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Data 15 ottobre 2019

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI – 1

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Equazioni di secondo grado fratte

 

Le equazioni di secondo grado fratte sono delle equazioni di secondo grado frazionarie in cui al denominatore compare anche l’incognita x. Vengono dette anche equazioni frazionarie di grado 2 o equazioni razionali fratte e per poterle risolvere è necessario ricondurle a delle equazioni di secondo grado.

Proprio per questa ragione è importante conoscere la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, quindi sapere che cos’è e come si calcola il delta. Essendoci anche delle frazioni, dovremo calcolare anche il minimo comune multiplo

 

EQUAZIONI FRATTE DI SECONDO GRADO, SPIEGAZIONE

Un’equazione fratta di secondo grado nella forma normale si presenta come una frazione algebrica in cui sia al numeratore che al denominatore ci sono due polinomi. Dal punto di vista matematico questo si scrive come:

1-

dove N(x) è il polinomio al numeratore di grado 2, mentre D(x) è un polinomio generico al denominatore.

OSSERVAZIONE: hai visto cosa ‘è al secondo membro? C’è lo zero. Questo vuol dire che per risolvere le equazioni di secondo grado fratte dovrai sempre assicurarti di passare tutto al primo membro.

 

LE SOLUZIONI DELLE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE

Quante sono le soluzioni di un’equazione fratta di grado 2? Vale lo stesso discorso fatto con le equazioni di II grado. Possono esserci cioè:

 

# 2 soluzioni reali e distinte

# 2 soluzioni reali e coincidenti (su alcuni libri di testo troverai scritto che c’è 1 sola soluzione)

# Non ci sono soluzioni reali.

L’unica differenza, vedremo tra poco, è nella verifica delle condizioni di esistenza, che è di fondamentale importanza nelle equazioni fratte di secondo grado.

 

COME SI RISOLVONO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE

Dopo questa piccola premessa veniamo all’argomento principale della lezione: come risolvere le equazioni fratte di secondo grado. Suddividiamo il procedimento risolutivo in fasi.

 

PASSO 1CONDIZIONI DI ESISTENZA

La prima cosa da fare imporre le condizioni di esistenza. Perché sono importanti? Perché un’equazione fratta di secondo grado è una frazione algebrica e quindi ha un denominatore.

Hai mai provato a fare sulla tua calcolatrice una frazione con al denominatore zero? Vedrai che la calcolatrice ti dirà che c’è un errore. Questo perché al denominatore non può esserci mai zero. In base a questa piccola considerazione, possiamo dire che le condizioni di esistenza si impongono scrivendo che ogni denominatore deve essere diverso da zero.

2-

Alla fine dell’esercizio, andremo a verificare che le soluzioni delle equazioni di secondo grado fratte non siano uguali alle condizioni appena espresse.

 

PASSO 2RICONDURSI ALLA FORMA NORMALE

Generalmente per poter passare alla forma normale delle equazioni fratte di secondo grado, cioè N(x)/D(x)=0 servono alcuni passaggi algebrici. Ricordati di:

 

# spostare tutto al primo membro

# calcolare il minimo comune multiplo cambiando i segni

# ridurre tutto ad un unico denominatore

# svolgere le operazioni algebriche (somme, prodotti, ecc…)

 

PASSO 3PASSAGGIO ALL’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

Una volta arrivato alla condizione N(x)/D(x)=0 ed imposte già le condizioni di esistenza, puoi eliminare il denominatore e risolvere semplicemente il numeratore come se fosse una normale equazione di secondo grado.

 

N(x)=0

 

Puoi scegliere il metodo che preferisci per risolvere l’equazione. Somma e prodotto, delta, delta quarti, scomposizione di polinomi, …

Come già detto a questo punto ci sono tre possibili casi:

 

# Δ>0 – L’equazione ha due radici reali e distinte:

x1= valore 1

x2= valore 2

# Δ=0 – L’equazione ha una sola soluzione (si dice anche che ne ha due reali e coincidenti)

x1,2= valore 1

# Δ<0 –  l’equazione non ha soluzioni reali.

 

PASSO 4 – VERIFICA DELLE SOLUZIONI

Non importa che tu abbia 1 o 2 soluzioni. E’ fondamentale verificare che queste siano compatibili con le condizioni di esistenza. Cioè verifica che i valori che ti escono nelle soluzioni siano diversi da quelli ottenuti nelle C.E.

Se dovesse esserci una o più soluzione non compatibile con le condizioni di esistenza, questa non può essere considerata accettabile. Per cui accanto ad essa andrai a scrivere soluzione non accettabile per le condizioni di esistenza. Vedremo tra poco alcuni esercizi svolti in cui ti troverai in questo caso.

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE ESERCIZI

ESERCIZIO 1

3-

Svolgimento

La prima osservazione da fare è che non ci sono, almeno per ora, polinomi di secondo grado al numeratore. Ciò però non significa che questo esercizio non rientri tra le equazioni fratte di secondo grado, perché ci sono una serie di calcoli da fare prima di arrivare alla forma normale.

La seconda osservazione riguarda i denominatori. In questo caso non ci sono polinomi di secondo grado, per cui non sono necessarie scomposizioni. Molto spesso però sarà conveniente, per semplificare sia le condizioni di esistenza che il mcm, effettuare delle scomposizioni e ridurre i denominatori in polinomi più semplici.

4-

A questo punto posso calcolare il minimo comune multiplo tra i denominatori.

mcm: x(x+1)

5-

 

Portiamo tutto al primo membro dell’equazione, ponendo tutto sotto un’unico denominatore. Nel frattempo iniziamo già a svolgere le moltiplicazioni tra polinomi al numeratore.

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A questo punto possiamo eliminare il denominatore e fare le somme algebriche al denominatore.

7-

Come puoi vedere già da questo primo esercizio, la prima soluzione viola le condizioni di esistenza per cui non può essere accettata. L’unica soluzione dell’esercizio sarà x=1.

 

ESERCIZIO 2

8-

Svolgimento

In questo secondo esercizio cerchiamo di fare attenzione ai denominatori. Ci capiterà spesso, per risolvere le equazioni di secondo grado fratte, di trovare dei denominatori “sospetti”. Cosa vuol dire? Guarda la prima frazione e guarda le altre due. Ricordi la regola del prodotto di una somma per una differenza?

x²-4=(x+2)(x-2)

Quindi possiamo riscrivere l’esercizio come:

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10-

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A questo punto eliminiamo il denominatore, sommiamo i termini simili e arriviamo all’equazione di II grado.

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Confrontando le due soluzioni con le condizioni di esistenza, possiamo scrivere il risultato finale:

 

x=+2 → Soluzione non accettabile per le C.E.

x=+3

 

ESEMPIO 3

13-

Svolgimento

Scomponiamo subito il secondo denominatore per avere:

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Poiché entrambe le soluzioni violano le condizioni di esistenza, allora l’esercizio ha come risultato impossibile.

 

EQUAZIONI DI SECONDO GRADO FRATTE – ESERCIZI DA SVOLGERE

Per continuare ad esercitarti, ti consigliamo di risolvere le equazioni fratte di secondo grado di seguito. Alcune di queste sono già state risolte negli esempi sopra.

17-

 

Disequazioni logaritmiche

 

Le disequazioni logaritmiche sono delle disequazioni in cui l’incognita compare come argomento del logaritmo.

Vedremo che cosa sono e come si risolvono le disequazioni logaritmiche attraverso una breve spiegazione teorica e numerosi esercizi svolti da usare come esempio.

Per poterlo fare è necessario conoscere bene quali sono le proprietà dei logaritmi, dal cambio di base alla trasformazione in esponenziali.

 

CHE COS’È UNA DISEQUAZIONE LOGARITMICA?

Nell’introduzione l’abbiamo già definita come una disequazione che ha l’incognita x all’interno dell’argomento del logaritmo. Ecco un esempio:

18-

Dei due esempi sopra, si nota come la prima rientri tra le disequazioni logaritmiche. La seconda invece no perché appartiene alle più semplici disequazioni di primo grado, visto che l’incognita x non è nell’argomento del logaritmo.

 

RISOLVERE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Ti ricordi come si risolvono le equazioni logaritmiche? Il ragionamento è molto simile: ci sono delle condizioni di esistenza da sviluppare parallelamente all’esercizio principale.

La differenza è che con le disequazioni logaritmiche abbiamo un sistema di disequazioni da risolvere. La prima disequazione è quella principale dell’esercizio, mentre tutte le altre sono date dalle condizioni di esistenza dei vari logaritmi.

 

COME SI RISOLVONO LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

19-

Le tre disequazioni possono apparire con il simbolo maggiore, minore, maggiore e uguale o minore e uguale. Queste rappresentano sostanzialmente i tre tipi di disequazioni con i logaritmi che si possono dover svolgere in esercizi o compiti.

Ricordando che la condizione di esistenza del logaritmo impone di scrivere che l’argomento maggiore di 0, allora possiamo risolvere le disequazioni logaritmiche scrivendo un sistema di disequazioni:

20-

Per ogni rigo si scriverà la condizione di esistenza di ogni logaritmo, mentre all’ultimo rigo si riscrive la disequazione logaritmica della traccia. Vediamo questi tre casi come si risolvono singolarmente.

 

DISEQUAZIONE LOGARITMICA DI TIPO 1

Abbiamo una disequazione con un logaritmo che ha al secondo membro lo 0.

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Abbiamo visto che questa disequazione si risolve scrivendo il sistema in cui sono incluse le condizioni di esistenza f(x)>0.

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Mentre la prima si risolve come una normale disequazione, resta da capire come risolvere la seconda. Sfruttiamo la proprietà dei logaritmi: il logaritmo di 1 è sempre uguale a 0.

ATTENZIONE: non confonderti con il logaritmo di 0 che invece non esiste!

Per cui possiamo trasformare lo 0 nel logaritmo con la stessa base:

23-

A questo punto, visto che nella disequazione logaritmica ci sono le stesse basi, possiamo considerare solo gli argomenti e togliere i logaritmi.

Con equazioni e disequazioni logaritmiche bisogna distinguere due casi a seconda della base del logaritmo.

 

# a>1 : la base del logaritmo è maggiore di 1, la disequazione con i logaritmi può essere riscritta senza alcuna variazione.

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# 0<a<1 : la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1. Si va a modificare il verso della disequazione con i logaritmi. Se c’è maggiore (o maggiore e uguale) si mette minore (o minore e uguale) e viceversa.

25-

 

DISEQUAZIONE LOGARITMICA DI TIPO 2

Vediamo come si risolvono le disequazioni logaritmiche in cui al secondo membro c’è una costante, cioè un numero diverso da 0.

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Abbiamo già visto che la disequazione, considerando anche la condizione di esistenza può essere riscritta aggiungendo f(x)>0.

La “b” della disequazione con il logaritmo può essere riscritta come “1·b”. Ricordandoci la regola dei logaritmi per cui un logaritmo con base e argomento uguali fa sempre 1, allora possiamo riscrivere.

 

# a>1 : quando la base del logaritmo è maggiore di 1 non cambia nulla ai segni o ai versi della disequazione.

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# 0<a<1 : quando la base del logaritmo è compresa tra 0 e 1, il maggiore (o maggiore e uguale) diventa minore (o minore e uguale) e viceversa.

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DISEQUAZIONE LOGARITMICA DI TIPO 3

L’ultimo caso è quello più ricorrente. Vengono considerate dagli studenti le disequazioni logaritmiche più difficili: stiamo parlando di quelle in cui sono presenti più di un logaritmo. Vediamo come risolverle.

Se le basi dei logaritmi sono uguali diventa tutto più semplice. Si risolve semplicemente considerando gli argomenti dei logaritmi, come abbiamo già fatto nelle disequazioni di tipo 2. In parole povere basta eliminare il logaritmo.

Se invece dobbiamo risolvere disequazioni logaritmiche con basi diverse, allora dobbiamo usare la formula vista per il cambiamento di base:

29-

Per cui possiamo riscrivere il nostro caso come:

30-

Vedrai negli esercizi che il denominatore è un numero, per cui puoi scriverlo come una frazione. Considerando anche la base del logaritmo, anche in questo caso abbiamo due possibilità:

# se a>1 : argomento del logaritmo maggiore di 1

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# se 0<a<1 : argomento del logaritmo compreso tra 0 e 1, si modifica il verso della disequazione.

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UN CONSIGLIO PER IMPARARE A RISOLVERE LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE

Sconsigliamo sempre di imparare a memoria le formule viste fino a questo momento. E’ più importante invece capire come risolvere disequazioni logaritmiche di qualsiasi tipo con un unico metodo universale.

Ecco come procedere:

# si trasforma la disequazione logaritmica in un sistema in cui alle prime righe metteremo le condizioni di esistenza. All’ultimo rigo riscriviamo invece la disequazione con i logaritmi.

# risolviamo le tre disequazioni, trasformando l’ultima e facendo in modo di avere ai due membri due logaritmi con la stessa base.

# si valuta la base del logaritmo. Se maggiore di 1 non si modifica nulla e si risolve. Se la base è compresa tra 0 e 1 allora si inverte il segno.

# alla fine si mettono a sistema graficamente le disequazioni per trovare la soluzione finale.

 

DISEQUAZIONI LOGARITMICHE ESERCIZI SVOLTI

ESERCIZIO 1

Risolvere la seguente disequazione logaritmica

log(x-1)>1

Svolgimento

Affinché la disequazione abbia senso è necessario imporre subito le condizioni di esistenza. Queste possono essere scritte subito oppure essere messe a sistema con la disequazione con il logaritmo.

x-1>0

x>1

Procediamo a questo punto trasformando l’1 al secondo membro. Ricordati che quando la base del logaritmo è sottintesa vuol dire che è pari a “e” (Numero di Nepero)

log(x-1)>loge

x-1>e

x>e+1

Da notare che, essendo la base e maggiore di 1, non sono stati modificati i versi della disequazione. Riportiamo il tutto su un unico grafico:

33-

Il risultato finale è:

x>1+e

 

ESERCIZIO 2

34-

Rientriamo ora nel caso delle disequazioni logaritmiche fratte. Il procedimento non cambia. Ovviamente dovremo risolvere delle disequazioni fratte che sono un po’ più impegnative delle normali disequazioni.

Iniziamo risolvendo la condizione di esistenza del logaritmo:

35-

A questo punto mettiamo a sistema le due soluzioni delle disequazioni su un unico grafico.

36-

 

Disequazioni fratte

 

COME RISOLVERE GLI ESERCIZI SULLE DISEQUAZIONI FRATTE

Prima di passare alle tracce degli esercizi, facciamo un breve riepilogo sulla tecnica di risoluzione. Tutte le disequazioni fratte, non importa il grado del polinomio, si risolvono sempre allo stesso modo. Ecco sintetizzati gli step da utilizzare in tutti gli esercizi:

 

# scomporre, se possibile, gli eventuali polinomi al denominatore di grado superiore al primo;

# calcolare il minimo comune multiplo tra tutti i denominatori;

# ricondursi alla forma canonica base delle disequazioni fratte:

 

37-

Ovviamente nella disequazione può esserci sia il simbolo maggiore, maggiore e uguale, minore o minore e uguale. Ai fini del calcolo cambia poco.

 

# Creare un “falso sistema” di disequazioni in cui si va ad imporre N>0 e D>0.

# Si mettono sul grafico le soluzioni delle due disequazioni e si sceglie il segno + o a seconda del segno iniziale della disequazione N/D.

 

DISEQUAZIONI FRATTE ESERCIZI

Risolvere le seguenti disequazioni fratte di primo grado.

ESERCIZIO 1

38-

Svolgimento

In questo caso la traccia ci porta già alla situazione di avere un numeratore e un denominatore unici. Per cui possiamo già risolvere le due disequazioni separatamente:

N>0 → x+1>0

D>0 → x+4>0

Risolvendo queste due piccole disequazioni di primo grado, abbiamo come risultato:

x>-1

x>-4

Poniamo i risultati ottenuti sul grafico, valutandone i segni:

39-

Poiché nella traccia dell’esercizio, la disequazione fratta ha il simbolo maggiore, prendiamo tutti gli intervalli con il segno positivo. Per cui il risultato corretto è:

x<-4 U x>-1

ESERCIZIO 2

40-

 

Svolgimento

Questa volta abbiamo un esercizio sulle disequazioni fratte di secondo grado. Per risolverla ripetiamo gli stessi passaggi dell’esercizio precedente. Per cui si impongono numeratore e denominatore maggiori di zero.

N>0 → x²-7x+12>0

D>0 → x²-5x+6>0

Si tratta di disequazioni di secondo grado che possono essere risolte con vari metodi: somma e prodotto, il calcolo del delta, … Iniziamo dalla prima:

41-

A questo punto poiché nella disequazione c’è il simbolo maggiore si prendono soluzioni esterne:

x<3 U x>4

Passiamo ora alla seconda disequazione del sistema.

42-

A questo punto possiamo creare un grafico unico con le due soluzioni:

43-

 

Poiché nella traccia dell’esercizio abbiamo N/D>0, prendiamo tutti i segni positivi. Per cui la soluzione finale è:

x<2 U x>4

ESERCIZIO 3

44-

A differenza degli esercizi precedenti, questa volta abbiamo più numeratori e denominatori. Ovviamente la prima considerazione è che il termine (x+1)/(x+1) si può semplificare ed è pari a 1. Bisogna poi riportarsi alla forma N/D. Per farlo è necessario calcolare il minimo comune multiplo, che è in questo caso è semplice:

mcm = 5(x+2)

Portiamo tutto a primo membro, così da scrivere un denominatore unico:

45-

A questo punto possiamo dividere numeratore e denominatore:

N≥0 → 2-9x≥0

D>0 → 2(x+2)>0

 

OSSERVAZIONE: al denominatore il simbolo dell’uguale non va mai posto perché andrebbe a violare le condizioni di esistenza. Se non ricordi cosa sono, vai a rileggerti la lezione sulle equazioni fratte di primo grado.

x≤2/9

x>-2

46-

Poiché nella forma N/D abbiamo il simbolo maggiore e uguale, prendiamo le soluzioni con segno positivo, ricordandoci di riportare il simbolo uguale sulla frazione 2/9. Il risultato dell’esercizio è quindi:

-2<x≤2/9

 

DISEQUAZIONI FRATTE ESERCIZI DA RISOLVERE

47-EQUAZ.E DISEQ. - 1-FINE

 

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