rettangolo particolare perché ha gli angoli di 30°, 90° e 60°.

 

In questo tipo di triangoli vale che il cateto minore è la metà dell’ipotenusa. Quindi se

Ipotenusa=r=1 → Cateto Minore= sen30°=1/2

Per calcolare il coseno di 30, applichiamo la formula inversa del teorema di Pitagora. Quindi possiamo scrivere che vale:

 

Ipotenusa²=Cateto²+cateto² → r²=sen30²+cos30²=1

(cos30°)²=1-(sen30°)²

cos30°=√[1-(1/2)²]

cos30°=√(1-3/4)

cos30°=√3/2

 

Abbiamo quindi dimostrato quanto vale il coseno di 30, semplicemente utilizzando il teorema di Pitagora e pochi semplici passaggi algebrici.

 

CONSIGLI PER GLI STUDENTI

E’ vero che all’inizio non è facile imparare a memoria i valori delle funzioni goniometriche. Come si fa a ricordare il coseno di 30°, il seno di 45° e tutti gli altri angoli? Con un po’ di pratica e facendo tanti esercizi.

Il nostro consiglio è di impararli a memoria, perché in questo modo diventerà molto più semplice trovare i valori per angoli più complessi utilizzando poi le regole degli archi associati.

Inoltre anche la calcolatrice scientifica da questo punto di vista non è tanto utile, perché se proviamo a calcolare il coseno di 30 il risultato è 0,866… A noi serve il risultato con il radicale e non quello con la virgola.

L’aspetto positivo però è che i valori da ricordare sono sostanzialmente 2: √3/2 (per il coseno di 30°) e 1/2 (per il seno di 30°). Per l’angolo di 60°, ad esempio, i valori sono semplicemente invertiti, cioè cos60°=1/2 e sen60°=√3/2. Quindi alla fine dei conti dovrai ricordare solo questi due numeri!

 

Quanto vale il seno di 45°

eccone la dimostrazione completa

 

il seno di 45 gradi vale √2/2, cioè radical due mezzi (che vale circa 0,707). Possiamo quindi scrivere che:

sen45°=√2/2

A volte troverai il valore dell’angolo in radianti, per cui è possibile anche calcolare il seno di 45 esprimendolo nel seguente modo:

senπ/4=√2/2

Se non ricordi come trasformare un angolo espresso in gradi sessagesimali in radianti, dai un’occhiata alla lezione sulla conversione gradi radianti.

 

SENO DI 45, DIMOSTRAZIONE

Iniziamo disegnando la circonferenza goniometrica e staccando su di essa un angolo di 45 gradi.

45-

Sulla circonferenza goniometrica andiamo ora a disegnare il segmento orizzontale e verticale partendo proprio dal raggio e che corrispondono (guarda la definizione di seno e coseno) proprio al coseno e al seno di 45 gradi.

46-

Si nota che il triangolo colorato che abbiamo disegnato è in realtà un triangolo rettangolo isolscele. Questo perché c’è di sicuro un angolo di 90° che si forma tra la linea blu e quella verde. Essendo poi l’angolo che abbiamo disegnato di 45°, l’altro dovrà necessariamente essere pari a 45°.

Questo implica che la linea verde e quella blu, cioè il coseno e il seno di 45°, sono uguali tra loro. Possiamo così applicare il teorema di Pitagora.

 

sen²α+cos²α=1

 

(equazione fondamentale della trigonometria)

 

Perché 1? Perché la circonferenza goniometria è una circonferenza con centro nell’origine e raggio 1. Vuol dire che il segmento rosso disegnato vale proprio 1. Poiché coseno e seno di 45° sono uguali, possiamo anche scrivere:

 

sen²α+sen²α=1

2sen²α=1

sen²α=1/2

 

Facciamo a questo punto la radice quadrata a primo e secondo membro…

 

√(sen²α)=√(1/2)

senα=1/√2

 

Per rendere il risultato esteticamente più gradevole si esegue una razionalizzazione dei radicali. Quindi moltiplico e divido per radical 2.

 

senα=√2/2

 

Abbiamo quindi dimostrato quanto vale il seno di 45. Poiché il coseno è uguale al seno, allora resta univocamente determinato anche il valore di cos45°.

 

UN PICCOLO CONSIGLIO PER LO STUDENTE

Il seno di 45 gradi è uno di quei valori di seno e coseno di angoli noti che sarebbe preferibile imparare a memoria. E’ sconsigliabile l’uso della calcolatrice perché nella maggior parte dei casi darà come risultato non radical due mezzi (che è la forma che ci interessa di più), ma 0,717.

Inoltre imparando a memoria questo valore ottenuto, sarà molto più facile andare a lavorare con la determinazione delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente) di angoli più complessi utilizzando gli archi associati.

 

Lunghezza di un arco di circonferenza

la formula per calcolarla

Come si può calcolare l’arco di una circonferenza? Esiste una formula che consente di misurarne la lunghezza conoscendo l’angolo al centro. Prima di arrivare alla formula vediamo che cos’è per definizione l’arco di circonferenza.

 

CHE COS’È L’ARCO DI UNA CIRCONFERENZA?

47-

CALCOLARE LA LUNGHEZZA DELL’ARCO DI CIRCONFERENZA

Consideriamo sempre la figura sulla destra. Se la misura dell’angolo in gradi al centro è α, allora la lunghezza dell’arco è:

 

L=π·r·α/180°

 

mentre se abbiamo la misura dell’angolo in radianti possiamo utilizzare la formula di calcolo:

 

L=ρ·r

 

dove ρ è appunto la misura dell’angolo al centro espressa però in radianti. La lunghezza dell’arco di circonferenza viene detta anche misura lineare.

 

OSSERVAZIONI

Ora osserviamo che:

 

– noto il raggio della circonferenza, data l’ampiezza (in grado o in radianti) dell’angolo al centro, risulta univocamente determinata la lunghezza dell’arco di circonferenza;

– viceversa, data la misura dell’arco di circonferenza, è possibile determinare in maniera univoca l’ampiezza dell’angolo al centro.

 

Pertanto come misura dell’arco si può considerare anche la misura (in gradi o radianti) dell’ampiezza del suo angolo al centro corrispondente. Tale misura è detta misura angolare dell’arco di circonferenza.

Quindi in seguito quando si parlerà di ampiezza potremo intendere indifferentemente l’ampiezza dell’angolo al centro oppure la lunghezza dell’arco della circonferenza.

Nella misura di un arco, sia lineare che angolare, come per gli angoli, si ha:

 

– una misura assoluta se non si considera il verso di percorrenza dell’arco;

– una misura relativa se si considera il verso di percorrenza e precisamente positiva se il verso è antiorario, negativa se il verso è orario.

 

Conversione gradi radianti

come si passa da gradi a radianti?

 

ρ=α°·π / 180°

Per passare da gradi a radianti ti basta aggiungere il pi-greco davanti l’angolo e dividere tutto per 180°. Generalmente si ottiene una frazione per cui è necessario semplificare numeratore e denominatore.

 

IL METODO FACILITATO CON LA CALCOLATRICE

Generalmente gli studenti delle scuole superiori hanno la possibilità di utilizzare la calcolatrice scientifica (anche se non sempre al primo anno). Avendo la possibilità di utilizzarla, si possono risparmiare i calcoli da fare a mano. Come? Ecco come passare da gradi a radianti con la calcolatrice scientifica.

– digita il valore dell’angolo espresso in gradi;

– premi il pulsante della frazione (generalmente indicato con ab/c (vedi l’immagine)

48-

– si può scrivere ora al denominatore 180 e premere il pulsante invia per eseguire il calcolo.

– se il valore dell’angolo ti sembra strano premi di nuovo il pulsante ab/c per avere la misura dell’angolo sotto forma di frazione.

 

ESEMPIO 1

Dato l’angolo di 30° sessagesimali, effettuare la trasformazione da gradi a radianti.

Utilizziamo la formula vista cioè ρ=α°·π / 180°, andando a sostituire 30° al posto di alfa.

ρ=α°·π / 180°

ρ=30°·π / 180°=(30/180)π

Semplifichiamo 30 con 180, per ottenere 1/6. Per cui il risultato finale è (1/6)π che possiamo scrivere anche come π/6.

 

ESEMPIO 2

Effettuare la conversione gradi radianti di un angolo la cui misura in gradi sessagesimali è 10°15’30”

In questo esercizio la situazione è leggermente più complessa visto che non ci sono solo i gradi, ma anche i primi e i secondi. Per cui per passare da gradi a radianti è necessario prestare un po’ più di attenzione nei calcoli. Il primo passo è quindi quello di portare tutto il valore dell’angolo in gradi esprimendolo sotto forma di frazione.

15°15’30” = (10+15/60+30/3600)°

Eseguiamo le semplificazioni così da rendere i calcoli più semplici.

(10+1/4+1/120)°= (1231/120)°

 

A questo punto possiamo utilizzare la formula per la conversione gradi radianti. Sostituiamo la frazione appena trovata al posto di alfa come fatto nell’esercizio precedente.

ρ=α°·π / 180°

ρ=(1231/120)°·π / 180°

ρ=(1231/21600)π

 

Formule parametriche nei problemi di trigonometria

 

Le formule parametriche del seno e del coseno vengono utilizzate in trigonometria per esprimere le principali funzioni goniometriche (seno e coseno) in funzione di un parametro t. Diventeranno importanti soprattutto con l’uso degli integrali, per cui è opportuno approfondire l’argomento.

In questa lezione vedremo quali sono le formule parametriche, come si dimostrano e in quali tipi di esercizi di trigonometria vanno utilizzate. Per la dimostrazione è importante ricordare le formule di duplicazione del seno e del coseno, perché si parte proprio da queste ultime.

 

FORMULE PARAMETRICHE SENO

49-

Per entrambe vale che tg(α/2)=t

Le formule che hai appena visto vengono chiamate parametriche perché prevedono al loro interno l’uso di un parametro t. Queste ci permettono di esprimere il seno e il coseno di un arco in funzione razionale della tangente dell’arco metà. Esse sono valide solo per:

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DIMOSTRAZIONE FORMULE PARAMETRICHE SENO

Non è importa che il tuo professore a scuola le abbia studiate o meno. E’ il caso almeno di leggere la dimostrazione delle formule parametriche perché potrebbero servirti in futuro. Iniziamo subito con il seno partendo dalle formule di duplicazione.

 

sen2α=2senαcosα

Andiamo a sostituire α/2 al posto di α per ottenere quindi:

sen2α=2sen(α/2)cos(α/2)

e poiché vale sen²α+cos²α=1 → sen²(α/2)+cos²(α/2)=1

possiamo sostituire ancora:

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Abbiamo così dimostrato le formule parametriche per il seno.

 

DIMOSTRAZIONE FORMULE PARAMETRICHE COSENO

La dimostrazione è del tutto analoga a quella utilizzata per il seno. Quindi si parte da quelle di duplicazione:

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ESEMPIO 1

Sapendo che tgα=1/3, determiniamo nel modo più semplice sen2α e cos2α.

Per le formule parametriche si ha:

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Commento: l’esercizio è piuttosto semplice. Il metodo utilizzato per risolverlo è stato quello di moltiplicare gli angoli per due. Quindi invece di considerare t come la tangente di α/2, abbiamo lasciato l’angolo come α.

 

ESEMPIO 3

Esprimiamo la seguente espressione come funzione razionale di un’unica variabile.

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CONCLUSIONI

Come hai potuto notare, si tratta di una semplice formula che purtroppo va imparata a memoria ma, fidati, ti servirà soprattutto quando ti ritroverai a risolvere gli integrali. Inoltre non è particolarmente difficile da memorizzare.

 

Formule di prostaferesi

tabella, esempi ed applicazioni

 

Le formule di prostaferesi vengono studiate generalmente poco dopo le formule di addizione e sottrazione nel programma di trigonometria. Vengono infatti utilizzate per riscrivere in maniera diversa e più semplice le addizioni e le sottrazioni tra le seno e coseno. Permettono la risoluzione di esercizi in cui ci sono funzioni goniometriche strane come cos5x, sen3x, ecc… Vediamo subito quali sono le formule di prostaferesi con una tabella completa.

 

TABELLA FORMULA DI PROSTAFERESI

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E’ possibile utilizzare le formule di prostaferesi anche per trasformare la somma e la differenza della tangente o della cotangente di due angoli. Infatti possiamo scrivere che:

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Per ottenere la formula di prostaferesi per la cotangente, basta invertire numeratore e denominatore dell’ultima formula.

 

DIMOSTRAZIONE DELLE FORMULE DI PROSTAFERESI

Consideriamo le formule di addizione del seno:

 

– sen(α+β)=senαcosβ+cosαcosβ

– sen(α-β)=senαcosβ-cosαcosβ

 

Proviamo a sommare membro a membro le due formule. Si ottiene così:

sen(α+β)+sen(α-β)=senαcosβ+cosαcosβ + senαcosβ-cosαcosβ

Si eliminano i termini opposti ottenendo:

sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ

Poniamo:

 

α+β=p

α-β=q

 

Sommando e sottraendo questi due valori possiamo ottenere:

 

– sommando: α+β+α-β=p+q → 2α=p+q→α=(p+q)/2

– sottraendo:α+β-α+β=p-q→2β=p-q→β=(p-q)/2

 

Sostituendo i dati appena ottenuti nell’equazione segnata in arancione, abbiamo:

 

sen(p)+sen(q)=2sen[(p+q)/2]cos[(p-q)/2]

 

Abbiamo così dimostrato la formula di prostaferesi per la somma del seno. Per dimostrare la sottrazione del seno, semplicemente si sottraggono membro a membro i termini precedentemente addizionati. In maniera del tutto analoga, te lo lasciamo come esercizio per casa, si possono ottenere le formule di prostaferesi per il coseno andando ad agire sulle formule di addizione e sottrazione del coseno.

Per trasformare anche la somma e la differenza della tangente o della cotangente di due angoli, si dimostra invece che:

 

tgα±tgβ=senα/cosα±senβ/cosβ

tgα±tgβ=(senαcosβ±cosαsenβ)/cosαcosβ

tgα±tgβ=sen(α+β)/cosαcosβ

 

CONSIGLI ED APPLICAZIONI

CURIOSITA’: sai che significa la parola prostaferesi? Deriva dall’unione di prosthesis e aphairesis due termini di origine greca che significano rispettivamente somma e differenza.

Le formule di prostaferesi servono a trasformare in un prodotto la somma o la differenza di funzioni goniometriche. Vediamo più nel dettaglio come si utilizzano queste formule con alcuni esercizi svolti con difficoltà crescente.

 

ESEMPIO 1

Trasformiamo in prodotto la somma: √3/2+senα

Dobbiamo quindi utilizzare la formula di prostaferesi della somma del seno:

√3/2+senα=sen60°+senα=2sen[(60+α)/2]/2⋅cos[(60-α)/2]/2

 

ESEMPIO 2

Trasformiamo in prodotto la somma: sen7x-sen3x

In questo caso utilizziamo la formula di prostaferesi della differenza del seno:

sen7x-sen3x=

=2cos[(7x+3x)/2]/2⋅sen[(7x-3x)/2]/2=

=2cos5x⋅sen2x.

 

ESEMPIO 3

Trasformiamo in prodotto la somma: cos20°+cos50°+2cos35°

Attenzione: piuttosto che usare le formule di prostaferesi con 3 addendi, risolviamo due somme alla volta.

cos20°+cos50°+2cos35°=

=2cos[(20°+50°)/2]cos[(20°-50°)/2]+2cos35°=

=2cos35°cos15°+2cos35°

A questo punto piuttosto che provare calcoli e passaggi complessi con le formule di prostaferesi, eseguiamo un raccoglimento a fattor comune totale (o messa in evidenza) di 2cos35°

=2cos35°(cos15°+1)

A questo punto, poiché il 1 possiamo scriverlo anche come cos0°, allora abbiamo:

 

=2cos35°(cos15°+cos0°)=

=2cos35°⋅2cos15°/2⋅cos15°/2=

=4cos35°cos²15°/2.

 

ESEMPIO 4

Trasformiamo in prodotto la somma: senx+cosy

Non possiamo utilizzare direttamente le formule di prostaferesi dato che non c’è una somma o differenza di seni o di coseni, ma il problema è misto. Trasformiamo quindi il coseno in seno usando gli archi associati. Per cui abbiamo:

senx+cosy=

=sex+sen(90°-x)=

=2sen[(x+90-y)/2]cos[(x-90+y)/2]=

=2sen[(x-y)/2+45°]cos[(x-y)/2-45°]

Da questo ultimo esercizio, come hai potuto notare, è possibile trasformare in un prodotto anche la somma o la differenza di un seno e di un coseno. Per usare infatti le formule viste in tabella ad inizio capitolo, è sufficiente trasformare il coseno nel seno dell’angolo complementare e successivamente applicare le formule di prostaferesi.

 

Tabella seno coseno con tutti gli angoli

 

Quando si studia trigonometria, almeno all’inizio, è importante avere una tabella con seno e coseno di tutti gli angoli così da poterla consultare rapidamente e risolvere equazioni e disequazioni goniometriche.

Il nostro consiglio è di imparare gli angoli principali, cioè 0°, 30°, 45°, 60°, 90° con i rispettivi archi associati. Per tutti gli altri, più difficili da ricordare, consigliamo di utilizzare questa tabella seno coseno completa. Puoi portarla sempre con te: salva questa pagina ai preferiti e consultala ogni volta che ne hai bisogno.

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CONSIDERAZIONI FINALI

Non spaventarti! I valori della tabella seno e coseno non vanno imparati a memoria. Sarebbe impossibile oltre che inutile. Generalmente i docenti si limitano a chiedere gli angoli principali, come già detto all’inizio di questa lezione. Tutti gli altri valori di seno e coseno possono essere ricavati anche attraverso l’uso della calcolatrice.

 

 Come calcolare un angolo dal seno o dal coseno

 

IL METODO GRAFICO

Cominciamo col ricordarci che cos’è la circonferenza goniometrica e per questa prima volta disegnamola. In seguito possiamo saltare questo passaggio e semplicemente immaginarla mentalmente.

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A questo punto ti chiediamo di fare un unico sforzo di memoria e ricordare pochissimi numeri, che corrispondono poi ai valori di seno e coseno. Sono 5 in tutto ed ecco cosa ricordare:

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– I numeri 0 e 1 li utilizzerai per tutti gli angoli multipli dell’angolo retto (90°, 180°, 270° e 360°).

– Radice di 2 fratto 2, lo utilizzerai solo l’angolo di 45° e suoi simili sugli altri quadranti (45° nel primo quadrante, 45+90=135° nel secondo quadrante, 135+90= 225° nel terzo quadrante e 225+90=315° nel quarto quadrante).

– 1/2 e la radice di 3 fratto due li utilizzerai per tutti gli angoli di 30° e 60° e simili sugli altri quadranti (30° e 60° nel primo quadrante, 30+90=120° e 60+90=150° nel secondo quadrante, 120+90=210° e 150+90=240° nel terzo quadrante, 210+90=300° e 240+90=330° nel quarto quadrante).

– Ricordati infine che 1/2 vale 0,5 mentre la radice di 3 fratto 2 vale 0,86. Quindi 1/2, tra i due numeri, è quello più piccolo.

– Il seno è il segmento verticale il coseno è il segmento orizzontale che troveremo sulla circonferenza goniometrica.

Questo è tutto quello che devi ricordare. Niente di più.

 

COME CALCOLARE UN ANGOLO SAPENDO IL SENO O IL COSENO? ECCO ALCUNI ESEMPI

Una volta disegnata la circonferenza, immaginiamo di sapere ad esempio che il seno vale 1/2. Quanto vale l’angolo partendo dal seno? Il ragionamento da fare è il seguente:

– il valore 1/2 ci fa subito capire che stiamo parlando di un angolo che puoi essere o 30° o 60°. Ci resta capire solo quale dei due. In figura ti abbiamo riportato entrambi i casi.

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– Se l’angolo è di 30° il segmento verticale (il seno) è quello più piccolo e quindi tra i due numeri (1/2 e rad3/2) vale proprio 1/2. Se invece l’angolo fosse di 60° allora il seno, cioè il segmento verticale sarebbe quello più grande, corrispondente al numero più grande, cioè rad3/2.

Quindi l’angolo vale 30°. Ma attenzione! Non c’è un solo valore dell’angolo partendo dal seno. L’esercizio non è finito: quando il seno è positivo vuol dire che ci troviamo nel I e II quadrante (il segmento verticale deve essere positivo quindi si troverà al di sopra dell’asse delle x).

Vuol dire che dobbiamo trovare il valore specchiato di 30° nel II quadrante. La caratteristica di questo angolo è che il suo segmento verticale (il seno) sia sempre il segmento più piccolo se confrontato col coseno. Qual è questo valore? Basta trovare il simmetrico di P rispetto all’asse y, che è proprio 150°, ovvero 180°-30°. Prova a disegnarlo se non ci credi e vedrai che il suo segmento del seno è più piccolo del coseno.

Quindi se l’esercizio ci chiede: calcolare il valore dell’angolo sapendo che senx=1/2, allora la risposta è x=π/6+2kπ e x=5/6 π + 2kπ. Questo è il risultato dell’esercizio.

Nel caso in cui troviamo un problema che ci chiede di calcolare l’angolo con il seno di rad2/2, allora si semplifica tutto. L’angolo è necessariamente di 45°, cioè espresso in radianti, pigreco/4. Ovviamente a questo bisogna aggiungere il suo simmetrico sull’altro quadrante che è 135°.

 

CALCOLARE IL VALORE DELL’ANGOLO PARTENDO DAL COSENO

Proviamo a fare un secondo esempio. Questa volta abbiamo noto il coseno che immaginiamo essere anche negativo, ad esempio pari a -rad3/2 così complicarci leggermente la vita. Ricorda:

# se il seno è negativo siamo nel III o IV quadrante

# se il coseno è negativo siamo nel II o nel III quadrante

Il metodo usato però è sempre lo stesso. Ignoriamo per un secondo il segno meno. Qual è il valore dell’angolo se il coseno è rad3/2? Il coseno deve essere il segmento più lungo rispetto al seno. Nella prima figura, con l’angolo a 30°, abbiamo visto che il coseno è il segmento più grande rispetto al seno. Quindi l’angolo è 30°. Ma essendo negativo dobbiamo trovare il suo corrispondente nel II e III quadrante.

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Come puoi vedere in figura i due angoli da considerare sono 150° e 210° e rappresentano la soluzione del problema.

 

CALCOLARE L’ANGOLO CON LA CALCOLATRICE

Un secondo metodo apparentemente più semplice è quello di usare direttamente la calcolatrice. Non sempre lo consigliamo: innanzitutto serve una buona calcolatrice scientifica e seconda cosa deve essere impostata in maniera corretta altrimenti rischia di darci i risultati sbagliati.

 

# Per calcolare un angolo dal seno basta che premi il pulsante sen-1, cioè la funzione arcoseno.

# Per calcolare un angolo dal coseno basta che premi il pulsante cos-1, cioè la funzione arcocoseno.

Il problema della calcolatrice è che ti restituisce un solo valore. Spetta poi a te associare il suo simmetrico per completare la soluzione. Ricordati che se salti questo passaggio, che dovrai fare comunque tu manualmente, l’esercizio non può definirsi completo.

 

Sistemi di equazioni goniometriche

 

Per procedere con la risoluzione di un sistema goniometrico a due equazioni, cioè per trovare le soluzioni comuni alle due equazioni, a volte si può usare il metodo di sostituzione. Cioè si risolve una delle equazioni rispetto ad un’incognita e si sostituisce l’espressione trovata nell’altra equazione. A volte, però, capita che questo metodo non sia sufficiente e, soprattutto negli esercizi più difficili, occorre applicare degli artifizi – delle semplificazioni o sostituzioni – che permettano di semplificare l’esercizio da svolgere.

 

ESERCIZIO SVOLTO CON IL METODO DI SOSTITUZIONE

Questo primo esercizio è piuttosto semplice, ma prova a seguirlo ugualmente. E’ importante perché ti fa capire come si risolvono i sistemi di equazioni goniometriche con il metodo della sostituzione. Vediamo subito questo esempio allora… Risolviamo il seguente sistema.

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RISOLVERE IL SISTEMA CON METODI ALTERNATIVI

Proviamo a risolvere questo esercizio. Ad uno primo sguardo potrebbe sembrare semplice ma, se volessimo risolverlo con la sostituzione, dovremmo far ricorso alle formule di addizione e sottrazione e probabilmente anche alle formule di triplicazione. Vediamo allora un metodo più semplice per risolverlo:

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Poiché senx=seny, vuol dire che x=y oppure per le proprietà degli archi associati x=180-y. Abbiamo così individuato due valori di x, non ci resta che sostituire la prima equazione del sistema in quella così ottenuta per ottenere le due soluzioni.

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Abbiamo quindi suddiviso il problema in due momenti diversi. Trovate le due soluzioni x che risolvono il sistema le abbiamo inserite (una alla volta) ottenendo così le due soluzioni finali. La parte più difficile è senza dubbio quella iniziale, dato che difficilmente lo studente si ferma a ragionare su come risolvere un sistema di equazioni.

 

ESERCIZIO SVOLTO CON PROSTAFERESI

Da un libro di testo abbiamo trovato un interessante esercizio che vogliamo mostrarti. Questa volta sono state usate le formule di prostaferesi per risolverlo. Ecco la traccia e la soluzione con tutti i passaggi. (trovi in seguito il commento e la spiegazione dell’esercizio)

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Sono state qui utilizzate le Formule di Prostaferesi perché queste contengono al loro interno la somma degli argomenti delle funzioni trigonometriche seno e coseno. In questo modo è stato sufficiente applicare la prima equazione alla seconda trasformata per poter automaticamente eliminare il seno dal problema. Si è così trovata la soluzione del coseno considerando le due incognite (abbiamo cioè trovato x-y=…..). Si sostituisce di nuovo nella prima equazione del sistema goniometrico e si arriva rapidamente alla soluzione.

 

SISTEMI DI EQUAZIONI GONIOMETRICHE – ESERCIZI DA RISOLVERE

Ti lasciamo con i seguenti esercizi. Puoi provare a risolverli da solo a casa, saranno certamente un valido allenamento per quelli che ti verranno assegnati in classe dal tuo docente. In questi esercizi prova ad usare, oltre alla sostituzione, anche le formule che hai studiato fino a questo momento: dall’equazione fondamentale della trigonometria alle formule di duplicazione. L’importante è arrivare il più rapidamente possibile ad ottenere il risultato esatto.

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Formule di addizione e sottrazione seno e coseno

 

Se stai studiando la trigonometria scoprirai presto che anche qui ci sono le operazioni algebriche come l’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. Tuttavia non possono essere risolte come hai fatto finora perché esistono delle formule trigonometriche come le formule di addizione e sottrazione, le formule di duplicazione e le formule di bisezione. Nella lezione di oggi vedremo le prime con una dimostrazione che troverai molto facile.

Infatti quando ci troviamo davanti una funzione trigonometrica accade che:

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Questo significa che quando hai un esercizio di trigonometria in cui c’è la somma di due angoli come argomento di un seno o di un coseno, non puoi spezzare l’addizione. Un matematico ti direbbe che il seno della somma di due angoli non equivale alla somma dei seni dei due angoli.

Vediamo con un esempio: per verificare quello che abbiamo scritto sopra possiamo prendere due valori di alfa e beta, per esempio a=30° e b=60°.

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E quindi è necessario usare delle formule fondamentali per la trigonomietria.

 

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Ecco lo schema in cui trovi ogni formula di addizione e sottrazione di seno e coseno.

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Con queste formule puoi risolvere le espressioni trigonometriche, ma se vuoi approfondire l’argomento ecco la dimostrazione della formula di addizione e sottrazione del coseno!

 

DIMOSTRAZIONE FORMULA SOTTRAZIONE DEL COSENO

Prendiamo una circonferenza goniometrica. Disegniamo l’angolo α nel terzo quadrante e l’angolo β nel secondo quadrante tali che la loro differenza, (α – β), sia un angolo del primo quadrante.

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Possiamo applicare la formula della distanza tra due punti ottenendo:

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Ricordi che nelle scorse lezioni abbiamo visto le formule fondamentali della trigonometria? Abbiamo visto che il seno al quadrato più il coseno al quadrato danno sempre come risultato 1, per cui possiamo continuare a scrivere la formula di sottrazione del coseno come:

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DIMOSTRAZIONE FORMULA ADDIZIONE DEL COSENO

Per passare dalla formula di sottrazione del coseno, alla formula di addizione del coseno basta sostituire – β al posto di β. Aggiungendo il segno meno otteniamo quindi:

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DIMOSTRAZIONE FORMULA ADDIZIONE DEL SENO

Si parte dalla formula di sottrazione del coseno dimostrata prima e andiamo a sostituire 90-α al posto di α e sfruttiamo gli archi associati all’interno dell’equazione trigonometrica che otteniamo:

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DIMOSTRAZIONE FORMULA DI SOTTRAZIONE DEL SENO

Partendo dall’equazione appena ottenuta, vediamo come dimostrare la regola che riguarda la sottrazione del seno. Come per la dimostrazione per la formula di addizione del coseno, sostituiamo  – β al posto di β.

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Preferiamo mantenere snella questa lezione, per cui lasciamo a te, come esercizio, la dimostrazione delle formule di addizione e sottrazione di tangente e cotangente. Il nostro suggerimento è di partire dalla definizione di tangente di un angolo (tgx=senx/cosx).

 

Al posto di x usa a+β e sviluppa il rapporto tra seno e coseno, usando le formula di addizione e sottrazione di seno e coseno dimostrate fino ad ora.

 

ESERCIZI SVOLTI:

Riprendiamo l’esempio che abbiamo fatto all’inizio per cui  a = 30° e b = 60° e risolviamo la seguente espressione:

 

sen(30°+60°)=

Usiamo la formula di addizione del seno:

sen(a+β)=sen(a)cos(β)+cos(a)sen(β)

sen(30°+60°)=sen(30°)cos(60°)+cos(30°)sen(60°)=

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# cos(105°)=

In questo caso possiamo risolvere l’esercizio considerando che 105° = 60° + 45°.

cos(a+β)=cos(a)cos(β)-sen(a)sen(β)

cos(60°+45°)=cos(60°)cos(45°)-sen(60°)sen(45°)=

=(1/2)( √2/2)-(√3/2)(√2/2)=

=√2/4-√6/4=

(√2-√6)/4

 

Relazioni fondamentali della goniometria

 – formule e regole

 

LE TRE FORMULE DI TRIGONOMETRIA DA SAPERE

Queste che vedi in elenco sono le tre relazioni fondamentali della trigonometria.

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PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE  DELLA TRIGONOMETRIA

La prima e più importante delle relazioni fondamentali della trigonometria parte da un concetto noto. Prendiamo infatti una circonferenza goniometrica, che abbia cioè raggio unitario e centro nell’origine O. Disegniamo su questa un angolo a. Tracciamo una linea verticale che va dal punto P all’asse delle x (ascisse): otteniamo così il punto P’ detto proiezione del punto P.

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Guardando il disegno possiamo notare che abbiamo ottenuto un triangolo rettangolo OPP’. Ricordiamo adesso che nel caso di triangoli rettangoli vale il teorema di Pitagora che dice:

“In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è sempre uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.”

Applicando questa facile definizione al triangolo OPP’ che abbiamo costruito, posso ricavare la formula:

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Abbiamo in questo modo dato una facile dimostrazione della formula fondamentale della trigonometria. Questa sarà molto importante nella risoluzione di esercizi ed espressioni goniometriche perché ci permette di calcolare il seno e il coseno. Sfruttando infatti la formula inversa posso scrivere:

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SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE  DELLA TRIGONIOMETRIA

Nella lezione sulla tangente di un angolo abbiamo imparato che la tangente è il rapporto tra seno e coseno di un angolo: tga=sena/cosa. Portandoci al primo membro il seno, ricaviamo la formula inversa:

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TERZA RELAZIONE FONDAMENTALE  DELLA TRIGONIOMETRIA

Riprendendo la definizione di cotangente di un angolo possiamo scrivere che questa funzione trigonometrica è pari al rapporto tra coseno e seno. Ci ricaviamo il coseno da questa relazione ottenendo la formula inversa:

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Le tre relazioni fondamentali della goniometria ci serviranno per trasformare tra loro le funzioni trigonometriche. Potremo cioè passare da seno a coseno, a tangente o a cotangente ogni volta che ne abbiamo bisogno.

 

Archi associati spiegazione ed esercizi svolti

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Abbiamo visto nelle lezioni come calcolare seno e coseno e anche cotangente e tangente di un angolo e che è possibile risolvere esercizi di trigonometria con l’aiuto delle tabelle.

Queste però sono utili se gli angoli variano da 0 a 90°. Come risolviamo un’espressione trigonometrica se ho angoli maggiori di 90°?

Si utilizzano allora gli angoli associati o archi associati.

 

ARCHI O ANGOLI ASSOCIATI

Per definizione gli angoli associati sono gli angoli:

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Cioè oltre all’angolo alfa, ci stiamo chiedendo come calcolare le funzioni trigonometriche per 180°-alfa, 180°+alfa e 360°+alfa. Ecco la tabella sugli archi associati che ti consigliamo di stampare e di memorizzare:

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Lo schema sui valori degli archi associati ti permette di risolvere gli esercizi con angoli maggiori di 90°.

Tuttavia se vuoi una spiegazione degli archi associati più chiara e capire cosa significano queste formule possiamo far riferimento alla circonferenza goniometrica e trovare le relazioni che esistono tra i vari angoli.

Fate attenzione perché studiare gli archi associati attraverso il grafico vi aiuta a non dover ricordare a memoria le formule della tabella

 

DIMOSTRAZIONE DEGLI ARCHI ASSOCIATI

VALORI PER 90-ALFA – I QUADRANTE

Nel primo quadrante possiamo trovare le relazioni tra l’angolo a e 90°-a: notate che il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al cos(90°-α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al sen(90°-α) ossia il segmento OD (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

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Possiamo quindi concludere che il seno e il coseno si scambiano e sono entrambi positivi. Per ottenere la relazione di tangente e cotangente basta ricordare che la tangente è il rapporto tra seno e coseno, mentre la cotangente è il rapporto tra coseno e seno.

 

VALORI DI 90+ALFA – II QUADRANTE

Nel secondo quadrante troviamo le relazioni tra l’angolo a e 90°+a: in questo caso il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al cos(90°+α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al sen(90°+α) ossia il segmento OD (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

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Quindi anche in questo caso si scambiano ma il coseno di 90° + a è negativo, infatti si trova sul lato sinistro dell’asse delle x.

 

VALORI DI 180-ALFA: II QUADRANTE

Nel secondo quadrante abbiamo anche le relazioni tra l’angolo a e 180°-a: in questo caso il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al sen(180°- α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al cos(180°- α) ossia il segmento OC (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

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Notate che il disegno è specchiato rispetto all’asse delle y e quindi seno e coseno non si scambiano ma il coseno diventa negativo perché sul lato sinistro dell’asse delle x.

 

VALORI DI 180+ALFA – III QUADRANTE

Nel terzo quadrante abbiamo le relazioni tra l’angolo a e 180°+a: il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al sen(180°+ α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al cos(180°+ α) ossia il segmento OD (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

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In questo caso seno e coseno non si scambiano ma diventano entrambi negativi.

 

VALORI DI 270-ALFA: III QUADRANTE

Sempre nel terzo quadrante abbiamo le relazioni tra l’angolo a e 270°-a: il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al cos(270°-α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al sen(270°-α) ossia il segmento OD (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

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Il seno e il coseno si scambiano e sono entrambi negativi.

 

VALORI DI 270+ALFA – IV QUADRANTE

Nel quarto quadrante abbiamo le relazioni tra l’angolo a e 270°+a: il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al cos(270°+α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al sen(270°+α) ossia il segmento OD (perché i triangoli rettangoli OAB e OCD sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

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Il seno e il coseno si scambiano ed il seno diventa negativo.

 

VALORI DI 360-ALFA – IV QUADRANTE

Sempre nel quarto quadrante abbiamo le relazioni tra l’angolo a e 360°-a: il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento AC che corrisponde al sen(360°- α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al cos(360°- α) che è ancora il segmento OA (perché i triangoli rettangoli OAB e OAC sono uguali per il secondo criterio generalizzato di congruenza).

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Il seno e il coseno non si scambiano ma il seno è negativo.

 

VALORI DI -ALFA – IV QUADRANTI

Ed infine nel quarto quadrante abbiamo anche le relazioni tra l’angolo a e -a: come si può vedere il disegno è identico al caso di 360°-a e quindi si hanno le stesse relazioni.

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ESERCIZI SVOLTI SUGLI ARCHI ASSOCIATI

3COS(120°)=

Per svolgere questa espressione trigonometrica ricordiamo la regola degli archi associati e cerchiamo la relazione che il nostro angolo, in questo caso 120°, può avere con pigreco/2, p, 3/2pigreco, 2pigreco.

 

Notiamo che possiamo scrivere il nostro angolo 120° in due diversi modi:

120°=180°-60° cioè 180°-a

120°=90°+30° cioè 120°-a

Nel primo caso a=60°, mentre nel secondo a=30°. Svolgiamo l’esercizio scegliendo l’uguaglianza 120°=180°-a con a = 60° (ovviamente il risultato sarebbe lo stesso se scegliessimo a = 30°), quindi

3 cos (120°) = 3 cos (180°- 60°) =

Cerchiamo sulla tabella degli archi associati a cosa corrisponde il cos(180°-a).

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Troviamo così la relazione cos(180°-a)=-cosa e quindi

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Dal punto di vista grafico vediamo che siamo nel caso in cui il disegno è specchiato rispetto all’asse delle y: senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al sen(180°-α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al cos(180°- α) ossia il segmento OC che è negativo perché sia trova sul lato sinistro dell’asse delle x.

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COTG(270°)=?

Anche per questa espressione trigonometrica utilizziamo le regole degli archi associati. Notiamo che possiamo scrivere il nostro angolo 270° in due modi differenti:

270°=180°+90° cioè 180°+a

270°=360°-a cioè 360°-a

Scegliamo la prima uguaglianza e cerchiamo sulla tabella a cosa corrisponde la ctg(180° +a). Anche in questo caso la scelta dell’arco associato è assolutamente arbitraria: avremmo potuto anche scegliere 360-a il risultato sarebbe rimasto invariato.

99-

Troviamo così la relazione ctg (180°+a )=ctga e quindi

100-

Dal punto di vista grafico siamo nel terzo quadrante e il senα, cioè il segmento AB, è uguale al segmento DC che corrisponde al sen(180°+ α), mentre il cosα, cioè il segmento OA, corrisponde al cos(180°+ α) ossia il segmento OD.

Per esercitarti verifica che il risultato sia lo stesso scegliendo la seconda formula degli archi associati proposta dall’esercizio, cioè 270° = 360° – a e quindi a = 90°.

 

Tangente di un angolo e cotangente di un angolo

 

DEFINIZIONE DI TANGENTE DI UN ANGOLO

Definizione di tangente: dato un triangolo rettangolo, la tangente è una funzione che si usa in goniometria definita come il rapporto tra il seno e il coseno dell’angolo:

101-

Guardiamo la circonferenza goniometrica e capiamo cosa vuol dire. Dal punto di vista geometrico la tangente dell’angolo a è il segmento AT riportato sul grafico.

102-

Notiamo che abbiamo due triangoli rettangoli: OPP’ e il triangolo rettangolo OAT. Essendo due angoli simili possiamo scrivere una proporzione tra i cateti:

103-

OP’: OA = P’P : AT

Dove ricaviamo AT che è proprio la tangente che stiamo cercando. Ricordando la definizione di seno e coseno possiamo ottenere che:

104-

TANGENTE DI UN ANGOLO DI 90 GRADI

Vi hanno detto in classe o avete letto sul vostro libro che “La tangente di 90° non esiste”, ma piuttosto che imparalo a memoria capiamo cosa vuol dire: guardate il disegno della circonferenza goniometrica in cui abbiamo scelto due angoli a e a’.

 

a è molto piccolo (si avvicina a zero)

a’ è molto grande (si avvicina a 90°)

105-

Se chiamiamo le relative tangenti AB e AC notiamo che AB è molto piccola, AC è molto grande. Per il calcolo della tangente possiamo così dire che:

 

# Quanto più a si avvicina allo 0 tanto più il segmento AB diventa piccolo, fino ad annullarsi.

# Quanto più a’ si avvicina ai 90° tanto più il segmento AC diventa grande, fino a che le due rette diventano parallele e non si incontrano mai!

 

Ecco perché diciamo che è impossibile calcolare la tangente a 90°, non può esistere o meglio non esiste la tangente di

106-

Con k si indicano numeri reali interi, cioè 0, 1, 2, 3, 4…

In questo modo racchiudiamo in una sola formula tutti gli angoli pari: a = 90°+0, a = 90° + 180°, a = 90° + 360°…

 

COS’È LA COTANGENTE DI UN ANGOLO?

Definizione di cotangente: la cotangente di un angolo è definita come il rapporto tra il coseno ed il seno dello stesso angolo, o come il reciproco della sua tangente:

107-

Considerando che i due triangoli rettangoli OGF e OPP’ sono simili, possiamo scrivere la proporzione:

GF : OP’ = OG : PP’

E ricordando la definizione di seno e coseno possiamo ottenere che OP’= cosa, P’P = sena e OG = 1 perché coincide con il raggio della circonferenza goniometrica.

108-

COTANGENTE DI UN ANGOLO DI 90 GRADI

Come fatto per la tangente, per capire il valore della cotangente a 90°, guardiamo il disegno: abbiamo ancora due angoli a e a’.

a è molto piccolo (si avvicina a zero)

a’ è molto grande (si avvicina a 90°)

109-

Se chiamiamo le relative cotangenti GF e GE notiamo che:

GF è molto grande

GE è molto piccola

# Quanto più a si avvicina allo 0 tanto più il segmento GF diventa grande, fino ad essere una retta parallela all’asse delle x;

# Quanto più a’ si avvicina ai 90° tanto più il segmento GE diventa piccolo, fino a diventare nullo.

Praticamente accade il contrario di quello che abbiamo visto per la tangente e quindi possiamo dire che la cotangente non esiste se:

110-

E cioè diciamo che non è definita (assume valore infinito) la cotangente negli angoli pari: a = 0°, 180°, 360°…

 

VALORI TANGENTE E COTANGENTE – TABELLA CON GLI ANGOLI NOTI

Ecco una tabella con i valori delle funzioni goniometriche tangente e cotangente in alcuni angoli notevoli.

111-

Con i valori riportati in tabella e le formule di sottrazione e addizione, di duplicazione, di bisezione, e quelle parametriche è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

 

ESERCIZI SVOLTI SU TANGENTE E COTANGENTE

Ecco alcuni esercizi svolti utilizzando la tabella dei valori di tangente e cotangente:

112-

Ora puoi mettere alla prova le tue conoscenze con gli esercizi con soluzioni su tangente e cotangente:

113-

 

Seno e coseno

 – definizione e tabella dei valori

 

UNO STUDENTE SI TROVA SPESSO A DOVER UTILIZZARE IL SENO E IL COSENO DI UN ANGOLO, SIA DURANTE LE ORE DI MATEMATICA, IN PARTICOLARE QUANDO SI STUDIA LA TRIGONOMETRIA, CHE IN FISICA, PER LO STUDIO DEL PIANO INCLINATO E DELLA SUDDIVISIONE DELLE FORZE.

 

IL COSENO DI UN ANGOLO

Per capire cos’è il coseno di un angolo dobbiamo fare riferimento alla circonferenza goniometrica. Prendiamo un angolo a  sulla nostra circonferenza tracciano una linea dall’origine. Dove la linea interseca la circonferenza segniamo un punto che possiamo chiamare P.

114-

Guardando il disegno possiamo notare che abbiamo ottenuto un triangolo rettangolo OPP’:

Il coseno dell’angolo a è dato dal rapporto tra i segmenti OP’, cateto sull’asse delle x, e OP, ipotenusa del triangolo e raggio della circonferenza.

115-

Quindi cosa=OP’. Possiamo quindi dare una definizione del coseno:

si definisce il coseno prendendo una circonferenza di raggio unitario e una semiretta uscente dall’origine che forma un angolo x con l’asse delle ascisse. Il coseno dell’angolo x è quindi definito come il valore della coordinata x del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza.

Vuoi un suggerimento facile, un trucchetto per ricordare cos’ è il coseno? Tieni presente che è sempre il segmento ORIZZONTALE (sull’asse delle x).

 

IL SENO DI UN ANGOLO

Considerando lo stesso triangolo per il seno e coseno:

116-

Il seno dell’angolo in trigonometria è dato dal rapporto fra il segmento PP’, cateto sull’asse delle y, e OP, ipotenusa del triangolo e raggio della circonferenza.

Anche in questo caso ricordiamo che il raggio della circonferenza goniometrica è pari ad 1, quindi: sena=P’P. Possiamo quindi dare la definizione del seno:

si definisce il seno di un angolo x a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano. Presa la semiretta uscente dall’origine che forma un angolo x con l’asse delle ascisse, il seno dell’angolo è quindi definito come il valore della coordinata y del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza.

Un trucchetto per ricordarsi cos’è il seno? Tenete presente che è sempre il segmento VERTICALE (sull’asse delle y).

Per calcolare il seno e il coseno si utilizza una tabella dei valori che si riferisce ad alcuni angoli notevoli.

 

TABELLA VALORI SENO E COSENO

Con dei valori riportati in tabella e le formule di sottrazione e addizione, di duplicazione, di bisezione, di prostaferesi, di Werner e di quelle parametriche è possibile calcolare il valore delle funzioni anche oltre i 90º combinandole in vari modi.

117-

ESERCIZI SVOLTI SU SENO E COSENO

Con l’aiuto della tabella dei valori di seno e coseno possiamo svolgere assieme i primi esercizi di trigonometria. Risolvere le seguenti espressioni.

118-

ESERCIZI DA RISOLVERE

2cos(15°)+sen(60°)-cos(30°)

3sen(45°)-4cos(18°)

sen(90°)-cos(75°)-7cos(90°)

 

Conversione gradi radianti

 

CONVERSIONE GRADI RADIANTI: LA FORMULA DA USARE

ρ=α°·π / 180°

Per passare da gradi a radianti ti basta aggiungere il pi-greco davanti l’angolo e dividere tutto per 180°. Generalmente si ottiene una frazione per cui è necessario semplificare numeratore e denominatore.

 

IL METODO FACILITATO CON LA CALCOLATRICE

Generalmente gli studenti delle scuole superiori hanno la possibilità di utilizzare la calcolatrice scientifica (anche se non sempre al primo anno). Avendo la possibilità di utilizzarla, si possono risparmiare i calcoli da fare a mano. Come? Ecco come passare da gradi a radianti con la calcolatrice scientifica.

 

# digita il valore dell’angolo espresso in gradi;

# premi il pulsante della frazione (generalmente indicato con ab/c (vedi l’immagine)

119-FINE TRIGO. 4

# si può scrivere ora al denominatore 180 e premere il pulsante invia per eseguire il calcolo.

se il valore dell’angolo ti sembra strano premi di nuovo il pulsante ab/c per avere la misura dell’angolo sotto forma di frazione.

 

ESEMPIO 1

Dato l’angolo di 30° sessagesimali, effettuare la trasformazione da gradi a radianti.

Utilizziamo la formula vista cioè ρ=α°·π / 180°, andando a sostituire 30° al posto di alfa.

ρ=α°·π / 180°

ρ=30°·π / 180°=(30/180)π

Semplifichiamo 30 con 180, per ottenere 1/6. Per cui il risultato finale è (1/6)π che possiamo scrivere anche come π/6.

 

ESEMPIO 2

Effettuare la conversione gradi radianti di un angolo la cui misura in gradi sessagesimali è 10°15’30”

In questo esercizio la situazione è leggermente più complessa visto che non ci sono solo i gradi, ma anche i primi e i secondi. Per cui per passare da gradi a radianti è necessario prestare un po’ più di attenzione nei calcoli. Il primo passo è quindi quello di portare tutto il valore dell’angolo in gradi esprimendolo sotto forma di frazione.

15°15’30” = (10+15/60+30/3600)°

Eseguiamo le semplificazioni così da rendere i calcoli più semplici.

(10+1/4+1/120)°= (1231/120)°

A questo punto possiamo utilizzare la formula per la conversione gradi radianti. Sostituiamo la frazione appena trovata al posto di alfa come fatto nell’esercizio precedente.

ρ=α°·π / 180°

ρ=(1231/120)°·π / 180°

ρ=(1231/21600)π

Data 4 ottobre 2019

TRIGONOMETRIA – 3

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Circonferenza Goniometria

 

La circonferenza goniometrica è una circonferenza con raggio unitario e centro nell’origine degli assi cartesiani. Grazie a questa figura si riescono a definire seno e coseno, assieme alle altre funzioni goniometriche.

 

E’ LA CIRCONFERENZA DI RAGGIO UNITARIO CON CENTRO NELL’ORIGINE

Vedi quanto è semplice la definizione? Però in base a questa ruota praticamente tutto il programma di geometria analitica. Ti ricordi qual è l’equazione di una circonferenza noto il centro e il raggio?

1-INIZIO TRIGO.3

dove α e β sono ascissa e ordinata del centro. Poiché abbiamo detto per definizione che la circonferenza ha centro nell’origine, queste due coordinate cartesiane sono pari a 0. Tenendo conto anche che il raggio è pari a 1, l’equazione della circonferenza può riscriversi come:

2-

Siamo così arrivati all’equazione della circonferenza goniometrica.

 

COME SI DISEGNA

Disegnare la circonferenza goniometrica è un procedimento molto semplice che puoi fare tranquillamente anche su un normale foglio a quadretti. Proviamo a farlo insieme:

– Tracciate un piano cartesiano con x, asse delle ascisse, e y, asse delle ordinate. Segniamo il loro punto di intersezione in O cioè l’origine.

3-

Prendete un compasso e scegliete la dimensione del raggio aprendolo per esempio di 5 cm. Tracciate la circonferenza goniometrica puntando nell’origine degli assi, cioè il punto O.

4-

Puoi vedere dalla figura che il raggio forma con l’asse delle x un angolo, che viene definito in matematica angolo orientato.  Questo perché la sua misura dipende dal verso di percorrenza. L’angolo sarà positivo se il raggio si muove in senso antiorario (quindi va verso l’alto partendo dall’asse x), sarà negativo se si muove in senso orario (quindi va verso il basso partendo dall’asse x).

 

GLI ANGOLI DELLE CIRCONFERENZA GONIOMETRICA PIÙ IMPORTANTI

Da 0 a 360°  sono davvero tanti gli angoli possibili che il raggio della circonferenza goniometrica può individuare con l’asse delle ascisse. Tuttavia ce ne sono alcuni, detti anche angoli noti, che ci ritroveremo spesso in esercizi e problemi. Vale quindi la pena iniziare a capire quali siano. Di seguito vengono elencati con la loro misura in gradi e in radianti. Per le trasformazioni da un sistema di misura all’altro consulta la nostra lezione sulla conversione gradi radianti.

 

ANGOLO DI 0°

E’ il primo che si individua quando il raggio della circonferenza goniometrica non ha neanche iniziato a muoversi.

5-

ANGOLO DI 30° (Π/6)

Il raggio ha iniziato a muoversi e si ferma poco prima della bisettrice del primo e terzo quadrante.

6-

ANGOLO DI 45° (Π/4)

Il raggio della circonferenza goniometrica è arrivato a metà strada tra 0° e 90°

7-

ANGOLO DI 60° (Π/3)

E’ il valore speculare sulla circonferenza goniometrica dell’angolo di 30° e, come vedremo nelle prossime lezioni, è a lui molto simile per alcuni valori che assumerà con le funzioni trigonometriche.

8-

ANGOLO DI 90° (Π/2)

Il raggio ha raggiunto l’asse delle ordinate della circonferenza goniometrica. Siamo arrivati all’angolo retto.

9-

ANGOLO DI 180° (Π)

E’ l’angolo piatto. Continuando a spostarsi lungo la circonferenza goniometrica, il raggio ha toccato di nuovo l’asse delle ascisse.

10-

ANGOLO DI 270° (3/2 Π)

E’ l’angolo sulla circonferenza goniometrica speculare all’angolo retto.

11-

ANGOLO DI 360° (2 Π)

Il raggio ha percorso tutta la circonferenza unitaria ed è tornato al punto di partenza. Infatti tutto ciò che riguarda l’angolo di 360° lo si può dire ugualmente all’angolo di 0°.

12-

A COSA SERVE LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA?

Abbiamo detto che questa figura geometrica particolare servirà a definire i concetti di seno, coseno, tangente e cotangente. In realtà la sua utilità non si ferma qui.

Da quanto abbiamo detto fino ad ora, lo studio sulla circonferenza trigonometrica si interessa di tutti gli angoli che vanno da 0 a 360°, quindi scritto in maniera matematica:

0≤Α≤2Π

Che cosa succede però quando l’angolo supera i 360°, cioè i due pi greco? Come ci si comporta con un angolo di 400° gradi ad esempio? Sena andare a complicarsi la vita per capire come trasformarli in radianti e senza affrontare le trattazioni teoriche di cui si è tanto discusso nei secoli ragioniamo in maniera semplice.

Quando il raggio supera i 360° inizia a percorrere da capo la circonferenza goniometrica percorrendo di fatto una strada già percorsa in precedenza. Per cui non fa altro che ripetere quanto già fatto prima. Per questa ragione ha senso ricondurre tutti gli angoli maggiori di 360° all’interno dell’intervallo 0-360°. Come? Basta sottrarre 360°!!

Ad esempio un angolo di 700°: 700-360=340°1507

 

 Formule di Werner

 

Le formule di Werner permettono di trasformare il prodotto di due seni o di due coseni o di un seno per un coseno nella somma o differenza di seni e coseni.

13-

Vediamo subito concretamente 2 esempi per applicare le formule di Werner.

 

ESERCIZIO 1

Calcoliamo (sin 37° 30′) · (cos 7° 30′)

Osserviamo che nel sistema di misura degli angoli (sessagesimale)

 

– la somma 37°30’+7°30′ = 45°

– la differenza 37°30′-7°30′ = 30°

 

Per cui possiamo scrivere che:

14-

ESERCIZIO 2

Trasformiamo in una somma il prodotto cos3x·cos5x

Abbiamo:

15-

DIMOSTRAZIONE

Le formule di Werner si ottengono direttamente dalle formule di Prostaferesi. In alternativa possono essere ricavate anche della formule di addizione e sottrazione.

 

PRIMA FORMULA DI WERNER

16-

SECONDA FORMULA DI WERNER

17-

TERZA FORMULA DI WERNER

18-

 

CURIOSITÀ

Le formule di Werner devono il loro nome allo scienziato che le ideò nel XVI secolo. Nonostante non vengano oggi molto utilizzate, hanno portato alle formule di Prostaferesi, all’epoca molto utili ai naviganti per il tracciamento delle rotte in mare.

 

ESERCIZI RISOLTI

Trasformiamo  in prodotti le seguenti somme con le formule di Werner.

19-

 

Coseno iperbolico

Il coseno iperbolico si indica con il simbolo matematica cosh(x) ed appartiene alle funzioni iperboliche, una famiglia di funzioni con caratteristiche simili a quelle goniometriche. Mentre però queste ultime si basavano sulla circonferenza goniometrica, seno e coseno iperbolico si definiscono a partire dall’iperbole equilatera.

DEFINIZIONE

20-

Si disegni sul piano cartesiano un’iperbole equilatera centrata nell’origine del sistema di riferimento. Essa avrà equazione X²-Y²=1. Dato il generico angolo α, è possibile individuare il settore iperbolico (disegnato in rosso in figura) di angolo α/2. Uno dei vertici di questa figura è il punto P.

 

Il coseno iperbolico è l’ascissa del punto P

cosh(x)=xP

 

Come tutte le altre funzioni iperboliche, cosh(x) si può definire attraverso le funzioni esponenziali. In particolare si può scrivere che:

21-

Il coseno iperbolico è dato dalla media di ex e e-x.

 

PROPRIETÀ

GRAFICO DEL COSENO IPERBOLICO

Al grafico disegnato sul piano cartesiano si arriva facilmente attraverso un normale studio di funzione che ti riportiamo di seguito.

22-

DOMINIO

Per analizzare il campo di esistenza di questa funzione, partiamo dalla sua definizione in termini esponenziali. Il dominio del coseno iperbolico è dato dall’unione di quello di ex e e-x. Poiché entrambi sono continui su tutto R (vedi dominio della funzione esponenziale), allora vale che:

 

D: ∀ x∈R

o anche

D=(-∞;+∞)

 

Il cosseno iperbolico è una funzione continua in tutto R.

 

SIMMETRIE

Poiché vale la relazione f(x)=f(-x), cioè

 

ex + e-x = e(-x) + e-(-x)

 

allora la funzione è pari. Questo vuol dire che il coseno iperbolico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

Per calcolare gli zeri della funzione, si impone x=0.

y=(ex + e-x)/2

y=(e0 + e-0 )/2 → y=1

Abbiamo quindi scoperto un’interessante analogia con il coseno. Cioè per x=0, y=1

cosh(0)=1

 

STUDIO DEL SEGNO, POSITIVITÀ

Come si fa normalmente nello studio di funzione, si impone y>0, cioè:

 

y=(ex + e-x)/2>0

 

Poiché sia ex che e-x sono entrambi positivi, allora anche la loro somma sarà positiva. Questo vuol dire che il coseno iperbolico è una funzione sempre positiva, cioè sul grafico si trova sempre al di sopra dell’asse delle ascisse.

 

LIMITI AGLI ESTREMI

Sia il limite per x che tende a meno infinito che per x che tende a più infinito, portano come risultato a più infinito.

23-

DERIVATA ED INTEGRALE

Riprendendo l’analogia con il coseno, la derivata del coseno iperbolico è pari al seno iperbolico cambiato di segno.

d(coshx)=-sinhx

Allo stesso modo, l’integrale sarà uguale al seno iperbolico a meno di una costante k.

∫cosh(x)dx=sinh(x)+k

 

 

Seno iperbolico

 

Il seno iperbolico si indica generalmente con sinh(x) o senh(x) e appartiene ad una famiglia di funzioni particolari con proprietà simili alle funzioni goniometriche. La differenza principale sta nel fatto che mentre seno e coseno si ricavano dalla circonferenza goniometrica, il seno iperbolico e il coseno iperbolico si ricavano dal grafico dell’iperbole.

 

DEFINZIONE

La prima domanda a cui bisogna rispondere è: che cos’è il seno iperbolico?

24-

Data un’iperbole equilatera di equazione X²-Y²=1 centrata sull’origine degli assi cartesiani e dato un angolo α, andiamo a considerare il settore iperbolico disegnato in rosso di area α/2. Questo determina sull’iperbole un punto P. Si definisce seno iperbolico l’ordinata del punto P.

sinh(x)=yP

Le funzioni iperboliche vengono definite attraverso l’uso di funzioni esponenziali con base naturale. In questo caso possiamo scrivere che:

25-

PROPRIETÀ

GRAFICO DEL SENO IPERBOLICO

Al grafico disegnato nel piano cartesiano si arriva facilmente effettuando un normale studio di funzione che riportiamo di seguito.

26-

DOMINIO

Dalla definizione che abbiamo appena espresso, possiamo individuare il campo di esistenza della funzione seno iperbolico. Il dominio degli esponenziali ex e e-x è tutto R. Per cui possiamo scrivere che il dominio è

 

D: ∀ x∈R

o anche

D=(-∞;+∞)

 

Il seno iperbolico è una funzione continua in tutto R

 

SIMMETRIE

Poiché vale l’uguaglianza f(x)=-f(-x), cioè

ex – e-x=-(e-x – e+x)

allora la funzione seno iperbolico è dispari, cioè simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani.

 

INTERSEZIONE CON GLI ASSI

Si impone come sempre si fa nello studio di funzioni, sinh(x)=0. Moltiplicando subito primo membro e secondo membro per 2, si ottiene:

ex – e-x=0

ex = e-x

x=-x → 2x=0 → x=0

 

Quindi abbiamo scoperto che il seno iperbolico di 0 fa 0. sinh(0)=0

 

STUDIO DEL SEGNO E POSITIVITÀ

Si impone il sinh(x)>0. Per cui passando alla definizione di esponenziali e moltiplicando tutto per 2 otteniamo:

 

ex – e-x>0

ex > e-x

x>-x

2x>0

x>0

 

Quindi la funzione seno iperbolico è positiva per x>0, mentre è negativa per x<0.

 

LIMITI AGLI ESTREMI

I limiti del seno iperbolico a meno infinito e più infinito sono rispettivamente meno infinito e più infinito.

27-

DERIVATA

Così come accadeva con il seno, la derivata del seno iperbolico è pari al coseno iperbolico.

 

d(sinhx)=coshx

 

INTEGRALE

Riprendendo ancora l’analogia con il seno, l’integrale del seno iperbolico è pari al coseno iperbolico cambiato di segno.

 

∫sinh(x)dx=-cosh(x)+k

 

 

Calcolare l’arcoseno con la calcolatrice scientifica

 

Facciamo una premessa: le inverse delle funzioni goniometriche, quindi anche la funzione arcoseno, non vengono riportate così come siamo abituate a scriverle nei nostri esercizi. La parola “arc” infatti non compare mai ma viene sostituita da un apice “-1” che sta appunto ad indicare la funzione inversa.

 

ARCOSENO CALCOLATRICE, DOVE SI TROVA?

Per prima cosa, per fare questo tipo di calcolo, è necessario avere una calcolatrice scientifica. I modelli più elementari senza le funzioni goniometriche non possono eseguire il calcolo. Vediamo come si presenta l’interfaccia e cosa premere per calcolare l’arcoseno sulla calcolatrice.

28-

Come puoi vedere dall’immagine, sul pulsante “sin” c’è una scritta piccolina sopra: sin-1. Ebbene quello è l’arcoseno. Visto che si trova però sulla parte superiore del pulsante, si tratta di una funzione secondaria. Per attivarla basta premere:

SHIFT+SIN

In questo modo:

 

– con SHIFT dirai alla calcolatrice di considerare il pulsante secondario

– premendo il sin, attiverai la sua funzione secondaria, ovvero l’arcoseno.

 

L’ARCOSENO CON LA CALCOLATRICE DI WINDOWS

Per quanto riguarda il calcolatore presente su Windows 10, il procedimento è molto semplice. Apri la calcolatrice. Generalmente si aprirà la modalità standard, cioè il modello base:

29-

Passa alla modalità scientifica premendo i tre trattini orizzontali in alto e clicca su SCIENTIFICA. Ecco che cosa vedrai…

30-

Vedi dove c’è la freccia con la punta rivolta verso l’alto? Abbiamo messo un segno arancione per indicartelo… Ebbene è come la seconda funzione SHIFT per la calcolatrice scientifica.

Per calcolare l’arcoseno con la calcolatrice scientifica di Windows devi quindi:

 

– digitare il numero corrispondente all’argomento dell’arcsin

– premere la freccia con la punta verso l’alto

– premere poi il pulsante “sin-1“

 

AVVERTENZE

Limitare il calcolo dell’arcoseno alla calcolatrice senza fare altre riflessioni ti porterà a sbagliare. Vediamo perché: ti ricordi i valori della tabella goniometrica? Avevamo detto che ad esempio che il seno di 45° vale √2/2, ma non è solo il seno dell’angolo di 45° ad assumere tali valori, ma anche 225°. (Per approfondimenti guarda la lezione sugli archi associati).

Questo vuol dire che se calcoli l’arcoseno con la calcolatrice otterrai un solo valore (45°) e ti perderai un risultato. In pratica l’esercizio ti verrà conteggiato sbagliato o incompleto. Puoi quindi usare la calcolatrice per calcolare l’arcoseno, ma ricordati poi di ragionare sui possibili risultati aggiuntivi.

 

ATTENZIONE ALL’ERRORE

Attenzione: non confondere l’inversa della funzione con la potenza negativa -1. Ti ricordiamo infatti che la funzione inversa è una nuova funzione con caratteristiche completamente differenti da quella di partenza: come esempio ricordati proprio la funzione seno e l’arcoseno. Elevare a meno 1 significa invece, per le proprietà delle potenze, invertire denominatore e numeratore. Nel caso in cui il denominatore non è presente si sottintende uno. Facciamo subito un esempio per evitare ogni tipo di confusione:

sen-1x=arcsenx

(senx)-1=1/senx

 

Puoi notare da solo quanto questi due calcoli, apparentemente simili dal punto di vista della simbologia matematica, portino a due risultati completamente differenti.

 

Arcoseno – arcsen(x) o arcsin(x) – la funzione inversa del seno

 

L’arcoseno di x non è altro che la funzione inversa del seno applicata alla variabile x. E’ in genere un argomento che gli studenti considerano difficile, per cui ci soffermeremo cercando di rendere la spiegazione semplice e alla portata di tutti.

Per capire quali sono le proprietà dell’arcoseno e vederne il grafico, è necessario che alcuni concetti siano noti. Ovviamente bisogna conoscere la funzione seno, altrimenti non possiamo studiarne l’inversa, e sarebbe opportuno conoscere il concetto di funzione biunivoca.

In linguaggio matematico la funzione arcoseno si indica con i simboli arcsin(x) oppure arcsen(x), a seconda del testo e della notazione utilizzata. Entrambi sono tuttavia parimenti validi.

 

DEFINIZIONE DI ARCOSENO

DOMINIO E CODOMINIO – LA PREMESSA

Prima di vedere operativamente che cos’è l’arcoseno di x, è importante fare una premessa. La funzione y=sen(x) non è biunivoca perché un valore di y appartenente al codominio [-1;+1] è immagine di infiniti valori di x, ossia ci sono infiniti archi sulla circonferenza goniometrica che hanno lo stesso seno.

Poiché la funzione non è biunivoca, allora non è invertibile. Quini in linea teorica non si potrebbe neanche parlare di arcoseno. Tuttavia, se effettuiamo una restrizione della funzione y=senx, ossia consideriamo il sottoinsieme I={-π/2;+π/2} del suo insieme di definizione R e la sua immagine f(I)=[-1;+1], la funzione f risulta biiettiva tra gli insiemi I e f(I) e quindi relativamente a tali insiemi esiste la funzione inversa f-1.

 

CHE COS’È L’ARCOSENO

A questo punto siamo pronti per dare una spiegazione sull’arcoseno: è la funzione inversa del seno e si indica con:

x= f-1(y)=arcsen y

da cui, scambiando le variabili, si ha:

y= f-1(x)=arcsen x

 

DOMINIO ARCOSENO (E CODOMINIO)

Questa funzione inversa del seno ha il dominio D l’insieme che abbiamo precedentemente indicato con f(I). Per cui il dominio D=[-1;+1]. Il codominio invece è quello che precedentemente abbiamo indicato con I={-π/2;+π/2}.

 

GRAFICO ARCOSENO

Per disegnare il grafico dell’arcoseno è bene aver presente com’è fatta la sinusoide.

31-

Arcoseno grafico: per disegnarlo dobbiamo il simmetrico della funzione f di partenza (in questo caso il seno) rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Per aiutarti a comprendere come si costruisce grafico arcsin x, ecco i vari passaggi.

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Nell’immagine sopra ti abbiamo mostrato come costruire iniziare a costruire il grafico dell’arcoseno. Proseguendo con il disegno si ottiene quindi il grafico completo.

33-

COME CALCOLARE ARCSIN X – ESEMPIO PRATICO

Per il calcolo dell’arcoseno puoi ricorrere alla calcolatrice, ma è difficile che questa ti restituisca un valore accettabile visto che generalmente lo ha già moltiplicato per pigreco.

 

Approfondimenti: come calcolare l’arcoseno con la calcolatrice

Molto meglio ragionare come segue:

– per trovare l’arcsen x devo chiedermi qual è l’angolo il cui seno è proprio pari a x.

Facciamo un esempio e proviamo a calcolare arcsen x, con x=1/2.

 

arcsen(1/2) → dobbiamo trovare l’angolo il cui seno vale √3/2. Sappiamo che il seno di 60 vale proprio √3/2, così come anche sen120°. Tuttavia abbiamo premesso Questo vuol dire che:

arcsen(1/2)=60° e 120° → Tuttavia ricordi cosa abbiamo detto? Che il codominio (cioè l’intervallo sull’asse delle y in cui la funzione è definita) varia tra -π/2 e +π/2. Quindi 120° (2/3 π) non va incluso nei risultati perché maggiore di π/2. Il risultato è quindi:

arcsen (1/2)=60°

e, volendo esprimere l’angolo in radianti, possiamo scrivere che:

arcsin (1/2) = π/3

 

PROPRIETÀ DELL’ARCOSENO

Avendo visto subito quali sono dominio e codominio, possiamo fare un’osservazione piuttosto semplice: l’arcoseno si ripete così come faceva il seno, ma questa volta in senso verticale. Per questa ragione non si può dire che l’arcoseno sia una funzione periodica.

Ricordi che cos’è una funzione matematica? E’ una relazione che associa ad un elemento della x, uno ed un solo elemento della y. Se provi a guardare l’ultimo grafico dell’arcoseno, noti che quando ad esempio x=1, ci sono vari valori della y. Per questa ragione il grafico non rappresenta una funzione ed è per quella stessa ragione che è stata necessaria la premessa con dominio e codominio.

 

SIMMETRIE

Si nota una simmetria della funzione rispetto all’origine degli assi, per cui possiamo dire che l’arcoseno è dispari. Matematicamente ciò si esprime attraverso la relazione:

f(x)=-f(-x)

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

Dal grafico dell’arcoseno puoi immediatamente capire come ci sia una sola intersezione con l’asse delle ascisse nel punto di coordinate cartesiane 0(0;0), cioè nell’origine. Tenendo conto che la y può essere solo compresa tra -π/2 e +π/2, allora appare evidente che non ci sono altre intersezioni da prendere in considerazione.

 

L’ARCOSENO È UNA FUNZIONE CRESCENTE?

Se consideriamo l’intervallo indicato della y (e quindi solo la parte rossa del grafico in figura), allora la funzione arcoseno è monotona strettamente crescente su tutto il suo dominio. Questo vuol dire che da quando parte da x=-1 a x=+1 la funzione cresce sempre e nessuna y è mai uguale alle precedenti.

 

ALCUNI ESERCIZI SVOLTI

arcsin [sin (x)] = x

Si tratta di un’espressione breve che è bene ricordare. Applicare la funzione inversa alla funzione stessa, mi dà come risultato l’argomento. Quindi in termini matematici  f-1[f(x)]=x, per cui l’arcoseno del seno è proprio pari alla x.

sin [arcsin x] = x

Si tratta del caso perfettamente analogo al precedente. C’è una rapida successione della funzione e della sua inversa, per cui il risultato è pari proprio all’argomento, cioè alla x.

 

Provare a disegnare il grafico y=arcsin(-x)

L’esercizio si risolve facilmente andando a ribaltare intorno all’asse y il grafico dell’arcoseno che abbiamo visto prima. Il risultato sarà quindi:

34-

Per esserne convinti, proviamo ad assegnare 3 valori alla x (-π/2 ; 0 ; +π/2) e prova a calcolare l’arcoseno. Vedrai che otterrai i valori che sono presenti sul grafico.

 

CONCLUSIONI

Come puoi vedere la spiegazione dell’arcoseno non è molto complessa, ma ci sono alcune cose che vanno ricordate, come la restrizione del codominio tra -π/2  e +π/2. Purtroppo per calcolare arcsin x la calcolatrice non sempre ci è d’aiuto, ma con la tecnica che abbiamo visto, si può eseguire il calcolo dell’arcoseno a mente (se si tratta ovviamente di valori di seno e coseno di angoli noti).

 

 

Cosinusoide e la funzione coseno y=cos(x)

 

La funzione coseno appartiene alla famiglia delle funzioni trigonometriche, è definita per ogni x appartenente all’insieme dei numeri reali ed è periodica. Tracciando il grafico della funzione coseno, che in matematica viene rappresentata da y=cosx, si ottiene la cosinusoide.

 

GRAFICO DELLA FUNZIONE COSENO

Per ricavare la cosinusoide si riportano sugli assi cartesiani i valori del coseno compresi tra 0 e 2π. Oltre questo intervallo non conviene andare perché poi si ripetono all’infinito. Disegniamo così la circonferenza goniometrica sulla sinistra e riportiamo il valore del coseno per ogni angolo.

35-

Per disegnare il grafico della funzione coseno y=cosx, facciamo coincidere il punto (0;-1) della circonferenza goniometrica con l’origine O degli assi cartesiani. Sull’asse delle x riportiamo l’ampiezza dell’angolo gradi o radianti, sull’asse delle y l’ascissa di B (cioè la funzione coseno dell’angolo)

36-

COSINUSOIDE

Riportando tutti i punti sul grafico di y=cosx con x compreso tra 0 e 2π, si ottiene una curva detta cosinusoide. Questa non è altro che la rappresentazione grafica della funzione coseno sugli assi cartesiani.

 

LA FUNZIONE COSENO È PERIODICA

La prima cosa che puoi notare è che, analizzando il grafico della funzione coseno, quando la x=0 e quando la x=360° (o 2π), la funzione assume gli stessi valori, cioè la y sul grafico è la stessa. Questo vuol dire che la funzione coseno è periodica con periodo 2π, cioè si ripete in maniera ciclica (sia a sinistra che a destra del grafico) assumendo sempre gli stessi valori.

Possiamo quindi riportare il grafico della funzione coseno anche nella versione completa, cioè riportandone i valori sia a destra che a sinistra di 0 e 2π. Avremo così il disegno della cosinusoide completo.

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DOMINIO DELLA FUNZIONE COSENO

Prova a rispondere a questa domanda guardando la curva cosinusoide. Vedi delle interruzioni sul grafico? Ci sono degli intervalli in cui la funzione si interrompe in qualche modo oppure ti sembra una linea continua che va avanti senza interruzioni? Se dovessi disegnarla non staccheresti mai la penna dal foglio.

Questo significa che la funzione è definita in tutto l’insieme dei numeri reali. Quindi se ti viene chiesto: qual è il dominio della funzione coseno? La risposta è: tutto R, o per essere più rigorosi nel linguaggio matematico, xR

 

CODOMINIO DELLA FUNZIONE COSENO

Più raramente i docenti si preoccupano di chiedere il codominio delle funzioni, ma è il caso di saperlo. Senza entrare troppo nei dettagli, il codominio ti indica l’intervallo di variazione del grafico in senso verticale. La cosinusoide, come puoi vedere tu stesso dalla figura, non va mai al di sotto di -1 e non va mai al di sopra di +1.

Questo vuol dire che il codominio è l’intervallo chiuso [-1;+1]. Si parla di intervallo chiuso perché i valori -1 e +1 sono compresi e definiti nella funzione.

 

LA FUNZIONE COSENO È SIMMETRICA?

Continuando la nostra analisi della funzione seno, proviamo a fare un’osservazione. Prova a suddividere il grafico in due parti: la zona a sinistra dell’asse delle y (con x<0) e la zona a destra dell’asse delle x (con x>0). Hai fatto caso che sono praticamente uguali? Questo significa che c’è una simmetria rispetto all’asse y, cioè la funzione coseno è pari.

Quando inizierai a fare lo studio di funzioni, vedrai che questa condizione si dimostra matematicamente perché

 

f(x)=f(-x)

cioè

cos(x)=cos(-x)

 

Ad esempio il coseno di 30 è uguale al coseno di -30 (cioè 360-30=330°).

 

INTERSEZIONE CON GLI ASSI

38-

Come puoi vedere dal grafico della cosinusoide, nell’intervallo tra 0 e 2π, la funzione coseno si interseca 2 volte con l’asse delle ascisse. I punti hanno coordinata x=π/2 e x=3/2π. Quindi per gli angoli di 90° e 270° la funzione coseno si annulla. Infatti, analizzando la tabella dei valori di seno e coseno sappiamo che:

cos90°=0

cos270°=0

Quindi i due punti di intersezione, che abbiamo segnato in rosso sul grafico sono P1(π/2;0) e P2(3/2π;0). Se volessimo individuare matematicamente questi due valori dovremmo mettere a sistema la funzione coseno y=cosx, con l’equazione della retta y=0 che rappresenta invece l’asse delle ascisse.

Per approfondimenti vedi come calcolare l’intersezione tra due rette (la regola si applica per l’intersezione di due generiche curve, quindi anche della cosinusoide)

 

ALTRI SPUNTI PER GLI ESERCIZI

Molto spesso negli esercizi vengono chieste delle funzioni meno elementari della cosinusoide. Capita quindi di dover studiare la funzione coseno al quadrato o la funzione cos2x o ancora la funzione coseno in valore assoluto. In base a quanto detto fino ad ora è possibile dedurre il grafico di altre funzioni del coseno.

 

ESEMPIO

TRACCIARE IL GRAFICO, EVENTUALMENTE APPROSSIMATO, DELLA SEGUENTE FUNZIONE COSENO → Y=COS|X|

Il grafico della funzione coseno valore assoluto si ottiene dalla normale cosinusoide y=cos(x) ribaltando attorno all’asse delle y le parti del grafico che si trovano a destra dell’asse verticale. Proviamo a scrivere i valori di cos|x| al variare dell’angolo x.

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Si può notare che il grafico del coseno in valore assoluto è identico a quello della cosinusoide.

 

Quanto vale il seno di 60 gradi?

 

SENO 60 GRADI – COME SI RICAVA?

Iniziamo disegnando la circonferenza goniometrica, quindi che ha centro nell’origine e raggio unitario. Su questa andiamo a disegnare l’angolo di 60° partendo dall’asse delle x e con una rotazione in senso antiorario.

40-

Abbiamo così disegnato il coseno e il seno di 60 gradi sulla circonferenza goniometrica. Per ricavarne il valore, basta applicare il teorema di Pitagora al triangolo che si è formato. Possiamo quindi scrivere che:

sen²60°+cos²60°=1

In realtà il triangolo in figura non è un semplice triangolo rettangolo, ma ha gli angolo di 30, 60 e 90°. Questo implica che il cateto minore è pari a metà dell’ipotenusa. Poiché quest’ultima è proprio il raggio che è pari a 1 (per definizione di circonferenza goniometrica), allora il cateto minore è 1/2. Quindi il coseno di 60° è 1/2. Per ricavare il seno di 60, basta fare sostituire quindi:

sen²60°+(1/2)²=1

sen²60°=1-1/4=3/4

A questo punto applichiamo la radice quadrata al primo e al secondo membro dell’equazione per eliminare il quadrato.

sen60°=√3/2

 

COME RICORDARLO IN MANIERA SEMPLICE.

Hai visto quanto è stato facile ricavare il seno di 60°? Ovviamente non possiamo metterci a fare la dimostrazione ogni volta che ci vengono chiesti i valori delle funzioni goniometriche. E’ necessario impararle comunque a memoria, così da avere la risposta pronta durante le interrogazioni.

Non preoccuparti però, noi abbiamo un metodo semplice per ricordarli tutti! Gli angoli più ricorrenti sono 0°, 30°, 45°, 60° e 90°. Quelli successivi si possono ricavare con le regole degli archi associati. Quindi concentriamoci su questi primi 5 e consideriamo che:

 

– seno e coseno di 45° sono uguali e l’unico valore da ricordare è √2/2;

– l’angolo di 0 e 90° hanno valori di seno e coseno semplici, come 0 e 1, quindi non ci sono radici;

A questo punto non ci resta che ricordare gli angoli di 30° e 60°. Per ricavare istantaneamente quanto vale il seno di 60°, immagina la circonferenza goniometrica e i due segmenti formati da seno e coseno. Uno è più lungo dell’altro, in particolare il seno è maggiore del coseno. Per cui, visto che i valori da ricordare sono √3/2 (circa 0,86) e 1/2 (pari a 0,5), allora il seno è √3/2.

 

Tabella goniometrica

TABELLA GONIOMETRICA COMPLETA

Come leggere la tabella di valori: nella prima colonna trovi l’angolo in gradi e radianti. Nella seconda colonna ci sono i valori del seno, poi il coseno, infine i valori di tangente e cotangente.

41-

I valori presenti all’interno della tabella goniometrica possono essere individuati anche attraverso l’uso della calcolatrice, ma il problema è che questa non fornisce generalmente i risultati con i radicali e le frazioni, ma semplicemente con un numero con la virgola.

 

COME FARE PER IMPARARLI A MEMORIA

Il dramma di tutti gli studenti che affrontano il programma di trigonometria è proprio imparare i valori della tabella goniometrica a memoria. Sono tanti e apparentemente non hanno alcun senso. Tuttavia c’è un metodo molto rapido per ricavare istantaneamente tutti i valori.

 

COME CAMBIANO I SEGNI

Hai presente la circonferenza goniometrica? E’ divisa in 4 spicchi, chiamati quadranti. Su ciascuno di questi seno e coseno assumono un segno differente. La tangente e la cotangente si ricavano dividendo i segni: segno del seno fratto segno del coseno.

 

– 1° (+;+) → Nel primo quadrante (in alto a destra) il seno e coseno entrambi positivi. Quindi anche tangente e cotangente positivi.

– 2° (+;-) → Nel secondo quadrante (in alto a sinistra) il seno è positivo, il coseno è negativo. Quindi tg e cotg sono negativi;

3° (-;-) → Nel terzo quadrante (in basso a sinistra) seno e coseno sono negativi. Quindi tangente e cotangente sono positivi;

4° (-;+) → Nel quarto quadrante (in baso a destra) seno positivo e coseno negativo. Quindi tangente e cotangente negativi.

 

COSA SUCCEDE NEL PRIMO QUADRANTE

L’angolo 0 e l’angolo a 90° hanno funzioni goniometriche opposte. Quindi basta ricordare che a 0 gradi il seno vale 0, quindi il coseno vale 1. Quindi la tangente (seno/coseno) vale 0 e la cotangente infinito. A 90° gradi si invertono seno e coseno, tangente con cotangente.

42-FINE TRIGO.3

Nell’angolo di 30° il segmento del coseno è più lungo del segmento del seno. Dato che i valori in gioco sono 0,5 e radical 3/2 (circa 0,9), allora il seno è 1/2, il coseno è √3/2. Tangente e cotangente li ricaviamo al momento dividendo seno/coseno.

Approfondimenti: quanto vale il coseno di 30°?

A 60 gradi si inverte il valore del seno con quello del coseno, si inverte il valore della tangente con quello della cotangente.

A 45° devo semplicemente ricordarmi che seno e coseno sono uguali e pari a √2/2. Quindi tangente e cotangente sono pari a 1.

 

COSA SUCCEDE NEGLI ALTRI QUADRANTI?

Hai visto la figura precedente con l’angolo di 30°? Ebbene prova a disegnare su un foglio di carta l’angolo da 150°, ti renderai conto che è identico all’angolo di 30°, ma ribaltato a destra. Quindi i valori della tabella goniometrica saranno gli stessi: il seno sarà 1/2 e il coseno radical 3/2. Ma attento ai segni, perché abbiamo detto che il coseno sarà negativo.

 

La stessa cosa si può dire anche con l’angolo da 120°. E’ il ribaltato sul secondo quadrante dell’angolo di 60°. Per  cui i valori della tabella goniometrica sono gli stessi, ad eccezione dei segni. Questo ragionamento si ripete sia nel terzo che nel quarto quadrante.

 

Data 3 ottobre 2019

TRIGONOMETRIA – 2

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Valori seno e coseno di angoli notevoli

 

Quali sono i valori di seno e coseno che vanno ricordati? Esistono degli angoli notevoli più ricorrenti all’interno di problemi ed esercizi? E’ possibile avere una tabella degli angoli noti?

Risposta

Negli esercizi che dovrai svolgere con il programma di geometria analitica, ci saranno tantissimi tipi di angoli di cui calcolare le principali funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente e cotangente). Tuttavia esistono alcuni angoli notevoli che si presenteranno più spesso rispetto ad altri.

I valori di seno e coseno degli angoli noti possono essere raggruppati all’interno di una tabella goniometrica che esplicita quanto valgono queste funzioni al variare dell’angolo.

 

VALORI DI SENO E COSENO PER ANGOLI NOTI

I seguenti valori che trovi in tabella si rispecchiano nell’andamento della funzione sinosoide e cosinusoide che rappresentano il seno e il coseno.

52-INIZIO TRIGO. 2

dove:

 

α° è il valore dell’angolo in gradi

α RAD è il valore dell’angolo in radianti

 

Puoi provare a calcolare i valori degli angoli noti di seno e coseno anche attraverso l’uso della calcolatrice. Prova a scrivere un angolo (ad esempio 90) sulla calcolatrice e premere il seno. Il risultato è 1. Tuttavia non tutte le calcolatrici sono efficaci. Se provi ad esempio a scrivere 45 e a premere il pulsante del coseno, il risultato potrebbe essere 0,707… Insomma non ci dà un risultato esatto! Per questa ragione il nostro consiglio è di imparare a memoria i valori di seno e coseno degli angoli noti.

 

UN CONSIGLIO PER MEMORIZZARLI

Hai fatto caso che i valori in tabella sono praticamente gli stessi? Gli unici numeri da imparare a memoria sono 0, 1, 1/2, √3/2 e √2/2. Ricordati che 0 e 1 si riferiscono a 0, 90, 180, 270 e 360°. Inoltre √2/2 si riferisce alle bisettrici dei quadranti degli assi cartesiani (come ad esempio 45°).

√3/2 e 1/2 si riferiscono quindi necessariamente a 30° e 60° e i valori di seno e coseno di questi angoli noti si invertono. Se guardi la tabella, infatti, ti accorgerai che il seno di 30° è uguale al coseno di 60°. Così anche il coseno di 30° e uguale al seno di 60°.

 

COME TROVARE SENO E COSENO DEGLI ALTRI ANGOLI

Ti capiterà sicuramente di avere a che fare con angoli differenti da quelli noti ricorrenti. Come mi muovo se devo calcolare il seno di 120°? Semplicemente considerando l’angolo di 120° come la somma di 90°+30°, due angoli noti. Oppure si può considerare 120° come la differenza tra 180° e 60°, altri due angoli noti.

 

 

Formule di bisezione seno e coseno, tabella e dimostrazione

 

Le formule di bisezione sono delle formule trigonometriche che permettono di calcolare seno, coseno, tangente e cotangente della metà di un angolo. La trasformazione avviene portando tutto in funzione del coseno.

53-

ATTENZIONE: La formula di bisezione per la tangente è valida solo se viene soddisfatta la condizione di esistenza (denominatore diverso da 0). Cioè:

 

1+cosα≠0 → α≠180°+kπ

sinα≠0 → α≠kπ

 

ESEMPI SVOLTI

Determiniamo le funzioni goniometriche di 22,5°.

L’angolo su cui ci viene chiesto di eseguire uno studio è la metà dell’angolo di 45°. Per questa ragione possiamo calcolare seno, coseno e tangente di 45°/2.

54-

DIMOSTRAZIONE FORMULE BISEZIONE SENO E COSENO

Si parte dalla formula di duplicazione del coseno per ottenere le formule di bisezione del seno e coseno. Abbiamo già visto nelle precedenti lezioni che possono essere anche scritte come:

55-

Basta poi fare la radice quadrata delle formule di bisezione del coseno e del seno per ottenere quelle definitive che vedremo poi nella tabella riassuntiva.

 

DIMOSTRAZIONE FORMULA BISEZIONE TANGENTE E COTANGENTE

Trovate le formule di seno e coseno al quadrato, basta sfruttare le relazioni fondamentali della trigonometria per andare avanti con le dimostrazioni. Ecco come si fa la dimostrazione della formula bisezione della tangente.

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FORMULE BISEZIONE, ESERCIZI SVOLTI

In questo ultimo paragrafo vedremo come si usano le formule di bisezione con degli esempi pratici con cui provare le formule appena calcolate.

 

ESERCIZIO SVOLTO 1

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In questo primo facile esercizio, è stata applicata la formula di bisezione della tangente. Dopo pochi calcoli algebrici è stata applicata la razionalizzazione dei radicali moltiplicando e dividendo per la radice quadrata di 2.

 

ESERCIZIO SVOLTO 2

Sapendo che tga=2 e che 0<a<π, determiniamo tg(5/2 a).

Si tratta di un esercizio difficile ma che si basa su una sola riflessione. Non potendo fare la tangente di 5/2 dell’angolo, è necessario dividere quella frazione in due addendi che possiamo risolvere in maniera più semplice. Poiché 5/2 = 1/2 + 2, allora possiamo trasformare la traccia dell’esercizio:

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Come puoi vedere è stato trasformato prima l’angolo 5/2 e poi è stata applicata la formula di addizione della tangente. A questo punto possiamo calcolare separatamente la tg2a attraverso le formule di duplicazione e la tga/2 con la formula di bisezione della tangente.

59-

 

Teorema di Nepero o delle tangenti

 

Il teorema di Nepero è una formula utilizzata in trigonometria che permette di risolvere un generico triangolo nel caso in cui si conoscano le misure di due lati e dell’angolo compreso. Viene chiamato anche teorema delle tangenti perché nella formula principale compare l’uso diretto delle tangenti degli angoli.

Non capita spesso di utilizzare il teorema di Nepero, tanto che spesso viene tralasciato. Tuttavia merita un approfondimento, seppure breve, almeno per valutarne formula e potenzialità. Il nome di questa teorie viene dal matematico Nepero, lo stesso che formulò quello che oggi viene appunto chiamato numero di Nepero, fondamentale nello studio dei logaritmi.

 

FORMULA DEL TEOREMA DI NEPERO

Per prima cosa disegniamo un generico triangolo (quindi un triangolo scaleno) in cui andiamo ad indicare l’ampiezza degli angoli e la misura dei lati.

60-

ENUNCIATO

In ogni triangolo, la somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti sta alla tangente della loro semidifferenza.

 

(oppure)

 

In ogni triangolo rettangolo la somma di due lati sta alla loro differenza come la cotangente della metà dell’angolo compreso sta alla tangente della semidifferenza degli angoli opposti.

 

FORMULE

61-

CONSIDERAZIONI SUL TEOREMA DI NEPERO

 

Dato si tratta di formule non molto utilizzate, ne tralasciamo la dimostrazione. Facciamo invece alcune considerazioni di carattere pratico. Quando si usa questo teorema negli esercizi di trigonometria?

 

– quando è noto un lato e due angoli

– quando sono noti due lati e l’angolo compreso

 

Perché il teorema delle tangenti viene usato poco? Perché sostanzialmente non permette di arrivare sempre ad una soluzione semplice. Può capitare infatti che porti a calcolare la tangente della somma di due angoli, di cui magari uno è incognito. Per questa ragione si preferisce in genere sfruttare molto più facilmente e rapidamente il teorema del seno.

 

 

Teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria

 

I teoremi della trigonometria sui triangoli rettangoli sono delle formule che mettono in relazione i cateti, l’ipotenusa e gli angoli del generico triangolo rettangolo. Nelle formule trigonometriche compaiono le funzioni goniometriche, cioè seno, coseno, tangente e cotangente.

 

I teoremi dei triangoli rettangoli in trigonometria sono utili per risolvere tantissimi tipi di problemi geometrici e potranno essere utilizzati anche in numerose applicazioni nel proseguo degli studi. Capita spesso anche nel problema dell’esame di stato di dover risolvere un triangolo rettangolo usando le formule trigonometriche.

Le formule trigonometriche sui triangoli rettangoli che vedremo in questa lezione vanno ad aggiungersi a quelle note della geometria euclidea e che hai già studiato alle scuole medie. Puoi trovare una tabella riepilogativa alla lezione sulle formule del triangolo rettangolo.

 

Di seguito indicheremo con A, B e C i vertici (disposti in genere in senso antiorario) di un triangolo qualsiasi, con α (alfa) β (beta) γ (gamma) le misure degli angoli di vertici rispettivamente A, B e C. Se il triangolo è rettangolo indicheremo con A il vertice dell’angolo retto e quindi con a la misura dell’ipotenusa, mentre b e c sono le misure dei due cateti e β e γ i due angoli acuti.

62-

PRIMO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Enunciato: In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto ad esso oppure per il coseno dell’angolo acuto ad esso adiacente.

 

AB = BC · senγ

AB = BC · cosβ

AC = BC · senβ

AC = BC · cosγ

 

Attraverso il primo teorema della trigonometria, in un triangolo rettangolo si può ottenere la misura del cateto conoscendo l’ipotenusa e il seno (o il coseno) dell’angolo opposto (o adiacente)

 

FORMULE INVERSE

Sfruttando invece le formule inverse del primo teorema della trigonometria si possono trovare l’ipotenusa o gli angoli (ovviamente bisogna applicare l’arcoseno o l’arcocoseno). Per esempio dalla prima delle quattro formule viste, si possono ricavare:

 

– AB = BC · senγ → senγ = AB/BC → γ = arcsen(AB/BC)

– AB = BC · senγ → BC = AB/senγ

 

DIMOSTRAZIONE  TEOREMA TRIGONOMETRIA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Partiamo dalla circonferenza goniometrica e dalla definizione di seno e coseno.

63-

Per le definizioni viste avremo:

 

senγ=AB/BC

cosγ=AC/BC

 

Nel caso della circonferenza goniometrica, il raggio BC era pari a 1. Nel caso invece di un triangolo rettangolo generico, l’ipotenusa ha una misura generica. Con un semplice passaggio algebrico, alle due formule appena viste passiamo alle seguenti:

 

AB = senγ · BC

AC = cosγ · BC

 

L’angolo α=90°, mentre gli β e γ sono tra loro complementari. Questo significa che senβ=cosγ e senβ=senγ. Per cui possiamo scrivere le formule del primo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo:

 

AB = senγ · BC = cosβ · BC

AC = cosγ · BC = senβ · BC

 

SECONDO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto oppure per la cotangente dell’angolo acuto ad esso adiacente.

 

AB = AC · tgγ

AB = AC · cotgβ

AC = AB · tgβ

AC = AB · cotgγ

 

Attraverso il secondo teorema della trigonometria sul triangolo rettangolo, si può trovare un cateto avendo la misura dell’altro cateto e un angolo, opposto o adiacente non importa.

 

FORMULE INVERSE

Attraverso un semplice passaggio algebrico si possono ottenere le formule inverse che permettono sostanzialmente di trovare l’angolo conoscendo i due cateti. Bisogna ovviamente applicare l’arcotangente per avere la misura in gradi o radianti. Per esempio, dalla prima formula:

 

AB = AC · tgγ → γ = arctg(AB/AC)

 

DIMOSTRAZIONE II TEOREMA TRIGONOMETRIA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI

Sappiamo che la tangente di un angolo non è altro che il coefficiente angolare della retta. Dovendo scrivere l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto B possiamo scrivere:

64-

dove:

 

m = coefficiente angolare = tgγ

q = intercetta all’origine = 0

y = AB

x = AC

 

Ricomponendo l’equazione otteniamo la formula trigonometrica:

AB=tgγ · AC

Poiché l’angolo γ e β sono tra loro complementari, allora tgγ=cotgβ, per cui

AB= AC · cotgβ

 

COME SI USANO QUESTI TEOREMI?

Le formule di trigonometria sui triangoli rettangoli vengono usate per risolvere problemi in cui vengono richieste le misure di cateti, angoli o ipotenusa. In particolare, per capire quali di questi 2 teoremi usare, basta valutare quali sono gli elementi noti:

 

CASO 1 – SONO NOTI 2 CATETI

In questo caso si possono trovare immediatamente gli angoli

65-

γ=arctg(AB/AC)

β=arctg(AC/AB)

 

Si può a questo punto calcolare anche l’ipotenusa sfruttando il primo teorema della trigonometria:

BC=AB/senγ

Ovviamente l’ipotenusa può anche essere calcolata con il teorema di Pitagora.

 

CASO 2 – SONO NOTI 1 CATETO E L’IPOTENUSA

In questo caso si applica subito la prima formula trigonometrica per trovare l’angolo:

 

AB=BC·senγ → γ=arcsin(AB/BC)

 

L’angolo β lo possiamo a questo punto calcolare semplicemente come β=90°- γ. L’ultimo cateto invece può essere calcolato con Pitagora.

 

CASO 3 – SONO DATI IL CATETO E UN ANGOLO ACUTO

Dato γ, possiamo subito calcolare β come angolo complementare: β=90°- γ. A questo punto posso calcolare anche l’ipotenusa come AB = senγ · BC. L’ultimo cateto possiamo infine ricavarlo con il teorema di Pitagora.

 

CASO 4 – SONO NOTI L’IPOTENUSA E UN ANGOLO ACUTO

Anche in questo caso possiamo usare la formula inversa del primo teorema trigonometrico.

AB=senγ·BC → BC=AB/senγ

Avendo calcolato il cateto, possiamo calcolare il secondo angolo acuto come β=90°- γ, mentre l’ultimo cateto sempre con il teorema di Pitagora.

 

CONCLUSIONI

I teoremi sui triangoli rettangoli della trigonometria permettono di poter risolvere completamente un triangolo. Sono sufficienti cioè 2 informazioni note (cateto, ipotenusa, angoli) per poter determinare tutto il resto.

 

 

Disequazioni goniometriche

 

Le disequazioni goniometriche sono delle disequazioni nelle quali la variabile x compare anche come argomento di una o più funzioni goniometriche. Ecco alcuni esempi di disequazioni trigonometriche:

 

cosx>0;  sen²x-senx-2<o;

tgx>secx;  1-sen²x<0;

x-cotgx≤0;  x²+x-senx≥0.

 

Per risolvere le disequazioni goniometriche è necessario determinare tutti i valori dell’incognita per i quali essa è soddisfatta. Si tratta cioè di determinare tutti gli angoli x che verificano la disuguaglianza tra i due membri della disequazione goniometrica stessa.

Valgono gli stessi principi che regolano la risoluzione delle disequazioni algebriche. E’ necessario però tener conto del particolare andamento delle funzioni seno, coseno, tangente, … al fine di determinare gli intervalli che costituiscono le soluzioni della disequazione goniometrica.

 

DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

66-

Quelle che hai appena visto sono la forma base più semplice che possa essere trovata negli esercizi. L’obiettivo è sempre ricondursi ad una di queste quattro diseguaglianze elementari. Per ciascuna di queste ci sarà un risultato differente. Vediamo singolarmente i casi appena presentati.

 

CASO 1

67-

Immaginiamo di avere la disequazione goniometrica elementare senx>m. Per quanto detto nello studio della funzione seno, quest’ultima esiste solo per valori compresi tra -1 e +1. Questo vuole dire che, per senx>m:

 

– se m<-1, la disequazione è sempre verificata, cioè è valida ∀x∈R.

– se m>+1, la disequazione è impossibile.

– se -1<m<+1, analizziamo il grafico in figura:

 

Le soluzioni sono date dagli intervalli dei valori dell’arco x per i quali il grafico della funzione si trova sopra il grafico della sinusoide:

68-

Le soluzioni delle disequazioni trigonometriche elementari con il seno sono date dagli intervalli dei valori dell’angolo x per i quali il grafico della sinusoide si trova sopra la retta y=m. Considerando solo l’intervallo che va da 0 a 2π, gli angoli per i quali senx=m sono in figura α e β. Possiamo quindi scrivere le soluzioni della disequazione nel seguente modo:

Α+2KΠ < X < Β+2KΠ

Si procede in modo del tutto analogo nel caso si debba risolvere la disequazione goniometrica elementare senx<m (oppure senx≤m). Ricordiamo soltanto che, in questo caso, se m<-1 la disequazione è impossibile. Se m>1 la disequazione è verificata sempre cioè xR.

Esempio

Risolviamo la disequazione goniometrica 2senx-1≤0

Abbiamo senx≤1/2

Rappresentiamo graficamente la situazione:

69-

Analizzando il grafico si può dedurre che la disequazione goniometriche è verificata per

2kπ < x <π/6+2kπ  5/6π+2kπ < x <2π+2kπ

 

CASO 2

70-

Immaginiamo di avere cosx>n.

 

– Se n<-1, la disequazione è verificata sempre, cioè ∀x∈R.

– Se n>1, la disequazione è impossibile.

– Se -1≤n≤+1, analizziamo il grafico della cosinusoide.

71-

Le soluzioni della disequazione goniometrica sono date dagli intervalli dei valori di x per i quali il grafico della funzione y=cosx si trova sopra il grafico della retta y=n. In tali intervalli è infatti verificata la disuguaglianza cosx>n. Chiamati α e β gli angoli, compresi tra 0 e 2π, per i quali il coseno ha valore n, possiamo scrivere le soluzioni della disequazione nel seguente modo:

2KΠ ≤ X≤Α+2KΠ  ∪  Β+2KΠ<X<2Π+2KΠ

In modo del tutto analogo si procede per la risoluzione dell’equazione goniometrica elementare cosx<n (oppure cosx≤n); in questo caso, se n<-1 la disequazione è impossibile. Se n>1 la disequazione è verificata ∀x∈R.

 

Esempio

Risolviamo la disequazione trigonometrica 2cosx+√2≥0

Iniziamo sistemandoci tutti i termini al posto giusto:

cosx≥-√2/2

Rappresentiamo graficamente la funzione coseno e la retta orizzontale y=-√2/2.

72-

I valori che soddisfano la disequazione goniometrica sono tutti quelli che stanno al di sopra la retta orizzontale disegnata. Per cui possiamo dire che la soluzione dell’esercizio è:

2kπ < x <3/4π+2kπ  ∪ 5/4π+2kπ < x <2π+2kπ

 

CASO 3

73-

Analogamente a quanto fatto con i primi due casi, analizziamo tgx>p. Si tracci il grafico della tangente:

74-

Detto α (con 0<α<π, α≠π/2) l’arco per il quale la tangente ha valore p, possiamo scrivere le soluzioni della disequazione goniometrica come segue:

KΠ+Α< X<Π/2+KΠ

Dovendo risolvere la disequazione tgx>p con p<0, si dovrà tenere presente che l’angolo α (compreso tra 0 e 180°) per il quale la tangente ha valore p, è maggiore di π/2. Le soluzioni si scriveranno come segue:

KΠ+Α≤X<Π/2+KΠ  ∪  Α+KΠ<X<Π+KΠ

75-

Considerazioni analoghe valgono per la risoluzione delle disequazioni goniometriche elementari con tgx<p (o con il simbolo minore e uguale).

Esempio

Risolviamo la disequazione trigonometrica 3tg²x-2√3tgx+1>0

Si tratta di un polinomio che può essere ridotto a quadrato di binomio. Per cui si ottiene:

(√3tgx-1)²>0

Essendo un quadrato sempre positivo o al limite nullo, la disequazione è soddisfatta per i seguenti valori di tgx.

tgx≠+√3/3

ossia dai seguenti valori dell’angolo x:

x≠π/6+kπ  ∪  x≠π/2+kπ

 

CASO 4

76-

Come nei casi precedenti, sia cotgx>q. Analizziamo il grafico in figura:

77-

Poiché il codominio della funzione y=cotgx è l’insieme R dei numeri reali, la disequazione cotgx>q è sempre risolvibile.

Detto α l’angolo per il quale la cotangente ha valore q (0<α<π), possiamo scrivere le soluzioni della disequazione goniometrica nel seguente modo:

KΠ< X<Α+KΠ

Considerazioni analoghe valgono per la risoluzione della disequazione cotgx<q (e con il segno minore e uguale).

Esempio

Risolviamo la disequazione trigonometrica cotgx>√3

Rappresentiamo graficamente la traccia dell’esercizio:

78-

La disequazione è verificata per

kπ<x<π/6+kπ

 

UN METODO DI RISOLUZIONE ALTERNATIVO

Le disequazioni goniometriche elementari possono essere anche risolte con l’ausilio della circonferenza goniometrica, oltre che con il metodo appena presentato. Ad esempio, la disequazione senx≤1/2 che abbiamo trattato nel primo esempio, può essere risolta facendo riferimento alla figura seguente.

79-

Si inizia prendono quei valori degli angoli per cui il seno vale 1/2. Cioè l’angolo π/6 e 5/6π. Sopra la linea tratteggiata ci sono tutti gli angoli che hanno un seno superiore a 1/2. Sotto la linea tratteggiata ci sono tutti quegli angoli che rispettano la disequazione trigonometrica senx<1/2. Per cui si ottengono le soluzioni:

2kπ < x <π/6+2kπ  ∪ 5/6π+2kπ < x <2π+2kπ

 

CONCLUSIONI

Abbiamo visto come risolvere le disequazioni goniometriche elementari in due diversi metodi. La scelta dell’uno o dell’altro è soggettiva e, come dimostrato, non cambia il risultato ottenuto. Anche negli esercizi più complessi sarà necessario ricondursi ad una di queste 4 forme base. Sei pronto quindi ora per passare alle disequazioni goniometriche non elementari.

 

Esercizi sulle equazioni goniometriche

 

ESERCIZI EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

ESERCIZIO 1

2senx=1

Otteniamo subito senx=-1/2 e, visto che sen210=-1/2, possiamo scrivere che l’equazione è soddisfatta per:

x=210°+2k·180° ∪ x=330°+2k·180°

Applicando la conversione gradi radianti, il risultato dell’esercizio è:

x=7/6π+2kπ  ∪ x=11/6π+2kπ

Ricordiamo che se α è un angolo per cui senα=m, anche l’angolo (180°-α) ha seno uguale a m. Se hai bisogno di un approfondimento sull’argomento ti consigliamo di leggere la lezione sugli archi associati. Nel nostro caso α=210°, 180°-α=180°-210°=-30° e quest’ultimo angolo non è altro che l’angolo di 330°.

 

ESERCIZIO 2

cos(x-30°)=√3/2

Poiché cos30° =√3/2, possiamo scrivere:

x-30°=30°+2k·180° ∪ x-30°=-30°+2k·180°

Spostando il 30° che compare al primo membro a destra dell’equazione goniometrica, otteniamo:

x=60°+2k·180° ∪  x=2k·180°

 

ESERCIZIO 3

tgx=√3

Poiché tg(π/3)=√3, possiamo scrivere le soluzioni come segue:

x=π/3+kπ

Da notare come la periodicità della funzione tangente sia espressa in questo caso da kπ, mentre nel seno e coseno è data da 2kπ. Questo perché la tangente è periodica per ogni 180°.

 

ESERCIZIO 4

2 sen(x+π/4)=√2

Il primo passaggio è quello di spostare il 2 al secondo membro dell’equazione. Otteniamo quindi:

sen(x+π/4)=√2/2

Ricordando che il seno di 45° vale proprio √2/2, possiamo quindi dire che l’esercizio sull’equazione goniometrica si risolve per:

x+π/4=π/4+2kπ ∪ x+π/4=3/4 π + 2kπ

Ossia:

x=2kπ ∪ x=π/2+2kπ

 

ESERCIZIO 5

tg(2x-30°)

Poiché tg135°=-1, scriviamo le soluzioni come segue:

2x-30°=135°+k·180°

da cui otteniamo:

2x=165°+k·180°

Dividendo tutto per 2, si arriva alla soluzione finale:

x=82°30’+k·90°

 

ESERCIZI EQUAZIONI GONIOMETRICHE RICONDUCIBILI ALLE ELEMENTARI

ESERCIZIO 1

8sen³x+1=0

La prima operazione da fare è provare a scomporre questo polinomio di terzo grado. Troverai nelle lezioni sulle scomposizioni di polinomi anche una regola che vale per la somma di cubi.

x³ + a³ = (x+a)(x²-ax+a²)

Allora il nostro esercizio diventa:

(2senx+1)(4sen²x-2senx+1)=0

per la legge dell’annullamento del prodotto, possiamo individuare le soluzioni dell’equazione svolta ponendo:

2senx+1=0 ∪ 4sen²x-2senx+1=0

Otteniamo così due piccoli esercizi sulle equazioni goniometriche: il primo è elementare. Dalla prima equazione otteniamo:

senx=-1/2

da cui x=7/6π+2kπ ∪ x=11/6π+2kπ

Dalla seconda equazione non otteniamo alcuna radice reale. Se provi infatti ad applicare le regole delle equazioni di secondo grado, avrai un delta negativo. Per cui non ci sono soluzioni reali.

 

 ESERCIZIO 2

2cos²x-cosx+1=0

Ponendo cosx=y, otteniamo un’equazione di secondo grado.

2y²-y-1=0

Le due soluzioni, applicando il metodo del delta, sono:

y=-1/2 ∪ y=1

Sostituendo di nuovo y=cosx, perveniamo così a due mini esercizi sulle equazioni goniometriche elemetari:

cosx=-1/2  e  cosx=1

le quali risultano verificate rispettivamente per:

x=±2/3π+2kπ   (soluzioni di cosx=-1/2)

x=2kπ   (soluzioni di cosx=1)

 

ESERCIZIO 3

3tg²x-1=0

Iniziamo a scomporre il binomio della traccia, applicando la regola della differenza di quadrati. Attenzione: affinché l’equazione abbia un significato è che x≠90°+k180° (condizione di esistenza)

(√3tgx-1)(√3tgx-1)=0

Per la legge dell’annullamento del prodotto possiamo scrivere che:

√3tgx-1=0 → tgx=√3/3 → x=30°+kπ

√3tgx+1=0 → tgx=-√3/3 → x=150°+kπ

Da notare come a questo passaggio (che ti abbiamo segnato in blu) siamo arrivati attraverso una razionalizzazione del radicale. Si trovava infatti radice di 3 al denominatore ed abbiamo provveduto a portarlo al numeratore.

Il risultato di questo esercizio è quindi:

x=30°+kπ ∪ x=150°+kπ

 

ESERCIZIO 4

cotg²x-cotgx=0

Perché l’equazione abbia significato deve essere x≠kπ (condizione di esistenza)

Possiamo effettuare la messa in evidenza totale, da cui otteniamo:

cotgx(cotgx-1)=0

Per la legge dell’annullamento del prodotto possiamo determinare le soluzioni dell’equazione assegnata risolvendo le equazioni elementari:

cotgx=0  e cotgx-1=0

La prima è soddisfatta per  x=π/2+kπ.

Le seconda è soddisfatta per x=π/4+2kπ.

 

ESERCIZIO 5

2sen³x-5sen²x+senx+2=0

Guarda la forma di questo esercizio… non ti ricorda in tutto e per tutto un’equazione di terzo grado? Proviamo infatti a sostituire senx=y ed otteniamo:

2y³-5y²+y+2=0

Possiamo scomporre il primo membro dell’equazione utilizzando la regola di Ruffini. Da notare che y=1 è uno zero del polinomio (cioè sostituendo y=0 otteniamo l’identità 0=0, per cui

80-

(y-1)(2y²-3y-2)=0

sostituendo di nuovo senx=y, otteniamo il prodotto:

(senx-1)(2sen²x-3senx-2)=0

da cui, per la legge dell’annullamento del prodotto:

senx=1 ∪ 2sen²-3senx-2=0

Dall’equazione senx=1, otteniamo le soluzioni  x=π/2+2kπ

Dall’equazione 2sen²-3senx-2=0 otteniamo:

senx=-1/2 ∪ senx=2 (abbiamo semplicemente usato la regola del delta per le equazioni di secondo grado)

Per cui:

senx=-1/2 → x=7/6π+2kπ x=11/6π+2kπ

senx=2 → nessuna soluzione, perché il seno non può essere maggiore di +1.

L’esercizio svolto quindi ammette soluzioni:

x=π/2+2kπ x=7/6π+2kπ x=11/6π+2kπ

 

Equazioni goniometriche

Schema per risolverle facilmente

 

Le equazioni goniometriche sono delle equazioni in cui l’incognita compare come argomento delle funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente, cotangente). Esistono vari metodi per risolverle a seconda della tipolog

 

COSA SONO LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Si dice equazione goniometrica quella in cui l’incognita x compare come argomento di una o più funzioni trigonometriche. Vediamo subito un facile esempio:

 

– senx=1/2

– senx+cosx=1

– x cosx-1=0

– x-tgx=0

Come puoi vedere la x compare proprio all’interno di seno, coseno, tangente e cotangente, per cui i metodi che abbiamo fino ad ora studiato per risolvere le equazioni e disequazioni vanno ampliati. Per risolvere le equazioni goniometriche è necessario trovare quegli angoli che verificano l’uguaglianza tra i due membri dell’equazione stessa.

 

EQUAZIONI GIONIOMETRICHE ELEMENTARI

Prima di partire con le espressioni goniometriche più difficili, vediamo la forma base, la più semplice in assoluto. Il nostro obiettivo sarà, in tutti gli esercizi, cercare di ricondurci a una di queste 4 forme.

senx=m

cosx=n

tgx=p

cotgx=q

Queste quattro che ti abbiamo elencato vengono dette equazioni goniometriche elementari. Analizziamo ora singolarmente i vari casi e per ciascuna vedremo i metodi di risoluzione. Ecco una tabella molto schematica che ti aiuterà a comprendere meglio l’argomento.

 

SENX=M

Per risolvere questa prima equazione goniometrica è necessario che -1<=m<=1 (cioè m deve essere compreso o uguale da -1 e +1). In maniera molto semplice l’esercizio ti chiede di trovare quell’angolo x il cui valore del seno è pari a m. Poiché i valori del seno si ripetono ogni 360 gradi, allora possiamo dire che la soluzione sarà valida per ogni 2kπ.

x=a+2kπ

 

COSX=N

Anche in questo caso per risolvere l’equazione goniometrica è necessario che 1<=n<=1 (cioè n deve essere compreso o uguale a -1 e +1).  In caso contrario l’equazione è impossibile. L’esercizio ci chiede di trovare il valore di quell’angolo il cui coseno è pari a n. Vale (per i 2kπ) quanto già detto con le equazioni con il seno.

x=a+2kπ

 

TGX=P

La condizione di esistenza, affinché l’equazione non sia impossibile, è che x deve essere diverso da 90° (cioè π/2 espresso in radianti). Per risolvere le equazioni elementari con la tangente è necessario trovare quell’angolo la cui tangente è pari a p. Poiché la tgx è una funzione periodica – cioè che si ripete – ogni 180°, allora il risultato sarà valido per ogni kπ.

x=a+kπ

 

COTGX=Q

Deve valere la condizione x diverso da kπ. E’ necessario ora trovare quell’angolo x la cui cotangente è proprio q. Vale lo stesso discorso della periodicità della tangente, per cui anche le equazioni con la cotangente sono valide ogni kπ.

x=a+kπ

 

ESEMPI SULLE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI

 

ESERCIZIO 1

81-

 

Ecco  come ragionare per risolvere le equazioni goniometriche: l’esercizio mi chiede qual è quel valore dell’angolo per cui il seno vale 1/2. Poiché il seno di 30° e il seno di 150° sono uguali a 1/2, allora possiamo scrivere:

82-

In questo secondo esercizio la traccia sostanzialmente ci ha chiesto: qual è quel valore dell’angolo x per cui il coseno vale radical 3 fratto 2? Ricordando che il coseno di 30 gradi e di 330 gradi valgono proprio radical 3 fratto 2, allora si arriva alla soluzione in un unico passaggio.

 

REGOLA GENERALE PER RISOLVERE LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE

Ogni volta che ti trovi di fronte ad un’equazione goniometrica elementare, poniti la domanda: che angolo devo trovare affinché la funzione trigonometrica mi restituisca quel valore? Disegna (se necessario) la circonferenza goniometrica, oppure stampa le nostre tabelle sui valori di seno e coseno.

Ecco altri 2 esempi svolti con la soluzione, ti trovi con il risultato?

83-

EQUAZIONI GONIOMETRICHE RICONDUCIBILI AD ELEMENTARI

Alcune equazioni pur essendo non elementari, possono considerarsi riconducibili alla prima tipologia che abbiamo visto. A volte è sufficiente eseguire qualche passaggio algebrico, a volte se si presentano più funzioni goniometriche è possibile esprimerle attraverso una sola di esse (riguardati le relazioni generali della trigonometria), altre volte è possibile applicare le formule degli archi associati.

Chiariamo questo concetto con degli esercizi svolti:

84-

Come puoi vedere i primi passaggi sono determinanti. Avendo una funzione al quadrato, vuol dire che l’equazione non è elementare. Posso però applicare la regola della moltiplicazione di una somma per una differenza. Successivamente applicando la regola dell’annullamento del prodotto si arriva facilmente alla soluzione. Prova a guardare ora quest’altro esercizio svolto:

85-

In quest’ultimo esempio i metodi di risoluzione erano due: noi abbiamo preso la strada più breve cioè usando la scomposizione del quadrato di binomio. In realtà si poteva scomporre quest’equazione trinomia con il metodo del delta che hai imparato con le equazioni di secondo grado. Questo esercizio svolto infatti altro non era che un’equazione goniometrica riconducibile a elementare di secondo grado. Per risolverla sono semplicemente necessarie opportune scomposizioni iniziali.

 

RICONDUCIBILI AD ELEMENTARI CON LE FORMULE GONIOMETRICHE

Alcune equazioni goniometriche possono essere ridotte ad elementari, attraverso l’applicazione di opportune formule di addizione o sottrazione, oppure con le formule di duplicazione o bisezione, prostaferesi o Werner. Cerchiamo subito di chiarire questo concetto con 2 esempi:

86-

In questo primo esempio abbiamo semplicemente applicato la formula di addizione, risolto pochi facili passaggi algebrici per arrivare alle equazioni goniometriche elementari rapidamente e quindi alla soluzione. Niente di particolarmente complesso, per cui vediamo un altro esercizio svolto…

87-

L’ultimo esempio fa parte delle equazioni goniometriche con le formule di Prostaferesi (se non le ricordi ecco un file doc per poterle rivedere). Solo così possiamo da moltiplicazione a somma con le funzioni trigonometriche e ottenere la soluzione.

 

EQUAZIONI GONIOMETRICHE LINEARI

Un equazione lineare in seno e coseno si presenta nella forma a senx + b cosx = c. Distinguiamo ora due casi:

C=0

allora conviene dividere tutta l’equazione per cosx ottenendo:

a senx/cosx + b cosx/cosx = 0

a tgx + b = 0

tgx=-b/a

ossia un’equazione elementare.

C DIVERSO DA ZERO

In questo caso ci sono due metodi di risoluzione altrettanto validi. Il primo consiste nel risolvere le equazioni goniometriche con le formule parametriche. E’ il metodo più veloce e semplice (se ricordi le formule) per cui te lo consigliamo. Ecco degli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche parametriche:

88-

Il secondo che ti stiamo presentare è il metodo grafico per le equazioni goniometriche lineari. Data l’equazione generica asenx+bcosx=c, possiamo porre  senx=X e cosx=Y. Ricordando la relazione fondamentale della trigonometria (seno al quadrato più coseno al quadrato uguale a 1), possiamo scrivere il seguente sistema:

89-

Sostanzialmente le due figure che si generano l’equazione di una retta e di una circonferenza. Dalla loro intersezione, quindi risolvendo il sistema indicato (se non ricordi come fare riguardati la nostra lezione sui sistemi di equazioni), otterrai le soluzioni dell’equazione lineare. Vediamo un esempio:

90-

EQUAZIONI GONIOMETRICHE OMOGENEE

Le equazioni che si presentano nella forma:

91-

si dicono omogenee di 2 grado in seno e coseno, perché tutti i termini sono di secondo grado. Per risolvere le equazioni omogenee in trigonometria si divide tutto per il coseno al quadrato (supposto che cosx=0 non è una soluzione del sistema, cioè effettuate le dovute condizioni di esistenza). In questo modo si esprime tutto in funzione della tangente. Vediamo subito un esempio:

92-

La prima cosa da fare è chiederci: cosx=0 può essere una soluzione? Poiché per cosx=0, x=90°+2k180°, basta che vado ad inserire 90° nell’equazione. Se esce 0 allora anche la x che abbiamo verificato è una soluzione. Possiamo ora affrontare il calcolo:

93-FINE. TRIGO. 2

Sono perfettamente identiche le equazioni trigonometriche riconducibili ad omogenee. L’unica differenza è che dovrai ingegnarti all’inizio con alcuni passaggi algebrici per poterti ridurre alla condizione di equazione omogenea.

Data 1 ottobre 2019

TRIGONOMETRIA – 1

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Teorema di Carnot o Teorema del coseno

 

Si chiama Teorema di Carnot oppure Teorema del Coseno e permette di calcolare rapidamente la misura di un lato di un generico triangolo date le misure degli altri due lati e del loro angolo compreso.

Questo teorema si traduce in una formula trigonometrica estremamente utile nello svolgimento di esercizi e problemi. Assieme al teorema dei seni, il teorema del coseno (o teorema di Carnot) è una delle poche formule applicabili a qualsiasi tipo di triangolo.

 

Enunciato: in ogni triangolo, il lato di un quadrato è pari alla somma dei quadrati degli altri due lati meno il doppio prodotto dei due lati per il coseno dell’angolo tra loro compreso.

 

Sembra difficile da ricordare eppure, tra poco, ti renderai conto di quanto questo teorema sia semplice. Cerchiamo di tradurre con linguaggio matematico la definizione del teorema del coseno.

 

FORMULA DI CARNOT

Disegniamo innanzitutto un generico triangolo assegnando nomi a vertici ed angoli.

1-

SPIEGAZIONE SEMPLIFICATA

Vediamo passo passo come l’enunciato ci porta alla formula. Dato il generico triangolo ABC, vogliamo calcolare il lato AB.

Il teorema del coseno ci dice che il lato AB al quadrato è pari alla somma dei quadrati degli altri due lati…

 

AB² = AC²+BC² …

meno il doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell’angolo tra loro compreso. Gli altri due lati sono BC e AC, mentre l’angolo compreso tra questi lo abbiamo indicato con la lettera γ. Per cui la formula sarà:

 

AB² = BC² + AC² – 2·BC·AC·cosγ

Ovviamente il calcolo si può ripetere con tutti i lati del triangolo, ecco la ragione per cui abbiamo scritto 3 formule per il teorema di Carnot.

 

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DEL COSENO

Vediamo a questo punto come si dimostra il teorema di Carnot. Disegniamo il triangolo generico e l’altezza relativa al lato AB.

2-

Consideriamo il triangolo rettangolo AHC ed utilizziamo le formule dei teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria. Possiamo così calcolare quindi l’altezza disegnata CH e il cateto AH e il  in funzione del lato noto AC, ipotenusa del triangolo AHC.

Cateto = ipotenusa per il seno dell’angolo opposto o per il coseno dell’angolo adiacente

CH = AC · senα

AH = AC · cosα

 

Osservando il triangolo ABC, in particolar modo il segmento AB, possiamo notare che vale la relazione:

AB = AH + HB e quindi HB = AB-AH (abbiamo solo spostato i membri dell’equazione da una parte all’altra cambiando i segni).

Avendo calcolato AH, possiamo sostituire:

HB = AB – AH → HB = AB – AC cosα

Applichiamo a questo punto il teorema di Pitagora al secondo triangolo rettangolo BCH.

BC² = CH² + HB² e sostituiamo con HB appena calcolato e con l’HC che abbiamo calcolato prima (evidenziato in grassetto).

BC² = (AC senα)² + (AB – AC cosα)²

Sviluppiamo le operazioni algebriche. Da notare che al secondo membro c’è un quadrato di binomio, per cui non dimentichiamoci del doppio prodotto.

BC² = AC² sen²α + AB² + AC² cos²α – 2 AB AC cosα

Osserviamo che c’è un termina con AC² che può essere messo in evidenza. Facciamo quindi il raccoglimento a fattor comune.

BC² = AC² (sen²α + cos²α) + AB²  – 2 AB AC cosα

Una delle relazioni fondamentali della trigonometria sottolinea come il seno al quadrato più il coseno al quadrato sono pari a 1, per cui:

BC² = AC² + AB²  – 2 AB AC cosα

 

TEOREMA DEL COSENO E TEOREMA DI PITAGORA

Osservando bene la formula, ti renderai conto che il teorema di Carnot è molto simile al teorema di Pitagora, con la differenza che il primo è valido per tutti i triangoli, il secondo solo per i triangoli rettangoli.

 

Infatti si dice che il teorema del coseno è una generalizzazione di Pitagora. Avendo il triangolo rettangolo un angolo pari a 90° ed essendo il coseno di 90° pari a 0, allora applicando Carnot ottieni proprio la formula del teorema di Pitagora

AB² = BC² + AC²  – 2 BC AC cosγ

γ= 90° → cosγ = cos90° = 0

AB² = BC² + AC²

 

ESERCIZI CON IL TEOREMA DEL COSENO

PROBLEMA 1

Dato il triangolo ABC, calcolare la misura del lato AB sapendo che gli altri due lati misurano 5 e 10 cm e l’angolo tra essi compreso ha ampiezza pari a 30°.

Svolgimento

Abbiamo già tutti i dati a disposizione per applicare il teorema di Carnot. Scriviamo quindi subito la formula:

AB² = BC² + AC²  – 2 BC AC cosγ

AB² = (5)² + (10)²  – 2 (5)(10) cos30°

Poiché il coseno di 30 gradi è pari a radical 3 fratto 2, allora il risultato sarà:

AB² = 25 + 100 – 50√3 = 125 – 50√3 = 38,4 cm²

AB = 6,2 cm

 

PROBLEMA 2

Determinare la misura di uno degli angoli del triangolo che ha per lati a=√3cm b=1cm e c=2cm

Svolgimento

In questo caso, visto che ci viene chiesto di calcolare l’ampiezza degli angoli, dovremo far riferimento alle formule inverse del teorema del coseno.

AB² = BC² + AC²  – 2 BC AC cosγ

2 BC AC cosγ = BC² + AC² – AB²

cosγ = (BC² + AC² – AB²) / (2 BC AC)

cosγ = (1² + 2² – √3²) / (2·1·2) = (1+4-3)/(4) = 2/4 = 1/2

A questo punto possiamo calcolare l’angolo dal coseno semplicemente sfruttando l’arcocoseno.

γ = arccos(1/2) = 60°

 

 

Teorema dei seni

Il teorema dei seni stabilisce che in un generico triangolo, il rapporto tra un lato e il seno dell’angolo opposto resta costante.

 

QUANDO SI APPLICA E A CHE SERVE?

Il teorema del seno è valido per qualsiasi tipo di triangolo. Può essere quindi applicato sia ai triangoli rettangoli, che isosceli o equilateri.

Si tratta di uno dei più importanti teoremi di trigonometria, perché si rivela utilissimo negli esercizi e nei problemi sui triangoli in cui c’è bisogno di conoscere la misura di un angolo o di un lato.

 

TEOREMA DEI SENI: FORMULA E DEFINIZIONE

Oltre alla prima definizione, che abbiamo dato all’inizio di questa lezione, il teorema del seno (o dei seni) si può anche definire in un secondo modo.

In ogni triangolo i rapporti tra le misure dei lati e il seno degli angoli opposti sono costanti ed uguali tra loro.

Dato il triangolo scaleno ABC, indichiamo con le lettere α β γ i tre angoli interni.

3-

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DEI SENI

Proviamo ora a dimostrare la validità di questo teorema. Ridisegniamoci il generico triangolo, cercando di ricondurlo ad un problema già risolto. In trigonometria sappiamo risolvere bene i triangoli rettangoli, per cui tracciamo l’altezza, dividendo la figura in due triangoli rettangoli.

4-

Andiamo ora ad applicare i teoremi sui triangoli rettangoli della trigonometria.

Dato il triangolo HCB, rettangolo in H, possiamo scrivere che:

h=c · sinβ

Dato il triangolo AHC, rettangolo in H, possiamo scrivere che:

h=b · sinγ

Uguagliando le due quantità otteniamo che:

b · sinγ = c · sinβ

Dividendo tutto per sinγ e sinβ, otteniamo:

5-

Rispetto alla formula del teorema dei seni che abbiamo visto ad inizio lezione, manca il lato a. Per ottenere quest’ultima parte, è sufficiente ridisegnare il triangolo con l’altezza relativa questa volta al lato c.

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Ripetiamo gli stessi passaggi fatti nel caso precedente per cui, considerando i due triangoli rettangoli AHC e AHB, possiamo scrivere le relazioni:

h = a · sinβ

h = b · sinα

Da cui otteniamo infine:

7-

ESERCIZI SVOLTI SUL TEOREMA DEI SENI

PROBLEMA 1

Determinare gli elementi incogniti di un triangolo ABC, sapendo che α=π/4, β=π/3 e b=8.

Svolgimento

Iniziamo a disegnare un generico triangolo, indicandone lati e angoli.

8-

Determiniamo l’ampiezza dell’angolo γ. Ricordati che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a π. Il calcolo seguente può essere effettuato con gli angoli in gradi o in radianti, è indifferente.

γ = π – π/4 – π/3 = 5/12 π

Per il teorema dei seni si ha:

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ESERCIZIO 2

Nel triangolo ABC si ha: CB/CA=√6/2 e α=75°. Determiniamo l’ampiezza degli angoli γ e β.

Svolgimento

10-

Per il teorema dei seni si ha:

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Teorema della corda in una circonferenza

Il teorema della corda esprime la relazione tra la generica corda della circonferenza, il suo diametro e il seno di quello che viene definito angolo al centro.

ENUNCIATO

Teorema della corda In una circonferenza una corda è uguale al prodotto del diametro per il seno dell’angolo alla circonferenza (acuto o ottuso) che insiste su essa.

Detta AB la corda, r il raggio della circonferenza e α l’angolo al centro, allora vale la relazione:

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DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DELLA CORDA

Consideriamo una corda AB di una circonferenza di raggio r e un angolo qualsiasi ACB=α che insiste sulla corda AB ed inscritto ad esempio nell’arco maggiore BA, così come nella figura seguente.

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Sia BD il diametro della circonferenza passante per un estremo della corda. Poiché il triangolo ABD è rettangolo in quanto inscritto in una semicirconferenza valgono i teoremi della trigonometria sui triangoli rettangoli. Possiamo quindi scrivere che un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto.

Considerando il triangolo ABD, con angolo retto nel vertice A e bisettrice pari proprio all’ipotenusa BD, allora possiamo scrivere:

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In questo modo abbiamo ottenuto la dimostrazione del teorema della corda in due semplici passaggi.

OSSERVAZIONE: Il teorema della orda vale anche se la corda AB coincide con il diametro. Infatti in tal caso α=90°, per cui il senα=1 ed AB=2rsenα diventa AB=2r.

 

FORMULE INVERSE

Dai teoremi sulle corde si possono ricavare 2 formule inverse che permettono di calcolare il raggio o il diametro di una circonferenza e l’angolo al centro.

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Da notare che, nella seconda formula inversa, è necessario applicare l’arcoseno per trovare la misura dell’angolo.

 

A COSA SERVE IL TEOREMA DELLA CORDA

Il teorema della corda si rivela utile ogni volta che ci sono figure inscritte in una circonferenza. Ciò si verifica non solo nei problemi di trigonometria, ma anche in analisi e capita spesso anche negli esercizi della seconda prova di matematica durante gli esami di maturità.

 

ESERCIZI SVOLTI

Esercizio 1

Determiniamo la lunghezza della corda AB di una circonferenza di raggio r, sottesa da un angolo α, tale che α=π/4.

Applichiamo direttamente la formula del teorema della corda:

AB=2r · senα

Dobbiamo in questo primo esercizio semplicemente sostituire al seno di alfa il seno di 45.

AB=2r · sen(π/4)=2r(√2/2)= r√2

 

Esercizio 2

In una circonferenza di raggio r due corde AB=(4/3)r e BC=(4/5)r sono consecutive e il centro della circonferenza è interno all’angolo ABC. Determiniamo il perimetro e l’area del triangolo ABC.

Determiniamo il seno degli angoli del triangolo usando proprio il teorema della corda.

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Una piccola considerazione merita l’angolo B. Lo abbiamo calcolato tenendo conto che B=180°-A-C. Per le formule sugli archi associati, il sin(180-α)=sen(α). Non conoscendo il valore dei due angoli, è necessario ricorrere alle formule di addizione. Per cui possiamo scrivere:

sen(A+C)=senA·cosC+cosA·senC

Dove il coseno di A e di C lo ricaviamo dall’equazione fondamentale della goniometria  sen²a=1-cos²a. Per cui cosC=√5/3, cosA=√21/5. Per cui il coseno di B è pari a:

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Come hai potuto notare soprattutto in quest’ultimo esercizio, il teorema della corda riveste un ruolo importantissimo nei problemi in cui c’è un triangolo inscritto in una circonferenza. Per questa ragione, ti consigliamo almeno di memorizzare la formula e di tenerla pronta nel caso in cui dovesse servirti.

 

Funzione seno, la sinusoide, caratteristiche e grafico di  y=senx

 

La funzione seno è una funzione trigonometrica esprimibile attraverso la relazione y=senx. Come per la funzione coseno, è definita per tutto l’insieme dei numeri reali ed è periodica. Attraverso l’analisi della funzione seno si ottiene una curva chiamata sinusoide.

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All’interno di questa lezione vedremo com’è fatta e quali sono le caratteristiche della funzione seno, analizzandone dominio, grafico, punti di intersezione ed eventuali simmetrie. Vedremo quindi assieme uno studio della funzione seno completo senza però usare limiti e derivate come si fa invece nel programma di analisi.

 

GRAFICO DELLA FUNZIONE SENO

Nelle precedenti lezioni abbiamo visto quali sono i valori di seno e coseno. Abbiamo visto che conviene eseguire uno studio nell’intervallo che va da 0 a 360°, perché successivamente avremmo delle ripetizioni (l’angolo di 400° ad esempio non è altro che l’angolo di 60°, quindi è inutile studiarlo due volte).

Si parte disegnando una tabella in cui riporto i 4 valori del seno degli angoli di 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

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Per ottenere il grafico della funzione seno y=senx, ci disegniamo gli assi cartesiani e poi andiamo ad inserire i valori delle x e delle y così come li abbiamo ricavati. Sull’asse delle ascisse sono cioè riportati i valori degli angoli noti e su quello delle ordinate il risultato del seno applicato a quell’angolo.

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SINUSOIDE

La curva che si ottiene riportando sugli assi cartesiani i valori della funzione seno nell’intervallo da 0° e 360° si chiama sinusoide. Non è altro quindi che la rappresentazione grafica della funzione seno e sarà fondamentale per chi studierà in fisica il moto armonico e la natura delle onde nei programmi più avanzati.

 

LA FUNZIONE SENO È PERIODICA

Analizzando il grafico ottenuto si può notare che quando la x=0 e quando x=2π, la y è la stessa, cioè la funzione assume gli stessi valori. Questo significa che la funzione seno è periodica con periodo pari a 2π, cioè si ripete in maniera ciclica ogni 360° assumendo sempre gli stessi valori.

Andando a considerare anche i valori che si ripetono prima di 0° e dopo 360°, possiamo ottenere il grafico della sinusoide estesa.

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DOMINIO DELLA FUNZIONE SENO

Prova a rispondere a questa domanda osservando la sinusoide: la curva ha delle interruzioni oppure se dovessi disegnarla non staccheresti mai la penna dal foglio? E’ evidente che non ci sono interruzione, per cui la funzione seno è continua in tutto l’intervallo dei numeri reali.

Quindi alla domanda: quale dominio ha la funzione seno? La risposta è tutto R o, per essere più precisi nel linguaggio matematico: xR

 

CODOMINIO DELLA FUNZIONE SENO

Essendo la funzione seno invertibile, il codominio diventa dominio della funzione seno inversa (cioè la sinusoide). Proprio per questa ragione può essere chiesto dai docenti anche il codominio. Quest’ultimo non è altro che la variazione del grafico in senso verticale. La sinusoide, come puoi vedere dal grafico, è sempre compreso tra la retta y=-1 e y=+1.

 

Quindi il codominio è l’intervallo chiuso [-1;+1], dove i valori -1 e +1 sono compresi.

 

LA FUNZIONE SENO È SIMMETRICA?

Altra osservazione proseguendo l’analisi della funzione seno: immagine di dividere il grafico in due zone, quella a sinistra e quella a destra dell’asse delle ordinate (y). Puoi facilmente osservare che sono praticamente identiche ma specchiate. Cioè ciò che a destra sta sopra, a sinistra sta sotto. Questo significa che c’è una simmetria rispetto all’origine degli assi.

Possiamo quindi dire che la funzione seno è dispari. Dal punto di vista matematico, ciò si può esprimere come:

 

f(x)=-f(-x)

cioè

sen(x)=-sen(-x)

 

Ad esempio

 

– il seno di 60 gradi sen(60°)=+1/2

-sen(-60°)=-sen(360-60)=-sen(300°)=-(-1/2)=+1/2

 

INTERSEZIONE CON GLI ASSI

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Come puoi vedere dal grafico della sinusoide, ci sono dei punti in cui la curva si interseca con l’asse delle ascisse. In particolare questi due punti hanno x=π e x=2π. Questo significa che quando gli angoli valgono 180° e 360° il seno diventa 0.

Quindi i due punti di intersezione che sul grafico abbiamo disegnato in rosso sono i punti P1(π;0) e P2(2π;0). Per determinare matematicamente questi due punti dobbiamo applicare il metodo visto con il calcolo del’lintersezione tra due rette (la regola si applica per l’intersezione di due generiche curve, quindi anche della sinusoide)

 

ALTRI SPUNTI PER GLI ESERCIZI

Una volta capite le caratteristiche della funzione seno, possiamo fare qualche esercizio su grafici un po’ più complessi.

Molto spesso negli esercizi vengono chieste delle funzioni meno elementari della cosinusoide. Capita quindi di dover studiare la funzione coseno al quadrato o la funzione cos2x o ancora la funzione coseno in valore assoluto. In base a quanto detto fino ad ora è possibile dedurre il grafico di altre funzioni del coseno.

 

ESERCIZIO 1

PROVIAMO A DISEGNARE IL GRAFICO DELLA FUNZIONE SENO DI 2X → Y=SEN2X

Il grafico di y=sen2x si ottiene dal grafico di y=senx mediante la contrazione di rapporti h=1/2 e k=1. In parole povere, si impone x’=2x e y’=y. Quindi ogni punto della funzione seno viene trasformata in un punto di coordinate (x’,y’).

Ricordiamo che una contrazione è una trasformazione del piano che associa ad un punto P(x,y) un punto P'(x’,y’) tale che:

x’=hx

y’=ky

con |k|≤1 e |h|≤1. Si parla di dilatazione, invece, quando |k|≥1 e |h|≥1.

Si può così costruire il grafico della funzione seno di 2x

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In alternativa, senza ricorrere a contrazioni e dilatazioni, semplicemente possiamo costruirci una tabella con i valori degli angoli nella prima colonna. Nella seconda ci saranno i valori della funzione seno 2x. Li si posizione sul grafico e si ottiene la sinusoide riferita a y=sen2x.

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Si nota che il coefficiente che, considerato y=sen(k·x), il valore k provoca una contrazione della curva. Aumentano cioè le oscillazioni e la curva diventa più fitta. Si dice che tra un’”onda” e l’altra diminuisce l‘ampiezza.

 

ESERCIZIO 2

Tracciare il grafico della funzione seno in valore assoluto → y=sen|x|-1

Il grafico di y=sen|x|-1 si ottiene dal grafico di y=sen|x|. Quest’ultimo si ottiene dal grafico della sinusoide ribaltando attorno all’asse delle y le parti di tale grafico che si trovano a destra dell’asse verticale. In buona sostanza si prende la curva per x>0 e la si specchia a sinistra dell’asse y.

Si ricorda infatti che il grafico di y=f|x| si ottiene dal grafico di y=f(x) semplicemente ribaltando intorno all’asse y la parte di quest’ultimo grafico che si trova a destra dell’asse y stesso.

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A questo punto occorre effettuare una traslazione di vettore v(0;-1). Cioè y’=y+1 e x’=x

y+1=sen|x|

y=sen|x|-1

Possiamo quindi rappresentare graficamente.

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Si nota che il grafico si poteva ottenere a partire dalla funzione seno valore assoluto semplicemente traslando la sinusoide di 1 verso il basso.

 

ESERCIZIO 3

Lasciamo a te a casa lo svolgimento dello stesso tipo di esercizio ma con la funzione seno al quadrato. Quindi prova a disegnare y=sen²x.

 

Cotangente di un angolo

 

La cotangente di un angolo in trigonometria viene definita come il rapporto tra coseno e seno. Può anche essere definita come l’inverso della tangente.

In questa lezione vedremo nel dettaglio che cos’è e qual è il grafico della cotangente, analizzandone l’andamento nel piano cartesiano, le definizioni e i valori noti da ricordare (o come ricavarli).

 

VALORI COTANGENTE – LA TABELLA RIASSUNTIVA

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DEFINIZIONE DI COTANGENTE

Consideriamo la circonferenza goniometrica e l’arco AB con A(1;0) e B(xB,yB). Detto C il punto di coordinate cartesiane (0;1), mandiamo la retta tangente alla circonferenza t per il punto A e la tangente s per il punto C come nel grafico seguente.

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Se la retta s interseca la retta OB in un punto S, diremo che l’ascissa di S è la cotangente dell’angolo AOB. Si può quindi scrivere dal punto di vista matematico:

cotg AOB = xs

La cotangente di un angolo si indica con cotg oppure con ctg.

Poiché ys=1 perché coincide con il raggio della circonferenza goniometrica (che è unitario), allora possiamo anche scrivere:

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dove KB e OK sono rispettivamente il coseno e il seno dell’angolo.

La cotangente si definisce quindi come il rapporto tra coseno fratto seno dell’angolo.

 

CARATTERISTICHE DELLA COTANGENTE

Come per il seno e il coseno, si può dimostrare che la cotangente di un angolo non dipende dall’unità di misura scelta, ossia dal raggio della circonferenza goniometrica, ma dipendono esclusivamente dall’ampiezza dell’arco.

Ai fini pratici c’è da ricordare che la cotangente non ha un’unità di misura, cioè è un numero adimensionale. Non dovrai quindi aggiungere cm, dm, m, o gradi dopo l’indicazione del valore.

 

IL SEGNO DELLA FUNZIONE COTANGENTE

La cotangente dell’angolo è positiva se B appartiene al primo o al terzo quadrante, ossia per 0°<α<90° oppure 180°<α<270°.

Assume invece un valore negativo se B appartiene al secondo o al quarto quadrante, ossia se 90°<α<180° oppure 270°<α<360°.

 

GRAFICO COTANGENTE

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Per costruire il grafico della cotangente è sufficiente ricordarsi i valori degli angoli noti per il seno e il coseno. In particolare:

 

quando α=0 → cosα=1  senα=0 → cotgα=cosα/senα=∞

quando α=90° (π/2) → cosα=0  senα=1 → cotgα=cosα/senα=0

quando α=180° (π) → cosα=-1  senα=0 → cotgα=cosα/senα=∞

quando α=270° (2/3 π/) → cosα=0  senα=-1 → cotgα=cosα/senα=0

quando α=360° (2π) → cosα=1  senα=0 → cotgα=cosα/senα=∞

Da quello che si nota nel grafico della cotangente, se l’angolo AOB è uguale a 0° o a 180°, la retta OB del primo disegno di questa lezione è parallela alla retta s, per cui in tali casi non esiste la cotangente.

 

DOMINIO COTANGENTE – DISCONTINUITÀ E ASINTOTI

La funzione cotangente è di tipo periodico e, proprio come la tangente, si ripete in maniera ciclica ogni 180°. Per questa ragione, quando si risolve un esercizio si esplicita sempre alla fine la periodicità aggiungendo un …+kπ.

Come puoi vedere dal grafico, la cotangente non è una funzione continua perché ha diversi punti di discontinuità e si generano degli asintoti verticali in tutto il grafico.

Volendo calcolare il dominio della funzione cotangente, possiamo scrivere che:

 

D: ∀x∈R-{x=kπ}

 

Questo vuol dire che la funzione è sempre continua tranne per α=0° con tutti i valori della periodicità: 0+kπ =kπ. Questo vuole dire che ci sono degli asintoti verticali in corrispondenza di 0, 180°, 360°, 540°, …

 

ESEMPI SULLA COTANGENTE

Dato l’angolo 90°<α<180°, determiniamo le condizioni che deve soddisfare il parametro m affinché sia verificata la seguente uguaglianza.

 

(m+2)cotgα=-3m

 

Svolgimento

Attraverso un semplice passaggio algebrico trasformiamo l’equazione.

cotgα=-3m/(m+2)

Visto che l’angolo si trova nel II quadrante, la cotangente ha un valore negativo. Per questa ragione deve essere soddisfatta la condizione:

-3m/(m+2)<0

Si tratta di una normale disequazione fratta di primo grado con l’incognita m. Risolvendo otteniamo infatti:

3m/(m+2)>0

m>0

m+2>0

m<-2 U m>0

 

Formule trigonometriche

 

Le formule trigonometriche sono dette anche formule goniometriche e rappresentano forse l’argomento più impegnativo del programma di trigonometria. Ci sono tante formule, non facili da imparare.

 

Abbiamo quindi raccolto in un’unica pagina il formulario completo delle formule di trigonometria. Partiremo dalla relazione fondamentale della trigonometria per passare poi alle formule di duplicazione, bisezione, parametriche per seno e coseno, prostaferesi, Werner, eccetera…

 

Adesso vedremo solo le formule, mentre per le dimostrazioni delle formule trigonometriche ci sarà un approfondimento per ciascuna di esse. Abbiamo deciso di creare questo formulario per semplificare la vita allo studente, consapevoli del fatto che non è facile ricordarle tutte a memoria, per cui è meglio averle sempre a portata di mano in una tabella con un formulario completo. Partiamo subito con questa rassegna completa delle principali relazioni trigonometriche.

 

RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA TRIGONOMETRIA

Iniziamo questo formulario di trigonometria con la primissima relazione che si studia in questo ramo della matematica. Viene detta anche identità o relazione fondamentale della goniometria. Permette di ricavare il seno a partire dal coseno e viceversa. Ti consigliamo di ricordarla perché viene molto utilizzata negli esercizi ed è piuttosto semplice.

sen²α+cos²α=1

 

Per ricavare seno e coseno basta ricorrere alle due formule inverse:

sen²α=1-cos²α

cos²α=1-sen²α

 

FORMULE TRIGONOMETRICHE SUGLI ARCHI ASSOCIATI

Gli archi associati sono utili per poter calcolare i valori delle varie funzioni goniometriche per tutti gli angoli a partire da seno e coseno di angoli noti. Ad esempio, avendo a disposizione il seno di 60 gradi possiamo calcolare il coseno anche di 120°, di 150°, eccetera…

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Come ricordarle: quando c’è l’angolo di 90° (quindi π/2) ricorda che bisogna invertire seno e coseno. Il coseno con α+π/2 assumerà un segno meno perché ci troviamo nel II quadrante. (Leggi anche: quali sono i segni dei quadranti del piano cartesiano)

32-

Come ricordarle: quando c’è l’angolo di 180° si conservano seno e coseno. Con il segno “meno” siamo nel II quadrante per cui il coseno assume segno negativo. Con il segno “più” sia il seno che il coseno diventano negativi.

33-

Come ricordarle: quando c’è l’angolo da 270°, si ripete quello che accadeva con le formule trigonometriche riferita a 90°. Quindi si invertono seno e coseno. Attenzione ai segni perché siamo nel III e IV quadrante.

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Come ricordarle: in questo caso abbiamo l’angolo negativo (che è sinonimo di 360-a). Seno e coseno si conservano solo che il seno è negativo e il coseno è positivo perché siamo nel IV quadrante.

 

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Le formule di addizione e sottrazione servono per ricavare i valori di seno e coseno semplicemente sommando due angoli. Se ad esempio dovesse esserci chiesto di calcolare il seno di 75°, che non è un angolo noto, possiamo calcolarlo considerando 75° come la somma di 30° + 45°, che sono due angoli noti.

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Note:  alcuni testi riportano anche le formule goniometriche di addizione e sottrazione per la tangente. Tuttavia vengono utilizzate molto raramente. Abbiamo preferito non riportartele, anche perché se dovessi trovarti ad utilizzare un somma o differenza riferita alla tangente, calcola seno e coseno e poi li dividi. (Ricorda che tgα=senα/cosα, vedi la lezione sulla tangente di un angolo).

 

FORMULE DI DUPLICAZIONE

Le formule di duplicazione servono per calcolare la funzione goniometrica riferita al doppio dell’angolo.

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FORMULE DI BISEZIONE

Le formule di bisezione servono per calcolare la funzione goniometrica riferita alla metà dell’angolo.

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FORMULE PARAMETRICHE

Le formule parametriche prevedono un cambio di variabile. Al posto dell’angolo α si sostituisce il parametro t. Il loro uso è di fondamentale importanza per lo svolgimento delle equazioni goniometriche. Vengono anche utilizzate in programmi di matematica più avanzati, come nello studio degli integrali.

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FORMULE DI PROSTAFERESI

Le formule di Prostaferesi permettono di risolvere quegli esercizi in cui compaiono le somme di seni e coseni di angoli diversi. Attraverso queste formule trigonometriche la somma viene trasformata in un prodotto rendendo più agevoli i calcoli.

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FORMULE DI WERNER

Si tratta di formule goniometriche particolarmente utili negli esercizi in cui l’argomento di seno e coseno è moltiplicato per un numero. Ad esempio per calcolare sen7x·sen9x occorre utilizzare le formule di Werner.

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Angoli associati

 

Gli angoli associati sono degli angoli che, attraverso delle somme o delle differenze, possono essere ricondotti ad angoli noti appartenenti al primo quadrante. Sono particolarmente utili per evitare di imparare a memoria tutti i valori delle funzioni trigonometriche, così da ricavarli in pochi istanti quando necessario.

Abbiamo già trattato l’argomento in maniera più dettagliata nella lezione riguardante gli archi associati. In questa pagina vedremo un riepilogo delle definizioni e delle formule degli angoli associati da usare. Troverai infine alcuni esercizi svolti per fare pratica con gli argomenti trattati.

 

DEFINIZIONE DI ANGOLI ASSOCIATI

Dato l’angolo α della circonferenza goniometrica in figura sotto, dal punto B tracciamo le parallele agli assi cartesiani, BC e BE ed i diametri BD e CE.

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Gli archi AB, AC, AD e AE, aventi ampiezza rispettivamente pari a α, 180°-α, 180°+α, 360°-α si dicono angoli associati (o archi associati) e hanno i valori di seno, coseno, tangente e cotangente uguali in valore assoluto. Questo significa che cambiano solo i segni, ma i numeri restano gli stessi.

Se invece vogliamo esprimere tutto in radianti, allora le formule degli angoli associati vanno riferite a: α, π-α, π+α, 2π-α.

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La precedente tabella con le formule può essere riscritta utilizzando la misura in radianti degli angoli. Non cambia nulla, basta sostituire π al posto di 180° e 2π al posto di 360°.

Ricordiamo infine che gli angoli α e α+2kπ hanno le stesse funzioni goniometriche. Ne consegue che l’angolo -α risulta essere associato ad α, poiché ha le stesse funzioni goniometriche dell’angolo 360°-α.

 

ESERCIZIO 1

Determinare gli angoli associati supplementari e giro a quelli dati: 32°, 101°, 189°, 315°.

Svolgimento

In questo caso la misura degli angoli è espressa in gradi. Se α è l’angolo assegnato dalla traccia del problema, gli angoli associati sono: 180°-α, 180°+α, 360°-α. Per cui cominciamo dal primo:

 

α=32°

180°-α=180°-32°=148°

180°+α=180°+32°=212°

360°-α=360°-32°=328°

Osserviamo che se alfa è un angolo appartenente al primo quadrante, i suoi angoli associati hanno estremi rispettivamente nel secondo, terzo e quarto quadrante.

 

α=101°

180°-α=180°-101°=79°

180°+α=180°+101°=281°

360°-α=360°-101°=259°

 

Osserviamo che se alfa è un angolo avente un estremo nel secondo quadrante, i suoi angoli associati hanno estremo, rispettivamente, nel primo, nel terzo e nel quarto quadrante.

 

189°

180°-α=180°-101°=79°

180°+α=180°+101°=281°

360°-α=360°-101°=259°

 

In questo caso si nota che se alfa è un angolo situato nel terzo quadrante, i suoi angoli associati si trovano invece nel quarto, nel primo e nel secondo quadrante.

 

315°

180°-α=180°-315°=-135°

180°+α=180°+315°=495°

360°-α=360°-315°=45°

 

In quest’ultimo caso notiamo che se alfa appartiene al quarto quadrante, allora i suoi angoli associati si trovano nel terzo, nel secondo e nel primo quadrante.

 

ESERCIZIO 2

Sfruttando le relazioni tra le funzioni goniometriche degli angoli associati, semplificare le seguenti espressioni:

sen(π-α)-cos(π+α)-cosα-sen(-α)·cotgα

cotg(180°+α) + tg(360°-α) + [sen(180°-α)-cosα]/cos(-α)

 

Svolgimento

sen(π-α)-cos(π+α)-cosα-sen(-α)·cotgα=

= senα+cosα-cosα+senα·cosα/senα=

= senα+cosα.

cotg(180°+α) + tg(360°-α)+ [sen(180°-α)-cosα] / cos(-α)=

= cosα/senα – senα/cosα + (senα-cosα)/cosα =

Essendoci un denominatore dobbiamo calcolare il minimo comune multiplo.

= (cos²α-sen²α+sen²α-cosαsenα) / senαcosα =

= (cos²α-cosα·senα)/senαcosα =

A questo punto basta eseguire una messa in evidenza totale al numeratore.

= cosα (cosα-senα)/senαcosα =

= (cosα-senα)/senα.

 

ESERCIZIO 3

Sfruttando le relazioni viste tra gli angoli associati, semplificare le seguenti espressioni algebriche.

44-

 

Essendoci dei denominatori, è necessario imporre le condizioni di esistenza come si faceva in genere con le equazioni razionali fratte. Per cui l’espressione ha senso solo se:

a≠b, b≠0, a≠kπ/2

 

Formule di duplicazione

Le formule di duplicazione sono formule trigonometriche che permettono di ricavare i valori di seno, coseno, tangente e cotangente del doppio di un angolo. Si incontrano spesso non solo nelle equazioni goniometriche ma anche nei programmi di matematica.

 

FORMULE DI DUPLICAZIONE TABELLA

In questa tabella trovi il formulario completo con tutte le formule di duplicazione del seno, coseno, tangente e cotangente. In seguito troverai poi tutte le dimostrazioni.

45-

UN CONSIGLIO PER NON SBAGLIARE

Ricordati che sen2a è diverso da 2sena. Infatti tutto ciò che è all’interno dell’argomento del seno o del coseno non può essere portato fuori in maniera così semplice. Per rendertene conto basta che provi a fare il calcolo con a=30°.

46-

Approfondimenti: quanto vale il seno di 60°

 

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL SENO

Si parte dalle formule di addizione e sottrazione. In particolare si sommano due angoli uguali.

47-

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI DUPLICAZIONE DEL COSENO

L’unica differenza con quella del seno sta nel fatto che in questo caso bisogna applicare la formula di addizione del coseno.

48-

49-

Abbiamo così trovato tre modi diversi per esprimere le formule di duplicazione del coseno, tutta valide e che possiamo utilizzare a nostro piacimento a seconda della necessità e dell’esercizio da risolvere.

 

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA TANGENTE

Per dimostrare le formule di duplicazione della tangente, facciamo riferimento a quella che abbiamo considerato la dimostrazione della tangente di un angolo.

50-

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DI DUPLICAZIONE DELLA COTANGENTE

Dimostrare la formula di duplicazione della cotangente è molto semplice, soprattutto se avete seguito la dimostrazione della formula di duplicazione della tangente.

Per questo motivo potete provare a farlo da soli ricordando che questa volta l’equazione da cui bisogna partire è cotg2a=cos2a/sen2a.

 

ESERCIZI SVOLTI SULLE FORMULE DI DUPLICAZIONE

51-FINE TRIGO. 1

Data 29 settembre 2019

GEOMETRIA EUCLIDEA – 5

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TRIANGOLI

 

Consideriamo un tipo di triangolo generico, quindi composto da tre lati tutti differenti – che chiameremo in seguito scaleno.

1-

Si definiscono:

 

Lati: AB, BC, AC.

Vertici: A, B, C.

Angoli: CAB, ABC, BCA.

Area = A = base × altezza : 2

 

Perimetro = P = somma dei tre lati

 

Altezza dei triangoli

E’ fondamentale per il calcolo dell’area. E’ il segmento che congiunge perpendicolarmente uno qualsiasi dei vertici con il lato opposto.

2-

Come si vede dal disegno, visto che i triangoli hanno 3 lati, hanno anche 3 altezze. Nell’esempio diremo che:

 

– AH = altezza relativa al lato CB

– CK = altezza relativa al lato AB

– BL = altezza relativa al lato AC

Il punto di intersezione delle tre altezza, indicato in figura con la lettera O, si chiama ortocentro.

 

Proprietà dei triangoli

– Poiché per tre punti non allineati passa sempre una sola circonferenza, vuol dire che il triangolo può essere sempre circoscritto o inscritto ad una circonferenza.

– La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.

– La somma di due lati è sempre minore al terzo lato e la differenza tra due lati è sempre maggiore al terzo lato.

 

Classificazione dei triangoli

In base alla lunghezza e ai rapporti tra i lati  esistono diversi tipi di triangoli:

 

triangoli scaleni: tutti i lati sono diversi tra di loro. Lo stesso vale ovviamente per gli angoli.

triangoli isosceli: sono quei triangoli che hanno 2 lati (e quindi anche due angoli) congruenti.

triangoli equilateri: tutti i lati sono uguali. Gli angoli sono tutti pari a 60°. Le formule si semplificano notevolmente.

 

In base ai rapporti e alle misure degli angoli possiamo effettuare una seconda classificazione di triangoli:

triangoli rettangoli: uno degli angoli è pari a 90°. Si individuano così due cateti e una ipotenusa. In questo tipo di triangolo è importante conoscere il Teorema di Pitagora.

triangoli acutangoli: tutti gli angoli sono acuti, cioè minori di 90°.

triangoli ottusangoli: uno degli angoli è ottuso, cioè supera i 90°.

 

Triangolo ottusangolo

Il triangolo ottusangolo è quel particolare tipo di triangolo che ha un angolo con ampiezza maggiore di 90°.

Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a 180°, vuol dire che ci saranno due angoli acuti ed uno ottuso. In figura puoi vedere un semplice esempio di triangolo ottusangolo:

3-

Nella figura vista sopra puoi vedere come ci sia un solo angolo ottuso (quello in blu) e due angoli acuti (quelli in arancione).

Ti renderai benissimo conto che un triangolo ottusangolo può avere al massimo 1 angolo ottuso, gli altri saranno sempre e comunque acuti.

 

CLASSIFICAZIONE DEL TRIANGOLO OTTUSANGOLO

Come hai potuto notare, fino a questo momento abbiamo preso come riferimento geometrico solo l’ampiezza degli angoli. Andando a considerare anche la misura degli angoli allora possiamo distinguere:

 

triangolo scaleno ottusangolo – tutti i lati e gli angoli sono diversi tra loro. Se nella traccia trovi scritto solo “triangolo ottusangolo”, allora si intende implicitamente scaleno. Come figura di esempio, puoi considerare quella vista sopra.

triangolo ottusangolo isoscele – ci sono due lati e due angoli congruenti. L’angolo ottuso è compreso tra i due lati uguali.

 

4-

Poiché è impossibile che tutti gli angoli abbiano la stessa ampiezza, non esiste il triangolo ottusangolo equilatero.

 

Perimetro

Come ogni figura geometrica, ti basterà semplicemente sommare la misura dei tre lati per ottenere il perimetro.

Area

Per il calcolo diretto dell’area del triangolo ottusangolo puoi far riferimento alla formula di Erone se hai tutti e tre i lati. In alternativa puoi tracciare l’altezza ed ottenere due triangoli rettangoli. Da lì puoi utilizzare poi il teorema di Pitagora o il teorema di Talete a seconda dei dati che hai a disposizione.

 

Triangolo acutangolo

Il triangolo acutangolo è un particolare tipo di triangolo che ha tutti gli angoli acuti. Questo vuol dire che nei suoi tre vertici, ha tutti gli angoli di ampiezza minore di 90°.

Un classico esempio di triangolo acutangolo è il triangolo equilatero, visto che tutti i suoi angoli misurano 60°

5-

Poiché abbiamo detto che 2 angoli sono necessariamente minori di 90°, resta da capire come sia il terzo.

 

– se è acuto, ci troviamo di fronte ad un triangolo acutangolo. Quindi tutti gli angoli sono minori di novanta gradi.

– se è retto, abbiamo un triangolo rettangolo. Quindi abbiamo 2 angoli acuti e un angolo di 90°.

– se è ottuso, ovvero maggiore di 90°, abbiamo un triangolo ottusangolo. Quindi abbiamo due angoli minori di 90° e uno maggiore di 90°.

Possiamo ulteriormente distinguere:

triangolo scaleno acutangolo – tutti i lati hanno misure differenti

6-

triangolo isoscele acutangolo – la figura ha due lati congruenti;

7-

triangolo equilatero acutangolo – il triangolo è equilatero ed equiangolo, cioè ha sia i lati che gli angoli uguali.

8-

PROPRIETÀ CARATTERISTICA

Una proprietà importante del triangolo acutangolo è quella di avere incentro, ortocentro e baricentro che ricadono sempre all’interno della figura.

 

Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

Un triangolo equilatero si definisce inscritto in una circonferenza quando le due figure hanno solo 3 punti in comune.

9-

Come puoi osservare dalla figura i tre vertici del triangolo toccano la circonferenza. Si può anche dire infatti che la circonferenza è circoscritta al triangolo.

 

 

FORMULE DA USARE

Ne vedremo la dimostrazione tra pochissimo. Iniziamo dicendo subito che è sufficiente avere il raggio per conoscere il lato del triangolo.

 

l=r√3

 

dove l è la misura del lato del triangolo equilatero, mentre r è il raggio della circonferenza circoscritta.

Da questa possiamo ricavare la formula inversa che permette di trovare il raggio a partire dal lato del triangolo.

 

r=l / √3

 

DIMOSTRAZIONE E PROPRIETÀ

Indicando con C il centro della circonferenza, proviamo ad unire questo con i vertici del triangolo.

10-

Puoi notare che si formano tre triangoli isosceli: ACD, ABC, BCD. A questo punto per ogni triangolo isoscele possiamo disegnare l’altezza (che sappiamo anche essere mediana e bisettrice).

Considerando che si formano 3 angoli perfettamente uguali, allora gli angoli che partono dal punto C sono tutti di 120° (essendo 360° diviso il numero di angoli che si formano, cioè 3, allora ognuno sarà di 120°).

11-

Prendiamo ad esempio il triangolo ABC. Tracciano l’altezza CH si formano due triangoli rettangoli congruenti: ACH e HCB. Sappiamo che:

 

– AC = CB = raggio della circonferenza = r

– L’angolo ACB = 120°, per cui ACH=HCB=60°

I due triangoli AHC e CHB sono triangoli rettangoli da 30°, 60° 90°. Questo significa che  CH = AC/2 = r/2

 

Applicando il teorema di Pitagora, possiamo ricavare AH.

12-

Poiché AH è metà base del triangolo equilatero, allora il lato di quest’ultimo è pari a:

 

AB=AD=DB → l=r√3

 

Abbiamo quindi capito che quando nel triangolo equilatero inscritto alla circonferenza è sufficiente avere il raggio, per poter così conoscere le misure di tutti i lati.

 

ESERCIZIO

Un triangolo equilatero ABC è inscritto in una circonferenza che misura 100π. Calcolare l’area del triangolo, l’area del cerchio, l’area della parte di cerchio colorata.

13-

Svolgimento

Ricordi le formule di cerchio e circonferenza? Nota la lunghezza della circonferenza posso calcolare il raggio:

C=2πr → r=C/2π

r=100π/2π = 50 cm

 

Usiamo la formula che abbiamo dimostrato che ci permette di trovare il lato del triangolo dato il raggio.

l = r√3 = 50√3

 

A questo punto calcoliamo l’altezza CH con la formula inversa del teorema di Pitagora.

14-

A questo punto possiamo calcolare l’area del triangolo con la formula generale base per altezza diviso due.

 

At = 50√3 · 75 = 6.495 cm²

 

Possiamo poi calcolare l’area del cerchio come pigreco per raggio alla seconda, così da ottenere:

 

Ac = π·50²= 7.850  cm²

 

Per calcolare infine l’area colorata della figura basta eseguire la sottrazione tra area più grande del cerchio e quella più piccola del triangolo.

 

A = 7.850 – 6.495 = 1.355 cm².

 

Somma degli angoli interni di un triangolo

La somma degli angoli interni di un triangolo vale sempre 180°.

Qualunque sia il tipo di triangolo, sommando gli angoli che si trovano all’interno della figura, il risultato è sempre pari all’angolo piatto.

15-

Possiamo dire quindi che la somma degli angoli interni di un triangolo rettangolo vale 180°, ma lo stesso risultato vale anche per il triangolo isoscele o il triangolo equilatero.

 

TEOREMA DELLA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO

Perché proprio 180° e non un altro angolo? A garantire la validità di questo risultato è un teorema di geometria il cui enunciato è:

La somma degli angoli interni di ogni triangolo è congruente ad un angolo piatto (180°)

 

Dimostrazione

Consideriamo un generico triangolo ABC come quello nella figura in alto. Sia AB la base e ne disegniamo la retta parallela passante per il punto C e prolunghiamo il lato AC.

16-

Ti ricordi delle rette parallele tagliate da una trasversale? In questa figura possiamo riconoscere che:

 

– α=α1 poiché angoli corrispondenti;

– β=β1 poiché angoli alterni interni;

 

Da notare che l’angolo che si forma sulla destra di C è un angolo piatto. Cioè possiamo scrivere che:

 

α1 + β1 + γ = 180°

 

che equivale a scrivere:

 

α + β + γ = 180°

 

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO (LA FORMULA GENERICA)

In realtà c’è una formula che permette di calcolare la somma degli angoli interni di qualsiasi tipo di figura o poligono.

 

(180° · n) – 360°

 

dove n è il numero di lati del poligono considerato. Poiché i triangoli hanno 3 lati allora possiamo scrivere:

 

somma angoli interni triangolo = (180° · 3) – 360° =

=540°-360°=180°.

 

Se la somma degli angoli esterni di un triangolo non è così fondamentale da sapere per lo svolgimento degli esercizi, la somma degli angoli interni va assolutamente ricordata perché ricorrerà in tantissimi tipi di problemi.

 

Formula di Erone per calcolare l’area di un triangolo

 

La formula di Erone è uno dei metodi meno conosciuti per calcolare l’area di un triangolo generico note le misure dei tre lati.

Dato un triangolo i cui lati misurano a, b, c, il cui semiperimetro vale p, allora l’area si può calcolare come:

17-

 

ENUNCIATO E DEFINIZIONE

L’area di un triangolo generico è pari alla radice quadrata del semiperimetro per la differenza tra semiperimetro meno il primo lato, moltiplicato per la differenza tra semiperimetro meno il secondo lato, moltiplicato la differenza tra semiperimetro e terzo lato.

 

Osservazioni:

Come si nota dall’enunciato, nella formula di Erone sono presenti le misure dei tre lati del triangolo generico e la misura del semi-perimetro. Questo significa che, volendo calcolare l’area di un triangolo con la formula di Erone, serve il perimetro (da dividere per 2) e tutti i lati noti.

 

COME APPLICARE LA FORMULA DI ERONE

Immaginiamo di conoscere tutti e tre i lati di un triangolo. Se si trattasse di un triangolo rettangolo potremmo calcolare l’area sfruttando la formula cateto maggiore per cateto minore diviso due. Ma se il triangolo è scaleno l’unica formula utilizzabile è base per altezza diviso due. Per calcolare l’altezza possono essere necessari tanti calcoli non sempre semplici per cui può essere utile e rapido applicare la formula di Erone.

 

ALCUNI PROBLEMI CON LA FORMULA DI ERONE

ESERCIZIO 1

Calcolare l’area di un triangolo scaleno con i lati di dimensioni pari a 2cm, 3cm e 4cm.

Svolgimento

Iniziamo calcolando il perimetro, poi il semiperimetro, del triangolo. Essendo i numeri molto semplici possiamo scrivere

2p=a+b+c=2+3+4=9cm

p=9/2=4,5 cm

 

Posso già procedere con l’applicazione della Formula di Erone, andando a sostituire i dati:

18-

ESERCIZIO 2

I lati di un triangolo misurano 10, 12 e 15 cm. Calcolare la misura dell’area del triangolo e del cerchio inscritto.

Svolgimento

Possiamo applicare direttamente la formula di Erone al triangolo dopo aver calcolato il semiperimetro

19-

FORMULA DI ERONE DIMOSTRAZIONE

La dimostrazione della formula di Erone è un po’ lunga e laboriosa. Per cui cerchiamo di vederla semplificando al massimo i vari passaggi.

Disegniamo innanzitutto un triangolo scaleno di lati a, b, c e tracciamo l’altezza h relativa alla base c.

20-

La base b resta divisa in due parti x e (b-x). Per calcolare quanto vale x, applichiamo il teorema di Pitagora ai due triangoli rettangoli.

Per i due triangoli vale la relazione:

21-

Una volta trovata l’incognita x, possiamo sostituirla nella formula dell’altezza.

22-

In alcuni libri questa che abbiamo trovato viene presentata come una prima formula di Erone. Tuttavia risulta abbastanza difficile da ricordare per cui sono necessarie alcuni passaggi algebrici per renderla più semplice.

Il prossimo passaggio è quello di portare tutto all’interno della radice:

23-

Ti ricordi che nei prodotti notevoli abbiamo parlato di differenza di quadrati? Eseguendo la scomposizione otteniamo:

24-

 

Nell’ultimo passaggio abbiamo scomposto i termini in parentesi in quadrati di binomio. Ora, ripetiamo la scomposizione della differenza di quadrati.

25-

Dove (a+b+c)/2 è il semiperimetro p del triangolo. In questo modo abbiamo così completato la dimostrazione della formula di Erone.

 

CONCLUSIONI

La formula di Erone può essere utile nello svolgimento di alcuni problemi di geometria per il calcolo dell’area di un triangolo generico. In genere si preferiscono altre formule, per rendere il calcolo meno numerico, ma va tenuta presente come un’utile alternativa.

 

INCENTRO  DI UN TRIANGOLO

 

L’incentro di un triangolo è dato dall’intersezione delle tre bisettrici. Ciò che molti studenti ignorano è che l’incentro non necessariamente si riferisce ai triangoli, ma può essere individuato in qualsiasi figura geometrica piana. Tuttavia nella maggior parte degli esercizi, questo punto notevole viene studiato solo in riferimento ai triangoli.

Dato un generico triangolo scaleno di vertici ABC, si conducano per gli angoli A, B e C le rette bisettrici. Dalla loro intersezione si ottiene il punto I detto incentro del triangolo

26-

Definizione

L’incentro è il punto di intersezione delle bisettrici della figura geometrica.

 

PARTICOLARITÀ E PROPRIETÀ DELL’INCENTRO

– L’incentro ricade sempre all’interno della figura.

– L’incentro coincide con il centro della circonferenza inscritta nel triangolo

27-

– La posizione dell’incentro nel triangolo scaleno non segue regole precise ma dipende solo dalla posizione dei vertici. Vedremo in altri triangoli che si possono fare delle semplificazioni.

– L’incentro è equidistante da tutti i lati del triangolo. Per distanza si intende il segmento che parte dal punto I e cade perpendicolarmente sul lato opposto. (per studenti delle superiori vedi il calcolo della distanza di un punto da una retta)

– Le bisettrici del triangolo vengono suddivise in maniera tale che si forma una proporzione con il lato adiacente e una parte del lato opposto al vertice da cui parte la bisettrice.

28-

Considerando ad esempio il triangolo ABC in figura considerando la bisettrice CH, si genera la proporzionalità:

CI:IK=AC:AH=CB:HB

Si tratta di una proprietà non sempre presente nei libri di testo ma che riportiamo per completezza. Di seguito vedremo come si trova l’incentro nei vari tipi di triangoli. Per quanto riguarda l’incentro del triangolo rettangolo valgono le stesse considerazioni fatte con lo scaleno.

 

INCENTRO TRIANGOLO ISOSCELE

29-

L’incentro di un triangolo isoscele è dato dall’intersezione delle tre bisettrici ed è sempre situato sull’altezza relativa alla base del triangolo. Questo significa che in base alla posizione del vertice superiore, può cambiare solo l’altezza dell’incentro, cioè può essere più o meno vicina alla base.

In realtà, volendo essere più precisi, si dice che l’incentro del triangolo isoscele giace su quella che viene definita retta di Eulero. Questa retta è il luogo dei punti su cui sono sempre allineati ortocentro, baricentro e circocentro.

 

INCENTRO TRIANGOLO EQUILATERO

L’incentro di un triangolo equilatero coincide con ortocentro, baricentro e circocentro. Questo perché altezza, mediana, asse e bisettrice coincidono quando tutti i lati del triangolo sono uguali.

30-

CALCOLO DELL’INCENTRO DI UN TRIANGOLO

Questa seconda parte della lezione è dedicata agli studenti delle scuole superiori o università che stanno studiando o approfondendo il programma di geometria analitica. Esiste una formula per calcolare l’incentro di un triangolo ed è molto simile a quella usata per il calcolo del punto medio di un segmento.

Dato il triangolo scaleno di vertici ABC, di coordinate A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC) e date le misure dei lati BC=a, b=CA e c=AB, allora:

31-

dove 2p= misura del perimetro del triangolo = a + b + c.

 

AREA TRIANGOLO EQUILATERO

 

L’area del triangolo equilatero misura la superficie racchiusa all’interno di un triangolo che ha tutti i lati uguali. Ecco le formule dirette che possono essere utilizzate conoscendo il lato

32-

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DELL’AREA DATO IL LATO

Per calcolare l’area del triangolo equilatero, dobbiamo sfruttare la formula generale valida per tutti i triangoli:

33-

Conoscendo il lato AB=BC=CA, resta da determinare l’altezza CH. Questa può essere calcolata usando il teorema di Pitagora e considerando il triangolo rettangolo CHB. (triangolo di 30-60-90 gradi). Poiché l’altezza è anche mediana nei triangoli equilateri, allora possiamo scrivere che:

HB=CB:2 → HB=AB:2 poiché tutti i lati del triangolo sono uguali

 

Usando la formula inversa del teorema di Pitagora ho:

34-

 

PERIMETRO TRIANGOLO EQUILATERO

Molto più semplice è invece la formula del perimetro. Essendo pari alla somma dei tre lati ed essendo questi tutti uguali, allora il perimetro del triangolo equilatero può essere calcolato con la formula:

p=3L

Cioè il perimetro è pari alla misura di uno qualsiasi dei lati moltiplicato per 3.

 

PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO EQUILATERO

Ecco riassunte tutte le caratteristiche di questo particolare tipo di triangolo:

 

– ha tutti i lati uguali;

– ha tutti gli angoli uguali e misurano 60°;

– è sempre inscrivibile in una circonferenza;

– è un particolare tipo di triangolo isoscele;

 

AREA TRIANGOLO EQUILATERO

ESERCIZIO 1

Calcolare l’area del triangolo equilatero che ha il lato che misura 10 cm.

Le possibili strade per ottenere la soluzione sono due. Nel primo metodo, quello più lungo:

– calcolare la metà del lato;

– applicare la formula inversa del teorema di Pitagora per ottenere l’altezza;

– calcolare l’area con la formula generale base per altezza diviso due.

Con il secondo metodo andiamo direttamente ad applicare la formula diretta vista in questa lezione. E’ noto un lato e bisogna calcolare l’area del triangolo equilatero. Per cui la formula da usare è:

35-

ESERCIZIO 2

Calcolare l’area del triangolo equilatero con l’altezza che misura 20 cm.

Il metodo più diretto per risolvere l’esercizio è sicuramente quello di utilizzare la formula vista in questa lezione

36-

Un secondo metodo potrebbe essere quello di calcolare l’area del triangolo CHB di cui conosciamo il cateto maggiore CH. Si tratta, come già detto prima, di un triangolo rettangolo da 30-60-90.

 

– L’ipotenusa è il lato del triangolo equilatero;

– Il cateto minore è la metà del lato del triangolo equilatero;

– Il cateto maggiore è l’altezza del triangolo equilatero.

Quindi possiamo scrivere il teorema di Pitagora:

37-

A questo punto posso calcolare l’area utilizzando la prima formula (area triangolo equilatero noto il lato)

 

A=230,96 cm²

 

ESERCIZIO 3

Data l’area del triangolo equilatero, calcolare il perimetro. A=96cm².

Come abbiamo visto nella lezione sui perimetri dei triangoli, possiamo utilizzare la formula semplificata P=3L. Quindi è necessario calcolare il lato partendo dall’area. Dalla prima formula vista, ricaviamo la inversa per ottenere il lato

38-

Per ottenere il risultato finale, è sufficiente fare una radice quadrata ad entrambi i membri.

AB=14,89 cm.

 

 

AREA  TRIANGOLO SCALENO

 

1) BASE PER ALTEZZA DIVISO 2

La formula principale che siamo abituati ad utilizzare per i triangoli recita:

L’area di un triangolo si calcola dividendo per due il prodotto tra base ed altezza:

39-

Ma qual è la base? Guardando la figura, non necessariamente si deve considerare AB come la base del triangolo, anzi. Tutti i lati possono assolvere al ruolo di base, purché l’altezza usata poi nel calcolo sia relativa a quello stesso lato. Per questa ragione possiamo scrivere le seguenti 3 formule per il calcolo dell’area triangolo scaleno:

40-

QUANDO USARLA: In questo primo metodo è ovviamente indispensabile conoscere uno dei lati, che verrà considerato come base, e l’altezza relativa allo stesso lato.

 

2) FORMULA DI ERONE

Il secondo metodo per calcolare l’area del triangolo scaleno è consiste nell’applicazione della formula di Erone.

41-

dove:

– p= semiperimetro;

– a,b,c = sono i tre lati del triangolo.

Quindi il primo passo è quello di calcolare il perimetro sommando i lati e poi dividerlo per due, così da ottenere il semiperimetro.

 

QUANDO USARLA: questa formula va usata soltanto se si hanno immediatamente disponibili le misure dei tre lati del triangolo.

 

PERIMETRO TRIANGOLO SCALENO

Il perimetro misura l’estensione in lunghezza della figura e si calcola facendo la somma di tutti i lati. Quindi la formula è molto semplice:

 

p=AB+BC+AC

 

CALCOLO DEI LATI E DELL’ALTEZZA

Per avere a disposizione tutte le formule triangolo scaleno mancano la misura dei lati e dell’altezza. Si ricavano a partire dalla formula dell’area del triangolo scaleno. Abbiamo scritto una lezione proprio per tutte le formule inverse dell’area.

 

ESERCIZIO 1

Calcolare l’area del triangolo scaleno che ha la base pari a 28,5 cm ed ha l’altezza il doppio della base.

La traccia ci fornisce indirettamente sia la base che l’altezza. Quest’ultima la calcoliamo semplicemente andando a moltiplicare la base per 2. Per cui:

h=28,5 cm × 2 = 57 cm

A questo punto possiamo usare la prima formula vista, cioè:

A=b×h:2

A=28,5 cm × 57 cm : 2= 812,25 cm²

 

ESERCIZIO 2

In un triangolo l’altezza è 5/3 della base e la loro somma misura 160 cm. Calcola l’area del triangolo isoscele.

Mentre per uno studente delle scuole superiori basta semplicemente impostare un sistema di equazioni di primo grado, uno studente delle scuole medie potrebbe avere difficoltà a risolverlo. Per cui risolviamo l’esercizio ricorrendo alle unità frazionarie

 

h=5/3 b

 

Questo vuol dire che b=3u e h=5u. In tutto sono 8u. Poiché la somma è 160 cm, vuol dire che ogni unità frazionaria sarà:

160 cm : 8 = 20 cm

Per cui

b=20×3=60 cm

h=20×5=100 cm

A questo punto possiamo calcolare l’area del triangolo scaleno con la classica formula:

A=b×h:2=60×160:2=4.800 cm²

 

ESERCIZIO 3

Calcolare l’area del triangolo scaleno in cui la somma e la differenza della misura di base e altezza è 44 cm e 12 cm.

E’ un altro esercizio che generalmente mette in difficoltà gli studenti delle scuole medie. Mentre alle superiori si risolvere in meno di 30 secondi impostando un piccolo sistema di primo grado, per gli studenti delle scuole medie occorre agire diversamente. Traduciamo intanto in linguaggio matematico i dati a disposizione:

AB+CH=44 cm

AB-CH=12 cm

Essendo la differenza tra i due segmenti maggiore di zero, vuol dire che la base AB è più grande dell’altezza CH. Cioè AB>CH. Per calcolare questi due segmenti si ragiona in questo modo:

42-

Quello che si nota è che se sottraendo la somma alla differenza e dividendo per due, si ottiene proprio il segmento più corto. Per cui:

Media=CH=(SOMMA-DIFFERENZA):2=(44-12):2=32:2

CH=16 cm

A questo punto possiamo calcolare il primo lato facendo la formula inversa di una delle due dateci dalla traccia:

AB+CH=44 → AB=44-CH=44-16

AB=28 cm

Possiamo ora finalmente calcolare l’area del triangolo scaleno

A=b×h:2=28×16:2=224 cm²

 

Tutte le formule sul Triangolo Isoscele

43-

Dato il triangolo di vertici ABC, indichiamo con:

 

B = base;

H = altezza relativa alla base;

L = lato obliquo

h = altezza relativa al lato obliquo;

A = area

p = perimetro

44-

45-

 

Triangolo Rettangolo Isoscele

 

Il triangolo rettangolo isoscele è un triangolo che ha due lati uguali e un angolo di 90°

46-

La prima osservazione oggettiva da fare sul triangolo rettangolo isoscele è che l’angolo retto è compreso tra i due lati uguali. Quindi questo significa che i due cateti sono uguali.

 

Hai notato inoltre che il triangolo rettangolo isoscele è metà quadrato? L’ipotenusa del triangolo non è altro che la diagonale del quadrato.

Dato infatti il triangolo rettangolo in figura, chiamiamo a, b, e c i tre lati. Nell’immagine laterale trovi che i due cateti sono pari ad uno, ma si tratta solo di un esempio per dimostrarti che essi sono congruenti, cioè uguali. Chiamiamo il perimetro p e l’area A.

FORMULE

a=b=cateti  → la relazione esprime l’uguaglianza tra i due cateti

Perimetro triangolo rettangolo iscoscele a+b+c=p → 2a+c=p

Ampiezza degli angoli: 45°, 45°, 90°.

Area triangolo rettangolo isoscele (a⋅b)/2=A →a2/2=A

Teorema di Pitagora: a2+b2=c2 → 2a2=c2 →a√2=c

 

Quest’ultima relazione ci mostra come a partire da un cateto si possa calcolare l’ipotenusa semplicemente calcolando per radice di due. Valgono ovviamente tutte le formule inverse. Quindi si potrà calcolare il cateto conoscendo il perimetro, oppure l’area, oppure l’ipotenusa. Allo stesso modo possiamo dire che si potrà calcolare l’ipotenusa partendo dal perimetro, dall’area o dal cateto.

 

GLI ANGOLI ADIACENTI ALL’IPOTENUSA MISURANO 45°

Abbiamo infatti detto che il triangolo isoscele rettangolo è la metà di un quadrato. Te ne puoi accorgere dalla figura sulla destra. La diagonale del quadrato è anche bisettrice dell’angolo DAB e BCD. Questo vuol dire che gli angoli DAC e ACD sono di 45°.

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L’ALTEZZA RELATIVA ALL’IPOTENUSA È ANCHE MEDIANA E BISETTRICE

 

Questo perché i due cateti sono uguali. Questo vuol dire che tracciando da D l’altezza sul segmento AC, quest’ultimo resta diviso in due parti e lo stesso si può dire per l’angolo in D. Si nota che l’altezza relativa all’ipotenusa DH (prova a disegnarla su un foglio) diventa asse di simmetria del triangolo ADC.

 

L’AREA DEL TRIANGOLO ISOSCELE RETTANGOLO È METÀ DI QUELLA DEL QUADRATO

 

Abbiamo già ripetuto che questo triangolo particolare è metà quadrato. Questo significa che possiamo ricavarci la sua area anche in maniera differente. Si calcola infatti l’area del quadrato l2=A e la si divide per due per ottenere anche l’area del triangolo.

 

ESERCIZO

 

L’area del triangolo isoscele rettangolo misura 144 m2. Calcolare il perimetro.

 

Svolgimento

 

Abbiamo detto che possiamo usare una formula diversa dalla classica dei triangoli (bxh/2=A). In questo caso si può scrivere cateto2/2=A. Applicando la formula inversa possiamo quindi calcolare quanto vale il cateto (che chiamiamo c per semplicità):

 

c2=2A → √c2=√(2A) → c= √(2A)

 

Per ottenere la formula inversa abbiamo portato prima moltiplicato ambo i membri per 2, poi fatto la radice quadrata di tutto. In questo modo abbiamo ottenuto la formula del cateto a partire dall’area del triangolo rettangolo isoscele.

 

Andiamo ora a sostituire i dati:

 

c=√(2⋅144)=12√2

 

Una volta calcolato il cateto, si può calcolare l’ipotenusa (che indicheremo con i) con il teorema di Pitagora.

 

c√2=i → i=12√2(√2)

i=12⋅2=24

 

Avendo anche l’ipotenusa, a questo punto possiamo calcolare il perimetro del triangolo rettangolo isoscele:

 

p=2c+i=2⋅12√2+24 = 24√2+24

 

In base a quanto abbiamo detto anche nella lezione sulla somma di radicali, queste due radici non sono simili per cui non si possono sommare. Per questa ragione non si possono eseguire altri passaggi e l’esercizio può considerarsi concluso. Ti starai chiedendo: si, ma quel numero quanto vale?? Se provi a scriverlo sulla calcolatrice ti uscirà che il perimetro è circa pari a p=57,94 cm.

 

Triangolo rettangolo:  riepilogo

 

Il triangolo rettangolo è un triangolo avente un angolo retto. Non importa la posizione: l’angolo di 90° può essere alla base o anche al vertice, come puoi vedere nelle figure seguenti.

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FORMULE

 

Di seguito andremo ad indicare non solo le formule ma anche le formule inverse dei triangoli rettangoli. Dato quindi il triangolo in figura:

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c1 è il cateto minore, c2 è il cateto maggiore, i è l’ipotenusa, h è l’altezza relativa all’ipotenusa, A è l’area e p il perimetro. p1 e p2 sono le proiezioni dei cateti c1 e c2 rispettivamente sull’ipotenusa.

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PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO RETTANGOLO

 

– Uno degli angoli è pari a 90°.

– Gli altri due angoli sono necessariamente acuti, cioè minori di 90° e sono tra loro complementari. La loro somma cioè è pari a un angolo retto.

– Il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa. Gli altri si chiamano cateto maggiore e cateto minore.

– L’ortocentro del triangolo rettangolo coincide dove c’è l’angolo retto.

– Un triangolo rettangolo può essere sempre inscritto in una semicirconferenza, di cui l’ipotenusa è il diametro.

– Per il triangolo rettangolo vale il Teorema di Pitagora.

– Valgono inoltre i due Teoremi di Euclide

 

TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE (45-45-90)

 

In questo lato gli angoli acuti valgono entrambi 45°. Per questa ragione i due cateti sono uguali e si ha una netta semplificazione delle formule. Questa figura la si ottiene tracciando la diagonale del quadrato.

 

TRIANGOLO RETTANGOLO CON ANGOLI DI 30-60-90°

 

Di fronte il cateto minore c’è l’angolo di 30°, di fronte il cateto maggiore c’è l’angolo di 60°. Grazie a questa caratteristica, il cateto maggiore è pari a metà ipotenusa. In questo modo tutte le formule diventano più semplici e si riducono.

 

 

FORMULE INVERSE TRIANGOLO

 

Usare le formule inverse di un triangolo non è sempre così semplice. Bisogna partire dalla formula principale e, attraverso alcuni passaggi algebrici, si arriva ad ottenere quella inversa.

 

FORMULE INVERSE TRIANGOLO SCALENO GENERICO

Le formule di seguito possono essere applicate a qualsiasi tipo di triangolo e sono valide per tutti gli esercizi.

 

Se conosco il perimetro e due lati e devo calcolare il terzo lato, allora mi ricavo la formula inversa del perimetro:

 

p=L1+L2+L3  → L1 = p-L2-L3

 

Quindi semplicemente sottraggo alla misura del perimetro gli altri due lati per ottenere il terzo.

 

Se invece l’area e ho bisogno della base o dell’altezza, partendo dalla formula dell’area del triangolo (base per altezza diviso 2) ottengo:

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FORMULE INVERSE TRIANGOLO EQUILATERO

Dalla formula dell’area del triangolo equilatero possiamo ricavare:

53-

Dalla formula inversa del perimetro possiamo invece ricavare solo la misura del lato:

p=3L → L=p/3

 

FORMULE INVERSE TRIANGOLO ISOSCELE

Per quanto riguarda l’area del triangolo isoscele, puoi usare le formule inverse del triangolo scaleno. Sono le stesse. Avendo a disposizione il perimetro e la base, possiamo calcolare il lato obliquo. Oppure avendo a disposizione il lato obliquo se ne può calcolare la base.

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p=2AC+AB → AB=p-2AC

p=2AC+AB → AC=(p-AB)/2

 

FORMULE INVERSE TRIANGOLO RETTANGOLO

Partendo dall’area del triangolo rettangolo, è possibile:

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Per quanto riguarda il perimetro, vale esattamente quello che è stato detto per il generico triangolo scaleno.

 

COME E QUANDO UTILIZZARLE

Le formule generiche portano in genere a calcolare il perimetro o l’area della figura. Attraverso le formule inverse, come hai potuto vedere, puoi sfruttare quei casi in cui perimetro ed area sono noti dalla traccia e va calcolato uno dei lati o anche un’altezza relativa ad un lato.

 

COME SI RICAVANO?

Ovviamente impararle tutte a memoria è impossibile ed inutile. E’ molto più importante che tu capisca come si ricavano perché con pochi semplici passaggi algebrici puoi ottenere la soluzione. Vediamo un esempio.

Partendo dalla formula dell’area ricavare la misura dell’altezza riportando il procedimento per intero:

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BARICENTRO DEL TRIANGOLO

 

Il baricentro del triangolo è il punto di intersezione delle tre mediane. Per poterlo disegnare è sufficiente disegnare la mediana relativa ad ogni lato e il loro punto in comune viene chiamato baricentro.

Ti ricordi che cos’è la mediana? E’ il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. Proviamo quindi a disegnare il baricentro di un triangolo scaleno acutangolo.

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Dato il generico triangolo ABC, abbiamo disegnato le mediane relative ad ogni lato. Dalla loro intersezione si ottiene il punto H, baricentro del triangolo.

 

CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ DEL BARICENTRO

Ti ricordi che l’ortocentro e il circocentro potevano essere anche esterni alla figura? Per il baricentro dei triangoli, ciò non può accadere per cui la prima proprietà di questo punto è:

– il baricentro del triangolo è un punto sempre compreso nel perimetro della figura;

– il baricentro divide ogni mediana in due parti. Quella che contiene il vertice è il doppio dell’altra.

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In base alla proprietà appena vista, possiamo dire che AH=2HM2

– il baricentro di un triangolo equilatero coincide con l’ortocentro e con il circocentro.

 

IL BARICENTRO DEL TRIANGOLO IN GEOMETRIA ANALITICA

Questa seconda parte della lezione è dedicata agli studenti delle scuole superiori che stanno studiando geometria analitica. Esiste una formula che, dati i vertici del triangolo, permette di calcolare il baricentro in pochi semplici passaggi

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dove A, B e C sono i tre vertici del triangolo di cui sono note le coordinate cartesiane.

Per calcolare le coordinate del baricentro del triangolo bisogna quindi:

– fare la media aritmetica delle ascisse dei tre vertici. Cioè si sommano le tre x e si fa il risultato diviso 3. In questo modo si ottiene l’ascissa del baricentro.

– fare la media aritmetica delle ordinate dei tre vertici. Cioè si sommano le tre y e si fa il risultato diviso 3. In questo modo si ottiene invece l’ordinata del baricentro.

 

ESERCIZIO 1

 Dato il triangolo di vertici A(6;0) B(2;2) e C(7;7), calcolare le coordinate del baricentro G.

Applichiamo subito la formula appena vista. Possiamo così scrivere che:

 

xG=(6+2+7)/3=15/3=5

yG=(0+2+7)/3=9/3=3

G(5;3)

 

 ESERCIZIO 2

 Dato il triangolo con baricentro G(5;3) e noti due vertici A(6;0) e B(2;2), determinare il terzo vertice C.

Si tratta dello stesso esercizio visto prima ma questa volta bisogna fare il procedimento al contrario. Cioè dovremo usare la formula inversa del baricentro per trovare uno dei vertici. Riscriviamo così la formula come l’abbiamo vista prima, esplicitando tutti i dati forniti dalla traccia e lasciando le coordinate di C come incognita.

xG=(xA+xB+xC)/3 → 5=(6+2+x)/3 → 15=6+2+x → x=15-6-2

xC=7

yG=(yA+yB+yC)/3 → 3=(0+2+y)/3 → 9=2+y

yC=7

C(7;7).

 

ORTOCENTRO DI UN TRIANGOLO

 

L’ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle altezze relative ai tre lati. Per poterlo disegnare, dato un triangolo scaleno ABC, disegniamo le tre altezze, cioè le perpendicolari dai tre vertici.

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Dall’intersezione delle tre altezze si ottiene il punto O, detto ortocentro del triangolo. Come puoi vedere dalla figura, in un triangolo acutangolo questo punto caratteristico cade all’interno della figura.

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Nell’ultima figura puoi notare come l’ortocentro del triangolo ottusangolo ABC (ottuso in B) sia esterno alla figura. Puoi provare a ripetere il disegno e vedrai che maggiore è l’angolo e più il punto è esterno.

 

CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ

– L’ortocentro del triangolo rettangolo coincide proprio con il vertice corrispondente all’angolo retto.

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– L’ortocentro del triangolo isoscele è allineato con baricentro e circocentro su quella che viene chiamata retta di Eulero.

– L’ortocentro del triangolo equilatero coincide con il baricentro e il circocentro.

 

LA FORMULA PER CALCOLARE L’ORTOCENTRO IN GEOMETRIA ANALITICA

Esistono due metodi per trovare questo particolare punto per qualsiasi tipo di triangolo. Il primo è sicuramente quello più istantaneo e semplicemente sfrutta una formula:

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dove A, B, C sono i tre vertici del triangolo. In questo sistema di equazioni le incognite da individuare sono x e y, ovvero ascissa e ordinata dell’ortocentro del triangolo.

 

Il secondo metodo è invece per chi non ricorda la formula a memoria. Date le coordinate tre vertici:

– si calcolano le rette corrispondenti ai lati AB, AC e BC.

– Si calcola la retta corrispondente all’altezza relativa ad AB. Per cui si trova una retta passante per un punto e coefficiente angolare anti-reciproco a quello di AB.

– Stessa cosa per l’altezza relativa ad AC.

– Si costruisce un sistema con due equazioni: al primo rigo c’è la retta altezza 1, al secondo rigo c’è la retta altezza 2. Dalla soluzione di questo sistema si ottengono le coordinate dell’ortocentro.

 

CIRCOCENTRO DI UN TRIANGOLO

 

Il circocentro è il punto di intersezione degli assi di un generico triangolo. Si dimostra anche che è il centro della circonferenza circoscritta al medesimo triangolo.

 Questo significa che, disegnando gli assi dai vertici di un qualsiasi triangolo, questi si intersecano in un punto chiamato circocentro. Ti ricordi cosa sono gli assi di un triangolo? Sono i segmenti perpendicolari ad ogni lato e passanti per il suo punto medio. Proviamo a disegnarli e a vedere cosa succede…

 

CIRCOCENTRO  DEL TRIANGOLO SCALENO ACUTANGOLO

64-

Dato il triangolo scaleno ABC, disegnamo per ogni lato il rispettivo asse. Per cui possiamo individuare l’asse a1 sul lato AB, l’asse a2 sul lato AC e l’asse a3 sul lato BC. Intersecando i tre assi otteniamo il circocentro del triangolo, indicato in figura con il punto P.

 

CIRCOCENTRO  DEL TRIANGOLO SCALENO OTTUSANGOLO

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Dato il triangolo ottusangolo avente l’angolo maggiore di 90° nel vertice A. Abbiamo disegnato i tre assi a1, a2, a3. Cosa si nota? Che il punto trovato questa volta è esterno. Possiamo quindi dedurre la seguente regola valida per il circocentro:

– nel triangolo acutangolo è interno alla figura;

– nel triangolo ottusangolo è esterno alla figura;

Vediamo ora alcuni casi di triangoli particolari.

 

CIRCOCENTRO  DEL TRIANGOLO RETTANGOLO

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Dato il triangolo rettangolo ABC retto nel vertice A. Abbiamo disegnato per ogni lato i rispettivi assi e quello che si nota è che il circocentro di un triangolo rettangolo non è altro che il punto medio dell’ipotenusa.

 

CIRCOCENTRO  DEL TRIANGOLO ISOSCELE

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Il circocentro del triangolo isoscele gode di un’interessante proprietà. Se provassimo a disegnare baricentro, incentro e ortocentro di un triangolo isoscele ci accorgeremmo che questi sono allineati ed appartengono proprio all’altezza.

 

CIRCOCENTRO  DEL TRIANGOLO EQUILATERO

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PROPRIETA’: dato il triangolo equilatero ABC, incentro, baricentro e ortocentro sono tra loro coincidenti.

 

CIRCOCENTRO  IN GEOMETRIA ANALITICA

 

Come si fa a determinare il circocentro di un triangolo avendo a disposizione, ad esempio, solo i 3 vertici del triangolo stesso? Un primo metodo, più rapido e che consigliamo di applicare è quello di sfruttare la definizione di circocentro: è la circonferenza circoscritta al triangolo. Questo vuol dire che è equidistante dai 3 vertici del triangolo. Dato quindi il triangolo ABC, considerando H il circocentro, bisognerà imporre che:

 

AH=BH=CH

dove H viene tenuto come incognita H(xH, yH)

 

Un secondo metodo, più lungo e che richiede più passaggi anche a livello meccanico, prevede l’applicazione di una costruzione particolare. I passi a fare sono i seguenti:

 

– calcoliamo la formula della retta dei tre lati del triangolo;

– calcoliamo le coordinate del punto medio di ogni lato;

– calcoliamo l’asse per ogni lato applicando la formula della retta passante per un punto e coefficiente angolare noto (se m è il coefficiente della retta passante per il lato, noi prenderemo -1/m rispettando la condizione di perpendicolarità)

– intersechiamo tra loro due rette per ottenere il punto H cercato.

 

ESERCIZIO

 Determinare il circocentro del triangolo avente vertice nei punti A(7;1) B(2;7) e C(-2:-2).

69-

Come detto in precedenza applichiamo la definizione vista ad inizio lezione, cioè che il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. Per cui H è equidistante da A, B e C.

AH=BH=CH

Si tratta quindi di analizzare 2 equazioni in 2 incognite (ascissa e ordinata del punto H).

AH=BH

BH=CH

 

Volendo si potrebbe usare anche l’equazione AH=CH ma, poiché le incognite sono 2, possiamo servirci di 2 equazioni e trascurarne una terza.

AH=BH lo imponiamo andando a calcolare la distanza tra due punti tenendo H come incognita

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A questo punto non ci resta che risolvere parallelamente queste due che possiamo inserire in un sistema di equazioni

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Abbiamo così alla fine calcolato il circocentro del triangolo individuandone le coordinate x e y

 

PERIMETRI  DEI TRIANGOLI

72-

Data 28 settembre 2019

GEOMETRIA EUCLIDEA – 4

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ROMBO

 

220- INIZIO MATEMATICA 4

Prima di analizzare le formule del rombo vediamo che cos’è e che caratteristiche ha questa figura.

 

– ha 4 lati congruenti proprio come il quadrato

– ha due diagonali

– gli angoli opposti sono congruenti

– i lati opposti sono paralleli

– ha una diagonale maggiore e una diagonale minore

– le due diagonali sono tra loro perpendicolari

 

Formule rombo

Ecco un formulario completo con tutte le formule principali che possono essere utilizzate negli esercizi.

 

Perimetro del rombo

P = 4L

Per il calcolo del perimetro del rombo bisogna moltiplicare per 4 la misura del lato.

 

Area del rombo

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Come si trova l’area del rombo?  Questa è uguale al semi-prodotto delle due diagonali. Cioè si calcola facendo diagonale maggiore per diagonale minore diviso due.

 

Rombo formule inverse

Dalle prime due formule viste è facile ricavare le formule inverse del rombo. Queste ci permettono di calcolare le due diagonali e il lato a partire dalla misura dell’area e del perimetro.

222-

Formule secondarie

223-

Sfruttando il teorema di Pitagora, il lato del rombo si calcola considerando le semi diagonali come cateti e il lato come ipotenusa.

 

Formule rombo e circonferenza inscritta (con dimostrazione)

Il rombo può sempre essere inscritto in una circonferenza di raggio r.

224-

Dal disegno notiamo che il triangolo AOB è rettangolo e il raggio r è l’altezza perpendicolare alla base AB. Usando la formula dell’area dei triangoli A=bxh:2, possiamo scrivere che l’area in funzione del raggio della circonferenza inscritta.

225-

Per calcolare il lato basta dividere l’area per la misura del diametro della circonferenza inscritta.

Allo stesso modo il raggio della circonferenza inscritta si calcola dividendo l’area per il doppio del lato.

 

Perimetro del Rombo

Il perimetro del rombo rappresenta la somma dei lati della figura geometrica. Essendo i lati tutti uguali, per calcolare il perimetro di un rombo è sufficiente conoscere la misura di un lato e moltiplicarlo per 4.

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Dove l è la misura del lato, d1 e d2 le misure delle diagonali e p il perimetro del rombo.

ESERCIZIO 1

 Il lato di un rombo misura 20 cm. Calcolare il perimetro.

Svolgimento

Il primo problema affrontato non comporta particolari difficoltà. Avendo il lato, si ottiene il perimetro del rombo moltiplicandolo per 4. Per cui:

P= 4l = 4·20 cm = 80 cm

 

COME CALCOLARE IL PERIMETRO DEL ROMBO NOTE LE DIAGONALI

Non sempre si è così fortunati di avere subito dalla traccia il lato della figura. Può capitare che vengano date più o meno direttamente le misure delle diagonali.

In tal caso si può considerare uno dei 4 triangoli rettangoli che vengono formati dalle diagonali e, considerando le semi-diagonali del rombo come i cateti, si può ricavare il lato come ipotenusa con il teorema di Pitagora. Vediamo subito come fare…

 

ESERCIZIO 2

 La diagonale maggiore di un rombo misura 20 cm e la minore è i suoi 3/4. Calcola il perimetro e l’area del rombo.

Svolgimento

Non c’è bisogno di fare neanche il disegno perché la traccia ci fornisce indirettamente la misura delle due diagonali. Sappiamo che la minore è 3/4 rispetto alla maggiore. Matematicamente possiamo scrivere che:

d2= d1 · 3/4 = 20 cm · 3/4 = 15 cm

Calcoliamo a questo punto le semidiagonali considerandole cateti del triangolo AOD.

227-

Una volta calcolato il lato, si può trovare il perimetro del rombo moltiplicando il lato per 4. Per cui:

P= 4l = 4·12,5 cm = 50 cm

 

ESERCIZIO 3

 La somma delle diagonali di un rombo misura 98 cm e una è 3/4 dell’altra. Calcola il perimetro del rombo.

Svolgimento

Gli studenti delle scuole superiori possono imporre la diagonale maggiore pari a x e scrivere un’equazione di primo grado  x+3/4x=98 cm.

Gli studenti delle scuole medie invece possono ragionare per unità frazionarie. La diagonale maggiore è 4 unità mentre la minore è 3 unità.

Vuol dire che in totale ci sono:

d1+d2 = 4u+3u = 7u = 98 cm

1u=98cm/7 = 14 cm

d1=4u = 14·4= 56 cm

d2=3u = 14·3= 42 cm

 

A questo punto siamo tornati al caso precedente. Abbiamo le due diagonali e serve il perimetro del rombo. Si calcolano così le semidiagonali, teorema di Pitagora per ottenere il lato e infine si moltiplica per 4.

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Area del Rombo

229-

Dove d1 e d2 sono le diagonali, A è l’area, L è la misura del lato, mentre h è l’altezza relativa a quel lato, come mostrato nella figura seguente.

Dove d1 e d2 sono le diagonali, A è l’area, L è la misura del lato, mentre h è l’altezza relativa a quel lato, come mostrato nella figura seguente.

230-

COME SI TROVA L’AREA DEL ROMBO CONOSCENDO LE DIAGONALI

E’ il caso più frequente che si incontra nei problemi di geometria. Si conosce la misura della diagonale minore e di quella maggiore.

Nella figura in alto possiamo vedere che le due diagonali si intersecano perpendicolarmente formando quattro triangoli rettangoli. Le due semi diagonali sono i cateti, mentre il lato è l’ipotenusa.

Per cui possiamo scrivere:

231-

COME SI CALCOLA L’AREA DEL ROMBO CONOSCENDO IL LATO

La seconda formula si basa invece su un’osservazione piuttosto semplice. Prova a ruotare la figura del rombo in alto. Ti accorgerai che non è altro che un parallelogramma ruotato di 90°, per cui la misura dell’area è base per altezza.

Poiché la base è il lato, allora l’are di un rombo si può calcolare anche come lato per la misura dell’altezza relativa a quel lato.

ESERCIZIO 1

 Calcolare l’area di un rombo che ha le diagonali che misurano 10 cm e 5 cm.

Svolgimento

Il primo esercizio è estremamente semplice. Ci sono già i tutti i dati a disposizione per usare la prima formula vista, per cui possiamo scrivere:

232-

ESERCIZIO 2

 Calcolare l’area di un rombo che ha il lato che misura 15 cm e una delle due diagonali che misura 20 cm.

Svolgimento

Ecco un esercizio più interessante. Non abbiamo la formula diretta per l’area noti lato e diagonale. O usiamo la formula con lato e altezza o quella con le due diagonali.

Notiamo che le diagonali dividono la figura in 4 triangoli rettangoli di cui conosciamo ipotenusa e un cateto (basta dividere la diagonale per due).

233-

Per cui:

 

– ipotenusa = 15 cm

– cateto = 20 cm :  2 = 10 cm

Possiamo applicare la formula inversa del teorema di Pitagora, così da calcolare l’altro cateto. Moltiplicando la misura per 2 ottengo la seconda diagonale

234-

 

TRAPEZIO

 

Il trapezio è un quadrilatero formato da due lati paralleli, detti basi, e da due lati obliqui non necessariamente uguali tra loro.

235-

A seconda delle relazioni che sussistono tra i lati, si possono distinguere 3 tipi di trapezi:

 

trapezio isoscele – quando i lati obliqui sono tra loro uguali

trapezio rettangolo – quando uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi

trapezio scaleno – quando i quattro lati sono diversi

 

Formule trapezio scaleno

Dato un generico trapezio, indichiamo con B la base maggiore, b la base minore, h l’altezza, p il perimetro e A l’area. Infine L1 e L2 sono i due lati obliqui.

Formula dell’area

L’area del trapezio si calcola eseguendo base maggiore più base minore per altezza diviso 2

236-

Formula del perimetro

Come tutte le figure geometriche, per calcolare il perimetro è sufficiente sommare tutti i lati.

237-

Formule del trapezio rettangolo

L’unica vera differenza è che uno dei lati obliqui coincide con l’altezza, per cui L1=h. Per cui possiamo riscrivere le formule semplificando leggermente quella del perimetro:

238-

Formule del trapezio isoscele

In questo caso i due lati obliqui sono congruenti per cui possiamo riscrivere e semplificare il calcolo del perimetro:

239-

 

TRAPEZIO SCALENO

 Il trapezio scaleno è un quadrilatero formato da due lati paralleli detti basi e due lati obliqui di misura diversa. E’ un poligono molto importante nel programma di geometria e di cui bisogna conoscere almeno le formule generali.

240-

Quindi in base alla definizione, dato il trapezio scaleno ABCD in figura, sappiamo che le due basi AB e CD sono parallele. Quella più lunga si definisce base maggiore (AB), mentre l’altra si definisce base minore (CD).

La distanza tra le due basi si chiama altezza del trapezio scaleno e il punto che forma sulla base viene indicato generalmente con la lettera maiuscola H.

241-

Formule

Area

242-

L’area del trapezio scaleno si calcola facendo la somma delle basi, per l’altezza diviso due. Dalle formule inverse possiamo ricavare le basi o l’altezza.

243-

 

Perimetro

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Proprietà

 

– La somma degli angoli interni di un trapezio scaleno vale 360°, cioè è pari ad un angolo giro.

– I due angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari

245-

– I lati obliqui hanno lunghezza diversa.

– Gli angoli alla base del trapezio scaleno non sono congruenti.

– Le diagonali di un trapezio scaleno non sono uguali tra loro.

– Se uno dei lati obliqui è perpendicolare alla base, allora la figura diventa un trapezio rettangolo.

– Disegnando l’altezza di ottengono due figure più semplici: un triangolo rettangolo e un trapezio rettangolo.

– Disegnando le due altezze si ottengono 3 figure più semplici: due triangoli rettangoli (diversi tra loro) e un rettangolo

 

TRAPEZIO RETTANGOLO

 Area

 Esiste un’unica formula ed è abbastanza facile da ricordare: somma delle basi per altezza diviso due.

246-

Area col solo lato obliquo

Nel caso in cui la traccia ci dia la misura del lato obliquo, allora dobbiamo calcolare la misura dell’altezza, attraverso pochi semplici calcoli.

247-

 

Innanzitutto si considera il triangolo rettangolo CHB di cui è nota l’ipotenusa BC. Possiamo calcolare anche il cateto HB facendo la sottrazione tra le due basi del trapezio. Cioè:

AB-DC=HB

A questo punto, applicando la formula inversa del teorema di Pitagora, si calcola il cateto del triangolo CH che è anche l’altezza del trapezio rettangolo. Infine si determina l’area con la formula vista sopra.

 

Ed è nota la diagonale minore

Nel caso in cui l’altezza sia da calcolare e la traccia del problema fornisce la misura della diagonale minore AC, allora consideriamo il triangolo AHC in figura sotto

248-

Si tratta di un triangolo rettangolo di cui è nota l’ipotenusa AC (proprio la diagonale) e il cateto AH che è uguale alla base minore DC.

Si può quindi applicare come prima la formula inversa di Pitagora per ottenere il cateto CH. L’area del trapezio rettangolo la si calcola infine con la formula vista sopra.

Ed è nota la misura della diagonale maggiore

Nel caso in cui sia nota la misura delle basi e della diagonale maggiore, si va a considerare il triangolo rettangolo ABD come nella figura in basso

249-

Conosciamo la misura del cateto AB e dell’ipotenusa DB. Possiamo applicare ancora una volta la formula inversa di Pitagora per ottenere l’altezza DA. Da qui poi sarà semplice concludere con il calcolo dell’area del trapezio.

ESERCIZIO 1

 La differenza delle basi di un trapezio rettangolo è 40 cm. Sapendo che la base minore è 2/3 della base maggiore e che l’altezza misura 30 cm, calcolare la misura dell’area del trapezio rettangolo.

Svolgimento

Per fare un po’ di chiarezza, facciamo subito il disegno della figura e analizziamo i dati a disposizione

250-

Sappiamo che il segmento HB misura 40 cm perché è la differenza delle basi. Abbiamo anche la misura del segmento CH, ovvero l’altezza. Sappiamo infine che DC=2/3 di AB.

Per gli studenti delle scuole superiori consigliamo di porre il segmento AB=x e di risolvere una semplice equazione di primo grado. Per gli studenti delle scuole medie invece disegniamo i segmenti che ci interessano come di seguito:

251-

La differenza tra le basi AB-CD=40 cm = 1 unità.

Per cui:

– AB = 3 unità = 3·40 cm = 120 cm

– CD= 2 unità = 2·40 cm = 80 cm

Possiamo infine calcolare l’area:

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AREA TRAPEZIO ISOSCELE

 L’area del trapezio isoscele rappresenta la misura della superficie racchiusa nel perimetro della figura. Si calcola utilizzando le classiche formule sui trapezi: base maggiore più base minore per altezza diviso due

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Dove B è la base maggiore, b la base minore, h l’altezza e A l’area del trapezio isoscele.

 

COME SI CALCOLA L’AREA DEL TRAPEZIO ISOSCELE DATO IL LATO OBLIQUO?

Non sempre la traccia fornisce tutti i dati già pronti per risolvere l’esercizio. Nel caso in cui venisse data la misura del lato obliquo, dovremo sfruttare il teorema di Pitagora.

In questo modo sarà possibile determinare l’altezza o il segmento alla base del triangolo rettangolo che si forma a sinistra e a destra della figura.

 

DIMOSTRAZIONE FORMULA AREA TRAPEZIO ISOSCELE

Per dimostrare la formula dell’area è necessario trasformare il trapezio isoscele così come vedi in figura. Si inizia disegnando sul lato BC il punto medio M e poi il segmento DM.

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Il triangolo precedentemente indicato come DCM ora è diventato il triangolo MBD. In totale si ottiene una figura AD1D pari proprio ad un triangolo la cui area è:

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ESERCIZIO 1

 In un trapezio isoscele ABCD le basi misurano rispettivamente 12 e 28 cm, mentre il lato obliquo 10 cm. Calcola l’area del trapezio isoscele e la sua altezza.

Svolgimento

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Subito dopo aver disegnato la figura, vediamo che abbiamo a disposizione le basi AB e DC, mentre serve l’altezza DH.

Possiamo calcolarla ricorrendo al teorema di Pitagora applicato al triangolo ADH, dove il lato obliquo AD è noto e possiamo ricavare il cateto AH. Come? Come la semisomma delle basi

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ESERCIZIO 2

 Calcolare l’area di un trapezio isoscele che ha le basi di 50 cm, 20 cm e l’altezza di 8 cm.

Svolgimento

Esercizio molto più semplice del precedente. Abbiamo tutti i dati a disposizione per applicare la formula direttamente:

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