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Data 25 ottobre 2019

GEOMETRIA ANALITICA – 1

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La geometria analitica è una branca della matematica che si occupa dello studio delle figure geometriche nel piano cartesiano.

 

Retta passante per due punti

 – formula ed esercizi svolti

 

EQUAZIONE RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

Vediamo subito come trovare l’equazione di una retta che passa per due punti A e B di cui sono note le coordinate.

1-INIZIO GEOME.ANALI. - 1

dove i due punti sono A(xA, yA) e B(xB, yB).

 

OSSERVAZIONI E CONSIGLI

E’ possibile osservare che l’equazione è formata da un’uguaglianza tra due frazioni. Il primo termine al numeratore del primo e del secondo membro è senza pedice.

La y e la x che vedi senza il pedice vanno lasciate sotto forma di lettera

Questo perché x e y sono le variabili dell’equazione della retta y=mx+q finale che otterremo.

La formula della retta passante per due punti vista ora, è valida solo quando xA è diverso da xB e quando yA è diverso da yB. In parole povere non si può applicare nel caso in cui si abbia un retta orizzontale o una retta verticale.

 

RETTA PER DUE PUNTI ORIZZONTALE/VERTICALE

Retta verticale: x=k → nel caso in cui i due punti abbiano stessa ascissa. L’equazione della retta sarà l’ascissa stessa che hanno in comune.

 

Esempio:

Calcolare l’equazione della retta che passa per i punti A(3;2) e B(3;0)

Svolgimento: In questo caso l’equazione della retta sarà x=3.

Retta orizzontale: y=k → nel caso in cui siano uguali le ordinate dei due punti, allora l’equazione della retta sarà y uguale all’ordinata stessa.

 

Esempio:

Calcolare la retta passante per i due punti A(0;1) B(5,1)

Svolgimento: in questo caso l’equazione sarà invece y=1.

 

DIMOSTRAZIONE FORMULA RETTA PER 2 PUNTI

Poiché la retta passa per i due punti A e B, vuol dire che questi due appartengono alla retta. Imponiamo dal punto di vista matematico questa appartenenza, andando a sostituire in due equazioni separate le coordinate di A e B nell’equazione della retta esplicita.

 

y=mx+q

 

# Sostituisco le coordinate di A: yA=m·xA+q

# Sostituisco le coordinate di B: yB=m·xB+q

 

Dato che la retta passa per i due punti contemporaneamente, vuol dire che ho un sistema di primo grado che posso risolvere con la tecnica della sottrazione per trovare le incognite m e q.

 

yA=m·xA+q   –

yB=m·xB+q  =

____________

(yB-yA) = m (xB-xA)

 

Posso ricavare la prima incognita m, ovvero il coefficiente angolare della retta passante per due punti:

2-

A questo punto posso sostituire in una delle due equazioni del sistema:

3-

Nell’ultimo passaggio abbiamo semplicemente diviso tutta l’equazione per yB-yA. A questo punto mettiamo in evidenza la parentesi tonda al secondo membro. In questo modo otteniamo la formula della retta per due punti.

4-

ESERCIZI SVOLTI

Abbiamo capito, anche grazie alla dimostrazione l’equazione di una retta passante per 2 punti. Ora proviamo a svolgere assieme qualche esercizio guida.

 

ESERCIZIO 1

Trovare l’equazione della retta passante per 2 punti A(-5;0) e B(3;2).

Svolgimento

Applichiamo semplicemente la formula vista.

5-

L’esercizio si è dimostrato molto semplice. Unica attenzione al doppio segno al secondo membro.

 

ESERCIZIO 2

Calcolare l’equazione della retta per due punti A(0;0) e B(1/2, -3).

Svolgimento

Anche in questo caso è sufficiente andare a sostituire i numeri. Attenzione alla doppia frazione al secondo membro.

6-

CONCLUSIONI

Abbiamo visto che per trovare le rette per due punti servono sostanzialmente solo le coordinate dei punti stessi. Si tratta di un calcolo semplice su cui, però, bisogna fare attenzione ai segni.

 

Coefficiente angolare di una retta

 – come si calcola? Formule ed esercizi

 

Il coefficiente angolare si indica in genere con la lettera m ed esprime la pendenza della retta, ovvero la sua inclinazione rispetto all’asse delle ascisse.

Il coefficiente angolare, in geometria analitica, lo si ritrova nell’equazione della retta y=mx+q e si calcola in vari modi. In questa lezione vedremo in maniera semplice (ma completa) tutto quello che c’è da sapere sui coefficienti angolari: dalla relazione con l’angolo dell’inclinazione della retta alle formule per calcolarlo.

 

CHE COS’È IL COEFFICIENTE ANGOLARE?

Definizione: il coefficiente angolare di una retta indica la pendenza di quest’ultima.

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Ti ricordi l’equazione e la definizione di retta? Il coefficiente angolare è quel numero (compreso di segno) che trovi davanti la x. Facciamo un esempio:

 

y=-2x+3

 

Il coefficiente angolare è -2. Da notare che abbiamo incluso il segno meno e non la x, che è invece la variabile dell’equazione della retta.

NOTA: se davanti la x non vedi numeri, vuol dire che è sottinteso 1.

 

COME SI CALCOLA IL COEFFICIENTE ANGOLARE?

CON LA RETTA IN FORMA ESPLICITA

In questo caso hai l’equazione nella forma y=mx+q. Il calcolo del coefficiente angolare è estremamente semplice, visto che ti basta prendere il segno e il numero che trovi prima della x. Esattamente come nell’esempio precedente.

 

CON LA RETTA IN FORMA IMPLICITA

In questo caso l’equazione è nella forma ax+by+c=0. La tecnica di calcolo più semplice ed immediata è di trasformare l’equazione nella forma esplicita e seguire la regola vista prima.

Se vuoi una formula diretta, puoi utilizzare:

 

ax+by+c=0 → m = -a/b

 

Ovviamente il termine b deve essere diverso da 0 altrimenti ci ritroviamo di fronte ad un’equazione differente e che rappresenta invece una retta verticale (ax+c=0)

 

COEFFICIENTE ANGOLARE E PENDENZA DELLA RETTA

Abbiamo detto che il coefficiente m di una retta è strettamente legato alla sua pendenza. Che relazione c’è però con l’angolo che si forma con l’asse delle ascisse?

In realtà il coefficiente angolare non rappresenta l’angolo, bensì la sua tangente. Cioè, in riferimento alla figura vista sopra:

 

m= tg α

 

Quindi possiamo dire brevemente che il coefficiente angolare è la tangente dell’angolo α.

 

PROPRIETÀ E VALORI NOTI

 

– Il coefficiente angolare è negativo se la retta è una funzione decrescente, cioè se è inclinata verso il basso.

– E’ nullo se si tratta di una retta orizzontale.

– Se la retta è verticale, il valore m non esiste. Per chi ha studiato analisi si può dire che m=∞.

– La bisettrice del primo e terzo quadrante ha m=1.

– La bisettrice del secondo e quarto quadrante ha m=-1.

 

COEFFICIENTE ANGOLARE DI RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

Visto che le rette parallele hanno stessa inclinazione, allora hanno anche lo stesso coefficiente angolare. Le rette perpendicolari sono ruotate di 90° l’una rispetto all’altra. Per questa ragione la m1=-1/m2.

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Il fascio improprio di rette è un’estensione del concetto di parallelismo. Visto che il fascio è formato interamente da rette parallele, allora l’equazione del fascio avrà un unico valore di m. Ciò che varia è invece l’intercetta all’origine.

 

COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA PER 2 PUNTI

Nel caso in cui la traccia ci fornisca le coordinate di due punti A e B, è possibile individuare il coefficiente della retta che passa per A e per B.

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ESERCIZI CON IL CALCOLO COEFFICIENTE ANGOLARE

ESERCIZIO 1

Determinare il coefficiente angolare della retta di equazione -2x+5y+3=0

Svolgimento

Come detto in precedenza, per evitare di imparare altre formule a memoria, conviene trasformare l’equazione della retta da implicita e esplicita. Per cui:

-2x+5y+3=0 → 5y=2x-3

y= 2/5 x – 3

m= 2/5

 

ESERCIZIO 2

Calcolare il coefficiente angolare della retta passante per A(2;5) e B(-3;0).

Svolgimento

In questo caso o utilizziamo la formula vista in precedenza, o quella generica di retta per due punti.

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Distanza tra due punti

 – la formula completa e semplificata con degli esercizi svolti

 

La distanza tra due punti A e B è il segmento AB che li congiunge. Su alcuni testi viene definita come la distanza più breve per passare da un punto all’altro.

 

FORMULA DISTANZA TRA DUE PUNTI

La formula generale

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Quella che ti abbiamo appena mostrato è la formula della distanza tra due punti generici A(xA,yA) B(xB, yB) che si può applicare in qualsiasi circostanza e con qualsiasi tipo di punti.

Tuttavia ci sono alcuni casi che ci permettono di semplificare tantissimo i calcoli.

 

DISTANZA TRA DUE PUNTI AVENTI STESSA ASCISSA

Immaginiamo di avere i due punti che hanno stessa ascissa (e quindi sono disposti lungo una retta verticale). La formula per il calcolo della della distanza tra due punti è:

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E’ sufficiente cioè fare la differenza tra le ordinate. Non è importante quale io consideri A e quale B. Il risultato sarà lo stesso.

 

DISTANZA TRA DUE PUNTI AVENTI STESSA ORDINATA

La formula per calcolare la distanza tra due punti aventi stessa ordinata è:

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E’ sufficiente cioè fare la differenza tra le ascisse. Anche in questo caso non importa quale punto sia nella formula A e quale B, il risultato sarà lo stesso.

 

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA GENERALE

Proviamo a vedere un caso concreto per la dimostrazione. Abbiamo i punti A(-5;3) e B(1;1). Il segmento AB, che nel disegno è indicato con la lettera c minuscola, è la distanza tra due punti che dobbiamo calcolare.

Si può notare, tracciando ascisse e ordinate dei due punti in modo tratteggiato che si genera un triangolo rettangolo di lati a, b, c. Dove:

 

# il lato a si ottiene attraverso la sottrazione yA-yB

# il lato b si ottiene attraverso la sottrazione xA-xB

# il lato c è l’ipotenusa del triangolo rettangolo (e anche la distanza tra due punti)

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La formula per la distanza tra due punti è particolarmente semplice. Basta fissare i due punti dati dalla traccia come A e B e sostituire le rispettive coordinate nella formula vista. SI otterrà un numero, non meravigliamoci se sotto radice, che sarà la lunghezza del segmento.

 

DISTANZA TRA DUE PUNTI, ESERCIZI SVOLTI

ESERCIZIO 1

Calcoliamo la distanza tra due punti nel piano cartesiano della seguente coppia: A(1;2) e B(1;-3/2)

Poiché i due punti hanno la stessa ascissa (x=1), allora posso applicare la formula per calcolare la distanza tra due punti aventi stessa ascissa.

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ESERCIZIO 2:

Proviamo ora a calcolare la distanza tra i due punti nel piano cartesiano:

E(-1;+1)   F(+2:+3)

Non avendo alcuna coordinata uguale, devo applicare la generica formula per il calcolare la distanza tra due punti. Per cui posso scrivere:

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ESERCIZI DA RISOLVERE

Calcolare la distanza tra le seguenti coppie di punti:

 

A(-1;+2)  B(-1;+4)

C(+5;+4)  D(√2;+4)

E(+1/2;+1)  F(+2;+3/2)

 

Si tratta di un argomento estremamente semplice per cui non è necessario dilungarsi con tanti esercizi. Si può passare direttamente al calcolo del punto medio tra due punti.

 

Circonferenze concentriche

 – definizioni, formule avanzate ed esercizi

 

CIRCONFERENZE CONCENTRICHE DEFINIZIONE

Due circonferenze sono concentriche quando hanno lo stesso centro.

Quindi per disegnare due circonferenze concentriche basta puntare il compasso nello stesso centro e semplicemente modificarne l’apertura.

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PROPRIETÀ E CARATTERISTICHE

La porzione di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche si chiama corona circolare (l’area in giallo nel disegno sotto).

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Se le due circonferenze, oltre ad avere lo stesso centro, hanno anche lo stesso raggio si dicono concentriche e congruenti. Sul significato di quest’ultima parola ti rimandiamo alla lezione sui lati congruenti.

Le circonferenze congruenti sono un caso particolare di circonferenze interne.

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Come puoi vedere nella figura due circonferenze concentriche sono necessariamente interne, ma non è vero il contrario. Cioè due figure interne non necessariamente sono concentriche. In quest’ultimo caso, se c’è un punto in comune, allora si hanno due circonferenze tangenti.

 

ALCUNI SPUNTI AVANZATI DI GEOMETRIA ANALITICA

Ti ricordi qual è l’equazione della circonferenza in geometria analitica?

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Al variare del parametro k varia il raggio, mentre il centro resta sempre lo stesso.

Esempio

Calcolare l’equazione del fascio di circonferenze concentriche con centro nell’origine.

Svolgimento

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Area del cerchio

– come si calcola? Ecco le formule da usare

 

QUAL È L’AREA DEL CERCHIO?

Per definizione è la superficie racchiusa all’interno della circonferenza. Su altri libri di testo troverai anche scritto che l’area del cerchio è la porzione di piano delimitata da una circonferenza.

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Anche per questa ragione su alcuni libri di matematica si parla di area della circonferenza, anche se in maniera impropria.

 

PROPRIETÀ

Tutti i punti che appartengono al cerchio hanno distanza con il centro minore o uguale al raggio.

 

AREA CERCHIO FORMULA

Di seguito sono elencate tutte le formule per calcolare l’area del cerchio. Data una circonferenza di lunghezza C, raggio r, diametro d, valgono le seguenti relazioni.

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Per quanto riguarda il valore di pi greco, generalmente è possibile approssimare a 3,14.

 

AREA DEL CERCHIO COL RAGGIO

E’ la formula più facile e che consigliamo di memorizzare. Per calcolare l’area della circonferenza è sufficiente moltiplicare il raggio al quadrato per 3,14, cioè per pi greco.

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Esempio

Calcolare l’area di un cerchio che ha un raggio che misura 10 cm.

Svolgimento

Basta semplicemente applicare la formula della superficie del cerchio.

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AREA DEL CERCHIO DATO IL DIAMETRO

E’ molto utile quando nei problemi viene data la misura del diametro. Tuttavia, piuttosto che imparare una seconda formula a memoria, è più rapido dividere la sua lunghezza per 2, così da ottenere il raggio ed usare la prima formula.

Ad ogni modo per trovare l’area di un cerchio noto il diametro basta elevarne la misura al quadrato, moltiplicare per 3,14 e poi dividere per 4.

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Esempio

Calcolare l’area del cerchio di diametro pari a 10 cm.

Svolgimento

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AREA DEL CERCHIO DATA LA CIRCONFERENZA

In questo caso conviene utilizzare la formula inversa della circonferenza, così da calcolare il raggio. Di seguito si può ricavare così la misura della superficie del cerchio.

In alternativa si può usare la formula diretta:

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Esempio

Calcolare l’area della circonferenza che misura 100 cm.

Svolgimento

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CONCLUSIONI

abbiamo visto come, per il calcolo dell’area del cerchio, esistano 3 diverse formule. Non è importante però impararle tutte a memoria, basta ricordarne la prima.

 

Come disegnare una retta nel piano cartesiano

 

Come disegnare rette sul piano cartesiano partendo dall’equazione y=mx+q. L’argomento è estremamente pratico e ti aiuterà a capire come si fa la rappresentazione grafica di una retta.

Vedremo un metodo molto semplice che ti aiuterà a capire come si disegna una retta nel piano cartesiano semplicemente individuando due punti che vi appartengono

 

COME SI DISEGNA UNA RETTA DATA L’EQUAZIONE

Partiamo dall’equazione della retta y=mx+q. Dalla geometria elementare sappiamo che per due punti passa una e una sola retta. Questo significa che per disegnare il grafico servono due punti. Ma quali? E’ molto facile: si costruisce una piccola tabella, assegnando un valore arbitrario alla x e calcolando la y di conseguenza.

Quindi, riepilogando, la x puoi sceglierla tu: quindi in genere ti conviene pensare assegnarle dei valori semplici (come 0 o 1) e calcolare la y di conseguenza.

 

Esempio:

y=2x+1

 

– Assegnando x=0, posso ricavare y=1 e questo sarà il primo punto.

– Assegnando x=1, allora y=3, ottengo il secondo punto.

 

Date le coordinate del punto sul piano cartesiano, mi basta disegnarli e unirli. Vediamo quindi passo passo come disegnare una retta nel piano cartesiano:

 

– Data l’equazione esplicita della retta

– Si disegna una tabella a forma di croce in cui nell’angolo in alto a sinistra metto x, a destra metto y

– Assegno un primo valore a mia scelta alla x

– Calcolo la y, andando a sostituire il valore dato alla x nell’equazione della retta

– Ho così trovato il primo punto

– Assegno un secondo valore alla x

– Calcolo la y, andando a sostituire di nuovo il valore dato alla x all’interno della formula della retta

– Ho così trovato il secondo punto

– Unisco i due punti e ho disegnato la retta

 

SUGGERIMENTI, CONSIGLI E PICCOLI TRUCCHI DEL MESTIERE

Ti abbiamo consigliato di partire dall’equazione della retta esplicita perché in questo modo hai la possibilità di vedere sin da subito due parametri importanti: m e q. Certamente non puoi disegnare la pendenza di una retta (ricordati che m, cioè la pendenza, è la tangente dell’angolo che la retta forma con l’asse delle x). Questo parametro ti è però utile perché:

 

– se m è positivo la retta parte in basso a sinistra e va verso l’alto a destra, cioè è crescente.

– se m è negativo vuol dire che la retta è decrescente.

– se m=1 allora la retta è inclinata a 45 gradi (o π/4 espresso in radianti).

– se m= 0 allora ho una retta orizzontale

 

Se invece il parametro q è uguale a 0, ricordati che la retta deve essere passante per l’origine.

 

ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI

Esercizio 1Disegnare una retta di equazione y=1/2x-1

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In questo primo esercizio abbiamo direttamente la pendenza m=1/2 e l’intercetta sull’asse delle y, cioè q=-1. Avendo l’equazione già in forma esplicita possiamo disegnare direttamente la tabella. Come valori arbitrari alla x abbiamo assegnato 0 e 2 calcolando di conseguenza i valori della y.

 

Esercizio 2Disegnare una retta di equazione y=5x-9

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Questo ultimo esercizio si risolve esattamente come il precedente. Assegno due valori arbitrari alla x (in questo caso 0 e 1 per semplicità) e calcolo di la y con l’equazione della retta. Disegno i due punti, li unisco ed ottengo la retta.

 

DOVE E COME APPLICARE IL METODO STUDIATO

Il metodo che abbiamo visto può essere utilizzato, utilizzando le opportune formule, per:

 

– disegnare una retta dati due punti generici –> Formula: retta passante per due punti

– disegnare una coppia di rette parallele –> Formula: Le rette parallele nel piano cartesiano

– disegnare una retta conoscendo il coefficiente angolare e un punto – Formula da usare: retta passante per un punto e coefficiente angolare noto

 

Ellisse formule ed equazioni

 – il formulario completo

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ALCUNI APPROFONDIMENTI SULLE FORMULE DELL’ELLISSE

Così come la circonferenza, la formula dell’ellisse è di tipo quadratico. Entrambe le incognite compaiono con l’esponente 2, ma a differenza della circonferenza hanno un coefficiente diverso. Inoltre non sono presenti termini di primo grado o termini misti come xy, per cui la figura è sempre simmetrica rispetto ai suoi due assi perpendicolari.

 

Altra caratteristica in comune con la circonferenza è che la formula dell’ellisse canonica è un’equazione che non rappresenta una funzione. Ti ricordi la definizione di funzione? … ad ogni valore di x si associa uno e un solo valore di y. Se provi a guardare il grafico dell’ellisse e tiri una linea verticale all’interno della figura, ti renderai conto che ci sono due punti di intersezione. Cioè per un valore di x ci sono due valori di y differenti, per cui l’equazione dell’ellisse non è una funzione.

 

Le formule dell’ellisse sono diverse a seconda che i fuochi si trovino sull’asse delle x o su quello delle y. Nel primo caso la figura avrà un’estensione orizzontale all’interno del piano cartesiano. Nel secondo caso sarà disposta in modo verticale, cioè con l’asse maggiore parallelo all’asse delle ordinate.

La figura ha 4 vertici che corrispondono alle intersezioni con gli assi, simmetrici tra loro rispetto proprio rispetto agli assi.

Per quanto riguarda infine l’eccentricità dell’ellisse, è questo un parametro che misura lo schiacciamento della figura geometrica rispetto agli assi. Più l’eccentricità è bassa e più la figura tende a schiacciarsi. I due casi estremi sono:

 

e=0 → l’eccentricità è nulla, per cui l’ellisse degenera in un segmento.

e=1 → l’eccentricità è massima, per cui l’ellisse degenera in una circonferenza.

 

FORMULE ELLISSE TRASLATA

Data l’ellisse γ, applichiamo a questa la traslazione di vettore v(x0;y0), otteniamo la figura:

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La nuova curva γ0 è un’ellisse avente il centro O'(x0;y0) e assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani e di equazioni rispettivamente x=x0 e y=y0. La formula dell’ellisse traslata è l’equazione:

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Eccentricità ellisse

 – che cos’è e come si misura?

 

DEFINIZIONE DI ECCENTRICITÀ ELLISSE

L’eccentricità dell’ellisse è un parametro utile a capire quanto questa figura geometrica sia schiacciata sul suo asse maggiore. Matematicamente si calcola facendo il rapporto tra la distanza tra i due fuochi e la lunghezza dell’asse maggiore.

Nella lezione riepilogativa sull’ellisse, abbiamo detto che l’equazione canonica è:

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dove:

 

a = semilunghezza dell’asse maggiore

b = semilunghezza dell’asse minore

 

Abbiamo anche visto che se a>b abbiamo un ellisse con asse maggiore coincidente con l’asse delle y. Se b<a, coincide invece con l’asse delle x. Per ciascuno di questi due casi, l’eccentricità e si calcola con una formula differente.

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Maggiore è l’eccentricità dell’ellisse e più questa tenderà ad “allargarsi”, cioè a schiacciarsi sul suo asse principale. I casi limite sono due:

 

e=1 → in questo caso l’eccentricità è massima, cioè c=a. L’ellisse si trasforma in una circonferenza.

e=0 → l’eccentricità dell’ellisse è minima, per cui la figura si schiaccia così tanto da trasformarsi in un segmento.

 

ECCENTRICITÀ ELLISSE AD ASSE VERTICALE

In questo secondo e ultimo caso vale esattamente quanto detto nel caso precedente. L’unica cosa che cambia è la formula per calcolare l’eccentricità dell’ellisse. Questa volta al denominatore ci sarà il coefficiente b.

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ESERCIZI SULL’ECCENTRICITÀ DELL’ELLISSE

PROBLEMA 1

Calcolare l’eccentricità dell’ellisse la cui equazione nel piano cartesiano è:

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Svolgimento

Con i dati a disposizione possiamo dire che a²=9 e b²=4. Per cui possiamo calcolare subito a=3 e b=2. Per determinare l’eccentricità abbiamo bisogno anche del coefficiente c.

 

c = √(a²-b²) = √(9-4) = √5

Per cui l’eccentricità dell’ellisse vale:

e=c/a= √5/3

 

PROBLEMA 2

Calcolare l’eccentricità dell’ellisse la cui equazione nel piano cartesiano è:

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Svolgimento

Attenzione a non lasciarti trarre in inganno dall’equazione dell’ellisse che ci viene fornita dalla traccia. Sappiamo che nell’equazione canonica ci sono dei denominatori sia alla x e che alla y. Per cui è necessario trasformare la seguente equazione in:

43-FINE GEOMETR.ANAL. - 1

A questo punto possiamo calcolare i parametri a e b dell’ellisse. In particolare, poiché sotto la variabile x non c’è nulla, si assume che sia sottintenso 1. Per cui a=1. Sotto la variabile y c’è invece 1/25, per cui il parametro b=1/5. Possiamo così calcolare c con la solita formula:

c = √(a²-b²) = √(1-1/25) = √(24/25)

Abbiamo la radice di 24. Ti ricordi le regole delle radici? √24 = 2√6

c = 2√6/5

Possiamo infine calcolare l’eccentricità dell’ellisse:

e=c/a= 2√6/5

 

CONCLUSIONI

Riepilogando quando visto in questa lezione: l’eccentricità è un parametro che misura lo schiacciamento dell’ellisse rispetto al suo asse maggiore. Ci sono due formule molto simili da seguire a seconda che i fuochi siano sull’asse x o sull’asse y. Gli esercizi sono molto semplici, l’importante è risolvere usando le formule viste passo passo.

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