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Data 27 ottobre 2019

GEOMETRIA ANALITICA – 4

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Retta passante per un punto

 – qual’ è la formula da usare? Ecco alcuni esempi per applicarla correttamente

 

Equazione della retta passante per un punto: è una formula che permette di calcolare l’equazione di una retta nel piano cartesiano noto il coefficiente angolare ad un punto generico P.

Abbiamo già  visto come calcolare l’equazione della retta per due punti. In questo caso dobbiamo fare una piccola differenza. Mentre prima i due dati a disposizione erano le coordinate di due generici punti, ora abbiamo bisogno sempre di due dati, ma uno dei due è il coefficiente angolare della retta. Vedrai che la formula è anche più semplice della precedente e ti permette di calcolare la retta per un punto in pochi passaggi.

 

RETTA PASSANTE PER UN PUNTO E COEFFICIENTE ANGOLARE NOTO

L’equazione della retta per un punto si può calcolare con la formula:

1-GEOM.ANAL. - 4 INIZIO

Dove xp e yp sono le coordinate del punto generico P, m è il coefficiente angolare della retta.

 

COME SI ARRIVA ALLA FORMULA?

2-

Cerchiamo di capire bene un aspetto della retta: y=mx+q. Nella formula della retta le incognite sono due, m e q, per cui avremo bisogno di due dati. Il primo è l’appartenenza del punto P alla retta e il secondo?

 

ESEMPI SULL’EQUAZIONE DELLA RETTA PER PASSANTE PER UN PUNTO

ESERCIZIO 1

Calcolare l’equazione della retta passante per un punto P(4,1) e di coefficiente angolare m=3.

3-

L’esercizio, risolvibile in pochi semplici passaggi, è stato svolto sostituendo le coordinate del punto P nell’equazione generica della retta. Ricordandoci i calcoli letterali dell’algebra, abbiamo isolato al primo membro la y, per ottenere così l’equazione della retta esplicita.

 

Sarà molto difficile negli esercizi trovare il coefficiente angolare già espresso, è molto più probabile trovare dei casi in cui ci venga richiesto di calcolare la formula della retta passante per un punto e parallela ad una retta, oppure l’equazione della retta passante per un punto e perpendicolare ad una retta. Vediamo questi due casi direttamente con degli esercizi svolti.

 

ESERCIZIO 2RETTA PASSANTE PER UN PUNTO E PERPENDICOLARE AD UNA RETTA

Scriviamo l’equazione passante per un punto e perpendicolare ad una retta. Il punto è P(1;-2) mentre la retta è s:3y+6x-1=0

I dati a disposizione sono due: la retta incognita r passa per il punto P ed è perpendicolare alla retta s. Da questo secondo dato possiamo ricavare immediatamente il coefficiente angolare. Dalla lezione sulle rette parallele e perpendicolari abbiamo infatti scoperto che la condizione di perpendicolarità implica che i coefficienti angolari siano antireciproci.

Quindi iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta perpendicolare s.

4-

A questo punto sfrutto il secondo dato che mi viene dato dalla traccia, l’appartenenza di P ad r, usando la formula vista ad inizio lezione.

5-

ESERCIZIO 3RETTA PASSANTE PER UN PUNTO E PARALLELA AD UNA RETTA

Scriviamo l’equazione della retta passante per un punto e parallela ad una retta dove il punto è P(2,3) e la retta è s:2x+y-7=0

L’esercizio è praticamente identico al precedente, anzi più semplice dato che i coefficienti angolari delle due retta parallele sono identici. Per cui possiamo proseguire spediti e risolvere agevolmente questo esercizio svolto:

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ESERCIZI DA SVOLGERE A CASA

– Determina l’equazione della retta passante per P(-1;-4) e parallela alla retta di equazione y=2x-5

– Determina l’equazione della retta passante per P(+2;0) e perpendicolare alla retta di equazione 2x-3y+1=0

– Determina l’equazione della retta parallela alla retta di equazione 3x-2y=0 e passante per il punto di intersezione delle due rette x-y+3=0 e x+y+5=0.

(suggerimento: in questo caso non abbiamo il punto P, ma sappiamo che questi non è altro che l’intersezione tra le due rette, per cui basta risolvere il sistema tra le due equazioni delle rette…)

– Determina il valore di a per il quale le due rette x-ay+3=0, (a+1)x+ay-3=0 non sono parallele.

 

Quadranti piano cartesiano

– quali sono, come si definiscono e che segni hanno?

 

PIANO CARTESIANO QUADRANTI – DEFINIZIONE

Vengono chiamati quadranti del piano cartesiano le quattro aree in cui resta diviso il piano dagli assi cartesiani.

Detto in parole povere l’asse delle ascisse (x) e quello delle ordinate (y) intersecandosi mi dividono lo spazio in 4 aree. Queste vengono chiamate quadranti cartesiani (o quadranti degli assi cartesiani). Vediamo subito con un disegno…

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ORDINE QUADRANTI PIANO CARTESIANO

Resta da rispondere ora alla domanda: quali sono i quadranti del piano cartesiano? Come fare per numerarli?

 

PRIMO QUADRANTE

Convenzionalmente viene riconosciuto come primo quadrante l’area delimitata dagli assi positivi sia delle x che delle y.

IN PAROLE POVERE: il primo quadrante è quello in alto a destra

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SEGNI PRIMO QUADRANTE (+;+)

Tutti i punti appartenenti al primo quadrante hanno sia l’ascissa che l’ordinata positiva. Quindi quando ti trovi di fronte un generico punto che ha sia la x che la y positiva, puoi stare sicuro che appartiene al primo quadrante.

 

SECONDO QUADRANTE

Convenzionalmente viene riconosciuto come secondo quadrante l’area delimitata dalla parte negativa dell’asse x e la parte positiva dell’asse y.

IN PAROLE POVERE: il secondo quadrante è quello in alto a sinistra

9-

SEGNI SECONDO QUADRANTE (-;+)

Tutti i punti appartenenti al secondo quadrante hanno ascissa negativa e ordinata positiva. Per cui quando ti trovi di fronte ad un generico punto con x negativa e y positiva, puoi stare certo che appartiene al secondo quadrante.

 

TERZO QUADRANTE

Convenzionalmente viene definito terzo quadrante, la regione del piano cartesiano che si forma dall’intersezione della parte negativa sia dell’asse delle x che delle y.

IN PAROLE POVERE: il terzo quadrante è quello in basso a sinistra

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SEGNI TERZO QUADRANTE (-;-)

Tutti i punti appartenenti al terzo quadrante hanno ascissa negativa e ordinata negativa. Per cui quando ti trovi di fronte ad un generico punto che ha entrambe le coordinate negative, puoi stare certo che appartiene al terzo quadrante.

 

QUARTO QUADRANTE

Convenzionalmente viene definito quarto quadrante, l’area del piano cartesiano che si forma dall’intersezione della parte positiva dell’asse delle x con quella negativa delle y.

IN PAROLE POVERE: il quarto quadrante è quello in basso a destra.

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SEGNI QUARTO QUADRANTE (+;-)

Tutti i punti appartenenti al quarto quadrante hanno ascissa positiva e ordinata negativa. Per cui quando ti trovi di fronte ad un generico punto che ha x positiva e y negativa, puoi essere sicuro che appartiene all’ultimo dei quadranti del piano cartesiano.

 

PER NON CONFONDERSI

REGOLA GENERALE: ti basta ricordare la posizione del primo quadrante e quella degli altri la ricavi di conseguenza. Infatti se il primo quadrante degli assi cartesiani è quello in alto a destra, gli altri li individui proseguendo in senso antiorario.

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Come puoi vedere dalla figura, partendo dal primo quadrante procedi verso sinistra (rotazione antioraria come ti mostra la freccia) e individui il secondo quadrante. Procedendo ulteriormente nello stesso verso troverai quindi terzo e quarto quadrante.

 

ESERCIZI QUADRANTI PIANO CARTESIANO

Se stai svolgendo il programma di matematica dedicato alla geometria analitica, hai probabilmente già studiato le equazioni e le disequazioni di primo grado e le equazioni e i sistemi di primo grado. Proviamo allora a risolvere insieme il seguente esercizio.

 

SIA DATO IL PUNTO P(K-3;K+4). STABILIRE PER QUALI VALORI DI K IL PUNTO P APPARTIENE AL PRIMO QUADRANTE

Ricordi cosa abbiamo detto prima? Che tutti i punti appartenenti al primo quadrante hanno ascissa negativa e ordinata positiva. Questo vuol dire che sia la x di P devono essere maggiori di zero. Quindi vuol dire che:

 

k+3>0

k+4>0

 

Le condizioni devono verificarsi contemporaneamente per cui possiamo risolvere come un sistema di disequazioni di primo grado.

 

k+3>0 → k>-3

k+4>0 → k>-4

 

Inseriamo i valori appena trovati su un grafico e ci ricordiamo di considerare come soluzione tutte quelle aree del grafico con linea continua ovunque.

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La soluzione è: k>-3

Questo significa che tutti i punti di coordinate P(k+3;k+4) appartengono al primo quadrante quando k è maggiore di -3.

 

Ascissa e ordinata

 – quali sono? Esiste una definizione

 

Il sistema di ascissa e ordinata di un punto è una delle prime nozioni ad essere introdotte nel programma di geometria analitica. Sono fondamentali perché permettono di identificare univocamente un punto sugli assi cartesiani. Detto in parole povere, ogni punto ha ascissa e ordinata differente che puoi utilizzare per la rappresentazione grafica.

 

ASCISSE E ORDINATE, DEFINIZIONE

Ciascun punto P appartenente al piano cartesiano è caratterizzato da una coppia ordinata di valori (xp,yp) definite rispettivamente ascissa e ordinata del punto P.

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Viene definita coppia perché si tratta di 2 valori. Un punto infatti non può essere identificato solo da uno di questi due, ma servono sia ascissa e ordinata per la caratterizzazione univoca.

Viene definita ordinata perché c’è sempre prima l’ascissa e poi l’ordinata.

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Il grafico che hai appena visto è piuttosto semplice da fare. Ecco come procedere passo passo:

 

– disegna gli assi cartesiani x, y e il centro lo chiami O;

– si disegna l’ascissa andando ad individuare il numero corrispondente sull’asse delle ascisse (x);

– si disegna l’ordinata andando ad individuare il numero corrispondente sull’asse delle ‘ordinate (y);

– a questo punto collega perpendicolarmente i punti trovati ed avrai trovato la rappresentazione grafica del punto P.

 

QUALI SONO ASCISSA E ORDINATA DI UN PUNTO

Il problema maggiore di tutti gli studenti che iniziano questa parte del programma di matematica e la confusione tra questi due valori. Generalmente non si ricorda qual è l’ascissa e l’ordinata e si invertono. Un buon modo per ricordarti quali sono e non confonderli è di pensare all’alfabeto: la lettera x viene prima della y. Associa la prima lettera dell’alfabeto all’ascissa e l’ordinata alla seconda.

Un altro modo per ricordarteli senza sbagliare è pensare che le ascisse riguardano l’asse orizzontale, le ordinate riguardano l’asse verticale.

 

Esercizi sulla retta nel piano cartesiano

 

ESERCIZIO 1)

La traccia ci spiega che la nostra retta passa per un punto P(-1;-2) e ci fornisce una retta parallela con equazione y=4/3x+31/3. Vuol dire che abbiamo a disposizione due dati: l’appartenenza e il parallelismo. Poiché quando si studia la retta nel piano cartesiano le incognite sono 2, cioè m (il coefficiente angolare) e q (intercetta sull’asse delle ordinate) possiamo risolvere il problema.

Il primo passo è quindi quello di sfruttare il parallelismo. Due rette parallele, infatti, per definizione hanno lo stesso coefficiente angolare. Questo significa che m=4/3.

Il passo successivo è di sfruttare l’appartenenza del punto P. Se nell’esercizio la retta passa per un punto, vuol dire che quest’ultimo vi appartiene. Praticamente è possibile andare a sostituire le sue coordinate (l’ascissa e l’ordinata), nell’equazione della retta y=mx+q.

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In questo modo ho ottenuto il coefficiente angolare e la q della retta che avrà quindi equazione y=4/3x-2/3. In geometria analitica, il disegno è una parte importante di ogni esercizio da risolvere. Nelle scorse lezioni abbiamo visto come disegnare una retta nel piano cartesiano, per cui non dovresti avere difficoltà in questo esercizio a disegnare il punto P e la retta parallela della traccia. E’ un esercizio che lasciamo a te…

 

ESERCIZIO 2)

La traccia ci chiede, sostanzialmente di calcolare l’equazione della retta passante per 2 punti  A(1;-1) e B(2;1). Abbiamo già visto nella parte teorica che esiste una specifica formula, per cui l’esercizio è molto facile da risolvere: basta sostituire le coordinate dei punti. Ecco come fare:

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Come puoi vedere sulla destra ti abbiamo riportato anche il grafico della retta che ci siamo calcolati.

 

ESERCIZIO 3)

Il terzo esercizio da risolvere riguarda l’intersezione tra due rette. La prima di queste viene già data dalla traccia, mentre la seconda calcolarla come passante per due punti. Cioè si inizia ripetendo esattamente quello che abbiamo fatto nell’esercizio 2.

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Una volta calcolata quindi l’equazione della seconda retta non ci resta che risolvere l’esercizio scrivendo il sistema delle due equazioni:

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Per risolvere il sistema è stato usato il metodo di sostituzione e, dopo qualche semplice calcolo algebrico e minimo comune multiplo, si arriva facilmente alla soluzione del problema.

 

ESERCIZIO 4)

La traccia di fornisce 3 punti, cioè i 3 vertici di un triangolo. La prima cosa che possiamo fare è disegnare il grafico e calcolare la distanza tra questi due punti, in modo da capire se ci troviamo di fronte ad un triangolo particolare (es. Isoscele, Scaleno o Equilatero)

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Per calcolare il risultato finale di BC abbiamo eseguito portato fuori il 4 dalla radice (se hai dubbi su come è stato risolto, guarda la lezione sulle regole delle radici). Per calcolare l’area di un triangolo avendo i lati posso usare la Formula di Erone ma avrei dei calcoli piuttosto complessi con radici di radici. In matematica c’è un solo grande trucco e vale come regola generale: scegliere sempre la strada più semplice e mai complicarsi la vita.

Ecco perché è preferibile calcolare l’altezza relativa ad un lato e poi semplicemente sfruttare la formula classica Base x Altezza diviso 2 per l’Area dei Triangoli.

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Osservando il disegno in alto possiamo notare che potrebbe sussistere una perpendicolarità tra le rette AC e CB. Per verificarla devo trovare le equazioni delle rette AC e CB.

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Hai notato che le rette AC e BC hanno coefficiente angolare pari a 1 e -1. Poiché mAC=-1/mBC allora si tratta di due rette perpendicolari. Quindi per calcolare l’area basta moltiplicare A=ACxBC/2=(√2)(2√2)/2 → A=2.

 

Formula di sdoppiamento per trovare la tangente ad una figura

 

La formula di sdoppiamento in geometria analitica è un metodo rapido e facile per calcolare la tangente ad una generica curva passante per un suo punto. Può essere applicata alla circonferenza, all’ellisse, alla parabole e all’iperbole. Vediamo allora a cosa serve la formula di sdoppiamento e qualche facile esempio pratico.

 

FORMULA DI SDOPPIAMENTO A COSA SERVE

Uno degli esercizi che maggiormente mette in difficoltà gli studenti in geometria analitica è il calcolo della retta tangente ad una figura e passante per un punto.

La formula di sdoppiamento è un’alternativa valida purché il punto che ci viene fornito appartenga alla curva. Può essere applicata a tutte le curve di secondo grado. Vediamo nel dettaglio i casi applicati alle varie figure.

 

COME RICORDARE LA FORMULA DELLO SDOPPIAMENTO

Stai pensando: come faccio a ricordare tante formule, visto che per fare gli esercizi di matematica ne servono già così tante? Ecco il metodo migliore per ricordare la formula di sdoppiamento in geometria analitica qualsiasi sia la conica o la figura da studiare.

Parti dalla formula canonica o normale della curva e vai semplicemente ad apportare una modifica. Al posto di x al quadrato andrai a mettere x per x0, cioè l’ascissa del punto di tangenza. Dove trovi la x di grado 1 andrai a mettere invece la semisomma di x e x0, cioè (x+x0)/2. Stessa cosa con la y. In questo modo potrai ricavare le formule di sdoppiamento di cui avrai bisogno, senza dimostrazione.

 

FORMULA DI SDOPPIAMENTO DELLA CIRCONFERENZA

Tralasciando la dimostrazione, ciò che ci serve sapere è che la formula di sdoppiamento ci serve per calcolare la retta tangente alla circonferenza passante per il punto P appartenente alla circonferenza. Come puoi vedere semplicemente si parte dall’equazione della circonferenza e apportando qualche piccola modifica, come ti abbiamo suggerito nel paragrafo precedente.

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FORMULA DI SDOPPIAMENTO PARABOLA

Anche in questo caso la formula di sdoppiamento serve a calcolare l’equazione della retta tangente al punto P appartenente alla parabola. Si parte come sempre dall’equazione della parabola e si va a fare una piccola sostituzione.

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FORMULA DI SDOPPIAMENTO ELLISSE

Come per parabola e circonferenza, anche per l’ellisse esiste la formula di sdoppiamento, che ora vedremo nel caso di ellisse riferita al centro e agli assi. Anche in questo caso sono necessarie solo alcune modifiche all’equazione dell’ellisse per alleggerire i calcoli e calcolare in maniera più facile la retta tangente.

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Per ottenere la formula di sdoppiamento dell’ellisse con fuochi sull’asse y, basta scrivere la stessa formula ma a secondo membro c’è -1.

 

FORMULA DI SDOPPIAMENTO IPERBOLE

Anche per l’iperbole esiste la formula di sdoppiamento, che ora vedremo nel caso di iperboli riferite al centro e agli assi. Data l’equazione dell’iperbole, con la solita trasformazione possiamo ottenere:

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Analogamente all’ellisse, la formule dello sdoppiamento dell’iperbole con i fuochi sull’asse y, è sufficiente andare a scrivere al secondo membro -1. Allo stesso modo è possibile ricavare la formula di sdoppiamento dell’iperbole equilatera. Basta solo tenere in considerazione che a e b sono uguali. In caso di iperbole con funzione omografica risolvi con il metodo del delta uguale a 0.

 

ESEMPI ED ESERCIZI CON FORMULA DI SDOPPIAMENTO

1) Calcolare l’equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione x^2+y^2=25 nel suo punto di coordinate P(3;4).

 

Applicando il metodo del delta = 0 dovremmo scrivere l’equazione della retta passante per 1 punto e coefficiente angolare noto  y-y0=m(x-x0) e mettere a sistema con l’equazione della circonferenza. Per evitare di risolvere un sistema di equazioni di secondo grado ricorriamo alla formula di sdoppiamento per la circonferenza.

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Come puoi vedere siamo arrivati facilmente alla soluzione in pochissimi passaggi, ottenendo l’equazione della retta. Con il metodo del delta uguale a 0, invece, avremmo impiegato molto più tempo e sarebbero serviti molti più calcoli, che spesso causano errori durante i compiti di matematica.

 

2) Determinare l’equazione della retta tangente all’iperbole 4x^2+9y^2=36 nel punto P(5;8/3).

Vediamo se invece avesse provato a risolvere con la formula di sdoppiamento per l’iperbole.

Per poter applicare quest’ultima formula è necessario che il punto P appartenga all’iperbole. Per verificarlo basta sostituire le coordinate nel punto nella formula dell’iperbole. Con un semplice calcolo algebrico otterremmo 36=36, per cui, avendo trovato un’equivalenza, P appartiene all’iperbole. Possiamo applicare le formule di sdoppiamento.

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L’unica difficoltà di questo esercizio è individuare correttamente i valori numerici di a e b. Fatto questo è sufficiente applicare le formula di sdoppiamento iperbole per trovare rapidamente la soluzione.

 

Retta tangente alla circonferenza passante per un punto dato

 

Uno degli esercizi più difficili di tutto il programma di geometria analitica è la retta tangente alla circonferenza passante per un punto. Vediamo come risolvere questo tipo di esercizio in maniera semplice e senza commettere errori.

 

SPIEGAZIONE DELL’ESERCIZIO E DELLA TRACCIA

Determinare l’equazione della retta tangente alla circonferenza e passante per il punto P di coordinate note. Generalmente è questa la traccia che viene proposta e che mette in difficoltà gli studenti. L’esercizio sostanzialmente ci sta chiedendo di calcolare l’intersezione tra una retta e una circonferenza, soltanto che la retta non la conosciamo ancora. Ovviamente la condizione di tangenza si traduce con il fatto che le due curve hanno un solo punto di intersezione.

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Come si risolve questo esercizio? Innanzitutto sappiamo che l’equazione della retta è y=mx+q, ma passa anche per un punto. Per cui applichiamo la formula della retta passante per 1 punto, per cui le incognite non saranno più m e q, ma soltanto m. Il coefficiente angolare resta infatti l’unica vera incognita del problema.

 

A questo punto calcoliamo l’intersezione tra la retta con incognita m e la circonferenza data dalla traccia dell’esercizio. Poiché i punti in comune non sono due, mi aspetto di avere non 2 soluzioni, ma soltanto 1. Per cui quando risolvo il sistema e mi trovo a dover calcolare il delta nell’equazione di secondo grado, devo imporre la condizione DELTA = 0.

Otterrò così un’equazione in cui l’unica incognita è il coefficiente angolare. Risolvendola ho ottenuto m, che posso sostituire nell’equazione della retta e l’esercizio è risolto.

 

ESERCIZIO SVOLTO SULLA RETTA TANGENTE ALLA CIRCONFERENZA

Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza x2+y2-2x+4y+1=0 e passante per il punto P(5;3).

 

Innanzitutto ai fini del calcolo non ci interessa sapere che il punto P appartenga o meno alla circonferenza. La cosa importante è che la retta passi per quel punto. Utilizziamo quindi subito l’equazione della retta passante per 1 punto. y-yp=m(x-xp).

Otteniamo quindi la retta y-5=m(x-3), che dopo un semplice passaggio diventa y=mx-3m+5. A questo punto possiamo andare a scrivere il sistema così da calcolare la retta tangente alla circonferenza.

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Ho ottenuto una semplice equazione di primo grado dove l’incognita è la m, ovvero il coefficiente angolare della retta tangente alla circonferenza. In particolare dopo i calcoli ottengo m=45/28. A questo punto basta andare a sostituire nell’equazione della retta iniziale e siamo riusciti a risolvere l’esercizio in maniera semplice.

y=mx-3m-5, diventa cioè  y=45/28 x – 107/28.

 

Esercizi con la circonferenza passante per 2 punti e raggio noto

 

ADESSO VEDREMO COME RISOLVERE I PROBLEMI DI GEOMETRIA ANALITICA IN CUI CI VENGONO ASSEGNATI DALLA TRACCIA IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA E DUE PUNTI APPARTENENTI ALLA CURVA.

Questo tipo di esercizio somiglia moltissimo alla circonferenza per tre punti che abbiamo già studiato.

La differenza è che questa volta ci viene fornito il raggio. Ovviamente prima di affrontare questo tipo di esercizio, è bene che tu conosca quali sono le formule generali della circonferenza.

 

COME SI RISOLVE?

Anche in questo caso sono necessarie tre equazioni per trovare le tre incognite del problema, a, b e c dell’equazione generale della circonferenza. Due ci vengono dalle condizioni di appartenenza dei due punti e l’ultima dalla dimensione del raggio. Si ottengono in questo modo tre equazioni che vanno messe a sistema. Risolvendolo si otterranno i tre coefficienti che andranno a formare l’equazione della circonferenza.

 

UN ESEMPIO CONCRETO

Determinare l’equazione della circonferenza passante per due punti A(2;4) e B(0;2) e raggio pari a √10.

 

Innanzitutto c’è da precisare che non è detto che ci sia un’unica soluzione, cioè non possiamo ancora essere sicuri che ci sia una sola circonferenza passante per i due punti e con quel raggio. Per risolvere l’esercizio imponiamo la condizione di appartenenza dei 2 punti, cioè andiamo a sostituire le loro coordinate nell’equazione generale della circonferenza.

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Dall’ultima riga del sistema posso risolvere a questo punto come se fosse una normale equazione di secondo grado. Andando a scriverne le due soluzioni ottengo due valori di b. Questo significa che, con i dati che ci vengono forniti dall’esercizio, possiamo trovare due circonferenze per due punti e di raggio noto.

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Considerazioni finali: Calcolare l’equazione della circonferenza per due punti e di raggio noto non è particolarmente difficile. E’ necessario tuttavia prestare molta attenzione a come svolgere il sistema di equazioni a 3 incognite. E’ bene fare tutti i calcoli e tutti i passaggi con molta attenzione, perché basta anche un solo segno sbagliato e il sistema porta a soluzioni errate o addirittura impossibili. Se si fanno tutti i passaggi l’esercizio, per quanto lungo, sarà molto facile da risolvere.

 

Rette parallele e perpendicolari sul piano cartesiano

 

DEFINIZIONE DI RETTE PARALLELE

Tralasciando le trattazione universitaria sui punti impropri, ci può essere sufficiente la definizione che viene data nelle scuole primarie:

Per definizione due rette sono parallele quando non si intersecano mai

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Questo significa che due rette parallele possono essere semplicemente viste  come due retta traslate, cioè “spostate” senza aver subito alcuna rotazione.

 

DEFINIZIONE DI RETTE PERPENDICOLARI

Molto semplicemente possiamo dire che:

Per definizione due rette perpendicolari sono due rette  che, intersecandosi, formano 4 angoli retti.

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RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI NEL PIANO CARTESIANO

Ricordi l’equazione esplicita della retta y=mx+q ? Abbiamo detto che m si chiama coefficiente angolare e rappresenta l’inclinazione della retta. Non ci vuol molto ad osservare che due rette parallele per definizione hanno la stessa inclinazione. Per cui possiamo dire che:

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Condizione necessaria e sufficiente affinché ci sia parallelismo è che le due rette abbiano lo stesso coefficiente angolare.

Nel caso in cui, invece, mi trovo di fronte a due rette parallele, la formula riguarda sempre il coefficiente angolare, ma questa volta devo scrivere:

Condizione necessaria e sufficiente affinché ci sia perpendicolarità è che i coefficienti angolari siano antireciproci tra loro.

37-GEOM.ANAL. - 4 - FINE

ESEMPI DI RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

y=3x+4 e y=3x+2 sono rette parallele in quanto il coefficiente angolare m è lo stesso, cioè pari a 3.

y=3x+3 e y=-1/3 x+3 sono rette perpendicolari in quanto il coefficienti angolare del secondo è l’antireciproco del primo.

Sostanzialmente, quando in un problema di geometria analitica, la traccia ci suggerisce la perpendicolarità o il parallelismo tra due rette, vuol dire che sta fornendo una fondamentale informazione sul coefficiente angolare.

 

ESERCIZI SVOLTI

1) Trovare l’equazione della retta s parallela alla retta r:y=3x+2 e passante per l’origine.

La retta che dobbiamo calcolare è s e, dato che non conosciamo nulla, partiamo dalla formula esplicita della retta, cioè s:y=mx+q. Le nostre incognite sono m e q.Poiché la traccia ci ha già detto che r ed s sono rette parallele nel piano cartesiano, allora hanno lo stesso coefficiente angolare, cioè m=3.

Dobbiamo solo calcolare q. Ci serve quindi un altro dato. La traccia ci dice anche che passa per l’origine, cioè il punto O(0,0) appartiene alla retta. Per cui andando a sostituire il punto O nell’equazione della retta ho:

y=mx+q

0=m0+q

q=0

Poichè m=3 e q=0, allora ho trovato l’equazione della retta s:y=3x

 

2) Trovare l’equazione della retta t perpendicolare alla retta r:x+y-1=0 e passante per il punto Q(0;2)

Anche in questo caso l’equazione della retta generica da cui partire è t:y=mx+q dove le nostre incognite sono m e q.Poiché ha evidenziato che t ed r sono rette perpendicolari nel piano cartesiano, vuol dire che il coefficiente angolare di t è l’antireciproco di r. Quanto vale il coefficiente angolare di r? Basta trasformare la formula della retta da implicita ad esplicita:

x+y-1=0

y=-x+1 –> m=-1

Posso quindi calcolare il coefficiente angolare di t=-(-1/1)=+1

Resta solo da calcolare il termine noto della retta (q). Ci serve un secondo dato oltre alla condizione di perpendicolarità. Dato che ci viene fornito come sempre dalla traccia, dato che la retta t passa per il punto Q. Questo vuol dire che posso sostituire le coordinate di Q nell’equazione della retta generica.

t:y=mx+q

2=m0+q

q=2

Trovati m e q, ho così risolto il problema e l’equazione della retta è: t:y=1x+2 che posso anche scrivere come t:y=x+2

Puoi provare, in alternativa, a risolvere l’esercizio diversamente usando la formula della retta passante per un punto.

 

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