I blog di Alessioempoli

Data 13 settembre 2019

MATEMATICA – 1

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MATEMATICA – 1

 

Proprietà dissociativa

 

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Proprietà Associativa

 

La proprietà associativa si applica alle addizioni e alle moltiplicazioni. Vediamo come applicarla nel caso appunto di un prodotto tra fattori.

In una moltiplicazione composta da tre o più fattori possiamo sostituire due qualsiasi fattori consecutivi con il loro prodotto, senza che il risultato finale della moltiplicazione cambi.

 

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E questo mostra la validità della proprietà associativa della moltiplicazione: anche “associando” i fattori in diverse maniere il prodotto finale è sempre lo stesso. La proprietà associativa può essere usata per facilitare ancora di più il calcolo a mente, utilizzata soprattutto in combinazione con le tabelline!

 

Lo stesso discorso vale anche per le addizioni composte da due o più addendi. Infatti, per semplificare il calcolo del risultato finale possiamo sostituire due qualsiasi addendi con la loro somma, senza che il risultato finale dell’addizione cambi.

 

Proprietà Invariantiva

Conosciamo meglio le caratteristiche dell’unica proprietà che riguarda esclusivamente divisioni e sottrazioni: la proprietà invariantiva.

 

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E come vedete, il risultato è lo stesso dell’operazione originaria. Lo stesso discorso vale per le operazioni di divisione, con la differenza che la proprietà si applica quando andiamo a moltiplicare la stessa cifra a dividendo e divisore:

 

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Proprietà Commutativa

 

Prima di tutto dobbiamo sgombrare il campo da qualsiasi dubbio: la proprietà commutativa vale solo per addizione e moltiplicazione. La sua definizione è semplicissima ed è anche uno dei modi di dire più utilizzati anche nella vita quotidiana.

Infatti, la commutativa dice che cambiando l’ordine dei fattori (o degli addendi, nel caso dell’addizione), il risultato non cambia.

 

23 + 2 + 19 = 44

 

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– o ancora:

14 diviso 2 fa 7 che moltiplicato per 4 dà 28.

14 moltiplicato per 4 fa 56 che diviso 2 dà 28.

 

Proprietà Distributiva

 

34 + 21 + 4 = 59

59 x 2 = 118

posso anche fare:

(34 x 2) + (21 x 2) + (4 x 2) = 118

vediamo come sia possibile distribuire la moltiplicazione per 2 su tutti gli addendi.

 

Le cose cambiano se invece consideriamo la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione

 

57 – 24 – 3 – 12 = 18

ora dividiamo per 3

18 : 3 = 6

ma potremmo anche fare:

 

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Ora, se eseguiamo la sottrazione 19 – 8 – 1 – 4 otteniamo sempre lo stesso risultato e cioè 6!

 

 

EQUIVALENZE

 

Fare le equivalenze significa trasformare un’unità di misura in un’altra, in modo tale che si equivalgano. Nella pratica significa trasformare un’unità di misura grande in una più piccola, o viceversa.

 

IL SISTEMA METRICO DECIMALE

 

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LA SCALA DEI LIQUIDI

 

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SCALA DEI PESI

 

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NUMERI PRIMI

Cos’è un numero primo? Un numero primo è un numero naturale maggiore di 1, divisibile solo per 1 e per se stesso .

Per esempio: 3 può essere diviso con 1 e con 3. Stop.

 

Un numero maggiore di 1 ma con più di due numeri divisori è detto invece composto.

Per esempio: 2, 3 e 5 sono primi, mentre 4 e 6 non lo sono. Infatti, il 4 è divisibile per 1 e per sé stesso ma anche per 2 . Il 6 è divisibile per 1 e per sé stesso ma anche per 2 e per 3.

L’unico numero primo pari è il 2 , poiché tutti gli altri numeri pari sono divisibili anche per 2 (oltre che per 1 e per sé stessi), e dunque non possono essere numeri primi.

Ecco i primi 10 numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

 

Pensate che i numeri primi siano infiniti , così come sono infiniti i numeri? Non è detto.

 

 

PRECEDENZE – PARENTESI

In operazioni complesse,occorre rispettare Precedenze e Parentesi per ottenere il risultato corretto.

Esempio:

5 + 7 = 7 +5

posso scrivere così perchè abbiamo visto che l’addizione ha proprietà commutative, possiamo anche usare una formula generale sostitutiva che è:

a + b = b + a

Ora voglio sapere quanto vale :

5 + 7 x 2 = ?

 

– se faccio  prima l’addizione ho  12 x 2 = 24

– se faccio prima la moltiplicazione ho  5 + 14 = 19

– 24 e 19 sono due numeri diversi, quindi non possono essere entrambi giusti

– quindi dobbiamo precisare quale operazione vogliamo fare per prima,possiamo scegliere qualunque cosa:

– per indicare la precedenza dell’operazione da fare basta usare delle Parentesi:

(5 + 7) x 2  vuol dire che prima devo sommare  5 + 7 e dopo  devo moltiplicare la somma  per 2,quindi viene:

12 x 2 = 24

 

LE RETTE

 

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POLIGONI

I poligoni, come molti termini geometrici, devono il loro nome agli antichi Greci, che per primi ne indagarono le forme e le caratteristiche: poligono infatti significa “dai molti angoli” (poli, “molti”, gonìa, “angolo”).

Il poligono è quindi una porzione di piano delimitata da una linea spezzata chiusa (che dunque forma molti angoli!). Esso è composto da più lati e dai vertici, ossia il punto di congiungimento tra due lati.

 

QUANTI POLIGONI ESISTONO?

Molti, ed il loro nome deriva dal numero di angoli che possiedono (il minimo è tre).

 

TRIANGOLI: poligoni con tre angoli

QUADRANGOLI: quattro angoli. I più usati sono il Quadrato, il Rettangolo, il Trapezio e il Rombo

 

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PENTAGONI: cinque angoli (penta, significa “cinque” in greco)

ESAGONI: sei angoli

 

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ETTAGONI: sette angoli (etta viene da epta, “sette” in greco)

OTTAGONI: otto angoli

ENNAGONI: nove angoli

DECAGONI: dieci angoli

ENDECAGONI: undici angoli

DODECAGONI: dodici angoli

 

ANGOLI

 

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Quindi

Si dice angolo concavo quello che contiene i prolungamenti dei suoi lati.

Si dice angolo convesso quello che non contiene i prolungamenti dei suoi lati.

 

ANGOLO RETTO

Si dice angolo retto un angolo con un’ampiezza di 90°

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ANGOLO ACUTO

Si dice angolo acuto l’angolo con un’ampiezza minore di 90°

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ANGOLO OTTUSO

Si dice angolo ottuso un angolo con un’ampiezza maggiore di 90°

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ANGOLO PIATTO

Si dice angolo piatto un’angolo con un’ampiezza pari a 180°

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ANGOLO GIRO

Un angolo giro è un angolo che si ottiene con una rotazione di 360° di una semiretta attorno alla sua origine. Esso corrisponde all’intero piano.

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ANGOLI CONSECUTIVI

Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune.

Esempio: i due angoli AOB e BOC sono consecutivi

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ANGOLI ADIACENTI

Due angoli si dicono adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, hanno come lati non comuni due semirette opposte.

Esempio  i due angoli BOA e BOC sono adiacenti

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ANGOLI COMPLEMENTARI

Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto, cioè se esso misura 90°.

Esempio:  AOB e BOC sono angoli complementari. Infatti la loro somma misura 90°.

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ANGOLI SUPPLEMENTARI

Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto, cioè se misura 180°.

Esempio: AOB e BOC sono angoli supplementari. Infatti la loro somma misura 180°.  Come vedi nel disegno qui sotto, due angoli supplementari sono anche  adiacenti

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ANGOLI  ESPLEMENTARI

Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro, cioè misura 360°.

Esempio: l’angolo concavo AOB è l’angolo convesso BOA sono angoli esplementari, infatti la loro somma misura 360°.

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ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE

Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro.

Esempio: osservando la figura qui sotto vediamo che le due rette formano quattro angoli: AOB, BOC, COD, DOA. Caratteristica degli angoli opposti al vertice è quella di essere uguali.

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Scomposizione dei Numeri Decimali

 

unità di milione = uM

centinaia di migliaia = hk

decine di migliaia = dak

migliaia = uk

centinaia = h

decine = da

unità = u

decimi = d

centesimi = c

millesimi = m

 

Esempi

 

3468 = 3 uk, 4 h, 6 da, 8 u

56,67 = 5 da, 6 u, dopo la virgola  6 d, 7 c

854,32 = 8 h, 5 da, 4 u  dopo la virgola  3 d, 2 c

 

Angoli Alterni, Coniugati e Corrispondenti

Immaginiamo due rette r e s di qualsiasi inclinazione che giacciono sul piano, ed una terza retta t che le attraversa entrambe. Avremo quindi 4 angoli risultanti dall’intersezione della retta t con la retta r ed altri 4 ottenuti dall’intersezione tra la retta t e la retta s, per un totale di 8 angoli.

 

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Bisettrice di un Angolo

 

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Come risulta essere possibile apprendere dalla definizione riportata sui libri di geometria, la bisettrice di un angolo è la semiretta che parte dal vertice dividendo l’angolo in due parti identiche, dando origine a due angoli congruenti. In poche parole la bisettrice suddivide l’angolo in due angoli identici in tutto e per tutto. All’interno di ogni angolo possiamo trovare esclusivamente una bisettrice.

Vediamo come si fa la bisettrice di un angolo. In questo caso per procedere dobbiamo munirci di un righello e di un compasso. Prendiamo un angolo qualunque e troviamo i punti per tracciare la nostra bisettrice.

Sarà dunque sufficiente puntare il compasso al vertice e tracciare una curva, un arco che vada ad intersecare le due semirette trovando i punti A e B. Fatto ciò occorrerà puntare il compasso sul punto A e tracciare un nuovo arco, la distanza è a piacere, per poi puntare il compasso sul punto B e disegnare una nuova curva rispettando la medesima distanza di prima

Le due curve, che dovranno incontrarsi, ci danno la possibilità di trovare il punto C. Attraverso l’unione del punto d’incontro C e del vertice O per mezzo di una linea, è possibile ottenere una semiretta che va a dividere l’angolo in due angoli congruenti. Questa sarà la bisettrice.

 

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Come si calcola l’Ampiezza di un Angolo

 

– l’unità di misura per misurare un angolo è il  grado sessagesimale,

Prendendo un triangolo come punto di partenza, teniamo sempre bene a mente che l’ampiezza totale interna riguardante gli angoli di un triangolo è uguale a 180 gradi. Di conseguenza, se desideriamo eseguire il calcolo dell’ampiezza di un angolo β, sarà sufficiente sottrarre al totale la misura degli altri due angoli.

 

Per fare un esempio pratico, se siamo a conoscenza che l’angolo α presenta un’ampiezza pari a 60 gradi e l’angolo γ un’ampiezza di 65 gradi, l’operazione che dovremo effettuare sarà la seguente:

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– in modo semplice e pratico si potrebbe anche usare un goniometro

 

 

Come si calcola l’Area di un Pentagono

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La formula per calcolare l’area di un pentagono è

 

A= perimetro x apotema / 2

 

Se non avete il perimetro del pentagono, ma solo la misura del lato, nel caso del pentagono regolare basterà applicare la formula

 

2p= l x 5.

 

Quindi se un lato del pentagono misura 6 cm, il perimetro della figura è pari a 30 cm.

L’apotema si calcola con la foruma

 

Apotema= Numero fisso x lato

 

Ogni figura geometrica regolare ha un preciso numero fisso. In questo caso il numero fisso del pentagono è:0,688. Questo numero rappresenta il rapporto tra l’apotema e il lato di un poligono. Quindi avendo la misura del lato del pentagono, che in questo caso è pari a 6, basterà moltiplicare il numero fisso per la misura del lato. Quindi otterremo:

 

Apotema = 0,688×6 = 4,128

 

Adesso sarà possibile calcolare semplicemente l’area del pentagono

 

A= perimetro x apotema/ 2

 

A = 36×4,128/2 = 74,30

 

L’apotema di un pentagono è il raggio della circonferenza inscritta nel poligono.

Calcolare l’area di un pentagono è quindi semplice.

 

Come Calcolare la Media Aritmetica

 

La media aritmetica serve per calcolare il valore medio tra una serie di numeri reali.

La formula è:

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La media aritmetica si calcola quindi sommando tutti i valori a disposizione e dividendo il risultato per il numero complessivo dei dati.

Per esempio, vogliamo sapere quale risulta essere l’età media dei partecipanti a una gara, i dati in nostro possesso sono i seguenti:

 

Concorrente 1 – 18 anni

 

Concorrente 2 – 22 anni

 

Concorrente 3 – 33 anni

 

Concorrente 4 – 26 anni

 

 

18+22+33+26= 99

99/4= 24,75 anni

 

 

Come si Calcola il Perimetro del Triangolo Rettangolo

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Il perimetro è la misura che definisce la lunghezza del contorno di una figura piana. Nel caso del triangolo rettangolo il perimetro è dato dalla somma dei cateti più l’ipotenusa. La formula quindi è indicata con:

 

2p = a + b + c

 

a e b = lunghezza dei cateti

c = lunghezza dell’ipotenusa

2p o P = perimetro

p = semiperimetro

 

Ma non sempre tutti i dati sono noti,quindi alcuni vanno trovati e ci sono vari modi

 

Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora stabilisce che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dell’area dei quadrati costruiti sui cateti. Quindi avendo la misura di entrambi i cateti è possibile ottenere anche quella dell’ipotenusa e di conseguenza trovare il perimetro del triangolo.

 

1) Se hai il valore dei cateti a e b, che corrispondono l’uno a 2 cm e l’altro a 4 cm, dovrai fare la somma dei loro quadrati, quindi avrai:

 

22 = 4

42 = 16

4 + 16 = 20

√20  (radice quadrata ) = 4,47  = Ipotenusa

P = a + b + c

2 + 4 + 4,47 = 10,47 cm

 

2) se abbiamo l‘Ipotenusa ( 4,47) ed un Cateto (2),faremo:

 

4,472 = 19,98

22 = 4

19,98 – 4 = 15,98, radice:

√15,98 = 4 (arrotondato per eccesso) l’altro cateto,

P = 2 + 4 + 4,47 = 10,47

 

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3) Avendo il cateto b e l’angolo acuto adiacente β, il perimetro del triangolo rettangolo si calcola

 

b (1/()+tan⁡()+1)

 

4) Avendo un cateto b e l’angolo acuto opposto α, il perimetro del triangolo rettangolo si calcola:

 

b (1/()+cot⁡()+1)

 

5) Infine, avendo l’ipotenusa c e un angolo adiacente , il perimetro si calcola con la formula:

 

c  (sin()+cos()+1)

 

 

Come si calcola l’Area di un Rettangolo

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x = base = 25 cm

y = altezza = 13 cm

 

Area = Base x Altezza

25 x 13 = 325 cm2

 

 

Come si calcola il Perimetro del Rettangolo

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Perimetro = 2a + 2b

oppure

Perimetro = (2 x lato maggiore) + (2 x lato minore)

 

Esempio

 

b = 39 cm

a = 25 cm

Perimetro = 39 x 2 = 78 cm,  25 x 2 = 30 cm

78 cm + 30 cm = 108 cm

 

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