I blog di Alessioempoli

Data 16 settembre 2019

GEOMETRIA EUCLIDEA – 1

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Geometria  Euclidea

 

La geometria euclidea deve il suo nome al matematico dell’antica Grecia Euclide. Tutto il programma ruota attorno a 5 concetti base che non si dimostrano.

Da questi assiomi, detti anche postulati, derivano poi numerose definizioni e teoremi che regolano tutta la geometria euclidea. Oltre a questi sono presenti i lemmi, teoremi secondari di minore importanza, e i corollari, che sono un’immediata conseguenza di un teorema dimostrato in precedenza.

 

Le basi della geometria euclidea

Grazie a questa prima organizzazione concettuale, è stato possibile indicare quelli che ancora oggi vengono definiti gli enti fondamentali della geometria euclidea:

 

# il punto – indicato in genere con la lettera maiuscola – è un ente senza dimensione che si può immaginare come un granello di sabbia;

# la retta – indicata in genere con la lettera minuscola – è una linea nel piano di lunghezza infinita;

# il piano – indicato in genere con una lettera dell’alfabeto greco – si può immaginare con una superficie piana infinita.

 

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Come si usa il Goniometro

 

Usare il goniometro correttamente permette di misurare l’ampiezza degli angoli ma anche di disegnare un angolo conoscendone l’ampiezza.

 

CHE COS’È IL GONIOMETRO

Il goniometro è uno strumento utile per la misura degli angoli in maniera abbastanza precisa.

 

In vendita in tutte le cartolibrerie (e anche nei supermercati ormai), è generalmente fatto in plastica e ha una forma circolare o semicircolare e all’estremità c’è una scala graduata che indica tutti gli angoli da 0° a 360° (o da 0° a 180° nella versione semicircolare)

 

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COME SI USA IL GONIOMETRO?

Passiamo alla parte pratica: come si misurano gli angoli con il goniometro? Dividiamo la misurazione in tre fasi per rendere il tutto più semplice:

1) posiziona il centro del goniometro esattamente sul vertice dell’angolo.

2) fai coincidere lo zero del goniometro con uno dei lati dell’angolo, cioè fai in modo che una delle due semirette che formano l’angolo passi per il numero 0 della scala graduata.

3) leggi il numero sul goniometro che si forma in corrispondenza della seconda semiretta dell’angolo.

 

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REGOLA GENERALE PER USARE IL GONIOMETRO:

– se posizioni una semiretta su dovrai leggere la scala esterna

– se posizioni una semiretta su 180° dovrai leggere la scala interna

 

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Rette parallele tagliate da una trasversale

 

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# Angoli alterni interni congruenti: sono le coppie di angoli 4-6 e 3-5. Si chiamano alterni interni perché uno è a destra e uno a sinistra (alterni) e si trovano all’interno delle due rette tagliate dalla trasversale (interni).

# Angoli alterni esterni congruenti: sono le coppie di angoli 2-8, 1-7. La spiegazione è identica alla precedente solo che questa volta gli angoli si trovano all’esterno delle due rette parallele.

# Angoli corrispondenti congruenti: sono le coppie di angoli 1-5, 2-6, 4-8, 3-7. Si chiamano così perché la posizione sulle due rette è perfettamente identica.

# Angoli coniugati interni supplementari: sono le coppie 3-6 e 4-5. Puoi ricordarli perché sono uno di fronte l’altro.

# Angoli coniugati esterni supplementari: sono le coppie 1-8, 2-7. Si trovano entrambi all’esterno e sullo stesso lato.

 

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POLIGONI

I poligoni, come molti termini geometrici, devono il loro nome agli antichi Greci, che per primi ne indagarono le forme e le caratteristiche: poligono infatti significa “dai molti angoli” (poli, “molti”, gonìa, “angolo”).

Il poligono è quindi una porzione di piano delimitata da una linea spezzata chiusa (che dunque forma molti angoli!). Esso è composto da più lati e dai vertici, ossia il punto di congiungimento tra due lati.

 

QUANTI POLIGONI ESISTONO?

Molti, ed il loro nome deriva dal numero di angoli che possiedono (il minimo è tre).

 

TRIANGOLI: poligoni con tre angoli

QUADRANGOLI: quattro angoli. I più usati sono il Quadrato, il Rettangolo, il Trapezio e il Rombo

 

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PENTAGONI: cinque angoli (penta, significa “cinque” in greco)

ESAGONI: sei angoli

 

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ETTAGONI: sette angoli (etta viene da epta, “sette” in greco)

OTTAGONI: otto angoli

ENNAGONI: nove angoli

DECAGONI: dieci angoli

ENDECAGONI: undici angoli

DODECAGONI: dodici angoli

 

ANGOLI

 

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Quindi

Si dice angolo concavo quello che contiene i prolungamenti dei suoi lati.

Si dice angolo convesso quello che non contiene i prolungamenti dei suoi lati.

 

ANGOLO RETTO

Si dice angolo retto un angolo con un’ampiezza di 90°

 

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ANGOLO ACUTO

Si dice angolo acuto l’angolo con un’ampiezza minore di 90°

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ANGOLO OTTUSO

Si dice angolo ottuso un angolo con un’ampiezza maggiore di 90°

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ANGOLO PIATTO

Si dice angolo piatto un’angolo con un’ampiezza pari a 180°

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ANGOLO GIRO

Un angolo giro è un angolo che si ottiene con una rotazione di 360° di una semiretta attorno alla sua origine. Esso corrisponde all’intero piano.

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ANGOLI CONSECUTIVI

Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune.

Esempio: i due angoli AOB e BOC sono consecutivi.

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ANGOLI ADIACENTI

Due angoli si dicono adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, hanno come lati non comuni due semirette opposte.

Esempio  i due angoli BOA e BOC sono adiacenti.

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ANGOLI COMPLEMENTARI

Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto, cioè se esso misura 90°.

Esempio:  AOB e BOC sono angoli complementari. Infatti la loro somma misura 90°.

 

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ANGOLI SUPPLEMENTARI

Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto, cioè se misura 180°.

Esempio: AOB e BOC sono angoli supplementari. Infatti la loro somma misura 180°.  Come vedi nel disegno qui sotto, due angoli supplementari sono anche  adiacenti

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ANGOLI  ESPLEMENTARI

Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro, cioè misura 360°.

Esempio: l’angolo concavo AOB è l’angolo convesso BOA sono angoli esplementari, infatti la loro somma misura 360°.

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ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE

Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro.

Esempio: osservando la figura qui sotto vediamo che le due rette formano quattro angoli: AOB, BOC, COD, DOA. Caratteristica degli angoli opposti al vertice è quella di essere uguali.

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Angoli Alterni, Coniugati e Corrispondenti

Immaginiamo due rette r e s di qualsiasi inclinazione che giacciono sul piano, ed una terza retta t che le attraversa entrambe. Avremo quindi 4 angoli risultanti dall’intersezione della retta t con la retta r ed altri 4 ottenuti dall’intersezione tra la retta t e la retta s, per un totale di 8 angoli.

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Bisettrice di un Angolo

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Come risulta essere possibile apprendere dalla definizione riportata sui libri di geometria, la bisettrice di un angolo è la semiretta che parte dal vertice dividendo l’angolo in due parti identiche, dando origine a due angoli congruenti. In poche parole la bisettrice suddivide l’angolo in due angoli identici in tutto e per tutto. All’interno di ogni angolo possiamo trovare esclusivamente una bisettrice.

 

Vediamo come si fa la bisettrice di un angolo. In questo caso per procedere dobbiamo munirci di un righello e di un compasso. Prendiamo un angolo qualunque e troviamo i punti per tracciare la nostra bisettrice.

 

Sarà dunque sufficiente puntare il compasso al vertice e tracciare una curva, un arco che vada ad intersecare le due semirette trovando i punti A e B. Fatto ciò occorrerà puntare il compasso sul punto A e tracciare un nuovo arco, la distanza è a piacere, per poi puntare il compasso sul punto B e disegnare una nuova curva rispettando la medesima distanza di prima

 

Le due curve, che dovranno incontrarsi, ci danno la possibilità di trovare il punto C. Attraverso l’unione del punto d’incontro C e del vertice O per mezzo di una linea, è possibile ottenere una semiretta che va a dividere l’angolo in due angoli congruenti. Questa sarà la bisettrice.

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Come si calcola l’Ampiezza di un Angolo

 

– l’unità di misura per misurare un angolo è il  grado sessagesimale,

Prendendo un triangolo come punto di partenza, teniamo sempre bene a mente che l’ampiezza totale interna riguardante gli angoli di un triangolo è uguale a 180 gradi. Di conseguenza, se desideriamo eseguire il calcolo dell’ampiezza di un angolo β, sarà sufficiente sottrarre al totale la misura degli altri due angoli.

Per fare un esempio pratico, se siamo a conoscenza che l’angolo α presenta un’ampiezza pari a 60 gradi e l’angolo γ un’ampiezza di 65 gradi, l’operazione che dovremo effettuare sarà la seguente:

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– in modo semplice e pratico si potrebbe anche usare un goniometro

 

Come si calcola l’Area di un Pentagono

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La formula per calcolare l’area di un pentagono è

 

A= perimetro x apotema / 2

 

Se non avete il perimetro del pentagono, ma solo la misura del lato, nel caso del pentagono regolare basterà applicare la formula

 

2p= l x 5.

 

Quindi se un lato del pentagono misura 6 cm, il perimetro della figura è pari a 30 cm.

 

L’apotema si calcola con la foruma

 

Apotema= Numero fisso x lato

 

Ogni figura geometrica regolare ha un preciso numero fisso. In questo caso il numero fisso del pentagono è:0,688. Questo numero rappresenta il rapporto tra l’apotema e il lato di un poligono. Quindi avendo la misura del lato del pentagono, che in questo caso è pari a 6, basterà moltiplicare il numero fisso per la misura del lato. Quindi otterremo:

 

Apotema = 0,688×6 = 4,128

 

Adesso sarà possibile calcolare semplicemente l’area del pentagono

 

A= perimetro x apotema/ 2

 

A = 36×4,128/2 = 74,30

 

L’apotema di un pentagono è il raggio della circonferenza inscritta nel poligono.

Calcolare l’area di un pentagono è quindi semplice.

 

Come si Calcola il Perimetro del Triangolo Rettangolo

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Il perimetro è la misura che definisce la lunghezza del contorno di una figura piana. Nel caso del triangolo rettangolo il perimetro è dato dalla somma dei cateti più l’ipotenusa. La formula quindi è indicata con:

 

2p = a + b + c

 

a e b = lunghezza dei cateti

c = lunghezza dell’ipotenusa

2p o P = perimetro

p = semiperimetro

 

Ma non sempre tutti i dati sono noti,quindi alcuni vanno trovati e ci sono vari modi

 

Teorema di Pitagora

 

Il teorema di Pitagora stabilisce che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dell’area dei quadrati costruiti sui cateti. Quindi avendo la misura di entrambi i cateti è possibile ottenere anche quella dell’ipotenusa e di conseguenza trovare il perimetro del triangolo.

 

1) Se hai il valore dei cateti a e b, che corrispondono l’uno a 2 cm e l’altro a 4 cm, dovrai fare la somma dei loro quadrati, quindi avrai:

 

22 = 4

42 = 16

4 + 16 = 20

√20  (radice quadrata ) = 4,47  = Ipotenusa

P = a + b + c

2 + 4 + 4,47 = 10,47 cm

 

2) se abbiamo l‘Ipotenusa ( 4,47) ed un Cateto (2),faremo:

 

4,472 = 19,98

22 = 4

19,98 – 4 = 15,98, radice:

√15,98 = 4 (arrotondato per eccesso) l’altro cateto,

P = 2 + 4 + 4,47 = 10,47

 

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3) Avendo il cateto b e l’angolo acuto adiacente β, il perimetro del triangolo rettangolo si calcola

 

b (1/()+tan⁡()+1)

 

4) Avendo un cateto b e l’angolo acuto opposto α, il perimetro del triangolo rettangolo si calcola:

 

b (1/()+cot⁡()+1)

 

5) Infine, avendo l’ipotenusa c e un angolo adiacente , il perimetro si calcola con la formula:

 

c  (sin()+cos()+1)

 

 

Come si calcola l’Area di un Rettangolo

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x = base = 25 cm

y = altezza = 13 cm

 

Area = Base x Altezza

25 x 13 = 325 cm2

 

Come si calcola il Perimetro del Rettangolo

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Perimetro = 2a + 2b

oppure

Perimetro = (2 x lato maggiore) + (2 x lato minore)

 

Esempio

 

b = 39 cm

a = 25 cm

Perimetro = 39 x 2 = 78 cm,  25 x 2 = 30 cm

78 cm + 30 cm = 108 cm

 

 Come Calcolare Perimetro del Rombo

Il rombo è un parallelogramma con tutti i lati uguali

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1 lato = 18 cm

Perimetro = 18 x 4 = 72 cm

Oltre che tramite i lati, però, il perimetro del rombo può essere ricavato partendo dalle diagonali.

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diagonale maggiore = 30 cm

diagonale minore = 18 cm

si formano quindi 4 triangoli rettangoli tutti uguali e della stessa area

consideriamo un solo triangolo in cui abbiamo un

cateto maggiore = d2  = 30 : 2 = 15

cateto minore = d1 = 18 : 2 = 9

ipotenusa si può trovare col Teorema di Pitagora e coincide con un lato del rombo

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quindi un lato = 17,49 cm

Perimetro = 17,49 x 4 = 69,97 cm

 

Come Calcolare l’Area del Rombo

1) sono note le diagonali

Area = (Diagonale maggiore x Diagonale minore) / 2

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d1 = 15 cm

d2 = 9 cm

15 x 9 = 135 cm

135 : 2 = 67,5

 

2) base e altezza note

se conosco la base conosco anche la misura di tutti i lati

Area = Lato  (base) x Altezza

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# Diagonale minore

(Area  x 2 ) :  diagonale maggiore

 

# Diagonale maggiore

(Area x 2 ) : diagonale minore

 

Poligoni Inscritti e Poligoni Circoscritti

Poligono inscritto

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Poligono circoscritto

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Triangolo inscritto

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Triangolo circoscritto

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Poligoni Concavi e Poligoni Convessi

Poligono concavo

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In questo caso il prolungamento di uno dei lati è in grado di dividere il poligono in due parti

Poligono convesso

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Il prolungamento di tutti i suoi lati non lo suddivide in due sezioni

 

FIGURE GEOMETRICHE SOLIDE

Le figure geometriche solide sono figure geometriche dotate di una tridimensionalità, ossia altezza, larghezza e profondità

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Le figure geometriche solide hanno:

un VOLUME, una SUPERFICIE, delle  FACCIE, dei VERTICI (punto dove si uniscono almeno 3 facce), lo SPIGOLO  cioè uno qualsiasi dei lati di una faccia,

ANGOLO DIEDRO: è la porzione di spazio compresa tra due facce con uno spigolo in comune,

ANGLOIDE: ossia la regione delimitata da tre o più facce che vanno a convergere nello stesso vertice

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Punto – Retta – Piano

 

Punto

– il punto è adimensionale,non ha quindi grandezze

Retta

– anche la retta è un ente immateriale

– la retta può essere considerata un insieme infinito di punti,

Piano

– il piano non ha spessore

 

Considerazioni

 

Punto, retta e piano sono concetti primitivi e non esistenti in natura

ma perchè non esistono in natura?

allora esistono da qualche altra parte?

per capire questo dobbiamo passare necessariamente dalla Matematica alla FILOSOFIA!

 

Diagonale di un rettangolo

– come possiamo calcolare la Diagonale di un rettangolo?

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– la diagonale divide il rettangolo in 2 Triangoli rettangoli uguali,

 

a = base

b = altezza

d = diagonale (ipotenusa )

a e b rappresentano i cateti del triangolo rettangolo,

 

– quindi basta applicare il Teorema di Pitagora,

 

d2 = a2 + b2

 

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– supponiamo di avere

a = 15 cm

b = 28 cm

152 = 225

282 = 784

225 + 784 = 1009

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Diagonale = 31,765

 

 

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