TRIANGOLI
Consideriamo un tipo di triangolo generico, quindi composto da tre lati tutti differenti – che chiameremo in seguito scaleno.
Si definiscono:
– Lati: AB, BC, AC.
– Vertici: A, B, C.
– Angoli: CAB, ABC, BCA.
Area = A = base × altezza : 2
Perimetro = P = somma dei tre lati
Altezza dei triangoli
E’ fondamentale per il calcolo dell’area. E’ il segmento che congiunge perpendicolarmente uno qualsiasi dei vertici con il lato opposto.
Come si vede dal disegno, visto che i triangoli hanno 3 lati, hanno anche 3 altezze. Nell’esempio diremo che:
– AH = altezza relativa al lato CB
– CK = altezza relativa al lato AB
– BL = altezza relativa al lato AC
Il punto di intersezione delle tre altezza, indicato in figura con la lettera O, si chiama ortocentro.
Proprietà dei triangoli
– Poiché per tre punti non allineati passa sempre una sola circonferenza, vuol dire che il triangolo può essere sempre circoscritto o inscritto ad una circonferenza.
– La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.
– La somma di due lati è sempre minore al terzo lato e la differenza tra due lati è sempre maggiore al terzo lato.
Classificazione dei triangoli
In base alla lunghezza e ai rapporti tra i lati esistono diversi tipi di triangoli:
– triangoli scaleni: tutti i lati sono diversi tra di loro. Lo stesso vale ovviamente per gli angoli.
– triangoli isosceli: sono quei triangoli che hanno 2 lati (e quindi anche due angoli) congruenti.
– triangoli equilateri: tutti i lati sono uguali. Gli angoli sono tutti pari a 60°. Le formule si semplificano notevolmente.
In base ai rapporti e alle misure degli angoli possiamo effettuare una seconda classificazione di triangoli:
– triangoli rettangoli: uno degli angoli è pari a 90°. Si individuano così due cateti e una ipotenusa. In questo tipo di triangolo è importante conoscere il Teorema di Pitagora.
– triangoli acutangoli: tutti gli angoli sono acuti, cioè minori di 90°.
– triangoli ottusangoli: uno degli angoli è ottuso, cioè supera i 90°.
Triangolo ottusangolo
Il triangolo ottusangolo è quel particolare tipo di triangolo che ha un angolo con ampiezza maggiore di 90°.
Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre pari a 180°, vuol dire che ci saranno due angoli acuti ed uno ottuso. In figura puoi vedere un semplice esempio di triangolo ottusangolo:
Nella figura vista sopra puoi vedere come ci sia un solo angolo ottuso (quello in blu) e due angoli acuti (quelli in arancione).
Ti renderai benissimo conto che un triangolo ottusangolo può avere al massimo 1 angolo ottuso, gli altri saranno sempre e comunque acuti.
CLASSIFICAZIONE DEL TRIANGOLO OTTUSANGOLO
Come hai potuto notare, fino a questo momento abbiamo preso come riferimento geometrico solo l’ampiezza degli angoli. Andando a considerare anche la misura degli angoli allora possiamo distinguere:
– triangolo scaleno ottusangolo – tutti i lati e gli angoli sono diversi tra loro. Se nella traccia trovi scritto solo “triangolo ottusangolo”, allora si intende implicitamente scaleno. Come figura di esempio, puoi considerare quella vista sopra.
– triangolo ottusangolo isoscele – ci sono due lati e due angoli congruenti. L’angolo ottuso è compreso tra i due lati uguali.
Poiché è impossibile che tutti gli angoli abbiano la stessa ampiezza, non esiste il triangolo ottusangolo equilatero.
Perimetro
Come ogni figura geometrica, ti basterà semplicemente sommare la misura dei tre lati per ottenere il perimetro.
Area
Per il calcolo diretto dell’area del triangolo ottusangolo puoi far riferimento alla formula di Erone se hai tutti e tre i lati. In alternativa puoi tracciare l’altezza ed ottenere due triangoli rettangoli. Da lì puoi utilizzare poi il teorema di Pitagora o il teorema di Talete a seconda dei dati che hai a disposizione.
Triangolo acutangolo
Il triangolo acutangolo è un particolare tipo di triangolo che ha tutti gli angoli acuti. Questo vuol dire che nei suoi tre vertici, ha tutti gli angoli di ampiezza minore di 90°.
Un classico esempio di triangolo acutangolo è il triangolo equilatero, visto che tutti i suoi angoli misurano 60°
Poiché abbiamo detto che 2 angoli sono necessariamente minori di 90°, resta da capire come sia il terzo.
– se è acuto, ci troviamo di fronte ad un triangolo acutangolo. Quindi tutti gli angoli sono minori di novanta gradi.
– se è retto, abbiamo un triangolo rettangolo. Quindi abbiamo 2 angoli acuti e un angolo di 90°.
– se è ottuso, ovvero maggiore di 90°, abbiamo un triangolo ottusangolo. Quindi abbiamo due angoli minori di 90° e uno maggiore di 90°.
Possiamo ulteriormente distinguere:
– triangolo scaleno acutangolo – tutti i lati hanno misure differenti
– triangolo isoscele acutangolo – la figura ha due lati congruenti;
– triangolo equilatero acutangolo – il triangolo è equilatero ed equiangolo, cioè ha sia i lati che gli angoli uguali.
PROPRIETÀ CARATTERISTICA
Una proprietà importante del triangolo acutangolo è quella di avere incentro, ortocentro e baricentro che ricadono sempre all’interno della figura.
Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza
Un triangolo equilatero si definisce inscritto in una circonferenza quando le due figure hanno solo 3 punti in comune.
Come puoi osservare dalla figura i tre vertici del triangolo toccano la circonferenza. Si può anche dire infatti che la circonferenza è circoscritta al triangolo.
FORMULE DA USARE
Ne vedremo la dimostrazione tra pochissimo. Iniziamo dicendo subito che è sufficiente avere il raggio per conoscere il lato del triangolo.
l=r√3
dove l è la misura del lato del triangolo equilatero, mentre r è il raggio della circonferenza circoscritta.
Da questa possiamo ricavare la formula inversa che permette di trovare il raggio a partire dal lato del triangolo.
r=l / √3
DIMOSTRAZIONE E PROPRIETÀ
Indicando con C il centro della circonferenza, proviamo ad unire questo con i vertici del triangolo.
Puoi notare che si formano tre triangoli isosceli: ACD, ABC, BCD. A questo punto per ogni triangolo isoscele possiamo disegnare l’altezza (che sappiamo anche essere mediana e bisettrice).
Considerando che si formano 3 angoli perfettamente uguali, allora gli angoli che partono dal punto C sono tutti di 120° (essendo 360° diviso il numero di angoli che si formano, cioè 3, allora ognuno sarà di 120°).
Prendiamo ad esempio il triangolo ABC. Tracciano l’altezza CH si formano due triangoli rettangoli congruenti: ACH e HCB. Sappiamo che:
– AC = CB = raggio della circonferenza = r
– L’angolo ACB = 120°, per cui ACH=HCB=60°
I due triangoli AHC e CHB sono triangoli rettangoli da 30°, 60° 90°. Questo significa che CH = AC/2 = r/2
Applicando il teorema di Pitagora, possiamo ricavare AH.
Poiché AH è metà base del triangolo equilatero, allora il lato di quest’ultimo è pari a:
AB=AD=DB → l=r√3
Abbiamo quindi capito che quando nel triangolo equilatero inscritto alla circonferenza è sufficiente avere il raggio, per poter così conoscere le misure di tutti i lati.
ESERCIZIO
Un triangolo equilatero ABC è inscritto in una circonferenza che misura 100π. Calcolare l’area del triangolo, l’area del cerchio, l’area della parte di cerchio colorata.
Svolgimento
Ricordi le formule di cerchio e circonferenza? Nota la lunghezza della circonferenza posso calcolare il raggio:
C=2πr → r=C/2π
r=100π/2π = 50 cm
Usiamo la formula che abbiamo dimostrato che ci permette di trovare il lato del triangolo dato il raggio.
l = r√3 = 50√3
A questo punto calcoliamo l’altezza CH con la formula inversa del teorema di Pitagora.
A questo punto possiamo calcolare l’area del triangolo con la formula generale base per altezza diviso due.
At = 50√3 · 75 = 6.495 cm²
Possiamo poi calcolare l’area del cerchio come pigreco per raggio alla seconda, così da ottenere:
Ac = π·50²= 7.850 cm²
Per calcolare infine l’area colorata della figura basta eseguire la sottrazione tra area più grande del cerchio e quella più piccola del triangolo.
A = 7.850 – 6.495 = 1.355 cm².
Somma degli angoli interni di un triangolo
La somma degli angoli interni di un triangolo vale sempre 180°.
Qualunque sia il tipo di triangolo, sommando gli angoli che si trovano all’interno della figura, il risultato è sempre pari all’angolo piatto.
Possiamo dire quindi che la somma degli angoli interni di un triangolo rettangolo vale 180°, ma lo stesso risultato vale anche per il triangolo isoscele o il triangolo equilatero.
TEOREMA DELLA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO
Perché proprio 180° e non un altro angolo? A garantire la validità di questo risultato è un teorema di geometria il cui enunciato è:
La somma degli angoli interni di ogni triangolo è congruente ad un angolo piatto (180°)
Dimostrazione
Consideriamo un generico triangolo ABC come quello nella figura in alto. Sia AB la base e ne disegniamo la retta parallela passante per il punto C e prolunghiamo il lato AC.
Ti ricordi delle rette parallele tagliate da una trasversale? In questa figura possiamo riconoscere che:
– α=α1 poiché angoli corrispondenti;
– β=β1 poiché angoli alterni interni;
Da notare che l’angolo che si forma sulla destra di C è un angolo piatto. Cioè possiamo scrivere che:
α1 + β1 + γ = 180°
che equivale a scrivere:
α + β + γ = 180°
SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN TRIANGOLO (LA FORMULA GENERICA)
In realtà c’è una formula che permette di calcolare la somma degli angoli interni di qualsiasi tipo di figura o poligono.
(180° · n) – 360°
dove n è il numero di lati del poligono considerato. Poiché i triangoli hanno 3 lati allora possiamo scrivere:
somma angoli interni triangolo = (180° · 3) – 360° =
=540°-360°=180°.
Se la somma degli angoli esterni di un triangolo non è così fondamentale da sapere per lo svolgimento degli esercizi, la somma degli angoli interni va assolutamente ricordata perché ricorrerà in tantissimi tipi di problemi.
Formula di Erone per calcolare l’area di un triangolo
La formula di Erone è uno dei metodi meno conosciuti per calcolare l’area di un triangolo generico note le misure dei tre lati.
Dato un triangolo i cui lati misurano a, b, c, il cui semiperimetro vale p, allora l’area si può calcolare come:
ENUNCIATO E DEFINIZIONE
L’area di un triangolo generico è pari alla radice quadrata del semiperimetro per la differenza tra semiperimetro meno il primo lato, moltiplicato per la differenza tra semiperimetro meno il secondo lato, moltiplicato la differenza tra semiperimetro e terzo lato.
Osservazioni:
Come si nota dall’enunciato, nella formula di Erone sono presenti le misure dei tre lati del triangolo generico e la misura del semi-perimetro. Questo significa che, volendo calcolare l’area di un triangolo con la formula di Erone, serve il perimetro (da dividere per 2) e tutti i lati noti.
COME APPLICARE LA FORMULA DI ERONE
Immaginiamo di conoscere tutti e tre i lati di un triangolo. Se si trattasse di un triangolo rettangolo potremmo calcolare l’area sfruttando la formula cateto maggiore per cateto minore diviso due. Ma se il triangolo è scaleno l’unica formula utilizzabile è base per altezza diviso due. Per calcolare l’altezza possono essere necessari tanti calcoli non sempre semplici per cui può essere utile e rapido applicare la formula di Erone.
ALCUNI PROBLEMI CON LA FORMULA DI ERONE
ESERCIZIO 1
Calcolare l’area di un triangolo scaleno con i lati di dimensioni pari a 2cm, 3cm e 4cm.
Svolgimento
Iniziamo calcolando il perimetro, poi il semiperimetro, del triangolo. Essendo i numeri molto semplici possiamo scrivere
2p=a+b+c=2+3+4=9cm
p=9/2=4,5 cm
Posso già procedere con l’applicazione della Formula di Erone, andando a sostituire i dati:
ESERCIZIO 2
I lati di un triangolo misurano 10, 12 e 15 cm. Calcolare la misura dell’area del triangolo e del cerchio inscritto.
Svolgimento
Possiamo applicare direttamente la formula di Erone al triangolo dopo aver calcolato il semiperimetro
FORMULA DI ERONE DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione della formula di Erone è un po’ lunga e laboriosa. Per cui cerchiamo di vederla semplificando al massimo i vari passaggi.
Disegniamo innanzitutto un triangolo scaleno di lati a, b, c e tracciamo l’altezza h relativa alla base c.
La base b resta divisa in due parti x e (b-x). Per calcolare quanto vale x, applichiamo il teorema di Pitagora ai due triangoli rettangoli.
Per i due triangoli vale la relazione:
Una volta trovata l’incognita x, possiamo sostituirla nella formula dell’altezza.
In alcuni libri questa che abbiamo trovato viene presentata come una prima formula di Erone. Tuttavia risulta abbastanza difficile da ricordare per cui sono necessarie alcuni passaggi algebrici per renderla più semplice.
Il prossimo passaggio è quello di portare tutto all’interno della radice:
Ti ricordi che nei prodotti notevoli abbiamo parlato di differenza di quadrati? Eseguendo la scomposizione otteniamo:
Nell’ultimo passaggio abbiamo scomposto i termini in parentesi in quadrati di binomio. Ora, ripetiamo la scomposizione della differenza di quadrati.
Dove (a+b+c)/2 è il semiperimetro p del triangolo. In questo modo abbiamo così completato la dimostrazione della formula di Erone.
CONCLUSIONI
La formula di Erone può essere utile nello svolgimento di alcuni problemi di geometria per il calcolo dell’area di un triangolo generico. In genere si preferiscono altre formule, per rendere il calcolo meno numerico, ma va tenuta presente come un’utile alternativa.
INCENTRO DI UN TRIANGOLO
L’incentro di un triangolo è dato dall’intersezione delle tre bisettrici. Ciò che molti studenti ignorano è che l’incentro non necessariamente si riferisce ai triangoli, ma può essere individuato in qualsiasi figura geometrica piana. Tuttavia nella maggior parte degli esercizi, questo punto notevole viene studiato solo in riferimento ai triangoli.
Dato un generico triangolo scaleno di vertici ABC, si conducano per gli angoli A, B e C le rette bisettrici. Dalla loro intersezione si ottiene il punto I detto incentro del triangolo
Definizione
L’incentro è il punto di intersezione delle bisettrici della figura geometrica.
PARTICOLARITÀ E PROPRIETÀ DELL’INCENTRO
– L’incentro ricade sempre all’interno della figura.
– L’incentro coincide con il centro della circonferenza inscritta nel triangolo
– La posizione dell’incentro nel triangolo scaleno non segue regole precise ma dipende solo dalla posizione dei vertici. Vedremo in altri triangoli che si possono fare delle semplificazioni.
– L’incentro è equidistante da tutti i lati del triangolo. Per distanza si intende il segmento che parte dal punto I e cade perpendicolarmente sul lato opposto. (per studenti delle superiori vedi il calcolo della distanza di un punto da una retta)
– Le bisettrici del triangolo vengono suddivise in maniera tale che si forma una proporzione con il lato adiacente e una parte del lato opposto al vertice da cui parte la bisettrice.
Considerando ad esempio il triangolo ABC in figura considerando la bisettrice CH, si genera la proporzionalità:
CI:IK=AC:AH=CB:HB
Si tratta di una proprietà non sempre presente nei libri di testo ma che riportiamo per completezza. Di seguito vedremo come si trova l’incentro nei vari tipi di triangoli. Per quanto riguarda l’incentro del triangolo rettangolo valgono le stesse considerazioni fatte con lo scaleno.
INCENTRO TRIANGOLO ISOSCELE
L’incentro di un triangolo isoscele è dato dall’intersezione delle tre bisettrici ed è sempre situato sull’altezza relativa alla base del triangolo. Questo significa che in base alla posizione del vertice superiore, può cambiare solo l’altezza dell’incentro, cioè può essere più o meno vicina alla base.
In realtà, volendo essere più precisi, si dice che l’incentro del triangolo isoscele giace su quella che viene definita retta di Eulero. Questa retta è il luogo dei punti su cui sono sempre allineati ortocentro, baricentro e circocentro.
INCENTRO TRIANGOLO EQUILATERO
L’incentro di un triangolo equilatero coincide con ortocentro, baricentro e circocentro. Questo perché altezza, mediana, asse e bisettrice coincidono quando tutti i lati del triangolo sono uguali.
CALCOLO DELL’INCENTRO DI UN TRIANGOLO
Questa seconda parte della lezione è dedicata agli studenti delle scuole superiori o università che stanno studiando o approfondendo il programma di geometria analitica. Esiste una formula per calcolare l’incentro di un triangolo ed è molto simile a quella usata per il calcolo del punto medio di un segmento.
Dato il triangolo scaleno di vertici ABC, di coordinate A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC) e date le misure dei lati BC=a, b=CA e c=AB, allora:
dove 2p= misura del perimetro del triangolo = a + b + c.
AREA TRIANGOLO EQUILATERO
L’area del triangolo equilatero misura la superficie racchiusa all’interno di un triangolo che ha tutti i lati uguali. Ecco le formule dirette che possono essere utilizzate conoscendo il lato
DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA DELL’AREA DATO IL LATO
Per calcolare l’area del triangolo equilatero, dobbiamo sfruttare la formula generale valida per tutti i triangoli:
Conoscendo il lato AB=BC=CA, resta da determinare l’altezza CH. Questa può essere calcolata usando il teorema di Pitagora e considerando il triangolo rettangolo CHB. (triangolo di 30-60-90 gradi). Poiché l’altezza è anche mediana nei triangoli equilateri, allora possiamo scrivere che:
HB=CB:2 → HB=AB:2 poiché tutti i lati del triangolo sono uguali
Usando la formula inversa del teorema di Pitagora ho:
PERIMETRO TRIANGOLO EQUILATERO
Molto più semplice è invece la formula del perimetro. Essendo pari alla somma dei tre lati ed essendo questi tutti uguali, allora il perimetro del triangolo equilatero può essere calcolato con la formula:
p=3L
Cioè il perimetro è pari alla misura di uno qualsiasi dei lati moltiplicato per 3.
PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO EQUILATERO
Ecco riassunte tutte le caratteristiche di questo particolare tipo di triangolo:
– ha tutti i lati uguali;
– ha tutti gli angoli uguali e misurano 60°;
– è sempre inscrivibile in una circonferenza;
– è un particolare tipo di triangolo isoscele;
AREA TRIANGOLO EQUILATERO
ESERCIZIO 1
Calcolare l’area del triangolo equilatero che ha il lato che misura 10 cm.
Le possibili strade per ottenere la soluzione sono due. Nel primo metodo, quello più lungo:
– calcolare la metà del lato;
– applicare la formula inversa del teorema di Pitagora per ottenere l’altezza;
– calcolare l’area con la formula generale base per altezza diviso due.
Con il secondo metodo andiamo direttamente ad applicare la formula diretta vista in questa lezione. E’ noto un lato e bisogna calcolare l’area del triangolo equilatero. Per cui la formula da usare è:
ESERCIZIO 2
Calcolare l’area del triangolo equilatero con l’altezza che misura 20 cm.
Il metodo più diretto per risolvere l’esercizio è sicuramente quello di utilizzare la formula vista in questa lezione
Un secondo metodo potrebbe essere quello di calcolare l’area del triangolo CHB di cui conosciamo il cateto maggiore CH. Si tratta, come già detto prima, di un triangolo rettangolo da 30-60-90.
– L’ipotenusa è il lato del triangolo equilatero;
– Il cateto minore è la metà del lato del triangolo equilatero;
– Il cateto maggiore è l’altezza del triangolo equilatero.
Quindi possiamo scrivere il teorema di Pitagora:
A questo punto posso calcolare l’area utilizzando la prima formula (area triangolo equilatero noto il lato)
A=230,96 cm²
ESERCIZIO 3
Data l’area del triangolo equilatero, calcolare il perimetro. A=96cm².
Come abbiamo visto nella lezione sui perimetri dei triangoli, possiamo utilizzare la formula semplificata P=3L. Quindi è necessario calcolare il lato partendo dall’area. Dalla prima formula vista, ricaviamo la inversa per ottenere il lato
Per ottenere il risultato finale, è sufficiente fare una radice quadrata ad entrambi i membri.
AB=14,89 cm.
AREA TRIANGOLO SCALENO
1) BASE PER ALTEZZA DIVISO 2
La formula principale che siamo abituati ad utilizzare per i triangoli recita:
L’area di un triangolo si calcola dividendo per due il prodotto tra base ed altezza:
Ma qual è la base? Guardando la figura, non necessariamente si deve considerare AB come la base del triangolo, anzi. Tutti i lati possono assolvere al ruolo di base, purché l’altezza usata poi nel calcolo sia relativa a quello stesso lato. Per questa ragione possiamo scrivere le seguenti 3 formule per il calcolo dell’area triangolo scaleno:
QUANDO USARLA: In questo primo metodo è ovviamente indispensabile conoscere uno dei lati, che verrà considerato come base, e l’altezza relativa allo stesso lato.
2) FORMULA DI ERONE
Il secondo metodo per calcolare l’area del triangolo scaleno è consiste nell’applicazione della formula di Erone.
dove:
– p= semiperimetro;
– a,b,c = sono i tre lati del triangolo.
Quindi il primo passo è quello di calcolare il perimetro sommando i lati e poi dividerlo per due, così da ottenere il semiperimetro.
QUANDO USARLA: questa formula va usata soltanto se si hanno immediatamente disponibili le misure dei tre lati del triangolo.
PERIMETRO TRIANGOLO SCALENO
Il perimetro misura l’estensione in lunghezza della figura e si calcola facendo la somma di tutti i lati. Quindi la formula è molto semplice:
p=AB+BC+AC
CALCOLO DEI LATI E DELL’ALTEZZA
Per avere a disposizione tutte le formule triangolo scaleno mancano la misura dei lati e dell’altezza. Si ricavano a partire dalla formula dell’area del triangolo scaleno. Abbiamo scritto una lezione proprio per tutte le formule inverse dell’area.
ESERCIZIO 1
Calcolare l’area del triangolo scaleno che ha la base pari a 28,5 cm ed ha l’altezza il doppio della base.
La traccia ci fornisce indirettamente sia la base che l’altezza. Quest’ultima la calcoliamo semplicemente andando a moltiplicare la base per 2. Per cui:
h=28,5 cm × 2 = 57 cm
A questo punto possiamo usare la prima formula vista, cioè:
A=b×h:2
A=28,5 cm × 57 cm : 2= 812,25 cm²
ESERCIZIO 2
In un triangolo l’altezza è 5/3 della base e la loro somma misura 160 cm. Calcola l’area del triangolo isoscele.
Mentre per uno studente delle scuole superiori basta semplicemente impostare un sistema di equazioni di primo grado, uno studente delle scuole medie potrebbe avere difficoltà a risolverlo. Per cui risolviamo l’esercizio ricorrendo alle unità frazionarie
h=5/3 b
Questo vuol dire che b=3u e h=5u. In tutto sono 8u. Poiché la somma è 160 cm, vuol dire che ogni unità frazionaria sarà:
160 cm : 8 = 20 cm
Per cui
b=20×3=60 cm
h=20×5=100 cm
A questo punto possiamo calcolare l’area del triangolo scaleno con la classica formula:
A=b×h:2=60×160:2=4.800 cm²
ESERCIZIO 3
Calcolare l’area del triangolo scaleno in cui la somma e la differenza della misura di base e altezza è 44 cm e 12 cm.
E’ un altro esercizio che generalmente mette in difficoltà gli studenti delle scuole medie. Mentre alle superiori si risolvere in meno di 30 secondi impostando un piccolo sistema di primo grado, per gli studenti delle scuole medie occorre agire diversamente. Traduciamo intanto in linguaggio matematico i dati a disposizione:
AB+CH=44 cm
AB-CH=12 cm
Essendo la differenza tra i due segmenti maggiore di zero, vuol dire che la base AB è più grande dell’altezza CH. Cioè AB>CH. Per calcolare questi due segmenti si ragiona in questo modo:
Quello che si nota è che se sottraendo la somma alla differenza e dividendo per due, si ottiene proprio il segmento più corto. Per cui:
Media=CH=(SOMMA-DIFFERENZA):2=(44-12):2=32:2
CH=16 cm
A questo punto possiamo calcolare il primo lato facendo la formula inversa di una delle due dateci dalla traccia:
AB+CH=44 → AB=44-CH=44-16
AB=28 cm
Possiamo ora finalmente calcolare l’area del triangolo scaleno
A=b×h:2=28×16:2=224 cm²
Tutte le formule sul Triangolo Isoscele
Dato il triangolo di vertici ABC, indichiamo con:
B = base;
H = altezza relativa alla base;
L = lato obliquo
h = altezza relativa al lato obliquo;
A = area
p = perimetro
Triangolo Rettangolo Isoscele
Il triangolo rettangolo isoscele è un triangolo che ha due lati uguali e un angolo di 90°
La prima osservazione oggettiva da fare sul triangolo rettangolo isoscele è che l’angolo retto è compreso tra i due lati uguali. Quindi questo significa che i due cateti sono uguali.
Hai notato inoltre che il triangolo rettangolo isoscele è metà quadrato? L’ipotenusa del triangolo non è altro che la diagonale del quadrato.
Dato infatti il triangolo rettangolo in figura, chiamiamo a, b, e c i tre lati. Nell’immagine laterale trovi che i due cateti sono pari ad uno, ma si tratta solo di un esempio per dimostrarti che essi sono congruenti, cioè uguali. Chiamiamo il perimetro p e l’area A.
FORMULE
a=b=cateti → la relazione esprime l’uguaglianza tra i due cateti
Perimetro triangolo rettangolo iscoscele a+b+c=p → 2a+c=p
Ampiezza degli angoli: 45°, 45°, 90°.
Area triangolo rettangolo isoscele (a⋅b)/2=A →a2/2=A
Teorema di Pitagora: a2+b2=c2 → 2a2=c2 →a√2=c
Quest’ultima relazione ci mostra come a partire da un cateto si possa calcolare l’ipotenusa semplicemente calcolando per radice di due. Valgono ovviamente tutte le formule inverse. Quindi si potrà calcolare il cateto conoscendo il perimetro, oppure l’area, oppure l’ipotenusa. Allo stesso modo possiamo dire che si potrà calcolare l’ipotenusa partendo dal perimetro, dall’area o dal cateto.
GLI ANGOLI ADIACENTI ALL’IPOTENUSA MISURANO 45°
Abbiamo infatti detto che il triangolo isoscele rettangolo è la metà di un quadrato. Te ne puoi accorgere dalla figura sulla destra. La diagonale del quadrato è anche bisettrice dell’angolo DAB e BCD. Questo vuol dire che gli angoli DAC e ACD sono di 45°.
L’ALTEZZA RELATIVA ALL’IPOTENUSA È ANCHE MEDIANA E BISETTRICE
Questo perché i due cateti sono uguali. Questo vuol dire che tracciando da D l’altezza sul segmento AC, quest’ultimo resta diviso in due parti e lo stesso si può dire per l’angolo in D. Si nota che l’altezza relativa all’ipotenusa DH (prova a disegnarla su un foglio) diventa asse di simmetria del triangolo ADC.
L’AREA DEL TRIANGOLO ISOSCELE RETTANGOLO È METÀ DI QUELLA DEL QUADRATO
Abbiamo già ripetuto che questo triangolo particolare è metà quadrato. Questo significa che possiamo ricavarci la sua area anche in maniera differente. Si calcola infatti l’area del quadrato l2=A e la si divide per due per ottenere anche l’area del triangolo.
ESERCIZO
L’area del triangolo isoscele rettangolo misura 144 m2. Calcolare il perimetro.
Svolgimento
Abbiamo detto che possiamo usare una formula diversa dalla classica dei triangoli (bxh/2=A). In questo caso si può scrivere cateto2/2=A. Applicando la formula inversa possiamo quindi calcolare quanto vale il cateto (che chiamiamo c per semplicità):
c2=2A → √c2=√(2A) → c= √(2A)
Per ottenere la formula inversa abbiamo portato prima moltiplicato ambo i membri per 2, poi fatto la radice quadrata di tutto. In questo modo abbiamo ottenuto la formula del cateto a partire dall’area del triangolo rettangolo isoscele.
Andiamo ora a sostituire i dati:
c=√(2⋅144)=12√2
Una volta calcolato il cateto, si può calcolare l’ipotenusa (che indicheremo con i) con il teorema di Pitagora.
c√2=i → i=12√2(√2)
i=12⋅2=24
Avendo anche l’ipotenusa, a questo punto possiamo calcolare il perimetro del triangolo rettangolo isoscele:
p=2c+i=2⋅12√2+24 = 24√2+24
In base a quanto abbiamo detto anche nella lezione sulla somma di radicali, queste due radici non sono simili per cui non si possono sommare. Per questa ragione non si possono eseguire altri passaggi e l’esercizio può considerarsi concluso. Ti starai chiedendo: si, ma quel numero quanto vale?? Se provi a scriverlo sulla calcolatrice ti uscirà che il perimetro è circa pari a p=57,94 cm.
Triangolo rettangolo: riepilogo
Il triangolo rettangolo è un triangolo avente un angolo retto. Non importa la posizione: l’angolo di 90° può essere alla base o anche al vertice, come puoi vedere nelle figure seguenti.
FORMULE
Di seguito andremo ad indicare non solo le formule ma anche le formule inverse dei triangoli rettangoli. Dato quindi il triangolo in figura:
c1 è il cateto minore, c2 è il cateto maggiore, i è l’ipotenusa, h è l’altezza relativa all’ipotenusa, A è l’area e p il perimetro. p1 e p2 sono le proiezioni dei cateti c1 e c2 rispettivamente sull’ipotenusa.
PROPRIETÀ DEL TRIANGOLO RETTANGOLO
– Uno degli angoli è pari a 90°.
– Gli altri due angoli sono necessariamente acuti, cioè minori di 90° e sono tra loro complementari. La loro somma cioè è pari a un angolo retto.
– Il lato opposto all’angolo retto si chiama ipotenusa. Gli altri si chiamano cateto maggiore e cateto minore.
– L’ortocentro del triangolo rettangolo coincide dove c’è l’angolo retto.
– Un triangolo rettangolo può essere sempre inscritto in una semicirconferenza, di cui l’ipotenusa è il diametro.
– Per il triangolo rettangolo vale il Teorema di Pitagora.
– Valgono inoltre i due Teoremi di Euclide
TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE (45-45-90)
In questo lato gli angoli acuti valgono entrambi 45°. Per questa ragione i due cateti sono uguali e si ha una netta semplificazione delle formule. Questa figura la si ottiene tracciando la diagonale del quadrato.
TRIANGOLO RETTANGOLO CON ANGOLI DI 30-60-90°
Di fronte il cateto minore c’è l’angolo di 30°, di fronte il cateto maggiore c’è l’angolo di 60°. Grazie a questa caratteristica, il cateto maggiore è pari a metà ipotenusa. In questo modo tutte le formule diventano più semplici e si riducono.
FORMULE INVERSE TRIANGOLO
Usare le formule inverse di un triangolo non è sempre così semplice. Bisogna partire dalla formula principale e, attraverso alcuni passaggi algebrici, si arriva ad ottenere quella inversa.
FORMULE INVERSE TRIANGOLO SCALENO GENERICO
Le formule di seguito possono essere applicate a qualsiasi tipo di triangolo e sono valide per tutti gli esercizi.
– Se conosco il perimetro e due lati e devo calcolare il terzo lato, allora mi ricavo la formula inversa del perimetro:
p=L1+L2+L3 → L1 = p-L2-L3
Quindi semplicemente sottraggo alla misura del perimetro gli altri due lati per ottenere il terzo.
– Se invece l’area e ho bisogno della base o dell’altezza, partendo dalla formula dell’area del triangolo (base per altezza diviso 2) ottengo:
FORMULE INVERSE TRIANGOLO EQUILATERO
Dalla formula dell’area del triangolo equilatero possiamo ricavare:
Dalla formula inversa del perimetro possiamo invece ricavare solo la misura del lato:
p=3L → L=p/3
FORMULE INVERSE TRIANGOLO ISOSCELE
Per quanto riguarda l’area del triangolo isoscele, puoi usare le formule inverse del triangolo scaleno. Sono le stesse. Avendo a disposizione il perimetro e la base, possiamo calcolare il lato obliquo. Oppure avendo a disposizione il lato obliquo se ne può calcolare la base.
p=2AC+AB → AB=p-2AC
p=2AC+AB → AC=(p-AB)/2
FORMULE INVERSE TRIANGOLO RETTANGOLO
Partendo dall’area del triangolo rettangolo, è possibile:
Per quanto riguarda il perimetro, vale esattamente quello che è stato detto per il generico triangolo scaleno.
COME E QUANDO UTILIZZARLE
Le formule generiche portano in genere a calcolare il perimetro o l’area della figura. Attraverso le formule inverse, come hai potuto vedere, puoi sfruttare quei casi in cui perimetro ed area sono noti dalla traccia e va calcolato uno dei lati o anche un’altezza relativa ad un lato.
COME SI RICAVANO?
Ovviamente impararle tutte a memoria è impossibile ed inutile. E’ molto più importante che tu capisca come si ricavano perché con pochi semplici passaggi algebrici puoi ottenere la soluzione. Vediamo un esempio.
Partendo dalla formula dell’area ricavare la misura dell’altezza riportando il procedimento per intero:
BARICENTRO DEL TRIANGOLO
Il baricentro del triangolo è il punto di intersezione delle tre mediane. Per poterlo disegnare è sufficiente disegnare la mediana relativa ad ogni lato e il loro punto in comune viene chiamato baricentro.
Ti ricordi che cos’è la mediana? E’ il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. Proviamo quindi a disegnare il baricentro di un triangolo scaleno acutangolo.
Dato il generico triangolo ABC, abbiamo disegnato le mediane relative ad ogni lato. Dalla loro intersezione si ottiene il punto H, baricentro del triangolo.
CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ DEL BARICENTRO
Ti ricordi che l’ortocentro e il circocentro potevano essere anche esterni alla figura? Per il baricentro dei triangoli, ciò non può accadere per cui la prima proprietà di questo punto è:
– il baricentro del triangolo è un punto sempre compreso nel perimetro della figura;
– il baricentro divide ogni mediana in due parti. Quella che contiene il vertice è il doppio dell’altra.
In base alla proprietà appena vista, possiamo dire che AH=2HM2
– il baricentro di un triangolo equilatero coincide con l’ortocentro e con il circocentro.
IL BARICENTRO DEL TRIANGOLO IN GEOMETRIA ANALITICA
Questa seconda parte della lezione è dedicata agli studenti delle scuole superiori che stanno studiando geometria analitica. Esiste una formula che, dati i vertici del triangolo, permette di calcolare il baricentro in pochi semplici passaggi
dove A, B e C sono i tre vertici del triangolo di cui sono note le coordinate cartesiane.
Per calcolare le coordinate del baricentro del triangolo bisogna quindi:
– fare la media aritmetica delle ascisse dei tre vertici. Cioè si sommano le tre x e si fa il risultato diviso 3. In questo modo si ottiene l’ascissa del baricentro.
– fare la media aritmetica delle ordinate dei tre vertici. Cioè si sommano le tre y e si fa il risultato diviso 3. In questo modo si ottiene invece l’ordinata del baricentro.
ESERCIZIO 1
Dato il triangolo di vertici A(6;0) B(2;2) e C(7;7), calcolare le coordinate del baricentro G.
Applichiamo subito la formula appena vista. Possiamo così scrivere che:
xG=(6+2+7)/3=15/3=5
yG=(0+2+7)/3=9/3=3
G(5;3)
ESERCIZIO 2
Dato il triangolo con baricentro G(5;3) e noti due vertici A(6;0) e B(2;2), determinare il terzo vertice C.
Si tratta dello stesso esercizio visto prima ma questa volta bisogna fare il procedimento al contrario. Cioè dovremo usare la formula inversa del baricentro per trovare uno dei vertici. Riscriviamo così la formula come l’abbiamo vista prima, esplicitando tutti i dati forniti dalla traccia e lasciando le coordinate di C come incognita.
xG=(xA+xB+xC)/3 → 5=(6+2+x)/3 → 15=6+2+x → x=15-6-2
xC=7
yG=(yA+yB+yC)/3 → 3=(0+2+y)/3 → 9=2+y
yC=7
C(7;7).
ORTOCENTRO DI UN TRIANGOLO
L’ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle altezze relative ai tre lati. Per poterlo disegnare, dato un triangolo scaleno ABC, disegniamo le tre altezze, cioè le perpendicolari dai tre vertici.
Dall’intersezione delle tre altezze si ottiene il punto O, detto ortocentro del triangolo. Come puoi vedere dalla figura, in un triangolo acutangolo questo punto caratteristico cade all’interno della figura.
Nell’ultima figura puoi notare come l’ortocentro del triangolo ottusangolo ABC (ottuso in B) sia esterno alla figura. Puoi provare a ripetere il disegno e vedrai che maggiore è l’angolo e più il punto è esterno.
CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ
– L’ortocentro del triangolo rettangolo coincide proprio con il vertice corrispondente all’angolo retto.
– L’ortocentro del triangolo isoscele è allineato con baricentro e circocentro su quella che viene chiamata retta di Eulero.
– L’ortocentro del triangolo equilatero coincide con il baricentro e il circocentro.
LA FORMULA PER CALCOLARE L’ORTOCENTRO IN GEOMETRIA ANALITICA
Esistono due metodi per trovare questo particolare punto per qualsiasi tipo di triangolo. Il primo è sicuramente quello più istantaneo e semplicemente sfrutta una formula:
dove A, B, C sono i tre vertici del triangolo. In questo sistema di equazioni le incognite da individuare sono x e y, ovvero ascissa e ordinata dell’ortocentro del triangolo.
Il secondo metodo è invece per chi non ricorda la formula a memoria. Date le coordinate tre vertici:
– si calcolano le rette corrispondenti ai lati AB, AC e BC.
– Si calcola la retta corrispondente all’altezza relativa ad AB. Per cui si trova una retta passante per un punto e coefficiente angolare anti-reciproco a quello di AB.
– Stessa cosa per l’altezza relativa ad AC.
– Si costruisce un sistema con due equazioni: al primo rigo c’è la retta altezza 1, al secondo rigo c’è la retta altezza 2. Dalla soluzione di questo sistema si ottengono le coordinate dell’ortocentro.
CIRCOCENTRO DI UN TRIANGOLO
Il circocentro è il punto di intersezione degli assi di un generico triangolo. Si dimostra anche che è il centro della circonferenza circoscritta al medesimo triangolo.
Questo significa che, disegnando gli assi dai vertici di un qualsiasi triangolo, questi si intersecano in un punto chiamato circocentro. Ti ricordi cosa sono gli assi di un triangolo? Sono i segmenti perpendicolari ad ogni lato e passanti per il suo punto medio. Proviamo a disegnarli e a vedere cosa succede…
CIRCOCENTRO DEL TRIANGOLO SCALENO ACUTANGOLO
Dato il triangolo scaleno ABC, disegnamo per ogni lato il rispettivo asse. Per cui possiamo individuare l’asse a1 sul lato AB, l’asse a2 sul lato AC e l’asse a3 sul lato BC. Intersecando i tre assi otteniamo il circocentro del triangolo, indicato in figura con il punto P.
CIRCOCENTRO DEL TRIANGOLO SCALENO OTTUSANGOLO
Dato il triangolo ottusangolo avente l’angolo maggiore di 90° nel vertice A. Abbiamo disegnato i tre assi a1, a2, a3. Cosa si nota? Che il punto trovato questa volta è esterno. Possiamo quindi dedurre la seguente regola valida per il circocentro:
– nel triangolo acutangolo è interno alla figura;
– nel triangolo ottusangolo è esterno alla figura;
Vediamo ora alcuni casi di triangoli particolari.
CIRCOCENTRO DEL TRIANGOLO RETTANGOLO
Dato il triangolo rettangolo ABC retto nel vertice A. Abbiamo disegnato per ogni lato i rispettivi assi e quello che si nota è che il circocentro di un triangolo rettangolo non è altro che il punto medio dell’ipotenusa.
CIRCOCENTRO DEL TRIANGOLO ISOSCELE
Il circocentro del triangolo isoscele gode di un’interessante proprietà. Se provassimo a disegnare baricentro, incentro e ortocentro di un triangolo isoscele ci accorgeremmo che questi sono allineati ed appartengono proprio all’altezza.
CIRCOCENTRO DEL TRIANGOLO EQUILATERO
PROPRIETA’: dato il triangolo equilatero ABC, incentro, baricentro e ortocentro sono tra loro coincidenti.
CIRCOCENTRO IN GEOMETRIA ANALITICA
Come si fa a determinare il circocentro di un triangolo avendo a disposizione, ad esempio, solo i 3 vertici del triangolo stesso? Un primo metodo, più rapido e che consigliamo di applicare è quello di sfruttare la definizione di circocentro: è la circonferenza circoscritta al triangolo. Questo vuol dire che è equidistante dai 3 vertici del triangolo. Dato quindi il triangolo ABC, considerando H il circocentro, bisognerà imporre che:
AH=BH=CH
dove H viene tenuto come incognita H(xH, yH)
Un secondo metodo, più lungo e che richiede più passaggi anche a livello meccanico, prevede l’applicazione di una costruzione particolare. I passi a fare sono i seguenti:
– calcoliamo la formula della retta dei tre lati del triangolo;
– calcoliamo le coordinate del punto medio di ogni lato;
– calcoliamo l’asse per ogni lato applicando la formula della retta passante per un punto e coefficiente angolare noto (se m è il coefficiente della retta passante per il lato, noi prenderemo -1/m rispettando la condizione di perpendicolarità)
– intersechiamo tra loro due rette per ottenere il punto H cercato.
ESERCIZIO
Determinare il circocentro del triangolo avente vertice nei punti A(7;1) B(2;7) e C(-2:-2).
Come detto in precedenza applichiamo la definizione vista ad inizio lezione, cioè che il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. Per cui H è equidistante da A, B e C.
AH=BH=CH
Si tratta quindi di analizzare 2 equazioni in 2 incognite (ascissa e ordinata del punto H).
AH=BH
BH=CH
Volendo si potrebbe usare anche l’equazione AH=CH ma, poiché le incognite sono 2, possiamo servirci di 2 equazioni e trascurarne una terza.
AH=BH lo imponiamo andando a calcolare la distanza tra due punti tenendo H come incognita
A questo punto non ci resta che risolvere parallelamente queste due che possiamo inserire in un sistema di equazioni
Abbiamo così alla fine calcolato il circocentro del triangolo individuandone le coordinate x e y
PERIMETRI DEI TRIANGOLI
