Equazioni Trinomie
– esercizi svolti con soluzioni
EQUAZIONI TRINOMIE: DEFINIZIONE E SPIEGAZIONE
Prima di iniziare ad esercitarci con esempi di equazioni, facciamo un riepilogo su quanto abbiamo già detto nelle precedenti lezioni. Le equazioni trinomie sono composte da tre monomi, così come le equazioni binomie sono composte da due elementi. Possono essere semplici equazioni di secondo grado del tipo:
Questi sono gli esercizi più facili, dato che vanno risolte con il delta come normali equazioni di secondo grado e di cui oggi non parleremo avendone già ampiamente discusso nelle precedenti lezioni (eventualmente qui trovi gli Esercizi sulle Equazioni di Secondo Grado).
Diventa più difficile la situazione quando invece ci troviamo ad equazioni trinomie di grado superiore al secondo. Si tratta di equazioni riconducibili ai casi più semplici attraverso semplici trasformazioni. Vediamo come si risolvono le più frequenti che puoi incontrare durante le verifiche o i compiti in classe.
Esercizio svolto 1-
Il primo degli esercizi sulle equazioni trinomie da risolvere ha una particolarità. Non hai notato nulla di strano? Tutti i monomi hanno la x, per cui è possibile fare il raccoglimento a fattore comune.
Ho trovato così due fattori che si moltiplicano al primo membro, mentre a secondo membro c’è lo zero. Uso la regola in figura, cioè ogni fattore va posto uguale a 0.
L’equazione trinomia si è così divisa in due parti, la prima mia da soluzione immediata, cioè x=0, mentre l’altra è un’equazione di secondo grado che posso risolvere con la formula normale o ridotta. In questo caso poiché il secondo termine dell’esercizio (-3) non è pari non posso usare la formula ridotta.
Ottengo in definitiva 3 soluzioni, dato che il grado del polinomio era proprio 3.
Esercizio svolto 2-
Il secondo esercizio sulle equazioni trinomie non ha nulla di più difficile rispetto al caso precedente, ma l’80% degli studenti tende a sbagliarlo magari preso dalla fretta. L’errore più comune qui è di andare ad eseguire la moltiplicazione tra i polinomi. In questo modo si ottiene un’equazione di terzo grado che poi dovremo risolvere necessariamente con il metodo di Ruffini.
Invece di prendere questa strada lunga in questo caso, avendo un prodotto tra due polinomi al primo membro e lo zero al secondo membro, posso dividere l’esercizio in due come fatto nell’esempio 1.
Anche in questo caso l’esercizio ha 3 soluzioni dato che si tratta di un’equazione trinomia di terzo grado.
Esercizio Svolto 3-
Il terzo esempio sulle equazioni trinomie si risolve esattamente come nel caso precedente. Scompongo il problema principale in tanti problemi più semplici. In questo caso mi trovo tre esercizi sulle equazioni binomie:
Attenzione alla seconda: si tratta di un’equazione indeterminata! Portando infatti il 9 al secondo membro ottengo una radice quarta impossibile da risolvere. Le equazioni indeterminate sono facili da riconoscere: sono equazioni binomie con potenza pari e termine noto positivo.
Equazioni binomie ed equazioni biquadratiche
Prima di vedere cosa sono le equazioni binomie, facciamo il punto della situazione. Quando cerchiamo di risolvere un’equazione, la prima cosa che andiamo ad analizzare è il grado del polinomio, cioè l’esponente massimo della nostra equazione. Con una semplice occhiata possiamo capire che tipo di esercizio dobbiamo risolvere.
Se infatti il grado è 1 abbiamo un’equazione di primo grado lineare, se il grado è 2 abbiamo invece esercizi sulle equazioni di secondo grado… e se il grado è maggiore di 2? A quel punto può venire in nostro soccorso solo la regola di Ruffini.
Ma ci sono alcuni casi particolari in cui possiamo risolvere funzioni che sembrano difficili in maniera molto semplice. Stiamo parlando dello svolgimento delle funzioni quadratiche. Vediamo più nel dettaglio di cosa stiamo parlando.
EQUAZIONI BINOMIE
Le equazioni binomie sono sono equazioni composte da un binomio, cioè da due monomi. Possiamo trovarci ad affrontare equazioni binomie di secondo grado. Siamo nel caso delle equazioni pure e spurie che abbiamo già visto nelle precedenti lezioni.
Il caso più difficile però, che mette in difficoltà molti studenti, riguarda le equazioni di grado superiore al secondo. In realtà, così come per le equazioni biquadratiche o trinomie, gli esercizi sulle equazioni binomie sono molto facili da risolvere:
Nell’esempio di equazione binomia puoi vedere come ci siano due casi principali: esponente pari ed esponente dispari. In entrambi i casi sarà sufficiente semplicemente portare il termine noto al secondo membro e poi fare la radice ennesima.
Il trucco che ti consigliamo di ricordare è che se il numero dell’esponente rappresenta anche il numero di soluzioni possibili. Quindi se ho un’equazione binomia di grado 5, ho cinque soluzioni. La differenza tra esponente pari e dispari è che nei pari devo ricordarmi di mettere un + e – davanti la soluzione. In caso di esercizio con equazione binomia ad esponente dispari le n soluzioni saranno tutte uguali. Vediamo un esempio concreto.
EQUAZIONI BIQUADRATICHE
Le equazioni biquadratiche non sono altro che equazioni riconducibili al II grado. Gli esercizi sulle biquadratiche sono molto semplici da risolvere: è sufficiente porre l’incognita al quadrato pari ad una nuova lettera temporaneamente e risolvere l’equazione di II grado che ne risulta. Puoi usare sia la formula ridotta che la normale. Noi optiamo per la seconda
Come puoi vedere nell’esempio, è importante poi sostituire per la seconda volta la variabile t assegnata riconducendoci al caso degli esercizi sulle equazioni binomie. L’esercizio svolto mostra chiaramente inoltre che il risultato mi porta a quattro diverse soluzioni. Questo perché il grado del polinomio corrisponde al numero di soluzioni.
EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO ESERCIZI
Il primo che vi proponiamo è un esercizio svolto sulle equazioni biquadratiche. Si risolve così come abbiamo visto nell’esempio precedente.
Quello che possiamo risolvere ora è un’ulteriore esercizio sulle equazioni biquadratiche, con la differenza questa volta che abbiamo una potenza sesta. La sostituzione è leggermente diversa. Vediamo subito come risolverlo in maniera semplice:
Disequazioni fratte di primo grado
– dalla forma base agli esercizi svolti
Le disequazioni fratte di primo grado sono delle disequazioni che hanno un monomio o un polinomio al denominatore. Sui libri e a scuola vengono spesso insegnate diverse tecniche per risolverle, tuttavia noi preferiamo illustrarti un nostro metodo infallibile e molto più semplice.
La regola che troverai illustrata passo passo vale anche per le disequazioni fratte di secondo grado, per cui una volta appresa, potrai applicarla in qualsiasi tipo di esercizio. Iniziamo subito vedendo che cosa sono e quali sono le disequazioni frazionarie.
QUALI SONO LE DISEQUAZIONI FRATTE?
Vi ricordate la lezione sulle equazioni fratte? Il ragionamento è perfettamente analogo: si parla di disequazioni fratte di primo grado se la variabile x appare in almeno un denominatore. Può essere espressa nella forma:
Sostanzialmente, quando dobbiamo svolgere esercizi con le disequazioni fratte, il nostro compito sarà di effettuare calcoli o semplificazioni al fine di riportarci a questa forma base. Arrivati a questo, poi, ci sono poche semplici regole da seguire. Vediamole subito.
COME RISOLVERE LE DISEQUAZIONI FRATTE DI PRIMO GRADO?
Senza entrare troppo nel merito della teoria, proviamo a darti una spiegazione molto pratica sulle disequazioni frazionarie. Il ragionamento vale sia per le disequazioni di primo grado che per quelle di secondo grado.
Si impone un falso sistema (diverso quindi dal sistema di disequazioni), cioè iniziamo a risolvere in due momenti separati il numeratore e il denominatore. Ciascuna soluzione che andremo così ad individuare sarà inserita sul grafico a cui bisognerà aggiungere uno studio del segno. Vediamo subito un esempio su come risolvere le disequazioni di primo grado fratte.
Imponiamo subito numeratore N e denominatore D imponendoli maggiori di 0.
Bisogna imporre N>0 e D>0 qualsiasi sia il verso della disequazione fratta. Sia che ci sia minore che maggiore di 0 vanno comunque imposti maggiori (o maggiori e uguali di 0).
NOTA BENE
Nell’eventualità in cui dobbiamo imporre maggiore e uguale di zero, attenzione: al denominatore non va mai aggiunto l’uguale per alcuna ragione (al denominatore non bisogna mai inserire il segno uguale). E’ questo uno degli errori più frequenti durante i compiti in classe di matematica.
Le due soluzioni che abbiamo trovato vanno imposte sul grafico così come in figura:
Abbiamo cioè individuato 3 campi. In ciascuno di questi si moltiplicano i segni corrispondenti. Nel primo abbiamo moltiplicato “più” per “meno” e ottenuto “meno”.
Nel secondo abbiamo moltiplicato “più” per “più” e ottenuto “più”.
Nel terzo abbiamo moltiplicato “meno” per “più” e ottenuto “meno”.
Di questi, poiché la nostra disequazione all’inizio imponeva N/D<0 (vedi la traccia dell’esempio), prenderò tutti i segni negativi, cioè quelli corrispondenti al primo e al terzo campo. Quindi le soluzioni sono:
x<-3 U x>2
Ho cosi preso le soluzioni corrispondenti al primo e all’ultimo campo. L’esercizio è così concluso. A questo punto proviamo a risolvere altri esercizi svolti sulle disequazioni di primo grado.
DISEQUAZIONI FRATTE DI PRIMO GRADO ESERCIZI SVOLTI
Di questo primo esercizio vediamo che non ci troviamo subito nella situazione N/D>0 (o N/D<0). Sarà nostro compito quindi portare tutto a primo membro e poi calcolare il minimo comune multiplo. Vediamo come risolvere:
A questo punto ci siamo trovati nella formula generale delle disequazioni frazionarie: numeratore fratto denominatore e al secondo membro lo zero. Solo a questo punto posso applicare la regola N>0 e D>0.
Nella disequazione frazionaria risolta abbiamo inserito sul grafico i valori delle due disequazioni e studiato il segno. Poiché ci siamo trovati N/D>0 allora abbiamo preso tutti i valori positivi. La soluzione della disequazione è minore quindi di -3/2 e maggiore di 0, cioè proprio in corrispondenza dei segni +.
Con questo problema vediamo come risolvere disequazioni fratte di primo grado con esercizi più complessi. Dobbiamo sempre ricordare che il primo passo, come già detto con gli esercizi sulle equazioni fratte, è di scomporre i denominatori il più possibile. Quindi cerchiamo di non dimenticare le regole sulle scomposizioni.
Attenzione alle scomposizioni dei denominatori delle disequazioni frazionarie!
Per il primo denominatore abbiamo usato la regola della messa in evidenza parziale, mentre per la seconda una totale. Evitiamo invece di scomporre i numeratori, non aiuterebbe lo svolgimento dell’esercizio e ci farebbe solo sprecare tempo. Possiamo così proseguire:
Scomponiamo il numeratore
Siamo ora nella forma N/D con al secondo membro lo 0. Potremmo già trattare separatamente numeratore e denominatore. Il problema è che al numeratore abbiamo una disequazione di terzo grado che non sappiamo ancora come affrontare! Come risolvere la disequazione fratta che si è presentata? Proviamo a scomporre il numeratore e vedere se qualcosa può essere semplificato con il denominatore: ci ridurrebbe molto i calcoli.
Anche se numeratore e denominatore non possono essere semplificati possiamo risolvere l’esercizio perché riconducibile ad una disequazione fratta di primo grado. Vale infatti la seguente regola:
Attenzione: questa regola è fondamentale!
Quando siamo in presenza di un esercizio sulle disequazioni di primo grado con dei fattori (cioè delle parentesi o anche elementi singoli che si moltiplicano tra loro), si pone ciascuno maggiore (o uguale, tranne il denominatore che non vai posto uguale) di 0 e poi si mette sul grafico.
In questo modo possiamo risolvere gli esercizi riconducibili alle disequazioni di primo grado. Proseguendo con il nostro esercizio, infatti, moltiplicando tutto per due abbiamo:
La seconda e l’ultima disequazione sono di secondo grado. Non abbiamo ancora studiato l’argomento ma possiamo dire che quando siamo in presenza di un numero addizionato alla x al quadrato maggiore di zero, il risultato è sempre verificato (un numero positivo più un’incognita positiva darà sempre risultato positivo). Per cui visto che la soluzione è sempre verificata possiamo mettere linea continua.
Il risultato finale come sempre è legato alla forma N/D che abbiamo individuato. Nell’ultima frazione scritta infatti c’era un minore e uguale, per cui il risultato andrà preso con il segno meno. Intenzionalmente abbiamo potuto omettere i due valori sempre verificati, perché non avrebbero influenzato il risultato finale.
DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO ESERCIZI DA SVOLGERE
Abbiamo potuto vedere che sulle disequazioni di secondo grado, prendendo un esercizio più complesso, c’è davvero “da divertirsi”. E’ necessario ricordare bene le regole sulle scomposizioni ed allenarsi e fare molta pratica. Per cui vi consigliamo di esercitarvi con le seguenti disequazioni frazionarie di primo grado:
Risolvi le seguenti disequazioni di primo grado superiori al primo intere o fratte, riconducibili allo studio di disequazioni di primo grado.
Esercizi disequazioni di primo grado
DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO ESERCIZI SVOLTI
Il primo esercizio sulle disequazioni di primo grado non presenta particolari elementi di difficoltà. Il primo passo è di trasformare il doppio denominatore.
Il diviso 4 della frazione, possiamo trasformarlo in una moltiplicazione per l’inverso (cioè 1/4). Infine dopo pochi semplici passaggi e dopo aver calcolato il minimo comune multiplo, arriviamo facilmente alla conclusione. Lasciamo a voi disegnare il grafico della disequazione.
Nel secondo esercizio sulle disequazioni di I grado, proviamo a sviluppare un problema con il calcolo letterale. E’ sufficiente calcolare il minimo comune multiplo riducendo tutti i membri allo stesso denominatore.
L’ultimo esercizio, oltre ad avere il calcolo letterale, ha per noi un elemento di novità: la discussione. Le disequazioni di primo grado con discussione non sono particolarmente complesse, bisogna solo capire il meccanismo. Vediamo come risolvere:
Come possiamo procedere con la discussione della disequazione di I grado? Fissata l’incognita x su cui non c’è nulla da dire, andremo a verificare cosa succede al variare del valore di a.
Notiamo subito che se a=-1, vuol dire che avremo un denominatore uguale a zero. Cioè:
Che succede inoltre quando a è più grande o più piccolo di questo valore?
PROBLEMI SULLE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Le disequazioni di primo grado sono utili anche nella vita reale. Certo, i più scettici diranno che è impossibile avere delle situazioni in cui applicare questi concetti di matematica. Ma vediamo un esempio concreto di problemi risolvibili con le disequazioni di I grado.
Traccia: Giovanni vuole iscriversi ad una scuola per avere lezioni private di matematica. In un primo istituto gli vengono chiesti 150 euro di iscrizione + 3 euro per ogni lezione. Nella seconda scuola la domanda è di 100 euro + 4 per ogni lezione. Qual è l’offerta più conveniente?
Ovviamente dipende da quante lezioni dovrà seguire Giovanni. Questa sarà quindi l’incognita: x= numero di lezioni per cui la prima scuola conviene rispetto alla seconda. Vediamo come risolvere praticamente il problema. La prima scuola costa 150+3x, mentre la seconda 100+4x. La disequazione di I grado da imporre sarà:
150+3x<100+4x
3x-4x<100-150
-x<-50
x>50
Questo significa che da 0 a 50 lezioni sarà più conveniente la scuola 2, mentre dalla lezione 51 in poi a Giovanni converrà iscriversi alla scuola 1.
DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO, ESERCIZI DA RISOLVERE
Ti consigliamo di provare a risolvere gli esercizi di seguito elencati. Potrai così perfezionare la tua tecnica e verifica se effettivamente hai capito come risolvere le disequazioni di primo grado. Ricordati di fare il disegno del grafico alla fine di ogni esercizio, ti sarà molto utile per prendere dimestichezza prima di affrontare argomenti più complessi come le disequazioni fratte, in cui l’incognita compare al denominatore, o i sistemi di equazioni e disequazioni, in cui ci sono più variabili, cioè due incognite o anche di più.
Risolvi le seguenti disequazioni di primo grado intere e rappresenta graficamente l’insieme I delle soluzioni.
Equazioni di secondo grado
– esercizi svolti e problemi
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO ESERCIZI SU PURE E SPURIE
ESERCIZIO N.1
(x+5)(x-5)=44
In questo primo esercizio svolto non è possibile ricorrere alla legge dell’annullamento del prodotto. Te la ricordi? E’ quella legge per cui se AxB=0 allo puoi risolvere scrivendo A=0 e B=0. In questo caso non possiamo usarla perché il termine noto non è pari a 0. Quindi andiamo a risolvere moltiplicando le parentesi tonde come prodotto di una somma per una differenza. Se non ricordi come si fa, ti consigliamo di riguardarti brevemente i prodotti notevoli.
x2-25=44 → x2=44+25=69
Rientriamo così nel caso degli esercizi sulle equazioni di secondo grado pure. Manca infatti il termine di primo grado, cioè la x. Per cui posso semplicemente risolvere facendo la radice quadrata col segno meno e più.
x=±√69
Ricordiamo che il doppio segno è dovuto al fatto che un’equazione di secondo grado deve avere due soluzioni, dato che risolvendo una radice quadrata con i numeri relativi, ottengo un risultato positivo e uno negativo.
ESERCIZIO N.2
7×2-3/5x=0
In questo caso ci troviamo di fronte al caso di equazioni di secondo grado spurie, cioè con il termine noto pari a zero. Per risolvere esercizi di matematica così, è sufficiente mettere in evidenza e poi applicare la legge dell’annullamento del prodotto.
x(7x-3/5)=0
x=0 e 7x-3/5=0 → 7x=3/5 → x=3/35
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE ESERCIZI
Se ricordiamo come si risolvono gli esercizi sulle equazioni di primo grado fratte, non avremo alcuna difficoltà ora. Anche in questo caso, infatti si andrà a calcolare il minimo comune multiplo e si indicheranno le condizioni di esistenza.
mcm=(x+1)(x+2)(x-2) → CE:(x+1)(x+2)(x-2)≠0
x+1≠0 → x≠-1
x+2≠0 → x≠-2
x-2≠0 → x≠+2
Dopo le condizioni di esistenza posso così continuare a risolvere l’esercizio dato dalla traccia.
Elimino i termini di terzo grado e porto tutto a primo membro eliminando i termini opposti o la cui somma è pari a 0:
-8x+x2+4x-2×2=0 → -x2-4x=0
Rientriamo ora nel caso degli esercizi sulle equazioni di secondo grado spurie, per cui posso risolvere con la messa in evidenza totale, detta anche raccoglimento a fattor comune. Applicando la legge dell’annullamento del prodotto, di cui abbiamo parlato ad inizio lezione, posso trovare così facilmente il risultato.
x(-x-4)=0
x=0 e x=-4
Le soluzioni sono entrambe accettabili poiché non escluse dalle condizioni di esistenza.
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO ESERCIZI CON IL CALCOLO DEL DETERMINANTE
ESERCIZIO N°1
5×2-4x+8=0
Il primo degli esercizi sulle equazioni di secondo grado che andiamo ad analizzare ha una particolarità: il determinante è negativo. Questo significa non possiamo proseguire. Semplicemente concludiamo che l’esercizio sull’equazione di 2 grado non ha soluzioni reali.
ESERCIZIO N°2
x(x-5)/12=12-x
Iniziamo a risolvere il secondo degli esercizi sulle equazioni di secondo grado svolgendo la moltiplicazione a primo membro e contemporaneamente calcolando il minimo comune multiplo.
x2-5x=12(12-x)
x2-5x=144-12x
x2-5x+12x-144=0
x2+7x-144=0
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE ESERCIZI PIÙ COMPLESSI
ESERCIZIO N°1
Si tratta per ora di uno degli esercizi sulle equazioni di secondo grado fratte, dato che oltre al calcolo del minimo comune multiplo dovremo calcolare il determinato. In realtà si tratta di un esercizio molto semplice che riusciremo a risolvere in pochi semplici passaggi.
Il primo passo per risolvere l’equazione fratta di 2 grado è scomporre tutti i denominatori, calcolare il minimo comune multiplo e poi imporre le condizioni di esistenza.
Posso così risolvere l’esercizio sulle equazioni di II grado, portando tutto a sinistra:
2×2+x-1=0
Equazioni di secondo grado pure spurie e complete
Ciò che non abbiamo mai incontrato negli esercizi sui sistemi di equazioni di primo grado è il simbolo della potenza. Tutti gli esercizi di matematica fino ad ora risolti, infatti, erano lineari, cioè nessuna di queste era elevata al quadrato. Oggi invece, studiando le equazioni di secondo grado, vedremo come comportarci di fronte ad un’espressione con il quadrato.
LA FORMA CANONICA DELLE EQUAZIONI DI II GRADO
La forma base, detta anche normale o forma canonica, di un’equazione di secondo grado è:
ax2+bx+c=0
QUANTE SONO LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO?
Nelle scorse lezioni abbiamo già evidenziato che il numero di soluzioni è sempre pari al grado del polinomio. Questo significa che un’equazione di primo grado avrà una sola soluzione, mentre le equazioni di secondo grado hanno due soluzioni, sempre. Per ogni caso che andremo ad analizzare le soluzioni saranno sempre e soltanto due.
Può capitare che siano uguali tra di loro, ma sono sempre due. Lo vediamo bene quando andiamo a risolvere le equazioni di secondo grado pure e in cui b=c=0
EQUAZIONI DI SECONDO GRADO PURE E SPURIE
Si parla di equazioni pure e spurie quando uno o più coefficienti del trinomio sono uguali a zero. Ovviamente il primo coefficiente, la a, è sempre diversa da zero, altrimenti non avremmo un’equazione di secondo grado, ma di primo.
Può capitare invece che gli altri due coefficienti possano non esserci, cioè essere pari a 0. Possiamo così analizzare tre diversi casi.
# B=C=0
In questo caso la forma canonica diventa, annullando b e c,
ax2=0 → x=0
Molto semplicemente questa equazione di secondo grado ammette come soluzione soltanto x=0. Ecco i passaggi per trovare la soluzione:
ax2=0 → x2=0 → x=0
Abbiamo cioè spostato il coefficiente a al secondo membro così come abbiamo imparato a fare negli esercizi sulle equazioni di primo grado. Per eliminare il quadrato è stato sufficiente fare la radice quadrata di entrambi i membri dell’equazione.
Da notare che, nonostante la soluzione ci sembri unica, cioè x=0, in realtà le soluzioni sono due: +0 e -0. Per semplicità si indica direttamente x=0.
Questo per due motivi. Il primo di carattere teorico – le equazioni di II grado hanno sempre due soluzioni – il secondo invece più pratico: quando risolvo la radice di un numero ne ottengo due.
Esempio:
√4=±2
La radice di 4 non fa 2, perché siamo nei numeri relativi, ma fa +2 e -2. Questo perché se facessimo l’operazione inversa, cioè il quadrato, sia -2 che +2 porterebbero alla stessa soluzione. Cioè 4. Quindi la radice quadrata di 4 fa +2 e -2.
EQUAZIONE DI SECONDO GRADO PURA (B=0)
Si parla di equazione di secondo grado pura quando il coefficiente del termine di primo grado è pari a zero. L’equazione diventa così:
ax2+b=0
Ti ricordi come risolvere le equazioni di primo grado? Se la risposta è no, ovviamente ti consigliamo di rileggere la lezione sulle equazioni di I grado. Qui non cambia assolutamente nulla, si portano i termini noti al secondo membro e si lasciano le incognite a sinistra.
ax2=-b
A questo punto si porta il coefficiente dell’incognita a secondo membro e, per eliminare la potenza, si fa la radice quadrata al primo e secondo membro.
x2=-b/a
x=±√(-b/a)
Come nel caso precedente avendo risolto una radice quadrata ho due soluzioni, una positiva e una negativa.
Esempio:
-2×2+1=0 → -2×2=-1 → 2×2=1 → x2=1/2 → x=±√1/2
EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SPURIA
Ci troviamo di fronte ad un’equazione di secondo grado spuria quando il termine noto è uguale a 0. Quando c=0, mi trovo in una situazione particolarmente vantaggiosa perché posso risolvere più rapidamente attraverso le regole per la scomposizione dei polinomi. Infatti, semplicemente con una messa in evidenza totale, posso risolvere l’esercizio:
x2-2x=0 → x(x-2)=0
A questo punto ricordandomi che se ho una moltiplicazione tra fattori uguali a zero (legge dell’annullamento del prodotto) posso risolvere imponendo ognuno pari a 0, posso risolvere l’esercizio trovando le due soluzioni:
x1=0 e x2=2
COME RISOLVERE UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO COMPLETA
Nel momento in cui nessuno dei coefficienti dell’equazione si annulla, ci troviamo di fronte ad un’equazione di II grado completa:
ax2+bx+c=0
La formula per risolvere le equazioni di secondo grado è:
In questa formula risolutiva, applicabile sempre e comunque siamo in presenza di equazioni di secondo grado, ha un termine sotto radice chiamato discriminante e si indica con la lettera maiuscola greca Delta:
Δ=b2-4ac
Studiando le proprietà dei radicali, abbiamo visto che una radice non può essere mai negativa. Questo significa che il delta, il discriminante, non può mai essere minore di 0, ma solo maggiore o uguale di 0, altrimenti l’equazione si dice che non ammette soluzioni reali.
ESERCIZIO SVOLTO
3×2+2x-16=0
Come puoi vedere, in questo esercizio sulle equazioni di secondo grado, alla fine sono arrivato a calcolare la soluzione con pochi passaggi algebrici.
LA FORMULA RIDOTTA PER LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Quando il coefficiente b è pari, è possibile risolvere le equazioni di secondo grado sfruttando la formula ridotta con il delta quarti.
I docenti si preoccupano spesso a scuola che i ragazzi sappiano utilizzare bene questa formula, che in realtà, a nostro avviso a un’utilità piuttosto marginale. Il nostro consiglio è di memorizzare bene la formula generale, sapendo che esiste comunque anche la ridotta. Portano allo stesso risultato ma l’ultima può essere usata solo quando b è pari. Ecco un esercizio risolto:
Da notare che le soluzioni finali sono delle radici. Come comportarci in questo caso? Nessun problema, la soluzione resta così com’è…
Sistemi di primo grado esercizi svolti
RISOLVERE I SEGUENTI SISTEMI DI PRIMO GRADO
PRIMO ESERCIZIO SUI SISTEMI DI PRIMO GRADO
In questo primo esercizio sui sistemi di primo grado, non essendoci frazioni, consigliamo di optare per la strada più sbrigativa, cioè il metodo della somma e della differenza.
Iniziamo quindi a calcolare il minimo comune multiplo tra 5 e 2, cioè tutte le incognite della x. Potremmo allo stesso modo calcolare il mcm anche tra 3 e 4, cioè le incognite della y, non cambierebbe nulla nei calcoli e nel risultato. Tra 5 e 2 il mcm è pari a 10, per cui calcolo 10:5=2 (moltiplico per 2 tutta la prima equazione) e 10:2=5 (moltiplico per 5 tutta la seconda equazione del sistema di primo grado). Ottengo così:
Poiché i coefficienti della x sono concordi, ho sottratto membro a membro le equazioni del sistema di primo grado, giungendo in questo modo a calcolare rapidamente la y.
A questo punto non mi resta che sostituirla in una delle equazioni della traccia per poter così calcolare l’altra incognita, cioè la x.
Ricordandoci come si risolvono le equazioni di primo grado, possiamo calcolare l’incognita x portando tutti i termini noti a destra.
Avendo calcolato entrambe le incognite, l’esercizio è concluso.
SECONDO ESERCIZIO SUI SISTEMI DI PRIMO GRADO
Come è possibile vedere, nella traccia dell’esercizio ci sono dei denominatori numerici. Per eliminarli, come sempre, è necessario calcolare il minimo comune multiplo. Solo successivamente sarà possibile eliminarli:
Pochi semplici passaggi sono stati sufficienti per ricondurmi al caso precedente, cioè ad un sistema di primo grado privo di frazioni. Bastano poche operazioni tra numeri relativi e incognite per semplificare il tutto eliminando le parentesi tonde:
Questa volta, per cambiare, sfrutteremo il metodo di Cramer. Ricordiamo che il metodo di Cramer per i sistemi di primo grado, consiste nel calcolare i tre determinanti e poi dividerli tra loro, come già visto nelle lezione sui metodi per risolvere le equazioni di primo grado.
Attenzione a mettere bene in colonna i termini, cioè ad ordinare allo stesso modo le equazioni: prime le x, poi le y e al secondo membro da soli i termini noti. Ecco quindi le piccole matrici numeriche:
Abbiamo visto che il metodo di Cramer per i sistemi, così come il metodo di addizione e sostituzione è piuttosto rapido e, con un po’ di concentrazione porta a completare l’esercizio in maniera rapida.
Lasciamo a voi, come esercizio, provare che con il metodo della sostituzione il risultato sarebbe stato lo stesso, ma forse un po’ più complesso dal punto di vista dei calcoli.
TERZO ESERCIZIO SUI SISTEMI DI PRIMO GRADO
Vogliamo ulteriormente complicare i calcoli, per cui decidiamo di proporvi di risolvere assieme un esercizio sui sistemi di primo grado con coefficienti letterali. Ricordandoci le operazioni base del calcolo letterale, proviamo a svolgere assieme questo breve esercizio con le lettere:
Ricordando che il minimo comune multiplo tra due semplici lettere si ottiene calcolando il prodotto delle due lettere, nel nostro caso mcm=ab, ci siamo ricondotti al caso più semplice.
Attenzione, però, che il sistema di primo grado non è correttamente ordinato. I coefficienti infatti fanno disposti nello stesso ordine, prima la x, poi la y e il termino noto al secondo membro. Fatto ciò mi rendo conto che l’esercizio può essere facilmente risolto con il metodo dell’addizione, per cui:
COMPITI ED ESERCIZI DA SVOLGERE
A questo punto vi invitiamo a risolvere la seguente pagina di esercizi sui sistemi di primo grado da soli.
Sistemi di equazioni di primo grado
in tutti gli esercizi sulle equazioni di primo grado visti fino a questo momento, abbiamo incontrato un’unica incognita, ovvero la x. Come risolvere le equazioni con più incognite?
COSA SONO I SISTEMI DI EQUAZIONI?
La regola generale vuole che:
Il numero di equazioni deve essere pari al numero di incognite affinché gli esercizi siano risolvibili.
Senza entrare troppo in dettagli tecnici non di competenza di queste lezioni di matematica, ci basti dire che se abbiamo 2 incognite, abbiamo bisogno di risolvere 2 equazioni. Se le incognite sono 3 dovremo risolvere 3 equazioni e così via…
Per risolvere più equazioni contemporaneamente abbiamo bisogno dei sistemi di equazioni.
I sistemi di equazioni servono quindi a calcolare più incognite da più equazioni, appunto, messe a sistema, cioè graficamente unite in colonna all’interno di una parentesi graffa.
METODI PER RISOLVERE I SISTEMI DI EQUAZIONI
La lezione di oggi è particolarmente importante perché i metodi che stiamo per vedere sono validi non solo per i sistemi di equazioni di primo grado, ma anche di grado superiore al primo. Useremo cioè le stesse tecniche risolutive anche per risolvere gli esercizi sui sistemi di secondo grado, terzo grado, eccetera.
METODO DI SOSTITUZIONE DEI SISTEMI DI EQUAZIONI
Si tratta del metodo più utilizzato e che può andare bene per tutti i tipi di sistemi di equazioni. Si tratta di un metodo semplice, ma che spesso comporta dei calcoli in più.
Durante una verifica o un compito in classe, quando si è sotto pressione e il tempo scarseggia, capita spesso agli studenti di commettere errori banali di calcolo: basta un segno dimenticato e l’esercizio non si trova più. Attenzione quindi a svolgere sempre i calcoli con la massima concentrazione.
Per capire come risolvere i sistemi di equazioni di primo grado con il metodo della sostituzione, proviamo assieme ad affrontare un esercizio svolto.
Vediamo che in entrambe le equazioni del sistema ci sono tutte le incognite, sia la x che la y. Iniziamo a risolvere il sistema di primo grado partendo dall’equazione che ci sembra più semplice e calcolandoci l’incognita col coefficiente più semplice. Nel nostro caso tra le due equazioni noto che alla prima x praticamente non c’è un coefficiente – cioè è sottinteso 1. Quindi inizio a scrivere:
Una volta calcolato il valore della seconda incognita, cioè y=3, sostituisco nuovamente questo risultato nella prima equazione, cioè torno al primo rigo:
La domanda che giustamente potrebbe porsi lo studente più attento sarebbe: “Cosa sarebbe accaduto se avessi calcolato la y nel primo passaggio invece della x?”
Il risultato del sistema di primo grado non sarebbe cambiato ma avrei soltanto complicato leggermente i calcoli. Per convincertene, eccone la dimostrazione: risolviamo lo stesso esercizio, calcolando stavolta la y.
METODO DEL CONFRONTO DEI SISTEMI LINEARI
I sistemi di equazioni di primo grado sono più raramente risolti con il metodo del confronto. Il metodo, non molto difficile in realtà, consiste nel calcola la stessa incognita in entrambe le equazioni e poi sfruttare la proprietà: se A=B e A=C allora B=C. Vediamo subito lo stesso esercizio di prima risolto stavolta con il metodo del confronto dei sistemi lineari:
A questo punto, avendo calcolato la x in entrambe le equazioni, posso eguagliare i secondi membri, scrivendo:
Avendo calcolato la seconda incognita, sostituisco il risultato in una delle due equazioni di partenza – è indifferente quale – per risolvere il sistema e ottenere anche la prima incognita.
METODO DELL’ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Si tratta a nostro avviso di uno dei metodi più semplici da utilizzare per risolvere i sistemi di equazioni. Certamente è tra i più rapidi dato che in presenza di due equazioni lineari consente di individuare abbastanza rapidamente la soluzione del sistema. Il medoto dell’addizione e sottrazione consiste semplicemente nell’addizionare e sottrarre le equazioni che compongono il sistema.
Il trucco per risolvere i sistemi a due incognite con il metodo dell’addizione e sottrazione è di fare in modo che i coefficienti di almeno un’incognita siano uguali.
Vediamo sempre l’esercizio precedente:
Vado ora a guardare i coefficienti delle incognite, cioè i numeri delle x e delle y. Devo fare in modo che nelle due equazioni, i coefficienti di almeno un’incognita siano uguali. Ciò significa che dobbiamo trasformare l’equazione usando la proprietà della moltiplicazione e della divisione.
Se provo infatti a moltiplicare per 2 la prima equazione, primo e secondo membro, ottengo:
A questo punto tutte le incognite x hanno lo stesso coefficiente, cioè 2.
La regola generale è che tra i coefficienti dell’incognita delle due equazioni va calcolato il minimo comune multiplo. Successivamente si esegue la divisione tra mcm e il coefficiente dell’incognita: quello sarà il numero per cui moltiplicare l’intera equazione.
Vediamo se, ad esempio, se vogliamo ridurre allo stesso coefficiente le y anziché le x.
Calcolo il mcm tra 5 e 3, pari cioè a 15. Dato che 15:5=3, vuol dire che la prima equazione va moltiplicata tutta per 3. Poiché invece 15:3=5, vuol dire che la seconda equazione dovrò moltiplicarla tutta per 5. Ottengo così:
Ho così capito come uguagliare i coefficienti delle equazioni. E’ facile rendersi conto che il primo caso è stato decisamente più semplice dato che uno dei coefficienti era 1.
Ora basta vedere il segno dei due coefficienti uguali calcolati.
# se sono uguali, si esegue la sottrazione tra le equazioni
# se sono opposti, si esegue l’addizione tra le equazioni
Poiché -15y e +15y sono numeri relativi opposti, si calcola l’addizione tra le equazioni, cioè si sommano le x, si sommano le y e si sommano i termini noti.
E’ importante notare che uno dei coefficienti dell’equazione risultante è pari a 0, se ciò non dovesse accadere vuol dire che abbiamo sbagliato qualche calcolo e dobbiamo rifare da capo.
A questo punto ho ottenuto un’unica equazione di primo grado: 13x=26 il cui risultato è semplicemente x=2.
Individuata la prima incognita, la sostituisco in una delle due equazioni, per semplificare i calcoli, è opportuno scegliere l’equazione più semplice.
Ho così trovato lo stesso risultato individuato nei metodi precedenti, ma forse in maniera più semplice.
METODO DI CRAMER
Il metodo di Cramer è l’ultimo dei metodi analizzati. Viene molto utilizzato nei sistemi più semplici, dato che si tratta di svolgere semplici calcoli numerici. Tuttavia diventa abbastanza laborioso quando i sistemi di equazioni andranno complicandosi.
Partiamo come sempre dall’esercizio precedente:
Per risolvere il sistema di primo grado con il metodo di Cramer è necessario calcolare 3 numeri, chiamati determinanti ed indicati con la lettera greca Delta.
COME CALCOLARE IL DETERMINANTE DEL METODO DI CRAMER?
Il determinante del metodo di Cramer è un insieme di 4 numeri disposti su due righe e due colonne di una piccola tabella.
Il determinante si calcola facendo il prodotto del numero in alto a sinistra per quello in basso a destra. Da esso si sottrae il prodotto del numero in basso a sinistra per quello in alto a destra.
Il primo passo è costruire tre piccole tabelle di numeri, chiamate matrici, partendo dai coefficienti dell’equazione lineare. Per individuarle inizio
Per risolvere con il metodo di Cramer, dal sistema di primo grado immagino di eliminare tutti i termini con la x e considero tutti i coefficienti, cioè i numeri, che restano e li sistemo su una piccola tabella, detta matrice, nello stesso ordine:
Moltiplico i termini sulla prima diagonale, in rosso, metto un segno meno e moltiplico i termini sulla seconda diagonale, in blu. Dato che ho eliminato i termini con la x, sto calcolando il DELTA X.
Δx=(-5)(+13)-(-13)(+3)=-65+39=26
Calcolo ora DELTA Y, immaginando di eliminare la y, dal sistema.
Infine si calcola l’ultimo determinante, immaginando di eliminare tutti i termini noti. Avrò così calcolato DELTA.
A questo punto non mi resta che fare tre semplici calcoli:
x=Δx/Δ=26/13=2
y=Δy/Δ=39/13=3
Ho imparato, così, anche a risolvere i sistemi di equazioni con il metodo di Cramer.
QUALE METODO USARE PER RISOLVERE I SISTEMI DI PRIMO GRADO?
Si tratta di una domanda più che legittima, dato che tutti i metodi di risoluzione dei sistemi portano alla stessa equazione. Tuttavia occorre tener conto che nei sistemi di secondo grado, si utilizzerà prevalentemente il metodo della sostituzione, per cui è bene conoscerlo bene.
Il metodo di Cramer è probabilmente quello su cui gli insegnanti insistono di più. Dal nostro punto di vista, il più semplice resta il metodo della somma e della differenza, fermo restando che tutti portano alla soluzione esatta.