Formula risolutiva equazioni di secondo grado
Abbiamo già detto, nel capitolo generale sulle equazioni di secondo grado, che la forma canonica è:
AX2+BX+C=0
dove a, b e c sono dei coefficienti reali, cioè dei numeri, delle radici, delle frazioni o addirittura delle parentesi contenenti dei coefficienti. Quando questi sono diversi da zero, non valgono le tecniche risolutive viste per le equazioni spurie e pure.
La quantità sotto radice si chiama discriminante e si indica con la lettera delta (Δ). Per questa ragione si può riscrivere la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado anche nel seguente modo:
Svolgendo degli esercizi ti accorgerai che a volte usciranno dai calcoli numeri un po’ alti e quindi impegnativi, soprattutto se i calcoli sono fatti a mano senza calcolatrice. Proprio per questa ragione, quando il coefficiente b è pari, si utilizzata quella che viene chiamata la formula ridotta. Non ce ne occupiamo all’interno di questa lezione, ma ti rimandiamo agli appunti relativi all’uso di delta quarti e formula ridotta.
UN CONSIGLIO PER IMPARARLA PRIMA
La formula per risolvere le equazioni di secondo grado sarà fondamentale anche nel proseguo degli studi, per cui è importante impararla a memoria. Per questa ragione ti consigliamo di riscriverla ogni volta che dovrai utilizzarla, in questo modo la ricorderai molto più facilmente.
DIMOSTRAZIONE CON SPIEGAZIONE PASSO PASSO
Durante le interrogazioni può capitare che il docente chieda come si ricava la formula risolutiva delle equazioni secondo grado, per cui è importante aver presente anche la dimostrazione.
Si parte dalla formula canonica: ax2+bx+c=0
Il primo passo è cercare di trasformarla in un quadrato di binomio. Per far ciò noto che il primo termine (ax2) è parzialmente un quadrato. Per renderlo tale dobbiamo moltiplicare tutto per a.
a2x2+abx+ac=0
Mentre il primo termine è già un quadrato di ax, manca a questo punto il doppio prodotto. Questo potrebbe essere abx. Manca però il coefficiente numerico che esprima un prodotto moltiplicato per 2. Se moltiplicassi tutti i termini per due, non avrei più un quadrato al primo termine. Moltiplico quindi tutto per quattro.
4a2x2+4abx+4ac=0
In questo modo il primo termine è il quadrato di 2ax, il secondo termine è il doppio prodotto di 2ax per b. Manca a questo punto il secondo termine al quadrato. Per le regole fondamentali delle equazioni (aggiungendo e sottraendo uno stesso numero a destra o sinistra il risultato non cambia), posso scrivere quindi:
4a2x2+4abx+4ac+b2-b2=0
4a2x2+4abx+b2+4ac-b2=0
(2ax+b)2+4ac-b2=0
Mi serve calcolare la x, per cui devo eliminare il quadrato attraverso una radice quadrata. Isolo la parentesi con il quadrato a sinistra e successivamente calcolo la radice a destra e sinistra:
(2ax+b)2=b2=-4ac
2ax+b=±√(b2=-4ac)
Essendo una radice, al secondo membro mi compare il segno “+” e “-“. A questo punto posso calcolare la x.
2ax=-b±√(b2=-4ac)
x=[-b±√(b2=-4ac)]/2a
Ho così completato la dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Vediamo alcuni casi concreti ora, in cui poter applicare questa tecnica all’interno degli esercizi.
ESEMPI
Risolvere la seguente equazione di secondo grado usando la formula risolutiva vista in alto:
x2+5x+6=0
Si tratta di un’equazione di secondo grado fratta (un’approfondimento qui è d’obbligo). Riassumendo brevemente ciò che bisogna fare:
# minimo comune multiplo tra i denominatori;
# condizioni di esistenza;
# calcoli algebrici (somme, prodotti, ecc…);
# uso della formula risolutiva per l’equazione se di secondo grado;
A questo punto la parte difficile è finita. Abbiamo ottenuto un’espressione algebrica di un polinomio che ci porterà ad una normale equazione di secondo grado.
Delta quarti
– formula ridotta per la risoluzione di equazioni di II grado
Il delta quarti è un valore che si calcola durante lo svolgimento delle equazioni di secondo grado quando i relativi coefficienti rispettano alcune caratteristiche. Il procedimento riguarda quella che viene chiamata formula ridotta e prevede un calcolo del discriminante leggermente differente e che semplifica i calcoli.
QUANDO SI USA IL DELTA QUARTI
La risoluzione delle equazioni di secondo grado prevede nella maggior parte dei casi il calcolo del delta (o discriminante), che non è altro che una combinazione dei coefficienti che compongono l’equazione stessa. Data l’equazione di II grado:
ax2+bx+c=0
può essere utilizzata la formula ridotta quando il coefficiente b è pari
Ricordi la formula del discriminante normale? In questo caso c’è una piccola variazione:
Una volta capita qual è la formula del delta quarti, si possono facilmente calcolare le due soluzioni x1 e x2 del problema. Ecco la formula ridotta con il delta quarti:
DIFFERENZA CON TRA Δ/4 E Δ
Come è possibile notare cambia notevolmente la formula ridotta da quella standard. La prima differenza, nonché la più importante, c’è già nel radicando: il termine b infatti si dimezza e non c’è bisogno di calcolare il quadruplo prodotto tra primo e ultimo coefficiente. Sparisce infatti “4ac” e c’è il semplice prodotto tra “a” e “c”.
PERCHÉ USARE LA FORMULA RIDOTTA – PRO E CONTRO
Nei libri di testo viene consigliato l’uso del delta quarti per semplificare i calcoli. Può capitare, infatti, che i coefficienti dell’equazione di secondo grado da risolvere siano alti e portino a dei numeri piuttosto alti. Per evitare ciò, nell’ipotesi che il coefficiente del termine di grado 1 sia pari, è possibile risolvere con il delta quarti, che oggettivamente ci porterà a dei numeri più bassi da gestire.
ALCUNE CONSIDERAZIONI
Questo metodo che stiamo per presentarti è da considerarsi solo come un’alternativa al calcolo del normale discriminante a cui sei abituato. In realtà viene utilizzato solo nel biennio delle superiori basta ricordare una sola formula (quella del delta) per risolvere le equazioni di secondo grado. Imparare anche il delta quarti, quando poi il programma diventa più vasto, ha un’utilità abbastanza limitata.
Ad ogni modo, è importante che gli studenti imparino questa formula e la usino quando il programma lo impone.
ESEMPIO
x2-4x-5=0
Per quanto abbiamo detto fino ad ora siamo liberi di utilizzare sia il metodo tradizionale con il delta che la formula ridotta con il delta quarti. E’ una nostra scelta, a meno che il problema non specifichi quale dei due metodi di calcolo usare. Visto che questa lezione verte sull’uso della formula ridotta, utilizzeremo il delta quarti.
ESERCIZI
Il primo esercizio che ti abbiamo proposto non è incompleto, ma presenta un caso particolare. E’ infatti un’equazione con delta negativo. Questo vuol dire che il suo risultato è IMPOSSIBILE. Possiamo così passare al prossimo esercizio.
In questo caso abbiamo invece il delta quarti maggiore di zero, per cui ci sono due soluzioni reali e distinte, ma con la radice quadrata. Ciò non cambia nulla però con il metodo o con la tecnica di calcolo utilizzata.
In quest’ultimo esercizio analizzato, è stato eseguito prima il quadrato di un binomio, poi dopo pochi passaggi, visto che il coefficiente di primo grado era pari, è stata utilizzata la formula ridotta. Quindi è stato usato il delta quarti e si è arrivati anche in questo caso a risolvere l’esercizio in pochi semplici passaggi.
Equazioni spuria
– come risolvere rapidamente le equazioni spurie di secondo grado
Un’equazione spuria di secondo grado si definisce tale quando manca il termine noto, ovvero il coefficiente senza l’incognita x. Si risolve in maniera molto semplice ed intuitiva e non sono necessari calcoli o tecniche risolutive particolari.
E’ uno dei primi argomenti che riguardano le equazioni di secondo grado: le equazioni spurie sono un caso particolare di queste ultime e permettono di trovare le due soluzioni senza dover usare metodi più elaborati, come il calcolo del delta o il metodo somma e prodotto.
CHE COS’È UN’EQUAZIONE SPURIA
Data l’equazione generale ax2+bx+c=0, nel caso in cui c=0, ottengo:
AX2+BX=0
(DEFINIZIONE DI EQUAZIONE SPURIA)
Come si può notare manca il termine noto, cioè il coefficiente numerico puro. In questi casi la tecnica di risoluzione è decisamente più semplice.
COME SI RISOLVE UN’EQUAZIONE SPURIA
Mentre nelle equazioni di secondo grado normali possono essere necessari dei calcoli che ci impegnano per qualche minuto, le equazioni spurie si risolvono in 2 semplici passaggi:
# raccoglimento a fattor comune della x
# applicazione della legge dell’annullamento del prodotto.
Ricordati innanzitutto che nelle equazioni spurie tutti gli addendi devono trovarsi al primo membro. Al secondo membro resta solo lo zero. Per cui, prima ancora di iniziare a far calcoli o operazioni matematiche, porta tutto a sinistra. Questo significa che per risolvere un’equazione spuria è sufficiente mettere in evidenza la x come primo passaggio. Quindi si ha che:
ax2+bx=0 → x(ax+b)=0
Se non ricordi come si effettua questa operazione, dai una rapida lettura ai nostri appunti di matematica su come si fa il raccoglimento totale. A questo punto si applica la legge dell’annullamento del prodotto.
Ricordando cioè che A*B=0 → A=0 e B=0, allora vale che:
x(ax+b)=0 → x=0 e ax+b=0
x=0 è già la prima soluzione del problema. ax+b=0 è una banalissima equazione di primo grado che mi dà come risultato x=-b/a. Ecco quindi che in 2-3 passaggi ho risolto l’equazione spuria di secondo grado.
Non c’è altro da dire a livello teorico, proviamo subito a mettere in pratica quanto abbiamo detto fino ad ora con un semplice esempio
ESEMPIO
Risolvere l’equazione spuria: 5×2+10x=0
Il primo passaggio, come detto, è quello di raccogliere la x ed eventualmente un coefficiente comune ai due addendi. Otteniamo così:
5x(x+2)=0
Prima soluzione: x=0
Seconda soluzione: x+2=0 → x=-2
EQUAZIONI SPURIE ESERCIZI
TRACCE
(x-3)2=9-5x
4(x2-x)=5×2
(x-1)2=3x+1
(x-7)2+9x= 2×2+49
SOLUZIONI
ESERCIZIO 1 CON COMMENTO.
(x-3)2=9-5x
x2-6x+9=9-5x → In questo primo passaggio, semplicemente svolgo il quadrato di binomio.
x2-6x=-5x → elimino il 9 a destra e a sinistra.
x2-6x+5x=0 → porto tutto a sinistra.
x2-x=0 → eseguo la somma algebrica tra i monomi simili.
x(x-1)=0 → è stata raccolta la x
x=0 e x=1 → applicata la legge dell’annullamento del prodotto che ha portato subito a trovare le soluzioni dell’equazione spuria.
ESERCIZIO 2.
4(x2-x)=5×2
4×2-4x=5×2 → 4×2-4x-5×2 =0 → -x2 -4x=0 → x(x-4)=0 → x=0 e x=4
ESERCIZIO 3.
(x-1)2=3x+1
x2-2x+1=3x+1 → x2-2x+1-3x-1=0 → x2-5x=0 → x(x-5)=0 → x=0 e x=5
ESERCIZIO 4.
(x-7)2+9x= 2×2+49
x2-14x+49+9x= 2×2+49 → x2-14x+9x= 2×2 → x2-5x-2×2=0 → -x2-5x=0 → x2+5x=0 → x(x+5)=0 → x=0 e x=-5
CONCLUSIONI
Come hai avuto modo di vedere, le equazioni spurie si risolvono in pochi semplici passaggi. L’esercizio può essere magari più complesso, con la presenza di radici o frazioni, ma il meccanismo non cambia. Raccoglimento totale e legge dell’annullamento del prodotto.
Equazioni parametriche di secondo grado
– come risolvere quando c’è anche una lettera oltre alla x
Le equazioni parametriche di secondo grado sono un particolare tipo di equazioni letterali in cui nella traccia viene richiesto di trovare il parametro affinché si verifichino determinate condizioni.
Si tratta di un argomento che nella maggior parte delle volte viene affrontato con superficialità non solo dagli studenti ma anche dagli insegnanti, che non danno troppo peso a questi esercizi. Peccato che poi escono quasi sempre nelle verifiche e nei compiti in classe di matematica.
Puoi riconoscerle facilmente dalla traccia perché ti troverai a dover risolvere equazioni di secondo grado parametriche in cui hai altre lettere oltre alla x. Quali sono i parametri? In genere si utilizza la lettera “a” oppure il più classico dei parametri “k”. Come si risolvono queste equazioni letterali? Vediamo quali sono gli esempi e gli esercizi più frequenti che si trovano durante i compiti.
1- DETERMINARE IL PARAMETRO K PER CUI C’È 1 SOLA SOLUZIONE
Questa è una delle più classiche richieste che si trova nella traccia. L’alternativa è di trovarla scritta anche come “trovare il parametro k per cui l’equazione ha due soluzioni coincidenti.
La traccia quindi ti chiede quanto vale il parametro k affinché x1=x2. Ti ricordiamo che, per quanto appreso dalla teoria sulle equazioni di secondo grado, si hanno due soluzioni coincidenti nel caso in cui Δ=0.
Ecco quindi come risolvere un’equazione letterale di secondo grado in cui le due soluzioni devono essere uguali.
Δ=0 → b2-4ac=0
Sostituisco quindi i vari coefficienti nell’equazione appena descritta, non dimenticando di inserire anche il parametro k. Troverò quindi un’equazione di secondo grado con la lettera k al posto della x da risolvere normalmente con il delta.
2- DETERMINARE IL PARAMETRO K PER CUI L’EQUAZIONE È IMPOSSIBILE
Nel caso in cui venga chiesto di trovare la lettera nel caso in cui la soluzione non sia reale, vuol dire che dovremo imporre la condizione Δ<0. Per cui otteniamo:
Δ<0 → b2-4ac<0
Anche in questo caso andrò a sostituire i coefficienti dell’equazione di secondo grado letterale all’interno di quest’ultima espressione. Ottengo così una disequazione di secondo grado da risolvere con i metodi classici.
3- DETERMINARE IL PARAMETRO K PER CUI L’EQUAZIONE AMMETTE DUE SOLUZIONI DISTINTE
Se l’equazione parametrica di secondo grado richiede nella traccia di trovare 2 soluzioni, allora la condizione da imporre è delta maggiore di zero.
Δ>0 → b2-4ac>0
Il caso è analogo al precedente, cambia semplicemente il verso della disequazione, ma il modo per risolverla resta lo stesso.
4- OPERAZIONI CON LE RADICI
In modo completamente differente si risolvono le equazioni letterali di secondo grado in cui la traccia chiede di trovare il parametro k affinché, la somma o il prodotto tra le radici sia pari ad un numero. Vuoi che faccia un esempio?
Esempio di traccia: determina i valori del parametro quando il prodotto delle radici è pari a 1
Per risolvere le equazioni parametriche di II grado in questo modo è fondamentale ricordare che, date le soluzioni dell’equazione, si definiscono:
somma= x1+x2 = s = -b/a
prodotto= x1 * x2 = p = c/a
Questo vuol dire che prendiamo ciò che ci chiede la traccia (nell’esempio: “il prodotto delle radici”) e proviamo a trasformarla fino a quando non troviamo x1+x2, cioè una somma, oppure x1 * x2 ovvero un prodotto.
Nel nostro esempio come possiamo procedere? Iniziamo traducendo matematicamente che il prodotto delle soluzioni è pari a 1. Questo vuol dire che:
1) le radici sono reali;
2) la differenza delle radici è 1;
3) il prodotto dei reciproci delle radici è 1/3;
4) una radice è doppia dell’altra.
SVOLGIMENTO
La prima parte dell’equazione parametrica di secondo grado viene risolta imponendo l’equazione di esistenza con il delta maggiore o uguale di zero.
Nella seconda parte viene chiesto invece quando la differenza tra le due radici è pari a 1. In questo caso è necessario calcolare quindi le due soluzioni contenenti all’interno la lettera k. Il delta è stato già calcolato nell’esercizio precedente ed era pari a 2k+3, per cui è inutile ricalcolarlo di nuovo.
L’ultima parte di questo esercizio sulle equazioni parametriche di secondo grado ci chiede quanto vale la lettera k quando una soluzione è doppia dell’altra. Quindi possiamo scrivere
L’EQUAZIONE ESISTE? LA DISCUSSIONE
Si parla spesso di fare la discussione delle equazioni letterali, ma come funziona? Un metodo molto semplice consiste nel porci una semplice domanda: quando esiste l’equazione di secondo grado? Ci ricordiamo che la formula canonica è:
ax2+bx+c=0
Cosa succede quando il coefficiente a=0? Che l’equazione di secondo grado non è più tale, ma si trasforma in un’equazione di primo grado. Quando al primo coefficiente c’è anche un parametro, cioè una lettera oltre alla x, è necessario imporre una condizione di esistenza che presuppone una piccola discussione. Vediamo un esempio pratico.
(k+9)x2+(3k+1)x+2=0
L’equazione di II grado degenera in un’equazione di I grado quando il termine al quadrato si annulla. Questo vuol dire che il suo coefficiente deve essere zero. Cioè deve valere:
k+9=0 → k=-9
Quando k=-9, l’equazione diventa: (-9+9)x2+[3(-9)+1]x+2=0 → -26x+2=0 → x=13
Questo vuol dire che per k=-9 le soluzioni sono x=13.
Quando invece il primo termine non si annulla, vuol dire che ho k diverso da -9. In questo caso ho effettivamente un’equazione di secondo grado, per cui posso risolvere normalmente con il delta.
Equazioni di secondo grado con delta negativo
– un piccolo accenno sui numeri complessi
Adesso vedremo un paio di casi particolari in cui dalla risoluzione degli esercizi sulle equazioni di secondo grado abbiamo il delta negativo. Come si risolvono in questo caso? E’ possibile trovare una soluzione al problema?
Ovviamente diamo per scontato che hai familiarità con le equazioni di secondo grado e sai come si calcola il delta, cioè il discriminante. Ricordi la formula?
∆=B2-4AC
Abbiamo già visto i 3 casi:
# ∆>0 → quando il delta è maggiore di 0, l’equazione ha due soluzioni reali e distinte;
# ∆=0 → quando il delta è uguale a 0, l’equazione ammette due soluzioni coincidenti;
# ∆<0 → quando il delta è minore di 0, l’equazione non ammette soluzioni reali;
DELTA NEGATIVO – QUAL È LA SOLUZIONE?
La domanda che si fa lo studente medio è in genere: come risolvo un’equazione di secondo grado con delta negativo? Come hai potuto leggere dal paragrafo precedente, non ci sono soluzioni reali. Questo vuol dire che nella maggior parte dei casi ti basterà scrivere come risultato IMPOSSIBILE.
Ma che cosa significa che non ci sono soluzioni reali? Che, nel campo dei numeri reali, l’equazione non da alcun tipo di risultato accettabile, cioè è impossibile risolverla.
EQUAZIONE DI SECONDO GRADO COMPLESSA
E’ un argomento che generalmente non si affronta nel programma di matematica di un liceo o comunque di una scuola superiore, ma in realtà l’equazione con delta negativo, ammette soluzioni nel campo dei numeri complessi.
Si tratta di un argomento lungo e complesso che generalmente si affronta all’università con i primi esami di analisi matematica. Tuttavia vale la pena fare un piccolo accenno sull’argomento semplicemente per permetterti di dare un risultato alle equazioni di secondo grado complesse.
PICCOLO RICHIAMO AI NUMERI COMPLESSI
L’unica cosa da sapere per poter trovare comunque una soluzione è che con i numeri complessi si introduce la lettera i. Un numero complesso è composto infatti da una parte reale e una immaginaria.
Ad esempio il numero complesso z può essere scritto come: z=a+i*b . “a” rappresenta la parte reale, mentre i*b rappresenta la parte immaginaria. a e b sono due numeri reali, mentre “i” resta sotto forma di lettera. Senza dilungarci troppo, ti basta sapere che la lettera “i” viene definita come i=√ (-1) , cioè è la radice quadrata di -1.
RISOLUZIONE EQUAZIONE DI SECONDO GRADO CON DELTA NEGATIVO
In base ala definizione della lettera “i” vediamo come si risolve un’equazione con delta minore di 0 con un esempio pratico.
x2+2x+2=0 → ∆=b2-4ac=(2)2-4(+1)(+2)=4-8=-4
Risultato: Impossibile
L’equazione ha delta negativo quindi sarebbe sufficiente scrivere “impossibile” (o “mai”) ma se vogliamo trovare una soluzione nel campo dei numeri complessi allora scriviamo la soluzione come:
x1,2=(-b∓√∆)/2a=[-2∓√(-4)]/2
Ricordando le proprietà delle radici, possiamo scrivere (-4) come (-1) *(+4) per cui la radice quadrata negativa si trasformerebbe in:
x1,2=[-2∓√(-4)]/2=[-2∓√(-1)*√(+4)]/2=[-2∓√(-1)*2]/2
In base a quanto abbiamo detto in precedenza, la radice di -1 corrisponde alla definizione di “i”, per cui possiamo scrivere:
x1,2=[-2∓√(-1)*2]/2=[-2∓2i]/2
Con un semplice raccoglimento a fattor comune ottengo:
x1,2=[-2∓2i]/2=2*[-1∓i]/2
Il 2 presente al numeratore si semplifica con il 2 al denominatore:
x1,2=2*[-1∓i]/2=-1∓i
Quindi le due soluzioni sono -1+i e -1-i. In questo modo l’esercizio si conclude e siamo riusciti a trovare le soluzioni dell’equazione di secondo grado con delta negativo usando i numeri complessi.
Equazioni esponenziali
– spiegazione, regole ed esercizi
QUALI SONO? – LA DEFINIZIONE
Quando ci troviamo un’espressione matematica in cui l’incognita x compare all’esponente, per definizione, abbiamo un’equazione esponenziale. La forma più semplice, detta normale è la seguente:
Dove a>0, a diverso da 1 e quindi b>0. Quest’ultima considerazione è particolarmente importante perché se la base è positiva anche il risultato dell’operazione sarà necessariamente positiva.
La prima domanda che ci pongono i nostri studenti é: bene, ma allora qual è la differenza tra gli esponenziali e le potenze? Mentre queste ultime, all’esponente hanno soltanto dei valori generalmente numerici, nelle equazioni esponenziali il valore x da calcolare si trova proprio nell’esponente.
COME SI RISOLVONO LE EQUAZIONI ESPONENZIALI?
Il primo passo è ovviamente di non lasciarsi prendere dal panico solo perché abbiamo una x all’esponente. La vera difficoltà di questi esercizi non sta tanto nel risolvere l’equazione in sé, quanto ricondurci alla forma base. Vedremo più dettagliatamente negli esercizi gli eventuali calcoli da eseguire. Per ora ci basti sapere che, una volta arrivati alla forma base, basta applicare il logaritmo con la stessa base dell’argomento a primo e secondo membro. Inoltre esponenziali e logaritmiche hanno lo stesso metodo di risoluzione, per cui capito questo non avrai più difficoltà in futuro.
Come puoi vedere abbiamo applicato le regole dei logaritmi (è meglio ripassarle se non le ricordi!). Può capitare quando svolgi degli esercizi sulle equazioni esponenziali, che il risultato non sia lo stesso: ti consigliamo di guardare bene la base del logaritmo perché potrebbe essere necessario cambiarne la base (se non ricordi come fare, vedi la lezione sul cambiamento di base dei logaritmi).
E SE CI SONO DUE ESPONENZIALI NELLO STESSO ESERCIZIO?
Nel caso in cui non riesci a ricondurti alla forma base perché ti trovi costretto a risolvere, nello stesso problema, due esponenziali come ad esempio 3^x=4^2x, allora come si procede? Ecco i due casi a cui puoi far riferimento:
# Equazioni esponenziali con la stessa base
In questo primo e più semplice caso, essendo le basi uguali, potrai passare direttamente all’uguaglianza degli esponenti, senza neanche dover usare i logaritmi. Si tratta spesso di esercizi elementari che hanno bisogno di pochi passaggi per essere risolti. Ciò nonostante massima attenzione a sviluppare correttamente tutti i passaggi.
# Equazioni esponenziali a base diversa
In questo secondo caso, più generico, è necessario fare uso dei logaritmi. La soluzione che hai visto in questa formula generale, in realtà non è l’unica. Le equazioni esponenziali si possono risolvere infatti imponendo anche basi differenti. Nella spiegazione generale che hai appena visto abbiamo applicato il logaritmo decimale, ma nulla ci avrebbe vietato di scrivere un log in base a. Il risultato sarebbe stato diverso? Assolutamente no: sarebbe cambiato solo il coefficiente.
Non preoccuparti infine della presenza di frazioni in questo tipo di esercizi: i logaritmi non sono difficili da usare, basta applicare solo le relative regole quando e dove necessario.
ESERCIZI SVOLTI ED ESEMPI
La spiegazione e le regole sulle equazioni esponenziali sono già finite! Come hai potuto vedere non si tratta di nulla di particolarmente complesso: è fondamentale però conoscere le regole delle potenze e quelle dei logaritmi, senza le quali diventa tutto più difficile. A questo punto, per darti un aiuto maggiore e spiegare meglio i concetti fino ad ora espressi, vediamo di risolvere assieme qualche esercizio sugli esponenziali.
Risolvere le equazioni esponenziali seguenti:
Come puoi vedere in questo primo esempio svolto, la prima cosa da fare è cercare di capire se siamo in presenza di un’equazione esponenziale con le stesse basi. In questo caso l’esercizio diventa molto più facile: solo ricordando le regole e gli esercizi sulle potenze (in particolare sulle potenze negative) siamo riusciti a passare da 1/2 a 2 semplicemente mettendo un segno meno all’esponente. Il resto del problema non è difficile, si tratta di semplici passaggi algebrici.
In questo secondo esercizio appare subito evidente che la base non è la stessa: si tratta di un’equazione esponenziale con basi diverse per cui dovremo necessariamente usare i logaritmi. Ci sono due modi di procedere: usare i logaritmi naturali (cioè con il numero di Nepero) o decimali, oppure usare la stessa base degli esponenziali, che è la strada che noi preferiamo. Vediamo come si risolve:
Come puoi osservare l’unica vera difficoltà è ricordarsi di applicare le regole dei logaritmi all’interno dell’equazione esponenziale. Per il resto valgono le regole già viste più volte per le equazioni di primo grado. Cioè risolte le moltiplicazioni, gli elementi con l’incognita vanno a sinistra mentre i termini noti a destra. Infine sono state applicate le proprietà di somma e differenza dei logaritmi. Senza dilungarci in ulteriori spiegazioni, proseguiamo questa volta con le equazioni esponenziali di secondo grado (dette anche del secondo tipo).
Non esiste altro metodo per risolvere le equazioni esponenziali del secondo tipo: si pone l’esponenziale stesso pari ad una seconda incognita – y nell’esempio – e si calcolano le radici dell’equazione di secondo grado -anche con il metodo del delta. Una volta trovate y1 e y2, le due soluzioni, si va sostituire di nuovo l’esponenziale completando l’esercizio. L’ultimo esempio che ti mostriamo, infine, riguarda i sistemi di equazioni esponenziali, in cui compaiono cioè 2 incognite.
In questo tipo di esercizio non c’è nulla di particolarmente difficile. Abbiamo risolto e semplificato le equazioni in maniera indipendente e poi usato la regola dei sistemi di equazioni – come il metodo di sostituzione. La regola non sarebbe cambiata se ci fossero state 3 incognite e quindi tre equazioni esponenziali da risolvere.
Disequazioni esponenziali
– esempi ed esercizi svolti
COME SI RISOLVONO?
A scuola non le hai capite ed ora ti ritrovi costretto a far i conti con degli esercizi che non sai risolvere… Niente paura: ti daremo in pochi semplici passaggi un aiuto sulle disequazioni irrazionali. In questo modo potrai risolvere espressioni ed esercizi di matematica anche più difficili ed in pochi minuti. Iniziamo però con calma…
Le disequazioni esponenziali e logaritmiche si svolgono più o meno nello stesso modo: il principio che ti aiuterà a risolvere gli esercizi anche più difficili sono praticamente gli stessi. Per questa lezione è fondamentale che tu abbia già studiato le equazioni esponenziali o almeno tu sappia che cos’è la funzione esponenziale stessa.
Come quasi sempre accade, la regola generale è cercare di ricondurci alla forma base:
Nel caso in cui b (cioè il numero al secondo membro) è minore di 0, allora nel primo caso ho una disequazione sempre verificata (scriveremo con simboli “per ogni x appartenente a R”), mentre nel secondo caso una disequazione impossibile.
Questo perché a elevato a x deve necessariamente essere positivo per definizione di esponenziale. Ricordando che la funzione esponenziale è crescente quando la base è maggiore di zero, decrescente quando la base è compresa tra 0 e 1, allora dobbiamo distinguere due diversi casi:
# SE 0<A<1, ALLORA:
# SE A>1
TRUCCHI E SUGGERIMENTI CHE TI VENGONO IN AIUTO
Dal punto di vista teorico la lezione potrebbe anche essere finita qui. La cosa che ci preme che tu abbia capito è che, quando la base dell’esponenziale è minore di 1 dovrai ricordarti di invertire il verso della disequazione. Quando invece la base dell’esponente è maggiore di 1 non dovrai farti alcun tipo di problema e risolvere normalmente.
ESERCIZI ED ESEMPI SVOLTI SULLE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Risolviamo i seguenti esercizi sulle disequazioni esponenziali.
Negli esercizi facili, come il primo che ti abbiamo proposto, non è necessario neanche fare il passaggio ai logaritmi. Semplicemente è stato sufficiente ricordarci le proprietà delle potenze e trasformare 16 in una potenza con lo stesso esponente.
Il secondo esercizio che hai visto è uno delle più semplici disequazioni esponenziali fratte. Anche in questo caso infatti non abbiamo usato le radici, ma le proprietà delle potenze e, alla fine, un facile minimo comune multiplo per la presenza della frazione 1/3.
In questo caso abbiamo risolto degli esercizi con le basi uguali. Nel momento in cui ci troviamo a dover risolvere delle disequazioni esponenziali con basi diverse, dovremo necessariamente fare ricorso ai logaritmi.
In quest’ultimo esercizio abbiamo dovuto provare a risolvere la disequazione esponenziale con due incognite: la seconda ci è infatti servita per semplificarci il problema trasformando il tutto in una banale disequazione di secondo grado. A quel punto abbiamo trasformato la disequazione esponenziale attraverso i logaritmi ed ottenuto in seguito il risultato finale.
Equazioni Logaritmiche
– come si risolvono? Definizione, formule ed esercizi svolti
QUALI SONO LE EQUAZIONI LOGARITMICHE?
Ovviamente prima di partire ti consigliamo di andarti a riguardare le proprietà dei logaritmi. E’ impossibile pensare di risolvere equazioni logaritmiche e disequazioni senza sapere neanche cosa sono i logaritmi.
La definizione è molto semplice: un’equazione logaritmica è tale quando l’incognita x compare anche all’argomento di uno o più logaritmi.
Come puoi vedere è possibile dover risolvere anche le equazioni logaritmiche con base diversa. Non spaventarti, ti daremo un aiuto su tutte le domande che avrai in mente, ma procediamo con ordine.
COME SI RISOLVONO LE EQUAZIONI LOGARITMICHE?
Per risolvere un’equazione logaritmica si devono stabilire le Condizioni di Esistenza (se ti ricordi ne abbiamo già parlato anche durante le lezioni sulle equazioni fratte e sui irrazionali). E’ necessario imporre ogni argomento di logaritmo positivo (cioè maggiore e uguale di 0) e poi si deve cercare di porre l’equazione nella forma:
In questo modo potrai risolvere le equazioni anche più difficili. Nel caso più generale potrai provare ad ottenere queste che sono chiamate equazioni logaritmiche elementari:
TRUCCO PER RICORDARTI COME RISOLVERE LE EQUAZIONI CON I LOGARITMI
Noi sai come ci ricordiamo come procedere? Semplicemente ogni volta che abbiamo un esercizio con un logaritmi ci muoviamo trasformando la traccia in una potenza, la cui base è proprio la base del logaritmo. Cioè per chiarirti le idee, ecco il nostro consiglio:
Sfruttando la definizione dei logaritmi possiamo così risolvere tutti gli esercizi facili o difficili che siano.
EQUAZIONI LOGARITMICHE – ESEMPI SVOLTI
In questo primo esempio abbiamo un’equazione logaritmica con le basi uguali. Per portarci al caso più semplice in cui abbiamo 1 logaritmo a destra e 1 a sinistra è necessario risolvere la somma. Ti ricordi come si fa? Tra le nostre lezioni trovi molti esercizi sui logaritmi su cui poter approfondire l’argomento. Ricorderai che si ottiene una moltiplicazione, per cui:
Come puoi vedere abbiamo risolto sulla destra le condizioni di esistenza per giungere ad ottenere un sistema di disequazioni di primo grado. Sulla sinistra invece ho ottenuto una semplice equazione di secondo grado.
Lasciamo a te la risoluzione di quest’ultima, da svolgere con il metodo solito del DELTA o con qualsiasi altro metodo ritieni più opportuno. Le due soluzioni sono:
x=-3 (non accettabile per le condizioni di esistenza)
x=1 (accettabile)
ESERCIZIO RISOLTO SULLE EQUAZIONI LOGARITMICHE
Vediamo un secondo esempio meno facile del precedente.
Poiché il logaritmo in base 3 di 9 è uguale a 2 e la differenza tra i logaritmi diventa una divisione, allora possiamo scrivere:
A questo punto abbiamo ottenuto un’equazione irrazionale. Intanto non avendole segnate sopra ti riportiamo qui il risultato delle condizioni di esistenza. x>-1
Possiamo ora elevare al quadrato ed ottenere, dopo aver calcolato il minimo comune multiplo, la seguente equazione:
EQUAZIONI LOGARITMICHE CON BASI DIVERSE
Attenzione a questo esercizio risolto: abbiamo la base di un argomento con l’incognita. Questo significa che dovremo aggiungerlo alle condizioni di esistenza. Per avere significato, infatti, l’espressione deve essere:
Come puoi vedere abbiamo praticamente ottenuto un’equazione logaritmica di secondo grado (dopo essere passato per le equazioni logaritmiche fratte). Sostituiamo il logaritmo con una nuova variabile, in questo caso la y, e risolviamo con il metodo del delta, come sempre. Otteniamo due soluzioni, ma ricordiamoci che abbiamo calcolato y non x. Per cui risostituiamo:
