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Data 26 ottobre 2019

GEOMETRIA ANALITICA – 2

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Equazione della retta implicita ed esplicita

 

L’equazione della retta nel piano cartesiano rappresenta tutti i punti che appartengono alla generica retta r. In geometria analitica essa si descrive attraverso un’equazione di primo grado con le incognite x e y

Primi di vedere qual è l’equazione generale della retta, facciamo un breve ripasso su questo ente geometrico fondamentale che si studia anche nelle scuole primarie. Che cos’è la retta? E’ un insieme infinito di infiniti punti allineati.

La formula della retta può essere scritta in due diversi modi, cioè in due forme che permettono di risolvere ogni tipo di esercizio o problema. Stiamo parlando della forma esplicita ed implicita. Sono perfettamente equivalenti e spetterà poi a te decidere quale utilizzare. Ecco le due equazioni della retta.

44-INIZIO GEOME.ANALI. - 2

EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA IMPLICITA

ax+by+c=0

 

Ti ricordiamo che le incognite sono x e y, mentre a,b e c sono dei coefficienti numerici che individuano in maniera precisa ed univoca la posizione nel piano cartesiano della retta. Possiamo a questo punto distinguere 3 casi:

Se a=0, l’equazione della retta diventa

by+c=0 → y=-b/c

 

Anche by+c è un’equazione di primo grado, per cui rappresenta anch’essa la formula di una retta. Tuttavia manca l’incognita x. In questo caso abbiamo una retta che mantiene la sua y sempre costante, cioè pari a -b/c. Si tratta quindi dell’equazione di una retta orizzontale.

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PROMEMORIA: quando quindi trovi una retta a cui manca la x e che si presenta nella forma y=k, dove k può essere un numero qualsiasi, anche una frazione o una radice, allora hai una retta orizzontale.

 

Se b=0, l’equazione della retta implicita diventa:

ax+c=0 → x=-c/a

 

Ho quindi un’equazione di primo grado con un’unica incognita, la x che è costante e pari a -c/a. Se la x deve restare sempre uguale, vuol dire che ho una retta verticale.

Quando quindi ho una formula con x=numero vuol dire che sto parlando di una retta verticale.

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PROMEMORIA: quando trovi una retta a cui manca la y e si presenta nella forma x=k, dove k è un qualsiasi numero, allora hai una retta verticale, cioè parallela all’asse delle y.

 

Se c=0, l’equazione della retta implicita diventa:

ax+by=0

 

Che rappresenta l’equazione della retta passante per l’origine degli assi (di qualsiasi inclinazione)

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Se tutti i coefficienti della retta sono diversi da zero, allora ho semplicemente l’equazione della retta generica espressa in forma implicita

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EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA ESPLICITA

La forma più utilizzata per esprimere l’equazione della retta generica è attraverso l’uso della forma esplicita. E’ la più usata perché, vedremo, permette già subito di capire in maniera approssimativa come sarà il grafico. L’equazione della retta esplicita è:

 

y=mx+q

 

dove m è il coefficiente angolare della retta, q è l’intercetta sull’asse delle ordinate o termine noto.

 

CHE COS’È IL COEFFICIENTE ANGOLARE M?

Il coefficiente angolare di una retta indica semplicemente la sua inclinazione. Se il coefficiente angolare è positivo allora la retta tenderà all’infinito al primo e terzo quadrante. Se m<0, allora la retta sarà inclinata in modo che all’infinito si troverà nel secondo e quarto quadrante.

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Il termine noto, o intercetta sull’asse delle ordinate, invece, molto semplicemente mi dice a quale ordinata la retta si interseca con l’asse y. Nell’ultima immagine possiamo vedere che in entrambe le rette (sia per coefficiente angolare negativo che positivo) il termine noto è q, cioè l’ordinata del punto di intersezione tra retta e asse y.

 

QUANDO UN PUNTO APPARTIENE AD UNA RETTA?

Si tratta di una verifica che si rende talvolta necessaria nello svolgimento degli esercizi. Verificare se il punto appartiene alla retta (o a una qualsiasi figura) è semplicissimo: è sufficiente andare a sostituire le coordinate del punto all’interno della formula della figura e verificare che il primo membro sia uguale al secondo membro.

Verificare che il punto 0(0;0) appartiene alla retta y=4x. Sostituisco x=0 e y=0 (cioè le coordinate dei punti) all’interno della formula della retta, per ottenere zero uguale a zero. Se i membri non fossero stati uguali, allora il punto non sarebbe appartenuto alla retta.

 

EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

Per prima cosa verifichiamo che i due punti non abbiano stessa ascissa o stessa ordinata. Nel primo caso infatti avremmo una semplice retta verticale (di equazione y=l’ascissa in comune), nel secondo caso una retta orizzontale (di equazione x=ordinata in comune).

Imponiamo il passaggio dei due punti (A e B) per la retta generica di equazione y=mx+q. Sostituiamo la x e la y di  A nell’equazione della retta generica y=mx+q. Faccio la stessa cosa con il punto B ed ottengo così due equazioni dove le incognite sono m e q. Risolvo con un sistema di equazioni di primo grado e ottengo il risultato. Vediamo con un esempio: troviamo l’equazione della retta passante per due punti A(0;0) B(1,2)

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COME DISEGNARE UNA RETTA DATA L’EQUAZIONE

Il nostro consiglio è di trasformare l’equazione della retta sempre in forma implicita, cioè y=mx+q. Una volta arrivati a questo punto ci costruiamo un piccolo schemino in cui andiamo ad assegnare due valori a nostra scelta alla x, calcolando la y di conseguenza. Otterremo così due punti, basta disegnarli, congiungerli e otteniamo quindi la retta.

Vediamo con un esempio pratico, come muoverci. Disegnare la retta di equazione y=3x-2.

 

 – Assegno un primo valore arbitrario alla x. Ad esempio x=0. Lo sostituisco nell’equazione della retta: y=3x-2=0-2=-2. Ho ottenuto il punto di coordinate (0;-2)

– Assegno un secondo valore arbitrario alla x. Ad esempio x=1. Lo sostituisco nell’equazione della retta data: y=3x-2=1. Ho ottenuto il secondo punto di coordinate (1;1)

– Disegno la retta sul piano cartesiano.

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Il metodo è valido per l’equazione della retta in forma implicita ed esplicita.

 

ESERCIZI SULL’EQUAZIONE DELLA RETTA

ESERCIZIO 1

Scrivere l’equazione del luogo dei punti di ascissa -9

Svolgimento

Quando trovi una traccia con questo tipo di richiesta, vuol dire che dobbiamo trovare l’equazione di una retta in cui tutte le y siano pari a -9. Tradotto in linguaggio matematico, questo significa che y=-9. Questa è l’equazione di una retta orizzontale che si trova sotto l’asse delle ascisse. Dato che non ci viene richiesto il grafico, l’esercizio è concluso.

 

ESERCIZIO 2

Determiniamo l’equazione delle retta passante per due punti A(2,3) B(0;4)

Svolgimento

Non avendo ancora studiato l’equazione della retta per due punti, usiamo il metodo visto sopra. Cioè sostituiamo prima il punto A nella formula della retta e poi il punto B. Iniziamo subito.

y=mx+q

A(2;3) → 2m+q=3

B(0;4) → 0x+q=4 → q=4

Sostituiamo il valore di q trovato nella prima equazione come se fosse un normale sistema di primo grado per ottenere così:

q=4

2m+4=3 → 2m=-1 → m=-1/2

Per cui l’equazione della retta è: y=-1/2 m + 4.

 

 ESERCIZIO 3

Scriviamo l’equazione della retta r passante per O(0,0) e A(+2,-3) e verifichiamo che il punto B(1,1) non vi appartiene e il punto C(-4,+6) vi appartiene.

Svolgimento

La prima parte dell’esercizio è identica alla precedente. Per cui risolviamo subito:

y=mx+q

0(0;0) → 0=0m+q → q=0

A(+2;-3) → 2m+q=3

Sostituisco il valore di q, per ottenere:

2m+0=3 → m=3/2

L’equazione della retta per i due punti è:

y=3/2 x

 

Dobbiamo verificare ora l’appartenenza del punto B(1;1) e C(-4;+6) alla retta. Sostituiamo le sue coordinate nella formula della retta appena trovata e vediamo se ci esce un’identità o meno.

y=3/2x

B(1;1) → 1=3/2(1) → Impossibile, il punto non appartiene alla retta.

C(-4;+6) → 6=3/2 (4) → 6=6 E’ un’identita, il punto appartiene alla retta.

 

ESERCIZIO 4

Determiniamo il coefficiente angolare della retta s:-6x+2y+3=0

Svolgimento

Per calcolare il coefficiente angolare m di una retta, è necessario passare da forma implicita a esplicita. Per farlo basta isolare la y al primo membro dell’equazione.

-6x+2y+3=0

2y=6x-3

y=3x-3/2

Il coefficiente angolare è m=3.

 

Punto medio di un segmento

 – formula ed esercizi nel piano cartesiano

 

Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in due parti uguali. In geometria analitica esiste una formula molto semplice che permette di calcolare le coordinate del punto medio nel piano cartesiano, noti i due estremi del segmento.

 

DEFINIZIONE DI PUNTO MEDIO

Dato un segmento di estremi A e B, si definisce punto medio del segmento, quel punto M che divide il segmento in due parti uguali.

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La definizione vista si applica non solo allo spazio bidimensionale (cioè al piano cartesiano), ma anche allo spazio tridimensionale.

ATTENZIONE: è sbagliato parlare di punto medio di una retta. Quest’ultima è infatti un ente geometrico di infinite dimensione per cui è impossibile trovarne la metà. Si parla invece di punto medio del segmento, proprio perché quest’ultimo ha una dimensione finita e compresa tra due punti (detti estremi)

 

FORMULA DEL PUNTO MEDIO NEL PIANO CARTESIANO

Siano date le coordinate degli estremi del segmento A(xA; yA) e B(xB ; yB) ci sono due semplici formule che permettono di calcolare le coordinate del punto medio M(xM; yM).

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Per calcolare il punto medio tra due punti è sufficiente cioè fare la media delle ascisse e delle ordinate. Anche per questa ragione su alcuni vecchi libri di testo M è indicato come punto mediano.

In base alla formula vista possiamo dire quindi che:

 

– l’ascissa del punto medio è pari alla semisomma delle ascisse dei due estremi;

– l’ordinata del punto medio è pari alla semisomma delle ordinate dei due estremi.

 

FORMULE INVERSE

Se è noto un estremo e il punto medio del segmento, è possibile calcolare il secondo estremo applicando la formula inversa. Per trovare ad esempio il punto B:

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ESERCIZI SVOLTI

Abbiamo capito come si calcola il punto medio o meglio quali sono le formule da usare. Vediamo ora nella pratica come si risolve un problema di geometria che richiede il calcolo di M.

 

ESERCIZIO 1

Calcolare il punto medio del segmento AB dove le coordinate del punto sono A(1;2) B(3;6).

Per risolvere questo facile problema semplicemente applichiamo le formule viste in questa lezione. Otteniamo quindi il punto M:

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ESERCIZIO 2

Noti i due estremi di un segmento A e B con le coordinate riportate sotto, determinare il punto medio.

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ESERCIZI DA RISOLVERE

Ora prova tu a risolvere i seguenti esercizi ricordandoti la lezione sulla distanza tra due punti. Determina la distanza e il punto medio tra le seguenti coppie di punti:

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Le formule sulla circonferenza

 – la tabella riepilogativa completa

 

Riassumiamo in questa pagina tutte le principali formule sulla circonferenza, da quelle utilizzate nella geometria piana e che si studiano anche alle scuole medie, sino a quelle più avanzate di geometria analitica per gli studenti delle scuole superiori.

Nella figura che segue ti abbiamo disegnato una circonferenza: le formule e le lettere saranno tutte riferite a questa prima immagine.

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CIRCONFERENZA FORMULE GEOMETRIA PIANA

Le formule che seguono sono quelle base per calcolare la circonferenza, l’area del cerchio, la misura del raggio o del diametro. Vengono studiate già nelle scuole inferiori.

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CIRCONFERENZA FORMULE – GEOMETRIA ANALITICA

Abbiamo già visto qual è e come si ricava l’equazione della circonferenza generica nella forma canonica. La ripetiamo in questa lezione riepilogativa:

 

x²+y²+ax+by+c=0

 

FORMULA PER CALCOLARE LA CIRCONFERENZA NOTO IL RAGGIO E CENTRO

(x-α)²+(y-β)²=r²

 

dove alfa e beta sono le coordinate cartesiane del centro C(α;β). Attenzione a non confondere queste due coordinate con a,b e c che sono invece i tre coefficienti della circonferenza espressa nella forma canonica.

Da questa equazione è facile calcolare la formula della circonferenza con centro nell’origine.

 

x²+y²=r²

 

Da notare che quando il raggio è 1, cioè quando si parla di raggio unitario, si ha quella che viene chiamata circonferenza goniometrica.

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Tutte quelle che abbiamo visto fino ad ora sono le formule della circonferenza che si trovano generalmente su tutti i libri di testo. Quelle che ti mostriamo di seguito sono invece delle formule che si ricavano dall’esperienza e che possono essere utilizzate in tantissimi problemi di geometria analitica.

 

FORMULA PER CALCOLARE IL RAGGIO NOTO IL CENTRO E UN PUNTO DELLA CIRCONFERENZA

In questo caso semplicemente si sfrutta la definizione di circonferenza: è il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro. Poiché quindi il raggio si tiene costante, semplicemente basta calcolare la distanza tra due punti.

Dato il centro C(α;β) e un punto della circonferenza P(xP,yP), il raggio si calcola con la formula:

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FORMULA DELLA CIRCONFERENZA PER 3 PUNTI

In questo caso si impone l’appartenenza di ogni singolo punto alla circonferenza. Come? Si sostituiscono le sue coordinate al posto della x e della y nella formula della circonferenza. Visto che sono 3 punti, ci saranno 3 equazioni in 3 incognite (a, b e c). Si ottiene quindi un sistema di equazioni di primo grado.

 

Dati quindi tre punti generici P1(xP1;yP1), P2(xP2;yP2) e P3(xP3;yP3), il sistema che si va a costruire è:

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CONCLUSIONI

Nello svolgimento degli esercizi, ti renderai conto che non sempre la circonferenza ha formule precise da usare, ma spesso si tratta di metodi di calcolo. E’ il caso ad esempio degli esercizi sulle tangenti alla circonferenza.

 

L’equazione della circonferenza in geometria analitica

 

L’equazione della circonferenza in geometria analitica può essere espressa in due diversi modi. Per determinarla in maniera univoca servono necessariamente 3 dati, perché proprio 3 sono le incognite di questa equazione. In questa lezione vedremo tutto quello che c’è da sapere sulla formula dell’equazione della circonferenza. Metteremo infine in pratica quanto appreso attraverso degli esempi svolti e degli esercizi commentati e con soluzione.

Ovviamente prima di partire con la formula della circonferenza, è necessario fare un brevissimo richiamo su questa figura geometrica. Dagli studi delle scuole inferiori è noto che, per definizione:

La circonferenza per definizione è il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro.

Questo significa che tutti i punti della circonferenza hanno la stessa distanza dal centro e tale distanza si chiama raggio. Il centro e il raggio sono proprio i due punti più importanti di questa figura anche in geometria analitica.

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dove:

 

α, β sono le coordinate del centro C;

r è il raggio della circonferenza;

a, b, c sono tre coefficienti che influenza posizione e dimensione della circonferenza.

 

QUALE EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA BISOGNA USARE?

Generalmente la prima equazione viene usata quando si conoscono il centro e il raggio. La seconda equazione si usa invece in tutti gli altri casi, come per esempio l’appartenenza di un punto alla circonferenza, la condizione di tangenza con una retta o un’altra qualsiasi curva…

 

LE FORMULE PER TROVARE RAGGIO E CENTRO

Mentre nella prima equazione il centro e il raggio si trovano anche a occhio visto che sono esplicitati, nell’equazione generale della circonferenza servono le due seguenti formule:

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Con le ultime due formule puoi calcolare centro e raggio qualsiasi sia l’equazione generica della circonferenza. Ti saranno quindi molto utili nello svolgimento degli esercizi.

 

DIMOSTRAZIONE DELL’EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

Abbiamo detto che la distanza di un generico punto P di coordinate generiche x e y dal centro C di coordinate α e ß (alfa e beta) deve essere pari al raggio. Quindi i nostri dati sono:

 

P(x;y) – punto generico che appartiene alla circonferenza

C(α;ß) – centro della circonferenza

r – raggio della circonferenza

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Quella che vedi è l’equazione circonferenza generale, formula molto importante da ricordare e da cui poi ricavare raggio e centro grazie alla tabella che stai per vedere.

 

EQUAZIONE CIRCONFERENZA, CARATTERISTICHE

Una domanda che spesso crea problemi agli studenti è come riconoscere l’equazione della circonferenza? Cioè come si fa a stabilire se un’equazione rappresenta una circonferenza oppure un’altra generica curva? Le condizioni che devono verificarsi sono le seguenti:

 

– l’equazione è di 2° grado, sia nell’incognita x che y

PROBLEMA DI VERIFICA: prova a calcolare il raggio della circonferenza. Se è uguale a 0 oppure minore di 0, certamente non si tratta di una circonferenza! (utilizza questo criterio in tutti gli esercizi in cui ti viene chiesto di verificare se una determinata equazione è una circonferenza)

– Infine guarda i coefficienti dei termini di secondo grado. Devono essere uguali, altrimenti potresti essere di fronte all’equazione dell’iperbole o dell’ellisse.

 

A questo punto analizziamo assieme quelli che sono i casi più ricorrenti e le difficoltà più frequenti nel risolvere gli esercizi sulla circonferenza.

 

ESERCIZI SULL’EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA

ESERCIZIO 1

Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(0;0) e r=2.

 

(x-α)²+(y-β)²=r²

C=(α;β)=(0;0)

r=2

(x-0)²+(y-0)²=2²

x²+y²=4

 

ESERCIZIO 2

Determinare l’equazione della circonferenza di centro C(0;3) e raggio=2.

 

(x-α)²+(y-β)²=r²

C=(α;β)=(0;3)

r=2

(x-0)²+(y-3)²=2²

x²+y²-6y+9=4 → Portiamo tutti i termini noti al primo membro

x²+y²-6y+9-4=0

x²+y²-6y+5=0

 

ESERCIZIO 3

Stabiliamo quali delle seguenti equazioni rappresentano una circonferenza e in caso affermativo determinare centro e raggio.

 

a) x²+y²-2x+3y+4=0

 

Verifica 1: i coefficienti dei termini di secondo grado sono uguali.

Verifica 2: verificare che il raggio sia maggiore di 0.

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r=√(1+9/4-4) <0 NON E’ UNA CIRCONFERENZA

 

b) x²+y²+√2x-4y-5=0

 

Verifica 1: anche in questo caso i coefficienti di x² e y² sono identici (cioè pari a 1)

Verifica 2: il raggio deve essere maggiore di zero.

 

a²/4 + b²/4 – c = 1/2 +4 + 5 = 19/2 >0 → L’equazione rappresenta una circonferenza

Il centro è: C(-a/2;-b/2)=(-√2/2;2)

Il raggio è: r=√(19/2)=(√38)/2

 

Nell’ultimo passaggio è stata eseguita una razionalizzazione dei radicali.

 

c) x²+y²-2x-6y+10=0

 

Poiché a²/4 + b²/4 – c = 1 + 9 – 10 = 0, l’equazione è soddisfatta unicamente da x=1 e y=3. In poche parole significa che la circonferenza di raggio 0 non è altro che un punto. Per cui  NON è una circonferenza.

 

ESERCIZIO 4

Determiniamo per quali valori di k, l’equazione x²+y²+2x-6y+k=0 rappresenta una circonferenza.

Deve essere  a²/4 + b²/4 – c >0

Quindi:

1-9-k>0

E’ una disequazione di primo grado molto facile da risolvere.

k<10

 

Trovare l’equazione della circonferenza per tre punti

 

L’equazione della circonferenza per tre punti si determina andando a creare una sistema di tre equazioni di primo grado in tre incognite. Su ogni riga del sistema andremo a sostituire le coordinate del singolo punto nell’equazione della circonferenza.

In questa lezione vedremo come impostare e risolvere i problemi sul calcolo della circonferenza passante per tre punti, analizzando sia il metodo grafico (meno utilizzato perché meno preciso) e quello generalmente usato in geometria analitica.

 

I METODI USATI

Quando ti viene assegnato a scuola o a casa un esercizio dal titolo: Calcolare la circonferenza passante per tre punti e ti vengono date le coordinate di questi ultimi, allora puoi decidere di scegliere due diversi metodi:

 

– Il metodo grafico o geometrico

– Il metodo algebrico o analitico

 

METODO ANALITICO

Il metodo algebrico è molto più facile dal punto di vista concettuale, non servono molti ragionamenti se non quello di imporre la condizione di appartenenza del punto alla figura. Per cui si sostituiscono, in tre diverse equqzioni le coordinate di ciascuno dei punti al posto della x e della y nell’equazione generale della circonferenza.

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Si ottiene così un sistema di tre equazioni in tre incognite (a,b e c) che si può risolvere con il metodo di sostituzione oppure con somma/differenza.

Come puoi vedere dal punto di vista concettuale il metodo è molto sbrigativo, ma attenzione a non fare errori nello svolgimento del sistema. Basta un solo errore di segno e non si riuscirà mai a trovare una soluzione all’esercizio.

 

METODO GRAFICO E GEOMETRICO

E’ meno usato rispetto al primo metodo perché necessità di molti più passaggi, di ragionamento e della conoscenza di un teorema:

Considerato un triangolo inscritto in una circonferenza, il punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo è il centro della circonferenza.

 

Si ricorda che l’asse di un segmento è perpendicolare a questo e passa per il suo punto medio. Possiamo quindi suddividere questo esercizio in vari step:

 

1) Si mettono i tre punti dati dalla traccia sul grafico, cioè sugli assi cartesiani.

2) Si uniscono i tre punti per disegnare il triangolo inscritto alla circonferenza da calcolare.

3) Si calcolano le rette corrispondenti ai tre lati – quindi si usa la formula della retta passante per 2 punti. In realtà bastano due rette per il calcolo.

4) Per i due lati calcolo il punto medio.

5) Di questi due lati, individuo la retta passante per il punto medio e di coefficiente angolare noto (si usa la m perpendicolare al lato).

6) Si intersecano le due rette appena determinate ed abbiamo trovato il centro della circonferenza per 3 punti.

7) Si fa la distanza dal centro con uno qualsiasi dei tre punti ed abbiamo il raggio.

8) Noti il raggio e il centro si può calcolare l’equazione della circonferenza per 3 punti.

 

Come hai potuto vedere si tratta di un metodo un po’ laborioso, cioè servono 9 passaggi per risolverlo ma i calcoli sono molto semplici da risolvere rispetto al metodo algebrico che vedremo dopo. Per renderti tutto più semplice, ti abbiamo proposto in basso alcuni esercizi svolti sul calcolo della circonferenza per tre punti.

 

ESERCIZI SVOLTI ED ESEMPI

Ti proponiamo ora un primo esempio in cui mettere in pratica i metodi che abbiamo appena visto. Risolveremo questo esercizio, cioè, sia con il metodo grafico e che con quello algebrico. Vediamo subito la traccia:

Determinare l’equazione della circonferenza passante per tre punti P1(2, 2), P2(3, 3), P3(6, 0) .

 

SVOLGIMENTO CON IL METODO ANALITICO

Con questo metodo si fanno più calcoli, ma certamente riusciamo a calcolare l’equazione della circonferenza per tre punti in maniera più facile, ma attenzione a non fare errori di calcolo.

Iniziamo imponendo l’appartenenza di P1, P2 e P3 alla circonferenza, scrivendo 3 diverse equazioni da mettere a sistema.

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*Il sistema è stato risolto con il metodo della somma e della differenza. Per far in modo che i coefficienti di a e b potessero essere sottratti tra loro abbiamo moltiplicato la prima riga per 3 e la seconda riga per 2. In questo modo si ottengono 6a e 6b in entrambe le equazioni che possono a questo punto essere sottratte.

Ti sarai accorto che i risultati sono differenti, ma se provi ad eseguire una scomposizione di polinomi, noterai che il risultato è identico.

 

SVOLGIMENTO CON IL METODO GEOMETRICO

La prima cosa da fare è disegnare sul grafico i tre punti ed unirli formando un triangolo.

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Invece di ragionare su tutti e tre i lati, mi occupo solo di due di loro. Basterà infatti mettere a sistema le equazioni dei loro due assi per ottenere il centro della circonferenza passante per i 3 punti dati. Dato che l’asse di un segmento è la retta che passa per il punto medio, inizio calcolando i punti medi dei lati P1-P2 e P1-P3. Avresti potuto scegliere anche il lato P2-P3, non sarebbe cambiato nulla.

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L’asse del segmento, inoltre, è perpendicolare ai lati. Ricordando la definizione di rette parallele e perpendicolari, per calcolare gli assi dei due lati che sto considerando ho bisogno delle equazioni delle loro rette. A quel punto mi basterà considerare il coefficiente angolare, cambiarlo di segno e “capovolgerlo”, cioè elevarlo a -1, per ottenere la m dell’asse del lato.

Uso allo scopo la formula della retta per 2 punti:

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A questo punto mi basta utilizzare la formula della retta passante per 1 punto e coefficiente angolare noto. Avrò ottenuto così gli assi dei segmenti, cioè gli assi dei lati del triangolo inscritto alla circonferenza passante per 3 punti.

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Per calcolare infine il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo, cioè della circonferenza per 3 punti, mi basta calcolare la distanza dal centro da uno qualsiasi dei punti dati dalla traccia.

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TRACCE ED ESERCIZI DA RISOLVERE

Puoi continuare ora ad esercitarti con le tracce che ti proponiamo di seguito.

A(0;2), B(2;4), C(1;0)

A(0;0), B(6;0), C(0;3)

A(1;2), B(0;-1), C(-1;+1)

 

Coordinate Cartesiane e assi cartesiani

 – esercizi e teoria

 

Gli assi cartesiani sono due rette orientate che vanno a definire il piano di lavoro in geometria analitica. E’ proprio sul piano cartesiano che vengono definiti gli enti geometrici fondamentali come punto e retta attraverso l’individuazione di quelle che vengono definite coordinate cartesiane.

Gli assi cartesiani rappresentano il sistema di riferimento senza il quale non potremmo disegnare neanche un punto. Ci permettono l’individuazione nello spazio delle figure geometriche ed è proprio grazie al piano cartesiano che si individua una corrispondenza biunivoca tra gli oggetti della realtà e quelli disegnati sul tuo foglio di lavoro.

Detto in poche parole, grazie al piano cartesiano puoi disegnare le figure geometriche che altrimenti non riusciresti mai a posizionare senza alcun riferimento.

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Questo significa che fissando un numero sulla retta orientata, andando nel verso della freccia si va verso numeri maggiori. Andando dall’altro senso si va verso numeri minori. Così come puoi vedere in immagine:

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Consideriamo ora due rette orientate che si intersecano perpendicolarmente nel punto O, detto origine degli assi cartesiani. In questo sistema di riferimento orientato vengono indicate con:

 

x l’asse delle ascisse

y l’asse delle ordinate

 

ASSI CARTESIANI E QUADRANTI

Come puoi vedere dalla figura in alto, siamo partiti considerando solo i valori positivi delle ascisse e delle ordinate. In realtà, volendo disegnare gli assi cartesiani completi, andremo a disegnare anche le zone negative.

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Le rette orientate così individuate mi dividono il foglio di lavoro, più in generale possiamo dire che dividono il piano, in 4 aree, chiamate quadranti del piano cartesiano. Partendo dal primo in alto a destra e muovendoci in senso antiorario, abbiamo I quadrante, II quadrante, III quadrante e IV quadrante. Ognuno di questi si caratterizza per avere dei valori, o meglio dei segni differenti per il sistema ascissa e ordinata.

 

– Il primo quadrante sugli assi cartesiani è formato interamente da coppie di coordinate cartesiane positive. Qui infatti sia la x che la y sono positive.

(+ ; +)

– Sul secondo quadrante invece disegneremo tutti i punti con ascisse negativa e ordinata positiva.

( – ; + )

– Sul terzo quadrante individueremo solo coordinate cartesiane negative, sia le ascisse che le ordinate ( – ; – ).

– Sul quarto quadrante invece le ascisse saranno positive e le ordinate negative ( + ; – )

 

COORDINATE CARTESIANE DI UN PUNTO

Sul grafico in alto abbiamo individuato un generico punto P, le cui coordinate si indicano tra parentesi con un punto e virgola. La prima è la coordinata l‘ascissa x, cioè Px, mentre la seconda coordinata è l’ordinata y, cioè Py.

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Per disegnare un punto sugli assi cartesiani in geometria analitica, sono sufficienti quindi due coordinate cartesiane, la x e la y, quindi l’ascissa e l’ordinata. La prima la posizioneremo sulla retta orizzontale, cioè sull’asse delle ascisse, mentre la seconda coordinata cartesiana la individueremo sulla retta verticale, cioè sull’asse delle ordinate.

 

ESERCIZI SUGLI ASSI CARTESIANI

DISEGNARE IL PUNTO PARTENDO DALLE COORDINATE CARTESIANE

Come esercizio di questa breve lezione iniziale proveremo a posizionare alcuni punti sugli assi cartesiani:

 

A(+1,-3)

 

Come detto in precedenza, in base al punto, consideriamo le due coordinate cartesiane.

 

Ascissa= +1

Ordinata= -3

 

Quindi mi sposto di “un passo” a destra e tre verso il basso. Dato infatti che la y è negativa, invece di andare verso l’alto sulla retta orientata delle ordinate, mi muoverò verso il basso. Ottengo così il punto come in figura:

80-

Qualsiasi siano i numeri delle ascisse e delle ordinate del punto, che siano interi, numeri relativi, radicali, eccetera, il concetto non cambia. L’ascissa va collocata sull’asse orizzontale, l’ordinata sull’asse verticale.

 

PIANO CARTESIANO, ESERCIZI DA SVOLGERE

Puoi provare tu stesso a disegnare i seguenti punti:

B (-3;-2)      C (+5;0)      D (-1;+1)      E (+3;-3)

 

Baricentro del triangolo

 – che cos’è e come si calcola?

 

Il baricentro del triangolo è il punto di intersezione delle tre mediane. Per poterlo disegnare è sufficiente disegnare la mediana relativa ad ogni lato e il loro punto in comune viene chiamato baricentro.

 

CHE COS’È IL BARICENTRO DI UN TRIANGOLO

Ne abbiamo già dato una definizione: è il punto di intersezione delle mediane del triangolo. Ti ricordi che cos’è la mediana? E’ il segmento che congiunge un vertice con il punto medio del lato opposto. Proviamo quindi a disegnare il baricentro di un triangolo scaleno acutangolo.

81-

Dato il generico triangolo ABC, abbiamo disegnato le mediane relative ad ogni lato. Dalla loro intersezione si ottiene il punto H, baricentro del triangolo.

 

CARATTERISTICHE E PROPRIETÀ DEL BARICENTRO

Ti ricordi che l’ortocentro e il circocentro potevano essere anche esterni alla figura? Per il baricentro dei triangoli, ciò non può accadere per cui la prima proprietà di questo punto è:

 

– il baricentro del triangolo è un punto sempre compreso nel perimetro della figura;

– il baricentro divide ogni mediana in due parti. Quella che contiene il vertice è il doppio dell’altra.

82-

In base alla proprietà appena vista, possiamo dire che AH=2HM2.

– il baricentro di un triangolo equilatero coincide con l’ortocentro e con il circocentro.

 

IL BARICENTRO DEL TRIANGOLO IN GEOMETRIA ANALITICA

Questa seconda parte della lezione è dedicata agli studenti delle scuole superiori che stanno studiando geometria analitica. Esiste una formula che, dati i vertici del triangolo, permette di calcolare il baricentro in pochi semplici passaggi.

83-

dove A, B e C sono i tre vertici del triangolo di cui sono note le coordinate cartesiane.

Per calcolare le coordinate del baricentro del triangolo bisogna quindi:

 

– fare la media aritmetica delle ascisse dei tre vertici. Cioè si sommano le tre x e si fa il risultato diviso 3. In questo modo si ottiene l’ascissa del baricentro.

– fare la media aritmetica delle ordinate dei tre vertici. Cioè si sommano le tre y e si fa il risultato diviso 3. In questo modo si ottiene invece l’ordinata del baricentro.

 

ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI

ESERCIZIO 1

Dato il triangolo di vertici A(6;0) B(2;2) e C(7;7), calcolare le coordinate del baricentro G.

Applichiamo subito la formula appena vista. Possiamo così scrivere che:

 

xG=(6+2+7)/3=15/3=5

yG=(0+2+7)/3=9/3=3

G(5;3)

 

ESERCIZIO 2

Dato il triangolo con baricentro G(5;3) e noti due vertici A(6;0) e B(2;2), determinare il terzo vertice C.

Si tratta dello stesso esercizio visto prima ma questa volta bisogna fare il procedimento al contrario. Cioè dovremo usare la formula inversa del baricentro per trovare uno dei vertici. Riscriviamo così la formula come l’abbiamo vista prima, esplicitando tutti i dati forniti dalla traccia e lasciando le coordinate di C come incognita.

 

xG=(xA+xB+xC)/3 → 5=(6+2+x)/3 → 15=6+2+x → x=15-6-2

xC=7

yG=(yA+yB+yC)/3 → 3=(0+2+y)/3 → 9=2+y

yC=7

C(7;7).

 

CONCLUSIONI

Il calcolo del baricentro di un triangolo in geometria analitica è una delle operazioni più semplici di tutto il programma. Proprio per questo troverai ben pochi esercizi che te lo richiederanno. Tuttavia è utile da sapere e da ricordare qualora dovesse servire.

 

Esercizi sulla parabola

 – un’esercitazione completa svolta, commentata passo passo e con risultati

 

ESERCIZI PARABOLA  PER 3 PUNTI

Calcolare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y e passante per i punti A(-1;0), B(0;3) e C(-3;6).

Svolgimento

La parabola deve avere equazione del tipo:

y=ax²+bx+c

 

A questo punto bisogna imporre l’appartenenza di ogni singolo punto alla parabola. Come si fa? Semplicemente sostituendo le coordinate di ogni singolo punto nell’equazione generale appena indicata. Quindi, indicando con la lettera greca γ (gamma) la parabola, possiamo scrivere che:

 

A(-1;0) γ → 0=a(-1)²+b(-1)+c → 0=a-b+c

B(0;3) γ → 3=a(0)²+b(0)+c → c=3

C(-3;6) γ → 6=a(-3)²+b(-3)+c → 6=9a-3b+c

 

Abbiamo praticamente ottenuto un sistema di primo grado con tre equazioni. Possiamo risolvere con il metodo della sostituzione, ma se preferiamo anche con somma o differenza, o Cramer.

 

a=b-3

c=3

2=3(b-3)-b+1

 

a=2

c=3

b=5

 

Per cui il risultato finale diventa:

y=2x²+5x+3

 

ESERCIZI PARABOLA NOTI IL FUOCO E LA DIRETTRICE

Scriviamo l’equazione della parabola avente fuoco F(-1;0) e direttrice d:y=2.

L’esercizio può essere risolto in due modi differenti.

 

1) Costruiamo un sistema di primo grado, come nell’esercizio sulla parabola svolto prima. Su un rigo mettiamo xf=-b/2a=-1, sul secondo rigo mettiamo yf=0=(-Δ+1)/4a e nel terzo rigo usiamo l’equazione della direttrice. d:y=(-Δ-1)/4a=2

2) Il secondo metodo invece è più rapido e sfrutta direttamente la definizione di parabola, intesa come il luogo dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice.

 

Risolviamo con proprio con il secondo metodo indicando con P(x,y) il generico punto della parabola. Disegniamo i dati a disposizione ricordando che se la direttrice è una retta orizzontale (come in questo caso), allora la parabola ha asse parallelo alle y.

84-

Da notare che il segmento PH non è altro che la distanza punto retta a P fino a d:y=2. PF invece si calcola con la formula della distanza tra due punti. Visto che nella formula della distanza c’è una radice quadrata, eleviamo entrambi al quadrato.

 

PH²=PF²

(y-2)² = (x+1)²+y²

y²-4y+4=x²+2x+1+y²

-4y=x²+2x- 3

y=(-1/4) x² – 1/2 x + 3/4

 

ESERCIZI PARABOLA NOTI FUOCO E VERTICE

Determiniamo l’equazione della parabola avente il fuoco F(2;1) e il vertice V(2;-1).

Questo esercizio sulla parabola si può risolvere in due modi.

 

1) Il vertice si trova nel punto medio del segmento FH perpendicolare alla direttrice. Perciò la direttrice ha equazione y=-3. Noti il fuoco e la direttrice possiamo procedere come nell’esercizio svolto precedente. Lasciamo a te la risoluzione come esercitazione.

2) Scriviamo un sistema utilizzando le formule relative alla coordinate del fuoco e del vertice. Indicata con y=ax²+bx+c l’equazione della parabola richiesta, si ha:

85-

Sottraiamo membro a membro la seconda e la terza equazione, per ottenere dopo pochi subito l’incognita a e poi di conseguenza tutte le altre.

86-

ESERCIZI PARABOLA NOTI VERTICE E DIRETTRICE

Determiniamo l’equazione della parabola avente vertice V(0;3) e direttrice d:x=1/4.

La parabola ha equazione del tipo x=ay²+by+c. Infatti la direttrice è parallela all’asse y, per cui l’asse di simmetria sarà orizzontale. Scriviamo quindi un sistema utilizzando i dati messi a disposizione dalla traccia, così come fatto negli esercizi svolti precedenti.

 

-b/2a=3

(4ac-b²)/4a=0

4ac-36a²-1=a

 

b=-6a

c=9a

a=-1

 

a=-1

b=6

c=-9

 

Perciò l’equazione richiesta è x=-y²+6y-9

 

ESERCIZI PARABOLA PASSANTE PER 1 PUNTO E NOTO IL FUOCO

Determiniamo l’equazione della parabola avente asse parallelo all’asse y, fuoco F(-1/4;-1) e passante per il punto P(0;-1).

L’equazione della parabola è del tipo:

y=ax²+bx+c

Poiché F(-1/4;-1), possiamo scrivere un sistema di due incognite con le formule delle sue coordinate:

 

xF=-1/4=-b/2a

yF=-1=(4ac-b²+1)/4a

 

b=1/2a

c=(1/4 a² – 1 – 4a) / 4a

 

Sostituiamo i valori di b e c, espressi in funzione di a, nell’equazione della parabola:

87-

Come puoi osservare dal risultato, abbiamo ottenuto due valori del coefficiente a. Questo vuol dire che ci sono due parabole che soddisfano il sistema.

 

γ1: y=-2x²-x-1

γ2: y=2x²+x-1

 

ESERCIZIO PARABOLA CON IL PARAMETRO K

Data la parabola di equazione

y = kx² + (k+1)x – 2

determiniamo per quali valori di k:

 

1) la parabola passa per P(1;2)

2) il suo vertice appartiene alla retta y=x+1

3) il suo vertice ha ascissa positiva

4) il suo vertice si trova nel terzo quadrante

 

SVOLGIMENTO

Primo punto

Le coordinate del punto P devono soddisfare l’equazione della parabola. Perciò sostituiamo le sue coordinate al posto della x e della y dell’equazione dataci dalla traccia dell’esercizio.

2=k+k+1-2

2k=3

k=3/2

 

Secondo punto

Le coordinate del vertice in funzione di k sono:

88-

Da notare che nel penultimo passaggio abbiamo ottenuto un’equazione di secondo grado, risolta con il metodo del delta.

 

Punto terzo

L’ascissa del vertice è xv=-[(k+1)/2k], perciò deve essere valida la disequazione.

-[(k+1)/2k]>0

(k+1)/2k<0

Si ottiene un falso sistema con:

 

k+1>0 → k>-1

2k>0 → k>0

 

Si mette tutto su un piccolo grafico applicando la regola dei segni + – e si prendono i segni negativi.

-1<k<0

 

Punto quarto

Le coordinate del vertice devono essere entrambe negative, perciò, poiché

89-

Abbiamo quindi semplicemente cambiato i segni e invertito i versi della disequazione.

 

– La prima disequazione è verificata, facendo un breve falso sistema, per -1<k U k>0;

– La seconda disequazione:

N>0 → k²+10k+1>0 → k<-5-2√6 U k>-5+2√6

D>0 → k>0

Si tratta di una disequazione fratta, per cui dopo il falso sistema si mette sul grafico e si prendono valori positivi.

90-

Mettiamo a questo punto a sistema le due disequazioni, osservando il seguente schema.

91-FINE GEOM.ANAL. - 2

Per cui il sistema è verificato per:

-5-2√6<k<-1 U k>0.

 

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