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Data 27 ottobre 2019

GEOMETRIA ANALITICA – 3

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Fuochi parabola

 – come si calcolano le coordinate del fuoco?

 

Che cos’è il fuoco? E’ quel punto che la cui distanza dal generico punto P della parabola è pari alla distanza dello stesso punto dalla direttrice. Quindi:

PF=D(F,d)

distanza fuoco dal punto P della parabola = distanza di P dalla retta direttrice

 

FORMULA DEL FUOCO DELLA PARABOLA

Per calcolare il fuoco di una parabola negli esercizi è sufficiente avere a disposizione l’equazione della parabola. In particolare ci servono i tre coefficienti a, b, c. Ricordati però che a seconda della disposizione della figura negli assi cartesiani, possiamo avere una parabola ad asse orizzontale o verticale.

 

FUOCO PARABOLA ASSE VERTICALE

Data infatti la parabola di equazione:

92-inizio geom.anal. - 3

FUOCO PARABOLA ASSE VERTICALE

Vale quanto appena già detto nel caso in cui la parabola abbia asse parallelo all’asse x. In questo caso l’equazione diventa:

x=ay²+by+c=0

Mentre le coordinate del fuoco della parabola sono invertite:

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ESEMPI SUL CALCOLO DEL FUOCO DELLA PARABOLA

Cominciamo a vedere qualche esempio così da capire come fare i vari calcoli.

 

ESERCIZIO 1

Calcolare il fuoco della parabola con vertice nell’origine y=2x².

I tre coefficienti della parabola sono: a=2 b=0 c=0. Possiamo così sostituirli nella formula:

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Come puoi notare tutti i fuochi di parabola con vertice nell’origine hanno la x pari a 0 e la y può essere semplificata. Possiamo così generalizzare e dire che in questi casi possiamo utilizzare, per il calcolo del fuoco, la formula:

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ESERCIZIO 2

Calcolare il fuoco della parabola di equazione y=-x²-2x+1/4

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Come puoi vedere abbiamo scomposto l’esercizio in due parti. Abbiamo prima calcolato l’ascissa del fuoco e poi l’ordinata. In questo modo ci siamo semplificato i calcoli e abbiamo tenuto il foglio di lavoro più pulito e ordinato.

 

ESERCIZIO 3

Trovare l’equazione della parabola avente il fuoco F(2;1) e il vertice V(2;-1)

Fino ad ora abbiamo visto i casi in cui data l’equazione, ci viene chiesto di trovare i fuochi della parabola. Ora siamo nel caso contrario. Dobbiamo calcolarne l’equazione, per cui abbiamo tre incognite y=ax²+bx+c=0, per cui abbiamo bisogno di tre dati. La traccia ci offre 4 coordinate (del fuoco e del vertice) di cui due uguali: ascissa di fuoco e vertice coincidono per cui i dati a disposizione sono 3.

Possiamo così scrivere un sistema di equazioni di primo grado:

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Vertice parabola

 – quali sono le formule da usare

 

DEFINIZIONE: Il vertice della parabola viene definito come il punto di intersezione tra la parabola stessa e l’asse di simmetria. Nel caso di parabola ad asse verticale, il vertice diventa anche punto di minimo o punto di massimo.

 

FORMULE PER IL VERTICE DELLA PARABOLA

Come abbiamo visto nella spiegazione dell’equazione della parabola, possiamo avere due differenti casi: la figura ha un asse di simmetria verticale oppure orizzontale. Ciascuno dei due casi, ha un’equazione rappresentativa differente. Le formule per calcolare il vertice della parabola ovviamente dipendono anche da questi casi.

 

FORMULE VERTICE PARABOLA CON ASSE DI SIMMETRIA VERTICALE (PARALLELO ALL’ASSE Y)

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Ricordiamo che in questo caso l’equazione della parabola è:

 

y=ax²+bx+c

 

OSSERVAZIONE: ti ricordi che nel programma di algebra hai già incontrato il binomio b²-4ac ? Era la formula del DELTA che si utilizzava per risolvere le equazioni di secondo grado. Infatti le coordinate del vertice della parabola possono anche essere espresse come:

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FORMULE VERTICE PARABOLA CON ASSE DI SIMMETRIA ORIZZONTALE (PARALLELO ALL’ASSE X)

In questo caso le coordinate del vertice si invertono:

100-

L’equazione della parabola è invece:

 

y=ax²+bx+c

 

L’osservazione fatta per il Δ continua a valere per cui, senza bisogno di ripeterci ulteriormente, possiamo dire che le coordinate del vertice di una parabola ad asse orizzontale possono essere scritte anche come:

101-

ESEMPI DI CALCOLO DEL VERTICE DELLA PARABOLA

Determinare il vertice della parabola di equazione:

ESERCIZIO 1

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Poiché a=1/2>0, la parabola presenta la concavità rivolta verso l’alto. L’equazione è del tipo y=ax² per cui il vertice della parabola coincide con l’origine degli assi e il suo asse di simmetria coincide con l’asse delle y.

 

V=(0;0)

 

ESERCIZIO 2

y=-x²+4

 

Si tratta sempre di una parabola con asse verticale, ma questa volta a=-1<0, per cui la concavità è rivolta verso il basso. Quest’ultima informazione non è rilevante per calcolare le coordinate del vertice della parabola. Una volta capita se la parabola ha asse orizzontale o verticale si può immediatamente calcolare il vertice.

103-

ESERCIZIO 3

y=2x²+4x-6

 

La figura ha asse di simmetria verticale. Passiamo subito al calcolo del vertice della parabola.

104-

CONSIDERAZIONI

Per determinare l’ordinata del vertice della parabola, in linea teorica, si può procedere in due modi:

1) si usa la formula classica già vista, ovvero -Δ/4a

2) poiché il vertice è un punto della parabola, dopo aver determinato la sua ascissa xv, nell’equazione della parabola si sostituisce ad x il valore di xv.

Il nostro consiglio è ovviamente di utilizzare la formula del vertice. Questo perché è vero che il secondo metodo può essere più immediato nei casi più semplici, ma usando sempre lo stesso metodo si impara prima a memoria la formula.

 

Equazione parabola nel piano cartesiano

 

DEFINIZIONE DI PARABOLA

La parabola per definizione è il luogo dei punto del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa d detta direttrice.

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cioè considerato il generico punto P appartenente alla parabola, la sua distanza dalla retta direttrice è uguale alla sua distanza dal fuoco.

 

ALTRI PUNTI CARATTERISTICI E DEFINIZIONI

Vertice: è il punto di minimo o massimo dell’equazione della parabola. Può anche essere definito come l’intersezione tra la parabola stessa e il suo asse di simmetria.

Asse di simmetria: è la retta che divide la parabola in due parti uguali.

Fuoco: la sua distanza da un generico punto della parabola è uguale alla distanza dello stesso punto dalla direttrice.

Direttrice: la sua distanza da un generico punto della parabola è uguale alla distanza dello stesso punto dal fuoco.

 

EQUAZIONE PARABOLA PARALLELA ASSE Y

Y=AX2+BX+C

Se la parabola è rivolta verso l’alto allora a>0, se la parabola è rivolta verso il basso a<0.

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DIMOSTRAZIONE EQUAZIONE PARABOLA

Per scrivere l’equazione della parabola, si considera la direttrice parallela all’asse x. Per cui y=d è l’equazione della direttrice e F(p,q) il fuoco della parabola. Se P(x,y) è il suo generico punto, applicando la definizione di parabola, l’equazione si può dimostrare scrivendo:

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A questo punto si pongono i vari coefficienti di x2, x e termine noto pari ad a,b e c per ottenere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y.

 

Y=AX2+BX+C

 

CASI PARTICOLARI

Nel caso in cui b=c=0 e a=1, l’equazione della parabola diventa y=ax2+bx+c → y=ax2  che è la parabola con vertice nell’origine, asse di simmetria verticale e rivolta verso l’alto.

 

COME DISEGNARE UNA PARABOLA

Così come per disegnare una retta sono sufficienti 2 punti, per disegnare una parabola ne bastano 3. A partire dall’equazione della parabola y=ax2+bx+c, si può calcolare subito il vertice (per il quale passa verticalmente l’asse di simmetria) e poi un punto. Di questo punto si disegna la simmetrica rispetto all’asse. Congiungendo i 3 punti si ottiene la parabola. Vediamo un caso concreto.

 

ESEMPIO:

Rappresentare graficamente la parabola di equazione: y=2×2-5x-3

La parabola, che ha asse di simmetria verso verticale, è rivolta verso l’alto perché a=2>0. Possiamo così concentrarci sul calcolo delle coordinate del vertice.

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Calcolo a questo punto un generico punto appartenente alla parabola imponendo un valore a mia scelta alla x. Per esempio per x=0 (troverò così l’intersezione con l’asse y) y=2×2-5x-3 → y=-3 → Il punto è A(0;-3) che riportiamo nel piano cartesiano.

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L’asse di simmetria è verticale (perché a>0) e passa sempre per V quindi possiamo già disegnarlo (lo vedi tratteggiato in rosso in figura). Con un righello misuriamo la distanza dal punto A all’asse di simmetria (nell’immagine questa distanza è indicata in verde con la lettera d). Abbiamo ottenuto così il punto A’. Unendo i tre punti (AA’V) otterremo una parabola…

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Determinare l’equazione della parabola avente fuoco F(1;-2) e direttrice y=-4. Determina anche vertice e asse.

 

Risultato: y = x²/4 – x/2 – 11/4

 

Raggio della circonferenza

 – come si calcola? Quale formula bisogna usare?

 

COME SI TROVA IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA A PARTIRE DALL’EQUAZIONE

 

CASO 1

Il caso più semplice è quello in cui si ha a disposizione l’equazione:

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In questo caso per trovare il raggio di una circonferenza è sufficiente fare la radice quadrata del termine noto (cioè del numero) che si trova a destra dell’uguale. Vediamo un esempio pratico.

Determinare il raggio della circonferenza di equazione x²+y²=16

La formula si presenta con C=(α,β)=(0,0) e r²=16

Facendo la radice quadrata del termine noto a destra si ottiene la misura del raggio.

r=√16=4.

 

CASO 2

Il caso più frequente si ha quando l’equazione è quella generale:

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In questo caso il valore del raggio non è immediatamente riconoscibile, per cui bisogna utilizzare la formula:

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dove a, b e c sono i coefficienti presenti nell’equazione generica della circonferenza. Proviamo a mettere in pratica questa formula con un esercizio svolto.

Determinare il raggio della circonferenza di equazione x²+y²-2x+4y-20=0

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Per evitare errori stupidi, ti consigliamo di utilizzare le parentesi tonde e i quadrati in maniera corretta così come abbiamo fatto noi in questo esempio. In questo modo l’esercizio diventa molto più semplice e non rischi di sbagliare.

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ESERCIZI SUL CALCOLO DEL RAGGIO DI UNA CIRCONFERENZA

Esistono degli esercizi un po’ più complessi che sicuramente ti capiterà di affrontare. Per questa ragione ti invitiamo a risolverli assieme a noi, seguendo passo passo lo svolgimento fino ad arrivare alla soluzione.

 

ESERCIZIO 1

Determinare il raggio della circonferenza di diametro AB con A(-1:2) e B(3;8).

Ti ricordi che cos’è il diametro? E’ il segmento, passante per il centro, che unisce due punti differenti sulla circonferenza. Essendo il doppio del raggio, ci basta calcolare il diametro AB e poi dividere il risultato per 2. Per trovare il segmento AB usiamo la formula della distanza tra due punti.

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Da notare che nell’ultimo passaggio è stata svolta una razionalizzazione di radicali. A questo punto possiamo scrivere che r=AB/2

r=√13

 

ESERCIZIO 2

Calcolare il raggio della circonferenza di centro C(-1;2) e passante per A(3;8).

Ti ricordi la definizione di raggio? E’ il segmento che unisce il centro con un punto qualsiasi della circonferenza stessa. Per cui possiamo calcolare semplicemente la distanza tra i punti A e C per ottenere il raggio r.

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Fascio di rette proprio e improprio

 – con esercizi svolti

 

PREMESSA PER DISTINGUERE IL FASCIO PROPRIO E IMPROPRIO

Il punto proprio non è altro che il punto geometrico a cui siamo stati abituati sin dalla geometria elementare, per cui non ci dilunghiamo nella sua spiegazione. Il punto improprio per definizione è invece il punto che va all’infinito. Non lo vediamo sulla carte perché si trova in una posizione lontanissima, irraggiungibile. Le rette parallele le abbiamo definite come rette che non si incontrano mai. In realtà nei programmi universitari di disegno, si dice che esse in realtà si incontrano nel punto improprio. Per cui riepilogando:

 

il fascio di rette proprio → è un insieme di rette che hanno un unico punto in comune.

il fascio di rette improprio → è un insieme di rette parallele.

 

IL FASCIO DI RETTE PROPRIO

Il fascio proprio di rette per definizione è un insieme di rette che si intersecano in un unico punto proprio.

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Il punto in comune a tutte le rette C si chiama Centro del Fascio. Il fascio di rette proprio nel piano cartesiano si studia ricordando la formula di una retta passante per un punto e di coefficiente angolare dato.

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Infatti tutte le rette del fascio proprio passano per un punto ( il centro del fascio) e di variabile hanno solo l’inclinazione, che in geometria analitica si rappresenta con il coefficiente angolare m.

Esiste una diversa formula per il fascio proprio, che si basa sulle rette generatrici:

 

(ax+by+c)+k(a’x+b’y+c)=0.

 

Si tratta di una combinazione lineare delle rette generatrici e per trovare il centro basta mettere a sistema le rette delle equazioni del fascio proprio.

 

IL FASCIO DI RETTE IMPROPRIO

Per definizione il fascio di rette improprio è l’insieme di tutte le rette parallele ad una data retta data.

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Il coefficiente angolare m si suppone fisso, dato che tutte le rette del fascio improprio hanno la stessa inclinazione. Il termine noto q dell’equazione della retta deve necessariamente variare. L’equazione di un fascio di rette improprio è quindi:

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Una volta capito che cos’è un fascio improprio o un fascio proprio di rette e quali sono le equazioni che regolano le figure studiate, la parte teorica è praticamente finita. Vi mostriamo ora un paio di esercizi svolti piuttosto semplici…

 

FASCIO DI RETTE – ESERCIZI SVOLTI

 

Esercizio 1

Dato il fascio di rette improprie con retta base r:x+3y=0, troviamo l’equazione della retta del fascio passante per P(-2,-1).

Quello che ci sta chiedendo l’esercizio è di trovare il fascio di rette per un punto. Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta:

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A questo punto posso scrivere già l’equazione del fascio improprio di rette. m infatti è fisso mentre q possiamo lasciarlo come lettera, dato che è variabile:

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Imponiamo ora l’appartenenza del punto P(-2:-1) al fascio improprio. Cioè sostituiamo le coordinate del punto nell’equazione del fascio.

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ESERCIZIO 2

Date le rette di equazione r:x+y+1=0 e s:2x-y=0, queste generano un fascio proprio. Determinare il centro del fascio.

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ESERCIZI DA SVOLGERE

Per assicurarvi di aver capito cosa sono i fasci di rette e come si svolgono gli esercizi, ecco qualche problema con cui potete esercitarvi.

 

1) Determina la retta del fascio improprio y=3x+q passante per il punto P(+1;-4)

2) Nel fascio y=-2x+q determina a retta r che dista 4raq5 dal punto P(-2;+1)

Suggerimento: ricordati come si calcola la distanza di un punto da una retta

3) Determina il centro del fascio proprio di rette di equazione:

(3k-1)x+2ky-k+5=0

Suggerimento: cerca di “manipolare” l’equazione che ti è stata fornita in modo da ottenere quella principale del fascio proprio con le due rette generatrici. Intersecale ed avrai il centro.

4) Scrivi l’equazione del fascio proprio di centro C(2;4)

 

Intersezione tra due rette

 – come trovare le coordinate del punto

 

CALCOLO DEL PUNTO DI INTERSEZIONE DI DUE RETTE

Il metodo risolutivo che stiamo per analizzare può essere applicato all’intersezione di due rette, ma è valido per qualsiasi tipo di curva, che sia una circonferenza, una parabola, un’ellisse… la tecnica non cambia.

Per trovare il punto di intersezione tra rette, è sufficiente impostare un sistema di equazioni composto dalle equazioni della retta. Quindi al primo rigo metteremo l’equazione della prima retta, al secondo rigo ci sarà l’equazione della seconda retta.

Vediamo di spiegare con un esempio. Immaginiamo di dover trovare l’intersezione tra le due rette y=mr · x+qr e y=mr · x+qr, ti basta andare a risolvere un sistema in cui in ogni riga andrai a scrivere le due equazioni. Quindi metterai una parentesi graffa e poi le equazioni delle due rette una sopra l’altra (non ha importanza quale scrivi in alto e quale in basso). Ti sarà tutto più chiaro vedendo gli esercizi che ti riportiamo di seguito, assieme al risolutore online…

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A questo punto la lezione vera e propria di geometria analitica è conclusa perché si passa ad un esercizio di algebra, cioè ad un sistema di primo grado da risolvere con uno dei metodi visti :

 

sostituzione (il più usato dagli studenti)

somma o differenza (il più rapido ma non sempre applicabile)

confronto e Cramer (meno utilizzati)

 

Vediamo dei casi pratici, così da vedere praticamente come si calcola il punto di intersezione.

 

ESERCIZI SULL’INTERSEZIONE TRA DUE RETTE

 

ESERCIZIO 1

Determinare le coordinate del punto di intersezione tra le due rette r:y=1/4x-1/2 e s:y=-x+5

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Come puoi vedere per risolvere il sistema è stato usato il metodo della sostituzione. Siamo arrivati rapidamente a trovare la soluzione dell’esercizio, calcolando le coordinate x ed y del punto di intersezione. Infine ti abbiamo incluso il grafico, che va sempre disegnato negli esercizi di geometria analitica.

 

ESERCIZIO 2

Tracciare il grafico delle due rette e il loro punto di intersezione. r:y=-1/3x+2/3, s:y=3x-1/2

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ESERCIZIO 3

Determinare l’intersezione tra le due rette nel piano cartesiano. r: -4x+4y-12=0 e s:2x-y+5=0

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In questo caso l’esercizio, o meglio il sistema algebrico tra le due equazioni, è stato risolto usando il metodo della somma. E’ stato cioè moltiplicata la seconda equazione per 2 (entrambi i membri) così da ottenere lo stesso coefficiente della x (ma in segno opposto). A questo punto è bastato sommare le due equazioni per arrivare rapidamente alla soluzione.

 

INTERSEZIONE TRA RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Ti ricordi quali caratteristiche hanno in geometria analitica le rette parallele e perpendicolari nel piano cartesiano? Dicemmo che nel primo caso le rette hanno stesso coefficiente angolare (Esempio: m1=m2=3), nel secondo caso l’inverso e con il segno cambiato (Esempio: m1=2, m2=-1/2).

Dal punto di vista teorico, la spiegazione è molto semplice: le rette perpendicolari si risolvono come tutte le altre, non hanno nessuna differenza. Mentre le rette parallele non si intersecano mai, per cui ci troveremo di fronte ad un sistema impossibile. Non ci credi? Guarda questo esempio…

Cerca di trovare il punto di intersezione tra due rette parallele: y=x+1 e y=x+4.

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In questo facile esempio abbiamo usato il metodo della sottrazione per risolvere il sistema che, di fatto, è impossibile! Cioè non esistono punti di intersezione tra le due rette.

 

Distanza punto retta

 – esercizi svolti e dimostrazione

 

Per distanza punto retta si intende la formula grazie alla quale è possibile calcolare la distanza di un punto da una retta in geometria analitica. Per poterla applicare sono necessari:

– le coordinate di un punto P

– l’equazione della retta r.

 

DEFINIZIONE

Ecco alcune definizioni che si trovano sui libri di testo. Puoi scegliere quella che ritieni più semplice.

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– La distanza punto retta è la misura del segmento che dal punto P cade perpendicolarmente sulla retta r.

– La distanza di un punto da una retta è la proiezione ortogonale del punto P sulla retta r.

– E’ la distanza minima tra il punto P e tutti i punti appartenenti alla retta r.

d(P,r)=min{d(P,R), con R∈r}

 

DISTANZA PUNTO RETTA FORMULA

In geometria analitica tutto ciò si traduce in una semplice formula. Dati quindi:

 

– un punto di coordinate P(xP,yP);

– l’equazione della retta implicita r: ax+by+c=0

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Quindi la distanza di un punto da una retta si calcola facendo il valore assoluto della somma dei prodotti delle coordinate dei punti per i coefficienti della retta, fratto la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti della retta.

 

ALCUNI SUGGERIMENTI

 

– assicurati che l’equazione della retta sia nella forma implicita (cioè al secondo membro devi avere 0). Se il problema dovesse darti la forma esplicita, ricordati di trasformarla in implicita prima di calcolare la distanza punto retta.

– il valore assoluto rende il numeratore positivo, per cui la misura della distanza sarà sempre un valore positivo. Se ci pensi è anche normale: come fanno due oggetti ad essere distanti tra loro ad esempio -100 metri?

 

DIMOSTRAZIONE

La dimostrazione della distanza di un punto da una retta non è particolarmente complessa, ma si basa su quanto già studiato in precedenza. In genere non viene richiesta a lezione, ma la riportiamo per completezza per chiunque voglia approfondire.

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Data la retta generica r:ax+by+c=0, dobbiamo calcolare la distanza dal punto P(x0,y0). Questo vuol dire che dovrà passare una retta perpendicolare alla retta r e passante per P. Nella scorsa lezione abbiamo parlato di retta passante per un punto e abbiamo studiato la formula y-y0=m(x-x0).

137-

Una volta individuata l’equazione della retta s perpendicolare a r e passante per P, occorre mettere a sistema le due rette e trovare il loro punto di intersezione T. Infine si calcolano la distanza tra i due punti P e T e la dimostrazione è conclusa.

 

ESERCIZI SVOLTI

 

ESERCIZIO 1

Calcolare la distanza punto-retta dove P(2,3) e r:x+y-1=0

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L’esercizio n.1 è abbastanza banale, basta sostituire i dati nella formula vista in alto e il problema è risolto. Nella parte finale, vi abbiamo ricordato come si fa a razionalizzare una radice quadrata. Se dovessero esserci problemi su questi calcoli, ti consigliamo di riguardarti la lezione sulle radici.

 

1) Calcolare la distanza di P(4,3) da r:y=2x-3 –> PROVA A RISOLVERLO COME ESERCIZIO PER CASA

 

SUGGERIMENTO: In questo secondo esercizio parti dall’equazione in forma esplicita della retta e trasformala in implicita. In questo modo ti riconduci al caso precedente, per cui abbiamo individuato la distanza punto-retta.

 

ESERCIZIO 2

Calcola la distanza del punto P(0;6) dalla retta che passa per i punti A(2,3) e B(1/2;1)

Quello che si può subito notare è che la traccia ci chiede di calcolare la distanza tra punto e retta, ma non ci fornisce direttamente quest’ultima. Sappiamo solo che la retta r passa per i punto A e B. Quindi la prima operazione è quella di utilizzare la retta passante per 2 punti.

139-

A questo punto, avendo calcolato la retta, possiamo utilizzare le conoscenze apprese oggi. In particolare:

140-FINE GEOM.ANAL. - 3

Data 26 ottobre 2019

GEOMETRIA ANALITICA – 2

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Equazione della retta implicita ed esplicita

 

L’equazione della retta nel piano cartesiano rappresenta tutti i punti che appartengono alla generica retta r. In geometria analitica essa si descrive attraverso un’equazione di primo grado con le incognite x e y

Primi di vedere qual è l’equazione generale della retta, facciamo un breve ripasso su questo ente geometrico fondamentale che si studia anche nelle scuole primarie. Che cos’è la retta? E’ un insieme infinito di infiniti punti allineati.

La formula della retta può essere scritta in due diversi modi, cioè in due forme che permettono di risolvere ogni tipo di esercizio o problema. Stiamo parlando della forma esplicita ed implicita. Sono perfettamente equivalenti e spetterà poi a te decidere quale utilizzare. Ecco le due equazioni della retta.

44-INIZIO GEOME.ANALI. - 2

EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA IMPLICITA

ax+by+c=0

 

Ti ricordiamo che le incognite sono x e y, mentre a,b e c sono dei coefficienti numerici che individuano in maniera precisa ed univoca la posizione nel piano cartesiano della retta. Possiamo a questo punto distinguere 3 casi:

Se a=0, l’equazione della retta diventa

by+c=0 → y=-b/c

 

Anche by+c è un’equazione di primo grado, per cui rappresenta anch’essa la formula di una retta. Tuttavia manca l’incognita x. In questo caso abbiamo una retta che mantiene la sua y sempre costante, cioè pari a -b/c. Si tratta quindi dell’equazione di una retta orizzontale.

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PROMEMORIA: quando quindi trovi una retta a cui manca la x e che si presenta nella forma y=k, dove k può essere un numero qualsiasi, anche una frazione o una radice, allora hai una retta orizzontale.

 

Se b=0, l’equazione della retta implicita diventa:

ax+c=0 → x=-c/a

 

Ho quindi un’equazione di primo grado con un’unica incognita, la x che è costante e pari a -c/a. Se la x deve restare sempre uguale, vuol dire che ho una retta verticale.

Quando quindi ho una formula con x=numero vuol dire che sto parlando di una retta verticale.

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PROMEMORIA: quando trovi una retta a cui manca la y e si presenta nella forma x=k, dove k è un qualsiasi numero, allora hai una retta verticale, cioè parallela all’asse delle y.

 

Se c=0, l’equazione della retta implicita diventa:

ax+by=0

 

Che rappresenta l’equazione della retta passante per l’origine degli assi (di qualsiasi inclinazione)

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Se tutti i coefficienti della retta sono diversi da zero, allora ho semplicemente l’equazione della retta generica espressa in forma implicita

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EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA ESPLICITA

La forma più utilizzata per esprimere l’equazione della retta generica è attraverso l’uso della forma esplicita. E’ la più usata perché, vedremo, permette già subito di capire in maniera approssimativa come sarà il grafico. L’equazione della retta esplicita è:

 

y=mx+q

 

dove m è il coefficiente angolare della retta, q è l’intercetta sull’asse delle ordinate o termine noto.

 

CHE COS’È IL COEFFICIENTE ANGOLARE M?

Il coefficiente angolare di una retta indica semplicemente la sua inclinazione. Se il coefficiente angolare è positivo allora la retta tenderà all’infinito al primo e terzo quadrante. Se m<0, allora la retta sarà inclinata in modo che all’infinito si troverà nel secondo e quarto quadrante.

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Il termine noto, o intercetta sull’asse delle ordinate, invece, molto semplicemente mi dice a quale ordinata la retta si interseca con l’asse y. Nell’ultima immagine possiamo vedere che in entrambe le rette (sia per coefficiente angolare negativo che positivo) il termine noto è q, cioè l’ordinata del punto di intersezione tra retta e asse y.

 

QUANDO UN PUNTO APPARTIENE AD UNA RETTA?

Si tratta di una verifica che si rende talvolta necessaria nello svolgimento degli esercizi. Verificare se il punto appartiene alla retta (o a una qualsiasi figura) è semplicissimo: è sufficiente andare a sostituire le coordinate del punto all’interno della formula della figura e verificare che il primo membro sia uguale al secondo membro.

Verificare che il punto 0(0;0) appartiene alla retta y=4x. Sostituisco x=0 e y=0 (cioè le coordinate dei punti) all’interno della formula della retta, per ottenere zero uguale a zero. Se i membri non fossero stati uguali, allora il punto non sarebbe appartenuto alla retta.

 

EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

Per prima cosa verifichiamo che i due punti non abbiano stessa ascissa o stessa ordinata. Nel primo caso infatti avremmo una semplice retta verticale (di equazione y=l’ascissa in comune), nel secondo caso una retta orizzontale (di equazione x=ordinata in comune).

Imponiamo il passaggio dei due punti (A e B) per la retta generica di equazione y=mx+q. Sostituiamo la x e la y di  A nell’equazione della retta generica y=mx+q. Faccio la stessa cosa con il punto B ed ottengo così due equazioni dove le incognite sono m e q. Risolvo con un sistema di equazioni di primo grado e ottengo il risultato. Vediamo con un esempio: troviamo l’equazione della retta passante per due punti A(0;0) B(1,2)

50-

COME DISEGNARE UNA RETTA DATA L’EQUAZIONE

Il nostro consiglio è di trasformare l’equazione della retta sempre in forma implicita, cioè y=mx+q. Una volta arrivati a questo punto ci costruiamo un piccolo schemino in cui andiamo ad assegnare due valori a nostra scelta alla x, calcolando la y di conseguenza. Otterremo così due punti, basta disegnarli, congiungerli e otteniamo quindi la retta.

Vediamo con un esempio pratico, come muoverci. Disegnare la retta di equazione y=3x-2.

 

 – Assegno un primo valore arbitrario alla x. Ad esempio x=0. Lo sostituisco nell’equazione della retta: y=3x-2=0-2=-2. Ho ottenuto il punto di coordinate (0;-2)

– Assegno un secondo valore arbitrario alla x. Ad esempio x=1. Lo sostituisco nell’equazione della retta data: y=3x-2=1. Ho ottenuto il secondo punto di coordinate (1;1)

– Disegno la retta sul piano cartesiano.

51-

Il metodo è valido per l’equazione della retta in forma implicita ed esplicita.

 

ESERCIZI SULL’EQUAZIONE DELLA RETTA

ESERCIZIO 1

Scrivere l’equazione del luogo dei punti di ascissa -9

Svolgimento

Quando trovi una traccia con questo tipo di richiesta, vuol dire che dobbiamo trovare l’equazione di una retta in cui tutte le y siano pari a -9. Tradotto in linguaggio matematico, questo significa che y=-9. Questa è l’equazione di una retta orizzontale che si trova sotto l’asse delle ascisse. Dato che non ci viene richiesto il grafico, l’esercizio è concluso.

 

ESERCIZIO 2

Determiniamo l’equazione delle retta passante per due punti A(2,3) B(0;4)

Svolgimento

Non avendo ancora studiato l’equazione della retta per due punti, usiamo il metodo visto sopra. Cioè sostituiamo prima il punto A nella formula della retta e poi il punto B. Iniziamo subito.

y=mx+q

A(2;3) → 2m+q=3

B(0;4) → 0x+q=4 → q=4

Sostituiamo il valore di q trovato nella prima equazione come se fosse un normale sistema di primo grado per ottenere così:

q=4

2m+4=3 → 2m=-1 → m=-1/2

Per cui l’equazione della retta è: y=-1/2 m + 4.

 

 ESERCIZIO 3

Scriviamo l’equazione della retta r passante per O(0,0) e A(+2,-3) e verifichiamo che il punto B(1,1) non vi appartiene e il punto C(-4,+6) vi appartiene.

Svolgimento

La prima parte dell’esercizio è identica alla precedente. Per cui risolviamo subito:

y=mx+q

0(0;0) → 0=0m+q → q=0

A(+2;-3) → 2m+q=3

Sostituisco il valore di q, per ottenere:

2m+0=3 → m=3/2

L’equazione della retta per i due punti è:

y=3/2 x

 

Dobbiamo verificare ora l’appartenenza del punto B(1;1) e C(-4;+6) alla retta. Sostituiamo le sue coordinate nella formula della retta appena trovata e vediamo se ci esce un’identità o meno.

y=3/2x

B(1;1) → 1=3/2(1) → Impossibile, il punto non appartiene alla retta.

C(-4;+6) → 6=3/2 (4) → 6=6 E’ un’identita, il punto appartiene alla retta.

 

ESERCIZIO 4

Determiniamo il coefficiente angolare della retta s:-6x+2y+3=0

Svolgimento

Per calcolare il coefficiente angolare m di una retta, è necessario passare da forma implicita a esplicita. Per farlo basta isolare la y al primo membro dell’equazione.

-6x+2y+3=0

2y=6x-3

y=3x-3/2

Il coefficiente angolare è m=3.

 

Punto medio di un segmento

 – formula ed esercizi nel piano cartesiano

 

Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in due parti uguali. In geometria analitica esiste una formula molto semplice che permette di calcolare le coordinate del punto medio nel piano cartesiano, noti i due estremi del segmento.

 

DEFINIZIONE DI PUNTO MEDIO

Dato un segmento di estremi A e B, si definisce punto medio del segmento, quel punto M che divide il segmento in due parti uguali.

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La definizione vista si applica non solo allo spazio bidimensionale (cioè al piano cartesiano), ma anche allo spazio tridimensionale.

ATTENZIONE: è sbagliato parlare di punto medio di una retta. Quest’ultima è infatti un ente geometrico di infinite dimensione per cui è impossibile trovarne la metà. Si parla invece di punto medio del segmento, proprio perché quest’ultimo ha una dimensione finita e compresa tra due punti (detti estremi)

 

FORMULA DEL PUNTO MEDIO NEL PIANO CARTESIANO

Siano date le coordinate degli estremi del segmento A(xA; yA) e B(xB ; yB) ci sono due semplici formule che permettono di calcolare le coordinate del punto medio M(xM; yM).

53-

Per calcolare il punto medio tra due punti è sufficiente cioè fare la media delle ascisse e delle ordinate. Anche per questa ragione su alcuni vecchi libri di testo M è indicato come punto mediano.

In base alla formula vista possiamo dire quindi che:

 

– l’ascissa del punto medio è pari alla semisomma delle ascisse dei due estremi;

– l’ordinata del punto medio è pari alla semisomma delle ordinate dei due estremi.

 

FORMULE INVERSE

Se è noto un estremo e il punto medio del segmento, è possibile calcolare il secondo estremo applicando la formula inversa. Per trovare ad esempio il punto B:

54-

 

ESERCIZI SVOLTI

Abbiamo capito come si calcola il punto medio o meglio quali sono le formule da usare. Vediamo ora nella pratica come si risolve un problema di geometria che richiede il calcolo di M.

 

ESERCIZIO 1

Calcolare il punto medio del segmento AB dove le coordinate del punto sono A(1;2) B(3;6).

Per risolvere questo facile problema semplicemente applichiamo le formule viste in questa lezione. Otteniamo quindi il punto M:

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ESERCIZIO 2

Noti i due estremi di un segmento A e B con le coordinate riportate sotto, determinare il punto medio.

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ESERCIZI DA RISOLVERE

Ora prova tu a risolvere i seguenti esercizi ricordandoti la lezione sulla distanza tra due punti. Determina la distanza e il punto medio tra le seguenti coppie di punti:

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Le formule sulla circonferenza

 – la tabella riepilogativa completa

 

Riassumiamo in questa pagina tutte le principali formule sulla circonferenza, da quelle utilizzate nella geometria piana e che si studiano anche alle scuole medie, sino a quelle più avanzate di geometria analitica per gli studenti delle scuole superiori.

Nella figura che segue ti abbiamo disegnato una circonferenza: le formule e le lettere saranno tutte riferite a questa prima immagine.

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CIRCONFERENZA FORMULE GEOMETRIA PIANA

Le formule che seguono sono quelle base per calcolare la circonferenza, l’area del cerchio, la misura del raggio o del diametro. Vengono studiate già nelle scuole inferiori.

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CIRCONFERENZA FORMULE – GEOMETRIA ANALITICA

Abbiamo già visto qual è e come si ricava l’equazione della circonferenza generica nella forma canonica. La ripetiamo in questa lezione riepilogativa:

 

x²+y²+ax+by+c=0

 

FORMULA PER CALCOLARE LA CIRCONFERENZA NOTO IL RAGGIO E CENTRO

(x-α)²+(y-β)²=r²

 

dove alfa e beta sono le coordinate cartesiane del centro C(α;β). Attenzione a non confondere queste due coordinate con a,b e c che sono invece i tre coefficienti della circonferenza espressa nella forma canonica.

Da questa equazione è facile calcolare la formula della circonferenza con centro nell’origine.

 

x²+y²=r²

 

Da notare che quando il raggio è 1, cioè quando si parla di raggio unitario, si ha quella che viene chiamata circonferenza goniometrica.

60-

Tutte quelle che abbiamo visto fino ad ora sono le formule della circonferenza che si trovano generalmente su tutti i libri di testo. Quelle che ti mostriamo di seguito sono invece delle formule che si ricavano dall’esperienza e che possono essere utilizzate in tantissimi problemi di geometria analitica.

 

FORMULA PER CALCOLARE IL RAGGIO NOTO IL CENTRO E UN PUNTO DELLA CIRCONFERENZA

In questo caso semplicemente si sfrutta la definizione di circonferenza: è il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro. Poiché quindi il raggio si tiene costante, semplicemente basta calcolare la distanza tra due punti.

Dato il centro C(α;β) e un punto della circonferenza P(xP,yP), il raggio si calcola con la formula:

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FORMULA DELLA CIRCONFERENZA PER 3 PUNTI

In questo caso si impone l’appartenenza di ogni singolo punto alla circonferenza. Come? Si sostituiscono le sue coordinate al posto della x e della y nella formula della circonferenza. Visto che sono 3 punti, ci saranno 3 equazioni in 3 incognite (a, b e c). Si ottiene quindi un sistema di equazioni di primo grado.

 

Dati quindi tre punti generici P1(xP1;yP1), P2(xP2;yP2) e P3(xP3;yP3), il sistema che si va a costruire è:

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CONCLUSIONI

Nello svolgimento degli esercizi, ti renderai conto che non sempre la circonferenza ha formule precise da usare, ma spesso si tratta di metodi di calcolo. E’ il caso ad esempio degli esercizi sulle tangenti alla circonferenza.

 

L’equazione della circonferenza in geometria analitica

 

L’equazione della circonferenza in geometria analitica può essere espressa in due diversi modi. Per determinarla in maniera univoca servono necessariamente 3 dati, perché proprio 3 sono le incognite di questa equazione. In questa lezione vedremo tutto quello che c’è da sapere sulla formula dell’equazione della circonferenza. Metteremo infine in pratica quanto appreso attraverso degli esempi svolti e degli esercizi commentati e con soluzione.

Ovviamente prima di partire con la formula della circonferenza, è necessario fare un brevissimo richiamo su questa figura geometrica. Dagli studi delle scuole inferiori è noto che, per definizione:

La circonferenza per definizione è il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro.

Questo significa che tutti i punti della circonferenza hanno la stessa distanza dal centro e tale distanza si chiama raggio. Il centro e il raggio sono proprio i due punti più importanti di questa figura anche in geometria analitica.

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dove:

 

α, β sono le coordinate del centro C;

r è il raggio della circonferenza;

a, b, c sono tre coefficienti che influenza posizione e dimensione della circonferenza.

 

QUALE EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA BISOGNA USARE?

Generalmente la prima equazione viene usata quando si conoscono il centro e il raggio. La seconda equazione si usa invece in tutti gli altri casi, come per esempio l’appartenenza di un punto alla circonferenza, la condizione di tangenza con una retta o un’altra qualsiasi curva…

 

LE FORMULE PER TROVARE RAGGIO E CENTRO

Mentre nella prima equazione il centro e il raggio si trovano anche a occhio visto che sono esplicitati, nell’equazione generale della circonferenza servono le due seguenti formule:

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Con le ultime due formule puoi calcolare centro e raggio qualsiasi sia l’equazione generica della circonferenza. Ti saranno quindi molto utili nello svolgimento degli esercizi.

 

DIMOSTRAZIONE DELL’EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

Abbiamo detto che la distanza di un generico punto P di coordinate generiche x e y dal centro C di coordinate α e ß (alfa e beta) deve essere pari al raggio. Quindi i nostri dati sono:

 

P(x;y) – punto generico che appartiene alla circonferenza

C(α;ß) – centro della circonferenza

r – raggio della circonferenza

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Quella che vedi è l’equazione circonferenza generale, formula molto importante da ricordare e da cui poi ricavare raggio e centro grazie alla tabella che stai per vedere.

 

EQUAZIONE CIRCONFERENZA, CARATTERISTICHE

Una domanda che spesso crea problemi agli studenti è come riconoscere l’equazione della circonferenza? Cioè come si fa a stabilire se un’equazione rappresenta una circonferenza oppure un’altra generica curva? Le condizioni che devono verificarsi sono le seguenti:

 

– l’equazione è di 2° grado, sia nell’incognita x che y

PROBLEMA DI VERIFICA: prova a calcolare il raggio della circonferenza. Se è uguale a 0 oppure minore di 0, certamente non si tratta di una circonferenza! (utilizza questo criterio in tutti gli esercizi in cui ti viene chiesto di verificare se una determinata equazione è una circonferenza)

– Infine guarda i coefficienti dei termini di secondo grado. Devono essere uguali, altrimenti potresti essere di fronte all’equazione dell’iperbole o dell’ellisse.

 

A questo punto analizziamo assieme quelli che sono i casi più ricorrenti e le difficoltà più frequenti nel risolvere gli esercizi sulla circonferenza.

 

ESERCIZI SULL’EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

ESERCIZIO 1

Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(0;0) e r=2.

 

(x-α)²+(y-β)²=r²

C=(α;β)=(0;0)

r=2

(x-0)²+(y-0)²=2²

x²+y²=4

 

ESERCIZIO 2

Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(0;3) e raggio=2.

 

(x-α)²+(y-β)²=r²

C=(α;β)=(0;3)

r=2

(x-0)²+(y-3)²=2²

x²+y²-6y+9=4 → Portiamo tutti i termini noti al primo membro

x²+y²-6y+9-4=0

x²+y²-6y+5=0

 

ESERCIZIO 3

Stabiliamo quali delle seguenti equazioni rappresentano una circonferenza e in caso affermativo determinare centro e raggio.

 

a) x²+y²-2x+3y+4=0

 

Verifica 1: i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali.

Verifica 2: verificare che il raggio sia maggiore di 0.

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r=√(1+9/4-4) <0 NON E’ UNA CIRCONFERENZA

 

b) x²+y²+√2x-4y-5=0

 

Verifica 1: anche in questo caso i coefficienti di x² e y² sono identici (cioè pari a 1)

Verifica 2: il raggio deve essere maggiore di zero.

 

a²/4 + b²/4 – c = 1/2 +4 + 5 = 19/2 >0 → L’equazione rappresenta una circonferenza

Il centro è: C(-a/2;-b/2)=(-√2/2;2)

Il raggio è: r=√(19/2)=(√38)/2

 

Nell’ultimo passaggio è stata eseguita una razionalizzazione dei radicali.

 

c) x²+y²-2x-6y+10=0

 

Poiché a²/4 + b²/4 – c = 1 + 9 – 10 = 0, l’equazione è soddisfatta unicamente da x=1 e y=3. In poche parole significa che la circonferenza di raggio 0 non è altro che un punto. Per cui  NON è una circonferenza.

 

ESERCIZIO 4

Determiniamo per quali valori di k, l’equazione x²+y²+2x-6y+k=0 rappresenta una circonferenza.

Deve essere  a²/4 + b²/4 – c >0

Quindi:

1-9-k>0

E’ una disequazione di primo grado molto facile da risolvere.

k<10

 

Trovare l’equazione della circonferenza per tre punti

 

L’equazione della circonferenza per tre punti si determina andando a creare una sistema di tre equazioni di primo grado in tre incognite. Su ogni riga del sistema andremo a sostituire le coordinate del singolo punto nell’equazione della circonferenza.

In questa lezione vedremo come impostare e risolvere i problemi sul calcolo della circonferenza passante per tre punti, analizzando sia il metodo grafico (meno utilizzato perché meno preciso) e quello generalmente usato in geometria analitica.

 

I METODI USATI

Quando ti viene assegnato a scuola o a casa un esercizio dal titolo: Calcolare la circonferenza passante per tre punti e ti vengono date le coordinate di questi ultimi, allora puoi decidere di scegliere due diversi metodi:

 

– Il metodo grafico o geometrico

– Il metodo algebrico o analitico

 

METODO ANALITICO

Il metodo algebrico è molto più facile dal punto di vista concettuale, non servono molti ragionamenti se non quello di imporre la condizione di appartenenza del punto alla figura. Per cui si sostituiscono, in tre diverse equqzioni le coordinate di ciascuno dei punti al posto della x e della y nell’equazione generale della circonferenza.

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Si ottiene così un sistema di tre equazioni in tre incognite (a,b e c) che si può risolvere con il metodo di sostituzione oppure con somma/differenza.

Come puoi vedere dal punto di vista concettuale il metodo è molto sbrigativo, ma attenzione a non fare errori nello svolgimento del sistema. Basta un solo errore di segno e non si riuscirà mai a trovare una soluzione all’esercizio.

 

METODO GRAFICO E GEOMETRICO

E’ meno usato rispetto al primo metodo perché necessità di molti più passaggi, di ragionamento e della conoscenza di un teorema:

Considerato un triangolo inscritto in una circonferenza, il punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo è il centro della circonferenza.

 

Si ricorda che l’asse di un segmento è perpendicolare a questo e passa per il suo punto medio. Possiamo quindi suddividere questo esercizio in vari step:

 

1) Si mettono i tre punti dati dalla traccia sul grafico, cioè sugli assi cartesiani.

2) Si uniscono i tre punti per disegnare il triangolo inscritto alla circonferenza da calcolare.

3) Si calcolano le rette corrispondenti ai tre lati – quindi si usa la formula della retta passante per 2 punti. In realtà bastano due rette per il calcolo.

4) Per i due lati calcolo il punto medio.

5) Di questi due lati, individuo la retta passante per il punto medio e di coefficiente angolare noto (si usa la m perpendicolare al lato).

6) Si intersecano le due rette appena determinate ed abbiamo trovato il centro della circonferenza per 3 punti.

7) Si fa la distanza dal centro con uno qualsiasi dei tre punti ed abbiamo il raggio.

8) Noti il raggio e il centro si può calcolare l’equazione della circonferenza per 3 punti.

 

Come hai potuto vedere si tratta di un metodo un po’ laborioso, cioè servono 9 passaggi per risolverlo ma i calcoli sono molto semplici da risolvere rispetto al metodo algebrico che vedremo dopo. Per renderti tutto più semplice, ti abbiamo proposto in basso alcuni esercizi svolti sul calcolo della circonferenza per tre punti.

 

ESERCIZI SVOLTI ED ESEMPI

Ti proponiamo ora un primo esempio in cui mettere in pratica i metodi che abbiamo appena visto. Risolveremo questo esercizio, cioè, sia con il metodo grafico e che con quello algebrico. Vediamo subito la traccia:

Determinare l’equazione della circonferenza passante per tre punti P1(2, 2), P2(3, 3), P3(6, 0) .

 

SVOLGIMENTO CON IL METODO ANALITICO

Con questo metodo si fanno più calcoli, ma certamente riusciamo a calcolare l’equazione della circonferenza per tre punti in maniera più facile, ma attenzione a non fare errori di calcolo.

Iniziamo imponendo l’appartenenza di P1, P2 e P3 alla circonferenza, scrivendo 3 diverse equazioni da mettere a sistema.

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*Il sistema è stato risolto con il metodo della somma e della differenza. Per far in modo che i coefficienti di a e b potessero essere sottratti tra loro abbiamo moltiplicato la prima riga per 3 e la seconda riga per 2. In questo modo si ottengono 6a e 6b in entrambe le equazioni che possono a questo punto essere sottratte.

Ti sarai accorto che i risultati sono differenti, ma se provi ad eseguire una scomposizione di polinomi, noterai che il risultato è identico.

 

SVOLGIMENTO CON IL METODO GEOMETRICO

La prima cosa da fare è disegnare sul grafico i tre punti ed unirli formando un triangolo.

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Invece di ragionare su tutti e tre i lati, mi occupo solo di due di loro. Basterà infatti mettere a sistema le equazioni dei loro due assi per ottenere il centro della circonferenza passante per i 3 punti dati. Dato che l’asse di un segmento è la retta che passa per il punto medio, inizio calcolando i punti medi dei lati P1-P2 e P1-P3. Avresti potuto scegliere anche il lato P2-P3, non sarebbe cambiato nulla.

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L’asse del segmento, inoltre, è perpendicolare ai lati. Ricordando la definizione di rette parallele e perpendicolari, per calcolare gli assi dei due lati che sto considerando ho bisogno delle equazioni delle loro rette. A quel punto mi basterà considerare il coefficiente angolare, cambiarlo di segno e “capovolgerlo”, cioè elevarlo a -1, per ottenere la m dell’asse del lato.

Uso allo scopo la formula della retta per 2 punti:

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A questo punto mi basta utilizzare la formula della retta passante per 1 punto e coefficiente angolare noto. Avrò ottenuto così gli assi dei segmenti, cioè gli assi dei lati del triangolo inscritto alla circonferenza passante per 3 punti.

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Per calcolare infine il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo, cioè della circonferenza per 3 punti, mi basta calcolare la distanza dal centro da uno qualsiasi dei punti dati dalla traccia.

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TRACCE ED ESERCIZI DA RISOLVERE

Puoi continuare ora ad esercitarti con le tracce che ti proponiamo di seguito.

A(0;2), B(2;4), C(1;0)

A(0;0), B(6;0), C(0;3)

A(1;2), B(0;-1), C(-1;+1)

 

Coordinate Cartesiane e assi cartesiani

 – esercizi e teoria

 

Gli assi cartesiani sono due rette orientate che vanno a definire il piano di lavoro in geometria analitica. E’ proprio sul piano cartesiano che vengono definiti gli enti geometrici fondamentali come punto e retta attraverso l’individuazione di quelle che vengono definite coordinate cartesiane.

Gli assi cartesiani rappresentano il sistema di riferimento senza il quale non potremmo disegnare neanche un punto. Ci permettono l’individuazione nello spazio delle figure geometriche ed è proprio grazie al piano cartesiano che si individua una corrispondenza biunivoca tra gli oggetti della realtà e quelli disegnati sul tuo foglio di lavoro.

Detto in poche parole, grazie al piano cartesiano puoi disegnare le figure geometriche che altrimenti non riusciresti mai a posizionare senza alcun riferimento.

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Questo significa che fissando un numero sulla retta orientata, andando nel verso della freccia si va verso numeri maggiori. Andando dall’altro senso si va verso numeri minori. Così come puoi vedere in immagine:

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Consideriamo ora due rette orientate che si intersecano perpendicolarmente nel punto O, detto origine degli assi cartesiani. In questo sistema di riferimento orientato vengono indicate con:

 

x l’asse delle ascisse

y l’asse delle ordinate

 

ASSI CARTESIANI E QUADRANTI

Come puoi vedere dalla figura in alto, siamo partiti considerando solo i valori positivi delle ascisse e delle ordinate. In realtà, volendo disegnare gli assi cartesiani completi, andremo a disegnare anche le zone negative.

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Le rette orientate così individuate mi dividono il foglio di lavoro, più in generale possiamo dire che dividono il piano, in 4 aree, chiamate quadranti del piano cartesiano. Partendo dal primo in alto a destra e muovendoci in senso antiorario, abbiamo I quadrante, II quadrante, III quadrante e IV quadrante. Ognuno di questi si caratterizza per avere dei valori, o meglio dei segni differenti per il sistema ascissa e ordinata.

 

– Il primo quadrante sugli assi cartesiani è formato interamente da coppie di coordinate cartesiane positive. Qui infatti sia la x che la y sono positive.

(+ ; +)

– Sul secondo quadrante invece disegneremo tutti i punti con ascisse negativa e ordinata positiva.

( – ; + )

– Sul terzo quadrante individueremo solo coordinate cartesiane negative, sia le ascisse che le ordinate ( – ; – ).

– Sul quarto quadrante invece le ascisse saranno positive e le ordinate negative ( + ; – )

 

COORDINATE CARTESIANE DI UN PUNTO

Sul grafico in alto abbiamo individuato un generico punto P, le cui coordinate si indicano tra parentesi con un punto e virgola. La prima è la coordinata l‘ascissa x, cioè Px, mentre la seconda coordinata è l’ordinata y, cioè Py.

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Per disegnare un punto sugli assi cartesiani in geometria analitica, sono sufficienti quindi due coordinate cartesiane, la x e la y, quindi l’ascissa e l’ordinata. La prima la posizioneremo sulla retta orizzontale, cioè sull’asse delle ascisse, mentre la seconda coordinata cartesiana la individueremo sulla retta verticale, cioè sull’asse delle ordinate.

 

ESERCIZI SUGLI ASSI CARTESIANI

DISEGNARE IL PUNTO PARTENDO DALLE COORDINATE CARTESIANE

Come esercizio di questa breve lezione iniziale proveremo a posizionare alcuni punti sugli assi cartesiani:

 

A(+1,-3)

 

Come detto in precedenza, in base al punto, consideriamo le due coordinate cartesiane.

 

Ascissa= +1

Ordinata= -3

 

Quindi mi sposto di “un passo” a destra e tre verso il basso. Dato infatti che la y è negativa, invece di andare verso l’alto sulla retta orientata delle ordinate, mi muoverò verso il basso. Ottengo così il punto come in figura:

80-

Qualsiasi siano i numeri delle ascisse e delle ordinate del punto, che siano interi, numeri relativi, radicali, eccetera, il concetto non cambia. L’ascissa va collocata sull’asse orizzontale, l’ordinata sull’asse verticale.

 

PIANO CARTESIANO, ESERCIZI DA SVOLGERE

Puoi provare tu stesso a disegnare i seguenti punti:

B (-3;-2)      C (+5;0)      D (-1;+1)      E (+3;-3)

 

Baricentro del triangolo

 – che cos’è e come si calcola?

 

Il baricentro del triangolo è il punto di intersezione delle tre mediane. Per poterlo disegnare è sufficiente disegnare la mediana relativa ad ogni lato e il loro punto in comune viene chiamato baricentro.

 

CHE COS’È IL BARICENTRO DI UN TRIANGOLO

Ne abbiamo già dato una definizione: è il punto di intersezione delle mediane del triangolo. Ti ricordi che cos’è la mediana? E’ il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. Proviamo quindi a disegnare il baricentro di un triangolo scaleno acutangolo.

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Dato il generico triangolo ABC, abbiamo disegnato le mediane relative ad ogni lato. Dalla loro intersezione si ottiene il punto H, baricentro del triangolo.

 

CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ DEL BARICENTRO

Ti ricordi che l’ortocentro e il circocentro potevano essere anche esterni alla figura? Per il baricentro dei triangoli, ciò non può accadere per cui la prima proprietà di questo punto è:

 

– il baricentro del triangolo è un punto sempre compreso nel perimetro della figura;

– il baricentro divide ogni mediana in due parti. Quella che contiene il vertice è il doppio dell’altra.

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In base alla proprietà appena vista, possiamo dire che AH=2HM2.

– il baricentro di un triangolo equilatero coincide con l’ortocentro e con il circocentro.

 

IL BARICENTRO DEL TRIANGOLO IN GEOMETRIA ANALITICA

Questa seconda parte della lezione è dedicata agli studenti delle scuole superiori che stanno studiando geometria analitica. Esiste una formula che, dati i vertici del triangolo, permette di calcolare il baricentro in pochi semplici passaggi.

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dove A, B e C sono i tre vertici del triangolo di cui sono note le coordinate cartesiane.

Per calcolare le coordinate del baricentro del triangolo bisogna quindi:

 

– fare la media aritmetica delle ascisse dei tre vertici. Cioè si sommano le tre x e si fa il risultato diviso 3. In questo modo si ottiene l’ascissa del baricentro.

– fare la media aritmetica delle ordinate dei tre vertici. Cioè si sommano le tre y e si fa il risultato diviso 3. In questo modo si ottiene invece l’ordinata del baricentro.

 

ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI

ESERCIZIO 1

Dato il triangolo di vertici A(6;0) B(2;2) e C(7;7), calcolare le coordinate del baricentro G.

Applichiamo subito la formula appena vista. Possiamo così scrivere che:

 

xG=(6+2+7)/3=15/3=5

yG=(0+2+7)/3=9/3=3

G(5;3)

 

ESERCIZIO 2

Dato il triangolo con baricentro G(5;3) e noti due vertici A(6;0) e B(2;2), determinare il terzo vertice C.

Si tratta dello stesso esercizio visto prima ma questa volta bisogna fare il procedimento al contrario. Cioè dovremo usare la formula inversa del baricentro per trovare uno dei vertici. Riscriviamo così la formula come l’abbiamo vista prima, esplicitando tutti i dati forniti dalla traccia e lasciando le coordinate di C come incognita.

 

xG=(xA+xB+xC)/3 → 5=(6+2+x)/3 → 15=6+2+x → x=15-6-2

xC=7

yG=(yA+yB+yC)/3 → 3=(0+2+y)/3 → 9=2+y

yC=7

C(7;7).

 

CONCLUSIONI

Il calcolo del baricentro di un triangolo in geometria analitica è una delle operazioni più semplici di tutto il programma. Proprio per questo troverai ben pochi esercizi che te lo richiederanno. Tuttavia è utile da sapere e da ricordare qualora dovesse servire.

 

Esercizi sulla parabola

 – un’esercitazione completa svolta, commentata passo passo e con risultati

 

ESERCIZI PARABOLA  PER 3 PUNTI

Calcolare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y e passante per i punti A(-1;0), B(0;3) e C(-3;6).

Svolgimento

La parabola deve avere equazione del tipo:

y=ax²+bx+c

 

A questo punto bisogna imporre l’appartenenza di ogni singolo punto alla parabola. Come si fa? Semplicemente sostituendo le coordinate di ogni singolo punto nell’equazione generale appena indicata. Quindi, indicando con la lettera greca γ (gamma) la parabola, possiamo scrivere che:

 

A(-1;0) γ → 0=a(-1)²+b(-1)+c → 0=a-b+c

B(0;3) γ → 3=a(0)²+b(0)+c → c=3

C(-3;6) γ → 6=a(-3)²+b(-3)+c → 6=9a-3b+c

 

Abbiamo praticamente ottenuto un sistema di primo grado con tre equazioni. Possiamo risolvere con il metodo della sostituzione, ma se preferiamo anche con somma o differenza, o Cramer.

 

a=b-3

c=3

2=3(b-3)-b+1

 

a=2

c=3

b=5

 

Per cui il risultato finale diventa:

y=2x²+5x+3

 

ESERCIZI PARABOLA NOTI IL FUOCO E LA DIRETTRICE

Scriviamo l’equazione della parabola avente fuoco F(-1;0) e direttrice d:y=2.

L’esercizio può essere risolto in due modi differenti.

 

1) Costruiamo un sistema di primo grado, come nell’esercizio sulla parabola svolto prima. Su un rigo mettiamo xf=-b/2a=-1, sul secondo rigo mettiamo yf=0=(-Δ+1)/4a e nel terzo rigo usiamo l’equazione della direttrice. d:y=(-Δ-1)/4a=2

2) Il secondo metodo invece è più rapido e sfrutta direttamente la definizione di parabola, intesa come il luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice.

 

Risolviamo con proprio con il secondo metodo indicando con P(x,y) il generico punto della parabola. Disegniamo i dati a disposizione ricordando che se la direttrice è una retta orizzontale (come in questo caso), allora la parabola ha asse parallelo alle y.

84-

Da notare che il segmento PH non è altro che la distanza punto retta a P fino a d:y=2. PF invece si calcola con la formula della distanza tra due punti. Visto che nella formula della distanza c’è una radice quadrata, eleviamo entrambi al quadrato.

 

PH²=PF²

(y-2)² = (x+1)²+y²

y²-4y+4=x²+2x+1+y²

-4y=x²+2x- 3

y=(-1/4) x² – 1/2 x + 3/4

 

ESERCIZI PARABOLA NOTI FUOCO E VERTICE

Determiniamo l’equazione della parabola avente il fuoco F(2;1) e il vertice V(2;-1).

Questo esercizio sulla parabola si può risolvere in due modi.

 

1) Il vertice si trova nel punto medio del segmento FH perpendicolare alla direttrice. Perciò la direttrice ha equazione y=-3. Noti il fuoco e la direttrice possiamo procedere come nell’esercizio svolto precedente. Lasciamo a te la risoluzione come esercitazione.

2) Scriviamo un sistema utilizzando le formule relative alla coordinate del fuoco e del vertice. Indicata con y=ax²+bx+c l’equazione della parabola richiesta, si ha:

85-

Sottraiamo membro a membro la seconda e la terza equazione, per ottenere dopo pochi subito l’incognita a e poi di conseguenza tutte le altre.

86-

ESERCIZI PARABOLA NOTI VERTICE E DIRETTRICE

Determiniamo l’equazione della parabola avente vertice V(0;3) e direttrice d:x=1/4.

La parabola ha equazione del tipo x=ay²+by+c. Infatti la direttrice è parallela all’asse y, per cui l’asse di simmetria sarà orizzontale. Scriviamo quindi un sistema utilizzando i dati messi a disposizione dalla traccia, così come fatto negli esercizi svolti precedenti.

 

-b/2a=3

(4ac-b²)/4a=0

4ac-36a²-1=a

 

b=-6a

c=9a

a=-1

 

a=-1

b=6

c=-9

 

Perciò l’equazione richiesta è x=-y²+6y-9

 

ESERCIZI PARABOLA PASSANTE PER 1 PUNTO E NOTO IL FUOCO

Determiniamo l’equazione della parabola avente asse parallelo all’asse y, fuoco F(-1/4;-1) e passante per il punto P(0;-1).

L’equazione della parabola è del tipo:

y=ax²+bx+c

Poiché F(-1/4;-1), possiamo scrivere un sistema di due incognite con le formule delle sue coordinate:

 

xF=-1/4=-b/2a

yF=-1=(4ac-b²+1)/4a

 

b=1/2a

c=(1/4 a² – 1 – 4a) / 4a

 

Sostituiamo i valori di b e c, espressi in funzione di a, nell’equazione della parabola:

87-

Come puoi osservare dal risultato, abbiamo ottenuto due valori del coefficiente a. Questo vuol dire che ci sono due parabole che soddisfano il sistema.

 

γ1: y=-2x²-x-1

γ2: y=2x²+x-1

 

ESERCIZIO PARABOLA CON IL PARAMETRO K

Data la parabola di equazione

y = kx² + (k+1)x – 2

determiniamo per quali valori di k:

 

1) la parabola passa per P(1;2)

2) il suo vertice appartiene alla retta y=x+1

3) il suo vertice ha ascissa positiva

4) il suo vertice si trova nel terzo quadrante

 

SVOLGIMENTO

Primo punto

Le coordinate del punto P devono soddisfare l’equazione della parabola. Perciò sostituiamo le sue coordinate al posto della x e della y dell’equazione dataci dalla traccia dell’esercizio.

2=k+k+1-2

2k=3

k=3/2

 

Secondo punto

Le coordinate del vertice in funzione di k sono:

88-

Da notare che nel penultimo passaggio abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado, risolta con il metodo del delta.

 

Punto terzo

L’ascissa del vertice è xv=-[(k+1)/2k], perciò deve essere valida la disequazione.

-[(k+1)/2k]>0

(k+1)/2k<0

Si ottiene un falso sistema con:

 

k+1>0 → k>-1

2k>0 → k>0

 

Si mette tutto su un piccolo grafico applicando la regola dei segni + – e si prendono i segni negativi.

-1<k<0

 

Punto quarto

Le coordinate del vertice devono essere entrambe negative, perciò, poiché

89-

Abbiamo quindi semplicemente cambiato i segni e invertito i versi della disequazione.

 

– La prima disequazione è verificata, facendo un breve falso sistema, per -1<k U k>0;

– La seconda disequazione:

N>0 → k²+10k+1>0 → k<-5-2√6 U k>-5+2√6

D>0 → k>0

Si tratta di una disequazione fratta, per cui dopo il falso sistema si mette sul grafico e si prendono valori positivi.

90-

Mettiamo a questo punto a sistema le due disequazioni, osservando il seguente schema.

91-FINE GEOM.ANAL. - 2

Per cui il sistema è verificato per:

-5-2√6<k<-1 U k>0.

 

Data 25 ottobre 2019

GEOMETRIA ANALITICA – 1

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La geometria analitica è una branca della matematica che si occupa dello studio delle figure geometriche nel piano cartesiano.

 

Retta passante per due punti

 – formula ed esercizi svolti

 

EQUAZIONE RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

Vediamo subito come trovare l’equazione di una retta che passa per due punti A e B di cui sono note le coordinate.

1-INIZIO GEOME.ANALI. - 1

dove i due punti sono A(xA, yA) e B(xB, yB).

 

OSSERVAZIONI E CONSIGLI

E’ possibile osservare che l’equazione è formata da un’uguaglianza tra due frazioni. Il primo termine al numeratore del primo e del secondo membro è senza pedice.

La y e la x che vedi senza il pedice vanno lasciate sotto forma di lettera

Questo perché x e y sono le variabili dell’equazione della retta y=mx+q finale che otterremo.

La formula della retta passante per due punti vista ora, è valida solo quando xA è diverso da xB e quando yA è diverso da yB. In parole povere non si può applicare nel caso in cui si abbia un retta orizzontale o una retta verticale.

 

RETTA PER DUE PUNTI ORIZZONTALE/VERTICALE

Retta verticale: x=k → nel caso in cui i due punti abbiano stessa ascissa. L’equazione della retta sarà l’ascissa stessa che hanno in comune.

 

Esempio:

Calcolare l’equazione della retta che passa per i punti A(3;2) e B(3;0)

Svolgimento: In questo caso l’equazione della retta sarà x=3.

Retta orizzontale: y=k → nel caso in cui siano uguali le ordinate dei due punti, allora l’equazione della retta sarà y uguale all’ordinata stessa.

 

Esempio:

Calcolare la retta passante per i due punti A(0;1) B(5,1)

Svolgimento: in questo caso l’equazione sarà invece y=1.

 

DIMOSTRAZIONE FORMULA RETTA PER 2 PUNTI

Poiché la retta passa per i due punti A e B, vuol dire che questi due appartengono alla retta. Imponiamo dal punto di vista matematico questa appartenenza, andando a sostituire in due equazioni separate le coordinate di A e B nell’equazione della retta esplicita.

 

y=mx+q

 

# Sostituisco le coordinate di A: yA=m·xA+q

# Sostituisco le coordinate di B: yB=m·xB+q

 

Dato che la retta passa per i due punti contemporaneamente, vuol dire che ho un sistema di primo grado che posso risolvere con la tecnica della sottrazione per trovare le incognite m e q.

 

yA=m·xA+q   –

yB=m·xB+q  =

____________

(yB-yA) = m (xB-xA)

 

Posso ricavare la prima incognita m, ovvero il coefficiente angolare della retta passante per due punti:

2-

A questo punto posso sostituire in una delle due equazioni del sistema:

3-

Nell’ultimo passaggio abbiamo semplicemente diviso tutta l’equazione per yB-yA. A questo punto mettiamo in evidenza la parentesi tonda al secondo membro. In questo modo otteniamo la formula della retta per due punti.

4-

ESERCIZI SVOLTI

Abbiamo capito, anche grazie alla dimostrazione l’equazione di una retta passante per 2 punti. Ora proviamo a svolgere assieme qualche esercizio guida.

 

ESERCIZIO 1

Trovare l’equazione della retta passante per 2 punti A(-5;0) e B(3;2).

Svolgimento

Applichiamo semplicemente la formula vista.

5-

L’esercizio si è dimostrato molto semplice. Unica attenzione al doppio segno al secondo membro.

 

ESERCIZIO 2

Calcolare l’equazione della retta per due punti A(0;0) e B(1/2, -3).

Svolgimento

Anche in questo caso è sufficiente andare a sostituire i numeri. Attenzione alla doppia frazione al secondo membro.

6-

CONCLUSIONI

Abbiamo visto che per trovare le rette per due punti servono sostanzialmente solo le coordinate dei punti stessi. Si tratta di un calcolo semplice su cui, però, bisogna fare attenzione ai segni.

 

Coefficiente angolare di una retta

 – come si calcola? Formule ed esercizi

 

Il coefficiente angolare si indica in genere con la lettera m ed esprime la pendenza della retta, ovvero la sua inclinazione rispetto all’asse delle ascisse.

Il coefficiente angolare, in geometria analitica, lo si ritrova nell’equazione della retta y=mx+q e si calcola in vari modi. In questa lezione vedremo in maniera semplice (ma completa) tutto quello che c’è da sapere sui coefficienti angolari: dalla relazione con l’angolo dell’inclinazione della retta alle formule per calcolarlo.

 

CHE COS’È IL COEFFICIENTE ANGOLARE?

Definizione: il coefficiente angolare di una retta indica la pendenza di quest’ultima.

7-

Ti ricordi l’equazione e la definizione di retta? Il coefficiente angolare è quel numero (compreso di segno) che trovi davanti la x. Facciamo un esempio:

 

y=-2x+3

 

Il coefficiente angolare è -2. Da notare che abbiamo incluso il segno meno e non la x, che è invece la variabile dell’equazione della retta.

NOTA: se davanti la x non vedi numeri, vuol dire che è sottinteso 1.

 

COME SI CALCOLA IL COEFFICIENTE ANGOLARE?

CON LA RETTA IN FORMA ESPLICITA

In questo caso hai l’equazione nella forma y=mx+q. Il calcolo del coefficiente angolare è estremamente semplice, visto che ti basta prendere il segno e il numero che trovi prima della x. Esattamente come nell’esempio precedente.

 

CON LA RETTA IN FORMA IMPLICITA

In questo caso l’equazione è nella forma ax+by+c=0. La tecnica di calcolo più semplice ed immediata è di trasformare l’equazione nella forma esplicita e seguire la regola vista prima.

Se vuoi una formula diretta, puoi utilizzare:

 

ax+by+c=0 → m = -a/b

 

Ovviamente il termine b deve essere diverso da 0 altrimenti ci ritroviamo di fronte ad un’equazione differente e che rappresenta invece una retta verticale (ax+c=0)

 

COEFFICIENTE ANGOLARE E PENDENZA DELLA RETTA

Abbiamo detto che il coefficiente m di una retta è strettamente legato alla sua pendenza. Che relazione c’è però con l’angolo che si forma con l’asse delle ascisse?

In realtà il coefficiente angolare non rappresenta l’angolo, bensì la sua tangente. Cioè, in riferimento alla figura vista sopra:

 

m= tg α

 

Quindi possiamo dire brevemente che il coefficiente angolare è la tangente dell’angolo α.

 

PROPRIETÀ E VALORI NOTI

 

– Il coefficiente angolare è negativo se la retta è una funzione decrescente, cioè se è inclinata verso il basso.

– E’ nullo se si tratta di una retta orizzontale.

– Se la retta è verticale, il valore m non esiste. Per chi ha studiato analisi si può dire che m=∞.

– La bisettrice del primo e terzo quadrante ha m=1.

– La bisettrice del secondo e quarto quadrante ha m=-1.

 

COEFFICIENTE ANGOLARE DI RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Visto che le rette parallele hanno stessa inclinazione, allora hanno anche lo stesso coefficiente angolare. Le rette perpendicolari sono ruotate di 90° l’una rispetto all’altra. Per questa ragione la m1=-1/m2.

8-

Il fascio improprio di rette è un’estensione del concetto di parallelismo. Visto che il fascio è formato interamente da rette parallele, allora l’equazione del fascio avrà un unico valore di m. Ciò che varia è invece l’intercetta all’origine.

 

COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA PER 2 PUNTI

Nel caso in cui la traccia ci fornisca le coordinate di due punti A e B, è possibile individuare il coefficiente della retta che passa per A e per B.

9-

ESERCIZI CON IL CALCOLO COEFFICIENTE ANGOLARE

ESERCIZIO 1

Determinare il coefficiente angolare della retta di equazione -2x+5y+3=0

Svolgimento

Come detto in precedenza, per evitare di imparare altre formule a memoria, conviene trasformare l’equazione della retta da implicita e esplicita. Per cui:

-2x+5y+3=0 → 5y=2x-3

y= 2/5 x – 3

m= 2/5

 

ESERCIZIO 2

Calcolare il coefficiente angolare della retta passante per A(2;5) e B(-3;0).

Svolgimento

In questo caso o utilizziamo la formula vista in precedenza, o quella generica di retta per due punti.

10-

 

Distanza tra due punti

 – la formula completa e semplificata con degli esercizi svolti

 

La distanza tra due punti A e B è il segmento AB che li congiunge. Su alcuni testi viene definita come la distanza più breve per passare da un punto all’altro.

 

FORMULA DISTANZA TRA DUE PUNTI

La formula generale

11-

Quella che ti abbiamo appena mostrato è la formula della distanza tra due punti generici A(xA,yA) B(xB, yB) che si può applicare in qualsiasi circostanza e con qualsiasi tipo di punti.

Tuttavia ci sono alcuni casi che ci permettono di semplificare tantissimo i calcoli.

 

DISTANZA TRA DUE PUNTI AVENTI STESSA ASCISSA

Immaginiamo di avere i due punti che hanno stessa ascissa (e quindi sono disposti lungo una retta verticale). La formula per il calcolo della della distanza tra due punti è:

12-

E’ sufficiente cioè fare la differenza tra le ordinate. Non è importante quale io consideri A e quale B. Il risultato sarà lo stesso.

 

DISTANZA TRA DUE PUNTI AVENTI STESSA ORDINATA

La formula per calcolare la distanza tra due punti aventi stessa ordinata è:

13-

E’ sufficiente cioè fare la differenza tra le ascisse. Anche in questo caso non importa quale punto sia nella formula A e quale B, il risultato sarà lo stesso.

 

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA GENERALE

Proviamo a vedere un caso concreto per la dimostrazione. Abbiamo i punti A(-5;3) e B(1;1). Il segmento AB, che nel disegno è indicato con la lettera c minuscola, è la distanza tra due punti che dobbiamo calcolare.

Si può notare, tracciando ascisse e ordinate dei due punti in modo tratteggiato che si genera un triangolo rettangolo di lati a, b, c. Dove:

 

# il lato a si ottiene attraverso la sottrazione yA-yB

# il lato b si ottiene attraverso la sottrazione xA-xB

# il lato c è l’ipotenusa del triangolo rettangolo (e anche la distanza tra due punti)

14-

La formula per la distanza tra due punti è particolarmente semplice. Basta fissare i due punti dati dalla traccia come A e B e sostituire le rispettive coordinate nella formula vista. SI otterrà un numero, non meravigliamoci se sotto radice, che sarà la lunghezza del segmento.

 

DISTANZA TRA DUE PUNTI, ESERCIZI SVOLTI

ESERCIZIO 1

Calcoliamo la distanza tra due punti nel piano cartesiano della seguente coppia: A(1;2) e B(1;-3/2)

Poiché i due punti hanno la stessa ascissa (x=1), allora posso applicare la formula per calcolare la distanza tra due punti aventi stessa ascissa.

15-

ESERCIZIO 2:

Proviamo ora a calcolare la distanza tra i due punti nel piano cartesiano:

E(-1;+1)   F(+2:+3)

Non avendo alcuna coordinata uguale, devo applicare la generica formula per il calcolare la distanza tra due punti. Per cui posso scrivere:

16-

ESERCIZI DA RISOLVERE

Calcolare la distanza tra le seguenti coppie di punti:

 

A(-1;+2)  B(-1;+4)

C(+5;+4)  D(√2;+4)

E(+1/2;+1)  F(+2;+3/2)

 

Si tratta di un argomento estremamente semplice per cui non è necessario dilungarsi con tanti esercizi. Si può passare direttamente al calcolo del punto medio tra due punti.

 

Circonferenze concentriche

 – definizioni, formule avanzate ed esercizi

 

CIRCONFERENZE CONCENTRICHE DEFINIZIONE

Due circonferenze sono concentriche quando hanno lo stesso centro.

Quindi per disegnare due circonferenze concentriche basta puntare il compasso nello stesso centro e semplicemente modificarne l’apertura.

17-

PROPRIETÀ E CARATTERISTICHE

La porzione di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche si chiama corona circolare (l’area in giallo nel disegno sotto).

18-

Se le due circonferenze, oltre ad avere lo stesso centro, hanno anche lo stesso raggio si dicono concentriche e congruenti. Sul significato di quest’ultima parola ti rimandiamo alla lezione sui lati congruenti.

Le circonferenze congruenti sono un caso particolare di circonferenze interne.

19-

Come puoi vedere nella figura due circonferenze concentriche sono necessariamente interne, ma non è vero il contrario. Cioè due figure interne non necessariamente sono concentriche. In quest’ultimo caso, se c’è un punto in comune, allora si hanno due circonferenze tangenti.

 

ALCUNI SPUNTI AVANZATI DI GEOMETRIA ANALITICA

Ti ricordi qual è l’equazione della circonferenza in geometria analitica?

20-

Al variare del parametro k varia il raggio, mentre il centro resta sempre lo stesso.

Esempio

Calcolare l’equazione del fascio di circonferenze concentriche con centro nell’origine.

Svolgimento

21-

 

Area del cerchio

– come si calcola? Ecco le formule da usare

 

QUAL È L’AREA DEL CERCHIO?

Per definizione è la superficie racchiusa all’interno della circonferenza. Su altri libri di testo troverai anche scritto che l’area del cerchio è la porzione di piano delimitata da una circonferenza.

22-

Anche per questa ragione su alcuni libri di matematica si parla di area della circonferenza, anche se in maniera impropria.

 

PROPRIETÀ

Tutti i punti che appartengono al cerchio hanno distanza con il centro minore o uguale al raggio.

 

AREA CERCHIO FORMULA

Di seguito sono elencate tutte le formule per calcolare l’area del cerchio. Data una circonferenza di lunghezza C, raggio r, diametro d, valgono le seguenti relazioni.

23-

Per quanto riguarda il valore di pi greco, generalmente è possibile approssimare a 3,14.

 

AREA DEL CERCHIO COL RAGGIO

E’ la formula più facile e che consigliamo di memorizzare. Per calcolare l’area della circonferenza è sufficiente moltiplicare il raggio al quadrato per 3,14, cioè per pi greco.

24-

Esempio

Calcolare l’area di un cerchio che ha un raggio che misura 10 cm.

Svolgimento

Basta semplicemente applicare la formula della superficie del cerchio.

25-

AREA DEL CERCHIO DATO IL DIAMETRO

E’ molto utile quando nei problemi viene data la misura del diametro. Tuttavia, piuttosto che imparare una seconda formula a memoria, è più rapido dividere la sua lunghezza per 2, così da ottenere il raggio ed usare la prima formula.

Ad ogni modo per trovare l’area di un cerchio noto il diametro basta elevarne la misura al quadrato, moltiplicare per 3,14 e poi dividere per 4.

26-

Esempio

Calcolare l’area del cerchio di diametro pari a 10 cm.

Svolgimento

27-

AREA DEL CERCHIO DATA LA CIRCONFERENZA

In questo caso conviene utilizzare la formula inversa della circonferenza, così da calcolare il raggio. Di seguito si può ricavare così la misura della superficie del cerchio.

In alternativa si può usare la formula diretta:

28-

Esempio

Calcolare l’area della circonferenza che misura 100 cm.

Svolgimento

29-

CONCLUSIONI

abbiamo visto come, per il calcolo dell’area del cerchio, esistano 3 diverse formule. Non è importante però impararle tutte a memoria, basta ricordarne la prima.

 

Come disegnare una retta nel piano cartesiano

 

Come disegnare rette sul piano cartesiano partendo dall’equazione y=mx+q. L’argomento è estremamente pratico e ti aiuterà a capire come si fa la rappresentazione grafica di una retta.

Vedremo un metodo molto semplice che ti aiuterà a capire come si disegna una retta nel piano cartesiano semplicemente individuando due punti che vi appartengono

 

COME SI DISEGNA UNA RETTA DATA L’EQUAZIONE

Partiamo dall’equazione della retta y=mx+q. Dalla geometria elementare sappiamo che per due punti passa una e una sola retta. Questo significa che per disegnare il grafico servono due punti. Ma quali? E’ molto facile: si costruisce una piccola tabella, assegnando un valore arbitrario alla x e calcolando la y di conseguenza.

Quindi, riepilogando, la x puoi sceglierla tu: quindi in genere ti conviene pensare assegnarle dei valori semplici (come 0 o 1) e calcolare la y di conseguenza.

 

Esempio:

y=2x+1

 

– Assegnando x=0, posso ricavare y=1 e questo sarà il primo punto.

– Assegnando x=1, allora y=3, ottengo il secondo punto.

 

Date le coordinate del punto sul piano cartesiano, mi basta disegnarli e unirli. Vediamo quindi passo passo come disegnare una retta nel piano cartesiano:

 

– Data l’equazione esplicita della retta

– Si disegna una tabella a forma di croce in cui nell’angolo in alto a sinistra metto x, a destra metto y

– Assegno un primo valore a mia scelta alla x

– Calcolo la y, andando a sostituire il valore dato alla x nell’equazione della retta

– Ho così trovato il primo punto

– Assegno un secondo valore alla x

– Calcolo la y, andando a sostituire di nuovo il valore dato alla x all’interno della formula della retta

– Ho così trovato il secondo punto

– Unisco i due punti e ho disegnato la retta

 

SUGGERIMENTI, CONSIGLI E PICCOLI TRUCCHI DEL MESTIERE

Ti abbiamo consigliato di partire dall’equazione della retta esplicita perché in questo modo hai la possibilità di vedere sin da subito due parametri importanti: m e q. Certamente non puoi disegnare la pendenza di una retta (ricordati che m, cioè la pendenza, è la tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse delle x). Questo parametro ti è però utile perché:

 

– se m è positivo la retta parte in basso a sinistra e va verso l’alto a destra, cioè è crescente.

– se m è negativo vuol dire che la retta è decrescente.

– se m=1 allora la retta è inclinata a 45 gradi (o π/4 espresso in radianti).

– se m= 0 allora ho una retta orizzontale

 

Se invece il parametro q è uguale a 0, ricordati che la retta deve essere passante per l’origine.

 

ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI

Esercizio 1Disegnare una retta di equazione y=1/2x-1

30-

In questo primo esercizio abbiamo direttamente la pendenza m=1/2 e l’intercetta sull’asse delle y, cioè q=-1. Avendo l’equazione già in forma esplicita possiamo disegnare direttamente la tabella. Come valori arbitrari alla x abbiamo assegnato 0 e 2 calcolando di conseguenza i valori della y.

 

Esercizio 2Disegnare una retta di equazione y=5x-9

31-

Questo ultimo esercizio si risolve esattamente come il precedente. Assegno due valori arbitrari alla x (in questo caso 0 e 1 per semplicità) e calcolo di la y con l’equazione della retta. Disegno i due punti, li unisco ed ottengo la retta.

 

DOVE E COME APPLICARE IL METODO STUDIATO

Il metodo che abbiamo visto può essere utilizzato, utilizzando le opportune formule, per:

 

– disegnare una retta dati due punti generici –> Formula: retta passante per due punti

– disegnare una coppia di rette parallele –> Formula: Le rette parallele nel piano cartesiano

– disegnare una retta conoscendo il coefficiente angolare e un punto – Formula da usare: retta passante per un punto e coefficiente angolare noto

 

Ellisse formule ed equazioni

 – il formulario completo

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35-

ALCUNI APPROFONDIMENTI SULLE FORMULE DELL’ELLISSE

Così come la circonferenza, la formula dell’ellisse è di tipo quadratico. Entrambe le incognite compaiono con l’esponente 2, ma a differenza della circonferenza hanno un coefficiente diverso. Inoltre non sono presenti termini di primo grado o termini misti come xy, per cui la figura è sempre simmetrica rispetto ai suoi due assi perpendicolari.

 

Altra caratteristica in comune con la circonferenza è che la formula dell’ellisse canonica è un’equazione che non rappresenta una funzione. Ti ricordi la definizione di funzione? … ad ogni valore di x si associa uno e un solo valore di y. Se provi a guardare il grafico dell’ellisse e tiri una linea verticale all’interno della figura, ti renderai conto che ci sono due punti di intersezione. Cioè per un valore di x ci sono due valori di y differenti, per cui l’equazione dell’ellisse non è una funzione.

 

Le formule dell’ellisse sono diverse a seconda che i fuochi si trovino sull’asse delle x o su quello delle y. Nel primo caso la figura avrà un’estensione orizzontale all’interno del piano cartesiano. Nel secondo caso sarà disposta in modo verticale, cioè con l’asse maggiore parallelo all’asse delle ordinate.

La figura ha 4 vertici che corrispondono alle intersezioni con gli assi, simmetrici tra loro rispetto proprio rispetto agli assi.

Per quanto riguarda infine l’eccentricità dell’ellisse, è questo un parametro che misura lo schiacciamento della figura geometrica rispetto agli assi. Più l’eccentricità è bassa e più la figura tende a schiacciarsi. I due casi estremi sono:

 

e=0 → l’eccentricità è nulla, per cui l’ellisse degenera in un segmento.

e=1 → l’eccentricità è massima, per cui l’ellisse degenera in una circonferenza.

 

FORMULE ELLISSE TRASLATA

Data l’ellisse γ, applichiamo a questa la traslazione di vettore v(x0;y0), otteniamo la figura:

36-

La nuova curva γ0 è un’ellisse avente il centro O'(x0;y0) e assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani e di equazioni rispettivamente x=x0 e y=y0. La formula dell’ellisse traslata è l’equazione:

37-

 

Eccentricità ellisse

 – che cos’è e come si misura?

 

DEFINIZIONE DI ECCENTRICITÀ ELLISSE

L’eccentricità dell’ellisse è un parametro utile a capire quanto questa figura geometrica sia schiacciata sul suo asse maggiore. Matematicamente si calcola facendo il rapporto tra la distanza tra i due fuochi e la lunghezza dell’asse maggiore.

Nella lezione riepilogativa sull’ellisse, abbiamo detto che l’equazione canonica è:

38-

dove:

 

a = semilunghezza dell’asse maggiore

b = semilunghezza dell’asse minore

 

Abbiamo anche visto che se a>b abbiamo un ellisse con asse maggiore coincidente con l’asse delle y. Se b<a, coincide invece con l’asse delle x. Per ciascuno di questi due casi, l’eccentricità e si calcola con una formula differente.

39-

Maggiore è l’eccentricità dell’ellisse e più questa tenderà ad “allargarsi”, cioè a schiacciarsi sul suo asse principale. I casi limite sono due:

 

e=1 → in questo caso l’eccentricità è massima, cioè c=a. L’ellisse si trasforma in una circonferenza.

e=0 → l’eccentricità dell’ellisse è minima, per cui la figura si schiaccia così tanto da trasformarsi in un segmento.

 

ECCENTRICITÀ ELLISSE AD ASSE VERTICALE

In questo secondo e ultimo caso vale esattamente quanto detto nel caso precedente. L’unica cosa che cambia è la formula per calcolare l’eccentricità dell’ellisse. Questa volta al denominatore ci sarà il coefficiente b.

40-

ESERCIZI SULL’ECCENTRICITÀ DELL’ELLISSE

PROBLEMA 1

Calcolare l’eccentricità dell’ellisse la cui equazione nel piano cartesiano è:

41-

Svolgimento

Con i dati a disposizione possiamo dire che a²=9 e b²=4. Per cui possiamo calcolare subito a=3 e b=2. Per determinare l’eccentricità abbiamo bisogno anche del coefficiente c.

 

c = √(a²-b²) = √(9-4) = √5

Per cui l’eccentricità dell’ellisse vale:

e=c/a= √5/3

 

PROBLEMA 2

Calcolare l’eccentricità dell’ellisse la cui equazione nel piano cartesiano è:

42-

Svolgimento

Attenzione a non lasciarti trarre in inganno dall’equazione dell’ellisse che ci viene fornita dalla traccia. Sappiamo che nell’equazione canonica ci sono dei denominatori sia alla x e che alla y. Per cui è necessario trasformare la seguente equazione in:

43-FINE GEOMETR.ANAL. - 1

A questo punto possiamo calcolare i parametri a e b dell’ellisse. In particolare, poiché sotto la variabile x non c’è nulla, si assume che sia sottintenso 1. Per cui a=1. Sotto la variabile y c’è invece 1/25, per cui il parametro b=1/5. Possiamo così calcolare c con la solita formula:

c = √(a²-b²) = √(1-1/25) = √(24/25)

Abbiamo la radice di 24. Ti ricordi le regole delle radici? √24 = 2√6

c = 2√6/5

Possiamo infine calcolare l’eccentricità dell’ellisse:

e=c/a= 2√6/5

 

CONCLUSIONI

Riepilogando quando visto in questa lezione: l’eccentricità è un parametro che misura lo schiacciamento dell’ellisse rispetto al suo asse maggiore. Ci sono due formule molto simili da seguire a seconda che i fuochi siano sull’asse x o sull’asse y. Gli esercizi sono molto semplici, l’importante è risolvere usando le formule viste passo passo.

Data 23 ottobre 2019

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI – 5

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Equazioni Trinomie

– esercizi svolti con soluzioni

 

EQUAZIONI TRINOMIE: DEFINIZIONE E SPIEGAZIONE

Prima di iniziare ad esercitarci con esempi di equazioni, facciamo un riepilogo su quanto abbiamo già detto nelle precedenti lezioni. Le equazioni trinomie sono composte da tre monomi, così come le equazioni binomie sono composte da due elementi. Possono essere semplici equazioni di secondo grado del tipo:

1-EQUAZ.E DISEA. - 5

Questi sono gli esercizi più facili, dato che vanno risolte con il delta come normali equazioni di secondo grado e di cui oggi non parleremo avendone già ampiamente discusso nelle precedenti lezioni (eventualmente qui trovi gli Esercizi sulle Equazioni di Secondo Grado).

Diventa più difficile la situazione quando invece ci troviamo ad equazioni trinomie di grado superiore al secondo. Si tratta di equazioni riconducibili ai casi più semplici attraverso semplici trasformazioni. Vediamo come si risolvono le più frequenti che puoi incontrare durante le verifiche o i compiti in classe.

Esercizio svolto 1-

2-

Il primo degli esercizi sulle equazioni trinomie da risolvere ha una particolarità. Non hai notato nulla di strano? Tutti i monomi hanno la x, per cui è possibile fare il raccoglimento a fattore comune.

3-

Ho trovato così due fattori che si moltiplicano al primo membro, mentre a secondo membro c’è lo zero. Uso la regola in figura, cioè ogni fattore va posto uguale a 0.

4-

L’equazione trinomia si è così divisa in due parti, la prima mia da soluzione immediata, cioè x=0, mentre l’altra è un’equazione di secondo grado che posso risolvere con la formula normale o ridotta. In questo caso poiché il secondo termine dell’esercizio (-3) non è pari non posso usare la formula ridotta.

Ottengo in definitiva 3 soluzioni, dato che il grado del polinomio era proprio 3.

Esercizio svolto 2-

5-

Il secondo esercizio sulle equazioni trinomie non ha nulla di più difficile rispetto al caso precedente, ma l’80% degli studenti tende a sbagliarlo magari preso dalla fretta. L’errore più comune qui è di andare ad eseguire la moltiplicazione tra i polinomi. In questo modo si ottiene un’equazione di terzo grado che poi dovremo risolvere necessariamente con il metodo di Ruffini.

Invece di prendere questa strada lunga in questo caso, avendo un prodotto tra due polinomi al primo membro e lo zero al secondo membro, posso dividere l’esercizio in due come fatto nell’esempio 1.

6-

Anche in questo caso l’esercizio ha 3 soluzioni dato che si tratta di un’equazione trinomia di terzo grado.

 

Esercizio Svolto 3-

7-

Il terzo esempio sulle equazioni trinomie si risolve esattamente come nel caso precedente. Scompongo il problema principale in tanti problemi più semplici. In questo caso mi trovo tre esercizi sulle equazioni binomie:

8-

Attenzione alla seconda: si tratta di un’equazione indeterminata! Portando infatti il 9 al secondo membro ottengo una radice quarta impossibile da risolvere. Le equazioni indeterminate sono facili da riconoscere: sono equazioni binomie con potenza pari e termine noto positivo.

 

Equazioni binomie ed equazioni biquadratiche

 

Prima di vedere cosa sono le equazioni binomie, facciamo il punto della situazione. Quando cerchiamo di risolvere un’equazione, la prima cosa che andiamo ad analizzare è il grado del polinomio, cioè l’esponente massimo della nostra equazione. Con una semplice occhiata possiamo capire che tipo di esercizio dobbiamo risolvere.

 

Se infatti il grado è 1 abbiamo un’equazione di primo grado lineare, se il grado è 2 abbiamo invece esercizi sulle equazioni di secondo grado… e se il grado è maggiore di 2? A quel punto può venire in nostro soccorso solo la regola di Ruffini.

 

Ma ci sono alcuni casi particolari in cui possiamo risolvere funzioni che sembrano difficili in maniera molto semplice. Stiamo parlando dello svolgimento delle funzioni quadratiche. Vediamo più nel dettaglio di cosa stiamo parlando.

 

EQUAZIONI BINOMIE

Le equazioni binomie sono sono equazioni composte da un binomio, cioè da due monomi. Possiamo trovarci ad affrontare equazioni binomie di secondo grado. Siamo nel caso delle equazioni pure e spurie che abbiamo già visto nelle precedenti lezioni.

Il caso più difficile però, che mette in difficoltà molti studenti, riguarda le equazioni di grado superiore al secondo. In realtà, così come per le equazioni biquadratiche o trinomie, gli esercizi sulle equazioni binomie sono molto facili da risolvere:

9-

Nell’esempio di equazione binomia puoi vedere come ci siano due casi principali: esponente pari ed esponente dispari. In entrambi i casi sarà sufficiente semplicemente portare il termine noto al secondo membro e poi fare la radice ennesima.

Il trucco che ti consigliamo di ricordare è che se il numero dell’esponente rappresenta anche il numero di soluzioni possibili. Quindi se ho un’equazione binomia di grado 5, ho cinque soluzioni. La differenza tra esponente pari e dispari è che nei pari devo ricordarmi di mettere un + e – davanti la soluzione. In caso di esercizio con equazione binomia ad esponente dispari le n soluzioni saranno tutte uguali. Vediamo un esempio concreto.

10-

EQUAZIONI BIQUADRATICHE

Le equazioni biquadratiche non sono altro che equazioni riconducibili al II grado. Gli esercizi sulle biquadratiche sono molto semplici da risolvere: è sufficiente porre l’incognita al quadrato pari ad una nuova lettera temporaneamente e risolvere l’equazione di II grado che ne risulta. Puoi usare sia la formula ridotta che la normale. Noi optiamo per la seconda

11-

Come puoi vedere nell’esempio, è importante poi sostituire per la seconda volta la variabile t assegnata riconducendoci al caso degli esercizi sulle equazioni binomie. L’esercizio svolto mostra chiaramente inoltre che il risultato mi porta a quattro diverse soluzioni. Questo perché il grado del polinomio corrisponde al numero di soluzioni.

 

EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO ESERCIZI

Il primo che vi proponiamo è un esercizio svolto sulle equazioni biquadratiche. Si risolve così come abbiamo visto nell’esempio precedente.

12-

Quello che possiamo risolvere ora è un’ulteriore esercizio sulle equazioni biquadratiche, con la differenza questa volta che abbiamo una potenza sesta. La sostituzione è leggermente diversa. Vediamo subito come risolverlo in maniera semplice:

13-

 

Disequazioni fratte di primo grado

 – dalla forma base agli esercizi svolti

 

Le disequazioni fratte di primo grado sono delle disequazioni che hanno un monomio o un polinomio al denominatore. Sui libri e a scuola vengono spesso insegnate diverse tecniche per risolverle, tuttavia noi preferiamo illustrarti un nostro metodo infallibile e molto più semplice.

La regola che troverai illustrata passo passo vale anche per le disequazioni fratte di secondo grado, per cui una volta appresa, potrai applicarla in qualsiasi tipo di esercizio. Iniziamo subito vedendo che cosa sono e quali sono le disequazioni frazionarie.

 

QUALI SONO LE DISEQUAZIONI FRATTE?

Vi ricordate la lezione sulle equazioni fratte? Il ragionamento è perfettamente analogo: si parla di disequazioni fratte di primo grado se la variabile x appare in almeno un denominatore. Può essere espressa nella forma:

14-

Sostanzialmente, quando dobbiamo svolgere esercizi con le disequazioni fratte, il nostro compito sarà di effettuare calcoli o semplificazioni al fine di riportarci a questa forma base. Arrivati a questo, poi, ci sono poche semplici regole da seguire. Vediamole subito.

 

COME RISOLVERE LE DISEQUAZIONI FRATTE DI PRIMO GRADO?

Senza entrare troppo nel merito della teoria, proviamo a darti una spiegazione molto pratica sulle disequazioni frazionarie. Il ragionamento vale sia per le disequazioni di primo grado che per quelle di secondo grado.

Si impone un falso sistema (diverso quindi dal sistema di disequazioni), cioè iniziamo a risolvere in due momenti separati il numeratore e il denominatore. Ciascuna soluzione che andremo così ad individuare sarà inserita sul grafico a cui bisognerà aggiungere uno studio del segno. Vediamo subito un esempio su come risolvere le disequazioni di primo grado fratte.

Imponiamo subito numeratore N e denominatore D imponendoli maggiori di 0.

15-

Bisogna imporre N>0 e D>0 qualsiasi sia il verso della disequazione fratta. Sia che ci sia minore che maggiore di 0 vanno comunque imposti maggiori (o maggiori e uguali di 0).

 

NOTA BENE

Nell’eventualità in cui dobbiamo imporre maggiore e uguale di zero, attenzione: al denominatore non va mai aggiunto l’uguale per alcuna ragione (al denominatore non bisogna mai inserire il segno uguale). E’ questo uno degli errori più frequenti durante i compiti in classe di matematica.

Le due soluzioni che abbiamo trovato vanno imposte sul grafico così come in figura:

16-

Abbiamo cioè individuato 3 campi. In ciascuno di questi si moltiplicano i segni corrispondenti. Nel primo abbiamo moltiplicato “più” per “meno” e ottenuto “meno”.

Nel secondo abbiamo moltiplicato “più” per “più” e ottenuto “più”.

Nel terzo abbiamo moltiplicato “meno” per “più” e ottenuto “meno”.

 

Di questi, poiché la nostra disequazione all’inizio imponeva N/D<0 (vedi la traccia dell’esempio), prenderò tutti i segni negativi, cioè quelli corrispondenti al primo e al terzo campo. Quindi le soluzioni sono:

x<-3 U x>2

Ho cosi preso le soluzioni corrispondenti al primo e all’ultimo campo. L’esercizio è così concluso. A questo punto proviamo a risolvere altri esercizi svolti sulle disequazioni di primo grado.

 

DISEQUAZIONI FRATTE DI PRIMO GRADO ESERCIZI SVOLTI

Di questo primo esercizio vediamo che non ci troviamo subito nella situazione N/D>0 (o N/D<0). Sarà nostro compito quindi portare tutto a primo membro e poi calcolare il minimo comune multiplo. Vediamo come risolvere:

17-

A questo punto ci siamo trovati nella formula generale delle disequazioni frazionarie: numeratore fratto denominatore e al secondo membro lo zero. Solo a questo punto posso applicare la regola N>0 e D>0.

18-

Nella disequazione frazionaria risolta abbiamo inserito sul grafico i valori delle due disequazioni e studiato il segno. Poiché ci siamo trovati N/D>0 allora abbiamo preso tutti i valori positivi. La soluzione della disequazione è minore quindi di -3/2 e maggiore di 0, cioè proprio in corrispondenza dei segni +.

Con questo problema vediamo come risolvere disequazioni fratte di primo grado con esercizi più complessi. Dobbiamo sempre ricordare che il primo passo, come già detto con gli esercizi sulle equazioni fratte, è di scomporre i denominatori il più possibile. Quindi cerchiamo di non dimenticare le regole sulle scomposizioni.

19-

Attenzione alle scomposizioni dei denominatori delle disequazioni frazionarie!

Per il primo denominatore abbiamo usato la regola della messa in evidenza parziale, mentre per la seconda una totale. Evitiamo invece di scomporre i numeratori, non aiuterebbe lo svolgimento dell’esercizio e ci farebbe solo sprecare tempo. Possiamo così proseguire:

20-

Scomponiamo il numeratore

Siamo ora nella forma N/D con al secondo membro lo 0. Potremmo già trattare separatamente numeratore e denominatore. Il problema è che al numeratore abbiamo una disequazione di terzo grado che non sappiamo ancora come affrontare! Come risolvere la disequazione fratta che si è presentata? Proviamo a scomporre il numeratore e vedere se qualcosa può essere semplificato con il denominatore: ci ridurrebbe molto i calcoli.

21-

Anche se numeratore e denominatore non possono essere semplificati possiamo risolvere l’esercizio perché riconducibile ad una disequazione fratta di primo grado. Vale infatti la seguente regola:

22-

Attenzione: questa regola è fondamentale!

Quando siamo in presenza di un esercizio sulle disequazioni di primo grado con dei fattori (cioè delle parentesi o anche elementi singoli che si moltiplicano tra loro), si pone ciascuno maggiore (o uguale, tranne il denominatore che non vai posto uguale) di 0 e poi si mette sul grafico.

In questo modo possiamo risolvere gli esercizi riconducibili alle disequazioni di primo grado. Proseguendo con il nostro esercizio, infatti, moltiplicando tutto per due abbiamo:

23-

La seconda e l’ultima disequazione sono di secondo grado. Non abbiamo ancora studiato l’argomento ma possiamo dire che quando siamo in presenza di un numero addizionato alla x al quadrato maggiore di zero, il risultato è sempre verificato (un numero positivo più un’incognita positiva darà sempre risultato positivo). Per cui visto che la soluzione è sempre verificata possiamo mettere linea continua.

24-

Il risultato finale come sempre è legato alla forma N/D che abbiamo individuato. Nell’ultima frazione scritta infatti c’era un minore e uguale, per cui il risultato andrà preso con il segno meno. Intenzionalmente abbiamo potuto omettere i due valori sempre verificati, perché non avrebbero influenzato il risultato finale.

 

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO ESERCIZI DA SVOLGERE

Abbiamo potuto vedere che sulle disequazioni di secondo grado, prendendo un esercizio più complesso, c’è davvero “da divertirsi”. E’ necessario ricordare bene le regole sulle scomposizioni ed allenarsi e fare molta pratica. Per cui vi consigliamo di esercitarvi con le seguenti disequazioni frazionarie di primo grado:

 Risolvi le seguenti disequazioni di primo grado superiori al primo intere o fratte, riconducibili allo studio di disequazioni di primo grado.

25-

 

Esercizi disequazioni di primo grado

 

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO ESERCIZI SVOLTI

Il primo esercizio sulle disequazioni di primo grado non presenta particolari elementi di difficoltà. Il primo passo è di trasformare il doppio denominatore.

Il diviso 4 della frazione, possiamo trasformarlo in una moltiplicazione per l’inverso (cioè 1/4). Infine dopo pochi semplici passaggi e dopo aver calcolato il minimo comune multiplo, arriviamo facilmente alla conclusione. Lasciamo a voi disegnare il grafico della disequazione.

26-

Nel secondo esercizio sulle disequazioni di I grado, proviamo a sviluppare un problema con il calcolo letterale. E’ sufficiente calcolare il minimo comune multiplo riducendo tutti i membri allo stesso denominatore.

27-

L’ultimo esercizio, oltre ad avere il calcolo letterale, ha per noi un elemento di novità: la discussione. Le disequazioni di primo grado con discussione non sono particolarmente complesse, bisogna solo capire il meccanismo. Vediamo come risolvere:

28-

Come possiamo procedere con la discussione della disequazione di I grado? Fissata l’incognita x su cui non c’è nulla da dire, andremo a verificare cosa succede al variare del valore di a.

Notiamo subito che se a=-1, vuol dire che avremo un denominatore uguale a zero. Cioè:

29-

Che succede inoltre quando a è più grande o più piccolo di questo valore?

30-

PROBLEMI SULLE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Le disequazioni di primo grado sono utili anche nella vita reale. Certo, i più scettici diranno che è impossibile avere delle situazioni in cui applicare questi concetti di matematica. Ma vediamo un esempio concreto di problemi risolvibili con le disequazioni di I grado.

Traccia: Giovanni vuole iscriversi ad una scuola per avere lezioni private di matematica. In un primo istituto gli vengono chiesti 150 euro di iscrizione + 3 euro per ogni lezione. Nella seconda scuola la domanda è di 100 euro + 4 per ogni lezione. Qual è l’offerta più conveniente?

 

Ovviamente dipende da quante lezioni dovrà seguire Giovanni. Questa sarà quindi l’incognita: x= numero di lezioni per cui la prima scuola conviene rispetto alla seconda. Vediamo come risolvere praticamente il problema. La prima scuola costa 150+3x, mentre la seconda 100+4x. La disequazione di I grado da imporre sarà:

 

150+3x<100+4x

3x-4x<100-150

-x<-50

x>50

 

Questo significa che da 0 a 50 lezioni sarà più conveniente la scuola 2, mentre dalla lezione 51 in poi a Giovanni converrà iscriversi alla scuola 1.

 

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO, ESERCIZI DA RISOLVERE

Ti consigliamo di provare a risolvere gli esercizi di seguito elencati. Potrai così perfezionare la tua tecnica e verifica se effettivamente hai capito come risolvere le disequazioni di primo grado. Ricordati di fare il disegno del grafico alla fine di ogni esercizio, ti sarà molto utile per prendere dimestichezza prima di affrontare argomenti più complessi come le disequazioni fratte, in cui l’incognita compare al denominatore, o i sistemi di equazioni e disequazioni, in cui ci sono più variabili, cioè due incognite o anche di più.

Risolvi le seguenti disequazioni di primo grado intere e rappresenta graficamente l’insieme I delle soluzioni.

31-

 

Equazioni di secondo grado

 – esercizi svolti e problemi

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO ESERCIZI SU PURE E SPURIE

ESERCIZIO N.1

(x+5)(x-5)=44

 

In questo primo esercizio svolto non è possibile ricorrere alla legge dell’annullamento del prodotto. Te la ricordi? E’ quella legge per cui se AxB=0 allo puoi risolvere scrivendo A=0 e B=0. In questo caso non possiamo usarla perché il termine noto non è pari a 0. Quindi andiamo a risolvere moltiplicando le parentesi tonde come prodotto di una somma per una differenza. Se non ricordi come si fa, ti consigliamo di riguardarti brevemente i prodotti notevoli.

 

x2-25=44 → x2=44+25=69

 

Rientriamo così nel caso degli esercizi sulle equazioni di secondo grado pure. Manca infatti il termine di primo grado, cioè la x. Per cui posso semplicemente risolvere facendo la radice quadrata col segno meno e più.

 

x=±√69

 

Ricordiamo che il doppio segno è dovuto al fatto che un’equazione di secondo grado deve avere due soluzioni, dato che risolvendo una radice quadrata con i numeri relativi, ottengo un risultato positivo e uno negativo.

 

ESERCIZIO N.2

7×2-3/5x=0

 

In questo caso ci troviamo di fronte al caso di equazioni di secondo grado spurie, cioè con il termine noto pari a zero. Per risolvere esercizi di matematica così, è sufficiente mettere in evidenza e poi applicare la legge dell’annullamento del prodotto.

x(7x-3/5)=0

x=0  e  7x-3/5=0 → 7x=3/5 → x=3/35

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE ESERCIZI

Se ricordiamo come si risolvono gli esercizi sulle equazioni di primo grado fratte, non avremo alcuna difficoltà ora. Anche in questo caso, infatti si andrà a calcolare il minimo comune multiplo e si indicheranno le condizioni di esistenza.

 

mcm=(x+1)(x+2)(x-2)  → CE:(x+1)(x+2)(x-2)≠0

 

x+1≠0 → x≠-1

x+2≠0 → x≠-2

x-2≠0 → x≠+2

 

Dopo le condizioni di esistenza posso così continuare a risolvere l’esercizio dato dalla traccia.

32-

Elimino i termini di terzo grado e porto tutto a primo membro eliminando i termini opposti o la cui somma è pari a 0:

-8x+x2+4x-2×2=0 → -x2-4x=0

Rientriamo ora nel caso degli esercizi sulle equazioni di secondo grado spurie, per cui posso risolvere con la messa in evidenza totale, detta anche raccoglimento a fattor comune. Applicando la legge dell’annullamento del prodotto, di cui abbiamo parlato ad inizio lezione, posso trovare così facilmente il risultato.

 

x(-x-4)=0

x=0 e x=-4

 

Le soluzioni sono entrambe accettabili poiché non escluse dalle condizioni di esistenza.

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO ESERCIZI CON IL CALCOLO DEL DETERMINANTE

ESERCIZIO N°1

5×2-4x+8=0

33-

Il primo degli esercizi sulle equazioni di secondo grado che andiamo ad analizzare ha una particolarità: il determinante è negativo. Questo significa non possiamo proseguire. Semplicemente concludiamo che l’esercizio sull’equazione di 2 grado non ha soluzioni reali.

 

ESERCIZIO N°2

x(x-5)/12=12-x

 

Iniziamo a risolvere il secondo degli esercizi sulle equazioni di secondo grado svolgendo la moltiplicazione a primo membro e contemporaneamente calcolando il minimo comune multiplo.

 

x2-5x=12(12-x)

x2-5x=144-12x

x2-5x+12x-144=0

x2+7x-144=0

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE ESERCIZI PIÙ COMPLESSI

ESERCIZIO N°1

34-

Si tratta per ora di uno degli esercizi sulle equazioni di secondo grado fratte, dato che oltre al calcolo del minimo comune multiplo dovremo calcolare il determinato. In realtà si tratta di un esercizio molto semplice che riusciremo a risolvere in pochi semplici passaggi.

Il primo passo per risolvere l’equazione fratta di 2 grado è scomporre tutti i denominatori,  calcolare il minimo comune multiplo e poi imporre le condizioni di esistenza.

35-

Posso così risolvere l’esercizio sulle equazioni di II grado, portando  tutto a sinistra:

2×2+x-1=0

36-

37-

 

Equazioni di secondo grado pure spurie e complete

 

Ciò che non abbiamo mai incontrato negli esercizi sui sistemi di equazioni di primo grado è il simbolo della potenza. Tutti gli esercizi di matematica fino ad ora risolti, infatti, erano lineari, cioè nessuna di queste era elevata al quadrato. Oggi invece, studiando le equazioni di secondo grado, vedremo come comportarci di fronte ad un’espressione con il quadrato.

 

LA FORMA CANONICA DELLE EQUAZIONI DI II GRADO

La forma base, detta anche normale o forma canonica, di un’equazione di secondo grado è:

 

ax2+bx+c=0

 

QUANTE SONO LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO?

Nelle scorse lezioni abbiamo già evidenziato che il numero di soluzioni è sempre pari al grado del polinomio. Questo significa che un’equazione di primo grado avrà una sola soluzione, mentre le equazioni di secondo grado hanno due soluzioni, sempre. Per ogni caso che andremo ad analizzare le soluzioni saranno sempre e soltanto due.

Può capitare che siano uguali tra di loro, ma sono sempre due. Lo vediamo bene quando andiamo a risolvere le equazioni di secondo grado pure e in cui b=c=0

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO PURE E SPURIE

Si parla di equazioni pure e spurie quando uno o più coefficienti del trinomio sono uguali a zero. Ovviamente il primo coefficiente, la a, è sempre diversa da zero, altrimenti non avremmo un’equazione di secondo grado, ma di primo.

 

Può capitare invece che gli altri due coefficienti possano non esserci, cioè essere pari a 0. Possiamo così analizzare tre diversi casi.

# B=C=0

In questo caso la forma canonica diventa, annullando  b e c,

 

ax2=0 → x=0

 

Molto semplicemente questa equazione di secondo grado ammette come soluzione soltanto x=0. Ecco i passaggi per trovare la soluzione:

 

ax2=0 → x2=0 → x=0

 

Abbiamo cioè spostato il coefficiente a al secondo membro così come abbiamo imparato a fare negli esercizi sulle equazioni di primo grado. Per eliminare il quadrato è stato sufficiente fare la radice quadrata di entrambi i membri dell’equazione.

Da notare che, nonostante la soluzione ci sembri unica, cioè x=0, in realtà le soluzioni sono due: +0 e -0. Per semplicità si indica direttamente x=0.

Questo per due motivi. Il primo di carattere teorico – le equazioni di II grado hanno sempre due soluzioni – il secondo invece più pratico: quando risolvo la radice di un numero ne ottengo due.

 

Esempio:

√4=±2

La radice di 4 non fa 2, perché siamo nei numeri relativi, ma fa +2 e -2. Questo perché se facessimo l’operazione inversa, cioè il quadrato, sia -2 che +2 porterebbero alla stessa soluzione. Cioè 4. Quindi la radice quadrata di 4 fa +2 e -2.

 

EQUAZIONE DI SECONDO GRADO PURA (B=0)

Si parla di equazione di secondo grado pura quando il coefficiente del termine di primo grado è pari a zero. L’equazione diventa così:

 

ax2+b=0

 

Ti ricordi come risolvere le equazioni di primo grado? Se la risposta è no, ovviamente ti consigliamo di rileggere la lezione sulle equazioni di I grado. Qui non cambia assolutamente nulla, si portano i termini noti al secondo membro e si lasciano le incognite a sinistra.

ax2=-b

A questo punto si porta il coefficiente dell’incognita a secondo membro e, per eliminare la potenza, si fa la radice quadrata al primo e secondo membro.

x2=-b/a

x=±√(-b/a)

 

Come nel caso precedente avendo risolto una radice quadrata ho due soluzioni, una positiva e una negativa.

Esempio:

-2×2+1=0 → -2×2=-1 → 2×2=1  → x2=1/2 →  x=±√1/2

 

EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SPURIA

Ci troviamo di fronte ad un’equazione di secondo grado spuria quando il termine noto è uguale a 0. Quando c=0, mi trovo in una situazione particolarmente vantaggiosa perché posso risolvere più rapidamente attraverso le regole per la scomposizione dei polinomi. Infatti, semplicemente con una messa in evidenza totale, posso risolvere l’esercizio:

 

x2-2x=0 → x(x-2)=0

 

A questo punto ricordandomi che se ho una moltiplicazione tra fattori uguali a zero (legge dell’annullamento del prodotto) posso risolvere imponendo ognuno pari a 0, posso risolvere l’esercizio trovando le due soluzioni:

 

x1=0 e x2=2

 

COME RISOLVERE UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO COMPLETA

Nel momento in cui nessuno dei coefficienti dell’equazione si annulla, ci troviamo di fronte ad un’equazione di II grado completa:

ax2+bx+c=0

La formula per risolvere le equazioni di secondo grado è:

38-

In questa formula risolutiva, applicabile sempre e comunque siamo in presenza di equazioni di secondo grado, ha un termine sotto radice chiamato discriminante e si indica con la lettera maiuscola greca Delta:

 

Δ=b2-4ac

 

Studiando le proprietà dei radicali, abbiamo visto che una radice non può essere mai negativa. Questo significa che il delta, il discriminante, non può mai essere minore di 0, ma solo maggiore o uguale di 0, altrimenti l’equazione si dice che non ammette soluzioni reali.

 

ESERCIZIO SVOLTO

3×2+2x-16=0

39-

Come puoi vedere, in questo esercizio sulle equazioni di secondo grado, alla fine sono arrivato a calcolare la soluzione con pochi passaggi algebrici.

 

LA FORMULA RIDOTTA PER LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

Quando il coefficiente b è pari, è possibile risolvere le equazioni di secondo grado sfruttando la formula ridotta con il delta quarti.

I docenti si preoccupano spesso a scuola che i ragazzi sappiano utilizzare bene questa formula, che in realtà, a nostro avviso a un’utilità piuttosto marginale. Il nostro consiglio è di memorizzare bene la formula generale, sapendo che esiste comunque anche la ridotta. Portano allo stesso risultato ma l’ultima può essere usata solo quando b è pari. Ecco un esercizio risolto:

40-

Da notare che le soluzioni finali sono delle radici. Come comportarci in questo caso? Nessun problema, la soluzione resta così com’è…

 

Sistemi di primo grado esercizi svolti

 

RISOLVERE I SEGUENTI SISTEMI DI PRIMO GRADO

PRIMO ESERCIZIO SUI SISTEMI DI PRIMO GRADO

41-

In questo primo esercizio sui sistemi di primo grado, non essendoci frazioni, consigliamo di optare per la strada più sbrigativa, cioè il metodo della somma e della differenza.

Iniziamo quindi a calcolare il minimo comune multiplo tra 5 e 2, cioè tutte le incognite della x. Potremmo allo stesso modo calcolare il mcm anche tra 3 e 4, cioè le incognite della y, non cambierebbe nulla nei calcoli e nel risultato. Tra 5 e 2 il mcm è pari a 10, per cui calcolo 10:5=2 (moltiplico per 2 tutta la prima equazione) e 10:2=5 (moltiplico per 5 tutta la seconda equazione del sistema di primo grado). Ottengo così:

42-

Poiché i coefficienti della x sono concordi, ho sottratto membro a membro le equazioni del sistema di primo grado, giungendo in questo modo a calcolare rapidamente la y.

A questo punto non mi resta che sostituirla in una delle equazioni della traccia per poter così calcolare l’altra incognita, cioè la x.

43-

Ricordandoci come si risolvono le equazioni di primo grado, possiamo calcolare l’incognita x portando tutti i termini noti a destra.

44-

Avendo calcolato entrambe le incognite, l’esercizio è concluso.

 

SECONDO ESERCIZIO SUI SISTEMI DI PRIMO GRADO

Come è possibile vedere, nella traccia dell’esercizio ci sono dei denominatori numerici. Per eliminarli, come sempre, è necessario calcolare il minimo comune multiplo. Solo successivamente sarà possibile eliminarli:

45-

Pochi semplici passaggi sono stati sufficienti per ricondurmi al caso precedente, cioè ad un sistema di primo grado privo di frazioni. Bastano poche operazioni tra numeri relativi e incognite per semplificare il tutto eliminando le parentesi tonde:

46-

Questa volta, per cambiare, sfrutteremo il metodo di Cramer. Ricordiamo che il metodo di Cramer per i sistemi di primo grado, consiste nel calcolare i tre determinanti e poi dividerli tra loro, come già visto nelle lezione sui metodi per risolvere le equazioni di primo grado.

Attenzione a mettere bene in colonna i termini, cioè ad ordinare allo stesso modo le equazioni: prime le x, poi le y e al secondo membro da soli i termini noti. Ecco quindi le piccole matrici numeriche:

47-

Abbiamo visto che il metodo di Cramer per i sistemi, così come il metodo di addizione e sostituzione è piuttosto rapido e, con un po’ di concentrazione porta a completare l’esercizio in maniera rapida.

Lasciamo a voi, come esercizio, provare che con il metodo della sostituzione il risultato sarebbe stato lo stesso, ma forse un po’ più complesso dal punto di vista dei calcoli.

 

TERZO ESERCIZIO SUI SISTEMI DI PRIMO GRADO

Vogliamo ulteriormente complicare i calcoli, per cui decidiamo di proporvi di risolvere assieme un esercizio sui sistemi di primo grado con coefficienti letterali. Ricordandoci le operazioni base del calcolo letterale, proviamo a svolgere assieme questo breve esercizio con le lettere:

48-

Ricordando che il minimo comune multiplo tra due semplici lettere si ottiene calcolando il prodotto delle due lettere, nel nostro caso mcm=ab, ci siamo ricondotti al caso più semplice.

Attenzione, però, che il sistema di primo grado non è correttamente ordinato. I coefficienti infatti fanno disposti nello stesso ordine, prima la x, poi la y e il termino noto al secondo membro. Fatto ciò mi rendo conto che l’esercizio può essere facilmente risolto con il metodo dell’addizione, per cui:

49-

COMPITI ED ESERCIZI DA SVOLGERE

A questo punto vi invitiamo a risolvere la seguente pagina di esercizi sui sistemi di primo grado da soli.

50-

 

Sistemi di equazioni di primo grado

 

in tutti gli esercizi sulle equazioni di primo grado visti fino a questo momento, abbiamo incontrato un’unica incognita, ovvero la x. Come risolvere le equazioni con più incognite?

 

COSA SONO I SISTEMI DI EQUAZIONI?

La regola generale vuole che:

Il numero di equazioni deve essere pari al numero di incognite affinché gli esercizi siano risolvibili.

Senza entrare troppo in dettagli tecnici non di competenza di queste lezioni di matematica, ci basti dire che se abbiamo 2 incognite, abbiamo bisogno di risolvere 2 equazioni. Se le incognite sono 3 dovremo risolvere 3 equazioni e così via…

Per risolvere più equazioni contemporaneamente abbiamo bisogno dei sistemi di equazioni.

I sistemi di equazioni servono quindi a calcolare più incognite da più equazioni, appunto, messe a sistema, cioè graficamente unite in colonna all’interno di una parentesi graffa.

 

METODI PER RISOLVERE I SISTEMI DI EQUAZIONI

La lezione di oggi è particolarmente importante perché i metodi che stiamo per vedere sono validi non solo per i sistemi di equazioni di primo grado, ma anche di grado superiore al primo. Useremo cioè le stesse tecniche risolutive anche per risolvere gli esercizi sui sistemi di secondo grado, terzo grado, eccetera.

 

METODO DI SOSTITUZIONE DEI SISTEMI DI EQUAZIONI

Si tratta del metodo più utilizzato e che può andare bene per tutti i tipi di sistemi di equazioni. Si tratta di un metodo semplice, ma che spesso comporta dei calcoli in più.

Durante una verifica o un compito in classe, quando si è sotto pressione e il tempo scarseggia, capita spesso agli studenti di commettere errori banali di calcolo: basta un segno dimenticato e l’esercizio non si trova più. Attenzione quindi a svolgere sempre i calcoli con la massima concentrazione.

Per capire come risolvere i sistemi di equazioni di primo grado con il metodo della sostituzione, proviamo assieme ad affrontare un esercizio svolto.

51-

Vediamo che in entrambe le equazioni del sistema ci sono tutte le incognite, sia la x che la y. Iniziamo a risolvere il sistema di primo grado partendo dall’equazione che ci sembra più semplice e calcolandoci l’incognita col coefficiente più semplice. Nel nostro caso tra le due equazioni noto che alla prima x praticamente non c’è un coefficiente – cioè è sottinteso 1. Quindi inizio a scrivere:

52-

Una volta calcolato il valore della seconda incognita, cioè y=3, sostituisco nuovamente questo risultato nella prima equazione, cioè torno al primo rigo:

53-

La domanda che giustamente potrebbe porsi lo studente più attento sarebbe: “Cosa sarebbe accaduto se avessi calcolato la y nel primo passaggio invece della x?”

Il risultato del sistema di primo grado non sarebbe cambiato ma avrei soltanto complicato leggermente i calcoli. Per convincertene, eccone la dimostrazione: risolviamo lo stesso esercizio, calcolando stavolta la y.

54-

METODO DEL CONFRONTO DEI SISTEMI LINEARI

I sistemi di equazioni di primo grado sono più raramente risolti con il metodo del confronto. Il metodo, non molto difficile in realtà, consiste nel calcola la stessa incognita in entrambe le equazioni e poi sfruttare la proprietà: se A=B e A=C allora B=C. Vediamo subito lo stesso esercizio di prima risolto stavolta con il metodo del confronto dei sistemi lineari:

55-

A questo punto, avendo calcolato la x in entrambe le equazioni, posso eguagliare i secondi membri, scrivendo:

56-

Avendo calcolato la seconda incognita, sostituisco il risultato in una delle due equazioni di partenza – è indifferente quale – per risolvere il sistema e ottenere anche la prima incognita.

57-

METODO DELL’ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Si tratta a nostro avviso di uno dei metodi più semplici da utilizzare per risolvere i sistemi di equazioni. Certamente è tra i più rapidi dato che in presenza di due equazioni lineari consente di individuare abbastanza rapidamente la soluzione del sistema. Il medoto dell’addizione e sottrazione consiste semplicemente nell’addizionare e sottrarre le equazioni che compongono il sistema.

Il trucco per risolvere i sistemi a due incognite con il metodo dell’addizione e sottrazione è di fare in modo che i coefficienti di almeno un’incognita siano uguali.

Vediamo sempre l’esercizio precedente:

58-

Vado ora a guardare i coefficienti delle incognite, cioè i numeri delle x e delle y. Devo fare in modo che nelle due equazioni, i coefficienti di almeno un’incognita siano uguali. Ciò significa che dobbiamo trasformare l’equazione usando la proprietà della moltiplicazione e della divisione.

Se provo infatti a moltiplicare per 2 la prima equazione, primo e secondo membro, ottengo:

59-

A questo punto tutte le incognite x hanno lo stesso coefficiente, cioè 2.

 

La regola generale è che tra i coefficienti dell’incognita delle due equazioni va calcolato il minimo comune multiplo. Successivamente si esegue la divisione tra mcm e il coefficiente dell’incognita: quello sarà il numero per cui moltiplicare l’intera equazione.

Vediamo se, ad esempio, se vogliamo ridurre allo stesso coefficiente le y anziché le x.

60-

Calcolo il mcm tra 5 e 3, pari cioè a 15. Dato che 15:5=3, vuol dire che la prima equazione va moltiplicata tutta per 3. Poiché invece 15:3=5, vuol dire che la seconda equazione dovrò moltiplicarla tutta per 5. Ottengo così:

61-

Ho così capito come uguagliare i coefficienti delle equazioni. E’ facile rendersi conto che il primo caso è stato decisamente più semplice dato che uno dei coefficienti era 1.

Ora basta vedere il segno dei due coefficienti uguali calcolati.

 

# se sono uguali, si esegue la sottrazione tra le equazioni

# se sono opposti, si esegue l’addizione tra le equazioni

 

Poiché -15y e +15y sono numeri relativi opposti, si calcola l’addizione tra le equazioni, cioè si sommano le x, si sommano le y e si sommano i termini noti.

62-

E’ importante notare che uno dei coefficienti dell’equazione risultante è pari a 0, se ciò non dovesse accadere vuol dire che abbiamo sbagliato qualche calcolo e dobbiamo rifare da capo.

A questo punto ho ottenuto un’unica equazione di primo grado: 13x=26 il cui risultato è semplicemente x=2.

Individuata la prima incognita, la sostituisco in una delle due equazioni, per semplificare i calcoli, è opportuno scegliere l’equazione più semplice.

63-

Ho così trovato lo stesso risultato individuato nei metodi precedenti, ma forse in maniera più semplice.

 

METODO DI CRAMER

Il metodo di Cramer è l’ultimo dei metodi analizzati. Viene molto utilizzato nei sistemi più semplici, dato che si tratta di svolgere semplici calcoli numerici. Tuttavia diventa abbastanza laborioso quando i sistemi di equazioni andranno complicandosi.

Partiamo come sempre dall’esercizio precedente:

64-

Per risolvere il sistema di primo grado con il metodo di Cramer è necessario calcolare 3 numeri, chiamati determinanti ed indicati con la lettera greca Delta.

 

COME CALCOLARE IL DETERMINANTE DEL METODO DI CRAMER?

Il determinante del metodo di Cramer è un insieme di 4 numeri disposti su due righe e due colonne di una piccola tabella.

 

Il determinante si calcola facendo il prodotto del numero in alto a sinistra per quello in basso a destra. Da esso si sottrae il prodotto del numero in basso a sinistra per quello in alto a destra.

Il primo passo è costruire tre piccole tabelle di numeri, chiamate matrici, partendo dai coefficienti dell’equazione lineare. Per individuarle inizio

65-

Per risolvere con il metodo di Cramer, dal sistema di primo grado immagino di eliminare tutti i termini con la x e considero tutti i coefficienti, cioè i numeri, che restano e li sistemo su una piccola tabella, detta matrice, nello stesso ordine:

66-

Moltiplico i termini sulla prima diagonale, in rosso, metto un segno meno e moltiplico i termini sulla seconda diagonale, in blu. Dato che ho eliminato i termini con la x, sto calcolando il DELTA X.

Δx=(-5)(+13)-(-13)(+3)=-65+39=26

Calcolo ora DELTA Y, immaginando di eliminare la y, dal sistema.

67-

Infine si calcola l’ultimo determinante, immaginando di eliminare tutti i termini noti. Avrò così calcolato DELTA.

68-FINE - 5

A questo punto non mi resta che fare tre semplici calcoli:

x=Δx/Δ=26/13=2

y=Δy/Δ=39/13=3

Ho imparato, così, anche a risolvere i sistemi di equazioni con il metodo di Cramer.

 

QUALE METODO USARE PER RISOLVERE I SISTEMI DI PRIMO GRADO?

Si tratta di una domanda più che legittima, dato che tutti i metodi di risoluzione dei sistemi portano alla stessa equazione. Tuttavia occorre tener conto che nei sistemi di secondo grado, si utilizzerà prevalentemente il metodo della sostituzione, per cui è bene conoscerlo bene.

Il metodo di Cramer è probabilmente quello su cui gli insegnanti insistono di più. Dal nostro punto di vista, il più semplice resta il metodo della somma e della differenza, fermo restando che tutti portano alla soluzione esatta.

Data 23 ottobre 2019

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI – 4

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Formula risolutiva equazioni di secondo grado

 

Abbiamo già detto, nel capitolo generale sulle equazioni di secondo grado, che la forma canonica è:

AX2+BX+C=0

dove a, b e c sono dei coefficienti reali, cioè dei numeri, delle radici, delle frazioni o addirittura delle parentesi contenenti dei coefficienti. Quando questi sono diversi da zero, non valgono le tecniche risolutive viste per le equazioni spurie e pure.

124-INIZIO EQUAZ.E DISEQ.- 4

La quantità sotto radice si chiama discriminante e si indica con la lettera delta (Δ). Per questa ragione si può riscrivere la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado anche nel seguente modo:

125-

Svolgendo degli esercizi ti accorgerai che a volte usciranno dai calcoli numeri un po’ alti e quindi impegnativi, soprattutto se i calcoli sono fatti a mano senza calcolatrice. Proprio per questa ragione, quando il coefficiente b è pari, si utilizzata quella che viene chiamata la formula ridotta. Non ce ne occupiamo all’interno di questa lezione, ma ti rimandiamo agli appunti relativi all’uso di delta quarti e formula ridotta.

 

UN CONSIGLIO PER IMPARARLA PRIMA

La formula per risolvere le equazioni di secondo grado sarà fondamentale anche nel proseguo degli studi, per cui è importante impararla a memoria. Per questa ragione ti consigliamo di riscriverla ogni volta che dovrai utilizzarla, in questo modo la ricorderai molto più facilmente.

 

DIMOSTRAZIONE CON SPIEGAZIONE PASSO PASSO

Durante le interrogazioni può capitare che il docente chieda come si ricava la formula risolutiva delle equazioni secondo grado, per cui è importante aver presente anche la dimostrazione.

Si parte dalla formula canonica: ax2+bx+c=0

Il primo passo è cercare di trasformarla in un quadrato di binomio. Per far ciò noto che il primo termine (ax2) è parzialmente un quadrato. Per renderlo tale dobbiamo moltiplicare tutto per a.

a2x2+abx+ac=0

Mentre il primo termine è già un quadrato di ax, manca a questo punto il doppio prodotto. Questo potrebbe essere abx. Manca però il coefficiente numerico che esprima un prodotto moltiplicato per 2. Se moltiplicassi tutti i termini per due, non avrei più un quadrato al primo termine. Moltiplico quindi tutto per quattro.

4a2x2+4abx+4ac=0

In questo modo il primo termine è il quadrato di 2ax, il secondo termine è il doppio prodotto di 2ax per b. Manca a questo punto il secondo termine al quadrato. Per le regole fondamentali delle equazioni (aggiungendo e sottraendo uno stesso numero a destra o sinistra il risultato non cambia), posso scrivere quindi:

 

4a2x2+4abx+4ac+b2-b2=0

4a2x2+4abx+b2+4ac-b2=0

(2ax+b)2+4ac-b2=0

 

Mi serve calcolare la x, per cui devo eliminare il quadrato attraverso una radice quadrata. Isolo la parentesi con il quadrato a sinistra e successivamente calcolo la radice a destra e sinistra:

 

(2ax+b)2=b2=-4ac

2ax+b=±√(b2=-4ac)

 

Essendo una radice, al secondo membro mi compare il segno “+” e “-“. A questo punto posso calcolare la x.

 

2ax=-b±√(b2=-4ac)

x=[-b±√(b2=-4ac)]/2a

126-

Ho così completato la dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Vediamo alcuni casi concreti ora, in cui poter applicare questa tecnica all’interno degli esercizi.

 

ESEMPI

Risolvere la seguente equazione di secondo grado usando la formula risolutiva vista in alto:

x2+5x+6=0

127-

Si tratta di un’equazione di secondo grado fratta (un’approfondimento qui è d’obbligo). Riassumendo brevemente ciò che bisogna fare:

 

# minimo comune multiplo tra i denominatori;

# condizioni di esistenza;

# calcoli algebrici (somme, prodotti, ecc…);

# uso della formula risolutiva per l’equazione se di secondo grado;

128-

A questo punto la parte difficile è finita. Abbiamo ottenuto un’espressione algebrica di un polinomio che ci porterà ad una normale equazione di secondo grado.

129-

 

Delta quarti

 – formula ridotta per la risoluzione di equazioni di II grado

 

Il delta quarti è un valore che si calcola durante lo svolgimento delle equazioni di secondo grado quando i relativi coefficienti rispettano alcune caratteristiche. Il procedimento riguarda quella che viene chiamata formula ridotta e prevede un calcolo del discriminante leggermente differente e che semplifica i calcoli.

 

QUANDO SI USA IL DELTA QUARTI

La risoluzione delle equazioni di secondo grado prevede nella maggior parte dei casi il calcolo del delta (o discriminante), che non è altro che una combinazione dei coefficienti che compongono l’equazione stessa. Data l’equazione di II grado:

 

ax2+bx+c=0

 

può essere utilizzata la formula ridotta quando il coefficiente b è pari

Ricordi la formula del discriminante normale? In questo  caso c’è una piccola variazione:

130-

Una volta capita qual è la formula del delta quarti, si possono facilmente calcolare le due soluzioni x1 e x2 del problema. Ecco la formula ridotta con il delta quarti:

131-

DIFFERENZA CON TRA Δ/4 E Δ

Come è possibile notare cambia notevolmente la formula ridotta da quella standard. La prima differenza, nonché la più importante, c’è già nel radicando: il termine b infatti si dimezza e non c’è bisogno di calcolare il quadruplo prodotto tra primo e ultimo coefficiente. Sparisce infatti “4ac” e c’è il semplice prodotto tra “a” e “c”.

 

PERCHÉ USARE LA FORMULA RIDOTTA – PRO E CONTRO

Nei libri di testo viene consigliato l’uso del delta quarti per semplificare i calcoli. Può capitare, infatti, che i coefficienti dell’equazione di secondo grado da risolvere siano alti e portino a dei numeri piuttosto alti. Per evitare ciò, nell’ipotesi che il coefficiente del termine di grado 1 sia pari, è possibile risolvere con il delta quarti, che oggettivamente ci porterà a dei numeri più bassi da gestire.

 

ALCUNE CONSIDERAZIONI

Questo metodo che stiamo per presentarti è da considerarsi solo come un’alternativa al calcolo del normale discriminante a cui sei abituato.  In realtà viene utilizzato solo nel biennio delle superiori basta ricordare una sola formula (quella del delta) per risolvere le equazioni di secondo grado. Imparare anche il delta quarti, quando poi il programma diventa più vasto, ha un’utilità abbastanza limitata.

Ad ogni modo, è importante che gli studenti imparino questa formula e la usino quando il programma lo impone.

 

ESEMPIO

x2-4x-5=0

 

Per quanto abbiamo detto fino ad ora siamo liberi di utilizzare sia il metodo tradizionale con il delta che la formula ridotta con il delta quarti. E’ una nostra scelta, a meno che il problema non specifichi quale dei due metodi di calcolo usare. Visto che questa lezione verte sull’uso della formula ridotta, utilizzeremo il delta quarti.

132-

ESERCIZI

133-

Il primo esercizio che ti abbiamo proposto non è incompleto, ma presenta un caso particolare. E’ infatti un’equazione con delta negativo. Questo vuol dire che il suo risultato è IMPOSSIBILE. Possiamo così passare al prossimo esercizio.

134-

In questo caso abbiamo invece il delta quarti maggiore di zero, per cui ci sono due soluzioni reali e distinte, ma con la radice quadrata. Ciò non cambia nulla però con il metodo o con la tecnica di calcolo utilizzata.

135-

In quest’ultimo esercizio analizzato, è stato eseguito prima il quadrato di un binomio, poi dopo pochi passaggi, visto che il coefficiente di primo grado era pari, è stata utilizzata la formula ridotta. Quindi è stato usato il delta quarti e si è arrivati anche in questo caso a risolvere l’esercizio in pochi semplici passaggi.

 

Equazioni spuria

 – come risolvere rapidamente le equazioni spurie di secondo grado

 

Un’equazione spuria di secondo grado si definisce tale quando manca il termine noto, ovvero il coefficiente senza l’incognita x. Si risolve in maniera molto semplice ed intuitiva e non sono necessari calcoli o tecniche risolutive particolari.

E’ uno dei primi argomenti che riguardano le equazioni di secondo grado: le equazioni spurie sono un caso particolare di queste ultime e permettono di trovare le due soluzioni senza dover usare metodi più elaborati, come il calcolo del delta o il metodo somma e prodotto.

 

CHE COS’È UN’EQUAZIONE SPURIA

Data l’equazione generale ax2+bx+c=0, nel caso in cui c=0, ottengo:

 

AX2+BX=0

(DEFINIZIONE DI EQUAZIONE SPURIA)

Come si può notare manca il termine noto, cioè il coefficiente numerico puro. In questi casi la tecnica di risoluzione è decisamente più semplice.

 

COME SI RISOLVE UN’EQUAZIONE SPURIA

Mentre nelle equazioni di secondo grado normali possono essere necessari dei calcoli che ci impegnano per qualche minuto, le equazioni spurie si risolvono in 2 semplici passaggi:

 

# raccoglimento a fattor comune della x

# applicazione della legge dell’annullamento del prodotto.

 

Ricordati innanzitutto che nelle equazioni spurie tutti gli addendi devono trovarsi al primo membro. Al secondo membro resta solo lo zero. Per cui, prima ancora di iniziare a far calcoli o operazioni matematiche, porta tutto a sinistra. Questo significa che per risolvere un’equazione spuria è sufficiente mettere in evidenza la x come primo passaggio. Quindi si ha che:

ax2+bx=0 → x(ax+b)=0

Se non ricordi come si effettua questa operazione, dai una rapida lettura ai nostri appunti di matematica su come si fa il raccoglimento totale. A questo punto si applica la legge dell’annullamento del prodotto.

Ricordando cioè che A*B=0A=0 e B=0, allora vale che:

x(ax+b)=0 → x=0 e ax+b=0

x=0 è già la prima soluzione del problema. ax+b=0 è una banalissima equazione di primo grado che mi dà come risultato x=-b/a. Ecco quindi che in 2-3 passaggi ho risolto l’equazione spuria di secondo grado.

Non c’è altro da dire a livello teorico, proviamo subito a mettere in pratica quanto abbiamo detto fino ad ora con un semplice esempio

 

ESEMPIO

Risolvere l’equazione spuria: 5×2+10x=0

 

Il primo passaggio, come detto, è quello di raccogliere la x ed eventualmente un coefficiente comune ai due addendi. Otteniamo così:

5x(x+2)=0

Prima soluzione: x=0

Seconda soluzione: x+2=0 → x=-2

 

EQUAZIONI SPURIE ESERCIZI

TRACCE

(x-3)2=9-5x

4(x2-x)=5×2

(x-1)2=3x+1

(x-7)2+9x= 2×2+49

 

SOLUZIONI

ESERCIZIO 1 CON COMMENTO.

(x-3)2=9-5x

x2-6x+9=9-5x → In questo primo passaggio, semplicemente svolgo il quadrato di binomio.

x2-6x=-5x → elimino il 9 a destra e a sinistra.

x2-6x+5x=0 → porto tutto a sinistra.

x2-x=0 → eseguo la somma algebrica tra i monomi simili.

x(x-1)=0 → è stata raccolta la x

 

x=0 e x=1 → applicata la legge dell’annullamento del prodotto che ha portato subito a trovare le soluzioni dell’equazione spuria.

 

ESERCIZIO 2.

4(x2-x)=5×2

4×2-4x=5×2  → 4×2-4x-5×2 =0 → -x2 -4x=0 → x(x-4)=0 → x=0 e x=4

 

ESERCIZIO 3.

(x-1)2=3x+1

x2-2x+1=3x+1 → x2-2x+1-3x-1=0 → x2-5x=0 → x(x-5)=0 → x=0 e x=5

 

ESERCIZIO 4.

(x-7)2+9x= 2×2+49

x2-14x+49+9x= 2×2+49 → x2-14x+9x= 2×2 → x2-5x-2×2=0 → -x2-5x=0 → x2+5x=0 → x(x+5)=0 → x=0 e x=-5

 

CONCLUSIONI

Come hai avuto modo di vedere, le equazioni spurie si risolvono in pochi semplici passaggi. L’esercizio può essere magari più complesso, con la presenza di radici o frazioni, ma il meccanismo non cambia. Raccoglimento totale e legge dell’annullamento del prodotto.

 

Equazioni parametriche di secondo grado

 – come risolvere quando c’è anche una lettera oltre alla x

 

Le equazioni parametriche di secondo grado sono un particolare tipo di equazioni letterali in cui nella traccia viene richiesto di trovare il parametro affinché si verifichino determinate condizioni.

Si tratta di un argomento che nella maggior parte delle volte viene affrontato con superficialità non solo dagli studenti ma anche dagli insegnanti, che non danno troppo peso a questi esercizi. Peccato che poi escono quasi sempre nelle verifiche e nei compiti in classe di matematica.

Puoi riconoscerle facilmente dalla traccia perché ti troverai a dover risolvere equazioni di secondo grado parametriche in cui hai altre lettere oltre alla x. Quali sono i parametri? In genere si utilizza la lettera “a” oppure il più classico dei parametri “k”. Come si risolvono queste equazioni letterali? Vediamo quali sono gli esempi e gli esercizi più frequenti che si trovano durante i compiti.

 

1- DETERMINARE IL PARAMETRO K PER CUI C’È 1 SOLA SOLUZIONE

Questa è una delle più classiche richieste che si trova nella traccia. L’alternativa è di trovarla scritta anche come “trovare il parametro k per cui l’equazione ha due soluzioni coincidenti.

La traccia quindi ti chiede quanto vale il parametro k affinché x1=x2. Ti ricordiamo che, per quanto appreso dalla teoria sulle equazioni di secondo grado, si hanno due soluzioni coincidenti nel caso in cui  Δ=0.

Ecco quindi come risolvere un’equazione letterale di secondo grado in cui le due soluzioni devono essere uguali.

 

Δ=0 → b2-4ac=0

 

Sostituisco quindi i vari coefficienti nell’equazione appena descritta, non dimenticando di inserire anche il parametro k. Troverò quindi un’equazione di secondo grado con la lettera k al posto della x da risolvere normalmente con il delta.

 

2- DETERMINARE IL PARAMETRO K PER CUI L’EQUAZIONE È IMPOSSIBILE

Nel caso in cui venga chiesto di trovare la lettera nel caso in cui la soluzione non sia reale, vuol dire che dovremo imporre la condizione Δ<0. Per cui otteniamo:

 

Δ<0 → b2-4ac<0

 

Anche in questo caso andrò a sostituire i coefficienti dell’equazione di secondo grado letterale all’interno di quest’ultima espressione. Ottengo così una disequazione di secondo grado da risolvere con i metodi classici.

 

3- DETERMINARE IL PARAMETRO K PER CUI L’EQUAZIONE AMMETTE DUE SOLUZIONI DISTINTE

Se l’equazione parametrica di secondo grado richiede nella traccia di trovare 2 soluzioni, allora la condizione da imporre è delta maggiore di zero.

 

Δ>0 → b2-4ac>0

 

Il caso è analogo al precedente, cambia semplicemente il verso della disequazione, ma il modo per risolverla resta lo stesso.

 

4- OPERAZIONI CON LE RADICI

In modo completamente differente si risolvono le equazioni letterali di secondo grado in cui la traccia chiede di trovare il parametro k affinché, la somma o il prodotto tra le radici sia pari ad un numero. Vuoi che faccia un esempio?

 

Esempio di traccia: determina i valori del parametro quando il prodotto delle radici è pari a 1

Per risolvere le equazioni parametriche di II grado in questo modo è fondamentale ricordare che, date le soluzioni dell’equazione, si definiscono:

 

somma= x1+x2 = s = -b/a

prodotto= x1 * x2 = p = c/a

 

Questo vuol dire che prendiamo ciò che ci chiede la traccia (nell’esempio: “il prodotto delle radici”) e proviamo a trasformarla fino a quando non troviamo x1+x2, cioè una somma, oppure x1 * x2 ovvero un prodotto.

Nel nostro esempio come possiamo procedere? Iniziamo traducendo matematicamente che il prodotto delle soluzioni è pari a 1. Questo vuol dire che:

136-

1) le radici sono reali;

2) la differenza delle radici è 1;

3) il prodotto dei reciproci delle radici è 1/3;

4) una radice è doppia dell’altra.

 

SVOLGIMENTO

La prima parte dell’equazione parametrica di secondo grado viene risolta imponendo l’equazione di esistenza con il delta maggiore o uguale di zero.

137-

Nella seconda parte viene chiesto invece quando la differenza tra le due radici è pari a 1. In questo caso è necessario calcolare quindi le due soluzioni contenenti all’interno la lettera k. Il delta è stato già calcolato nell’esercizio precedente ed era pari a 2k+3, per cui è inutile ricalcolarlo di nuovo.

138-

L’ultima parte di questo esercizio sulle equazioni parametriche di secondo grado ci chiede quanto vale la lettera k quando una soluzione è doppia dell’altra. Quindi possiamo scrivere

139-

L’EQUAZIONE ESISTE? LA DISCUSSIONE

Si parla spesso di fare la discussione delle equazioni letterali, ma come funziona? Un metodo molto semplice consiste nel porci una semplice domanda: quando esiste l’equazione di secondo grado? Ci ricordiamo che la formula canonica è:

 

ax2+bx+c=0

 

Cosa succede quando il coefficiente a=0? Che l’equazione di secondo grado non è più tale, ma si trasforma in un’equazione di primo grado. Quando al primo coefficiente c’è anche un parametro, cioè una lettera oltre alla x, è necessario imporre una condizione di esistenza che presuppone una piccola discussione. Vediamo un esempio pratico.

 

(k+9)x2+(3k+1)x+2=0

 

L’equazione di II grado degenera in un’equazione di I grado quando il termine al quadrato si annulla. Questo vuol dire che il suo coefficiente deve essere zero. Cioè deve valere:

 

k+9=0 → k=-9

 

Quando k=-9, l’equazione diventa: (-9+9)x2+[3(-9)+1]x+2=0 → -26x+2=0 → x=13

Questo vuol dire che per k=-9 le soluzioni sono x=13.

Quando invece il primo termine non si annulla, vuol dire che ho k diverso da -9. In questo caso ho effettivamente un’equazione di secondo grado, per cui posso risolvere normalmente con il delta.

 

Equazioni di secondo grado con delta negativo

 – un piccolo accenno sui numeri complessi

 

Adesso  vedremo un paio di casi particolari in cui dalla risoluzione degli esercizi sulle equazioni di secondo grado abbiamo il delta negativo. Come si risolvono in questo caso? E’ possibile trovare una soluzione al problema?

Ovviamente diamo per scontato che hai familiarità con le equazioni di secondo grado e sai come si calcola il delta, cioè il discriminante. Ricordi la formula?

 

∆=B2-4AC

Abbiamo già visto i 3 casi:

 

# ∆>0 → quando il delta è maggiore di 0, l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;

# ∆=0 → quando il delta è uguale a 0, l’equazione ammette due soluzioni coincidenti;

# ∆<0 → quando il delta è minore di 0, l’equazione non ammette soluzioni reali;

 

DELTA NEGATIVO – QUAL È LA SOLUZIONE?

La domanda che si fa lo studente medio è in genere: come risolvo un’equazione di secondo grado con delta negativo? Come hai potuto leggere dal paragrafo precedente, non ci sono soluzioni reali. Questo vuol dire che nella maggior parte dei casi ti basterà scrivere come risultato IMPOSSIBILE.

Ma che cosa significa che non ci sono soluzioni reali? Che, nel campo dei numeri reali, l’equazione non da alcun tipo di risultato accettabile, cioè è impossibile risolverla.

 

EQUAZIONE DI SECONDO GRADO COMPLESSA

E’ un argomento che generalmente non si affronta nel programma di matematica di un liceo o comunque di una scuola superiore, ma in realtà l’equazione con delta negativo, ammette soluzioni nel campo dei numeri complessi.

Si tratta di un argomento lungo e complesso che generalmente si affronta all’università con i primi esami di analisi matematica. Tuttavia vale la pena fare un piccolo accenno sull’argomento semplicemente per permetterti di dare un risultato alle equazioni di secondo grado complesse.

 

PICCOLO RICHIAMO AI NUMERI COMPLESSI

L’unica cosa da sapere per poter trovare comunque una soluzione è che con i numeri complessi si introduce la lettera i. Un numero complesso è composto infatti da una parte reale e una immaginaria.

Ad esempio il numero complesso z può essere scritto come: z=a+i*b . “a” rappresenta la parte reale, mentre i*b rappresenta la parte immaginaria. a e b sono due numeri reali, mentre “i” resta sotto forma di lettera. Senza dilungarci troppo, ti basta sapere che la lettera “i” viene definita come i=√ (-1) , cioè è la radice quadrata di -1.

 

RISOLUZIONE EQUAZIONE DI SECONDO GRADO CON DELTA NEGATIVO

In base ala definizione della lettera “i” vediamo come si risolve un’equazione con delta minore di 0 con un esempio pratico.

x2+2x+2=0 → ∆=b2-4ac=(2)2-4(+1)(+2)=4-8=-4

Risultato: Impossibile

L’equazione ha delta negativo quindi sarebbe sufficiente scrivere “impossibile” (o “mai”) ma se vogliamo trovare una soluzione nel campo dei numeri complessi allora scriviamo la soluzione come:

x1,2=(-b∓√∆)/2a=[-2∓√(-4)]/2

Ricordando le proprietà delle radici, possiamo scrivere (-4) come (-1) *(+4) per cui la radice quadrata negativa si trasformerebbe in:

x1,2=[-2∓√(-4)]/2=[-2∓√(-1)*√(+4)]/2=[-2∓√(-1)*2]/2

 

In base a quanto abbiamo detto in precedenza, la radice di -1 corrisponde alla definizione di “i”, per cui possiamo scrivere:

 

x1,2=[-2∓√(-1)*2]/2=[-2∓2i]/2

Con un semplice raccoglimento a fattor comune ottengo:

x1,2=[-2∓2i]/2=2*[-1∓i]/2

 

Il 2 presente al numeratore si semplifica con il 2 al denominatore:

x1,2=2*[-1∓i]/2=-1∓i

Quindi le due soluzioni sono -1+i  e  -1-i. In questo modo l’esercizio si conclude e siamo riusciti a trovare le soluzioni dell’equazione di secondo grado con delta negativo usando i numeri complessi.

 

Equazioni esponenziali

 – spiegazione, regole ed esercizi

 

QUALI SONO? – LA DEFINIZIONE

Quando ci troviamo un’espressione matematica in cui l’incognita x compare all’esponente, per definizione, abbiamo un’equazione esponenziale. La forma più semplice, detta normale è la seguente:

140-

Dove a>0, a diverso da 1 e quindi b>0. Quest’ultima considerazione è particolarmente importante perché se la base è positiva anche il risultato dell’operazione sarà necessariamente positiva.

La prima domanda che ci pongono i nostri studenti é: bene, ma allora qual è la differenza tra gli esponenziali e le potenze? Mentre queste ultime, all’esponente hanno soltanto dei valori generalmente numerici, nelle equazioni esponenziali il valore x da calcolare si trova proprio nell’esponente.

 

COME SI RISOLVONO LE EQUAZIONI ESPONENZIALI?

Il primo passo è ovviamente di non lasciarsi prendere dal panico solo perché abbiamo una x all’esponente. La vera difficoltà di questi esercizi non sta tanto nel risolvere l’equazione in sé, quanto ricondurci alla forma base. Vedremo più dettagliatamente negli esercizi gli eventuali calcoli da eseguire. Per ora ci basti sapere che, una volta arrivati alla forma base, basta applicare il logaritmo con la stessa base dell’argomento a primo e secondo membro. Inoltre esponenziali e logaritmiche hanno lo stesso metodo di risoluzione, per cui capito questo non avrai più difficoltà in futuro.

141-

Come puoi vedere abbiamo applicato le regole dei logaritmi (è meglio ripassarle se non le ricordi!). Può capitare quando svolgi degli esercizi sulle equazioni esponenziali, che il risultato non sia lo stesso: ti consigliamo di guardare bene la base del logaritmo perché potrebbe essere necessario cambiarne la base (se non ricordi come fare, vedi la lezione sul cambiamento di base dei logaritmi).

 

E SE CI SONO DUE ESPONENZIALI NELLO STESSO ESERCIZIO?

Nel caso in cui non riesci a ricondurti alla forma base perché ti trovi costretto a risolvere, nello stesso problema, due esponenziali come ad esempio 3^x=4^2x, allora come si procede? Ecco i due casi a cui puoi far riferimento:

# Equazioni esponenziali con la stessa base

142-

In questo primo e più semplice caso, essendo le basi uguali, potrai passare direttamente all’uguaglianza degli esponenti, senza neanche dover usare i logaritmi. Si tratta spesso di esercizi elementari che hanno bisogno di pochi passaggi per essere risolti. Ciò nonostante massima attenzione a sviluppare correttamente tutti i passaggi.

# Equazioni esponenziali a base diversa

143-

In questo secondo caso, più generico, è necessario fare uso dei logaritmi. La soluzione che hai visto in questa formula generale, in realtà non è l’unica. Le equazioni esponenziali si possono risolvere infatti imponendo anche basi differenti. Nella spiegazione generale che hai appena visto abbiamo applicato il logaritmo decimale, ma nulla ci avrebbe vietato di scrivere un log in base a. Il risultato sarebbe stato diverso? Assolutamente no: sarebbe cambiato solo il coefficiente.

Non preoccuparti infine della presenza di frazioni in questo tipo di esercizi: i logaritmi non sono difficili da usare, basta applicare solo le relative regole quando e dove necessario.

 

ESERCIZI SVOLTI ED ESEMPI

La spiegazione e le regole sulle equazioni esponenziali sono già finite! Come hai potuto vedere non si tratta di nulla di particolarmente complesso: è fondamentale però conoscere le regole delle potenze e quelle dei logaritmi, senza le quali diventa tutto più difficile. A questo punto, per darti un aiuto maggiore e spiegare meglio i concetti fino ad ora espressi, vediamo di risolvere assieme qualche esercizio sugli esponenziali.

Risolvere le equazioni esponenziali seguenti:

144-

Come puoi vedere in questo primo esempio svolto, la prima cosa da fare è cercare di capire se siamo in presenza di un’equazione esponenziale con le stesse basi. In questo caso l’esercizio diventa molto più facile: solo ricordando le regole e gli esercizi sulle potenze (in particolare sulle potenze negative) siamo riusciti a passare da 1/2 a 2 semplicemente mettendo un segno meno all’esponente. Il resto del problema non è difficile, si tratta di semplici passaggi algebrici.

145-

In questo secondo esercizio appare subito evidente che la base non è la stessa: si tratta di un’equazione esponenziale con basi diverse per cui dovremo necessariamente usare i logaritmi. Ci sono due modi di procedere: usare i logaritmi naturali (cioè con il numero di Nepero) o decimali, oppure usare la stessa base degli esponenziali, che è la strada che noi preferiamo. Vediamo come si risolve:

146-

Come puoi osservare l’unica vera difficoltà è ricordarsi di applicare le regole dei logaritmi all’interno dell’equazione esponenziale. Per il resto valgono le regole già viste più volte per le equazioni di primo grado. Cioè risolte le moltiplicazioni, gli elementi con l’incognita vanno a sinistra mentre i termini noti a destra. Infine sono state applicate le proprietà di somma e differenza dei logaritmi. Senza dilungarci in ulteriori spiegazioni, proseguiamo questa volta con le equazioni esponenziali di secondo grado (dette anche del secondo tipo).

147-

Non esiste altro metodo per risolvere le equazioni esponenziali del secondo tipo: si pone l’esponenziale stesso pari ad una seconda incognita – y nell’esempio – e si calcolano le radici dell’equazione di secondo grado -anche con il metodo del delta. Una volta trovate y1 e y2, le due soluzioni, si va sostituire di nuovo l’esponenziale completando l’esercizio. L’ultimo esempio che ti mostriamo, infine, riguarda i sistemi di equazioni esponenziali, in cui compaiono cioè 2 incognite.

148-

In questo tipo di esercizio non c’è nulla di particolarmente difficile. Abbiamo risolto e semplificato le equazioni in maniera indipendente e poi usato la regola dei sistemi di equazioni – come il metodo di sostituzione. La regola non sarebbe cambiata se ci fossero state 3 incognite e quindi tre equazioni esponenziali da risolvere.

 

Disequazioni esponenziali

 – esempi ed esercizi svolti

 

COME SI RISOLVONO?

A scuola non le hai capite ed ora ti ritrovi costretto a far i conti con degli esercizi che non sai risolvere… Niente paura: ti daremo in pochi semplici passaggi un aiuto sulle disequazioni irrazionali. In questo modo potrai risolvere espressioni ed esercizi di matematica anche più difficili ed in pochi minuti. Iniziamo però con calma…

Le disequazioni esponenziali e logaritmiche si svolgono più o meno nello stesso modo: il principio che ti aiuterà a risolvere gli esercizi anche più difficili sono praticamente gli stessi. Per questa lezione è fondamentale che tu abbia già studiato le equazioni esponenziali o almeno tu sappia che cos’è la funzione esponenziale stessa.

Come quasi sempre accade, la regola generale è cercare di ricondurci alla forma base:

149-

Nel caso in cui b (cioè il numero al secondo membro) è minore di 0, allora nel primo caso ho una disequazione sempre verificata (scriveremo con simboli “per ogni x appartenente a R”), mentre nel secondo caso una disequazione impossibile.

Questo perché a elevato a x deve necessariamente essere positivo per definizione di esponenziale. Ricordando che la funzione esponenziale è crescente quando la base è maggiore di zero, decrescente quando la base è compresa tra 0 e 1, allora dobbiamo distinguere due diversi casi:

 

# SE 0<A<1, ALLORA:

150-

# SE A>1

151-

TRUCCHI E SUGGERIMENTI CHE TI VENGONO IN AIUTO

Dal punto di vista teorico la lezione potrebbe anche essere finita qui. La cosa che ci preme che tu abbia capito è che, quando la base dell’esponenziale è minore di 1 dovrai ricordarti di invertire il verso della disequazione. Quando invece la base dell’esponente è maggiore di 1 non dovrai farti alcun tipo di problema e risolvere normalmente.

 

ESERCIZI ED ESEMPI SVOLTI SULLE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI

Risolviamo i seguenti esercizi sulle disequazioni esponenziali.

152-

Negli esercizi facili, come il primo che ti abbiamo proposto, non è necessario neanche fare il passaggio ai logaritmi. Semplicemente è stato sufficiente ricordarci le proprietà delle potenze e trasformare 16 in una potenza con lo stesso esponente.

153-

Il secondo esercizio che hai visto è uno delle più semplici disequazioni esponenziali fratte. Anche in questo caso infatti non abbiamo usato le radici, ma le proprietà delle potenze e, alla fine, un facile minimo comune multiplo per la presenza della frazione 1/3.

In questo caso abbiamo risolto degli esercizi con le basi uguali. Nel momento in cui ci troviamo a dover risolvere delle disequazioni esponenziali con basi diverse, dovremo necessariamente fare ricorso ai logaritmi.

154-

In quest’ultimo esercizio abbiamo dovuto provare a risolvere la disequazione esponenziale con due incognite: la seconda ci è infatti servita per semplificarci il problema trasformando il tutto in una banale disequazione di secondo grado. A quel punto abbiamo trasformato la disequazione esponenziale attraverso i logaritmi ed ottenuto in seguito il risultato finale.

 

 

Equazioni Logaritmiche

– come si risolvono? Definizione, formule ed esercizi svolti

 

QUALI SONO LE EQUAZIONI LOGARITMICHE?

Ovviamente prima di partire ti consigliamo di andarti a riguardare le proprietà dei logaritmi. E’ impossibile pensare di risolvere equazioni logaritmiche e disequazioni senza sapere neanche cosa sono i logaritmi.

La definizione è molto semplice: un’equazione logaritmica è tale quando l’incognita x compare anche all’argomento di uno o più logaritmi.

155-

Come puoi vedere è possibile dover risolvere anche le equazioni logaritmiche con base diversa. Non spaventarti, ti daremo un aiuto su tutte le domande che avrai in mente, ma procediamo con ordine.

 

COME SI RISOLVONO LE EQUAZIONI LOGARITMICHE?

Per risolvere un’equazione logaritmica si devono stabilire le Condizioni di Esistenza (se ti ricordi ne abbiamo già parlato anche durante le lezioni sulle equazioni fratte e sui irrazionali). E’ necessario imporre ogni argomento di logaritmo positivo (cioè maggiore e uguale di 0) e poi si deve cercare di porre l’equazione nella forma:

156-

In questo modo potrai risolvere le equazioni anche più difficili. Nel caso più generale potrai provare ad ottenere queste che sono chiamate equazioni logaritmiche elementari:

157-

TRUCCO PER RICORDARTI COME RISOLVERE LE EQUAZIONI CON I LOGARITMI

Noi sai come ci ricordiamo come procedere? Semplicemente ogni volta che abbiamo un esercizio con un logaritmi ci muoviamo trasformando la traccia in una potenza, la cui base è proprio la base del logaritmo. Cioè per chiarirti le idee, ecco il nostro consiglio:

158-

Sfruttando la definizione dei logaritmi possiamo così risolvere tutti gli esercizi facili o difficili che siano.

 

EQUAZIONI LOGARITMICHEESEMPI SVOLTI

159-

In questo primo esempio abbiamo un’equazione logaritmica con le basi uguali. Per portarci al caso più semplice in cui abbiamo 1 logaritmo a destra e 1 a sinistra è necessario risolvere la somma. Ti ricordi come si fa? Tra le nostre lezioni trovi molti esercizi sui logaritmi su cui poter approfondire l’argomento. Ricorderai che si ottiene una moltiplicazione, per cui:

160-

Come puoi vedere abbiamo risolto sulla destra le condizioni di esistenza per giungere ad ottenere un sistema di disequazioni di primo grado. Sulla sinistra invece ho ottenuto una semplice equazione di secondo grado.

Lasciamo a te la risoluzione di quest’ultima, da svolgere con il metodo solito del DELTA o con qualsiasi altro metodo ritieni più opportuno. Le due soluzioni sono:

x=-3 (non accettabile per le condizioni di esistenza)

x=1 (accettabile)

 

ESERCIZIO RISOLTO SULLE EQUAZIONI LOGARITMICHE

Vediamo un secondo esempio meno facile del precedente.

161-

Poiché il logaritmo in base 3 di 9 è uguale a 2 e la differenza tra i logaritmi diventa una divisione, allora possiamo scrivere:

162-

A questo punto abbiamo ottenuto un’equazione irrazionale. Intanto non avendole segnate sopra ti riportiamo qui il risultato delle condizioni di esistenza. x>-1

Possiamo ora elevare al quadrato ed ottenere, dopo aver calcolato il minimo comune multiplo, la seguente equazione:

163-

EQUAZIONI LOGARITMICHE CON BASI DIVERSE

164-

Attenzione a questo esercizio risolto: abbiamo la base di un argomento con l’incognita. Questo significa che dovremo aggiungerlo alle condizioni di esistenza. Per avere significato, infatti, l’espressione deve essere:

165-

Come puoi vedere abbiamo praticamente ottenuto un’equazione logaritmica di secondo grado (dopo essere passato per le equazioni logaritmiche fratte). Sostituiamo il logaritmo con una nuova variabile, in questo caso la y, e risolviamo con il metodo del delta, come sempre. Otteniamo due soluzioni, ma ricordiamoci che abbiamo calcolato y non x. Per cui risostituiamo:

166-FINE EQUAZ.DISEQ.- 4

Data 20 ottobre 2019

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI – 3

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Equazioni di primo grado

 – esercizi svolti con tutti i possibili casi

 

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO AD UNA INCOGNITA

Iniziamo a risolvere esercizi sulle equazioni di primo grado più semplici e man mano rendiamo i problemi sempre più difficili. Risolvere le seguenti equazioni numeriche intere.

 

ESERCIZIO 1

5x-3-4x=2x-6

 

Questo primo esercizio svolto sulle equazioni di primo grado è estremamente semplice e facilmente può essere ricondotto alla forma base delle equazioni di primo grado. E’ sufficiente “spostare” tutti gli elementi con l’incognita x a sinistra e tenere i termini noti, cioè i numeri, sulla destra.

 

5x-4x-2x=-6+3

-x=-3

 

Sulla sinistra abbiamo svolto le operazioni tra monomi simili, mentre al secondo membro le operazioni tra numeri relativi sulla destra.

Poiché il segno meno deve sparire dalla x, posso cambiare i segni di entrambi i membri e il risultato non cambia. Per cui ottengo alla fine il semplice risultato:

x=3

 

ESERCIZIO 2

(3x-5)/4-1=2x

 

Abbiamo iniziato ad aumentare lentamente la difficoltà degli esercizi sulle equazioni di primo grado, introducendo una semplice frazione. Abbiamo già visto nella scorsa lezione sulle equazioni di primo grado come comportarci in questo caso.

Attenzione a non confondere questa tipologia di problema, con un numero al denominatore, con gli esercizi sulle equazioni fratte. In quel caso l’incognita del problema è al denominatore e l’esercizio è leggermente più difficile. Nel nostro caso ci stiamo occupando ancora di esercizi piuttosto semplici, ecco come procedere:

# Calcoliamo  il minimo comune multiplo e si eseguono le operazioni normali per le frazioni. Ovvero mcm diviso il denominatore, moltiplicato per il numeratore.

89-INIZIO EQUAZ.E DISEQ. - 3

# Essendoci a denominatore solo dei numeri ed essendo questi uguali, posso eliminarli e considerare esclusivamente il numeratore.

3x-9=8x

3x-8x=9

 

A questo punto siamo tornati al caso più semplice di esercizio sulle equazioni di primo grado. Come sempre portiamo le incognite a sinistra e i termini noti a destra. Risolvo la somma dei due monomi al primo membro per ottenere:

 

-5x=+9

5x=-9

 

Dopo aver cambiato tutti i segni, così che davanti la x non compaia il segno negativo, posso applicare la regola delle moltiplicazioni e divisioni. Cioè divido entrambi i membri per il coefficiente della x. Quindi divido tutto per 5.

x=-9/5

 

ESERCIZIO 3

Complichiamo ancora il grado di difficoltà degli esercizi sulle equazioni di primo grado introducendo qualche calcolo ulteriore. L’obiettivo resterà sempre riportarci alla forma base delle equazioni di primo grado ax=b

90-

Non è cambiato molto dal caso precedente, si calcola come prima il minimo comune multiplo e si svolgono i normali calcoli. Iniziamo a risolvere l’esercizio:

 

18(3-4x)-15(x-1)=30(4+x)-160

54-72x-15x+15=120+30x-160

 

Siamo tornati al caso più semplice: abbiamo cioè solo incognite e termini noti, nessun’altra difficoltà. Per cui come prima le incognite passano tutte a primo membro, tutto il resto a destra.

 

69-87x=-40+30x

-87x-30x=-40-69

-117x=-109

x=117/109

 

Dopo esserci ricondotti alla forma base ax=b abbiamo semplicemente cambiato i segni di entrambi i membri e applicato la proprietà delle equazioni della moltiplicazione e divisione. Dividendo entrambi i membri per 39 ho ottenuto il risultato finale.

 

ESERCIZIO 4

Il seguente esercizio sulle equazioni di primo grado comprende un po’ tutto quanto studiato sino ad ora, dalle operazioni tra polinomi ai quadrati di binomio. Per risolvere questo esercizio di matematica occorrerà come sempre restare concentrati e applicare le regole viste sino ad ora una alla volta.

91-

Iniziamo a risolvere il quadrato di binomio e a sviluppare il prodotto tra polinomi in parentesi. Otteniamo quindi:

92-

Ora moltiplichiamo le frazioni esterni per ogni singolo elemento contenuto dalle parentesi tonde.

93-

Avendo eliminato tutte le parentesi tonde dall’equazione di primo grado, possiamo calcolare il minimo comune multiplo, che in questo caso è pari a 30. Prima però semplifichiamo al massimo ogni singola frazione così da ridurre i calcoli per risolvere l’esercizio. Da notare inoltre che alcuni termini uguali si sommano e si sottraggono per cui possono essere eliminati. Riducendo si ottiene quindi:

94-

ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO CON SOLUZIONI

Ti presentiamo ora una serie di esercizi sulle equazioni di primo grado. Hai tutti gli strumenti per risolvere correttamente questi semplici esercizi di matematica, per cui non indugiare.

Ti consigliamo di esercitarti sul maggior numero possibile di esercizi sulle equazioni di primo grado. Sarai così perfettamente in grado di affrontare i prossimi argomenti di cui tratteremo, ovvero gli esercizi sulle equazioni di primo grado fratte e le disequazioni.

95-

96-

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Disequazioni di secondo grado

 – spiegazione e schema risolutivo

 

Le disequazioni di secondo grado sono delle disequazioni in cui l’incognita compare con un esponente al quadrato.

Per capire come si risolvono le disequazioni di secondo grado è importante che tu abbia studiato, e quindi capito, le equazioni di secondo grado, perché anche in questo caso andremo a trovare due soluzioni x1 e x2. La soluzione però sarà data da un intervallo di valore. Iniziamo però con calma e capiamo subito cosa sono e come si presenta una disequazione di secondo grado.

 

ax²+bx+c>0

ax²+bx+c≥0

ax²+bx+c<0

ax²+bx+c≤0

 

Queste che hai visto elencate sono le quattro forme in cui si possono presentare le disequazioni di secondo grado. Abbiamo un termine al quadrato, un termine di primo grado e quello che viene chiamato termine noto. Il verso può essere maggiore, minore, maggiore e uguale o minore e uguale.

Dei tre coefficienti, a ovviamente deve essere diverso da zero, altrimenti avremmo il caso di una disequazione di primo grado.

ax²+bx+c>0 → a=0 → bx+c=0 → x=-b/c

 

COME FARE PER RISOLVERE DISEQUAZIONI DI II GRADO

Molti testi di matematica propongono metodi e tecniche risolutive differenti. Noi ti proponiamo in questa lezione quella più facile e sicura, cioè che richiede meno sforzi mentali e presenta meno rischi di errori.

 

1 – ASSICURATI CHE A>0

Per non complicare troppo gli esercizi, fai in modo che il primo coefficiente sia positivo. Se dovessi vedere un segno meno, cambia tutti i segni e il verso della disequazione.

 

2 – CALCOLA LE DUE SOLUZIONI

Fai finta almeno per questo momento che stai risolvendo un’equazione di secondo grado e usa le formule risolutive che conosci, come ad esempio la formula del delta. Sui libri di testo troverai scritto che per risolvere le disequazioni di secondo grado, bisogna passare all’equazione associata. Cioè:

ax²+bx+c>0 → ax²+bx+c=0

98-

 

 

3 – SCHEMA RISOLUTIVO

A questo punto abbiamo calcolato x1 e x2 e si possono presentare i seguenti casi:

99-

100-

101-

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO SPURIE

Esistono alcuni casi più semplici dove puoi evitare di fare il calcolo del delta, tra queste le disequazioni di II grado spurie. Esempio:

x²+2x≤0

Passo subito all’equazione associata

x²+2x=0

Noto che manca il termine noto, per cui posso mettere in evidenza la x.

x(x+2)=0

 

Le soluzioni sono x=0 e x=-2. Analizzando la tabella precedente noto che sono nel caso in cui le due soluzioni sono diverse tra loro e c’è il simbolo minore e uguale. Per cui la soluzione è:

-2≤x≤0

 

 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO PURE

Questo tipo di disequazioni di 2 grado sono le più sbagliate dagli studenti, perché apparentemente le più semplici. Qui bisogna fare molta attenzione al delta negativo. Mi ritrovo infatti di fronte ad una disequazione binomia del tipo:

 

ax²+c>0

 

# Se i coefficienti a e c sono discordi puoi risolvere come una normale equazione di secondo grado pura. Quindi portiamo c al secondo membro, radice quadrata e troviamo le due soluzioni x1 e x2. A questo punto seguo la tabella vista sopra.

# Se i coefficienti a e c sono concordi, se provassi a usare la formula normale per le equazioni di 2 grado, avresti un delta negativo. Queste disequazioni binomie infatti vanno risolte nel seguente modo:

3x²+1<0 → IMPOSSIBILE

3x²+1>0 → ∀x∈R

Col verso minore il risultato è impossibile: questo perché il binomio è sempre positivo e non può essere minore di zero. Quando c’è il verso maggiore il risultato è sempre verificato (cioè per ogni x appartenente a R).

 

ESEMPI

Adesso vedremo solo alcuni esempi per  capire come applicare le formule viste sopra.

 

ESERCIZIO 1

x²-5x<0

 

Svolgimento

Questa che ci viene presentata dalla traccia rientra tra le disequazioni di secondo grado spurie. Per cui si fa un raccoglimento totale della x.

x(x-5)<0

L’equazione associata è x(x-5)=0 le cui soluzioni sono x1=5 e x2=0

Entro nella tabella con x1 diverso da x2 e con il simbolo minore. Il risultato è per valori compresi. Per cui la soluzione posso scriverla come:

0<x<5

 

 ESERCIZIO 2

-x²-10x-25<0

Svolgimento

Visto che il primo coefficiente è negativo, invertiamo tutti i segni e il verso della disequazione.

x²+10x+25>0

Passiamo all’equazione di II associata:

x²+10x+25=0 → calcolo il delta → Δ=b²-4ac=100-4(25)=0

x=-10/2=-5

 

Ho il delta uguale a zero, per cui rientro nel caso in cui le due soluzioni sono uguali tra loro e ho verso maggiore. Per cui la soluzione è:

xR, x≠-5

 

ESERCIZIO 3

x²+4x-21>0

Svolgimento

Passiamo all’equazione associata e calcoliamo le due soluzioni.

x²+4x-21>0 → x²+4x-21=0  → x1=-7 e x2=3

Siamo nel caso in cui le due soluzioni sono tra loro diverse, mentre il verso è maggiore. Per questa ragione si prendono soluzioni esterne. Il risultato è quindi:

x<-7 U x>3

 

Formula delta

 – come si calcola il discriminante?

 

Qual è la formula del delta? Come si calcola il delta delle equazioni di secondo grado in modo semplice?

Ecco come si calcola il delta:

102-

La formula del delta è: il quadrato del coefficiente di primo grado (b2) meno il quadruplo del prodotto del coefficiente di secondo grado per il termine noto (4ac).

Quindi detto in termini generici, data l’equazione di secondo grado generica

103-

per il calcolo del delta basta elevare al quadrato il numero che si trova al posto della b e fare la differenza con il termine a la c moltiplicate per 4.

 

A COSA SERVE IL CALCOLO DEL DELTA

Una volta calcolato il discriminante si ottiene un numero. Qui si presentano 3 casi.

 

# Δ>0 → l’equazione ha 2 soluzioni reali e distinte.

# Δ=0 → l’equazione ha 2 soluzioni reali coincidenti. Se provi a scomporla vedrai che otterrai un quadrato di binomio.

# Δ<0 → l’equazione è impossibile nel campo dei numeri reali. Leggi l’approfondimento sulle equazioni con delta negativo.

Appare quindi evidente la funzione del delta: indicarci se esistono e quante sono le soluzioni dell’equazione studiata. Si può inserire la formula del delta all’interno della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.

104-

ESEMPI SU COME SI APPLICA LA FORMULA DEL DELTA

Esercizio 1)

3×2+7x+2=0

Si voglia in questo esercizio solo applicare la formula del delta senza trovare le soluzioni dell’equazione. Per prima cosa individuiamo i coefficienti:

a=3, b=7, c=2

Δ=b2-4ac=

=72-4(3)(2)=

=49-24=25

In questo caso il delta è un numero maggiore di zero, per cui esistono due soluzioni reali e distinte.

 

Esercizio 2)

x2+2x+√3=0

Come prima applichiamo la formula del delta trovando i coefficienti da inserire:

a=1, b=2, c=√3

Δ=b2-4ac=

=22-4(1)(√3)=

=4-4√3.

Il delta è sempre un numero positivo ma ha la particolarità di contenere una somma con una radice. Andando a calcolare poi le soluzioni dell’equazione ci troveremo con una radice con all’interno un’altra radice. L’unico modo che abbiamo per risolverla è utilizzare la formula dei radicali doppi quadratici. Lasciamo tuttavia la conclusione di questo esempio a te: sarà un ottimo modo per esercitarti.

 

FORMULA DELTA QUARTI

Si utilizza praticamente solo al secondo anno della matematica delle scuole superiori perché rappresenta un formula aggiuntiva da imparare che può essere sostituita perfettamente dalla formula del delta vista fino a questo momento.

Riepilogando in breve: si utilizza quando il coefficiente del termine di primo grado è un numero pari. Serve sostanzialmente per ridurre quelle espressioni in cui i numeri sono molto grandi. La formula del delta quarti è la seguente:

105-

La formula per calcolare il delta quarti prevede di dividere a metà il coefficiente del termine di primo grado e poi elevarlo al quadrato. Al numero che si ottiene bisogna sottrarre il prodotto tra il coefficiente del termine di secondo grado e il termine noto.

 

ESEMPIO DI APPLICAZIONE FORMULA DELTA QUARTI

x2+4x+3=0

Individuiamo come sempre i coefficienti: a=1, b=4, c=3.

Δ/4=(b/2)2-ac=

=(4/2)2-(1)(3)=

=4-3=1

Anche in questo caso la formula del delta quarti ci fornisce un risultato positivo, per cui l’equazione di secondo grado avrà due soluzioni reali e distinte.

Ora sai tutto quello che c’è da sapere sulla formula del delta. Ti consigliamo di impararla a memoria anche perché la utilizzerai molto spesso.

 

Disequazioni di primo grado

 – come risolverle senza rischiare di fare errori

 

Le disequazioni di primo grado, sono delle disequazione che hanno al loro interno l’incognita x di grado 1. Proprio per questa ragione vengono chiamate anche disequazioni lineari.

Per poterle risolvere è necessario effettuare operazioni e semplificazioni così da ricondurre la disequazione di primo grado nella forma più semplice:

 

ax>b

(maggiore)

ax<b

(minore)

ax≥b

(maggiore e uguale)

ax≤b

(minore e uguale)

 

COME SI RISOLVONO LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO?

I valori a e b si chiamano coefficienti della disequazione e appartengono all’insieme dei numeri reali. Una volta giunti ad una delle quattro forme base viste sopra, possiamo risolvere esattamente come siamo abituati con le equazioni di primo grado. Quindi la x viene isolata portando il coefficiente a al denominatore del secondo membro.

 

ax>b → x>b/a

ax<b → x<b/a

ax≥b → x≥b/a

ax≤b → x≤b/a

 

Tutto quello che c’è da sapere sulle disequazioni di primo grado è finito. Tutte le difficoltà che potrai incontrare riguardano sostanzialmente i passaggi algebrici. Il difficile, in poche parole, è solo arrivare ad uno dei quattro casi visti sopra.

Quando prenderai confidenza con l’argomento passerai a dei casi un po’ più complessi, come le disequazioni di primo grado fratte, in cui l’incognita x compare anche al denominatore. Iniziamo intanto a concentrarci sui casi più semplici.

 

2 CONSIGLI PER EVITARE DI SBAGLIARE

1) SE CAMBI I SEGNI CAMBIA ANCHE IL VERSO

La cosa fondamentale da ricordare è che nelle disequazioni di primo grado se vogliamo cambiare tutti i segni va cambiato anche il verso. Mentre cioè nelle equazioni di primo grado era sufficiente cambiare solo tutti i segni, qui dobbiamo ricordarci di trasformare il maggiore in minore e viceversa.

 

2) DISEQUAZIONI LINEARI CON LE FRAZIONI

Nella nostra esperienza abbiamo avuto modo di constatare che gli studenti ci chiedono un aiuto soprattutto quando i coefficienti sono delle frazioni. Se invece di a e b abbiamo delle frazioni cosa succede? E’ un aspetto che abbiamo già evidenziato nelle equazioni di primo grado, ma è meglio ribadirlo piuttosto che avere dei dubbi. Facciamo subito lo schema di come risolvere:

106-

Come puoi notare è sufficiente trasportare la prima frazione (il coefficiente della x) al secondo membro come prodotto e capovolgerla: il numeratore diventa denominatore e viceversa. Seguendo questa regola non avrai più bisogno di aiuto e sicuramente eviterai dubbi o errori.

 

I PRIMI ESERCIZI CON LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Quelli che ti proponiamo ora sono alcuni esercizi e problemi risolti con soluzione. Si tratta di esempi che potrai trovare utili per applicare i metodi di risoluzione visti sopra nella parte teorica. Vediamo allora come si risolvono le disequazioni di primo grado seguenti.

 

ESEMPIO 1

3x-4>0

Abbiamo detto che per risolvere una disequazione di 1 grado bisogna isolare la x al primo membro. Per cui il termine noto (cioè i coefficiente senza la x) va portato al secondo membro cambiandogli il segno.

3x>+4

A questo punto, per isolare definitivamente la x, bisogna portare il coefficiente 3 al secondo membro. Dividiamo quindi primo e secondo membro della disequazione lineare per 3.

x>+4/3

 

ESEMPIO 2

3x+4≥3(x+2)-2

Rispetto al caso precedente c’è semplicemente una moltiplicazione in più da eseguire. Risolviamo subito il prodotto per eliminare la parentesi tonda:

3x+4≥3x+6-2

3x+4≥3x+4

Portiamo quindi ora tutti i monomi con la x al primo membro, mentre i termini noti vanno al secondo membro.

3x-3x≥+4-4

0x≥0

Abbiamo ottenuto un risultato decisamente strano. Poiché 0 moltiplicato per x fa 0, la disequazione ci sta chiedendo quando 0≥0? Se la disequazione fosse con il segno > (solo maggiore) sarebbe impossibile, perché 0 non è maggiore di se stesso. In questo caso, tuttavia, la disequazione di primo grado ha il verso maggiore e uguale. Poiché 0=0, allora il risultato è sempre verificato. In matematica si scrive come:

∀x∈R

Si legge per ogni x appartenente ad R che equivale a dire che qualsiasi valore noi assegniamo alla x, il risultato è sempre valido.

 

ESEMPIO 3

√2 x +1≥ 3+x

 

Si tratta di una disequazione di primo grado a coefficiente irrazionale. Cioè uno dei coefficienti è una radice quadrata. Senza lasciarci prendere dal panico, applichiamo il metodo risolutivo: i coefficienti con la x al primo membro, tutti gli altri al secondo membro.

 

√2 x≥ 3-1

√2x ≥ 2

x ≥ 2/√2

A questo punto possiamo applicare la regola delle razionalizzazioni dei radicali. Moltiplichiamo e dividiamo il secondo membro per √2.

 

x ≥ 2/√2 · √2/√2

x ≥ 2√2/2

x ≥ √2.

 

ESEMPIO 4

107-

Questo ultimo esercizio può sembrare più difficile ma chiarisce quanto le disequazioni di primo grado siano in realtà semplice. Può essere l’espressione in sé più complessa, ma il metodo risolutivo è sempre lo stesso. In questo caso abbiamo sfruttato la tecnica di semplificazione dei polinomi del raccoglimento a fattor comune per ottenere il binomio letterale (b-a) sia a primo che a secondo membro.

 

Disequazioni Irrazionali

 – le formule e le regole per risolverle

 

Le disequazioni irrazionali sono delle disequazioni in cui compare il simbolo della radice. Generalmente mettono in difficoltà gli studenti, nonostante la loro risoluzione possa essere eseguita con poche semplici regole. Vedremo come si risolvono le disequazioni irrazionali e quali sono le formule da usare per arrivare alla soluzione senza il rischio di sbagliare.

Nella prima parte vedremo quali sono le formule per risolvere le disequazioni irrazionali, mentre dedicheremo un’ampia seconda parte agli esercizi svolti e agli esempi. Ti consigliamo quindi di leggere con calma questa lezione perché troverai tutti i passaggi con commento e spiegazione.

108-

f(x) e g(x) sono due generici polinomi e il secondo di questi compare sotto il segno della radice, che può essere di indice dispari (il caso più semplice da risolvere) o pari. Per il caso minore (e minore uguale) e per il caso maggiore (e maggiore uguale) esistono due metodi o meglio due formule risolutive differenti.

 

TABELLA PER RISOLVERE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

109-

In questo piccolo schema sono presenti le formule sulle disequazioni irrazionali che andrai ad utilizzare per risolvere gli esercizi. Vediamo ora nel dettaglio ogni singolo caso.

 

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI AD INDICE DISPARI

E’ il CASO 1 nelle formule che hai visto in alto. Si tratta del caso più semplice visto che è sufficiente elevare solo all’n-esima potenza entrambi i membri della disequazione. In questo modo riusciamo a far sparire i radicali dall’esercizio. Non importa che la disequazione irrazionale abbia il maggiore o il minore o l’uguale, in ogni caso il procedimento è sempre lo stesso.

 

ESEMPIO   

110-

  

Abbiamo ottenuto a questo punto una disequazione di secondo grado che risolviamo con la formula del delta. Poiché:

Δ=9-24<0 → la soluzione è verificata xR (infatti tutti i termini sono positivi per cui sarà certamente maggiore di 0)

 

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI AD INDICE PARI

Se l’indice del radicale è pari dobbiamo distinguere due diversi casi e procedere in maniera differente a seconda del verso della disequazione.

 

1 – CASO 2

Quello che abbiamo nelle formule generali definito come caso due vede la presenza del segno maggiore (o maggiore e uguale).

In questa circostanza, oltre alla condizione di esistenza del radicale g(x) maggiore e uguale di 0, deve valere f(x)>0 poiché se g è maggiore di 0 ed f è maggiore di g, allora anche f sarà maggiore di 0. E’ così necessario risolvere il sistema di disequazioni.

111-

ESEMPIO

112-

Per la realtà del radicale deve essere x²+2x-3≥0

Inoltre il secondo membro x+5 non deve essere negativo perché maggiore o uguale al primo membro, che non è certamente negativo visto che è il risultato di un radicale. In tali ipotesi si possono elevare al quadrato entrambi i membri, per cui si ha:

113-

Dall’esame della figura si deduce che il sistema e quindi anche la disequazione irrazionale della traccia sono verificati per:

-7/2 ≤ x ≤-3 ∪ x ≥1

 

2 – CASO 3

Nella disequazioni con i radicali compare stavolta il segno minore. In questo caso è necessario risolvere attraverso l’unione di due sistemi di disequazioni:

114-

 

   

Infatti se f(x) è negativo la disequazione di partenza è sicuramente verificata, dato che il radicale è certamente maggiore di un numero negativo. Se f(x) è maggiore o uguale di zero, invece, la disequazione irrazionale è verificata elevando alla potenza n-esima.

 

ESEMPIO

115-

Se il secondo membro della disequazione data è negativo, essa è verificata. Se non è negativo eleviamo al quadrato entrambi i membri per risolvere.

116-

La disequazione 5x+5≥0 nel secondo sistema può essere tralasciata perché implicita nella disequazione 5x+5>(9-x)². Per questa ragione otteniamo come risultato:

x>9 ∪ 4<x≤9

Mettendo questi risultati otteniamo che la disequazione irrazionale è verificata per x>4

 

ESERCIZI SVOLTI

1) Il primo degli esempi che ti proponiamo è molto semplice. Abbiamo indice dispari, per cui non sono necessarie condizioni di esistenza, ma è sufficiente elevare al cubo entrambi i membri della disequazione.

117-

2) Il secondo esercizio svolto presenta un trucchetto che fino ad ora non abbiamo ancora visto: la radice va sempre isolata rispetto a tutti gli altri termini. Questo significa che il radicale deve stare da solo o a primo o a secondo membro.

118-

Come puoi vedere nell’ultima disequazione abbiamo svolto un quadrato di binomio per arrivare alla soluzione temporanea. Per ottenere la soluzione dell’esercizio è necessario fare uno studio dello schema grafico.

119-

Poiché stiamo risolvendo una sistema di disequazioni, bisogna prendere l’intervallo in cui c’è sempre linea continua. Ecco la ragione per cui la soluzione dell’esercizio è: +2<x<+3.

3)  Aumentiamo il grado di difficoltà e proviamo a risolvere esercizi con le equazioni irrazionali con due radicali. Vediamo subito la traccia ed iniziamo a risolvere:

120-

La prima operazione è stata quella di portare tutte le radici allo stesso membro e poi scrivere un sistema con le due condizioni di esistenza dei radicali e l’elevazione a potenza. Quest’ultima operazione riesce in genere più difficile agli studenti ma è piuttosto semplice: ogni radicale va considerato come un termine a parte.

Per cui il binomio di cui fare il quadrato è composto da 2 radici. Si fa così il quadrato del primo radicale, il quadrato del secondo radicale e il doppio prodotto, che come risultato mi dà una nuova radice. Poche semplici operazioni algebriche e mi portano al sistema finale.

A questo punto considerando che la condizione di esistenza dell’ultimo radicale ottenuto mi porterebbe alle stesse disequazioni già scritte  nel sistema, dobbiamo solo aggiungere 2-x>0, rispettando il caso 2 della teoria vista sopra.

121-

TRACCE DI ESERCIZI DA RISOLVERE CON SOLUZIONI

122-

Il primo esercizio da risolvere sulle disequazioni con gli esponenziali presenta un grado di difficoltà molto simile all’ultimo esempio visto assieme. E’ necessario quindi scrivere un solo sistema con le condizioni di esistenza di tutti i radicali e infine elevare tutto al quadrato. Fai attenzione che ti troverai una nuova disequazione irrazionale con il maggiore, per  cui dovrai rispettare il caso 3 e passare a due sistemi.

123-FINE EQUAZ.E DISEQ. - 3

In questo esercizio avrai la possibilità di verificare il tuo grado di abilità con le disequazioni irrazionali fratte. Come per le disequazioni razionali fratte anche in questo caso dovrai studiare separatamente numeratore e denominatore imponendo ad entrambe il maggiore di zero. Al numeratore non avrai alcun problema, mentre al denominatore ti troverai a dover risolvere una disequazione irrazionale con il segno maggiore.

Data 17 ottobre 2019

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI – 2

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Equazioni di primo grado fratte

 

EQUAZIONI FRATTE ESERCIZI

Riassumiamo quanto detto nella lezione sulle equazioni fratte di primo grado. Ecco come si risolvono passo passo:

 

# sulla colonna destra si impongono le condizioni di esistenza, cioè ogni denominatore deve essere imposto diverso da 0 e si risolve l’equazione che ne deriva.

# si torna sulla parte sinistra della pagina e si calcola il minimo comune multiplo tra i monomi o i polinomi al denominatore.

# tutte le frazioni hanno ora il mcm al denominatore, mentre al numeratore si eseguono i classici calcoli che si fanno con le frazioni

(mcm : denominatore × numeratore)

# avendo già esplicitato le condizioni di esistenza, posso eliminare tutti i denominatori.

# ho ottenuto così un’equazione da grado 1 che andrò a risolvere con i metodi di svolgimento delle equazioni di primo grado.

# verifica infine che le soluzioni dell’equazione fratta siano compatibili con le condizioni di esistenza.

 

Nel caso in cui, dopo aver eliminato i denominatori, ti ritrovi con un’equazione di secondo grado, puoi risolvere utilizzando le tecniche viste nella lezione sulle equazioni fratte di secondo grado.

 

EQUAZIONI FRATTE ESERCIZI SVOLTI

Proviamo ora a risolvere assieme 3 equazioni di primo grado fratte. La traccia è:

Risolvere le equazioni fratte a coefficienti numerici di seguito riportate:

 

ESERCIZIO 1

48-EQUAZ.E DISEQ. 2 -INIZIO

Svolgimento

 Vengono chiamate equazioni numeriche fratte perché i coefficienti dei termini noti saranno tutti dei numeri. Non vanno confuse con le equazioni letterali fratte, che hanno un livello di difficoltà leggermente più alto.

Quando ci troviamo di fronte ad esercizi di equazioni fratte di primo grado dove al denominatore ci sono termini di secondo grado – ma anche di terzo, quarto e così via – cerchiamo sempre di usare le regole valide per la scomposizione di polinomi. L’obiettivo è ottenere denominatori più o meno simili in modo di ridurre drasticamente i calcoli necessari per risolvere l’equazione.

In questo caso possiamo utilizzare la messa in evidenza totale nella prima e nell’ultima frazione, mentre nella seconda, essendoci una sottrazione di due termini al quadrato, posso scomporre come il prodotto di una somma per una differenza. Se non ricordi queste regole ti consigliamo di rivedere la lezione sulla scomposizione di polinomi.

49-

A questo punto posso calcolare il mcm tra i polinomi considerando tutti i termini in parentesi e fuori, presi una sola volta con il massimo esponente.

mcm=x(x+1)(x-1)

A questo punto possiamo scrivere le condizioni di esistenza. Ovvero:

CE: x(x+1)(x-1)≠0

Risolviamo questa semplice equazione ricordandoci la legge dell’annullamento del prodotto:

(A)·(B)·(C)=0 → A=0;  B=0;  C=0

Posso così risolvere le condizioni di esistenza:

x≠0;  x≠±1

Dovremo quindi verificare che tra le soluzioni finali non ci siano questi tre risultati. Torniamo ora al minimo comune multiplo:

50-

Avendo già esplicitato le condizioni di esistenza, possiamo eliminare i denominatori. Considerando solo i numeratori ottengo la semplice equazione:

 

x+1=x+x-1

 

Poiché a sinistra e destra ho lo stesso termine cioè una x, posso eliminarle e scrivere:

 

1=x-1 → -x=-1-1 → x=2

 

La soluzione è accettabile perché non coincide con le condizioni di esistenza.

Come abbiamo potuto vedere l’unica vera difficoltà degli esercizi sulle equazioni di primo grado fratte è, oltre alla scrittura delle condizioni di esistenza, il calcolo del minimo comune multiplo tra polinomi.

 

ESERCIZIO 2

51-

Essendoci tutti termini di primo grado, non è necessario effettuare la scomposizione di polinomi. Per cui posso calcolare direttamente il mcm che in questo caso è banalmente x+3. Individuo così subito le condizioni di esistenza e poi vado avanti con l’esercizio.

52-

Avendo calcolato le condizioni di esistenza posso eliminare i denominatori ed iniziare a risolvere le prime operazioni di addizione e moltiplicazione ai due membri delle equazione fratta.

 

2x+3=3x+9-3x

2x=9-3 → x=3

 

La soluzione è accettabile perché diversa dalle condizioni di esistenza.

 

ESERCIZIO 3

53-

L’ultimo esercizio non presenta particolari difficoltà. Non lasciamoci infatti distrarre dal fatto che compare un termine di terzo grado. Dato che stiamo imparando a risolvere le equazioni di primo grado fratte, andrà certamente via durante i calcoli. Iniziamo risolvendo il quadrato di binomio:

54-

55-

 

Nell’ultimo passaggio abbiamo semplicemente eseguito una moltiplicazione tra polinomi. Elimino tutti i termini che compaiono uguali al primo e al secondo membro o che troviamo addizionati e sottratti allo stesso membro. Per cui otteniamo:

0=+16x-64x+128

16x-64x+128x=0

-48x=128 → 48x=-128

x=128/48 → x=8/3

 

ESERCIZI DA RISOLVERE

Ecco un elenco di esercizi sulle equazioni di primo grado fratte che puoi provare a risolvere da solo.

56-

 

Equazioni di primo grado

 

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO DEFINIZIONE

Si definiscono equazioni di primo grado quelle uguaglianze tra due espressioni algebriche in cui compare almeno una volta l’incognita x elevata alla potenza 1.

Vengono chiamate anche equazioni lineari, perché è proprio un’equazione di primo grado (a 2 incognite) a rappresentare una retta nel piano cartesiano. Le equazioni di primo grado si trovano scritte come delle uguaglianze tra due polinomi di grado 1 o con un termine nullo, come vedremo più nel dettaglio durante la spiegazione

 

P(x) = Q(x)

o

P(x)=0

 

dove P(x) e Q(x) sono due polinomi di primo grado.

 

Esempio:

 

P(x)=Q(x) → x+√2=4(x+2)

P(x)=0 → 2x+1=0

 

Si chiama soluzione dell’equazione, quel valore numerico (o letterale nelle equazioni letterali) che, assegnato all’incognita x, soddisfa l’uguaglianza.

 

I MEMBRI DELL’EQUAZIONE

Come puoi notare negli esempi in alto, la caratteristica delle equazioni di primo grado è di avere un “uguale” che divide due membri.

 

# tutto ciò che è a sinistra dell’uguale si chiama primo membro;

# tutto ciò che è a destra dell’uguale si chiama secondo membro.

 

COME RISOLVERE LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Non importa quanto l’espressione sia difficile o lunga, l’obiettivo è sempre ricondursi alla forma normale:

57-

Per arrivare a questo punto, bisogna fare tutte le operazioni classiche dell’algebra (somme, prodotti, …) . Alla fine sono soltanto due le regole che bisogna sapere per poter risolvere le equazioni lineari:

 

# Principio di Addizione e Sottrazione: aggiungendo o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i membri dell’equazione il risultato non cambia.

# Principio di Moltiplicazione e Divisione: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri dell’equazione per una stessa quantità il risultato non cambia.

Facciamo un esempio pratico per capire quali conseguenze hanno queste due regole nello svolgimento delle equazioni di primo grado.

 

Esempio:

2x+1=0

Per arrivare alla forma normale bisogna isolare al primo membro tutti i termini con la x, mentre i termini noti (si chiamano così tutti i termini non contenenti l’incognita) vanno spostati al secondo membro. Per far ciò applico la prima regola, cioè sottraggo 2 ad entrambi i membri.

2x+1-1=-1

2x=-1

 

OSSERVAZIONE → la prima regola può essere sintetizzata come segue: per spostare un monomio da un membro all’altro di un’equazione di primo grado basta cambiargli il segno. Infatti il +1 che era al primo membro nella traccia è diventato -1 nell’ultimo passaggio.

A questo punto applico la seconda regola, cioè divido entrambi i membri per il coefficiente della x, cioè per 2.

(2x)/2=(-1)/2

x=-1/2

 

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO CON FRAZIONI

Abbiamo visto fino ad ora che anche per risolvere le equazioni di primo grado difficili basta semplicemente fare delle operazioni tra monomi fino ad arrivare alla forma normale. La cosa si complica leggermente quando ci sono delle frazioni. In questo caso bisogna calcolare il minimo comune multiplo.

 

ATTENZIONE: nella frazione non può comparire l’incognita x, altrimenti ci troveremmo di fronte ad un’equazione di primo grado fratta.

Per risolvere le equazioni con le frazioni, come detto, bisogna calcolare il m.c.m. così da creare un denominatore unico che poi può essere eliminato. Vediamo un esempio pratico:

58-

Svolgimento:

Come puoi vedere dalla traccia, si tratta di un’equazione di primo grado con le frazioni. Il primo passo è quindi quello di calcolare il minimo comune multiplo.

mcm = 3²·2·5 = 90

59-

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO A COEFFICIENTI IRRAZIONALI

Gli studenti in genere trovano maggiori difficoltà quando ci sono equazioni di primo grado con le radici. Il problema non è nella risoluzione dell’equazione, ma nella gestione dei radicali e nelle varie operazioni da portare avanti. Ovviamente per evitare di commettere errori è importante conoscere bene le regole e le proprietà dei radicali.

 

Proviamo a fare un esempio pratico:

√3 x = √6 + √27

Poiché l’obiettivo è riportarci nella forma canonica delle equazioni di I grado, cioè ax=b. In questo caso la traccia ha già portato tutti i termini noti al secondo membro. Bisogna però dividere entrambi i membri per radical 3 per tenere l’incognita x da sola.

60-

PROBLEMI RICONDUCIBILI A EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Le equazioni di primo grado sono uno strumento utile anche nella vita reale per risolvere problemi concreti. Non ci credi? Prova a vedere come abbiamo risolto questi problemi con le equazioni di primo grado.

 

PROBLEMA CON LE EQUAZIONI

In un cortile ci sono polli e conigli: in totale ci sono 40 teste e 130 zampe. Quanti sono i polli e quanti i conigli?

 

Svolgimento

Avrai tante difficoltà a risolvere questo problema a mente. Vediamo di risolverlo matematicamente. Cosa sappiamo?

 

– totale teste: t=40

– totale zampe: z=130

– 1 pollo ha 1 testa e 2 zampe

– 1 coniglio  ha 1 testa e 4 zampe

 

Incognite:

numero di polli: x=?

numero di conigli: y =?

 

Quindi x+y=40, da cui y=40-x (è il numero di conigli). Le zampe dei polli sono 2x, le zampe dei conigli sono 4y, quindi 4(40-x), poiché la loro somma è 130, posso scrivere:

2x+4(40-x)=130

2x+160-4x=130

-2x=130-160

2x=30

x=15

y= 40-x =25

 

Ci sono quindi 15 polli e 25 conigli.

 

Equazioni irrazionali

 

Le equazioni irrazionali sono delle equazioni in cui l’incognita x compare sotto forma di radice. Come vedremo, per risolvere le equazioni irrazionali, è fondamentale guadare se l’indice di radice è pari o dispari. Distingueremo così i due casi e i differenti metodi di risoluzione.

Per rendere il tutto più completo e non trascurare nessuno dei casi più complessi analizzeremo anche le equazioni irrazionali fratte, cioè quelle equazioni con radicali anche al denominatore.

Per capire la spiegazione sulle equazioni irrazionali è fondamentale avere ben presente le proprietà dei radicali e come si fanno le razionalizzazioni, così da non avere problemi con le irrazionali fratte.

 

COSA SONO LE EQUAZIONI IRRAZIONALI

Si definiscono equazioni irrazionali quelle equazioni che presentano almeno un radicale contenente un’incognita.

Questo praticamente significa che la x deve trovarsi all’interno delle radici. Ad esempio:

61-

Per risolvere le equazioni irrazionali è generalmente sufficiente elevare entrambi i membri dell’equazione ad un’opportuna potenza (a proposito, ricordi le proprietà delle potenze?). Solo in questo modo potremo eliminare le radici quadrate. Non è tuttavia così immediato: prima bisogna valutare l’indice di radice.

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI E CONDIZIONI DI ESISTENZA

Ti invitiamo a prestare attenzione ad una sola considerazione: quando ti trovi di fronte ad un equazione radicale con indice pari, ad esempio una radice quadrata, il radicando non deve mai essere negativo, altrimenti l’equazione diventa impossibile.

Non ci credi? Prova a risolvere, sulla tua calcolatrice, la radice quadrata di -2. Vedrai che la calcolatrice di dirà: ERRORE. Questo perché stai violando le condizioni di esistenza.

Tutto questo per dire che quando dovremo risolvere delle radici quadrate con indice positivo dovremo imporre il radicando maggiore o uguale di zero. Detto in parole povere, tutto quello che è sotto radice va imposto maggiore e uguale di zero.

Fatta questa doverosa premessa iniziamo con calma: gli esercizi possono presentarsi in due modi differenti:

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI CON INDICE DISPARI

Se l’indice della radice è dispari, ad esempio se ho una radice cubica, non sono necessarie condizioni di esistenza. In questo caso per risolvere gli esercizi è sufficiente elevare tutto all’indice di radice.

62-

 

Quindi se io ho una radice cubica che mi crea problemi, semplicemente elevo tutto alla terza senza preoccuparmi di nulla. In questo modo ottengo un’equazione razionale, molto più semplice in genere per gli studenti.

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI CON INDICE PARI

Se l’indice di radice è pari, oltre ad elevare a potenza, sono necessarie le condizioni di esistenza. Dovremo quindi imporre entrambe le funzioni maggiori di zero.

63-

Come puoi osservare tu stesso devo risolvere un sistema di disequazioni. La prima disequazione non è altro che la condizione di esistenza della radice. La seconda è dovuta alla concordanza del segno tra i due membri.

Tuttavia la prima disequazione del sistema può essere omessa perché se f(x)≥0 e allo stesso tempo f(x)n=g(x), allora implicitamente anche g(x)≥0. L’ultima equazione è stata semplicemente ottenuta elevando a potenza.

 

ALCUNI CONSIGLI PER RISOLVERE LE EQUAZIONI IRRAZIONALI

Come hai potuto vedere, si tratta di una tipologia di esercizio non particolarmente difficile, ma è fondamentale fare attenzione a seguire il metodo risolutivo per evitare alcuni errori. Il più comune commesso dagli studenti durante i compiti è il seguente:

64-

Perché questo esercizio è sbagliato? Perché non è stata isolata la radice al primo membro. Quando vado ad eseguire l’elevazione a potenza, ottengo un quadrato di binomio e, con il doppio prodotto, la radice non va via. Il modo migliore per risolvere questa equazione irrazionale è invece:

65-

Oltre a ciò dovremo ovviamente ricordarci di impostare il sistema di disequazioni.

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI CON DUE RADICALI

Non cambia assolutamente nulla rispetto ai casi precedenti.

 

# Se l’indice è dispari, basta fare un’elevazione a potenza di entrambi i membri – ricordiamo ovviamente di tenerne uno a destra e uno a sinistra.

# Se l’indice è pari si scrive il sistema come in precedenza. Entrambe le disequazioni del sistema, però, stavolta sono dovute alle condizioni di esistenza. A livello pratico non ci cambia niente: scrivo un sistema con entrambi i radicandi maggiori di zero e all’ultimo rigo l’equazione irrazionale elevata a potenza.

 

ESERCIZI SVOLTI SULLE EQUAZIONI IRRAZIONALI

Verifichiamo che le seguenti disequazioni irrazionali siano impossibili.

 

ESERCIZIO SVOLTO -1

66-

La condizione di esistenza, ovvero la prima disequazione di secondo grado è impossibile! Il binomio 2 x al quadrato più 1 deve essere necessariamente maggiore di zero.

67-

ESERCIZIO SVOLTO -2

Questa volta l’esercizio è impossibile perché il secondo membro è minore di zero.

Cambiamo ora tipologia e vediamo assieme come risolvere gli esercizi sulle equazioni irrazionali.

 

ESERCIZIO SVOLTO -3

68-

Se x deve essere maggiore o uguale di -2 (dalla seconda disequazione), allora sicuramente è maggiore o uguale di -4. Per cui La prima disequazione posso anche evitare di riportarla.

**  Le due soluzioni sono accettabili? Confronta sempre i risultati dell’equazione con quelli delle disequazioni. Quest’ultima infatti ci ricorda che la x deve essere maggiore o uguale di -2. Questo significa che x=-3 non è una soluzione accettabile. L’unica soluzione accettabile è x=0.

 

ESERCIZIO SVOLTO -4

69-

Imponiamo come sempre per gli esercizi sulle equazioni irrazionali la condizione di esistenza per il radicale pari (prima disequazione), la concordanza del segno con l’altro membro (seconda disequazione) ed infine eleviamo per il minimo comune multiplo tra 2 e 3 (gli indici di radice). Cioè eleviamo tutto alla potenza 6. Noterai che al primo termine devo risolvere un quadrato di binomio, mentre al secondo termine svolgo il cubo di binomio.

Risolviamo il sistema di due disequazioni scrivendo i risultati sul grafico per ottenere x maggiore e uguale di 12/13. Proseguiamo eseguendo i calcoli risolvendo l’equazione di terzo grado attraverso il metodo di Ruffini.

70-

Per poter essere valida la condizione di esistenza, cioè la disequazione al primo rigo, sono valide solo due soluzioni, cioè x=1 e x=3.

Ti lasciamo con alcuni esercizi sulle equazioni irrazionali che puoi risolvere da solo.

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI ESERCIZI DA SVOLGERE

71-

 

Equazioni letterali intere e fratte di primo grado

– esercizi svolti

 

Le equazioni letterali di primo grado sono delle equazioni in cui, oltre ai coefficienti e all’incognita x, compaiono anche delle lettere. Generalmente nelle equazioni letterali si usano le lettere x, y, t, u, z come incognite mentre vengono utilizzate le lettere a, b, c, d, … come parte letterale.

Per risolvere le equazioni letterali è fondamentale conoscere quelle che sono le tecniche di risoluzione delle equazioni di primo grado. Iniziamo subito.

 

COME RISOLVERE EQUAZIONI LETTERALI

Le equazioni con le lettere, come già anticipato, sono delle espressioni algebriche in cui compare l’incognita x e altre lettere. Queste si comportano come se fossero dei numeri, quindi dei coefficienti.

Come si calcolano le lettere? Non si calcolano. Dovrai portartele avanti e mantenerle fino alla soluzione. Vediamo un esempio pratico:

F=m·a

Quella che ti abbiamo appena scritto è una formula che si studia in fisica. E’ la seconda legge di Newton che sottolinea come la forza è pari alla massa per l’accelerazione. Matematicamente questa si traduce in un’equazione letterale in cui la massa m è una costante, cioè un numero.

Come si risolvono le equazioni letterali? Esattamente come le equazioni di primo grado. Inizia ad isolare l’incognita x al primo membro, mentre tutto il resto va a destra dell’uguale. Dividi tutto per l’eventuale coefficiente della x e hai trovato la soluzione.

Un esempio concreto di equazioni letterali intere lo abbiamo già visto quando abbiamo parlato delle equazioni di primo grado generiche. Dicemmo infatti che l’equazione:

ax+b=0

si risolve portando la lettera b al secondo membro e poi dividendo tutto per a. Scrivendo tutti i passaggi ho quindi:

ax=-b

(a/a)x=-(b/a)

72-

EQUAZIONI LETTERALI FRATTE

Merita un approfondimento il caso in cui la x compare al secondo membro. In questo caso il procedimento diventa leggermente più complesso. Ti ricordi come si risolvono le equazioni fratte di primo grado? Bisogna calcolare il minimo comune multiplo ed imporre delle condizioni di esistenza. Le lettere dell’equazione non influenzano in alcun modo lo svolgimento.

 

Esempio

73-

74-

A questo punto possiamo calcolare il minimo comune multiplo.

mcm=x+1

Riscriviamo l’equazione dividendo il mcm per il denominatore di ogni frazione. Da notare che al secondo membro, il denominatore è sottinteso e vale 1. A quel punto possiamo poi eliminare il denominatore.

75-

A questo punto si tratta di risolvere una moltiplicazione di polinomi al primo membro. Per cui otteniamo:

ax+a+2x+2=1

Nelle equazioni letterali, come detto, lasciamo i termini con la x a sinistra e tutto il resto va a destra, eseguendo dove necessario le somme algebriche tra termini o monomi simili.

ax+2x=1-2-a

x(a+2)=-(1+a)

76-

EQUAZIONI LETTERALI ESERCIZI

Come hai potuto vedere, le equazioni con le lettere non sono un argomento particolarmente complesso. Con le equazioni letterali di secondo grado sarà già un po’ diverso, ma per poter trattare quell’argomento bisogna prima studiare le equazioni di secondo grado.

Inizia ora questa seconda parte in cui vedremo alcuni esercizi svolti sulle equazioni letterali.

 

ESERCIZIO 1

10=2πx

 

Svolgimento

Abbiamo deciso di risolvere questo esercizio perché è importante che ti abitui ad avere delle equazioni letterali con il pi greco, perché quando studierai trigonometria sarà una costante molto presente. Il π però non cambia il metodo risolutivo dell’equazione.

 

x=10/(2π)

x=5/π

 

ESERCIZIO 2

π(x+3)-2π=(1/2)x+4π

 

Svolgimento

Leggermente più complessa della precedente iniziamo a risolvere la moltiplicazione al primo membro e poi ordiniamo l’equazione letterale di primo grado tenendo la x a sinistra.

 

πx+3π-2π=(1/2)x+4π

πx-(1/2)x=4π-3π+2π

 

Sommiamo algebricamente i termini simili che abbiamo segnato in azzurro.

 

πx-(1/2)x=4π-3π+2π

πx-(1/2)x=3π

 

A questo punto eseguiamo una messa in evidenza totale al primo membro raccogliendo la x.

x(π-1/2)=3π

77-

ESERCIZIO 3

2πx−3(π−1)=πx−2π

 

Svolgimento

2πx−3π+3=πx−2π

2πx-πx=-2π+3π-3

πx=π-3

x=(π-3)/π

 

PROBLEMA

Data l’equazione della retta y=mx+q, calcolare il valore di m.

Svolgimento

L’equazione della retta la studierai nel programma di geometria analitica. Come ogni formula scritta in termini generali, si presenta come un’equazione letterale. Il nostro obiettivo è risolverla considerando m come incognita. Per cui bisogna isolare la m al primo membro.

 

y=mx+q

mx=y-q

m=y/x – q/x

 

In questo caso, le lettere dell’equazione sono x,y e q. Mentre l’incognita calcolata è la m.

 

Equazioni fratte

– come si risolvono le equazioni frazionarie di primo grado?

 

Si chiamano equazioni fratte di primo grado quelle equazioni in cui l’incognita compare anche al denominatore di una frazione algebrica. Attraverso pochi passaggi matematici vengono ricondotte alle equazioni di primo grado. Vengono chiamate anche equazioni frazionarie e hanno la caratteristica di essere lineari, cioè l’incognita x non è elevata a potenza.

Il metodo che analizzeremo tra poco sarà valido per tutti i tipi di equazioni fratte, sia di primo che di secondo grado. Per cui è importante imparare ora la tecnica risolutiva per poi poterla ripetere anche negli argomenti futuri.

 

QUALI SONO LE EQUAZIONI FRATTE?

Come detto sono quelle equazioni che presentano delle frazioni con l’incognita x presente almeno una volta al denominatore. La forma base a cui dovrai sempre cercare di ricondurti è la seguente.

78-

Quella che hai appena visto in figura viene chiamata forma normale di un’equazione fratta. Indica il rapporto tra un polinomio al numeratore N(x) e un polinomio al denominatore D(x).

CONSIGLIO → come puoi vedere al secondo membro c’è 0. Quando hai degli esercizi sulle equazioni frazionarie, ricordati di portare tutto al primo membro, così da evitare errori durante i vari passaggi.

79-

Mentre al primo rigo ti abbiamo indicato 4 equazioni fratte, le ultime 3 al secondo rigo non sono equazioni fratte. In queste ultime infatti l’incognita x non compare mai al denominatore.

 

COME RISOLVERE LE EQUAZIONI FRATTE DI PRIMO GRADO

1 – LE CONDIZIONI DI ESISTENZA

Il primo passaggio consiste nell’imporre le condizioni di esistenza. Che cosa sono? Sono delle condizioni che vanno a specificare quando l’equazione fratta può esistere nell’insieme dei numeri reali. Questo vuol dire che ci sono alcune soluzioni che non sono considerate accettabili. Come determinarle? Bisogna imporre un’unica condizione: denominatore diverso da zero.

 

D(x)≠0

 

PROVA A FARE UN ESPERIMENTO → Prova sulla tua calcolatrice a dividere un qualsiasi numero per 0. Qual è il risultato che ottieni? Una normale calcolatrice scientifica ti dà come risultato ERRORE. Questo perché non è possibile dividere un numero per 0.

Allo stesso modo, nelle equazioni fratte bisogna specificare esplicitamente che ogni singolo denominatore deve essere diverso da zero. In genere lo si mette sulla destra, in modo da poter sviluppare tranquillamente l’esercizio sulla sinistra. Se nell’esercizio ci sono 3 frazioni con la x, scriverò 3 condizioni di esistenza. Se ce ne sono 2, ne scriverò 2, eccetera…

 

2 – RIDUZIONE ALLA FORMA NORMALE

Solo dopo aver specificato e risolto le condizioni di esistenza possiamo risolvere le equazioni fratte. Come? Facendo il minimo comune multiplo (mcm) tra i polinomi presenti al denominatore.

Per ogni frazione eseguo la seguente operazione: mcm diviso denominatore per numeratore. Non dimenticarti di riportare i segni e cerca di fare tutti i calcoli utilizzando le parentesi tonde. L’obiettivo e quello di arrivare alla forma N(x)/D(x)=0, cioè alle forma normale.

 

3 – ELIMINAZIONE DEL DENOMINATORE

A questo punto possiamo eliminare il denominatore e imporre il nuovo polinomio al numeratore uguale a zero. A questo punto ti sarai ricondotto ad una normale equazione di primo grado e potrai arrivare alla soluzione generalmente in pochi passaggi.

 

4 – VERIFICA DEI RISULTATI

Al termine dell’esercizio sulle equazioni fratte avrai delle soluzioni del tipo x=n, cioè la x uguale a un numero. Dovrai verificare che ogni singolo risultato ottenuto non violi le condizioni di esistenza che hai esplicitato in precedenza. Accanto ad eventuali risultati non compatibili con le condizioni di esistenza, dovrai semplicemente scrivere: SOLUZIONE NON ACCETTABILE PER LE CONDIZIONI DI ESISTENZA.

 

ESEMPI DI EQUAZIONI FRATTE

La spiegazione teorica è conclusa. A questo punto non resta che mettere in pratica quello che abbiamo imparato fino ad ora e provare a risolvere degli esercizi.

 

ESERCIZIO 1

80-

81-

Una volta espresse le condizioni di esistenza, possiamo calcolare il minimo comune multiplo.

mcm=(x+1)(x-1)

82-

Che calcoli abbiamo fatto per arrivare a questo punto?

 

# Nella prima frazione abbiamo calcolato (x+1)(x-1):(x+1)·2

# Nella seconda frazione abbiamo calcolato (x+1)(x-1):(x-1)·2

 

Visto che nella forma normale al secondo membro c’è zero, portiamo tutto al primo membro e portiamo tutto sotto la stessa linea di frazione. Possiamo farlo ora che i denominatori sono identici.

83-

A questo punto il denominatore D(x) può essere eliminato e possiamo concentrarci solo sul numeratore, eseguendo le moltiplicazioni richieste dall’esercizio.

84-

Come puoi vedere in pochi passaggi siamo arrivati alla soluzione che è perfettamente compatibile con le condizioni di esistenza. Per cui esercizi terminato.

 

ESERCIZIO 2

85-

Quello che notiamo subito è che il secondo denominatore ha un termine al quadrato. Vediamo se possiamo subito ridurlo attraverso una delle tecniche di scomposizione di polinomi. In questo caso noto una x in comune per cui applico il raccoglimento a fattor comune totale.

86-

87-

Come fatto con l’esercizio precedente, scriviamo tutto sotto forma di un unico denominatore.

mcm=x(2-3x)

88-

Eliminiamo il denominatore e concentriamoci esclusivamente sul numeratore:

 

x+6-10+15x=0

16x-4=0

x=4/16 → x=1/4

 

Data 15 ottobre 2019

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI – 1

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Equazioni di secondo grado fratte

 

Le equazioni di secondo grado fratte sono delle equazioni di secondo grado frazionarie in cui al denominatore compare anche l’incognita x. Vengono dette anche equazioni frazionarie di grado 2 o equazioni razionali fratte e per poterle risolvere è necessario ricondurle a delle equazioni di secondo grado.

Proprio per questa ragione è importante conoscere la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, quindi sapere che cos’è e come si calcola il delta. Essendoci anche delle frazioni, dovremo calcolare anche il minimo comune multiplo

 

EQUAZIONI FRATTE DI SECONDO GRADO, SPIEGAZIONE

Un’equazione fratta di secondo grado nella forma normale si presenta come una frazione algebrica in cui sia al numeratore che al denominatore ci sono due polinomi. Dal punto di vista matematico questo si scrive come:

1-

dove N(x) è il polinomio al numeratore di grado 2, mentre D(x) è un polinomio generico al denominatore.

OSSERVAZIONE: hai visto cosa ‘è al secondo membro? C’è lo zero. Questo vuol dire che per risolvere le equazioni di secondo grado fratte dovrai sempre assicurarti di passare tutto al primo membro.

 

LE SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE

Quante sono le soluzioni di un’equazione fratta di grado 2? Vale lo stesso discorso fatto con le equazioni di II grado. Possono esserci cioè:

 

# 2 soluzioni reali e distinte

# 2 soluzioni reali e coincidenti (su alcuni libri di testo troverai scritto che c’è 1 sola soluzione)

# Non ci sono soluzioni reali.

L’unica differenza, vedremo tra poco, è nella verifica delle condizioni di esistenza, che è di fondamentale importanza nelle equazioni fratte di secondo grado.

 

COME SI RISOLVONO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE

Dopo questa piccola premessa veniamo all’argomento principale della lezione: come risolvere le equazioni fratte di secondo grado. Suddividiamo il procedimento risolutivo in fasi.

 

PASSO 1CONDIZIONI DI ESISTENZA

La prima cosa da fare imporre le condizioni di esistenza. Perché sono importanti? Perché un’equazione fratta di secondo grado è una frazione algebrica e quindi ha un denominatore.

Hai mai provato a fare sulla tua calcolatrice una frazione con al denominatore zero? Vedrai che la calcolatrice ti dirà che c’è un errore. Questo perché al denominatore non può esserci mai zero. In base a questa piccola considerazione, possiamo dire che le condizioni di esistenza si impongono scrivendo che ogni denominatore deve essere diverso da zero.

2-

Alla fine dell’esercizio, andremo a verificare che le soluzioni delle equazioni di secondo grado fratte non siano uguali alle condizioni appena espresse.

 

PASSO 2RICONDURSI ALLA FORMA NORMALE

Generalmente per poter passare alla forma normale delle equazioni fratte di secondo grado, cioè N(x)/D(x)=0 servono alcuni passaggi algebrici. Ricordati di:

 

# spostare tutto al primo membro

# calcolare il minimo comune multiplo cambiando i segni

# ridurre tutto ad un unico denominatore

# svolgere le operazioni algebriche (somme, prodotti, ecc…)

 

PASSO 3PASSAGGIO ALL’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Una volta arrivato alla condizione N(x)/D(x)=0 ed imposte già le condizioni di esistenza, puoi eliminare il denominatore e risolvere semplicemente il numeratore come se fosse una normale equazione di secondo grado.

 

N(x)=0

 

Puoi scegliere il metodo che preferisci per risolvere l’equazione. Somma e prodotto, delta, delta quarti, scomposizione di polinomi, …

Come già detto a questo punto ci sono tre possibili casi:

 

# Δ>0 – L’equazione ha due radici reali e distinte:

x1= valore 1

x2= valore 2

# Δ=0 – L’equazione ha una sola soluzione (si dice anche che ne ha due reali e coincidenti)

x1,2= valore 1

# Δ<0 –  l’equazione non ha soluzioni reali.

 

PASSO 4 – VERIFICA DELLE SOLUZIONI

Non importa che tu abbia 1 o 2 soluzioni. E’ fondamentale verificare che queste siano compatibili con le condizioni di esistenza. Cioè verifica che i valori che ti escono nelle soluzioni siano diversi da quelli ottenuti nelle C.E.

Se dovesse esserci una o più soluzione non compatibile con le condizioni di esistenza, questa non può essere considerata accettabile. Per cui accanto ad essa andrai a scrivere soluzione non accettabile per le condizioni di esistenza. Vedremo tra poco alcuni esercizi svolti in cui ti troverai in questo caso.

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE ESERCIZI

ESERCIZIO 1

3-

Svolgimento

La prima osservazione da fare è che non ci sono, almeno per ora, polinomi di secondo grado al numeratore. Ciò però non significa che questo esercizio non rientri tra le equazioni fratte di secondo grado, perché ci sono una serie di calcoli da fare prima di arrivare alla forma normale.

La seconda osservazione riguarda i denominatori. In questo caso non ci sono polinomi di secondo grado, per cui non sono necessarie scomposizioni. Molto spesso però sarà conveniente, per semplificare sia le condizioni di esistenza che il mcm, effettuare delle scomposizioni e ridurre i denominatori in polinomi più semplici.

4-

A questo punto posso calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori.

mcm: x(x+1)

5-

 

Portiamo tutto al primo membro dell’equazione, ponendo tutto sotto un’unico denominatore. Nel frattempo iniziamo già a svolgere le moltiplicazioni tra polinomi al numeratore.

6-

A questo punto possiamo eliminare il denominatore e fare le somme algebriche al denominatore.

7-

Come puoi vedere già da questo primo esercizio, la prima soluzione viola le condizioni di esistenza per cui non può essere accettata. L’unica soluzione dell’esercizio sarà x=1.

 

ESERCIZIO 2

8-

Svolgimento

In questo secondo esercizio cerchiamo di fare attenzione ai denominatori. Ci capiterà spesso, per risolvere le equazioni di secondo grado fratte, di trovare dei denominatori “sospetti”. Cosa vuol dire? Guarda la prima frazione e guarda le altre due. Ricordi la regola del prodotto di una somma per una differenza?

x²-4=(x+2)(x-2)

Quindi possiamo riscrivere l’esercizio come:

9-

10-

11-

A questo punto eliminiamo il denominatore, sommiamo i termini simili e arriviamo all’equazione di II grado.

12-

Confrontando le due soluzioni con le condizioni di esistenza, possiamo scrivere il risultato finale:

 

x=+2 → Soluzione non accettabile per le C.E.

x=+3

 

ESEMPIO 3

13-

Svolgimento

Scomponiamo subito il secondo denominatore per avere:

14-

15-

16-

 

Poiché entrambe le soluzioni violano le condizioni di esistenza, allora l’esercizio ha come risultato impossibile.

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE – ESERCIZI DA SVOLGERE

Per continuare ad esercitarti, ti consigliamo di risolvere le equazioni fratte di secondo grado di seguito. Alcune di queste sono già state risolte negli esempi sopra.

17-

 

Disequazioni logaritmiche

 

Le disequazioni logaritmiche sono delle disequazioni in cui l’incognita compare come argomento del logaritmo.

Vedremo che cosa sono e come si risolvono le disequazioni logaritmiche attraverso una breve spiegazione teorica e numerosi esercizi svolti da usare come esempio.

Per poterlo fare è necessario conoscere bene quali sono le proprietà dei logaritmi, dal cambio di base alla trasformazione in esponenziali.

 

CHE COS’È UNA DISEQUAZIONE LOGARITMICA?

Nell’introduzione l’abbiamo già definita come una disequazione che ha l’incognita x all’interno dell’argomento del logaritmo. Ecco un esempio:

18-

Dei due esempi sopra, si nota come la prima rientri tra le disequazioni logaritmiche. La seconda invece no perché appartiene alle più semplici disequazioni di primo grado, visto che l’incognita x non è nell’argomento del logaritmo.

 

RISOLVERE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Ti ricordi come si risolvono le equazioni logaritmiche? Il ragionamento è molto simile: ci sono delle condizioni di esistenza da sviluppare parallelamente all’esercizio principale.

La differenza è che con le disequazioni logaritmiche abbiamo un sistema di disequazioni da risolvere. La prima disequazione è quella principale dell’esercizio, mentre tutte le altre sono date dalle condizioni di esistenza dei vari logaritmi.

 

COME SI RISOLVONO LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

19-

Le tre disequazioni possono apparire con il simbolo maggiore, minore, maggiore e uguale o minore e uguale. Queste rappresentano sostanzialmente i tre tipi di disequazioni con i logaritmi che si possono dover svolgere in esercizi o compiti.

Ricordando che la condizione di esistenza del logaritmo impone di scrivere che l’argomento maggiore di 0, allora possiamo risolvere le disequazioni logaritmiche scrivendo un sistema di disequazioni:

20-

Per ogni rigo si scriverà la condizione di esistenza di ogni logaritmo, mentre all’ultimo rigo si riscrive la disequazione logaritmica della traccia. Vediamo questi tre casi come si risolvono singolarmente.

 

DISEQUAZIONE LOGARITMICA DI TIPO 1

Abbiamo una disequazione con un logaritmo che ha al secondo membro lo 0.

21-

Abbiamo visto che questa disequazione si risolve scrivendo il sistema in cui sono incluse le condizioni di esistenza f(x)>0.

22-

Mentre la prima si risolve come una normale disequazione, resta da capire come risolvere la seconda. Sfruttiamo la proprietà dei logaritmi: il logaritmo di 1 è sempre uguale a 0.

ATTENZIONE: non confonderti con il logaritmo di 0 che invece non esiste!

Per cui possiamo trasformare lo 0 nel logaritmo con la stessa base:

23-

A questo punto, visto che nella disequazione logaritmica ci sono le stesse basi, possiamo considerare solo gli argomenti e togliere i logaritmi.

Con equazioni e disequazioni logaritmiche bisogna distinguere due casi a seconda della base del logaritmo.

 

# a>1 : la base del logaritmo è maggiore di 1, la disequazione con i logaritmi può essere riscritta senza alcuna variazione.

24-

 

# 0<a<1 : la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1. Si va a modificare il verso della disequazione con i logaritmi. Se c’è maggiore (o maggiore e uguale) si mette minore (o minore e uguale) e viceversa.

25-

 

DISEQUAZIONE LOGARITMICA DI TIPO 2

Vediamo come si risolvono le disequazioni logaritmiche in cui al secondo membro c’è una costante, cioè un numero diverso da 0.

26-

 

Abbiamo già visto che la disequazione, considerando anche la condizione di esistenza può essere riscritta aggiungendo f(x)>0.

La “b” della disequazione con il logaritmo può essere riscritta come “1·b”. Ricordandoci la regola dei logaritmi per cui un logaritmo con base e argomento uguali fa sempre 1, allora possiamo riscrivere.

 

# a>1 : quando la base del logaritmo è maggiore di 1 non cambia nulla ai segni o ai versi della disequazione.

27-

 

# 0<a<1 : quando la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1, il maggiore (o maggiore e uguale) diventa minore (o minore e uguale) e viceversa.

28-

 

DISEQUAZIONE LOGARITMICA DI TIPO 3

L’ultimo caso è quello più ricorrente. Vengono considerate dagli studenti le disequazioni logaritmiche più difficili: stiamo parlando di quelle in cui sono presenti più di un logaritmo. Vediamo come risolverle.

Se le basi dei logaritmi sono uguali diventa tutto più semplice. Si risolve semplicemente considerando gli argomenti dei logaritmi, come abbiamo già fatto nelle disequazioni di tipo 2. In parole povere basta eliminare il logaritmo.

Se invece dobbiamo risolvere disequazioni logaritmiche con basi diverse, allora dobbiamo usare la formula vista per il cambiamento di base:

29-

Per cui possiamo riscrivere il nostro caso come:

30-

Vedrai negli esercizi che il denominatore è un numero, per cui puoi scriverlo come una frazione. Considerando anche la base del logaritmo, anche in questo caso abbiamo due possibilità:

# se a>1 : argomento del logaritmo maggiore di 1

31-

 

# se 0<a<1 : argomento del logaritmo compreso tra 0 e 1, si modifica il verso della disequazione.

32-

 

UN CONSIGLIO PER IMPARARE A RISOLVERE LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Sconsigliamo sempre di imparare a memoria le formule viste fino a questo momento. E’ più importante invece capire come risolvere disequazioni logaritmiche di qualsiasi tipo con un unico metodo universale.

Ecco come procedere:

# si trasforma la disequazione logaritmica in un sistema in cui alle prime righe metteremo le condizioni di esistenza. All’ultimo rigo riscriviamo invece la disequazione con i logaritmi.

# risolviamo le tre disequazioni, trasformando l’ultima e facendo in modo di avere ai due membri due logaritmi con la stessa base.

# si valuta la base del logaritmo. Se maggiore di 1 non si modifica nulla e si risolve. Se la base è compresa tra 0 e 1 allora si inverte il segno.

# alla fine si mettono a sistema graficamente le disequazioni per trovare la soluzione finale.

 

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE ESERCIZI SVOLTI

ESERCIZIO 1

Risolvere la seguente disequazione logaritmica

log(x-1)>1

Svolgimento

Affinché la disequazione abbia senso è necessario imporre subito le condizioni di esistenza. Queste possono essere scritte subito oppure essere messe a sistema con la disequazione con il logaritmo.

x-1>0

x>1

Procediamo a questo punto trasformando l’1 al secondo membro. Ricordati che quando la base del logaritmo è sottintesa vuol dire che è pari a “e” (Numero di Nepero)

log(x-1)>loge

x-1>e

x>e+1

Da notare che, essendo la base e maggiore di 1, non sono stati modificati i versi della disequazione. Riportiamo il tutto su un unico grafico:

33-

Il risultato finale è:

x>1+e

 

ESERCIZIO 2

34-

Rientriamo ora nel caso delle disequazioni logaritmiche fratte. Il procedimento non cambia. Ovviamente dovremo risolvere delle disequazioni fratte che sono un po’ più impegnative delle normali disequazioni.

Iniziamo risolvendo la condizione di esistenza del logaritmo:

35-

A questo punto mettiamo a sistema le due soluzioni delle disequazioni su un unico grafico.

36-

 

Disequazioni fratte

 

COME RISOLVERE GLI ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI FRATTE

Prima di passare alle tracce degli esercizi, facciamo un breve riepilogo sulla tecnica di risoluzione. Tutte le disequazioni fratte, non importa il grado del polinomio, si risolvono sempre allo stesso modo. Ecco sintetizzati gli step da utilizzare in tutti gli esercizi:

 

# scomporre, se possibile, gli eventuali polinomi al denominatore di grado superiore al primo;

# calcolare il minimo comune multiplo tra tutti i denominatori;

# ricondursi alla forma canonica base delle disequazioni fratte:

 

37-

Ovviamente nella disequazione può esserci sia il simbolo maggiore, maggiore e uguale, minore o minore e uguale. Ai fini del calcolo cambia poco.

 

# Creare un “falso sistema” di disequazioni in cui si va ad imporre N>0 e D>0.

# Si mettono sul grafico le soluzioni delle due disequazioni e si sceglie il segno + o a seconda del segno iniziale della disequazione N/D.

 

DISEQUAZIONI FRATTE ESERCIZI

Risolvere le seguenti disequazioni fratte di primo grado.

ESERCIZIO 1

38-

Svolgimento

In questo caso la traccia ci porta già alla situazione di avere un numeratore e un denominatore unici. Per cui possiamo già risolvere le due disequazioni separatamente:

N>0 → x+1>0

D>0 → x+4>0

Risolvendo queste due piccole disequazioni di primo grado, abbiamo come risultato:

x>-1

x>-4

Poniamo i risultati ottenuti sul grafico, valutandone i segni:

39-

Poiché nella traccia dell’esercizio, la disequazione fratta ha il simbolo maggiore, prendiamo tutti gli intervalli con il segno positivo. Per cui il risultato corretto è:

x<-4 U x>-1

ESERCIZIO 2

40-

 

Svolgimento

Questa volta abbiamo un esercizio sulle disequazioni fratte di secondo grado. Per risolverla ripetiamo gli stessi passaggi dell’esercizio precedente. Per cui si impongono numeratore e denominatore maggiori di zero.

N>0 → x²-7x+12>0

D>0 → x²-5x+6>0

Si tratta di disequazioni di secondo grado che possono essere risolte con vari metodi: somma e prodotto, il calcolo del delta, … Iniziamo dalla prima:

41-

A questo punto poiché nella disequazione c’è il simbolo maggiore si prendono soluzioni esterne:

x<3 U x>4

Passiamo ora alla seconda disequazione del sistema.

42-

A questo punto possiamo creare un grafico unico con le due soluzioni:

43-

 

Poiché nella traccia dell’esercizio abbiamo N/D>0, prendiamo tutti i segni positivi. Per cui la soluzione finale è:

x<2 U x>4

ESERCIZIO 3

44-

A differenza degli esercizi precedenti, questa volta abbiamo più numeratori e denominatori. Ovviamente la prima considerazione è che il termine (x+1)/(x+1) si può semplificare ed è pari a 1. Bisogna poi riportarsi alla forma N/D. Per farlo è necessario calcolare il minimo comune multiplo, che è in questo caso è semplice:

mcm = 5(x+2)

Portiamo tutto a primo membro, così da scrivere un denominatore unico:

45-

A questo punto possiamo dividere numeratore e denominatore:

N≥0 → 2-9x≥0

D>0 → 2(x+2)>0

 

OSSERVAZIONE: al denominatore il simbolo dell’uguale non va mai posto perché andrebbe a violare le condizioni di esistenza. Se non ricordi cosa sono, vai a rileggerti la lezione sulle equazioni fratte di primo grado.

x≤2/9

x>-2

46-

Poiché nella forma N/D abbiamo il simbolo maggiore e uguale, prendiamo le soluzioni con segno positivo, ricordandoci di riportare il simbolo uguale sulla frazione 2/9. Il risultato dell’esercizio è quindi:

-2<x≤2/9

 

DISEQUAZIONI FRATTE ESERCIZI DA RISOLVERE

47-EQUAZ.E DISEQ. - 1-FINE

 

Data 15 ottobre 2019

ANALISI MATEMATICA – 3

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Dominio logaritmo

 – come si trova il dominio di un logaritmo?

 

Come si trova il dominio di un logaritmo? Ho un esercizio da risolvere in cui all’interno c’è un logaritmo e non so come calcolare il dominio. C’è una regola da seguire?

 

SOLUZIONE

Il dominio del logaritmo si calcola imponendo:

 

# argomento del logaritmo maggiore di 0;

# base del logaritmo maggiore di 0 e diversa da 1;

 

Nella quasi totalità dei casi, la base del logaritmo è un numero naturale, per cui l’unica regola da seguire per il calcolo del campo di esistenza è che l’argomento f(x) deve essere maggiore di 0.

89-INIZIO-ANAL.MAT.---3

DOMINIO DEL LOGARITMO NATURALE

Il  Logaritmo naturale è un normale logaritmo che ha alla base la lettera e (detta Numero di Nepero). In questi casi si segue alla lettera la regola che abbiamo sopra esposto: si impone l’argomento maggiore di 0. Facciamo subito un esempio:

 

y=log(x²+2x)

 

Dominio del logaritmo: x²+2x>0. Abbiamo quindi ottenuto una disequazione di secondo grado che andiamo a risolvere.

 

x>0

x+2>0 → x>-2

 

La soluzione finale sarà x<-2 U x>0

 

NOTE: alcuni  chiedono come si calcola il dominio del logaritmo a base 1/2. In questo caso non cambia assolutamente nulla. Nelle condizioni iniziali abbiamo infatti esplicitato che la base deve essere maggiore di 0 e diversa da 1. Essendo questo il nostro caso, ci è sufficiente imporre l’argomento del logaritmo maggiore di 0.

 

DOMINIO LOGARITMO FRATTO

L’esercizio diventa leggermente più difficile quando si ha a che fare con il dominio di un logaritmo fratto. La regola però è sempre la stessa: l’argomento della funzione logaritmica deve essere maggiore di zero. Vediamo con un esempio come si risolve questo caso specifico.

90-

Come puoi vedere, appena si impone la condizione del dominio del logaritmo fratto, si ha di fronte una semplice disequazione fratta di primo grado. Quindi si impone numeratore maggiore di 0 e il denominatore maggiore di 0. Si procede calcolando il falso sistema e si ottengono le soluzioni.

91-

DOMINIO DEL LOGARITMO AL DENOMINATORE

Nel caso in cui anche il logaritmo si trova al denominatore, l’esercizio si semplifica anche se bisogna ricordarsi di imporre la condizione di esistenza “denominatore diverso da 0”. Vediamo un esercizio svolto per essere più chiari.

92-

In questo caso le due condizioni devono valere contemporaneamente, per cui si crea un sistema con una parentesi graffa. La prima riga non è altro che un’equazione logaritmica. Ricordi come si risolve? Si trasforma l’equazione ponendo tutto all’esponente con base e. Il secondo rigo è invece una disequazione di primo grado.

93-

DOMINIO LOGARITMO SOTTO RADICE

Come accadeva con le funzioni fratte, l’introduzione della radice quadrata può complicare leggermente lo svolgimento dell’esercizio. Tuttavia non è il caso di spaventarsi. Ecco come si calcola il dominio di un logaritmo con la radice. Esempio svolto:

94-

Il primo passo da fare è riconoscere quali sono gli elementi che contribuiscono a restringere il campo di esistenza: il logaritmo e la radice quadrata. Quindi andiamo ad imporre il radicando (cioè tutto ciò che è sotto la radice) maggiore e uguale di 0. Assieme a questa condizione associamo che l’argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0.

La prima è una disequazione logaritmica. Ricordi come si risolvono? Si trasforma il logaritmo in esponente con base e e si fa qualche semplificazione. Al secondo rigo invece una banale disequazione di I grado. Ovviamente le due condizioni devono essere valide contemporaneamente, per cui si impone un sistema con la parentesi graffa.

95-

Unendo le due soluzioni, si arriva alla fine dell’esercizio:

x>-1/2.

 

CONCLUSIONI

abbiamo visto come si calcola il dominio di un logaritmo in tutti i vari casi. Abbiamo visto che, sostanzialmente, l’unica vera novità quando si risolve una funzione logaritmica è quella di imporre l’argomento maggiore di zero.

 

Dominio di una funzione esponenziale

 

Come si trova il dominio di un’esponenziale? E’ vero che è definito in tutto R, oppure ci sono dei casi particolari da prendere in considerazione? Per esempio, come si calcola il dominio di una funzione esponenziale fratta?

Risposta

Innanzitutto vediamo che cos’è una funzione esponenziale. Si tratta di una funzione in cui l’incognita x compare all’esponente. La base è invece un numero reale positivo diverso da 1.

96-

Con questa formula abbiamo già praticamente risposto alla prima domanda : il dominio della funzione esponenziale è tutto R, cioè l’insieme dei numeri reali. Proviamo a dare un’occhiata al grafico di questa funzione nei due casi principali.

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Sia nel caso in cui la base è un numero maggiore di 1 che nel caso in cui la base è compresa tra 0 e 1, il grafico è sempre continuo. Puoi vedere dei salti sulla linea blu ed arancione? Non ci sono punti di discontinuità, per cui il campo di esistenza, ovvero il dominio dell’esponenziale, è tutto R.

Ovviamente tutto cambia se non dobbiamo più calcolare semplicemente il dominio dell’esponenziale ma di una funzione più complessa. Vediamo qualche esempio.

 

DOMINIO ESPONENZIALE FRATTA

Senza perderci troppo con la teoria, vediamo subito un esempio pratico.

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Determinare il dominio della funzione esponenziale fratta con base e.

Nella lezione sul calcolo dei domini delle funzioni, abbiamo detto che bisogna fare un’analisi preliminare di che cosa potrebbe creare delle discontinuità del dominio. In particolare dicemmo che quando abbiamo logaritmo, radice ad indice pari e fratta, bisogna prestare attenzione. In questo nostro esercizio, abbiamo:

 

# funzione esponenziale → non crea problemi visto che il dominio esponenziale è R

# funzione fratta → il denominatore deve essere diverso da 0.

Per cui riassumendo, deve valere x+3≠0, cioè x≠-3.

Quindi in buona sostanza quando dobbiamo calcolare il dominio di una funzione esponenziale fratta, ciò che conta è il denominatore che deve essere diverso da 0.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE IRRAZIONALE

Che cosa succede invece quando abbiamo una radice? Vediamo come prima un esercizio svolto.

99-

Calcolare il dominio dell’esponenziale a base e e con esponente irrazionale.

Come abbiamo detto in precedenza, facciamo una valutazione preliminare di quello che compare nella funzione da studiare.

 

# funzione esponenziale → dominio valido in tutto R;

# funzione irrazionale (cioè la radice quadrata) → il radicando deve essere maggiore e uguale di 0.

 

Per cui avremo:

x+4≥0

x≥-4

 

CONCLUSIONI

Generalmente il dominio delle funzioni esponenziale non crea alcun tipo di problemi durante lo svolgimento degli esercizi. Attenzione però ai casi in cui la funzione presenta, oltre dominio dell’esponenziale, anche altre funzioni che hanno delle limitazioni sul campo di esistenza.

 

Logaritmo di infinito

 – Quanto vale ln di infinito?

 

UNA DOVEROSA PREMESSA PRIMA DI CALCOLARE LN DI INFINITO

è importante fare una piccola premessa. Chiedere quanto vale il logaritmo naturale di infinito potrebbe essere una domanda a trabocchetto. Questo perché è impossibile dare il risultato preciso sul comportamento di una funzione (come la funzione logaritmo) ad infinito. Non si può dare un risultato a ln(+∞) e ln(-∞).

 

Proprio per questa ragione si studia la teoria dei limiti e dell’intorno di un punto. Senza scendere troppo nei dettagli e per arrivare subito al punto, ti basti ricordare che in questi casi si va a studiare il comportamento della funzione negli intorni di infinito (nell’ipotesi che sia definita in un intervallo con l’infinito).

 

QUANTO VALE IL LOGARITMO DI INFINITO?

Cerchiamo subito di dare una risposta a questo punto. La prima osservazione che facciamo è: di quale logaritmo stiamo parlando? La funzione generica logaritmo è:

Y=LOGAX

Ricordi quello che hai imparato quando hai studiato le proprietà dei logaritmi? La base “a” che può essere:

 

# maggiore di 1

# compresa da o e 1

100-

Anche il grafico della funzione cambia a seconda della base e di conseguenza anche il risultato della tua domanda (quanto vale il logaritmo di infinito). Analizziamo il comportamento delle due curve: la rossa e la gialla.

 

LOGARITMO DI INFINITO CON BASE MAGGIORE DI 1

La curva rossa indica l’andamento della funzione logaritmo generica con base maggiore di 1. Che cosa succede quando la x va verso infinito? Detto in parole povere, la curva rossa dove tende man mano che si sposta verso destra? Verso l’alto… Cioè la sua y tende ad infinito. Per questa ragione ha senso dire che il logaritmo di infinito in questo caso vale infinito.

 

LOGARITMO DI INFINITO CON BASE COMPRESA TRA 0 E 1

Facciamo lo stesso tipo di ragionamento per curva gialla. Quindi cosa succede quando questa si sposta verso destra. In altre parole cosa succede alla y quando la x si sposta verso destra? Che va verso il basso… Cioè la y tende a meno infinito. Per questa ragione possiamo dire che il logaritmo di infinito in questo caso vale meno infinito.

 

CONCLUSIONI

Fermo restando quanto detto nella premessa, possiamo impropriamente dire che:

 

# il logaritmo di infinito con base maggiore di uno vale infinito limx→+∞logax=+∞ , con a>1

# il logaritmo di infinito con base compresa tra zero e 1 vale meno infinitolimx→+∞logax=-∞ , con 0<a<1

 

Il risultato è esprimibile anche attraverso l’uso dei logaritmi, ma come hai potuto vedere sopra, è sufficiente ricordarsi semplicemente il grafico della funzione logaritmo per dare una risposta esauriente e corretta, così come abbiamo fatto quando abbiamo visto quanto vale il logaritmo di zero.

 

Seconda prova matematica 2016

 

PROBLEMA 1

L’amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei modelli esistenti in commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigenze del condominio.

101-

 

Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l’amministratore ti fornisce il disegno in figura 1, aggiungendo le seguenti indicazioni:

 

# la lunghezza ? del serbatoio deve essere pari a 8 metri;

# la larghezza ? del serbatoio deve essere pari a 2 metri;

# l’altezza ℎ del serbatoio deve essere pari a 1 metro;

# il profilo laterale (figura 2) deve avere un punto angoloso alla sommità, per evitare l’accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con un angolo ? ≥ 10°;

# la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno 13 m3 , in modo da garantire al condominio il riscaldamento per tutto l’inverno effettuando solo due rifornimenti di gasolio;

# al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l’asse di simmetria (segmento ?? in figura 2) deve essere installato un indicatore graduato che riporti la percentuale di riempimento V del volume del serbatoio in corrispondenza del livello z raggiunto in altezza dal gasolio.

 

1) Considerando come origine degli assi cartesiani il punto ? in figura 2, individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può descrivere il profilo laterale del serbatoio per ? ∈ [−1, 1], ? intero positivo, motivando opportunamente la tua scelta:

?1(?) = (1 − |?|)1/?

?2(?) = −6|?|3 + 9??2 − 4|?| + 1

?3(?) = ???(?/2 ?? )

2) Determina il valore di ? che consente di soddisfare i requisiti richiesti relativamente all’angolo ? e al volume del serbatoio.

3) Al fine di realizzare l’indicatore graduato, determina l’espressione della funzione ?(?) che associa al livello ? del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento V del volume da riportare sull’indicatore stesso. Quando consegni il tuo progetto, l’amministratore obietta che essendo il serbatoio alto un metro, il valore ? del livello di gasolio, espresso in centimetri, deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il gasolio raggiunge un livello ? pari a 50 cm vuol dire che il serbatoio è pieno al 50%; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondenza del livello 50 cm, una percentuale di riempimento 59,7%.

4) Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all’amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello ? come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di ? in corrispondenza del quale esso si verifica

 

PROBLEMA 2

Nella figura 1 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua ?:[0, +∞) → ℝ, derivabile in ]0, +∞), e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.

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È noto che Γ è tangente all’asse ? in ?, che ? ed ? sono un punto di massimo e uno di minimo, che ? è un punto di flesso con tangente di equazione 2? + ? − 8 = 0.

 

Nel punto ? la retta tangente ha equazione ? + 2? − 5 = 0 e per ? ≥ 8 il grafico consiste in una semiretta passante per il punto ?. Si sa inoltre che l’area della regione delimitata dall’arco ????, dall’asse ? e dall’asse ? vale 11, mentre l’area della regione delimitata dall’arco ??? e dall’asse ? vale 1.

 

In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni ? = ?′(?) ?(?) = ∫ ?(?)?? – con estremi di integrazione 0 e x – Quali sono i valori di ? ′ (3) e ? ′ (5)? Motiva la tua risposta.

Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: ? = |?′(?)| ? = |?(?)|′ ? = 1 ?(?) specificando l’insieme di definizione di ciascuna di esse.

Determina i valori medi di ? = ?(?) e di ? = |?(?)| nell’intervallo [0,8], il valore medio di ? = ?′(?) nell’intervallo [1,7] e il valore medio di ? = ?(?) nell’intervallo [9,10].

Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione ?(?) nei suoi punti di ascisse 0 e 8, motivando le risposte.

 

QUESTIONARIO

1)  È noto che

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2) Data una parabola di equazione ? = 1 − ?? 2 , con ? > 0 si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse x, nel segmento parabolico delimitato dall’asse x. Determinare ? in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.

3)  Un recipiente sferico con raggio interno ? è riempito con un liquido fino all’altezza ℎ. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da: ? = ? ∙ (?ℎ2 − ℎ3/3 ).

4) Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?

5) Una sfera, il cui centro è il punto ?(−2, −1, 2), è tangente al piano Π avente equazione 2? − 2? + ? − 9 = 0. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?

6) Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta: “Esiste un polinomio ?(?) tale che: |?(?) − cos(?)| ≤ 10−3 , ∀? ∈ ℝ”.

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8) Data la funzione ?(?) definita in ℝ, ?(?) = ??(2? + ?2 ), individuare la primitiva di ?(?) il cui grafico passa per il punto (1, 2?).

9) Date le rette:

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e il punto ?(1, 0, −2) determinare l’equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette.

10) Sia ? la funzione così definita nell’intervallo ]1, +∞):

106-

Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di ? nel suo punto di ascissa √?.

 

SOLUZIONI SECONDA PROVA MATURITÀ 2016

SVOLGIMENTO PROBLEMA 1

Per poter iniziare ad affrontare questo problema di maturità 2016, è necessario fissare un sistema di riferimento. Un origine degli assi cartesiani nel punto A come ci viene suggerito dalla traccia. Per cui possiamo subito dare le coordinate cartesiane di alcuni punti:

107-

Quello che notiamo è che in B deve esserci un punto angoloso, per cui la derivata della funzione nel punto di ascissa 0 deve essere diversa da zero. Cioè f ‘ (0) diverso da 0.

Per questa ragione possiamo subito scartare la funzione f3 che ci viene proposta dalla traccia. Facendone la derivata otterrei il seno di qualcosa. Sostituendo 0 al posto della x otterrei il seno di 0, e quindi la funzione derivata prima in quel punto sarebbe nulla. Ciò non sarebbe compatibile con la figura e quindi possiamo scartare questa terza soluzione.

Altro dato che ci viene fornito dalla traccia è che la funzione passi sia per B che per C. Quindi sostituendo in f2 le coordinate di B(1;0) e C(0;1) deve uscire un’identità (del tipo un numero uguale a se stesso). Proprio per questa ragione possiamo escludere anche la seconda soluzione. Inoltre facendone la derivata seconda, otterrei un profilo concavo/convesso differente da quello suggerito dalla figura. Infatti:

 

f ” (x) = -36x+18

 

Facendo il calcolo di concavità e convessità -36x>-18 → x<1/2. Significa che in corrispondenza dell’ascissa x=1/2 dovrei avere un cambiamento di concavità. Cosa incompatibile con la figura. Per questa ragione la soluzione al punto 1 del problema 1 è f1. Cioè la funzione f1 rappresenta il grafico in figura.

Per rispondere al punto 2, occorre calcolare il volume del serbatoio. Per effettuare questo calcolo moltiplichiamo l’area della sezione trasversale (che chiamiamo S) per la lunghezza del serbatoio (L=8) → V= S · L

108-

Poiché K deve essere compreso tra 1 e 5 e allo stesso tempo deve essere maggiore di 13/3 (cioè di 4,3), allora possiamo scrivere che k=5. Per k=5 il volume diventa V=(16*5)/(5+1)= circa 13,3 metri cubi che è maggiore dei 13 metri cubi richiesti.

A questo punto possiamo calcolare il punto 3 del problema 1 della maturità 2016.

Bisogna calcolare il volume individuando una funzione V(z) che associa il livello di gasolio nel serbatoio la percentuale di riempimento del Volume da indicare sul serbatoio stesso.

109-

Fissata x l’ascissa possiamo trovare che:

z=(1-x)1/5

da cui possiamo ricavare la x

x=1-z5

Il volume di gasolio contenuto nel serbatoio è:

110-

Per risolvere l’ultimo punto, possiamo dire che abbiamo trovato k=5. Quando z=50cm, cioè mezzo metro, allora

P(0,5m)=120(0,5)- 20 x (0,5)6 =59,7 %

Il riempimento proposto del 50% è quindi sbagliato, poiché il volume individuato non è rettangolare ma ha una forma irregolare che lo porta ad essere più capiente verso la base. L’amministrazione propone invece di usare la formula:

P(a)= 100z

La differenza tra P(z) e P(a) è pari a d(z)=120z-20z6-100z=20z-20z6

Si calcola il massimo della funzione d(z) cioè d'(z)=20-120z5, continuando come si fa lo studio di funzione, si pone derivata prima uguale e poi maggiore di 0.

111-

Per cui l’errore massimo si ha in corrispondenza di z=0,7m.

112-

 

Quando una funzione è invertibile?

 

Iniziamo subito con la definizione di funzione invertibile, tanto importante nel programma di analisi.Una funzione invertibile è tale se si può definire una nuova funzione f-1 detta funzione inversa.

 

DEFINIZIONE DI FUNZIONE INVERTIBILE

data una funzione f:A -> B, se ad ogni y=f(x) appartenente a B corrisponde un solo x appartenente ad A viene definita una nuova funzione f-1 detta funzione inversa di f.

f-1:B -> A con x=f-1(y)

La funzione è una relazione che lega gli elementi dell’insieme A con quelli dell’insieme B. Così come vedi in figura.

113-

La funzione inversa invece si ha quando la freccia blu nell’immagine parte da B e arriva ad A. Sostanzialmente nella funzione normale hai la y a sinistra e tutte le x a destra. Sfruttando le funzioni invertibili hai invece la x a sinistra e tutte le y a destra.

 

ESEMPIO

Sia la nostra funzione da invertire y=x+1. Qual è la funzione inversa? Basta spostare la x a sinistra seguendo le regole delle equazioni di primo grado (come quella di cambiare il segno quando un elemento viene spostato). Il risultato è: x=y-1 ed è proprio la funzione inversa che stavamo cercando.

La domanda da porsi a questo punto è: ma tutte le funzioni sono invertibili? Quando una funzione è invertibile? Ci sono delle condizioni da rispettare, esiste una regola che mi possa aiutare a risolvere gli esercizi di matematica?

 

QUANDO UNA FUNZIONE È INVERTIBILE?

 

# Se una funzione è monotòna (cioè strettamente crescente o strettamente decrescente) allora la funzione è invertibile.

# Se l’equazione y=f(x) risolta rispetto ad x ammette una sola soluzione per qualsiasi valore di y, allora la funzione è invertibile.

 

Quando risolvi i tuoi esercizi, verifica che siano rispettate queste due condizioni. Sono sufficienti per definire una funzione invertibile.

 

ESERCIZI

La parte teorica è praticamente conclusa. Vediamo alcuni esercizi svolti così da verificare le nostre conoscenze.

 

Esempio 1

y=2x è una funzione invertibile?

Per saperlo basta ricavarci la x. L’inversa della funzione esponenziale è la funzione logaritmica, per cui ci basta fare il logaritmo in base 2 ad entrambi i membri per ottenere.

 

log2y=log22x    che diventa x=log2y

 

Esiste quindi una sola soluzione rispetto alla x, per cui l’esponenziale datoci dalla traccia è una funzione invertibile. Inoltre osserviamo che il dominio della funzione f è tutto R, mentre il codominio esiste solo per valori di y>0. Nella funzione inversa (cioè quella con il logaritmo che abbiamo calcolato) il dominio e il codominio sarà le inverse rispetto a quelle calcolate per f.

 

Esempio 2

y=x2 è una funzione invertibile?

 

Per scoprirlo come nell’esercizio precedente proviamo a calcolare la x, per ottenere x= ± radice quadrata di y. In questo caso la funzione è invertibile in un intervallo dato, cioè restringendo il suo dominio. In particolare:

 

# per x≥0 -> x=radice di y

# per x<0 -> x= – radice di y

 

Esempio 3

Verifichiamo che la funzione è invertibile anche solo localmente y=x2-2x-3.

Si tratta di un’equazione di secondo grado per cui facendo il grafico otteniamo una parabola. Questa figura ha come caratteristica di essere per un tratto decrescente ed uno crescente. Poiché il vertice è V(1;-4), allora la funzione è invertibile negli intervalli (-∞;1] e [1;+∞).

Provando a ricavare la x otteniamo: x1,2=1± radicequadrata(1+3+y)=1± radicequadrata(4+y), con y≥-4

 

# per x≤1 -> x=1-radicequadrata(4+y)

# per x>1 ->  x=1+radicequadrata(4+y)

 

Intorno di un punto

 Quando si definisce circolare, destro e sinistro

 

Prima di arrivare ai limiti ci sono alcuni concetti che bisogna affrontare. Dalla definizione di punto di accumulazione al concetto di intorno di un punto.  Ci concentreremo proprio su quest’ultimo argomento, andando a studiare che cos’è un intorno circolare, destro sinistro di un punto oppure di infinito.

Prima di capire che cos’è l’intorno di un punto facciamo un breve richiamo di geometria analitica. Ricordi quando abbiamo parlato di coordinate cartesiane nel piano? Dicemmo che esiste una corrispondenza biunivoca che lega i numeri reali ai punti di una generica retta orientata r. Su questa retta possiamo identificare un segmento di estremi A,B, come in figura.

114-

 

Come puoi vedere sul grafico in maiuscolo sono segnati i nomi dei punti sull’asse x, mentre in basso sono segnate dello stesso colore le rispettive coordinate. Fatta questa premessa e partendo proprio dal disegno che ti hai appena visto, possiamo dire che cos’è un intorno di un punto.

 

DEFINIZIONE

Si definisce intorno di un punto P, o anche intorno di x0, e si indica con I(P), l’insieme formato dai punti di r appartenenti ad un segmento contenente P al suo interno.

Vuoi una definizione più facile? L’intorno del punto P non è altro che tutto ciò che c’è prima e dopo quello stesso punto, specificando ovviamente quanto prima e quanto dopo bisogna procedere.

 

Esempio

Un vigile che si trova a centro strada per regolare il traffico, ha un campo di azione di 10 metri alla sua destra e alla sua sinistra. Se il vigile è il punto P, allora l’insieme delle automobili che si trovano a 10 metri a sinistra e a destra del vigile rappresentano l’intorno del punto.

Proviamo ora a tradurre la definizione teorica in una espressione matematica.

115-

Non è importante in questo momento se gli estremi siano inclusi o meno nell’intorno. Per ora è assolutamente indifferente. Ovviamente in base a quanto abbiamo detto fino ad ora, e ricordandoci come si calcola la distanza tra due punti A e B, possiamo dire che l’ampiezza dell’intorno è b-a.

 

CHE COS’È UN INTORNO CIRCOLARE?

Si parla di intorno circolare quando P è il punto medio del segmento AB, quindi la distanza x0-a è uguale a b-x0.

 

INTORNO DESTRO DI UN PUNTO

Molto analogamente a quanto già detto prima si può parlare di intorno destro quando il primo estremo dell’insieme è proprio la coordinata del punto P. Quindi il punto P diventa l’estremo sinistro dell’intervallo da considerare. Ecco la definizione.

Definiamo intorno destro di un punto P, e si indica con I+(P), l’insieme dei punti diversi da P e appartenenti ad un segmento che ha P come estremo sinistro.

Dal punto di vista matematico, questa definizione si traduce nella seguente formula

116-

In questo caso, invece, l’ampiezza dell’intorno è b-x0. Non ha senso in questo caso parlare di intorno circolare, visto che il punto P è diventato uno degli estremi e non può più essere il punto medio.

 

INTORNO SINISTRO DI UN PUNTO

Si parla invece di intorno sinistro quando il punto P diventa l’estremo destro, per cui si va a considerare l’insieme dei numeri reali minori di x0 fino ad arrivare alla coordinata di A.  Dal punto di vista matematico vale la formula:

117-

L’ampiezza dell’intorno sinistro è x0-a e anche in questo caso non ha senso parlare di intorno circolare, dato che P è nuovamente un estremo e non può essere punto medio del segmento.

 

INTORNO DI INFINITO

Fino a questo momento ci siamo occupato di insiemi circoscritti, i cui estremi cioè sono numeri reali. In matematica esistono anche gli intorni di intervalli aperti. In entrambi non ha senso parlare di intorno circolare dato che P continua ad essere un estremo del segmento.

 

INTORNO DI – INFINITO

L’intorno di meno infinito, ad esempio, è quell’insieme di valori che vanno da meno infinito fino ad un certo punto P.

118-

INTORNO DI + INFINITO

Allo stesso modo è possibile individuare l’intorno di più infinito come quell’intorno che va dal generico punto P fino a più infinito

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INTORNO BUCATO

Non c’è nulla di difficile in quest’ultima definizione che userai molto raramente nel tuo corso di studi, ma per completezza te la presentiamo. L’intorno bucato è un semplice intorno finito, quindi gli estremi sono punti appartenenti all’insieme dei numeri reali, di cui però lo stesso punto P va escluso.

L’intorno bucato può essere un intorno completo.

120-

 

Funzioni biettive

– grafico, esempi e definizione

 

Una funzione biettiva, detta anche funzione biiettiva, o biunivoca, è particolarmente importante per risolvere gli esercizi di matematica, poiché mi permette di stabilire quando una funzione è invertibile. Ad ogni modo cerchiamo subito di capire quali sono le funzioni biettive o biunivoche.

 

FUNZIONE BIETTIVA DEFINIZIONE

Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A, il dominio, in elemento dell’insieme B, codominio. Diciamo che f è una funzione biiettiva se essa è contemporaneamente una funzione iniettiva e una funzione suriettiva. Le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente:

 

# per ogni a1,a2 appartenenti ad A, con a1 diverso da a2, f(a1) deve essere diverso da f(a2)

# f(A)=B

 

“Come faccio a capire se una funzione è biiettiva?” La definizione di funzione biunivoca è molto più semplice rispetto alle iniettive e suriettive.

121-

Come puoi vedere dal grafico Una funzione di questo tipo viene anche chiamata corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e B.

A questo punto vediamo alcuni esempi pratici ed esercizi svolti per rendere più chiaro l’argomento.

 

ESEMPIO 1.

La funzione reale di variabile reale y=2x-1 è una funzione biettiva. Infatti il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali R. Inoltre se risolviamo l’equazione di primo grado portandoci la x a sinistra otteniamo:

 

x=y/2-1/2

 

Volendo calcolare il dominio riferito alla y e non alla x (cioè il codomonio) vediamo che l’insieme di definizione è sempre R. Questo significa che per ogni x esiste sempre una y e viceversa.

 

ESEMPIO 2.

y=x^2-4 è una funzione biiettiva? No, perché mentre il suo dominio è l’insieme dei numeri reali R, il suo codominio ha delle esclusioni. Andando a risolvere questa equazione di secondo grado portando la x a sinistra ottengo che x è uguale alla radice quadrata di y+4, che ammette valori reali solo nel caso in cui y sia maggiori o uguali di -4.  Per y=-5, ad esempio, non ho controimmagine, per cui non abbiamo una funzione biiettiva.

 

ESERCIZIO

Stabilire se la funzione è biettiva facendo bene attenzione agli insiemi che sono forniti dalla traccia.

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Il dominio della funzione è x-3 diverso da 0, che con un semplice passaggio algebrico diventa x diverso da 3. Questo significa che il dominio comprende l’insieme dei numeri reali ad esclusione del valore 3. La traccia mi permette questa soluzione.

Per quanto riguarda il codominio prima è necessario fare un passaggio matematico:

123-

A questo punto possiamo calcolare il codominio che comprende tutti i valori dei numeri reali ad esclusione di 2, lo stesso che mi consente la traccia. Per questa ragione si tratta di una funzione biettiva e quindi c’è corrispondenza biunivoca  tra x e y.

 

Funzione suriettiva

 – Grafico, definizione ed esempi svolti

 

Abbiamo già parlato nelle precedenti lezioni di come stabilire se una funzione è iniettiva. Oggi ci concentreremo su un’altra importante definizione di funzione. In particolare vedremo che cos’è una funzione suriettiva, partendo dalla definizione completa di grafico fino a vedere assieme degli esercizi.

Si tratta di un argomento spesso sottovalutato al liceo ma che è importante non solo per il programma di analisi ma anche per l’algebra lineare. Generalmente a scuola si da poco più che una definizione e una spiegazione sulle funzioni suriettive, spesso neanche molto chiara. Cercheremo di darti un’idea più chiara e completa dell’argomento, rendendoti tutto il più semplice possibile.

 

DEFINIZIONE DI FUNZIONE SURIETTIVA

Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A in elementi dell’insieme B. Diciamo che f è una funzione suriettiva se vale la condizione f(A)=B

Cerchiamo ora di capire bene il significato della definizione di funzione suriettiva, detta anche surgettiva in alcuni testi più vecchi. In maniera più matematica possiamo dire che la funzione è suriettiva quando tutti gli elementi di B posseggono almeno una controimmagine. Proviamo a rendere tutto ancora più semplice analizzando il seguente grafico.

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Nel grafico sono presenti due figure. Nella prima puoi vedere rappresentata una funzione suriettiva, mentre nella figura due è rappresentata una funzione non suriettiva. Cosa cambia? Come stabilire se una funzione è suriettiva? Come puoi vedere in figura 2 è presente un elemento che non ha una controimmagine, cioè non è collegato a nessun elemento di A.

Una funzione è suriettiva quando tutti gli elementi del codominio, cioè dell’insieme B di destra hanno un corrispondente elemento nel dominio della funzione, cioè l’insieme di sinistra. Per cercare di renderti tutto ancora più facile e chiaro, ecco alcuni esempi.

 

ESEMPIO 1

La funzione reale di variabile reale y=f(x), il cui grafico è rappresentato in figura, è suriettiva. Infatti ogni retta orizzontale (corrispondente ad un valore reale e qualsiasi) interseca la curva almeno in un punto. Tradotto dal linguaggio matematico, questo vuol dire che per ogni valore di y esiste sempre un valore di x.

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ESEMPIO 2

y=x^2 è l’equazione della parabola con vertice nell’origine. Ebbene la parabola non è una funzione suriettiva. Infatti il suo codominio è l’insieme R0+, cioè l’insieme dei numeri reali positivi e compreso lo 0. La curva infatti esiste solo nel primo e terzo quadrante del piano cartesiano. Se proviamo cioè a tracciare la retta y=-2, ad esempio, non intersecherà in alcun punto la funzione. Questo vuol dire che esistono dei valori di y che non hanno una corrispondenza nell’insieme delle x possibili.

 

COME STABILIRE SE UNA FUNZIONE È SURIETTIVA CON IL METODO ANALITICO

Quello che abbiamo visto sino ad ora è sostanzialmente il metodo grafico. Cioè si disegna la funzione e si verifica che per ogni y scelta ci sia almeno una x corrispondente. Una soluzione alternativa a questo tipo di esercizi può essere data dal metodo analitico per le funzioni suriettive. In cosa consiste? Nell’applicazione rigorosa della definizione di funzione suriettiva vista in precedenza.

Questo significa trovare per ogni y, almeno una x, tale che y=f(x). Come si fa? Basta risolvere l’equazione calcolando la x invece della y. Vediamo con un esercizio svolto di essere subito più chiari.

 

ESEMPIO 3

L’equazione della retta y=2x+1 è una funzione suriettiva? Dimostriamolo con il metodo analitico.

Mentre con il metodo grafico è sufficiente disegnare una retta nel piano cartesiano e si verifica immediatamente che per ogni retta orizzontale si interseca sempre la retta data, con il metodo analitico bisogna risolvere un’equazione di primo grado, andando cioè a spostare la x a sinistra.

y=2x+1  –> x=y/2 + 1/2

La funzione è suriettiva perché per qualsiasi valore di y si trova senza dubbio un corrispondente valore di x.

 

ESEMPIO 4

yx=2 è l’equazione di un’iperbole equilatera riferita agli assi. Proviamo a verificare che si tratti di una funzione suriettiva con il metodo analitico.

yx=2 –> x=2/y

Non è una funzione suriettiva perché immaginando di voler calcolare le condizioni di esistenza riferite alla y, troverei immediatamente che per y=0 non esiste alcun valore di x. E’ dato che la definizione sottolinea che devono essere tutti i valori del codominio ad avere controimmagine nel dominio, allora la funzione non è suriettiva.

 

Funzione iniettiva

– definizione, grafico ed esempi

 

, non è niente di particolarmente difficile da capire e anche se a scuola non ci hai capito nulla, vedrai che al termine di questa lezione avrai tutto molto più chiaro.

Ci concentreremo su ciascuna di queste vedendo qual è la definizione e come può essere spiegata in maniera semplice attraverso l’uso di un grafico. La prima domanda che sicuramente ti stai ponendo è: “a che servono le funzioni iniettive e suriettive?“. Nel programma di analisi ti troverai spesso a sentir parlare di funzioni inverse e invertibili. Tutto parte dai contenuti che affronteremo in maniera semplice e schematica nella lezione di oggi.

 

FUNZIONI INIETTIVE

Iniziamo subito con la definizione di funzione iniettiva così come la trovi sui libri di matematica che usi anche a scuola.

Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A in elementi dell’insieme B. Diciamo che f è una funzione iniettiva tra gli insiemi A e B se gli elementi di B posseggono al massimo una controimmagine.

 

Per capire quando una funzione si dice iniettiva basta che ricordi la definizione di funzione. Dicemmo che è una relazione che associa per ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Le funzioni iniettive hanno la caratteristica per cui anche agli elementi di B corrisponde un solo elemento dell’insieme A.

Ti facciamo notare come possano esistere degli elementi dell’insieme B privi di controimmagine (cioè di elementi collegati nell’insieme A)

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Nell’immagine la figura 1 è una funzione iniettiva, mentre la figura 2 non è una funzione iniettiva. Questo perché nel grafico a destra puoi vedere che alcuni elementi  dell’insieme a sinistra convergono verso un’unico elemento dell’insieme di destra, condizione non accettabile per la definizione.

 

ESEMPI

ESERCIZIO 1DIMOSTRARE CHE Y=1/X È UNA FUNZIONE INIETTIVA

Per verificare che la funzione assegnataci dalla traccia sia iniettiva occorre verifica che non solo passando da x a y (quindi dall’insieme A a quello B) c’è un solo collegamento per ogni elemento, ma deve valere anche il contrario. Per ogni elemento di y deve corrispondere 1 solo elemento di x.

Possiamo farlo andando a calcolare x=1/y. Assegniamo dei valori arbitrari (cioè a nostra scelta) alla y, tranne 0 perché non rientra nel dominio delle funzioni fratte.

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Dal grafico della funzione sul piano cartesiano puoi anche notare che per qualsiasi retta r orizzontale (tratteggiata in figura) ci sarà un solo punto di intersezione con curva. Questo significa che ogni valore dell’insieme B, come ad esempio il valore sull’asse delle y pari a r (y=r retta orizzontale) ha una sola controimmagine. Infatti puoi vedere che in corrispondenza di r esiste un solo valore sull’asse delle ascisse, pari a x0.

 

ESERCIZIO 2VERIFICARE CHE LA TRACCIA ESPRIMA UNA FUNZIONE INIETTIVA.

y=(1-x)/(1+x), dove la funzione è definita per l’insieme numerico Z (numeri interi relativi). Il dominio della funzione è l’insieme Z ed inoltre x deve essere diverso da -1.

Il codominio C della funzione è strettamente contenuto in Q, poiché si possono individuare gli elementi di Q privi di controimmagine; stabiliamo per esempio, se l’elemento 3/2 ha controimmagine:

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Il valore determinato non è accettabile poiché non è un numero intero relativo, quindi 3/2 (l’elemento dell’insieme B) non ha controimmagine (cioè non vi è associato alcun elemento dell’insieme A). Abbiamo così dimostrato che quel determinato valore non ha una controimmagine.

Quello che ci resta da stabilire per completare questo esercizio sulle funzioni iniettive è che presi due qualsiasi numeri x1 e x2 le loro immagini sono differenti, cioè f(x1) è diverso da f(x2). Si tratta di una dimostrazione che facciamo per assurdo. Supponiamo quindi che sia:

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L’esercizio ci ha portato ad un risultato che contrasta con l’ipotesi iniziale (cioè che x1 diverso da x2). Dobbiamo perciò considerare che f(x1)=f(x2). Abbiamo così dimostrato che le funzione di partenza assegnataci dalla traccia è iniettiva.

In realtà l’esercizio che ti abbiamo mostrato in questo secondo esempio è ben più complesso rispetto a quelli che svolgerai in classe. Generalmente i programmi e gli esercizi di matematica che ti vengono assegnati in aula non riguardano le funzioni iniettive e suriettive su cui invece ti limiterai all’enunciato e ad una rapida  spiegazione con gli insiemi. Dovrai cioè sapere quello che abbiamo studiato in questa prima parte di lezione.

 

La Funzione Esponenziale

 – definizione, grafico e dominio

 

La funzione esponenziale è una funzione così definita perché ha l’incognita x che compare all’interno dell’esponente.

DEFINIZIONE

Dato il numero reale positivo a ed il numero x variabile nel campo dei numeri reali R, se ad ogni elemento di x associamo l’elemento a elevato alla x, otteniamo la corrispondenza:

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Cerchiamo ora di dare una definizione di funzione esponenziale più semplice. Ci troviamo di fronte a funzioni esponenziali nel momento in cui ho una potenza e all’esponente compare la x.

 

DIFFERENZA TRA POTENZE ED ESPONENZIALI

La domanda che si potrebbe porre è: che senso ha studiare gli esponenziali quando possiamo studiare le potenze? L’esponenziale è in realtà molto diverso e anche il suo grafico presenta notevoli differenze.

Mentre il grafico di una potenza è una parabola (nel caso ad esempio di potenza ad indice due), con gli esponenziali ci troveremo una curva diversa. La sostanziale differenza tra potenza ed esponenziale sta nel fatto che nel primo caso la x sta alla base, nel secondo caso l’incognita compare invece all’esponente.

 

DOMINIO – CAMPO DI ESISTENZA

La funzione esponenziale ha un dominio valido su tutto R. Questo significa che non esistono punti di discontinuità sul grafico, in parole povere la funzione può spostarsi da meno infinito a più infinito senza problemi e senza subire alcuna interruzione.

Vedrai sul grafico della funzione esponenziale che non si scende mai al di sotto dell’asse x. Questo significa che la funzione è sempre positiva, per cui il codominio è R+, cioè per ogni x appartenente all’insieme dei numeri reali positivi.

 

STUDIO DEL SEGNO – POSITIVITÀ

Con lo studio del segno andiamo ad analizzare dove e quando la funzione esponenziale è positiva o negativa, cioè quando si trova sopra o sotto l’asse delle x. Per questa operazione, come in ogni studio di funzione, è necessario verificare la disequazione f(x)>0.

Per definizione la funzione esponenziale è sempre positiva, cioè si trova sempre al di sopra dell’asse delle x, qualsiasi sia la base.

 

GRAFICO DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE

Il grafico ha un andamento differente a seconda di quanto vale la base. Se infatti la base è un numero maggiore di 1 ho una funzione sempre crescente, se il suo valore è compreso tra 0 e 1 il suo andamento è sempre decrescente. Se infine a=1 allora ho una retta orizzontale. Vediamo i tre grafici:

 

A>1 – BASE MAGGIORE DI 1

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0<A<1 – BASE COMPRESA TRA 0 E 1

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A=1 – RETTA ORIZZONTALE

Nel caso in cui l’esponente sia uguale a 1, la funzione esponenziale y=a^x coincide con y=1, cioè una retta orizzontale.

 

CONSIDERAZIONI E OSSERVAZIONI SUL GRAFICO ESPONENZIALE

Possiamo così fare alcune considerazioni sul grafico della funzione esponenziale: in particolare notiamo che quando a>1 allora la curva è crescente, quando a è compresa tra 0 e 1 allora la curva disegnata è decrescente.

 

COME DISEGNARE LE FUNZIONI ESPONENZIALI?

Come si disegnano le funzioni esponenziali? Mentre per disegnare una retta partendo dalla sua equazione avevamo detto che erano sufficienti due punti, in questo caso ne serve qualcuno in più. Con 3 punti si disegna l’equazione di una parabola, per cui è necessario disegnarne almeno 4 o 5.

Vediamo subito un esempio facile per chiarire il concetto espresso fino ad ora:

Rappresentiamo graficamente, per punti, la seguente funzione esponenziale:

y=3^x

133-

 

Data 13 ottobre 2019

ANALISI MATEMATICA – 2

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Discontinuità di prima specie

 –  definizione, esempi ed esercizi svolti

 

La discontinuità di prima specie si ha nel momento in cui esistono e sono finiti il limite destro e sinistro, ma sono diversi tra loro indipendentemente dal valore che la funzione assume nel punto C.

Dal punto di vista matematico questo può essere scritto come:

48-ANAL.MATE. - 2

 

 

In poche parole, quando si ha una discontinuità di prima specie, detta anche discontinuità di primo tipo, sul grafico si vedrà un salto vero e proprio nella curva. Questa procederà normalmente fino ad un certo punto, poi si interromperà bruscamente per riprendere in corrispondenza di una nuova ordinata.

Ecco alcuni esempi di come potrebbero essere i grafici di una funzione con una discontinuità di 1° specie.

 

CASO 1

La definizione di discontinuità di prima specie stabilisce solo che esistono e sono finiti i limiti destro e sinistro della funzione nel punto C, ma non da alcuna informazione riguardo al valore che assume f(x) in C. Il primo caso è quello per cui la curva prosegue fino a C incluso, cioè il valore f(C) rientra nella prima parte della curva, subito dopo c’è il salto.

49-

CASO 2

Nell’immagine che vedi, è rappresentata una possibile discontinuità di prima specie dove questa volta, il limite sinistro assume un valore, f(C) cioè il valore della funzione nel punto C ne assume un altro, e il limite destro un altro ancora.

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CASO 3

Nell’ultimo caso che puoi vedere nell’immagine sotto, abbiamo una situazione in cui c’è un vero e proprio punto di discontinuità. Cioè la funzione nel punto C non esiste, per cui non è definito f(c). Tuttavia il limite destro e sinistro esistono, sono finiti e diversi tra loro.

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ESERCIZI SULLA DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE

Vediamo ora una esempio pratico di una funzione che presenta questo primo tipo di discontinuità.

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Abbiamo una funzione con un valore assoluto. Il primo passo è quello di calcolare il dominio della funzione. Essendo una fratta, si impone che il denominatore è diverso da zero. Per cui possiamo scrivere:

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Che significa quello che abbiamo scritto? Che, sul grafico:

 

# quando x>0, la funzione da studiare è y=+1, che è l’equazione di un retta orizzontale.

# quando x<0, la funzione da studiare è y=-1, anch’essa una retta orizzontale.

 

Poiché non esiste la funzione nel punto 0, perché non lo consentono le condizioni di esistenza, allora ho:

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Quindi la funzione dataci dalla traccia presenta una discontinuità di prima specie, con un salto do 2 unità. Infatti la distanza tra il risultato dei due limiti (cioè tra -1 e +1) è proprio pari a 2.

 

Intersezioni con gli assi

– come trovare i punti di intersezione con gli assi cartesiani

 

Le intersezioni con gli assi sono i punti di intersezione di una generica funzione f con gli assi cartesiani. Si tratta di un argomento estremamente importante nello studio di funzione perché permette di trovare preziosi informazioni sul grafico da disegnare.

Nel programma di geometria analitica avevamo già visto come trovare l’intersezione tra due rette. In questa lezione andremo a riprendere quanto già detto estendendo però il ragionamento a qualsiasi tipo di curva e funzione. Come si trovano i punti di intersezione con gli assi di una parabola, di una retta o di una qualsiasi funzione?

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

I punti di intersezione del grafico con gli assi cartesiani sono dei punti che si ottengono intersecando la funzione y=f(x) con l’asse delle ascisse (che ha coordinate y=0) e con l’asse delle ordinate (che ha coordinate x=0).

Non è detto che la nostra funzione abbia dei punti di intersezione con gli assi, ma dalla loro individuazione si possono già ricavare preziose informazioni da riportare sul grafico. Vediamo come procedere con questo doppio calcolo in maniera semplice.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y (X=0)

E’ necessario costruire un sistema composto da due equazioni. Sul primo rigo avremo la funzione y=f(x), sul secondo rigo l’equazione dell’asse delle ordinate x=0.

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Questo significa, in parole povere, che bisogna trovare un punto che ha coordinate P(0 ; yP) dove yP = f(0) lo si determina andando a sostituire, all’interno della funzione, al posto della x il valore 0.

E’ in genere il calcolo più immediato che può essere risolto a volte addirittura a mente grazie alla sua semplicità. Vedrai negli esercizi svolti dopo quanto questo calcolo sia semplice.

ATTENZIONE: non è detto che esista l’intersezione con l’asse delle ordinate. Se questo punto esiste, sarà unico, in base alla definizione di funzione. Ricordi cosa avevamo detto? Che per ogni valore di x associa uno e un solo valore di y, per cui non possono esserci 2 intersezioni con l’asse delle y.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE DELLE X (Y=0)

E’ necessario costruire un sistema composto da due equazioni. Sul primo rigo avremo sempre la funzione y=f(x), mentre sul secondo rigo metteremo la retta corrispondente all’equazione dell’asse delle x, ovvero y=0.

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Il punto di intersezione con l’asse delle ascisse ha coordinate P(xP;0). Per trovare l’ascissa del punto di intersezione con gli assi bisogna quindi andare a sostituire il valore 0 al posto della y. Dalla risoluzione dell’equazione che si ottiene ci sono due possibili casi:

 

# le equazioni sono impossibili o non hanno soluzioni: non ci sono intersezioni con l’asse x;

# le equazioni ammettono 1 o più soluzioni: queste sono proprio i valori delle ascisse dei punti di intersezione con l’asse x.

 

UN PRIMO SEMPLICE ESEMPIO

Proviamo subito a mettere in pratica quello che abbiamo scritto in termini generici con un facile esercizio svolto.

Calcolare le intersezioni con gli assi della funzione:

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INTERSEZIONI CON L’ASSE DELLE ORDINATE

x=0

y=√(0²-0+2) → y=√2

 

Quindi abbiamo semplicemente sostituito, nell’equazione della funzione, il valore 0 al posto della x. Abbiamo così trovato il primo punto di intersezione con gli assi cartesiani: P(0; √2)

 

INTERSEZIONI CON L’ASSE DELLE ASCISSE

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Come puoi vedere in questo caso, andando a sostituire al posto della y il valore 0 nella funzione, si ottiene un’equazione irrazionale. Quini dobbiamo determinare le condizioni di esistenza e poi elevare al quadrato. In realtà, quando effettueremo lo studio di funzione completo, le condizioni di esistenza non saranno necessarie perché non saranno altro che una ripetizione del dominio della funzione.

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La disequazione di secondo grado, una volta risolta, mi dà come risultato un delta negativo. Questo vuol dire che non ci sono intersezioni con l’asse delle ordinate.

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

Calcolare le intersezioni con gli assi cartesiani della funzione:

y=log(x-1)

In questo caso abbiamo una funzione logaritmica da studiare. Il procedimento è sempre lo stesso per cui iniziamo subito con i calcoli.

 

ATTENZIONE: quando andrai a studiare la funzione negli esercizi di analisi, dovrai per prima cosa calcolarne il dominio. In questo caso la condizione di esistenza della funzione è x-1>0, cioè x>1. Questo significa che è inutile calcolare l’intersezione con l’asse y (cioè mettere a sistema con x=0) perché i valori delle x validi sono da +1 fino a infinito. Non sei convinto? Proviamo a calcolare comunque l’intersezione con l’asse delle ordinate

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y

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Come puoi vedere il calcolo non ha fatto altro che confermare quello che già dal dominio potevamo intuire. Per cui, per evitare di sprecare tempo e fare calcoli inutili, fai attenzione al dominio prima di trovare le intersezioni con gli assi.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE X

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Una volta imposto il sistema, abbiamo semplicemente risolto l’equazione logaritmica che ne è derivata e siamo arrivati alla soluzione.

P(2;0)

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI DELLE FUNZIONI ESPONENZIALI

Trovare i punti di intersezione con gli assi cartesiani della funzione:

62-

INTERSEZIONE CON L’ASSE X

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L’intersezione con l’asse x non porta ad alcun risultato perché il logaritmo di 0 non esiste nel campo dei numeri reali. Per cui la funzione non si interseca con l’asse delle ascisse.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y

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L’esercizio potrebbe anche essere terminato ma vogliamo esprimere più correttamente il valore dell’ordinata, per cui è necessario eseguire una razionalizzazione del radicale.

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CONCLUSIONI

Abbiamo visto come il calcolo delle intersezioni con gli assi della generica funzione si risolve imponendo un sistema di due equazioni in due incognite. Dalla risoluzione del sistema si ottengono le coordinate dei punti che appartengono sia alla funzione che agli assi cartesiani.

 

Studio del segno di una funzione

 – come calcolare la positività di una funzione

 

Lo studio del segno di una funzione, detto anche positività di una funzione, è una tecnica di calcolo che permette di individuare quelle zone del grafico dove la curva studiata sta al di sopra o al di sotto dell’asse delle x.

Generalmente si effettua lo studio del segno della funzione subito dopo il calcolo del dominio, perché ciò permette di escludere rapidamente della vaste zone del grafico. Infatti attraverso l’analisi della positività è possibile andare ad eliminare dal disegno quelle zone sicuramente non attraversate dalla funzione.

 

DEFINIZIONE DI SEGNO DI UNA FUNZIONE

Immaginiamo di avere una generica funzione f:DR, cioè data una curva f di dominio D appartenente al campo dei numeri reali. Per la definizione di funzione sappiamo che ad ogni valore di x corrisponde un unico valore di y, per cui y=f(x).

Questo significa che assegnando un valore alla x, otteniamo la y di conseguenza. Qual è il segno assunto dalla y in questo caso? Positivo o negativo? A questa domanda si risponde attraverso lo studio del segno di una funzione.

 

A CHE COSA SERVE LO STUDIO DEL SEGNO?

Sostanzialmente la positività di una funzione permette suddividere l’asse cartesiano, e quindi il grafico da realizzare, in delle aree con un segno specifico: più (+) o meno (-). Alla fine dei calcoli si può:

 

# ottenere un intervallo in cui la funzione è positiva, cioè si trova sopra l’asse delle x, quindi primo o secondo quadrante.

# ottenere un intervallo in cui la funzione è negativa, cioè si trova sotto l’asse delle x, quindi terzo o quarto quadrante.

 

COME STUDIARE IL SEGNO DI UNA FUNZIONE

Lo studio della positività della funzione è davvero semplice dal punto di vista concettuale, perché si calcola semplicemente imponendo la condizione:

f(x)>0

Si tratta quindi di andare a risolvere una disequazione. Lo studio del segno di una funzione è difficile solo se la funzione è particolarmente complessa. Risolvendo questa disequazione otterremo degli intervalli da sistemare poi sul grafico. Tutto ciò ti sarà molto più chiaro negli esempi che vedremo tra poco.

 

SEGNO DI UNA FUNZIONE POLINOMIALE

Il caso più semplice da analizzare riguarda lo studio del segno di una funzione polinomio del tipo y =axn+bxn-1+…+z

 

ESEMPIO

Studiare il segno della funzione y=x²+4x+3

La condizione per lo studio del segno è y=x²+4x+3 > 0, per cui tutto quello che bisogna fare è risolvere una disequazione di secondo grado. Ecco come fare:

x²+4x+3 > 0 → la formula col delta è:

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A questo punto essendo il verso e il primo coefficiente concordi si prendono soluzioni esterne, cioè il risultato è:

x<-3 U x>-1

Questa non è altro che la soluzione dello studio del segno della funzione polinomiale. Non ci resta che mettere su grafico i valori ottenuti.

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Come puoi vedere dal grafico abbiamo tirato degli assi in corrispondenza delle estremità dell’intervallo individuato. Come detto all’inizio, lo studio del segno di una funzione ci indica quali sono i valori per cui la curva è positiva (quindi sopra l’asse x). Ciò significa che:

 

# quando x<-3 siamo sicuri che la funzione si trova sopra (per cui la zona inferiore di grafico si può cancellare)

# quando x>-1 siamo sicuri che la funzione si trovi sopra (per cui anche questa zona si può eliminare)

# in tutti gli altri valori sono sicuro che la funzione si trova sotto (per cui posso cancellare la zona superiore del grafico).

 

Quindi il grafico ottenuto dallo studio del segno diventa:

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Attraverso queste cancellazioni abbiamo così ottenuto delle zone del grafico in cui passa la funzione. Dallo studio del segno possiamo quindi dedurre che in corrispondenza di x=-3 o x=-1 possono esserci dei punti di intersezione con gli assi o degli asintoti, a seconda del dominio e dello studio dei limiti.

 

STUDIO DEL SEGNO DI UNA RAZIONALE FRATTA

Inizia leggermente a complicarsi il calcolo visto che viene introdotto un denominatore. Per cui non bisognerà più risolvere una semplice disequazione razionale, ma una razionale fratta. Vediamo subito un esercizio svolto.

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Poiché si prendono i valori positivi, il risultato sarà x<-1 U x>0. Questo è anche il risultato dello studio del segno della funzione, per cui possiamo completare il grafico finale. Anche in questo caso andremo ad eliminare (annerendole) la parte inferiore del grafico nell’intervallo trovato dal risultato. In tutto il resto si elimina sopra.

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STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE IRRAZIONALE

In questo caso è importante avere una buona conoscenza sui metodi risolutivi delle disequazioni irrazionali. In caso contrario potremmo trovarci in difficoltà a risolvere le radici che si presenteranno per calcolare la positività della funzione.

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In questo caso dobbiamo studiare il segno di una funzione irrazionale fratta. Senza farci prendere dal panico per la presenza della radice, semplicemente applichiamo quanto visto fino ad ora, ovvero y>0.

Cerchiamo di essere furbi. Abbiamo una radice quadrata: hai mai visto una radice quadrata che come risultato da un numero negativo? NO! Questo perché la radice quadrata è una funzione sempre positiva, per cui la funzione si trova sempre sopra l’asse delle ascisse.

ATTENZIONE: in questo esercizio non è stato richiesto, ma la funzione ha ben due condizioni al dominio. Una disuguaglianza dovuta dalla presenza della radice (x+1)/(x-1)>0 e la condizione dettata dalla presenza del denominatore x≠+1. Questi valori devono essere cancellati anche dal grafico.

 

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

In questo caso è importante conosce le nozioni base delle equazioni logaritmiche. Vediamo subito un esempio di positività di funzione logaritmica. In questo esercizio inseriamo anche lo studio di funzione, visto che generalmente nei grafici dello studio del segno ha una sua influenza.

y=log(x+1)

Ricordati che anche in questo caso è necessario calcolare il dominio, cioè x+1>0 → x>-1. Per quanto riguarda lo studio del segno vale sempre la stessa regola:

log(x+1)>0 → elog(x+1)>e0 → x+1>1

x>0

Possiamo inserire il risultato sul grafico eliminando già i valori esclusi dal dominio (cioè si cancella tutto ciò che si trova prima di -1 che potrebbe essere un asintoto verticale)

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STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

Per poter risolvere questo caso, è importante avere una buona conoscenza sulle equazioni esponenziali. Vediamo subito un esempio concreto su come si procede:

y=ex-1

y>0 → ex-1>0 →  ex>+1 → ln(ex)>ln(+1) → x>0

Il grafico in questo caso è estremamente semplice da realizzare, visto che si cancella la parte bassa del grafico in corrispondenza di x>0. Tutto il resto si cancella sopra.

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STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE TRIGONOMETRICA

Per poter risolvere questo caso è necessario sapere come si risolvono le disequazioni goniometriche. Vediamo come procedere con i calcoli in questo caso. Il dominio della funzione seno che vedrai dalla traccia include tutto R per cui non ci sono punti o zone di discontinuità.

y=sinx-1/2

sinx-1/2>0 → sinx>+1/2

Nella lezione sulla funzione seno abbiamo visto il grafico della sinusoide. Come puoi vedere dall’immagine in basso, il seno è maggiore di -1/2 per valori di x compresi da 0 a 210° e da 330° a 360°. Sul grafico finale andremo ad inserire proprio questi valori

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Definizione di funzione matematica

 

Qual è la definizione di funzione matematica? Si tratta di uno degli argomenti più importanti ma allo stesso tempo difficili da capire per gli studenti. Implica alcuni concetti e definizioni (come il dominio) che saranno molto utili negli esercizi di analisi.

Per capire questa lezione è importante avere alcune nozioni che riguardano la teoria egli insiemi. Infatti per parlare di definizioni di funzioni reali, dovremo valutare le alcune condizioni che riguardano due insiemi particolari. Entriamo però subito nel vivo della lezione

 

DEFINIZIONI DI FUNZIONI

Iniziamo subito questa lezione dandoti la definizione di funzione matematica che trovi in genere su tutti i libri di testo:

Si definisce funzione matematica quella legge che associa ad ogni elemento di un insieme A uno ed un solo elemento dell’insieme B.

Per capire che cos’è una funzione iniziamo disegnando due insiemi generici, A e B, non vuoti, cioè che al loro interno sono presenti degli elementi.

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CHE COS’È UNA FUNZIONE?

Come puoi vedere l’elemento dell’insieme A viene collegato con l’elemento dell’insieme B con una freccina che si chiama f. E’ proprio questo il concetto di funzione. Detto quindi in parole povere da un insieme A (che sarà il dominio, cioè l’insieme delle x), attraverso un oggetto matematico (appunto la funzione) arriviamo all’insieme B (che sarà l’insieme delle y).

Scritto in maniera matematica:

f:A → B

 

Che significa? Applicando una f all’insieme A arriviamo in B.

Un altro modo per indicare la funzione in matematica è f(a)=b dove a e b sono i generici elementi dell’insieme A e B rispettivamente. Molto spesso troverai infatti scritto sui libri: data la funzione y=f(x).

Ma che cos’è una funzione? La definizione l’abbiamo capita, ma nella pratica chi è f? E’ una qualsiasi operazione o operatore matematico applicato alla x. Ecco alcuni esempi:

 

# x+1 è una funzione perché dato un valore di x, f ci dice di aggiungere +1 per ottenere la y.

# è una funzione perché dato un valore di x, la f ci dice di farne la radice quadrata per ottenere la y.

# sin x anche il seno è una funzione perché data una x, la f ci dice di applicare il seno per ottenere la y.

 

CHE COSA SONO IL DOMINIO E IL CODOMINIO

Accanto alla definizione di funzione, ci sono due concetti importanti da conoscere e che andranno applicati negli esercizi di analisi e negli studi di funzione: dominio e codominio. Che cosa sono?

 

# L’elemento dell’insieme B (il puntino a destra) si definisce immagine dell’elemento nell’insieme A (il puntino a sinistra)

# L’elemento dell’insieme A si definisce controimmagine dell’elemento in B

# L’insieme A si definisce dominio della funzione f e si indica con la lettera D

# L’insieme B si definisce codominio della funzione f e si indica con la lettera C

 

ESEMPIO: È UNA FUNZIONE

Vediamolo più facilmente con un esempio. Ti ricordi come si disegna una retta? Molto brevemente assegnavamo un valore alla x a nostra scelta e calcolavamo la y di conseguenza.

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y=2x+1 è una funzione, nello specifico è l’equazione di una retta. Ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di y, quindi è rispettata la definizione di funzione matematica.

 

ESEMPIO: NON È UNA FUNZIONE

La circonferenza non è una funzione matematica. Ti ricordi l’equazione della circonferenza? Vediamo l’esempio…

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Come puoi vedere in corrispondenza del valore 1/2 della x sono associati 2 valori alla y. Questo significa che la circonferenza goniometrica rappresentata dalla formula non è una funzione matematica.

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DEFINIZIONE DI FUNZIONE, ESERCIZI

Capito quindi che cos’è una funzione, consideriamo le seguenti equazioni e stabiliamo se esse rappresentano funzioni matematica.

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A partire dalla traccia abbiamo ricavato la y e poi verificato sul grafico la corrispondenza tra dominio e codominio. Questo primo esercizio è certamente una funzione perché per ogni valore di x che noi andiamo ad assegnare, esiste uno e un solo valore della y, proprio come dice la definizione di funzione. Il secondo esercizio invece è leggermente diverso.

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Una volta esplicitata la y in funzione della x, mi rendo subito conto che assegnando alla variabile indipendente (cioè alla x) un valore arbitrario, trovo due valori della variabile dipendente, cioè la y.

 

Dominio di una funzione

 – come si calcola il campo di esistenza

 

Il dominio di una funzione è l’insieme in cui la funzione stessa esiste ed è definita. In altre parole, nell’analisi matematica, il dominio di funzione va ad indicare quali valori della variabile x “non sono ammessi”. Per poterlo calcolare sono necessarie poche semplici regole da tenere presente.

E’ detto anche campo di esistenza ed è il primo passo per poter disegnare il grafico di una curva.

 

CHE COS’È IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

Quando abbiamo espresso la definizione di funzione matematica e della sua rappresentazione sul piano cartesiano abbiamo parlato anche di dominio e codominio.

 

ENUNCIATO

Il dominio di una funzione y=f(x) o campo di esistenza o anche insieme di definizione di f è l’insieme dei valori reali di x per i quali l’espressione f(x) ha significato.

Che significa ciò praticamente? Che il dominio della funzione f rappresenta quell’insieme dei valori che la x può assumere affinché la funzione stessa esista. Proprio per questa ragione il dominio di una funzione viene chiamata campo di esistenza.

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COME SI TROVA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

Molti libri e insegnanti propongono spesso metodi di calcolo che agli studenti risultano poco chiari o comunque non sempre applicabili in maniera istantanea.

Il nostro consiglio è di iniziare a riconoscere la funzione che si ha di fronte e di applicare per ciascuna di essa la regola che ti mostreremo. In base alla natura delle operazioni matematiche che caratterizzano f si sono classificate le funzioni in base ad uno schema preciso. Ecco come si trova il dominio delle funzioni elementari.

DOMINIO DI UNA FUNZIONE RAZIONALE INTERA

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Quando ti trovi di fronte ad un polinomio, non hai nulla di cui preoccuparti. Il grafico della tua funzione non avrà alcuna discontinuità per cui il dominio è “per ogni x appartenente a R“.

Questo significa che il campo di esistenza è tale per cui la funzione esiste per tutti i valori della x appartenenti all’insieme dei numeri reali. Lo stesso vale se devi fare il calcolo del dominio di una funzione di terzo grado, non ci sarà alcuna differenza

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE FRATTA

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Quando invece devi calcolare il dominio di una funzione razionale fratta dovrai escludere tutti i valori che annullano il denominatore.

Quindi la regola che devi applicare è imporre il denominatore diverso da zero. Quindi nella frazione A(x)/B(x) dovrai imporre B(x) diverso da 0.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE IRRAZIONALE

Come ben ricorderai dalle proprietà dei radicali e delle equazioni irrazionali, i casi che ti si possono presentare sono due. L’indice di radice può essere ad indice pari o ad indice dispari.

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# Per calcolare il dominio di una funzione irrazionale ad indice di radice dispari, ti è sufficiente imporre  “per ogni x appartenente a R”. Infatti in questo caso non ci sarà alcuna limitazione al campo di esistenza.

# Per calcolare il dominio delle funzioni irrazionali ad indice pari dovrai invece imporre il radicando maggiore e uguale di zero, visto che una radice non può essere negativa.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

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Il dominio di una funzione esponenziale è definito per ogni x appartenente a R. Quindi quando incontri questo tipo di funzione non avrai problemi, dato che non ci sono discontinuità.

Così come nelle equazioni esponenziali non andavi a definire un campo di esistenza, anche ora sul grafico nel dominio non dovrai andare ad effettuare alcuna modifica.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

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Quando abbiamo affrontato le proprietà dei logaritmi ed in particolare quando abbiamo affrontato le equazioni logaritmiche abbiamo già calcolato il campo di esistenza, imponendo l’argomento maggiore di zero.

Nella formula generica che vedi al lato, dovrai semplicemente imporre tutto ciò che è nell’argomento del logaritmo maggiore di zero, cioè f(x)>0.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE TRIGONOMETRICA

y= senx e y=cosx, cioè seno e coseno non hanno un campo di esistenza limitato, per cui possiamo scrivere che il dominio è definito per ogni x appartenente a R.

t=tgx, cioè la tangente di un angolo esiste invece solo quando x è diverso da π/2+kπ, cioè non può mai assumere valori multipli di 90° e 270°. Allo stesso modo la cotangente di un angolo è definita solo quando x è diverso da π+kπ, cioè per valori multipli di 180°.

 

A COSA SERVE IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE SUL GRAFICO?

Presa la nostra traccia, la prima cosa che abbiamo imparato a fare, fino ad ora, è riconoscere il tipo di funzione e da qui abbiamo capito come calcolare il campo di esistenza. Ma tutto ciò a cosa serve per lo studio di funzione? Come i valori del dominio che ho ottenuto possono essere sistemati sul grafico? I casi possibili sono sostanzialmente 3:

# il dominio è “per ogni x appartenente a R”. In tal caso il grafico non viene modificato in alcun modo dalle condizioni di esistenza, cioè la mia curva può attraversare tutto il grafico senza alcuna limitazione.

# il dominio è una equazione con il simbolo diverso. In tal caso si disegna una retta verticale (ecco cosa sono gli asintoti verticali) in corrispondenza di quell’ascissa. La mia curva non potrà mai toccare l’asintoto, ma solo avvicinarsi ad esso. Il caso più frequente si verifica con il dominio di una funzione fratta.

# il dominio è una disequazione è una disequazione, come nel caso dei logaritmi o delle funzioni sotto radice. In questo caso si andrà a cancellare, tratteggiandola, tutta la zona del grafico non indicata dal campo di esistenza calcolato.

 

ESEMPIO

Calcolare il dominio della funzione composta seguente.

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Nella traccia di questo piccolo esercizio si comincia facendo il riconoscimento della funzione. Che cosa subisce la x per diventare y? Gli viene applicato il logaritmo (quindi è una funzione logaritmica), poi gli viene sottratto 1 (quindi si va nelle funzioni razionali) e infine gli viene applicata la radice (sarà quindi anche funzione irrazionale).

Trascurando il fatto che sia funzione razionale, visto che il dominio è per ogni x appartenente ad R per cui non influenza il risultato finale, concentriamoci sul calcolo del dominio della funzione logaritmica irrazionale.

In figura ti abbiamo già cerchiato quali sono gli argomenti su cui lavorare. L’argomento della radice va imposto maggiore e uguale di zero, mentre l’argomento del logaritmo solo maggiore di zero. Queste due condizioni devono essere verificate contemporaneamente per cui andremo a scrivere un sistema di disequazioni.

88-FINE ANALI. MATE. - 2

Come puoi vedere è stato imposto il sistema di disequazioni e con pochi semplici passaggi algebrici siamo arrivati alla soluzione dell’esercizio. Ora il risultato va riportato sul grafico. Nella parte bassa puoi vedere che abbiamo disegnato gli assi cartesiani e riportato sull’asse delle ascisse il numero di Nepero e.

E’ stata cancellata tutta la porzione di grafico che non rientra nel dominio della funzione. Dato che il calcolo del campo di esistenza ci aveva dato come soluzione x maggiore e uguale di e, vuol dire che la funzione esiste solo dal valore di e in poi. Quindi tutto ciò che sta alla sinistra del numero di Nepero è stato cancellato.

In questo modo abbiamo escluso tutta una porzione del grafico e sappiamo con certezza che la nostra curva sicuramente non passerà per quell’area.