ROMBO
Prima di analizzare le formule del rombo vediamo che cos’è e che caratteristiche ha questa figura.
– ha 4 lati congruenti proprio come il quadrato
– ha due diagonali
– gli angoli opposti sono congruenti
– i lati opposti sono paralleli
– ha una diagonale maggiore e una diagonale minore
– le due diagonali sono tra loro perpendicolari
Formule rombo
Ecco un formulario completo con tutte le formule principali che possono essere utilizzate negli esercizi.
Perimetro del rombo
P = 4L
Per il calcolo del perimetro del rombo bisogna moltiplicare per 4 la misura del lato.
Area del rombo
Come si trova l’area del rombo? Questa è uguale al semi-prodotto delle due diagonali. Cioè si calcola facendo diagonale maggiore per diagonale minore diviso due.
Rombo formule inverse
Dalle prime due formule viste è facile ricavare le formule inverse del rombo. Queste ci permettono di calcolare le due diagonali e il lato a partire dalla misura dell’area e del perimetro.
Formule secondarie
Sfruttando il teorema di Pitagora, il lato del rombo si calcola considerando le semi diagonali come cateti e il lato come ipotenusa.
Formule rombo e circonferenza inscritta (con dimostrazione)
Il rombo può sempre essere inscritto in una circonferenza di raggio r.
Dal disegno notiamo che il triangolo AOB è rettangolo e il raggio r è l’altezza perpendicolare alla base AB. Usando la formula dell’area dei triangoli A=bxh:2, possiamo scrivere che l’area in funzione del raggio della circonferenza inscritta.
Per calcolare il lato basta dividere l’area per la misura del diametro della circonferenza inscritta.
Allo stesso modo il raggio della circonferenza inscritta si calcola dividendo l’area per il doppio del lato.
Perimetro del Rombo
Il perimetro del rombo rappresenta la somma dei lati della figura geometrica. Essendo i lati tutti uguali, per calcolare il perimetro di un rombo è sufficiente conoscere la misura di un lato e moltiplicarlo per 4.
Dove l è la misura del lato, d1 e d2 le misure delle diagonali e p il perimetro del rombo.
ESERCIZIO 1
Il lato di un rombo misura 20 cm. Calcolare il perimetro.
Svolgimento
Il primo problema affrontato non comporta particolari difficoltà. Avendo il lato, si ottiene il perimetro del rombo moltiplicandolo per 4. Per cui:
P= 4l = 4·20 cm = 80 cm
COME CALCOLARE IL PERIMETRO DEL ROMBO NOTE LE DIAGONALI
Non sempre si è così fortunati di avere subito dalla traccia il lato della figura. Può capitare che vengano date più o meno direttamente le misure delle diagonali.
In tal caso si può considerare uno dei 4 triangoli rettangoli che vengono formati dalle diagonali e, considerando le semi-diagonali del rombo come i cateti, si può ricavare il lato come ipotenusa con il teorema di Pitagora. Vediamo subito come fare…
ESERCIZIO 2
La diagonale maggiore di un rombo misura 20 cm e la minore è i suoi 3/4. Calcola il perimetro e l’area del rombo.
Svolgimento
Non c’è bisogno di fare neanche il disegno perché la traccia ci fornisce indirettamente la misura delle due diagonali. Sappiamo che la minore è 3/4 rispetto alla maggiore. Matematicamente possiamo scrivere che:
d2= d1 · 3/4 = 20 cm · 3/4 = 15 cm
Calcoliamo a questo punto le semidiagonali considerandole cateti del triangolo AOD.
Una volta calcolato il lato, si può trovare il perimetro del rombo moltiplicando il lato per 4. Per cui:
P= 4l = 4·12,5 cm = 50 cm
ESERCIZIO 3
La somma delle diagonali di un rombo misura 98 cm e una è 3/4 dell’altra. Calcola il perimetro del rombo.
Svolgimento
Gli studenti delle scuole superiori possono imporre la diagonale maggiore pari a x e scrivere un’equazione di primo grado x+3/4x=98 cm.
Gli studenti delle scuole medie invece possono ragionare per unità frazionarie. La diagonale maggiore è 4 unità mentre la minore è 3 unità.
Vuol dire che in totale ci sono:
d1+d2 = 4u+3u = 7u = 98 cm
1u=98cm/7 = 14 cm
d1=4u = 14·4= 56 cm
d2=3u = 14·3= 42 cm
A questo punto siamo tornati al caso precedente. Abbiamo le due diagonali e serve il perimetro del rombo. Si calcolano così le semidiagonali, teorema di Pitagora per ottenere il lato e infine si moltiplica per 4.
Area del Rombo
Dove d1 e d2 sono le diagonali, A è l’area, L è la misura del lato, mentre h è l’altezza relativa a quel lato, come mostrato nella figura seguente.
Dove d1 e d2 sono le diagonali, A è l’area, L è la misura del lato, mentre h è l’altezza relativa a quel lato, come mostrato nella figura seguente.
COME SI TROVA L’AREA DEL ROMBO CONOSCENDO LE DIAGONALI
E’ il caso più frequente che si incontra nei problemi di geometria. Si conosce la misura della diagonale minore e di quella maggiore.
Nella figura in alto possiamo vedere che le due diagonali si intersecano perpendicolarmente formando quattro triangoli rettangoli. Le due semi diagonali sono i cateti, mentre il lato è l’ipotenusa.
Per cui possiamo scrivere:
COME SI CALCOLA L’AREA DEL ROMBO CONOSCENDO IL LATO
La seconda formula si basa invece su un’osservazione piuttosto semplice. Prova a ruotare la figura del rombo in alto. Ti accorgerai che non è altro che un parallelogramma ruotato di 90°, per cui la misura dell’area è base per altezza.
Poiché la base è il lato, allora l’are di un rombo si può calcolare anche come lato per la misura dell’altezza relativa a quel lato.
ESERCIZIO 1
Calcolare l’area di un rombo che ha le diagonali che misurano 10 cm e 5 cm.
Svolgimento
Il primo esercizio è estremamente semplice. Ci sono già i tutti i dati a disposizione per usare la prima formula vista, per cui possiamo scrivere:
ESERCIZIO 2
Calcolare l’area di un rombo che ha il lato che misura 15 cm e una delle due diagonali che misura 20 cm.
Svolgimento
Ecco un esercizio più interessante. Non abbiamo la formula diretta per l’area noti lato e diagonale. O usiamo la formula con lato e altezza o quella con le due diagonali.
Notiamo che le diagonali dividono la figura in 4 triangoli rettangoli di cui conosciamo ipotenusa e un cateto (basta dividere la diagonale per due).
Per cui:
– ipotenusa = 15 cm
– cateto = 20 cm : 2 = 10 cm
Possiamo applicare la formula inversa del teorema di Pitagora, così da calcolare l’altro cateto. Moltiplicando la misura per 2 ottengo la seconda diagonale
TRAPEZIO
Il trapezio è un quadrilatero formato da due lati paralleli, detti basi, e da due lati obliqui non necessariamente uguali tra loro.
A seconda delle relazioni che sussistono tra i lati, si possono distinguere 3 tipi di trapezi:
– trapezio isoscele – quando i lati obliqui sono tra loro uguali
– trapezio rettangolo – quando uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi
– trapezio scaleno – quando i quattro lati sono diversi
Formule trapezio scaleno
Dato un generico trapezio, indichiamo con B la base maggiore, b la base minore, h l’altezza, p il perimetro e A l’area. Infine L1 e L2 sono i due lati obliqui.
Formula dell’area
L’area del trapezio si calcola eseguendo base maggiore più base minore per altezza diviso 2
Formula del perimetro
Come tutte le figure geometriche, per calcolare il perimetro è sufficiente sommare tutti i lati.
Formule del trapezio rettangolo
L’unica vera differenza è che uno dei lati obliqui coincide con l’altezza, per cui L1=h. Per cui possiamo riscrivere le formule semplificando leggermente quella del perimetro:
Formule del trapezio isoscele
In questo caso i due lati obliqui sono congruenti per cui possiamo riscrivere e semplificare il calcolo del perimetro:
TRAPEZIO SCALENO
Il trapezio scaleno è un quadrilatero formato da due lati paralleli detti basi e due lati obliqui di misura diversa. E’ un poligono molto importante nel programma di geometria e di cui bisogna conoscere almeno le formule generali.
Quindi in base alla definizione, dato il trapezio scaleno ABCD in figura, sappiamo che le due basi AB e CD sono parallele. Quella più lunga si definisce base maggiore (AB), mentre l’altra si definisce base minore (CD).
La distanza tra le due basi si chiama altezza del trapezio scaleno e il punto che forma sulla base viene indicato generalmente con la lettera maiuscola H.
Formule
Area
L’area del trapezio scaleno si calcola facendo la somma delle basi, per l’altezza diviso due. Dalle formule inverse possiamo ricavare le basi o l’altezza.
Perimetro
Proprietà
– La somma degli angoli interni di un trapezio scaleno vale 360°, cioè è pari ad un angolo giro.
– I due angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari
– I lati obliqui hanno lunghezza diversa.
– Gli angoli alla base del trapezio scaleno non sono congruenti.
– Le diagonali di un trapezio scaleno non sono uguali tra loro.
– Se uno dei lati obliqui è perpendicolare alla base, allora la figura diventa un trapezio rettangolo.
– Disegnando l’altezza di ottengono due figure più semplici: un triangolo rettangolo e un trapezio rettangolo.
– Disegnando le due altezze si ottengono 3 figure più semplici: due triangoli rettangoli (diversi tra loro) e un rettangolo
TRAPEZIO RETTANGOLO
Area
Esiste un’unica formula ed è abbastanza facile da ricordare: somma delle basi per altezza diviso due.
Area col solo lato obliquo
Nel caso in cui la traccia ci dia la misura del lato obliquo, allora dobbiamo calcolare la misura dell’altezza, attraverso pochi semplici calcoli.
Innanzitutto si considera il triangolo rettangolo CHB di cui è nota l’ipotenusa BC. Possiamo calcolare anche il cateto HB facendo la sottrazione tra le due basi del trapezio. Cioè:
AB-DC=HB
A questo punto, applicando la formula inversa del teorema di Pitagora, si calcola il cateto del triangolo CH che è anche l’altezza del trapezio rettangolo. Infine si determina l’area con la formula vista sopra.
Ed è nota la diagonale minore
Nel caso in cui l’altezza sia da calcolare e la traccia del problema fornisce la misura della diagonale minore AC, allora consideriamo il triangolo AHC in figura sotto
Si tratta di un triangolo rettangolo di cui è nota l’ipotenusa AC (proprio la diagonale) e il cateto AH che è uguale alla base minore DC.
Si può quindi applicare come prima la formula inversa di Pitagora per ottenere il cateto CH. L’area del trapezio rettangolo la si calcola infine con la formula vista sopra.
Ed è nota la misura della diagonale maggiore
Nel caso in cui sia nota la misura delle basi e della diagonale maggiore, si va a considerare il triangolo rettangolo ABD come nella figura in basso
Conosciamo la misura del cateto AB e dell’ipotenusa DB. Possiamo applicare ancora una volta la formula inversa di Pitagora per ottenere l’altezza DA. Da qui poi sarà semplice concludere con il calcolo dell’area del trapezio.
ESERCIZIO 1
La differenza delle basi di un trapezio rettangolo è 40 cm. Sapendo che la base minore è 2/3 della base maggiore e che l’altezza misura 30 cm, calcolare la misura dell’area del trapezio rettangolo.
Svolgimento
Per fare un po’ di chiarezza, facciamo subito il disegno della figura e analizziamo i dati a disposizione
Sappiamo che il segmento HB misura 40 cm perché è la differenza delle basi. Abbiamo anche la misura del segmento CH, ovvero l’altezza. Sappiamo infine che DC=2/3 di AB.
Per gli studenti delle scuole superiori consigliamo di porre il segmento AB=x e di risolvere una semplice equazione di primo grado. Per gli studenti delle scuole medie invece disegniamo i segmenti che ci interessano come di seguito:
La differenza tra le basi AB-CD=40 cm = 1 unità.
Per cui:
– AB = 3 unità = 3·40 cm = 120 cm
– CD= 2 unità = 2·40 cm = 80 cm
Possiamo infine calcolare l’area:
AREA TRAPEZIO ISOSCELE
L’area del trapezio isoscele rappresenta la misura della superficie racchiusa nel perimetro della figura. Si calcola utilizzando le classiche formule sui trapezi: base maggiore più base minore per altezza diviso due
Dove B è la base maggiore, b la base minore, h l’altezza e A l’area del trapezio isoscele.
COME SI CALCOLA L’AREA DEL TRAPEZIO ISOSCELE DATO IL LATO OBLIQUO?
Non sempre la traccia fornisce tutti i dati già pronti per risolvere l’esercizio. Nel caso in cui venisse data la misura del lato obliquo, dovremo sfruttare il teorema di Pitagora.
In questo modo sarà possibile determinare l’altezza o il segmento alla base del triangolo rettangolo che si forma a sinistra e a destra della figura.
DIMOSTRAZIONE FORMULA AREA TRAPEZIO ISOSCELE
Per dimostrare la formula dell’area è necessario trasformare il trapezio isoscele così come vedi in figura. Si inizia disegnando sul lato BC il punto medio M e poi il segmento DM.
Il triangolo precedentemente indicato come DCM ora è diventato il triangolo MBD. In totale si ottiene una figura AD1D pari proprio ad un triangolo la cui area è:
ESERCIZIO 1
In un trapezio isoscele ABCD le basi misurano rispettivamente 12 e 28 cm, mentre il lato obliquo 10 cm. Calcola l’area del trapezio isoscele e la sua altezza.
Svolgimento
Subito dopo aver disegnato la figura, vediamo che abbiamo a disposizione le basi AB e DC, mentre serve l’altezza DH.
Possiamo calcolarla ricorrendo al teorema di Pitagora applicato al triangolo ADH, dove il lato obliquo AD è noto e possiamo ricavare il cateto AH. Come? Come la semisomma delle basi…
ESERCIZIO 2
Calcolare l’area di un trapezio isoscele che ha le basi di 50 cm, 20 cm e l’altezza di 8 cm.
Svolgimento
Esercizio molto più semplice del precedente. Abbiamo tutti i dati a disposizione per applicare la formula direttamente:
