FORMULE – Geometria
Angoli Congruenti
Gli angoli congruenti sono due angoli perfettamente sovrapponibili. Attenzione a non confondere il termine congruente con uguale. Potrebbero sembrare sinonimi, ma c’è una piccola differenza.
DEFINIZIONE
Si definiscono angoli congruenti, due angoli che, se sovrapposti, coincidono punto per punto.
Vediamo graficamente questo che vuol dire
Come puoi vedere dall’immagine sopra, i due angoli congruenti sono due enti geometrici diversi, per cui non sono uguali. Tuttavia è possibile effettuare una rototraslazione e sovrapporli.
Angolo Concavo
Angolo Convesso
L’angolo retto è da considerare come un angolo convesso.
DOMANDA : un angolo concavo è acuto o ottuso? Può essere entrambi. Sicuramente un angolo acuto è concavo. Non necessariamente un angolo ottuso è concavo.
Angoli Esplementari
PROPRIETÀ
# Se ad essere sommati sono soltanto due angoli, affinché la loro somma sia 360°, almeno uno dei due deve essere un angolo ottuso, cioè con ampiezza superiore ai 90°.
# Si definisce invece angolo esplementare α di un angolo β, quell’angolo α la cui ampiezza deve essere tale che sommato a β dia un risultato pari a 360°
# L’angolo esplementare di un angolo giro è l’angolo nullo.
Questo perché se α=360° e sappiamo che α+β=360° (perché angoli esplementari), allora β=0°.
# L’angolo esplementare di un angolo piatto è un altro angolo piatto
Questo perché se α=180° e sappiamo che α+β=360° (perché angoli esplementari), allora β=180°.
PROBLEMA 1
La differenza di due angoli esplementari è 120°. Determinare la misura dei due angoli.
1) si può risolvere questo problema con un sistema di primo grado a due incognite.
Le equazioni sono: x+y=360° e x-y=120°
2) oppure si può risolvere con i segmenti unitari, cioè immaginiamo di poter rappresentare l’ampiezza degli angoli come dei segmenti.
PROBLEMA 2
Determinare l’ampiezza di due angoli esplementari, sapendo che uno è il triplo dell’altro.
1) si può risolvere con le equazioni di primo grado, imponendo β=x, si ottiene che α=3x. Per cui essendo gli angoli esplementari, x+3x=360°, cioè 4x=360°. In questo modo in pochi semplici passaggi si arriva alla soluzione.
2) oppure si può risolvere con i segmenti unitari:
CONCLUSIONI
Abbiamo visto che la tecnica di risoluzione degli esercizi sugli angoli esplementari è identica a quella usata con gli angoli complementari e supplementari.
Ovviamente l’unica cosa che cambia è la somma, che nel caso di un angolo esplementare è pari a 360°.
Angoli Complementari
Dati due angoli α e β, questi si dicono complementari quando la loro somma è pari ad un angolo retto.
Poiché quest’ultimo misura 90°, possiamo anche dire che due angoli sono complementari quando la loro somma è pari a 90°.
PROPRIETÀ E CARATTERISTICHE
# Due angoli complementari sono necessariamente acuti.
# Il triangolo rettangolo si definisce così perché ha un angolo retto e due angoli tra loro complementari.
# Si parla di angolo complementare rispetto ad un altro quando la sua ampiezza è pari a 90° meno il primo angolo.
ESERCIZIO 1
Calcola la misura dell’angolo complementare all’angolo 47°28′
Dobbiamo calcolare un angolo che, sommato a quello noto di 47°28′,ci dà proprio 90°
Detto α l’angolo da calcolare, possiamo scrivere che:
ESERCIZIO 2
La differenza di due angoli complementari è 16°. Determinare la misura dei due angoli.
1) si può risolvere con un sistema di primo grado, in cui le due equazioni sono x+y=90° e x-y=16°. Si hanno così due equazioni in due incognite.
2) oppure con i segmenti,
ESERCIZIO 3
Calcolare l’ampiezza di due angoli complementari, sapendo che il primo è il triplo del secondo.
1) si possono usare le equazioni di primo grado e scrivere un semplice sistema a due incognite dove le equazioni sono x+y=90° e x=3y
2) oppure possiamo ragionare ancora con i segmenti unitari. Sapendo che il primo è il triplo del secondo, vuol dire che possiamo considerare il più piccolo come 1 segmento e quello più grande come 3 segmenti.
CONCLUSIONI
Gli esercizi su angoli complementari e supplementari sono molto simili dal punto di vista del metodo. L’unica cosa che cambia è il valore della somma.
Nel primo caso, sommando i due angoli, si ottiene 90°, mentre nel secondo caso si ottiene 180°.
Angoli Supplementari
Due angoli sono supplementari quando la loro somma è pari ad un angolo piatto.
Poiché quest’ultimo è pari a 180°, possiamo anche dire che due angoli si dicono supplementari se la loro somma è uguale a 180°.
ESERCIZIO
La differenza di due angoli supplementari misura 140°. Calcolare l’ampiezza dei due angoli
Immaginiamo che la misura dei due angoli da calcolare possa essere disegnata come un segmento. Allora possiamo disegnare:
Perimetro del Cerchio
Misura della Circonferenza
Bisogna fare una precisazione. Il termine “perimetro cerchio” non è proprio corretto. E’ vero: si fa riferimento al perimetro del cerchio, come al perimetro del rettangolo o di qualsiasi altra figura.
Per misurare il contorno del cerchio, si dice in maniera più corretta che si vuole determinare la misura della circonferenza.
ESERCIZIO 1
Calcolare area e perimetro del cerchio che ha il raggio che misura 10 cm
formula perimetro cerchio → p = 2πr = 2(3,14)(10cm) = 62,8 cm
ESERCIZIO 2
Calcolare il perimetro di un cerchio che ha area pari a 314,16 cm²
Area Corona Circolare
DEFINIZIONE CORONA CIRCOLARE
Data una circonferenza di raggio r1 e una circonferenza concentrica di raggio r2, tale che r1>r2, la corona circolare è quella parte di piano compresa tra le due circonferenze.
ESERCIZIO 1
Calcolare l’area della corona circolare compresa tra due cerchi di raggi rispettivamente pari a 10 cm e 5 cm.
ESERCIZIO 2
Calcolare l’area della corona circolare delimitata dalle due circonferenze che misurano 100 cm² e 25 cm²
Esagono
Esercizio
Calcolare perimetro e area di un esagono regolare con lato pari a 10 cm
Apotema Esagono
l’apotema è il raggio della circonferenza inscritta nell’esagono stesso. In alternativa possiamo definirlo come il segmento che parte dal centro dell’esagono e cade perpendicolarmente su uno dei lati.
COME CALCOLARE L’APOTEMA DELL’ESAGONO NOTO IL LATO
Per introdurre la prima formula e capire come si calcola l’apotema di un esagono regolare, dobbiamo introdurre la costante matematica chiamata “numero fisso” (indicato con la lettera f). Si tratta di un valore tabellato (quindi noto a priori) ed è unico per ogni figura geometrica regolare.
In pratica il numero fisso è una costante che varia a seconda del tipo di figura regolare. Assume un valore per tutti gli esagoni, uno per tutti gli ettagoni, uno per gli ottagoni e così via…
Numero fisso esagono: f=0,866
Con questa costante riusciamo a calcolare l’apotema dell’esagono a partire dal lato, attraverso la formula:
a = f · L
Quindi la prima formula di calcolo dell’apotema esagono consiste nel moltiplicare semplicemente il lato per il numero fisso.
ESERCIZIO 1
Calcolare la misura dell’apotema di un esagono regolare che ha lato che misura 10 cm.
a = 0,866·10 cm = 8,66 cm
ESERCIZIO 2
Calcolare l’apotema di un esagono inscritto in una circonferenza di raggio 10 cm.
a = r √3 / 2 = 10 · 0,866 = 8,66 cm²
ESERCIZIO 3
Trovare l’apotema dell’esagono di area 100 cm².
Area Esagono Regolare
LE DUE COSTANTI DA USARE NELLE FORMULE
In base ai dati a disposizione possiamo utilizzare diverse formule. Essendo un poligono regolare, sappiamo che esistono due costanti tabellate che ci permettono di calcolare apotema e area noto il lato.
numero fisso f=0,866 : è il rapporto tra apotema e lato, per cui a=f · L
costante d’area φ=2,598: è il rapporto tra area e lato al quadrato
ESERCIZIO 1
Calcolare l’area dell’esagono regolare di lato 10 cm.
A = φ · L²
A = 2,598 · 10² = 259,8 cm²
ESERCIZIO 2
Calcolare l’area di un esagono che ha apotema pari a 15 cm.
ESERCIZIO 3
Calcolare l’area dell’esagono regolare che ha perimetro pari a 120 cm.
AREA DI UN ESAGONO IRREGOLARE
Molto diversa la situazione se ci troviamo di fronte ad un esagono irregolare. In questo caso non esistono formule che ci permettano di calcolare direttamente l’area.
E’ necessario tuttavia suddividere il poligono in tante più piccole figure interne note. Di ciascuna di queste andremo a calcolare l’area e poi faremo la somma di tutte le aree per ottenere quella complessiva.
Innanzitutto suddividiamo l’area in queste tre figure geometriche:
Parallelogramma
Altezza del Parallelogramma
Innanzitutto possiamo notare che l’altezza divide la figura in un triangolo rettangolo e in un trapezio rettangolo. Questo significa che l’altezza del parallelogramma è anche uno dei cateti del triangolo e l’altezza del trapezio.
ESERCIZIO 1
In un parallelogramma l’altezza misura 2,25 m e l’area è
di 5,31 m². Calcola la misura della base del parallelogramma.
Il primo esercizio che svolgiamo assieme si fornisce area e altezza. Basta quindi provare la formula inversa dell’area per calcolarne la base.
ESERCIZIO 2
In un parallelogramma la base misura 10,6 m e l’area è di 16,5 m². Calcola la misura dell’altezza del parallelogramma.
L’esercizio è perfettamente analogo al precedente, ma questa volta l’incognita da calcolare è proprio l’altezza del parallelogramma. Uso quindi la formula inversa ed ottengo immediatamente la soluzione.
Area Parallelogramma
A = b x h
Per calcolare l’area del parallelogramma è sufficiente moltiplicare la base per l’altezza relativa alla base.
Dato il parallelogramma ABCD, tracciando l’altezza H relativa alla base AB, si ottiene il triangolo evidenziato in verde a sinistra (AHD). Se proviamo a ritagliare questo pezzo ed incollarlo sul lato obliquo BC, si ottiene il rettangolo DHH’C, la cui area si calcola base per altezza. E’ per questa la ragione per cui area del parallelogrammo e quella del rettangolo sono uguali.
In linea teorica è possibile calcolare la superficie di questo quadrilatero anche avendo a disposizione lato obliquo e altezza ad esso relativa. Però quest’ultima informazione è rarissima che si trovi nei problemi di geometria. Per cui generalmente è sufficiente ricordare che l’area è pari alla base per l’altezza.
Calcolare l’Area del Parallelogramma dato l’Angolo
A = b x l x sen α
DIMOSTRAZIONE
Partiamo dalla formula generale per calcolare l’area, cioè base per altezza.
A=b×h
La base è il lato AB, mentre l’altezza è il segmento DH. Quest’ultimo può essere calcolato sfruttando i teoremi sui triangoli rettangoli della trigonometria. In particolare, considerando il triangolo AHD, si può dire che il cateto DH è uguale all’ipotenusa AD per il seno dell’angolo opposto al cateto, cioè l’angolo α.
Per cui, poiché DH=AD × senα, allora:
A= AB × AD × senα
A= b × l × senα
Come calcolare l’Area usando il Perimetro
ESERCIZIO 1
Determinare l’area del parallelogramma con perimetro 60 cm e altezza pari alla metà della base.
DATI
p=60cm
AB=2DH
SVOLGIMENTO
Per prima cosa usiamo la formula inversa del perimetro:
p=2AB+2DH
Sostituiamo uno dei dati che ci ha dato la traccia:
p=2(2DH)+2DH
60=6DH
DH=10 cm
AB=2DH= 20 cm
A=(AB×DH)/2=(20×10):2=100 cm²
Se i lati sono espressi dalla traccia in centimetri, ricordati di esprimere la misura dell’area del parallelogramma in centimetri quadrati.
ESERCIZIO 2
Calcolare l’area di un parallelogramma che ha la base pari a 20 cm e la cui altezza è 2/5 della base
DATI
AB = 20 cm
DH=2/5 × AB
DH=20×2/5
DH = 8 cm
A=(AB×DH)/2=(8×20):2
A = 80 cm²
Diagonale del Parallelogramma
La diagonale del parallelogramma è il segmento che unisce due vertici opposti. Ogni parallelogramma ha due diagonali e, come puoi vedere dalla figura sotto, con dimensioni differenti. Il parallelogramma ha una diagonale maggiore (d1) e una diagonale minore (d2).
FORMULE
Per calcolarla puoi usare la formula inversa dell’area
A=L×hL → hL =A/L
ESERCIZIO 1
Determina le diagonali del parallelogramma ABCD in figura
Per poter calcolare la diagonale di un parallelogramma, sia quella minore che quella maggiore, è necessario determinare prima l’altezza relativa al lato obliquo. Per cui sfruttiamo la formula inversa dell’area.
hL =A/L = 125/20
hL = 6,25 cm
A questo punto inseriamo tutti i dati nella formula della diagonale parallelogramma. Iniziamo da quella maggiore
Perimetro Parallelogramma
Perimetro Parallelogramma conoscendo Base e Lato Obliquo
ESEMPIO
Calcolare il perimetro del parallelogramma che ha la base e il lato obliquo che misurano rispettivamente 60 cm e 40 cm
p=2AB+2BC
dove AB=60 cm e BC=40 cm, per cui possiamo scrivere:
p= 2(60 cm)+2(40 cm)
p=200 cm.
Perimetro Parallelogramma conoscendo Area e Altezze
# sfruttare la formula inversa (calcolo dell’area con la base) A=b×hb → b=A/hb
# sfruttare la formula inversa (calcolo dell’area con il lato obliquo) A=L×hL → L=A/hL
# applicare la formula del perimetro del parallelogramma → p=2b+2L.
ESEMPIO
Un parallelogramma ha l’altezza relativa alla base pari a 10 cm, quella relativa al lato obliquo pari a 20 cm. L’area misura 100 cm², determinare la misura del perimetro.
# b=A/hb → b=100/10=10 cm
# L=A/hL → L=100/20=5 cm
# p=2b+2L → p=20+10= 30 cm.
Dato il Perimetro, trovare Base e Lato Obliquo
ESEMPIO
Dato un parallelogramma di perimetro 120 cm, calcolare base e lato obliquo sapendo che l’uno è il doppio dell’altro.
p=2b+2L
Poiché b=2L allora possiamo scrivere:
p=2(2L)+2L → p=6×L
120=6L
L=120/6 = 20 cm
b=2L → b=40 cm.
Pentagono
Numero Fisso del Pentagono
Tutti i poligoni regolari sono caratterizzati dalla presenza di 2 costanti: il numero fisso e la costante d’area. Questi due valori sono sempre uguali (per questo si chiamano costanti) indipendentemente dalla lunghezza dei lati. Cambiano al cambiare del numero dei lati.
Questo vuol dire che due pentagoni differenti hanno lo stesso numero fisso. Tuttavia un dodecagono, un esagono e un pentagono hanno numero fisso differente.
Numero fisso del Pentagono = f = 0,688
Il numero fisso di un pentagono regolare è il rapporto tra l’apotema e il lato.
Questo vuol dire che, preso qualsiasi generico pentagono regolare, il rapporto tra apotema e lato resta sempre invariato.
In poche parole se provi a fare la divisione tra apotema e lato, qualsiasi sia il pentagono regolare, il risultato è sempre 0,688.
Calcolo Apotema dato il Lato
a = f . L
Per calcolare cioè l’apotema è sufficiente moltiplicare il lato per il numero fisso (0,688)
ESERCIZIO 1
Calcolare il perimetro di un pentagono regolare sapendo che il suo apotema misura 10 cm
a=f·L → L=a/f
L = 10/0,688 = 14.53 cm
A questo punto per calcolare il perimetro è sufficiente moltiplicare il lato per 5.
p = 5·L = 5·14.53 cm = 72.65 cm
ESERCIZIO 2
Calcolare l’apotema del pentagono regolare che ha il perimetro che misura 100 cm.
L = p/5 = 100/5 = 20 cm
A questo punto uso il numero fisso del pentagono regolare per calcolare l’apotema.
a=f·L=0,688·20 cm =13,76 cm
Area Pentagono Regolare
Area pentagono regolare = lato al quadrato per costante d’area
A=φ·L²
La costante d’area è un valore numerico che si trova generalmente in una tabella e varia a seconda del poligono. Nel caso del pentagono regolare, vale 1,72.
Quindi praticamente per calcolare l’area del pentagono regolare è sufficiente avere a disposizione la misura del lato, elevare al quadrato e moltiplicare il risultato per 1,72.
ESERCIZIO 1
Calcolare l’area del pentagono noto il lato l=10cm
A=φ·L²
A=1,72·100=172 cm²
ESERCIZIO 2
Calcolare l’area del pentagono noto il perimetro p=120 cm.
L=p:5=120:5=24 cm
A questo punto utilizzo la formula già vista in precedenza;
A=φ·L²
A=1,72·24 cm=41,28 cm²
ESERCIZIO 3
Calcolare l’area del pentagono noto l’apotema a=25 cm.
A=5a²/2f
dove f=0,68 per i pentagoni regolari. Per cui eseguendo i calcoli, ottengono:
A=2,5 · 25² : 0,68 = 2297,79 cm²
ESERCIZIO 4
Avendo l’area di un pentagono regolare A=25 cm², determinarne il perimetro.
In questo caso bisogna procedere utilizzando le formule inverse.
A=φ·L² → L=√(A:φ)
L= √(25:1,72) = 14,53 cm
p= 5L=5·(14,53 cm) = 72,67 cm
Area Pentagono Irregolare
La situazione diventa molto più complessa perché non esiste una formula specifica come nel caso precedente. L’unico modo per risolvere gli esercizi che ti richiedono l’area del pentagono irregolare è di dividere la figura in varie parti, sfruttando ad esempio le diagonali.
Si possono creare tante piccole figure e di ciascuna bisognerà calcolarne l’area. Basterà infine farne la somma per ottenere quella totale.
Quadrato
Formule
Di seguito elenchiamo le principali formule del quadrato. Subito di seguito troverai esplicitato anche le formule inverse che si ricavano dalle principali.
Dato il quadrato ABCD in figura sopra. Indichiamo con le lettere L il lato, p il perimetro, A l’area, d la diagonale.
Calcolo del perimetro
p=4·L
Il perimetro del quadrato si calcola semplicemente moltiplicando per 4 la misura del lato.
Area quadrato
A=L²
Per calcolare l’area del quadrato è sufficiente elevare al quadrato la misura del lato. Deriva dalla generica formula dei quadrilateri area = base per altezza. Poiché entrambi i lati sono uguali diventa una moltiplicazione di un numero per sé stesso, cioè una potenza al quadrato.
Diagonale del quadrato
d=L√2
Le diagonali del quadrato si calcolano moltiplicando la misura del lato per la radice quadrata di 2. La formula è ottenuta utilizzando il teorema di Pitagora ad un quadrilatero regolare.
Formule inverse
Dalle 3 formule del quadrato che abbiamo appena visto è possibile ricavare in maniera molto semplice le formule inverse:
lato del quadrato dato il perimetro: L=p/4;
lato del quadrato data l’area: L=√A;
Si potrebbero ottenere numerose altre formule combinando quelle viste sopra, ma difficilmente vengono utilizzate negli esercizi. Meglio imparare poche formule ma universali.
Formule inverse
Dalle 3 formule del quadrato che abbiamo appena visto è possibile ricavare in maniera molto semplice le formule inverse:
# lato del quadrato dato il perimetro: L=p/4;
# lato del quadrato data l’area: L=√A;
Si potrebbero ottenere numerose altre formule combinando quelle viste sopra, ma difficilmente vengono utilizzate negli esercizi. Meglio imparare poche formule ma universali.
Perimetro Quadrato
Di seguito sono elencate le tre formule da usare nei problemi a seconda che ci sia a disposizione l’area del quadrato, la misura del lato o della diagonale del quadrato.
PROBLEMA 1
Calcolare il perimetro di un quadrato con l’area pari a 196 cm².
A=l² → l=√A
l=√(196 cm² )=14 cm
A questo punto applico la formula per calcolare il perimetro di un quadrato noto il lato:
P=4·l = 4·(14cm) = 56 cm
PROBLEMA 2
Calcolare il perimetro di un quadrato la cui diagonale misura 20 mm.
d= l√2 → l = (√2)/2 · d
l= 20√2 mm
A questo punto, avendo la misura del lato, possiamo calcolare il perimetro del quadrato:
p= 4 L = 4(20√2 mm) = 80√2 mm ≅ 113,14 mm
Area del Quadrato
Come detto la prima e la più elementare formula prevede l’uso del lato. Semplicemente si eleva alla seconda il lato. La formula è:
A=L²
Da questa si può ricavare la formula inversa che permette di calcolare il lato nota l’area.
L=√A
Area del Quadrato data la Diagonale
Nel caso in cui il problema dovesse fornirci la misura della diagonale del quadrato, possiamo ricavare la misura del lato con la formula inversa e poi elevare il risultato al quadrato. Oppure si utilizza una formula diretta:
d=L√2 → L=d/√2
A=L²=(d/√2) ²
A=d²/2
Con la formula inversa possiamo invece ricavare la misura della diagonale nota l’area.
d=√(2A)
Area del Quadrato noto il Perimetro
Anche in questo caso dal perimetro possiamo ricavare il lato, dividendo per 4. Successivamente si eleva al quadrato il risultato per determinare l’area. In alternativa si può usare una formula diretta:
p=4L → L=p/4
A=L²=(p/4) ²
A=p²/16
Dalla sua formula inversa è possibile calcolare l’area del quadrato noto il perimetro.
p=4√A
ESERCIZIO 1
Determinare l’area del quadrato conoscendo il lato L=4 cm.
A=L²
A=4²
A=16 cm².
ESERCIZIO 2
Calcolare l’area del quadrato sapendo il perimetro, p=96 cm.
A=p²/16 → A=96²/16=576 cm²
Metodo 2
p=4L → L=p/4
L=96/4=24 cm
A questo punto basta elevare il lato al quadrato per determinare l’area.
A=L² → A=24²=576 cm².
ESERCIZIO 3
Calcolare l’area di un quadrato con la diagonale pari a 15 cm.
A=d²/2 → A=15²/2 = 225/2
A=112,5 cm²
Metodo 2
Dalla misura della diagonale possiamo calcolare il lato.
d=L√2 → L=d/√2
L=15/√2=10,61 cm
A questo punto uso la formula elementare per il calcolo dell’area del quadrato e sono arrivato alla soluzione.
A=L² → A=10,61²= 112,5 cm².
Diagonale Quadrato
d=l√2
La diagonale del quadrato si calcola moltiplicando il lato per la radice di 2.
Possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora per il calcolo dell’ipotenusa:
AC2=AD2+DC2
Chiamando la diagonale del quadrato AC=d e i cateti AD=AC=l, allora possiamo scrivere
d2=l2+l2
d2=2l2
d=l√2
Lato del Quadrato conoscendo la Diagonale
La richiesta è molto semplice e basta davvero fare un solo passaggio. E’ sufficiente applicare l’inverso della formula diagonale quadrato. Cioè:
d=l√2 → d/√2=l → l=(d√2)2
Quindi data la diagonale di un quadrato, per calcolare il lato mi basta moltiplicare la diagonale per radice quadrata di 2 e poi dividere il risultato per 2.
ESEMPIO
Calcola perimetro e area del quadrato con diagonale 32 cm.
L’anello di congiunzione, come abbiamo già detto, tra la diagonale di quadrato e il suo perimetro e l’area, è proprio il calcolo del lato. Applichiamo subito quindi la formula inversa della diagonale:
l=(d√2)2
l=(32√2)/2 = 22,63 cm
A questo punto possiamo calcolare il perimetro e l’area con le loro formule:
p=4l =4·22,63 = 90,51 cm
A=l2 = 22.632= 512,12 cm2
Non dimenticare mai di inserire le unità di misura quando svolgi i vari calcoli.
Rettangolo
AREA
Per calcolare la superficie del rettangolo è sufficiente moltiplicare base per altezza. Quindi la formula principale è:
A = b · h
Attraverso le formule inverse (b=A/h e h=A/b) è possibile calcolare base e altezza nota l’area.
ESERCIZIO
Calcolare la misura dell’area del rettangolo nota la diagonale pari a 5 cm e la base pari a 4 cm.
Analizziamo la figura ABD. Si tratta di un triangolo rettangolo, di cui conosciamo l’ipotenusa DB e la base AB. Con il teorema di Pitagora possiamo calcolare la misura dell’altezza DA.
AD² = DB² – AB²
AD² = (5 cm)² – (4 cm)² = 9
AD = 3 cm
A questo punto avendo base e altezza non ci resta che farne il prodotto per ottenere l’area del rettangolo.
A = b · h
A = 3 cm · 4 cm = 6 cm²
ESERCIZIO
Trovare l’area di un rettangolo che ha il perimetro pari a 100 cm e la differenza di base e altezza pari a 20 cm.
1) si può risolvere con le equazioni di primo grado,oppure
2) con la differenza di segmenti,
PERIMETRO
Poiché il rettangolo ha i lati uguali a 2 a 2, allora possiamo calcolare il perimetro sommando il doppio della base con il doppio dell’altezza.
FORMULA PERIMETRO RETTANGOLO
p=2b+2h
Dove p rappresenta la misura del perimetro del rettangolo, b è la base AB, mentre h è l’altezza AD. Su alcuni libri di testo il perimetro viene indicato anche con il simbolo 2p.
La formula appena vista è sicuramente quella più utilizzata e permette di trovare, in un generico rettangolo, il perimetro noto il lato.
ESEMPIO
Dato il rettangolo con perimetro 16 cm e base pari a 3 cm, calcolarne l’altezza
Svolgimento
Usiamo le formule inverse per trovare subito l’altezza.
h=p/2-b
h=16:2-3= 8-3= 5 cm.
CALCOLO PERIMETRO RETTANGOLO DATA L’AREA
Per poter risolvere il problema è necessario avere a disposizione anche un’altro dato: l’area da sola non è sufficiente. La traccia deve quindi darci la base o l’altezza (o almeno darci un modo per calcolare una delle due).
In questo modo si usa la formula inversa dell’area per trovare il lato mancante e poi si applica la formula per calcolare il perimetro del rettangolo.
ESEMPIO
Calcolare il perimetro del rettangolo di area 96 cm2 e la base pari a 12 cm.
Svolgimento
Per risolvere l’esercizio, inizio calcolando l’altezza.
A=b·h → h=A:b → h=96:12= 8 cm
Una volta note base e altezza, possiamo calcolare il perimetro del rettangolo:
p=2b+2h
p=2(8 cm)+2(12 cm) = 16+24 = 40 cm.
CALCOLO PERIMETRO RETTANGOLO NOTA LA DIAGONALE
Come nel caso precedente, la sola misura della diagonale del rettangolo non è sufficiente per determinare il perimetro. La traccia deve fornire un ulteriore dato: nella più semplice delle ipotesi ci fornirà uno dei due lati (base o altezza).
Trovare il perimetro di un rettangolo che ha la diagonale che misura 20 cm e la base 10 cm.
Possiamo applicare il teorema di Pitagora:
A questo punto, nota base e altezza, è possibile trovare la misura del perimetro.
p=2b+2h
p=2(10√3 cm)+2(10 cm) = 20√3+20 = 20(1+√3) cm.
DIAGONALE
Le diagonali dei rettangoli possono essere definite come dei segmenti che congiungono i vertici opposti della figura.
Qualsiasi siano le dimensioni di un rettangolo, esistono 2 diagonali congruenti tra loro, cioè aventi la stessa lunghezza.
Dato il rettangolo di vertici ABCD, è stata disegnata in blu la diagonale del rettangolo DB. Anche il segmento AC, non riportato in figura per non creare confusione, è una diagonale. Vale pertanto la relazione:
DB=AC
