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Data 27 ottobre 2019

GEOMETRIA ANALITICA – 3

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Fuochi parabola

 – come si calcolano le coordinate del fuoco?

 

Che cos’è il fuoco? E’ quel punto che la cui distanza dal generico punto P della parabola è pari alla distanza dello stesso punto dalla direttrice. Quindi:

PF=D(F,d)

distanza fuoco dal punto P della parabola = distanza di P dalla retta direttrice

 

FORMULA DEL FUOCO DELLA PARABOLA

Per calcolare il fuoco di una parabola negli esercizi è sufficiente avere a disposizione l’equazione della parabola. In particolare ci servono i tre coefficienti a, b, c. Ricordati però che a seconda della disposizione della figura negli assi cartesiani, possiamo avere una parabola ad asse orizzontale o verticale.

 

FUOCO PARABOLA ASSE VERTICALE

Data infatti la parabola di equazione:

92-inizio geom.anal. - 3

FUOCO PARABOLA ASSE VERTICALE

Vale quanto appena già detto nel caso in cui la parabola abbia asse parallelo all’asse x. In questo caso l’equazione diventa:

x=ay²+by+c=0

Mentre le coordinate del fuoco della parabola sono invertite:

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ESEMPI SUL CALCOLO DEL FUOCO DELLA PARABOLA

Cominciamo a vedere qualche esempio così da capire come fare i vari calcoli.

 

ESERCIZIO 1

Calcolare il fuoco della parabola con vertice nell’origine y=2x².

I tre coefficienti della parabola sono: a=2 b=0 c=0. Possiamo così sostituirli nella formula:

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Come puoi notare tutti i fuochi di parabola con vertice nell’origine hanno la x pari a 0 e la y può essere semplificata. Possiamo così generalizzare e dire che in questi casi possiamo utilizzare, per il calcolo del fuoco, la formula:

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ESERCIZIO 2

Calcolare il fuoco della parabola di equazione y=-x²-2x+1/4

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Come puoi vedere abbiamo scomposto l’esercizio in due parti. Abbiamo prima calcolato l’ascissa del fuoco e poi l’ordinata. In questo modo ci siamo semplificato i calcoli e abbiamo tenuto il foglio di lavoro più pulito e ordinato.

 

ESERCIZIO 3

Trovare l’equazione della parabola avente il fuoco F(2;1) e il vertice V(2;-1)

Fino ad ora abbiamo visto i casi in cui data l’equazione, ci viene chiesto di trovare i fuochi della parabola. Ora siamo nel caso contrario. Dobbiamo calcolarne l’equazione, per cui abbiamo tre incognite y=ax²+bx+c=0, per cui abbiamo bisogno di tre dati. La traccia ci offre 4 coordinate (del fuoco e del vertice) di cui due uguali: ascissa di fuoco e vertice coincidono per cui i dati a disposizione sono 3.

Possiamo così scrivere un sistema di equazioni di primo grado:

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Vertice parabola

 – quali sono le formule da usare

 

DEFINIZIONE: Il vertice della parabola viene definito come il punto di intersezione tra la parabola stessa e l’asse di simmetria. Nel caso di parabola ad asse verticale, il vertice diventa anche punto di minimo o punto di massimo.

 

FORMULE PER IL VERTICE DELLA PARABOLA

Come abbiamo visto nella spiegazione dell’equazione della parabola, possiamo avere due differenti casi: la figura ha un asse di simmetria verticale oppure orizzontale. Ciascuno dei due casi, ha un’equazione rappresentativa differente. Le formule per calcolare il vertice della parabola ovviamente dipendono anche da questi casi.

 

FORMULE VERTICE PARABOLA CON ASSE DI SIMMETRIA VERTICALE (PARALLELO ALL’ASSE Y)

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Ricordiamo che in questo caso l’equazione della parabola è:

 

y=ax²+bx+c

 

OSSERVAZIONE: ti ricordi che nel programma di algebra hai già incontrato il binomio b²-4ac ? Era la formula del DELTA che si utilizzava per risolvere le equazioni di secondo grado. Infatti le coordinate del vertice della parabola possono anche essere espresse come:

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FORMULE VERTICE PARABOLA CON ASSE DI SIMMETRIA ORIZZONTALE (PARALLELO ALL’ASSE X)

In questo caso le coordinate del vertice si invertono:

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L’equazione della parabola è invece:

 

y=ax²+bx+c

 

L’osservazione fatta per il Δ continua a valere per cui, senza bisogno di ripeterci ulteriormente, possiamo dire che le coordinate del vertice di una parabola ad asse orizzontale possono essere scritte anche come:

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ESEMPI DI CALCOLO DEL VERTICE DELLA PARABOLA

Determinare il vertice della parabola di equazione:

ESERCIZIO 1

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Poiché a=1/2>0, la parabola presenta la concavità rivolta verso l’alto. L’equazione è del tipo y=ax² per cui il vertice della parabola coincide con l’origine degli assi e il suo asse di simmetria coincide con l’asse delle y.

 

V=(0;0)

 

ESERCIZIO 2

y=-x²+4

 

Si tratta sempre di una parabola con asse verticale, ma questa volta a=-1<0, per cui la concavità è rivolta verso il basso. Quest’ultima informazione non è rilevante per calcolare le coordinate del vertice della parabola. Una volta capita se la parabola ha asse orizzontale o verticale si può immediatamente calcolare il vertice.

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ESERCIZIO 3

y=2x²+4x-6

 

La figura ha asse di simmetria verticale. Passiamo subito al calcolo del vertice della parabola.

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CONSIDERAZIONI

Per determinare l’ordinata del vertice della parabola, in linea teorica, si può procedere in due modi:

1) si usa la formula classica già vista, ovvero -Δ/4a

2) poiché il vertice è un punto della parabola, dopo aver determinato la sua ascissa xv, nell’equazione della parabola si sostituisce ad x il valore di xv.

Il nostro consiglio è ovviamente di utilizzare la formula del vertice. Questo perché è vero che il secondo metodo può essere più immediato nei casi più semplici, ma usando sempre lo stesso metodo si impara prima a memoria la formula.

 

Equazione parabola nel piano cartesiano

 

DEFINIZIONE DI PARABOLA

La parabola per definizione è il luogo dei punto del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta fissa d detta direttrice.

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cioè considerato il generico punto P appartenente alla parabola, la sua distanza dalla retta direttrice è uguale alla sua distanza dal fuoco.

 

ALTRI PUNTI CARATTERISTICI E DEFINIZIONI

Vertice: è il punto di minimo o massimo dell’equazione della parabola. Può anche essere definito come l’intersezione tra la parabola stessa e il suo asse di simmetria.

Asse di simmetria: è la retta che divide la parabola in due parti uguali.

Fuoco: la sua distanza da un generico punto della parabola è uguale alla distanza dello stesso punto dalla direttrice.

Direttrice: la sua distanza da un generico punto della parabola è uguale alla distanza dello stesso punto dal fuoco.

 

EQUAZIONE PARABOLA PARALLELA ASSE Y

Y=AX2+BX+C

Se la parabola è rivolta verso l’alto allora a>0, se la parabola è rivolta verso il basso a<0.

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DIMOSTRAZIONE EQUAZIONE PARABOLA

Per scrivere l’equazione della parabola, si considera la direttrice parallela all’asse x. Per cui y=d è l’equazione della direttrice e F(p,q) il fuoco della parabola. Se P(x,y) è il suo generico punto, applicando la definizione di parabola, l’equazione si può dimostrare scrivendo:

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A questo punto si pongono i vari coefficienti di x2, x e termine noto pari ad a,b e c per ottenere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y.

 

Y=AX2+BX+C

 

CASI PARTICOLARI

Nel caso in cui b=c=0 e a=1, l’equazione della parabola diventa y=ax2+bx+c → y=ax2  che è la parabola con vertice nell’origine, asse di simmetria verticale e rivolta verso l’alto.

 

COME DISEGNARE UNA PARABOLA

Così come per disegnare una retta sono sufficienti 2 punti, per disegnare una parabola ne bastano 3. A partire dall’equazione della parabola y=ax2+bx+c, si può calcolare subito il vertice (per il quale passa verticalmente l’asse di simmetria) e poi un punto. Di questo punto si disegna la simmetrica rispetto all’asse. Congiungendo i 3 punti si ottiene la parabola. Vediamo un caso concreto.

 

ESEMPIO:

Rappresentare graficamente la parabola di equazione: y=2×2-5x-3

La parabola, che ha asse di simmetria verso verticale, è rivolta verso l’alto perché a=2>0. Possiamo così concentrarci sul calcolo delle coordinate del vertice.

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Calcolo a questo punto un generico punto appartenente alla parabola imponendo un valore a mia scelta alla x. Per esempio per x=0 (troverò così l’intersezione con l’asse y) y=2×2-5x-3 → y=-3 → Il punto è A(0;-3) che riportiamo nel piano cartesiano.

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L’asse di simmetria è verticale (perché a>0) e passa sempre per V quindi possiamo già disegnarlo (lo vedi tratteggiato in rosso in figura). Con un righello misuriamo la distanza dal punto A all’asse di simmetria (nell’immagine questa distanza è indicata in verde con la lettera d). Abbiamo ottenuto così il punto A’. Unendo i tre punti (AA’V) otterremo una parabola…

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Determinare l’equazione della parabola avente fuoco F(1;-2) e direttrice y=-4. Determina anche vertice e asse.

 

Risultato: y = x²/4 – x/2 – 11/4

 

Raggio della circonferenza

 – come si calcola? Quale formula bisogna usare?

 

COME SI TROVA IL RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA A PARTIRE DALL’EQUAZIONE

 

CASO 1

Il caso più semplice è quello in cui si ha a disposizione l’equazione:

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In questo caso per trovare il raggio di una circonferenza è sufficiente fare la radice quadrata del termine noto (cioè del numero) che si trova a destra dell’uguale. Vediamo un esempio pratico.

Determinare il raggio della circonferenza di equazione x²+y²=16

La formula si presenta con C=(α,β)=(0,0) e r²=16

Facendo la radice quadrata del termine noto a destra si ottiene la misura del raggio.

r=√16=4.

 

CASO 2

Il caso più frequente si ha quando l’equazione è quella generale:

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In questo caso il valore del raggio non è immediatamente riconoscibile, per cui bisogna utilizzare la formula:

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dove a, b e c sono i coefficienti presenti nell’equazione generica della circonferenza. Proviamo a mettere in pratica questa formula con un esercizio svolto.

Determinare il raggio della circonferenza di equazione x²+y²-2x+4y-20=0

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Per evitare errori stupidi, ti consigliamo di utilizzare le parentesi tonde e i quadrati in maniera corretta così come abbiamo fatto noi in questo esempio. In questo modo l’esercizio diventa molto più semplice e non rischi di sbagliare.

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ESERCIZI SUL CALCOLO DEL RAGGIO DI UNA CIRCONFERENZA

Esistono degli esercizi un po’ più complessi che sicuramente ti capiterà di affrontare. Per questa ragione ti invitiamo a risolverli assieme a noi, seguendo passo passo lo svolgimento fino ad arrivare alla soluzione.

 

ESERCIZIO 1

Determinare il raggio della circonferenza di diametro AB con A(-1:2) e B(3;8).

Ti ricordi che cos’è il diametro? E’ il segmento, passante per il centro, che unisce due punti differenti sulla circonferenza. Essendo il doppio del raggio, ci basta calcolare il diametro AB e poi dividere il risultato per 2. Per trovare il segmento AB usiamo la formula della distanza tra due punti.

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Da notare che nell’ultimo passaggio è stata svolta una razionalizzazione di radicali. A questo punto possiamo scrivere che r=AB/2

r=√13

 

ESERCIZIO 2

Calcolare il raggio della circonferenza di centro C(-1;2) e passante per A(3;8).

Ti ricordi la definizione di raggio? E’ il segmento che unisce il centro con un punto qualsiasi della circonferenza stessa. Per cui possiamo calcolare semplicemente la distanza tra i punti A e C per ottenere il raggio r.

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Fascio di rette proprio e improprio

 – con esercizi svolti

 

PREMESSA PER DISTINGUERE IL FASCIO PROPRIO E IMPROPRIO

Il punto proprio non è altro che il punto geometrico a cui siamo stati abituati sin dalla geometria elementare, per cui non ci dilunghiamo nella sua spiegazione. Il punto improprio per definizione è invece il punto che va all’infinito. Non lo vediamo sulla carte perché si trova in una posizione lontanissima, irraggiungibile. Le rette parallele le abbiamo definite come rette che non si incontrano mai. In realtà nei programmi universitari di disegno, si dice che esse in realtà si incontrano nel punto improprio. Per cui riepilogando:

 

il fascio di rette proprio → è un insieme di rette che hanno un unico punto in comune.

il fascio di rette improprio → è un insieme di rette parallele.

 

IL FASCIO DI RETTE PROPRIO

Il fascio proprio di rette per definizione è un insieme di rette che si intersecano in un unico punto proprio.

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Il punto in comune a tutte le rette C si chiama Centro del Fascio. Il fascio di rette proprio nel piano cartesiano si studia ricordando la formula di una retta passante per un punto e di coefficiente angolare dato.

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Infatti tutte le rette del fascio proprio passano per un punto ( il centro del fascio) e di variabile hanno solo l’inclinazione, che in geometria analitica si rappresenta con il coefficiente angolare m.

Esiste una diversa formula per il fascio proprio, che si basa sulle rette generatrici:

 

(ax+by+c)+k(a’x+b’y+c)=0.

 

Si tratta di una combinazione lineare delle rette generatrici e per trovare il centro basta mettere a sistema le rette delle equazioni del fascio proprio.

 

IL FASCIO DI RETTE IMPROPRIO

Per definizione il fascio di rette improprio è l’insieme di tutte le rette parallele ad una data retta data.

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Il coefficiente angolare m si suppone fisso, dato che tutte le rette del fascio improprio hanno la stessa inclinazione. Il termine noto q dell’equazione della retta deve necessariamente variare. L’equazione di un fascio di rette improprio è quindi:

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Una volta capito che cos’è un fascio improprio o un fascio proprio di rette e quali sono le equazioni che regolano le figure studiate, la parte teorica è praticamente finita. Vi mostriamo ora un paio di esercizi svolti piuttosto semplici…

 

FASCIO DI RETTE – ESERCIZI SVOLTI

 

Esercizio 1

Dato il fascio di rette improprie con retta base r:x+3y=0, troviamo l’equazione della retta del fascio passante per P(-2,-1).

Quello che ci sta chiedendo l’esercizio è di trovare il fascio di rette per un punto. Iniziamo calcolando il coefficiente angolare della retta:

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A questo punto posso scrivere già l’equazione del fascio improprio di rette. m infatti è fisso mentre q possiamo lasciarlo come lettera, dato che è variabile:

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Imponiamo ora l’appartenenza del punto P(-2:-1) al fascio improprio. Cioè sostituiamo le coordinate del punto nell’equazione del fascio.

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ESERCIZIO 2

Date le rette di equazione r:x+y+1=0 e s:2x-y=0, queste generano un fascio proprio. Determinare il centro del fascio.

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ESERCIZI DA SVOLGERE

Per assicurarvi di aver capito cosa sono i fasci di rette e come si svolgono gli esercizi, ecco qualche problema con cui potete esercitarvi.

 

1) Determina la retta del fascio improprio y=3x+q passante per il punto P(+1;-4)

2) Nel fascio y=-2x+q determina a retta r che dista 4raq5 dal punto P(-2;+1)

Suggerimento: ricordati come si calcola la distanza di un punto da una retta

3) Determina il centro del fascio proprio di rette di equazione:

(3k-1)x+2ky-k+5=0

Suggerimento: cerca di “manipolare” l’equazione che ti è stata fornita in modo da ottenere quella principale del fascio proprio con le due rette generatrici. Intersecale ed avrai il centro.

4) Scrivi l’equazione del fascio proprio di centro C(2;4)

 

Intersezione tra due rette

 – come trovare le coordinate del punto

 

CALCOLO DEL PUNTO DI INTERSEZIONE DI DUE RETTE

Il metodo risolutivo che stiamo per analizzare può essere applicato all’intersezione di due rette, ma è valido per qualsiasi tipo di curva, che sia una circonferenza, una parabola, un’ellisse… la tecnica non cambia.

Per trovare il punto di intersezione tra rette, è sufficiente impostare un sistema di equazioni composto dalle equazioni della retta. Quindi al primo rigo metteremo l’equazione della prima retta, al secondo rigo ci sarà l’equazione della seconda retta.

Vediamo di spiegare con un esempio. Immaginiamo di dover trovare l’intersezione tra le due rette y=mr · x+qr e y=mr · x+qr, ti basta andare a risolvere un sistema in cui in ogni riga andrai a scrivere le due equazioni. Quindi metterai una parentesi graffa e poi le equazioni delle due rette una sopra l’altra (non ha importanza quale scrivi in alto e quale in basso). Ti sarà tutto più chiaro vedendo gli esercizi che ti riportiamo di seguito, assieme al risolutore online…

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A questo punto la lezione vera e propria di geometria analitica è conclusa perché si passa ad un esercizio di algebra, cioè ad un sistema di primo grado da risolvere con uno dei metodi visti :

 

sostituzione (il più usato dagli studenti)

somma o differenza (il più rapido ma non sempre applicabile)

confronto e Cramer (meno utilizzati)

 

Vediamo dei casi pratici, così da vedere praticamente come si calcola il punto di intersezione.

 

ESERCIZI SULL’INTERSEZIONE TRA DUE RETTE

 

ESERCIZIO 1

Determinare le coordinate del punto di intersezione tra le due rette r:y=1/4x-1/2 e s:y=-x+5

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Come puoi vedere per risolvere il sistema è stato usato il metodo della sostituzione. Siamo arrivati rapidamente a trovare la soluzione dell’esercizio, calcolando le coordinate x ed y del punto di intersezione. Infine ti abbiamo incluso il grafico, che va sempre disegnato negli esercizi di geometria analitica.

 

ESERCIZIO 2

Tracciare il grafico delle due rette e il loro punto di intersezione. r:y=-1/3x+2/3, s:y=3x-1/2

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ESERCIZIO 3

Determinare l’intersezione tra le due rette nel piano cartesiano. r: -4x+4y-12=0 e s:2x-y+5=0

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In questo caso l’esercizio, o meglio il sistema algebrico tra le due equazioni, è stato risolto usando il metodo della somma. E’ stato cioè moltiplicata la seconda equazione per 2 (entrambi i membri) così da ottenere lo stesso coefficiente della x (ma in segno opposto). A questo punto è bastato sommare le due equazioni per arrivare rapidamente alla soluzione.

 

INTERSEZIONE TRA RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Ti ricordi quali caratteristiche hanno in geometria analitica le rette parallele e perpendicolari nel piano cartesiano? Dicemmo che nel primo caso le rette hanno stesso coefficiente angolare (Esempio: m1=m2=3), nel secondo caso l’inverso e con il segno cambiato (Esempio: m1=2, m2=-1/2).

Dal punto di vista teorico, la spiegazione è molto semplice: le rette perpendicolari si risolvono come tutte le altre, non hanno nessuna differenza. Mentre le rette parallele non si intersecano mai, per cui ci troveremo di fronte ad un sistema impossibile. Non ci credi? Guarda questo esempio…

Cerca di trovare il punto di intersezione tra due rette parallele: y=x+1 e y=x+4.

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In questo facile esempio abbiamo usato il metodo della sottrazione per risolvere il sistema che, di fatto, è impossibile! Cioè non esistono punti di intersezione tra le due rette.

 

Distanza punto retta

 – esercizi svolti e dimostrazione

 

Per distanza punto retta si intende la formula grazie alla quale è possibile calcolare la distanza di un punto da una retta in geometria analitica. Per poterla applicare sono necessari:

– le coordinate di un punto P

– l’equazione della retta r.

 

DEFINIZIONE

Ecco alcune definizioni che si trovano sui libri di testo. Puoi scegliere quella che ritieni più semplice.

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– La distanza punto retta è la misura del segmento che dal punto P cade perpendicolarmente sulla retta r.

– La distanza di un punto da una retta è la proiezione ortogonale del punto P sulla retta r.

– E’ la distanza minima tra il punto P e tutti i punti appartenenti alla retta r.

d(P,r)=min{d(P,R), con R∈r}

 

DISTANZA PUNTO RETTA FORMULA

In geometria analitica tutto ciò si traduce in una semplice formula. Dati quindi:

 

– un punto di coordinate P(xP,yP);

– l’equazione della retta implicita r: ax+by+c=0

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Quindi la distanza di un punto da una retta si calcola facendo il valore assoluto della somma dei prodotti delle coordinate dei punti per i coefficienti della retta, fratto la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti della retta.

 

ALCUNI SUGGERIMENTI

 

– assicurati che l’equazione della retta sia nella forma implicita (cioè al secondo membro devi avere 0). Se il problema dovesse darti la forma esplicita, ricordati di trasformarla in implicita prima di calcolare la distanza punto retta.

– il valore assoluto rende il numeratore positivo, per cui la misura della distanza sarà sempre un valore positivo. Se ci pensi è anche normale: come fanno due oggetti ad essere distanti tra loro ad esempio -100 metri?

 

DIMOSTRAZIONE

La dimostrazione della distanza di un punto da una retta non è particolarmente complessa, ma si basa su quanto già studiato in precedenza. In genere non viene richiesta a lezione, ma la riportiamo per completezza per chiunque voglia approfondire.

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Data la retta generica r:ax+by+c=0, dobbiamo calcolare la distanza dal punto P(x0,y0). Questo vuol dire che dovrà passare una retta perpendicolare alla retta r e passante per P. Nella scorsa lezione abbiamo parlato di retta passante per un punto e abbiamo studiato la formula y-y0=m(x-x0).

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Una volta individuata l’equazione della retta s perpendicolare a r e passante per P, occorre mettere a sistema le due rette e trovare il loro punto di intersezione T. Infine si calcolano la distanza tra i due punti P e T e la dimostrazione è conclusa.

 

ESERCIZI SVOLTI

 

ESERCIZIO 1

Calcolare la distanza punto-retta dove P(2,3) e r:x+y-1=0

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L’esercizio n.1 è abbastanza banale, basta sostituire i dati nella formula vista in alto e il problema è risolto. Nella parte finale, vi abbiamo ricordato come si fa a razionalizzare una radice quadrata. Se dovessero esserci problemi su questi calcoli, ti consigliamo di riguardarti la lezione sulle radici.

 

1) Calcolare la distanza di P(4,3) da r:y=2x-3 –> PROVA A RISOLVERLO COME ESERCIZIO PER CASA

 

SUGGERIMENTO: In questo secondo esercizio parti dall’equazione in forma esplicita della retta e trasformala in implicita. In questo modo ti riconduci al caso precedente, per cui abbiamo individuato la distanza punto-retta.

 

ESERCIZIO 2

Calcola la distanza del punto P(0;6) dalla retta che passa per i punti A(2,3) e B(1/2;1)

Quello che si può subito notare è che la traccia ci chiede di calcolare la distanza tra punto e retta, ma non ci fornisce direttamente quest’ultima. Sappiamo solo che la retta r passa per i punto A e B. Quindi la prima operazione è quella di utilizzare la retta passante per 2 punti.

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A questo punto, avendo calcolato la retta, possiamo utilizzare le conoscenze apprese oggi. In particolare:

140-FINE GEOM.ANAL. - 3

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