Dominio logaritmo
– come si trova il dominio di un logaritmo?
Come si trova il dominio di un logaritmo? Ho un esercizio da risolvere in cui all’interno c’è un logaritmo e non so come calcolare il dominio. C’è una regola da seguire?
SOLUZIONE
Il dominio del logaritmo si calcola imponendo:
# argomento del logaritmo maggiore di 0;
# base del logaritmo maggiore di 0 e diversa da 1;
Nella quasi totalità dei casi, la base del logaritmo è un numero naturale, per cui l’unica regola da seguire per il calcolo del campo di esistenza è che l’argomento f(x) deve essere maggiore di 0.
DOMINIO DEL LOGARITMO NATURALE
Il Logaritmo naturale è un normale logaritmo che ha alla base la lettera e (detta Numero di Nepero). In questi casi si segue alla lettera la regola che abbiamo sopra esposto: si impone l’argomento maggiore di 0. Facciamo subito un esempio:
y=log(x²+2x)
Dominio del logaritmo: x²+2x>0. Abbiamo quindi ottenuto una disequazione di secondo grado che andiamo a risolvere.
x>0
x+2>0 → x>-2
La soluzione finale sarà x<-2 U x>0
NOTE: alcuni chiedono come si calcola il dominio del logaritmo a base 1/2. In questo caso non cambia assolutamente nulla. Nelle condizioni iniziali abbiamo infatti esplicitato che la base deve essere maggiore di 0 e diversa da 1. Essendo questo il nostro caso, ci è sufficiente imporre l’argomento del logaritmo maggiore di 0.
DOMINIO LOGARITMO FRATTO
L’esercizio diventa leggermente più difficile quando si ha a che fare con il dominio di un logaritmo fratto. La regola però è sempre la stessa: l’argomento della funzione logaritmica deve essere maggiore di zero. Vediamo con un esempio come si risolve questo caso specifico.
Come puoi vedere, appena si impone la condizione del dominio del logaritmo fratto, si ha di fronte una semplice disequazione fratta di primo grado. Quindi si impone numeratore maggiore di 0 e il denominatore maggiore di 0. Si procede calcolando il falso sistema e si ottengono le soluzioni.
DOMINIO DEL LOGARITMO AL DENOMINATORE
Nel caso in cui anche il logaritmo si trova al denominatore, l’esercizio si semplifica anche se bisogna ricordarsi di imporre la condizione di esistenza “denominatore diverso da 0”. Vediamo un esercizio svolto per essere più chiari.
In questo caso le due condizioni devono valere contemporaneamente, per cui si crea un sistema con una parentesi graffa. La prima riga non è altro che un’equazione logaritmica. Ricordi come si risolve? Si trasforma l’equazione ponendo tutto all’esponente con base e. Il secondo rigo è invece una disequazione di primo grado.
DOMINIO LOGARITMO SOTTO RADICE
Come accadeva con le funzioni fratte, l’introduzione della radice quadrata può complicare leggermente lo svolgimento dell’esercizio. Tuttavia non è il caso di spaventarsi. Ecco come si calcola il dominio di un logaritmo con la radice. Esempio svolto:
Il primo passo da fare è riconoscere quali sono gli elementi che contribuiscono a restringere il campo di esistenza: il logaritmo e la radice quadrata. Quindi andiamo ad imporre il radicando (cioè tutto ciò che è sotto la radice) maggiore e uguale di 0. Assieme a questa condizione associamo che l’argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0.
La prima è una disequazione logaritmica. Ricordi come si risolvono? Si trasforma il logaritmo in esponente con base e e si fa qualche semplificazione. Al secondo rigo invece una banale disequazione di I grado. Ovviamente le due condizioni devono essere valide contemporaneamente, per cui si impone un sistema con la parentesi graffa.
Unendo le due soluzioni, si arriva alla fine dell’esercizio:
x>-1/2.
CONCLUSIONI
abbiamo visto come si calcola il dominio di un logaritmo in tutti i vari casi. Abbiamo visto che, sostanzialmente, l’unica vera novità quando si risolve una funzione logaritmica è quella di imporre l’argomento maggiore di zero.
Dominio di una funzione esponenziale
Come si trova il dominio di un’esponenziale? E’ vero che è definito in tutto R, oppure ci sono dei casi particolari da prendere in considerazione? Per esempio, come si calcola il dominio di una funzione esponenziale fratta?
Risposta
Innanzitutto vediamo che cos’è una funzione esponenziale. Si tratta di una funzione in cui l’incognita x compare all’esponente. La base è invece un numero reale positivo diverso da 1.
Con questa formula abbiamo già praticamente risposto alla prima domanda : il dominio della funzione esponenziale è tutto R, cioè l’insieme dei numeri reali. Proviamo a dare un’occhiata al grafico di questa funzione nei due casi principali.
Sia nel caso in cui la base è un numero maggiore di 1 che nel caso in cui la base è compresa tra 0 e 1, il grafico è sempre continuo. Puoi vedere dei salti sulla linea blu ed arancione? Non ci sono punti di discontinuità, per cui il campo di esistenza, ovvero il dominio dell’esponenziale, è tutto R.
Ovviamente tutto cambia se non dobbiamo più calcolare semplicemente il dominio dell’esponenziale ma di una funzione più complessa. Vediamo qualche esempio.
DOMINIO ESPONENZIALE FRATTA
Senza perderci troppo con la teoria, vediamo subito un esempio pratico.
Determinare il dominio della funzione esponenziale fratta con base e.
Nella lezione sul calcolo dei domini delle funzioni, abbiamo detto che bisogna fare un’analisi preliminare di che cosa potrebbe creare delle discontinuità del dominio. In particolare dicemmo che quando abbiamo logaritmo, radice ad indice pari e fratta, bisogna prestare attenzione. In questo nostro esercizio, abbiamo:
# funzione esponenziale → non crea problemi visto che il dominio esponenziale è R
# funzione fratta → il denominatore deve essere diverso da 0.
Per cui riassumendo, deve valere x+3≠0, cioè x≠-3.
Quindi in buona sostanza quando dobbiamo calcolare il dominio di una funzione esponenziale fratta, ciò che conta è il denominatore che deve essere diverso da 0.
DOMINIO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE IRRAZIONALE
Che cosa succede invece quando abbiamo una radice? Vediamo come prima un esercizio svolto.
Calcolare il dominio dell’esponenziale a base e e con esponente irrazionale.
Come abbiamo detto in precedenza, facciamo una valutazione preliminare di quello che compare nella funzione da studiare.
# funzione esponenziale → dominio valido in tutto R;
# funzione irrazionale (cioè la radice quadrata) → il radicando deve essere maggiore e uguale di 0.
Per cui avremo:
x+4≥0
x≥-4
CONCLUSIONI
Generalmente il dominio delle funzioni esponenziale non crea alcun tipo di problemi durante lo svolgimento degli esercizi. Attenzione però ai casi in cui la funzione presenta, oltre dominio dell’esponenziale, anche altre funzioni che hanno delle limitazioni sul campo di esistenza.
Logaritmo di infinito
– Quanto vale ln di infinito?
UNA DOVEROSA PREMESSA PRIMA DI CALCOLARE LN DI INFINITO
è importante fare una piccola premessa. Chiedere quanto vale il logaritmo naturale di infinito potrebbe essere una domanda a trabocchetto. Questo perché è impossibile dare il risultato preciso sul comportamento di una funzione (come la funzione logaritmo) ad infinito. Non si può dare un risultato a ln(+∞) e ln(-∞).
Proprio per questa ragione si studia la teoria dei limiti e dell’intorno di un punto. Senza scendere troppo nei dettagli e per arrivare subito al punto, ti basti ricordare che in questi casi si va a studiare il comportamento della funzione negli intorni di infinito (nell’ipotesi che sia definita in un intervallo con l’infinito).
QUANTO VALE IL LOGARITMO DI INFINITO?
Cerchiamo subito di dare una risposta a questo punto. La prima osservazione che facciamo è: di quale logaritmo stiamo parlando? La funzione generica logaritmo è:
Y=LOGAX
Ricordi quello che hai imparato quando hai studiato le proprietà dei logaritmi? La base “a” che può essere:
# maggiore di 1
# compresa da o e 1
Anche il grafico della funzione cambia a seconda della base e di conseguenza anche il risultato della tua domanda (quanto vale il logaritmo di infinito). Analizziamo il comportamento delle due curve: la rossa e la gialla.
LOGARITMO DI INFINITO CON BASE MAGGIORE DI 1
La curva rossa indica l’andamento della funzione logaritmo generica con base maggiore di 1. Che cosa succede quando la x va verso infinito? Detto in parole povere, la curva rossa dove tende man mano che si sposta verso destra? Verso l’alto… Cioè la sua y tende ad infinito. Per questa ragione ha senso dire che il logaritmo di infinito in questo caso vale infinito.
LOGARITMO DI INFINITO CON BASE COMPRESA TRA 0 E 1
Facciamo lo stesso tipo di ragionamento per curva gialla. Quindi cosa succede quando questa si sposta verso destra. In altre parole cosa succede alla y quando la x si sposta verso destra? Che va verso il basso… Cioè la y tende a meno infinito. Per questa ragione possiamo dire che il logaritmo di infinito in questo caso vale meno infinito.
CONCLUSIONI
Fermo restando quanto detto nella premessa, possiamo impropriamente dire che:
# il logaritmo di infinito con base maggiore di uno vale infinito → limx→+∞logax=+∞ , con a>1
# il logaritmo di infinito con base compresa tra zero e 1 vale meno infinito → limx→+∞logax=-∞ , con 0<a<1
Il risultato è esprimibile anche attraverso l’uso dei logaritmi, ma come hai potuto vedere sopra, è sufficiente ricordarsi semplicemente il grafico della funzione logaritmo per dare una risposta esauriente e corretta, così come abbiamo fatto quando abbiamo visto quanto vale il logaritmo di zero.
Seconda prova matematica 2016
PROBLEMA 1
L’amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei modelli esistenti in commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigenze del condominio.
Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l’amministratore ti fornisce il disegno in figura 1, aggiungendo le seguenti indicazioni:
# la lunghezza ? del serbatoio deve essere pari a 8 metri;
# la larghezza ? del serbatoio deve essere pari a 2 metri;
# l’altezza ℎ del serbatoio deve essere pari a 1 metro;
# il profilo laterale (figura 2) deve avere un punto angoloso alla sommità, per evitare l’accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con un angolo ? ≥ 10°;
# la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno 13 m3 , in modo da garantire al condominio il riscaldamento per tutto l’inverno effettuando solo due rifornimenti di gasolio;
# al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l’asse di simmetria (segmento ?? in figura 2) deve essere installato un indicatore graduato che riporti la percentuale di riempimento V del volume del serbatoio in corrispondenza del livello z raggiunto in altezza dal gasolio.
1) Considerando come origine degli assi cartesiani il punto ? in figura 2, individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può descrivere il profilo laterale del serbatoio per ? ∈ [−1, 1], ? intero positivo, motivando opportunamente la tua scelta:
?1(?) = (1 − |?|)1/?
?2(?) = −6|?|3 + 9??2 − 4|?| + 1
?3(?) = ???(?/2 ?? )
2) Determina il valore di ? che consente di soddisfare i requisiti richiesti relativamente all’angolo ? e al volume del serbatoio.
3) Al fine di realizzare l’indicatore graduato, determina l’espressione della funzione ?(?) che associa al livello ? del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento V del volume da riportare sull’indicatore stesso. Quando consegni il tuo progetto, l’amministratore obietta che essendo il serbatoio alto un metro, il valore ? del livello di gasolio, espresso in centimetri, deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il gasolio raggiunge un livello ? pari a 50 cm vuol dire che il serbatoio è pieno al 50%; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondenza del livello 50 cm, una percentuale di riempimento 59,7%.
4) Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all’amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello ? come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di ? in corrispondenza del quale esso si verifica
PROBLEMA 2
Nella figura 1 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua ?:[0, +∞) → ℝ, derivabile in ]0, +∞), e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.
È noto che Γ è tangente all’asse ? in ?, che ? ed ? sono un punto di massimo e uno di minimo, che ? è un punto di flesso con tangente di equazione 2? + ? − 8 = 0.
Nel punto ? la retta tangente ha equazione ? + 2? − 5 = 0 e per ? ≥ 8 il grafico consiste in una semiretta passante per il punto ?. Si sa inoltre che l’area della regione delimitata dall’arco ????, dall’asse ? e dall’asse ? vale 11, mentre l’area della regione delimitata dall’arco ??? e dall’asse ? vale 1.
In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni ? = ?′(?) ?(?) = ∫ ?(?)?? – con estremi di integrazione 0 e x – Quali sono i valori di ? ′ (3) e ? ′ (5)? Motiva la tua risposta.
Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: ? = |?′(?)| ? = |?(?)|′ ? = 1 ?(?) specificando l’insieme di definizione di ciascuna di esse.
Determina i valori medi di ? = ?(?) e di ? = |?(?)| nell’intervallo [0,8], il valore medio di ? = ?′(?) nell’intervallo [1,7] e il valore medio di ? = ?(?) nell’intervallo [9,10].
Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione ?(?) nei suoi punti di ascisse 0 e 8, motivando le risposte.
QUESTIONARIO
1) È noto che
2) Data una parabola di equazione ? = 1 − ?? 2 , con ? > 0 si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse x, nel segmento parabolico delimitato dall’asse x. Determinare ? in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.
3) Un recipiente sferico con raggio interno ? è riempito con un liquido fino all’altezza ℎ. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da: ? = ? ∙ (?ℎ2 − ℎ3/3 ).
4) Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?
5) Una sfera, il cui centro è il punto ?(−2, −1, 2), è tangente al piano Π avente equazione 2? − 2? + ? − 9 = 0. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?
6) Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta: “Esiste un polinomio ?(?) tale che: |?(?) − cos(?)| ≤ 10−3 , ∀? ∈ ℝ”.
8) Data la funzione ?(?) definita in ℝ, ?(?) = ??(2? + ?2 ), individuare la primitiva di ?(?) il cui grafico passa per il punto (1, 2?).
9) Date le rette:
e il punto ?(1, 0, −2) determinare l’equazione del piano passante per P e parallelo alle due rette.
10) Sia ? la funzione così definita nell’intervallo ]1, +∞):
Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di ? nel suo punto di ascissa √?.
SOLUZIONI SECONDA PROVA MATURITÀ 2016
SVOLGIMENTO PROBLEMA 1
Per poter iniziare ad affrontare questo problema di maturità 2016, è necessario fissare un sistema di riferimento. Un origine degli assi cartesiani nel punto A come ci viene suggerito dalla traccia. Per cui possiamo subito dare le coordinate cartesiane di alcuni punti:
Quello che notiamo è che in B deve esserci un punto angoloso, per cui la derivata della funzione nel punto di ascissa 0 deve essere diversa da zero. Cioè f ‘ (0) diverso da 0.
Per questa ragione possiamo subito scartare la funzione f3 che ci viene proposta dalla traccia. Facendone la derivata otterrei il seno di qualcosa. Sostituendo 0 al posto della x otterrei il seno di 0, e quindi la funzione derivata prima in quel punto sarebbe nulla. Ciò non sarebbe compatibile con la figura e quindi possiamo scartare questa terza soluzione.
Altro dato che ci viene fornito dalla traccia è che la funzione passi sia per B che per C. Quindi sostituendo in f2 le coordinate di B(1;0) e C(0;1) deve uscire un’identità (del tipo un numero uguale a se stesso). Proprio per questa ragione possiamo escludere anche la seconda soluzione. Inoltre facendone la derivata seconda, otterrei un profilo concavo/convesso differente da quello suggerito dalla figura. Infatti:
f ” (x) = -36x+18
Facendo il calcolo di concavità e convessità -36x>-18 → x<1/2. Significa che in corrispondenza dell’ascissa x=1/2 dovrei avere un cambiamento di concavità. Cosa incompatibile con la figura. Per questa ragione la soluzione al punto 1 del problema 1 è f1. Cioè la funzione f1 rappresenta il grafico in figura.
Per rispondere al punto 2, occorre calcolare il volume del serbatoio. Per effettuare questo calcolo moltiplichiamo l’area della sezione trasversale (che chiamiamo S) per la lunghezza del serbatoio (L=8) → V= S · L
Poiché K deve essere compreso tra 1 e 5 e allo stesso tempo deve essere maggiore di 13/3 (cioè di 4,3), allora possiamo scrivere che k=5. Per k=5 il volume diventa V=(16*5)/(5+1)= circa 13,3 metri cubi che è maggiore dei 13 metri cubi richiesti.
A questo punto possiamo calcolare il punto 3 del problema 1 della maturità 2016.
Bisogna calcolare il volume individuando una funzione V(z) che associa il livello di gasolio nel serbatoio la percentuale di riempimento del Volume da indicare sul serbatoio stesso.
Fissata x l’ascissa possiamo trovare che:
z=(1-x)1/5
da cui possiamo ricavare la x
x=1-z5
Il volume di gasolio contenuto nel serbatoio è:
Per risolvere l’ultimo punto, possiamo dire che abbiamo trovato k=5. Quando z=50cm, cioè mezzo metro, allora
P(0,5m)=120(0,5)- 20 x (0,5)6 =59,7 %
Il riempimento proposto del 50% è quindi sbagliato, poiché il volume individuato non è rettangolare ma ha una forma irregolare che lo porta ad essere più capiente verso la base. L’amministrazione propone invece di usare la formula:
P(a)= 100z
La differenza tra P(z) e P(a) è pari a d(z)=120z-20z6-100z=20z-20z6
Si calcola il massimo della funzione d(z) cioè d'(z)=20-120z5, continuando come si fa lo studio di funzione, si pone derivata prima uguale e poi maggiore di 0.
Per cui l’errore massimo si ha in corrispondenza di z=0,7m.
Quando una funzione è invertibile?
Iniziamo subito con la definizione di funzione invertibile, tanto importante nel programma di analisi.Una funzione invertibile è tale se si può definire una nuova funzione f-1 detta funzione inversa.
DEFINIZIONE DI FUNZIONE INVERTIBILE
data una funzione f:A -> B, se ad ogni y=f(x) appartenente a B corrisponde un solo x appartenente ad A viene definita una nuova funzione f-1 detta funzione inversa di f.
f-1:B -> A con x=f-1(y)
La funzione è una relazione che lega gli elementi dell’insieme A con quelli dell’insieme B. Così come vedi in figura.
La funzione inversa invece si ha quando la freccia blu nell’immagine parte da B e arriva ad A. Sostanzialmente nella funzione normale hai la y a sinistra e tutte le x a destra. Sfruttando le funzioni invertibili hai invece la x a sinistra e tutte le y a destra.
ESEMPIO
Sia la nostra funzione da invertire y=x+1. Qual è la funzione inversa? Basta spostare la x a sinistra seguendo le regole delle equazioni di primo grado (come quella di cambiare il segno quando un elemento viene spostato). Il risultato è: x=y-1 ed è proprio la funzione inversa che stavamo cercando.
La domanda da porsi a questo punto è: ma tutte le funzioni sono invertibili? Quando una funzione è invertibile? Ci sono delle condizioni da rispettare, esiste una regola che mi possa aiutare a risolvere gli esercizi di matematica?
QUANDO UNA FUNZIONE È INVERTIBILE?
# Se una funzione è monotòna (cioè strettamente crescente o strettamente decrescente) allora la funzione è invertibile.
# Se l’equazione y=f(x) risolta rispetto ad x ammette una sola soluzione per qualsiasi valore di y, allora la funzione è invertibile.
Quando risolvi i tuoi esercizi, verifica che siano rispettate queste due condizioni. Sono sufficienti per definire una funzione invertibile.
ESERCIZI
La parte teorica è praticamente conclusa. Vediamo alcuni esercizi svolti così da verificare le nostre conoscenze.
Esempio 1
y=2x è una funzione invertibile?
Per saperlo basta ricavarci la x. L’inversa della funzione esponenziale è la funzione logaritmica, per cui ci basta fare il logaritmo in base 2 ad entrambi i membri per ottenere.
log2y=log22x che diventa x=log2y
Esiste quindi una sola soluzione rispetto alla x, per cui l’esponenziale datoci dalla traccia è una funzione invertibile. Inoltre osserviamo che il dominio della funzione f è tutto R, mentre il codominio esiste solo per valori di y>0. Nella funzione inversa (cioè quella con il logaritmo che abbiamo calcolato) il dominio e il codominio sarà le inverse rispetto a quelle calcolate per f.
Esempio 2
y=x2 è una funzione invertibile?
Per scoprirlo come nell’esercizio precedente proviamo a calcolare la x, per ottenere x= ± radice quadrata di y. In questo caso la funzione è invertibile in un intervallo dato, cioè restringendo il suo dominio. In particolare:
# per x≥0 -> x=radice di y
# per x<0 -> x= – radice di y
Esempio 3
Verifichiamo che la funzione è invertibile anche solo localmente y=x2-2x-3.
Si tratta di un’equazione di secondo grado per cui facendo il grafico otteniamo una parabola. Questa figura ha come caratteristica di essere per un tratto decrescente ed uno crescente. Poiché il vertice è V(1;-4), allora la funzione è invertibile negli intervalli (-∞;1] e [1;+∞).
Provando a ricavare la x otteniamo: x1,2=1± radicequadrata(1+3+y)=1± radicequadrata(4+y), con y≥-4
# per x≤1 -> x=1-radicequadrata(4+y)
# per x>1 -> x=1+radicequadrata(4+y)
Intorno di un punto
Quando si definisce circolare, destro e sinistro
Prima di arrivare ai limiti ci sono alcuni concetti che bisogna affrontare. Dalla definizione di punto di accumulazione al concetto di intorno di un punto. Ci concentreremo proprio su quest’ultimo argomento, andando a studiare che cos’è un intorno circolare, destro sinistro di un punto oppure di infinito.
Prima di capire che cos’è l’intorno di un punto facciamo un breve richiamo di geometria analitica. Ricordi quando abbiamo parlato di coordinate cartesiane nel piano? Dicemmo che esiste una corrispondenza biunivoca che lega i numeri reali ai punti di una generica retta orientata r. Su questa retta possiamo identificare un segmento di estremi A,B, come in figura.
Come puoi vedere sul grafico in maiuscolo sono segnati i nomi dei punti sull’asse x, mentre in basso sono segnate dello stesso colore le rispettive coordinate. Fatta questa premessa e partendo proprio dal disegno che ti hai appena visto, possiamo dire che cos’è un intorno di un punto.
DEFINIZIONE
Si definisce intorno di un punto P, o anche intorno di x0, e si indica con I(P), l’insieme formato dai punti di r appartenenti ad un segmento contenente P al suo interno.
Vuoi una definizione più facile? L’intorno del punto P non è altro che tutto ciò che c’è prima e dopo quello stesso punto, specificando ovviamente quanto prima e quanto dopo bisogna procedere.
Esempio
Un vigile che si trova a centro strada per regolare il traffico, ha un campo di azione di 10 metri alla sua destra e alla sua sinistra. Se il vigile è il punto P, allora l’insieme delle automobili che si trovano a 10 metri a sinistra e a destra del vigile rappresentano l’intorno del punto.
Proviamo ora a tradurre la definizione teorica in una espressione matematica.
Non è importante in questo momento se gli estremi siano inclusi o meno nell’intorno. Per ora è assolutamente indifferente. Ovviamente in base a quanto abbiamo detto fino ad ora, e ricordandoci come si calcola la distanza tra due punti A e B, possiamo dire che l’ampiezza dell’intorno è b-a.
CHE COS’È UN INTORNO CIRCOLARE?
Si parla di intorno circolare quando P è il punto medio del segmento AB, quindi la distanza x0-a è uguale a b-x0.
INTORNO DESTRO DI UN PUNTO
Molto analogamente a quanto già detto prima si può parlare di intorno destro quando il primo estremo dell’insieme è proprio la coordinata del punto P. Quindi il punto P diventa l’estremo sinistro dell’intervallo da considerare. Ecco la definizione.
Definiamo intorno destro di un punto P, e si indica con I+(P), l’insieme dei punti diversi da P e appartenenti ad un segmento che ha P come estremo sinistro.
Dal punto di vista matematico, questa definizione si traduce nella seguente formula
In questo caso, invece, l’ampiezza dell’intorno è b-x0. Non ha senso in questo caso parlare di intorno circolare, visto che il punto P è diventato uno degli estremi e non può più essere il punto medio.
INTORNO SINISTRO DI UN PUNTO
Si parla invece di intorno sinistro quando il punto P diventa l’estremo destro, per cui si va a considerare l’insieme dei numeri reali minori di x0 fino ad arrivare alla coordinata di A. Dal punto di vista matematico vale la formula:
L’ampiezza dell’intorno sinistro è x0-a e anche in questo caso non ha senso parlare di intorno circolare, dato che P è nuovamente un estremo e non può essere punto medio del segmento.
INTORNO DI INFINITO
Fino a questo momento ci siamo occupato di insiemi circoscritti, i cui estremi cioè sono numeri reali. In matematica esistono anche gli intorni di intervalli aperti. In entrambi non ha senso parlare di intorno circolare dato che P continua ad essere un estremo del segmento.
INTORNO DI – INFINITO
L’intorno di meno infinito, ad esempio, è quell’insieme di valori che vanno da meno infinito fino ad un certo punto P.
INTORNO DI + INFINITO
Allo stesso modo è possibile individuare l’intorno di più infinito come quell’intorno che va dal generico punto P fino a più infinito
INTORNO BUCATO
Non c’è nulla di difficile in quest’ultima definizione che userai molto raramente nel tuo corso di studi, ma per completezza te la presentiamo. L’intorno bucato è un semplice intorno finito, quindi gli estremi sono punti appartenenti all’insieme dei numeri reali, di cui però lo stesso punto P va escluso.
L’intorno bucato può essere un intorno completo.
Funzioni biettive
– grafico, esempi e definizione
Una funzione biettiva, detta anche funzione biiettiva, o biunivoca, è particolarmente importante per risolvere gli esercizi di matematica, poiché mi permette di stabilire quando una funzione è invertibile. Ad ogni modo cerchiamo subito di capire quali sono le funzioni biettive o biunivoche.
FUNZIONE BIETTIVA DEFINIZIONE
Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A, il dominio, in elemento dell’insieme B, codominio. Diciamo che f è una funzione biiettiva se essa è contemporaneamente una funzione iniettiva e una funzione suriettiva. Le due condizioni devono essere verificate contemporaneamente:
# per ogni a1,a2 appartenenti ad A, con a1 diverso da a2, f(a1) deve essere diverso da f(a2)
# f(A)=B
“Come faccio a capire se una funzione è biiettiva?” La definizione di funzione biunivoca è molto più semplice rispetto alle iniettive e suriettive.
Come puoi vedere dal grafico Una funzione di questo tipo viene anche chiamata corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e B.
A questo punto vediamo alcuni esempi pratici ed esercizi svolti per rendere più chiaro l’argomento.
ESEMPIO 1.
La funzione reale di variabile reale y=2x-1 è una funzione biettiva. Infatti il dominio della funzione è l’insieme dei numeri reali R. Inoltre se risolviamo l’equazione di primo grado portandoci la x a sinistra otteniamo:
x=y/2-1/2
Volendo calcolare il dominio riferito alla y e non alla x (cioè il codomonio) vediamo che l’insieme di definizione è sempre R. Questo significa che per ogni x esiste sempre una y e viceversa.
ESEMPIO 2.
y=x^2-4 è una funzione biiettiva? No, perché mentre il suo dominio è l’insieme dei numeri reali R, il suo codominio ha delle esclusioni. Andando a risolvere questa equazione di secondo grado portando la x a sinistra ottengo che x è uguale alla radice quadrata di y+4, che ammette valori reali solo nel caso in cui y sia maggiori o uguali di -4. Per y=-5, ad esempio, non ho controimmagine, per cui non abbiamo una funzione biiettiva.
ESERCIZIO
Stabilire se la funzione è biettiva facendo bene attenzione agli insiemi che sono forniti dalla traccia.
Il dominio della funzione è x-3 diverso da 0, che con un semplice passaggio algebrico diventa x diverso da 3. Questo significa che il dominio comprende l’insieme dei numeri reali ad esclusione del valore 3. La traccia mi permette questa soluzione.
Per quanto riguarda il codominio prima è necessario fare un passaggio matematico:
A questo punto possiamo calcolare il codominio che comprende tutti i valori dei numeri reali ad esclusione di 2, lo stesso che mi consente la traccia. Per questa ragione si tratta di una funzione biettiva e quindi c’è corrispondenza biunivoca tra x e y.
Funzione suriettiva
– Grafico, definizione ed esempi svolti
Abbiamo già parlato nelle precedenti lezioni di come stabilire se una funzione è iniettiva. Oggi ci concentreremo su un’altra importante definizione di funzione. In particolare vedremo che cos’è una funzione suriettiva, partendo dalla definizione completa di grafico fino a vedere assieme degli esercizi.
Si tratta di un argomento spesso sottovalutato al liceo ma che è importante non solo per il programma di analisi ma anche per l’algebra lineare. Generalmente a scuola si da poco più che una definizione e una spiegazione sulle funzioni suriettive, spesso neanche molto chiara. Cercheremo di darti un’idea più chiara e completa dell’argomento, rendendoti tutto il più semplice possibile.
DEFINIZIONE DI FUNZIONE SURIETTIVA
Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A in elementi dell’insieme B. Diciamo che f è una funzione suriettiva se vale la condizione f(A)=B
Cerchiamo ora di capire bene il significato della definizione di funzione suriettiva, detta anche surgettiva in alcuni testi più vecchi. In maniera più matematica possiamo dire che la funzione è suriettiva quando tutti gli elementi di B posseggono almeno una controimmagine. Proviamo a rendere tutto ancora più semplice analizzando il seguente grafico.
Nel grafico sono presenti due figure. Nella prima puoi vedere rappresentata una funzione suriettiva, mentre nella figura due è rappresentata una funzione non suriettiva. Cosa cambia? Come stabilire se una funzione è suriettiva? Come puoi vedere in figura 2 è presente un elemento che non ha una controimmagine, cioè non è collegato a nessun elemento di A.
Una funzione è suriettiva quando tutti gli elementi del codominio, cioè dell’insieme B di destra hanno un corrispondente elemento nel dominio della funzione, cioè l’insieme di sinistra. Per cercare di renderti tutto ancora più facile e chiaro, ecco alcuni esempi.
ESEMPIO 1
La funzione reale di variabile reale y=f(x), il cui grafico è rappresentato in figura, è suriettiva. Infatti ogni retta orizzontale (corrispondente ad un valore reale e qualsiasi) interseca la curva almeno in un punto. Tradotto dal linguaggio matematico, questo vuol dire che per ogni valore di y esiste sempre un valore di x.
ESEMPIO 2
y=x^2 è l’equazione della parabola con vertice nell’origine. Ebbene la parabola non è una funzione suriettiva. Infatti il suo codominio è l’insieme R0+, cioè l’insieme dei numeri reali positivi e compreso lo 0. La curva infatti esiste solo nel primo e terzo quadrante del piano cartesiano. Se proviamo cioè a tracciare la retta y=-2, ad esempio, non intersecherà in alcun punto la funzione. Questo vuol dire che esistono dei valori di y che non hanno una corrispondenza nell’insieme delle x possibili.
COME STABILIRE SE UNA FUNZIONE È SURIETTIVA CON IL METODO ANALITICO
Quello che abbiamo visto sino ad ora è sostanzialmente il metodo grafico. Cioè si disegna la funzione e si verifica che per ogni y scelta ci sia almeno una x corrispondente. Una soluzione alternativa a questo tipo di esercizi può essere data dal metodo analitico per le funzioni suriettive. In cosa consiste? Nell’applicazione rigorosa della definizione di funzione suriettiva vista in precedenza.
Questo significa trovare per ogni y, almeno una x, tale che y=f(x). Come si fa? Basta risolvere l’equazione calcolando la x invece della y. Vediamo con un esercizio svolto di essere subito più chiari.
ESEMPIO 3
L’equazione della retta y=2x+1 è una funzione suriettiva? Dimostriamolo con il metodo analitico.
Mentre con il metodo grafico è sufficiente disegnare una retta nel piano cartesiano e si verifica immediatamente che per ogni retta orizzontale si interseca sempre la retta data, con il metodo analitico bisogna risolvere un’equazione di primo grado, andando cioè a spostare la x a sinistra.
y=2x+1 –> x=y/2 + 1/2
La funzione è suriettiva perché per qualsiasi valore di y si trova senza dubbio un corrispondente valore di x.
ESEMPIO 4
yx=2 è l’equazione di un’iperbole equilatera riferita agli assi. Proviamo a verificare che si tratti di una funzione suriettiva con il metodo analitico.
yx=2 –> x=2/y
Non è una funzione suriettiva perché immaginando di voler calcolare le condizioni di esistenza riferite alla y, troverei immediatamente che per y=0 non esiste alcun valore di x. E’ dato che la definizione sottolinea che devono essere tutti i valori del codominio ad avere controimmagine nel dominio, allora la funzione non è suriettiva.
Funzione iniettiva
– definizione, grafico ed esempi
, non è niente di particolarmente difficile da capire e anche se a scuola non ci hai capito nulla, vedrai che al termine di questa lezione avrai tutto molto più chiaro.
Ci concentreremo su ciascuna di queste vedendo qual è la definizione e come può essere spiegata in maniera semplice attraverso l’uso di un grafico. La prima domanda che sicuramente ti stai ponendo è: “a che servono le funzioni iniettive e suriettive?“. Nel programma di analisi ti troverai spesso a sentir parlare di funzioni inverse e invertibili. Tutto parte dai contenuti che affronteremo in maniera semplice e schematica nella lezione di oggi.
FUNZIONI INIETTIVE
Iniziamo subito con la definizione di funzione iniettiva così come la trovi sui libri di matematica che usi anche a scuola.
Sia f una funzione che trasforma elementi dell’insieme A in elementi dell’insieme B. Diciamo che f è una funzione iniettiva tra gli insiemi A e B se gli elementi di B posseggono al massimo una controimmagine.
Per capire quando una funzione si dice iniettiva basta che ricordi la definizione di funzione. Dicemmo che è una relazione che associa per ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Le funzioni iniettive hanno la caratteristica per cui anche agli elementi di B corrisponde un solo elemento dell’insieme A.
Ti facciamo notare come possano esistere degli elementi dell’insieme B privi di controimmagine (cioè di elementi collegati nell’insieme A)
Nell’immagine la figura 1 è una funzione iniettiva, mentre la figura 2 non è una funzione iniettiva. Questo perché nel grafico a destra puoi vedere che alcuni elementi dell’insieme a sinistra convergono verso un’unico elemento dell’insieme di destra, condizione non accettabile per la definizione.
ESEMPI
ESERCIZIO 1 – DIMOSTRARE CHE Y=1/X È UNA FUNZIONE INIETTIVA
Per verificare che la funzione assegnataci dalla traccia sia iniettiva occorre verifica che non solo passando da x a y (quindi dall’insieme A a quello B) c’è un solo collegamento per ogni elemento, ma deve valere anche il contrario. Per ogni elemento di y deve corrispondere 1 solo elemento di x.
Possiamo farlo andando a calcolare x=1/y. Assegniamo dei valori arbitrari (cioè a nostra scelta) alla y, tranne 0 perché non rientra nel dominio delle funzioni fratte.
Dal grafico della funzione sul piano cartesiano puoi anche notare che per qualsiasi retta r orizzontale (tratteggiata in figura) ci sarà un solo punto di intersezione con curva. Questo significa che ogni valore dell’insieme B, come ad esempio il valore sull’asse delle y pari a r (y=r retta orizzontale) ha una sola controimmagine. Infatti puoi vedere che in corrispondenza di r esiste un solo valore sull’asse delle ascisse, pari a x0.
ESERCIZIO 2 – VERIFICARE CHE LA TRACCIA ESPRIMA UNA FUNZIONE INIETTIVA.
y=(1-x)/(1+x), dove la funzione è definita per l’insieme numerico Z (numeri interi relativi). Il dominio della funzione è l’insieme Z ed inoltre x deve essere diverso da -1.
Il codominio C della funzione è strettamente contenuto in Q, poiché si possono individuare gli elementi di Q privi di controimmagine; stabiliamo per esempio, se l’elemento 3/2 ha controimmagine:
Il valore determinato non è accettabile poiché non è un numero intero relativo, quindi 3/2 (l’elemento dell’insieme B) non ha controimmagine (cioè non vi è associato alcun elemento dell’insieme A). Abbiamo così dimostrato che quel determinato valore non ha una controimmagine.
Quello che ci resta da stabilire per completare questo esercizio sulle funzioni iniettive è che presi due qualsiasi numeri x1 e x2 le loro immagini sono differenti, cioè f(x1) è diverso da f(x2). Si tratta di una dimostrazione che facciamo per assurdo. Supponiamo quindi che sia:
L’esercizio ci ha portato ad un risultato che contrasta con l’ipotesi iniziale (cioè che x1 diverso da x2). Dobbiamo perciò considerare che f(x1)=f(x2). Abbiamo così dimostrato che le funzione di partenza assegnataci dalla traccia è iniettiva.
In realtà l’esercizio che ti abbiamo mostrato in questo secondo esempio è ben più complesso rispetto a quelli che svolgerai in classe. Generalmente i programmi e gli esercizi di matematica che ti vengono assegnati in aula non riguardano le funzioni iniettive e suriettive su cui invece ti limiterai all’enunciato e ad una rapida spiegazione con gli insiemi. Dovrai cioè sapere quello che abbiamo studiato in questa prima parte di lezione.
La Funzione Esponenziale
– definizione, grafico e dominio
La funzione esponenziale è una funzione così definita perché ha l’incognita x che compare all’interno dell’esponente.
DEFINIZIONE
Dato il numero reale positivo a ed il numero x variabile nel campo dei numeri reali R, se ad ogni elemento di x associamo l’elemento a elevato alla x, otteniamo la corrispondenza:
Cerchiamo ora di dare una definizione di funzione esponenziale più semplice. Ci troviamo di fronte a funzioni esponenziali nel momento in cui ho una potenza e all’esponente compare la x.
DIFFERENZA TRA POTENZE ED ESPONENZIALI
La domanda che si potrebbe porre è: che senso ha studiare gli esponenziali quando possiamo studiare le potenze? L’esponenziale è in realtà molto diverso e anche il suo grafico presenta notevoli differenze.
Mentre il grafico di una potenza è una parabola (nel caso ad esempio di potenza ad indice due), con gli esponenziali ci troveremo una curva diversa. La sostanziale differenza tra potenza ed esponenziale sta nel fatto che nel primo caso la x sta alla base, nel secondo caso l’incognita compare invece all’esponente.
DOMINIO – CAMPO DI ESISTENZA
La funzione esponenziale ha un dominio valido su tutto R. Questo significa che non esistono punti di discontinuità sul grafico, in parole povere la funzione può spostarsi da meno infinito a più infinito senza problemi e senza subire alcuna interruzione.
Vedrai sul grafico della funzione esponenziale che non si scende mai al di sotto dell’asse x. Questo significa che la funzione è sempre positiva, per cui il codominio è R+, cioè per ogni x appartenente all’insieme dei numeri reali positivi.
STUDIO DEL SEGNO – POSITIVITÀ
Con lo studio del segno andiamo ad analizzare dove e quando la funzione esponenziale è positiva o negativa, cioè quando si trova sopra o sotto l’asse delle x. Per questa operazione, come in ogni studio di funzione, è necessario verificare la disequazione f(x)>0.
Per definizione la funzione esponenziale è sempre positiva, cioè si trova sempre al di sopra dell’asse delle x, qualsiasi sia la base.
GRAFICO DELLA FUNZIONE ESPONENZIALE
Il grafico ha un andamento differente a seconda di quanto vale la base. Se infatti la base è un numero maggiore di 1 ho una funzione sempre crescente, se il suo valore è compreso tra 0 e 1 il suo andamento è sempre decrescente. Se infine a=1 allora ho una retta orizzontale. Vediamo i tre grafici:
A>1 – BASE MAGGIORE DI 1
0<A<1 – BASE COMPRESA TRA 0 E 1
A=1 – RETTA ORIZZONTALE
Nel caso in cui l’esponente sia uguale a 1, la funzione esponenziale y=a^x coincide con y=1, cioè una retta orizzontale.
CONSIDERAZIONI E OSSERVAZIONI SUL GRAFICO ESPONENZIALE
Possiamo così fare alcune considerazioni sul grafico della funzione esponenziale: in particolare notiamo che quando a>1 allora la curva è crescente, quando a è compresa tra 0 e 1 allora la curva disegnata è decrescente.
COME DISEGNARE LE FUNZIONI ESPONENZIALI?
Come si disegnano le funzioni esponenziali? Mentre per disegnare una retta partendo dalla sua equazione avevamo detto che erano sufficienti due punti, in questo caso ne serve qualcuno in più. Con 3 punti si disegna l’equazione di una parabola, per cui è necessario disegnarne almeno 4 o 5.
Vediamo subito un esempio facile per chiarire il concetto espresso fino ad ora:
Rappresentiamo graficamente, per punti, la seguente funzione esponenziale:
y=3^x
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