Equazioni di primo grado
– esercizi svolti con tutti i possibili casi
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO AD UNA INCOGNITA
Iniziamo a risolvere esercizi sulle equazioni di primo grado più semplici e man mano rendiamo i problemi sempre più difficili. Risolvere le seguenti equazioni numeriche intere.
ESERCIZIO 1
5x-3-4x=2x-6
Questo primo esercizio svolto sulle equazioni di primo grado è estremamente semplice e facilmente può essere ricondotto alla forma base delle equazioni di primo grado. E’ sufficiente “spostare” tutti gli elementi con l’incognita x a sinistra e tenere i termini noti, cioè i numeri, sulla destra.
5x-4x-2x=-6+3
-x=-3
Sulla sinistra abbiamo svolto le operazioni tra monomi simili, mentre al secondo membro le operazioni tra numeri relativi sulla destra.
Poiché il segno meno deve sparire dalla x, posso cambiare i segni di entrambi i membri e il risultato non cambia. Per cui ottengo alla fine il semplice risultato:
x=3
ESERCIZIO 2
(3x-5)/4-1=2x
Abbiamo iniziato ad aumentare lentamente la difficoltà degli esercizi sulle equazioni di primo grado, introducendo una semplice frazione. Abbiamo già visto nella scorsa lezione sulle equazioni di primo grado come comportarci in questo caso.
Attenzione a non confondere questa tipologia di problema, con un numero al denominatore, con gli esercizi sulle equazioni fratte. In quel caso l’incognita del problema è al denominatore e l’esercizio è leggermente più difficile. Nel nostro caso ci stiamo occupando ancora di esercizi piuttosto semplici, ecco come procedere:
# Calcoliamo il minimo comune multiplo e si eseguono le operazioni normali per le frazioni. Ovvero mcm diviso il denominatore, moltiplicato per il numeratore.
# Essendoci a denominatore solo dei numeri ed essendo questi uguali, posso eliminarli e considerare esclusivamente il numeratore.
3x-9=8x
3x-8x=9
A questo punto siamo tornati al caso più semplice di esercizio sulle equazioni di primo grado. Come sempre portiamo le incognite a sinistra e i termini noti a destra. Risolvo la somma dei due monomi al primo membro per ottenere:
-5x=+9
5x=-9
Dopo aver cambiato tutti i segni, così che davanti la x non compaia il segno negativo, posso applicare la regola delle moltiplicazioni e divisioni. Cioè divido entrambi i membri per il coefficiente della x. Quindi divido tutto per 5.
x=-9/5
ESERCIZIO 3
Complichiamo ancora il grado di difficoltà degli esercizi sulle equazioni di primo grado introducendo qualche calcolo ulteriore. L’obiettivo resterà sempre riportarci alla forma base delle equazioni di primo grado ax=b
Non è cambiato molto dal caso precedente, si calcola come prima il minimo comune multiplo e si svolgono i normali calcoli. Iniziamo a risolvere l’esercizio:
18(3-4x)-15(x-1)=30(4+x)-160
54-72x-15x+15=120+30x-160
Siamo tornati al caso più semplice: abbiamo cioè solo incognite e termini noti, nessun’altra difficoltà. Per cui come prima le incognite passano tutte a primo membro, tutto il resto a destra.
69-87x=-40+30x
-87x-30x=-40-69
-117x=-109
x=117/109
Dopo esserci ricondotti alla forma base ax=b abbiamo semplicemente cambiato i segni di entrambi i membri e applicato la proprietà delle equazioni della moltiplicazione e divisione. Dividendo entrambi i membri per 39 ho ottenuto il risultato finale.
ESERCIZIO 4
Il seguente esercizio sulle equazioni di primo grado comprende un po’ tutto quanto studiato sino ad ora, dalle operazioni tra polinomi ai quadrati di binomio. Per risolvere questo esercizio di matematica occorrerà come sempre restare concentrati e applicare le regole viste sino ad ora una alla volta.
Iniziamo a risolvere il quadrato di binomio e a sviluppare il prodotto tra polinomi in parentesi. Otteniamo quindi:
Ora moltiplichiamo le frazioni esterni per ogni singolo elemento contenuto dalle parentesi tonde.
Avendo eliminato tutte le parentesi tonde dall’equazione di primo grado, possiamo calcolare il minimo comune multiplo, che in questo caso è pari a 30. Prima però semplifichiamo al massimo ogni singola frazione così da ridurre i calcoli per risolvere l’esercizio. Da notare inoltre che alcuni termini uguali si sommano e si sottraggono per cui possono essere eliminati. Riducendo si ottiene quindi:
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO CON SOLUZIONI
Ti presentiamo ora una serie di esercizi sulle equazioni di primo grado. Hai tutti gli strumenti per risolvere correttamente questi semplici esercizi di matematica, per cui non indugiare.
Ti consigliamo di esercitarti sul maggior numero possibile di esercizi sulle equazioni di primo grado. Sarai così perfettamente in grado di affrontare i prossimi argomenti di cui tratteremo, ovvero gli esercizi sulle equazioni di primo grado fratte e le disequazioni.
Disequazioni di secondo grado
– spiegazione e schema risolutivo
Le disequazioni di secondo grado sono delle disequazioni in cui l’incognita compare con un esponente al quadrato.
Per capire come si risolvono le disequazioni di secondo grado è importante che tu abbia studiato, e quindi capito, le equazioni di secondo grado, perché anche in questo caso andremo a trovare due soluzioni x1 e x2. La soluzione però sarà data da un intervallo di valore. Iniziamo però con calma e capiamo subito cosa sono e come si presenta una disequazione di secondo grado.
ax²+bx+c>0
ax²+bx+c≥0
ax²+bx+c<0
ax²+bx+c≤0
Queste che hai visto elencate sono le quattro forme in cui si possono presentare le disequazioni di secondo grado. Abbiamo un termine al quadrato, un termine di primo grado e quello che viene chiamato termine noto. Il verso può essere maggiore, minore, maggiore e uguale o minore e uguale.
Dei tre coefficienti, a ovviamente deve essere diverso da zero, altrimenti avremmo il caso di una disequazione di primo grado.
ax²+bx+c>0 → a=0 → bx+c=0 → x=-b/c
COME FARE PER RISOLVERE DISEQUAZIONI DI II GRADO
Molti testi di matematica propongono metodi e tecniche risolutive differenti. Noi ti proponiamo in questa lezione quella più facile e sicura, cioè che richiede meno sforzi mentali e presenta meno rischi di errori.
1 – ASSICURATI CHE A>0
Per non complicare troppo gli esercizi, fai in modo che il primo coefficiente sia positivo. Se dovessi vedere un segno meno, cambia tutti i segni e il verso della disequazione.
2 – CALCOLA LE DUE SOLUZIONI
Fai finta almeno per questo momento che stai risolvendo un’equazione di secondo grado e usa le formule risolutive che conosci, come ad esempio la formula del delta. Sui libri di testo troverai scritto che per risolvere le disequazioni di secondo grado, bisogna passare all’equazione associata. Cioè:
ax²+bx+c>0 → ax²+bx+c=0
3 – SCHEMA RISOLUTIVO
A questo punto abbiamo calcolato x1 e x2 e si possono presentare i seguenti casi:
DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO SPURIE
Esistono alcuni casi più semplici dove puoi evitare di fare il calcolo del delta, tra queste le disequazioni di II grado spurie. Esempio:
x²+2x≤0
Passo subito all’equazione associata
x²+2x=0
Noto che manca il termine noto, per cui posso mettere in evidenza la x.
x(x+2)=0
Le soluzioni sono x=0 e x=-2. Analizzando la tabella precedente noto che sono nel caso in cui le due soluzioni sono diverse tra loro e c’è il simbolo minore e uguale. Per cui la soluzione è:
-2≤x≤0
DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO PURE
Questo tipo di disequazioni di 2 grado sono le più sbagliate dagli studenti, perché apparentemente le più semplici. Qui bisogna fare molta attenzione al delta negativo. Mi ritrovo infatti di fronte ad una disequazione binomia del tipo:
ax²+c>0
# Se i coefficienti a e c sono discordi puoi risolvere come una normale equazione di secondo grado pura. Quindi portiamo c al secondo membro, radice quadrata e troviamo le due soluzioni x1 e x2. A questo punto seguo la tabella vista sopra.
# Se i coefficienti a e c sono concordi, se provassi a usare la formula normale per le equazioni di 2 grado, avresti un delta negativo. Queste disequazioni binomie infatti vanno risolte nel seguente modo:
3x²+1<0 → IMPOSSIBILE
3x²+1>0 → ∀x∈R
Col verso minore il risultato è impossibile: questo perché il binomio è sempre positivo e non può essere minore di zero. Quando c’è il verso maggiore il risultato è sempre verificato (cioè per ogni x appartenente a R).
ESEMPI
Adesso vedremo solo alcuni esempi per capire come applicare le formule viste sopra.
ESERCIZIO 1
x²-5x<0
Svolgimento
Questa che ci viene presentata dalla traccia rientra tra le disequazioni di secondo grado spurie. Per cui si fa un raccoglimento totale della x.
x(x-5)<0
L’equazione associata è x(x-5)=0 le cui soluzioni sono x1=5 e x2=0
Entro nella tabella con x1 diverso da x2 e con il simbolo minore. Il risultato è per valori compresi. Per cui la soluzione posso scriverla come:
0<x<5
ESERCIZIO 2
-x²-10x-25<0
Svolgimento
Visto che il primo coefficiente è negativo, invertiamo tutti i segni e il verso della disequazione.
x²+10x+25>0
Passiamo all’equazione di II associata:
x²+10x+25=0 → calcolo il delta → Δ=b²-4ac=100-4(25)=0
x=-10/2=-5
Ho il delta uguale a zero, per cui rientro nel caso in cui le due soluzioni sono uguali tra loro e ho verso maggiore. Per cui la soluzione è:
∀x∈R, x≠-5
ESERCIZIO 3
x²+4x-21>0
Svolgimento
Passiamo all’equazione associata e calcoliamo le due soluzioni.
x²+4x-21>0 → x²+4x-21=0 → x1=-7 e x2=3
Siamo nel caso in cui le due soluzioni sono tra loro diverse, mentre il verso è maggiore. Per questa ragione si prendono soluzioni esterne. Il risultato è quindi:
x<-7 U x>3
Formula delta
– come si calcola il discriminante?
Qual è la formula del delta? Come si calcola il delta delle equazioni di secondo grado in modo semplice?
Ecco come si calcola il delta:
La formula del delta è: il quadrato del coefficiente di primo grado (b2) meno il quadruplo del prodotto del coefficiente di secondo grado per il termine noto (4ac).
Quindi detto in termini generici, data l’equazione di secondo grado generica
per il calcolo del delta basta elevare al quadrato il numero che si trova al posto della b e fare la differenza con il termine a la c moltiplicate per 4.
A COSA SERVE IL CALCOLO DEL DELTA
Una volta calcolato il discriminante si ottiene un numero. Qui si presentano 3 casi.
# Δ>0 → l’equazione ha 2 soluzioni reali e distinte.
# Δ=0 → l’equazione ha 2 soluzioni reali coincidenti. Se provi a scomporla vedrai che otterrai un quadrato di binomio.
# Δ<0 → l’equazione è impossibile nel campo dei numeri reali. Leggi l’approfondimento sulle equazioni con delta negativo.
Appare quindi evidente la funzione del delta: indicarci se esistono e quante sono le soluzioni dell’equazione studiata. Si può inserire la formula del delta all’interno della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
ESEMPI SU COME SI APPLICA LA FORMULA DEL DELTA
Esercizio 1)
3×2+7x+2=0
Si voglia in questo esercizio solo applicare la formula del delta senza trovare le soluzioni dell’equazione. Per prima cosa individuiamo i coefficienti:
a=3, b=7, c=2
Δ=b2-4ac=
=72-4(3)(2)=
=49-24=25
In questo caso il delta è un numero maggiore di zero, per cui esistono due soluzioni reali e distinte.
Esercizio 2)
x2+2x+√3=0
Come prima applichiamo la formula del delta trovando i coefficienti da inserire:
a=1, b=2, c=√3
Δ=b2-4ac=
=22-4(1)(√3)=
=4-4√3.
Il delta è sempre un numero positivo ma ha la particolarità di contenere una somma con una radice. Andando a calcolare poi le soluzioni dell’equazione ci troveremo con una radice con all’interno un’altra radice. L’unico modo che abbiamo per risolverla è utilizzare la formula dei radicali doppi quadratici. Lasciamo tuttavia la conclusione di questo esempio a te: sarà un ottimo modo per esercitarti.
FORMULA DELTA QUARTI
Si utilizza praticamente solo al secondo anno della matematica delle scuole superiori perché rappresenta un formula aggiuntiva da imparare che può essere sostituita perfettamente dalla formula del delta vista fino a questo momento.
Riepilogando in breve: si utilizza quando il coefficiente del termine di primo grado è un numero pari. Serve sostanzialmente per ridurre quelle espressioni in cui i numeri sono molto grandi. La formula del delta quarti è la seguente:
La formula per calcolare il delta quarti prevede di dividere a metà il coefficiente del termine di primo grado e poi elevarlo al quadrato. Al numero che si ottiene bisogna sottrarre il prodotto tra il coefficiente del termine di secondo grado e il termine noto.
ESEMPIO DI APPLICAZIONE FORMULA DELTA QUARTI
x2+4x+3=0
Individuiamo come sempre i coefficienti: a=1, b=4, c=3.
Δ/4=(b/2)2-ac=
=(4/2)2-(1)(3)=
=4-3=1
Anche in questo caso la formula del delta quarti ci fornisce un risultato positivo, per cui l’equazione di secondo grado avrà due soluzioni reali e distinte.
Ora sai tutto quello che c’è da sapere sulla formula del delta. Ti consigliamo di impararla a memoria anche perché la utilizzerai molto spesso.
Disequazioni di primo grado
– come risolverle senza rischiare di fare errori
Le disequazioni di primo grado, sono delle disequazione che hanno al loro interno l’incognita x di grado 1. Proprio per questa ragione vengono chiamate anche disequazioni lineari.
Per poterle risolvere è necessario effettuare operazioni e semplificazioni così da ricondurre la disequazione di primo grado nella forma più semplice:
ax>b
(maggiore)
ax<b
(minore)
ax≥b
(maggiore e uguale)
ax≤b
(minore e uguale)
COME SI RISOLVONO LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO?
I valori a e b si chiamano coefficienti della disequazione e appartengono all’insieme dei numeri reali. Una volta giunti ad una delle quattro forme base viste sopra, possiamo risolvere esattamente come siamo abituati con le equazioni di primo grado. Quindi la x viene isolata portando il coefficiente a al denominatore del secondo membro.
ax>b → x>b/a
ax<b → x<b/a
ax≥b → x≥b/a
ax≤b → x≤b/a
Tutto quello che c’è da sapere sulle disequazioni di primo grado è finito. Tutte le difficoltà che potrai incontrare riguardano sostanzialmente i passaggi algebrici. Il difficile, in poche parole, è solo arrivare ad uno dei quattro casi visti sopra.
Quando prenderai confidenza con l’argomento passerai a dei casi un po’ più complessi, come le disequazioni di primo grado fratte, in cui l’incognita x compare anche al denominatore. Iniziamo intanto a concentrarci sui casi più semplici.
2 CONSIGLI PER EVITARE DI SBAGLIARE
1) SE CAMBI I SEGNI CAMBIA ANCHE IL VERSO
La cosa fondamentale da ricordare è che nelle disequazioni di primo grado se vogliamo cambiare tutti i segni va cambiato anche il verso. Mentre cioè nelle equazioni di primo grado era sufficiente cambiare solo tutti i segni, qui dobbiamo ricordarci di trasformare il maggiore in minore e viceversa.
2) DISEQUAZIONI LINEARI CON LE FRAZIONI
Nella nostra esperienza abbiamo avuto modo di constatare che gli studenti ci chiedono un aiuto soprattutto quando i coefficienti sono delle frazioni. Se invece di a e b abbiamo delle frazioni cosa succede? E’ un aspetto che abbiamo già evidenziato nelle equazioni di primo grado, ma è meglio ribadirlo piuttosto che avere dei dubbi. Facciamo subito lo schema di come risolvere:
Come puoi notare è sufficiente trasportare la prima frazione (il coefficiente della x) al secondo membro come prodotto e capovolgerla: il numeratore diventa denominatore e viceversa. Seguendo questa regola non avrai più bisogno di aiuto e sicuramente eviterai dubbi o errori.
I PRIMI ESERCIZI CON LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Quelli che ti proponiamo ora sono alcuni esercizi e problemi risolti con soluzione. Si tratta di esempi che potrai trovare utili per applicare i metodi di risoluzione visti sopra nella parte teorica. Vediamo allora come si risolvono le disequazioni di primo grado seguenti.
ESEMPIO 1
3x-4>0
Abbiamo detto che per risolvere una disequazione di 1 grado bisogna isolare la x al primo membro. Per cui il termine noto (cioè i coefficiente senza la x) va portato al secondo membro cambiandogli il segno.
3x>+4
A questo punto, per isolare definitivamente la x, bisogna portare il coefficiente 3 al secondo membro. Dividiamo quindi primo e secondo membro della disequazione lineare per 3.
x>+4/3
ESEMPIO 2
3x+4≥3(x+2)-2
Rispetto al caso precedente c’è semplicemente una moltiplicazione in più da eseguire. Risolviamo subito il prodotto per eliminare la parentesi tonda:
3x+4≥3x+6-2
3x+4≥3x+4
Portiamo quindi ora tutti i monomi con la x al primo membro, mentre i termini noti vanno al secondo membro.
3x-3x≥+4-4
0x≥0
Abbiamo ottenuto un risultato decisamente strano. Poiché 0 moltiplicato per x fa 0, la disequazione ci sta chiedendo quando 0≥0? Se la disequazione fosse con il segno > (solo maggiore) sarebbe impossibile, perché 0 non è maggiore di se stesso. In questo caso, tuttavia, la disequazione di primo grado ha il verso maggiore e uguale. Poiché 0=0, allora il risultato è sempre verificato. In matematica si scrive come:
∀x∈R
Si legge per ogni x appartenente ad R che equivale a dire che qualsiasi valore noi assegniamo alla x, il risultato è sempre valido.
ESEMPIO 3
√2 x +1≥ 3+x
Si tratta di una disequazione di primo grado a coefficiente irrazionale. Cioè uno dei coefficienti è una radice quadrata. Senza lasciarci prendere dal panico, applichiamo il metodo risolutivo: i coefficienti con la x al primo membro, tutti gli altri al secondo membro.
√2 x≥ 3-1
√2x ≥ 2
x ≥ 2/√2
A questo punto possiamo applicare la regola delle razionalizzazioni dei radicali. Moltiplichiamo e dividiamo il secondo membro per √2.
x ≥ 2/√2 · √2/√2
x ≥ 2√2/2
x ≥ √2.
ESEMPIO 4
Questo ultimo esercizio può sembrare più difficile ma chiarisce quanto le disequazioni di primo grado siano in realtà semplice. Può essere l’espressione in sé più complessa, ma il metodo risolutivo è sempre lo stesso. In questo caso abbiamo sfruttato la tecnica di semplificazione dei polinomi del raccoglimento a fattor comune per ottenere il binomio letterale (b-a) sia a primo che a secondo membro.
Disequazioni Irrazionali
– le formule e le regole per risolverle
Le disequazioni irrazionali sono delle disequazioni in cui compare il simbolo della radice. Generalmente mettono in difficoltà gli studenti, nonostante la loro risoluzione possa essere eseguita con poche semplici regole. Vedremo come si risolvono le disequazioni irrazionali e quali sono le formule da usare per arrivare alla soluzione senza il rischio di sbagliare.
Nella prima parte vedremo quali sono le formule per risolvere le disequazioni irrazionali, mentre dedicheremo un’ampia seconda parte agli esercizi svolti e agli esempi. Ti consigliamo quindi di leggere con calma questa lezione perché troverai tutti i passaggi con commento e spiegazione.
f(x) e g(x) sono due generici polinomi e il secondo di questi compare sotto il segno della radice, che può essere di indice dispari (il caso più semplice da risolvere) o pari. Per il caso minore (e minore uguale) e per il caso maggiore (e maggiore uguale) esistono due metodi o meglio due formule risolutive differenti.
TABELLA PER RISOLVERE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI
In questo piccolo schema sono presenti le formule sulle disequazioni irrazionali che andrai ad utilizzare per risolvere gli esercizi. Vediamo ora nel dettaglio ogni singolo caso.
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI AD INDICE DISPARI
E’ il CASO 1 nelle formule che hai visto in alto. Si tratta del caso più semplice visto che è sufficiente elevare solo all’n-esima potenza entrambi i membri della disequazione. In questo modo riusciamo a far sparire i radicali dall’esercizio. Non importa che la disequazione irrazionale abbia il maggiore o il minore o l’uguale, in ogni caso il procedimento è sempre lo stesso.
ESEMPIO
Abbiamo ottenuto a questo punto una disequazione di secondo grado che risolviamo con la formula del delta. Poiché:
Δ=9-24<0 → la soluzione è verificata ∀x∈R (infatti tutti i termini sono positivi per cui sarà certamente maggiore di 0)
DISEQUAZIONI IRRAZIONALI AD INDICE PARI
Se l’indice del radicale è pari dobbiamo distinguere due diversi casi e procedere in maniera differente a seconda del verso della disequazione.
1 – CASO 2
Quello che abbiamo nelle formule generali definito come caso due vede la presenza del segno maggiore (o maggiore e uguale).
In questa circostanza, oltre alla condizione di esistenza del radicale g(x) maggiore e uguale di 0, deve valere f(x)>0 poiché se g è maggiore di 0 ed f è maggiore di g, allora anche f sarà maggiore di 0. E’ così necessario risolvere il sistema di disequazioni.
ESEMPIO
Per la realtà del radicale deve essere x²+2x-3≥0
Inoltre il secondo membro x+5 non deve essere negativo perché maggiore o uguale al primo membro, che non è certamente negativo visto che è il risultato di un radicale. In tali ipotesi si possono elevare al quadrato entrambi i membri, per cui si ha:
Dall’esame della figura si deduce che il sistema e quindi anche la disequazione irrazionale della traccia sono verificati per:
-7/2 ≤ x ≤-3 ∪ x ≥1
2 – CASO 3
Nella disequazioni con i radicali compare stavolta il segno minore. In questo caso è necessario risolvere attraverso l’unione di due sistemi di disequazioni:
Infatti se f(x) è negativo la disequazione di partenza è sicuramente verificata, dato che il radicale è certamente maggiore di un numero negativo. Se f(x) è maggiore o uguale di zero, invece, la disequazione irrazionale è verificata elevando alla potenza n-esima.
ESEMPIO
Se il secondo membro della disequazione data è negativo, essa è verificata. Se non è negativo eleviamo al quadrato entrambi i membri per risolvere.
La disequazione 5x+5≥0 nel secondo sistema può essere tralasciata perché implicita nella disequazione 5x+5>(9-x)². Per questa ragione otteniamo come risultato:
x>9 ∪ 4<x≤9
Mettendo questi risultati otteniamo che la disequazione irrazionale è verificata per x>4
ESERCIZI SVOLTI
1) Il primo degli esempi che ti proponiamo è molto semplice. Abbiamo indice dispari, per cui non sono necessarie condizioni di esistenza, ma è sufficiente elevare al cubo entrambi i membri della disequazione.
2) Il secondo esercizio svolto presenta un trucchetto che fino ad ora non abbiamo ancora visto: la radice va sempre isolata rispetto a tutti gli altri termini. Questo significa che il radicale deve stare da solo o a primo o a secondo membro.
Come puoi vedere nell’ultima disequazione abbiamo svolto un quadrato di binomio per arrivare alla soluzione temporanea. Per ottenere la soluzione dell’esercizio è necessario fare uno studio dello schema grafico.
Poiché stiamo risolvendo una sistema di disequazioni, bisogna prendere l’intervallo in cui c’è sempre linea continua. Ecco la ragione per cui la soluzione dell’esercizio è: +2<x<+3.
3) Aumentiamo il grado di difficoltà e proviamo a risolvere esercizi con le equazioni irrazionali con due radicali. Vediamo subito la traccia ed iniziamo a risolvere:
La prima operazione è stata quella di portare tutte le radici allo stesso membro e poi scrivere un sistema con le due condizioni di esistenza dei radicali e l’elevazione a potenza. Quest’ultima operazione riesce in genere più difficile agli studenti ma è piuttosto semplice: ogni radicale va considerato come un termine a parte.
Per cui il binomio di cui fare il quadrato è composto da 2 radici. Si fa così il quadrato del primo radicale, il quadrato del secondo radicale e il doppio prodotto, che come risultato mi dà una nuova radice. Poche semplici operazioni algebriche e mi portano al sistema finale.
A questo punto considerando che la condizione di esistenza dell’ultimo radicale ottenuto mi porterebbe alle stesse disequazioni già scritte nel sistema, dobbiamo solo aggiungere 2-x>0, rispettando il caso 2 della teoria vista sopra.
TRACCE DI ESERCIZI DA RISOLVERE CON SOLUZIONI
Il primo esercizio da risolvere sulle disequazioni con gli esponenziali presenta un grado di difficoltà molto simile all’ultimo esempio visto assieme. E’ necessario quindi scrivere un solo sistema con le condizioni di esistenza di tutti i radicali e infine elevare tutto al quadrato. Fai attenzione che ti troverai una nuova disequazione irrazionale con il maggiore, per cui dovrai rispettare il caso 3 e passare a due sistemi.
In questo esercizio avrai la possibilità di verificare il tuo grado di abilità con le disequazioni irrazionali fratte. Come per le disequazioni razionali fratte anche in questo caso dovrai studiare separatamente numeratore e denominatore imponendo ad entrambe il maggiore di zero. Al numeratore non avrai alcun problema, mentre al denominatore ti troverai a dover risolvere una disequazione irrazionale con il segno maggiore.
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