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Data 17 ottobre 2019

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI – 2

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Equazioni di primo grado fratte

 

EQUAZIONI FRATTE ESERCIZI

Riassumiamo quanto detto nella lezione sulle equazioni fratte di primo grado. Ecco come si risolvono passo passo:

 

# sulla colonna destra si impongono le condizioni di esistenza, cioè ogni denominatore deve essere imposto diverso da 0 e si risolve l’equazione che ne deriva.

# si torna sulla parte sinistra della pagina e si calcola il minimo comune multiplo tra i monomi o i polinomi al denominatore.

# tutte le frazioni hanno ora il mcm al denominatore, mentre al numeratore si eseguono i classici calcoli che si fanno con le frazioni

(mcm : denominatore × numeratore)

# avendo già esplicitato le condizioni di esistenza, posso eliminare tutti i denominatori.

# ho ottenuto così un’equazione da grado 1 che andrò a risolvere con i metodi di svolgimento delle equazioni di primo grado.

# verifica infine che le soluzioni dell’equazione fratta siano compatibili con le condizioni di esistenza.

 

Nel caso in cui, dopo aver eliminato i denominatori, ti ritrovi con un’equazione di secondo grado, puoi risolvere utilizzando le tecniche viste nella lezione sulle equazioni fratte di secondo grado.

 

EQUAZIONI FRATTE ESERCIZI SVOLTI

Proviamo ora a risolvere assieme 3 equazioni di primo grado fratte. La traccia è:

Risolvere le equazioni fratte a coefficienti numerici di seguito riportate:

 

ESERCIZIO 1

48-EQUAZ.E DISEQ. 2 -INIZIO

Svolgimento

 Vengono chiamate equazioni numeriche fratte perché i coefficienti dei termini noti saranno tutti dei numeri. Non vanno confuse con le equazioni letterali fratte, che hanno un livello di difficoltà leggermente più alto.

Quando ci troviamo di fronte ad esercizi di equazioni fratte di primo grado dove al denominatore ci sono termini di secondo grado – ma anche di terzo, quarto e così via – cerchiamo sempre di usare le regole valide per la scomposizione di polinomi. L’obiettivo è ottenere denominatori più o meno simili in modo di ridurre drasticamente i calcoli necessari per risolvere l’equazione.

In questo caso possiamo utilizzare la messa in evidenza totale nella prima e nell’ultima frazione, mentre nella seconda, essendoci una sottrazione di due termini al quadrato, posso scomporre come il prodotto di una somma per una differenza. Se non ricordi queste regole ti consigliamo di rivedere la lezione sulla scomposizione di polinomi.

49-

A questo punto posso calcolare il mcm tra i polinomi considerando tutti i termini in parentesi e fuori, presi una sola volta con il massimo esponente.

mcm=x(x+1)(x-1)

A questo punto possiamo scrivere le condizioni di esistenza. Ovvero:

CE: x(x+1)(x-1)≠0

Risolviamo questa semplice equazione ricordandoci la legge dell’annullamento del prodotto:

(A)·(B)·(C)=0 → A=0;  B=0;  C=0

Posso così risolvere le condizioni di esistenza:

x≠0;  x≠±1

Dovremo quindi verificare che tra le soluzioni finali non ci siano questi tre risultati. Torniamo ora al minimo comune multiplo:

50-

Avendo già esplicitato le condizioni di esistenza, possiamo eliminare i denominatori. Considerando solo i numeratori ottengo la semplice equazione:

 

x+1=x+x-1

 

Poiché a sinistra e destra ho lo stesso termine cioè una x, posso eliminarle e scrivere:

 

1=x-1 → -x=-1-1 → x=2

 

La soluzione è accettabile perché non coincide con le condizioni di esistenza.

Come abbiamo potuto vedere l’unica vera difficoltà degli esercizi sulle equazioni di primo grado fratte è, oltre alla scrittura delle condizioni di esistenza, il calcolo del minimo comune multiplo tra polinomi.

 

ESERCIZIO 2

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Essendoci tutti termini di primo grado, non è necessario effettuare la scomposizione di polinomi. Per cui posso calcolare direttamente il mcm che in questo caso è banalmente x+3. Individuo così subito le condizioni di esistenza e poi vado avanti con l’esercizio.

52-

Avendo calcolato le condizioni di esistenza posso eliminare i denominatori ed iniziare a risolvere le prime operazioni di addizione e moltiplicazione ai due membri delle equazione fratta.

 

2x+3=3x+9-3x

2x=9-3 → x=3

 

La soluzione è accettabile perché diversa dalle condizioni di esistenza.

 

ESERCIZIO 3

53-

L’ultimo esercizio non presenta particolari difficoltà. Non lasciamoci infatti distrarre dal fatto che compare un termine di terzo grado. Dato che stiamo imparando a risolvere le equazioni di primo grado fratte, andrà certamente via durante i calcoli. Iniziamo risolvendo il quadrato di binomio:

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55-

 

Nell’ultimo passaggio abbiamo semplicemente eseguito una moltiplicazione tra polinomi. Elimino tutti i termini che compaiono uguali al primo e al secondo membro o che troviamo addizionati e sottratti allo stesso membro. Per cui otteniamo:

0=+16x-64x+128

16x-64x+128x=0

-48x=128 → 48x=-128

x=128/48 → x=8/3

 

ESERCIZI DA RISOLVERE

Ecco un elenco di esercizi sulle equazioni di primo grado fratte che puoi provare a risolvere da solo.

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Equazioni di primo grado

 

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO DEFINIZIONE

Si definiscono equazioni di primo grado quelle uguaglianze tra due espressioni algebriche in cui compare almeno una volta l’incognita x elevata alla potenza 1.

Vengono chiamate anche equazioni lineari, perché è proprio un’equazione di primo grado (a 2 incognite) a rappresentare una retta nel piano cartesiano. Le equazioni di primo grado si trovano scritte come delle uguaglianze tra due polinomi di grado 1 o con un termine nullo, come vedremo più nel dettaglio durante la spiegazione

 

P(x) = Q(x)

o

P(x)=0

 

dove P(x) e Q(x) sono due polinomi di primo grado.

 

Esempio:

 

P(x)=Q(x) → x+√2=4(x+2)

P(x)=0 → 2x+1=0

 

Si chiama soluzione dell’equazione, quel valore numerico (o letterale nelle equazioni letterali) che, assegnato all’incognita x, soddisfa l’uguaglianza.

 

I MEMBRI DELL’EQUAZIONE

Come puoi notare negli esempi in alto, la caratteristica delle equazioni di primo grado è di avere un “uguale” che divide due membri.

 

# tutto ciò che è a sinistra dell’uguale si chiama primo membro;

# tutto ciò che è a destra dell’uguale si chiama secondo membro.

 

COME RISOLVERE LE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Non importa quanto l’espressione sia difficile o lunga, l’obiettivo è sempre ricondursi alla forma normale:

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Per arrivare a questo punto, bisogna fare tutte le operazioni classiche dell’algebra (somme, prodotti, …) . Alla fine sono soltanto due le regole che bisogna sapere per poter risolvere le equazioni lineari:

 

# Principio di Addizione e Sottrazione: aggiungendo o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i membri dell’equazione il risultato non cambia.

# Principio di Moltiplicazione e Divisione: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri dell’equazione per una stessa quantità il risultato non cambia.

Facciamo un esempio pratico per capire quali conseguenze hanno queste due regole nello svolgimento delle equazioni di primo grado.

 

Esempio:

2x+1=0

Per arrivare alla forma normale bisogna isolare al primo membro tutti i termini con la x, mentre i termini noti (si chiamano così tutti i termini non contenenti l’incognita) vanno spostati al secondo membro. Per far ciò applico la prima regola, cioè sottraggo 2 ad entrambi i membri.

2x+1-1=-1

2x=-1

 

OSSERVAZIONE → la prima regola può essere sintetizzata come segue: per spostare un monomio da un membro all’altro di un’equazione di primo grado basta cambiargli il segno. Infatti il +1 che era al primo membro nella traccia è diventato -1 nell’ultimo passaggio.

A questo punto applico la seconda regola, cioè divido entrambi i membri per il coefficiente della x, cioè per 2.

(2x)/2=(-1)/2

x=-1/2

 

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO CON FRAZIONI

Abbiamo visto fino ad ora che anche per risolvere le equazioni di primo grado difficili basta semplicemente fare delle operazioni tra monomi fino ad arrivare alla forma normale. La cosa si complica leggermente quando ci sono delle frazioni. In questo caso bisogna calcolare il minimo comune multiplo.

 

ATTENZIONE: nella frazione non può comparire l’incognita x, altrimenti ci troveremmo di fronte ad un’equazione di primo grado fratta.

Per risolvere le equazioni con le frazioni, come detto, bisogna calcolare il m.c.m. così da creare un denominatore unico che poi può essere eliminato. Vediamo un esempio pratico:

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Svolgimento:

Come puoi vedere dalla traccia, si tratta di un’equazione di primo grado con le frazioni. Il primo passo è quindi quello di calcolare il minimo comune multiplo.

mcm = 3²·2·5 = 90

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EQUAZIONI DI PRIMO GRADO A COEFFICIENTI IRRAZIONALI

Gli studenti in genere trovano maggiori difficoltà quando ci sono equazioni di primo grado con le radici. Il problema non è nella risoluzione dell’equazione, ma nella gestione dei radicali e nelle varie operazioni da portare avanti. Ovviamente per evitare di commettere errori è importante conoscere bene le regole e le proprietà dei radicali.

 

Proviamo a fare un esempio pratico:

√3 x = √6 + √27

Poiché l’obiettivo è riportarci nella forma canonica delle equazioni di I grado, cioè ax=b. In questo caso la traccia ha già portato tutti i termini noti al secondo membro. Bisogna però dividere entrambi i membri per radical 3 per tenere l’incognita x da sola.

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PROBLEMI RICONDUCIBILI A EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Le equazioni di primo grado sono uno strumento utile anche nella vita reale per risolvere problemi concreti. Non ci credi? Prova a vedere come abbiamo risolto questi problemi con le equazioni di primo grado.

 

PROBLEMA CON LE EQUAZIONI

In un cortile ci sono polli e conigli: in totale ci sono 40 teste e 130 zampe. Quanti sono i polli e quanti i conigli?

 

Svolgimento

Avrai tante difficoltà a risolvere questo problema a mente. Vediamo di risolverlo matematicamente. Cosa sappiamo?

 

– totale teste: t=40

– totale zampe: z=130

– 1 pollo ha 1 testa e 2 zampe

– 1 coniglio  ha 1 testa e 4 zampe

 

Incognite:

numero di polli: x=?

numero di conigli: y =?

 

Quindi x+y=40, da cui y=40-x (è il numero di conigli). Le zampe dei polli sono 2x, le zampe dei conigli sono 4y, quindi 4(40-x), poiché la loro somma è 130, posso scrivere:

2x+4(40-x)=130

2x+160-4x=130

-2x=130-160

2x=30

x=15

y= 40-x =25

 

Ci sono quindi 15 polli e 25 conigli.

 

Equazioni irrazionali

 

Le equazioni irrazionali sono delle equazioni in cui l’incognita x compare sotto forma di radice. Come vedremo, per risolvere le equazioni irrazionali, è fondamentale guadare se l’indice di radice è pari o dispari. Distingueremo così i due casi e i differenti metodi di risoluzione.

Per rendere il tutto più completo e non trascurare nessuno dei casi più complessi analizzeremo anche le equazioni irrazionali fratte, cioè quelle equazioni con radicali anche al denominatore.

Per capire la spiegazione sulle equazioni irrazionali è fondamentale avere ben presente le proprietà dei radicali e come si fanno le razionalizzazioni, così da non avere problemi con le irrazionali fratte.

 

COSA SONO LE EQUAZIONI IRRAZIONALI

Si definiscono equazioni irrazionali quelle equazioni che presentano almeno un radicale contenente un’incognita.

Questo praticamente significa che la x deve trovarsi all’interno delle radici. Ad esempio:

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Per risolvere le equazioni irrazionali è generalmente sufficiente elevare entrambi i membri dell’equazione ad un’opportuna potenza (a proposito, ricordi le proprietà delle potenze?). Solo in questo modo potremo eliminare le radici quadrate. Non è tuttavia così immediato: prima bisogna valutare l’indice di radice.

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI E CONDIZIONI DI ESISTENZA

Ti invitiamo a prestare attenzione ad una sola considerazione: quando ti trovi di fronte ad un equazione radicale con indice pari, ad esempio una radice quadrata, il radicando non deve mai essere negativo, altrimenti l’equazione diventa impossibile.

Non ci credi? Prova a risolvere, sulla tua calcolatrice, la radice quadrata di -2. Vedrai che la calcolatrice di dirà: ERRORE. Questo perché stai violando le condizioni di esistenza.

Tutto questo per dire che quando dovremo risolvere delle radici quadrate con indice positivo dovremo imporre il radicando maggiore o uguale di zero. Detto in parole povere, tutto quello che è sotto radice va imposto maggiore e uguale di zero.

Fatta questa doverosa premessa iniziamo con calma: gli esercizi possono presentarsi in due modi differenti:

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI CON INDICE DISPARI

Se l’indice della radice è dispari, ad esempio se ho una radice cubica, non sono necessarie condizioni di esistenza. In questo caso per risolvere gli esercizi è sufficiente elevare tutto all’indice di radice.

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Quindi se io ho una radice cubica che mi crea problemi, semplicemente elevo tutto alla terza senza preoccuparmi di nulla. In questo modo ottengo un’equazione razionale, molto più semplice in genere per gli studenti.

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI CON INDICE PARI

Se l’indice di radice è pari, oltre ad elevare a potenza, sono necessarie le condizioni di esistenza. Dovremo quindi imporre entrambe le funzioni maggiori di zero.

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Come puoi osservare tu stesso devo risolvere un sistema di disequazioni. La prima disequazione non è altro che la condizione di esistenza della radice. La seconda è dovuta alla concordanza del segno tra i due membri.

Tuttavia la prima disequazione del sistema può essere omessa perché se f(x)≥0 e allo stesso tempo f(x)n=g(x), allora implicitamente anche g(x)≥0. L’ultima equazione è stata semplicemente ottenuta elevando a potenza.

 

ALCUNI CONSIGLI PER RISOLVERE LE EQUAZIONI IRRAZIONALI

Come hai potuto vedere, si tratta di una tipologia di esercizio non particolarmente difficile, ma è fondamentale fare attenzione a seguire il metodo risolutivo per evitare alcuni errori. Il più comune commesso dagli studenti durante i compiti è il seguente:

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Perché questo esercizio è sbagliato? Perché non è stata isolata la radice al primo membro. Quando vado ad eseguire l’elevazione a potenza, ottengo un quadrato di binomio e, con il doppio prodotto, la radice non va via. Il modo migliore per risolvere questa equazione irrazionale è invece:

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Oltre a ciò dovremo ovviamente ricordarci di impostare il sistema di disequazioni.

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI CON DUE RADICALI

Non cambia assolutamente nulla rispetto ai casi precedenti.

 

# Se l’indice è dispari, basta fare un’elevazione a potenza di entrambi i membri – ricordiamo ovviamente di tenerne uno a destra e uno a sinistra.

# Se l’indice è pari si scrive il sistema come in precedenza. Entrambe le disequazioni del sistema, però, stavolta sono dovute alle condizioni di esistenza. A livello pratico non ci cambia niente: scrivo un sistema con entrambi i radicandi maggiori di zero e all’ultimo rigo l’equazione irrazionale elevata a potenza.

 

ESERCIZI SVOLTI SULLE EQUAZIONI IRRAZIONALI

Verifichiamo che le seguenti disequazioni irrazionali siano impossibili.

 

ESERCIZIO SVOLTO -1

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La condizione di esistenza, ovvero la prima disequazione di secondo grado è impossibile! Il binomio 2 x al quadrato più 1 deve essere necessariamente maggiore di zero.

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ESERCIZIO SVOLTO -2

Questa volta l’esercizio è impossibile perché il secondo membro è minore di zero.

Cambiamo ora tipologia e vediamo assieme come risolvere gli esercizi sulle equazioni irrazionali.

 

ESERCIZIO SVOLTO -3

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Se x deve essere maggiore o uguale di -2 (dalla seconda disequazione), allora sicuramente è maggiore o uguale di -4. Per cui La prima disequazione posso anche evitare di riportarla.

**  Le due soluzioni sono accettabili? Confronta sempre i risultati dell’equazione con quelli delle disequazioni. Quest’ultima infatti ci ricorda che la x deve essere maggiore o uguale di -2. Questo significa che x=-3 non è una soluzione accettabile. L’unica soluzione accettabile è x=0.

 

ESERCIZIO SVOLTO -4

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Imponiamo come sempre per gli esercizi sulle equazioni irrazionali la condizione di esistenza per il radicale pari (prima disequazione), la concordanza del segno con l’altro membro (seconda disequazione) ed infine eleviamo per il minimo comune multiplo tra 2 e 3 (gli indici di radice). Cioè eleviamo tutto alla potenza 6. Noterai che al primo termine devo risolvere un quadrato di binomio, mentre al secondo termine svolgo il cubo di binomio.

Risolviamo il sistema di due disequazioni scrivendo i risultati sul grafico per ottenere x maggiore e uguale di 12/13. Proseguiamo eseguendo i calcoli risolvendo l’equazione di terzo grado attraverso il metodo di Ruffini.

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Per poter essere valida la condizione di esistenza, cioè la disequazione al primo rigo, sono valide solo due soluzioni, cioè x=1 e x=3.

Ti lasciamo con alcuni esercizi sulle equazioni irrazionali che puoi risolvere da solo.

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI ESERCIZI DA SVOLGERE

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Equazioni letterali intere e fratte di primo grado

– esercizi svolti

 

Le equazioni letterali di primo grado sono delle equazioni in cui, oltre ai coefficienti e all’incognita x, compaiono anche delle lettere. Generalmente nelle equazioni letterali si usano le lettere x, y, t, u, z come incognite mentre vengono utilizzate le lettere a, b, c, d, … come parte letterale.

Per risolvere le equazioni letterali è fondamentale conoscere quelle che sono le tecniche di risoluzione delle equazioni di primo grado. Iniziamo subito.

 

COME RISOLVERE EQUAZIONI LETTERALI

Le equazioni con le lettere, come già anticipato, sono delle espressioni algebriche in cui compare l’incognita x e altre lettere. Queste si comportano come se fossero dei numeri, quindi dei coefficienti.

Come si calcolano le lettere? Non si calcolano. Dovrai portartele avanti e mantenerle fino alla soluzione. Vediamo un esempio pratico:

F=m·a

Quella che ti abbiamo appena scritto è una formula che si studia in fisica. E’ la seconda legge di Newton che sottolinea come la forza è pari alla massa per l’accelerazione. Matematicamente questa si traduce in un’equazione letterale in cui la massa m è una costante, cioè un numero.

Come si risolvono le equazioni letterali? Esattamente come le equazioni di primo grado. Inizia ad isolare l’incognita x al primo membro, mentre tutto il resto va a destra dell’uguale. Dividi tutto per l’eventuale coefficiente della x e hai trovato la soluzione.

Un esempio concreto di equazioni letterali intere lo abbiamo già visto quando abbiamo parlato delle equazioni di primo grado generiche. Dicemmo infatti che l’equazione:

ax+b=0

si risolve portando la lettera b al secondo membro e poi dividendo tutto per a. Scrivendo tutti i passaggi ho quindi:

ax=-b

(a/a)x=-(b/a)

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EQUAZIONI LETTERALI FRATTE

Merita un approfondimento il caso in cui la x compare al secondo membro. In questo caso il procedimento diventa leggermente più complesso. Ti ricordi come si risolvono le equazioni fratte di primo grado? Bisogna calcolare il minimo comune multiplo ed imporre delle condizioni di esistenza. Le lettere dell’equazione non influenzano in alcun modo lo svolgimento.

 

Esempio

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A questo punto possiamo calcolare il minimo comune multiplo.

mcm=x+1

Riscriviamo l’equazione dividendo il mcm per il denominatore di ogni frazione. Da notare che al secondo membro, il denominatore è sottinteso e vale 1. A quel punto possiamo poi eliminare il denominatore.

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A questo punto si tratta di risolvere una moltiplicazione di polinomi al primo membro. Per cui otteniamo:

ax+a+2x+2=1

Nelle equazioni letterali, come detto, lasciamo i termini con la x a sinistra e tutto il resto va a destra, eseguendo dove necessario le somme algebriche tra termini o monomi simili.

ax+2x=1-2-a

x(a+2)=-(1+a)

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EQUAZIONI LETTERALI ESERCIZI

Come hai potuto vedere, le equazioni con le lettere non sono un argomento particolarmente complesso. Con le equazioni letterali di secondo grado sarà già un po’ diverso, ma per poter trattare quell’argomento bisogna prima studiare le equazioni di secondo grado.

Inizia ora questa seconda parte in cui vedremo alcuni esercizi svolti sulle equazioni letterali.

 

ESERCIZIO 1

10=2πx

 

Svolgimento

Abbiamo deciso di risolvere questo esercizio perché è importante che ti abitui ad avere delle equazioni letterali con il pi greco, perché quando studierai trigonometria sarà una costante molto presente. Il π però non cambia il metodo risolutivo dell’equazione.

 

x=10/(2π)

x=5/π

 

ESERCIZIO 2

π(x+3)-2π=(1/2)x+4π

 

Svolgimento

Leggermente più complessa della precedente iniziamo a risolvere la moltiplicazione al primo membro e poi ordiniamo l’equazione letterale di primo grado tenendo la x a sinistra.

 

πx+3π-2π=(1/2)x+4π

πx-(1/2)x=4π-3π+2π

 

Sommiamo algebricamente i termini simili che abbiamo segnato in azzurro.

 

πx-(1/2)x=4π-3π+2π

πx-(1/2)x=3π

 

A questo punto eseguiamo una messa in evidenza totale al primo membro raccogliendo la x.

x(π-1/2)=3π

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ESERCIZIO 3

2πx−3(π−1)=πx−2π

 

Svolgimento

2πx−3π+3=πx−2π

2πx-πx=-2π+3π-3

πx=π-3

x=(π-3)/π

 

PROBLEMA

Data l’equazione della retta y=mx+q, calcolare il valore di m.

Svolgimento

L’equazione della retta la studierai nel programma di geometria analitica. Come ogni formula scritta in termini generali, si presenta come un’equazione letterale. Il nostro obiettivo è risolverla considerando m come incognita. Per cui bisogna isolare la m al primo membro.

 

y=mx+q

mx=y-q

m=y/x – q/x

 

In questo caso, le lettere dell’equazione sono x,y e q. Mentre l’incognita calcolata è la m.

 

Equazioni fratte

– come si risolvono le equazioni frazionarie di primo grado?

 

Si chiamano equazioni fratte di primo grado quelle equazioni in cui l’incognita compare anche al denominatore di una frazione algebrica. Attraverso pochi passaggi matematici vengono ricondotte alle equazioni di primo grado. Vengono chiamate anche equazioni frazionarie e hanno la caratteristica di essere lineari, cioè l’incognita x non è elevata a potenza.

Il metodo che analizzeremo tra poco sarà valido per tutti i tipi di equazioni fratte, sia di primo che di secondo grado. Per cui è importante imparare ora la tecnica risolutiva per poi poterla ripetere anche negli argomenti futuri.

 

QUALI SONO LE EQUAZIONI FRATTE?

Come detto sono quelle equazioni che presentano delle frazioni con l’incognita x presente almeno una volta al denominatore. La forma base a cui dovrai sempre cercare di ricondurti è la seguente.

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Quella che hai appena visto in figura viene chiamata forma normale di un’equazione fratta. Indica il rapporto tra un polinomio al numeratore N(x) e un polinomio al denominatore D(x).

CONSIGLIO → come puoi vedere al secondo membro c’è 0. Quando hai degli esercizi sulle equazioni frazionarie, ricordati di portare tutto al primo membro, così da evitare errori durante i vari passaggi.

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Mentre al primo rigo ti abbiamo indicato 4 equazioni fratte, le ultime 3 al secondo rigo non sono equazioni fratte. In queste ultime infatti l’incognita x non compare mai al denominatore.

 

COME RISOLVERE LE EQUAZIONI FRATTE DI PRIMO GRADO

1 – LE CONDIZIONI DI ESISTENZA

Il primo passaggio consiste nell’imporre le condizioni di esistenza. Che cosa sono? Sono delle condizioni che vanno a specificare quando l’equazione fratta può esistere nell’insieme dei numeri reali. Questo vuol dire che ci sono alcune soluzioni che non sono considerate accettabili. Come determinarle? Bisogna imporre un’unica condizione: denominatore diverso da zero.

 

D(x)≠0

 

PROVA A FARE UN ESPERIMENTO → Prova sulla tua calcolatrice a dividere un qualsiasi numero per 0. Qual è il risultato che ottieni? Una normale calcolatrice scientifica ti dà come risultato ERRORE. Questo perché non è possibile dividere un numero per 0.

Allo stesso modo, nelle equazioni fratte bisogna specificare esplicitamente che ogni singolo denominatore deve essere diverso da zero. In genere lo si mette sulla destra, in modo da poter sviluppare tranquillamente l’esercizio sulla sinistra. Se nell’esercizio ci sono 3 frazioni con la x, scriverò 3 condizioni di esistenza. Se ce ne sono 2, ne scriverò 2, eccetera…

 

2 – RIDUZIONE ALLA FORMA NORMALE

Solo dopo aver specificato e risolto le condizioni di esistenza possiamo risolvere le equazioni fratte. Come? Facendo il minimo comune multiplo (mcm) tra i polinomi presenti al denominatore.

Per ogni frazione eseguo la seguente operazione: mcm diviso denominatore per numeratore. Non dimenticarti di riportare i segni e cerca di fare tutti i calcoli utilizzando le parentesi tonde. L’obiettivo e quello di arrivare alla forma N(x)/D(x)=0, cioè alle forma normale.

 

3 – ELIMINAZIONE DEL DENOMINATORE

A questo punto possiamo eliminare il denominatore e imporre il nuovo polinomio al numeratore uguale a zero. A questo punto ti sarai ricondotto ad una normale equazione di primo grado e potrai arrivare alla soluzione generalmente in pochi passaggi.

 

4 – VERIFICA DEI RISULTATI

Al termine dell’esercizio sulle equazioni fratte avrai delle soluzioni del tipo x=n, cioè la x uguale a un numero. Dovrai verificare che ogni singolo risultato ottenuto non violi le condizioni di esistenza che hai esplicitato in precedenza. Accanto ad eventuali risultati non compatibili con le condizioni di esistenza, dovrai semplicemente scrivere: SOLUZIONE NON ACCETTABILE PER LE CONDIZIONI DI ESISTENZA.

 

ESEMPI DI EQUAZIONI FRATTE

La spiegazione teorica è conclusa. A questo punto non resta che mettere in pratica quello che abbiamo imparato fino ad ora e provare a risolvere degli esercizi.

 

ESERCIZIO 1

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Una volta espresse le condizioni di esistenza, possiamo calcolare il minimo comune multiplo.

mcm=(x+1)(x-1)

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Che calcoli abbiamo fatto per arrivare a questo punto?

 

# Nella prima frazione abbiamo calcolato (x+1)(x-1):(x+1)·2

# Nella seconda frazione abbiamo calcolato (x+1)(x-1):(x-1)·2

 

Visto che nella forma normale al secondo membro c’è zero, portiamo tutto al primo membro e portiamo tutto sotto la stessa linea di frazione. Possiamo farlo ora che i denominatori sono identici.

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A questo punto il denominatore D(x) può essere eliminato e possiamo concentrarci solo sul numeratore, eseguendo le moltiplicazioni richieste dall’esercizio.

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Come puoi vedere in pochi passaggi siamo arrivati alla soluzione che è perfettamente compatibile con le condizioni di esistenza. Per cui esercizi terminato.

 

ESERCIZIO 2

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Quello che notiamo subito è che il secondo denominatore ha un termine al quadrato. Vediamo se possiamo subito ridurlo attraverso una delle tecniche di scomposizione di polinomi. In questo caso noto una x in comune per cui applico il raccoglimento a fattor comune totale.

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Come fatto con l’esercizio precedente, scriviamo tutto sotto forma di un unico denominatore.

mcm=x(2-3x)

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Eliminiamo il denominatore e concentriamoci esclusivamente sul numeratore:

 

x+6-10+15x=0

16x-4=0

x=4/16 → x=1/4

 

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