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Data 13 ottobre 2019

ANALISI MATEMATICA – 2

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Discontinuità di prima specie

 –  definizione, esempi ed esercizi svolti

 

La discontinuità di prima specie si ha nel momento in cui esistono e sono finiti il limite destro e sinistro, ma sono diversi tra loro indipendentemente dal valore che la funzione assume nel punto C.

Dal punto di vista matematico questo può essere scritto come:

48-ANAL.MATE. - 2

 

 

In poche parole, quando si ha una discontinuità di prima specie, detta anche discontinuità di primo tipo, sul grafico si vedrà un salto vero e proprio nella curva. Questa procederà normalmente fino ad un certo punto, poi si interromperà bruscamente per riprendere in corrispondenza di una nuova ordinata.

Ecco alcuni esempi di come potrebbero essere i grafici di una funzione con una discontinuità di 1° specie.

 

CASO 1

La definizione di discontinuità di prima specie stabilisce solo che esistono e sono finiti i limiti destro e sinistro della funzione nel punto C, ma non da alcuna informazione riguardo al valore che assume f(x) in C. Il primo caso è quello per cui la curva prosegue fino a C incluso, cioè il valore f(C) rientra nella prima parte della curva, subito dopo c’è il salto.

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CASO 2

Nell’immagine che vedi, è rappresentata una possibile discontinuità di prima specie dove questa volta, il limite sinistro assume un valore, f(C) cioè il valore della funzione nel punto C ne assume un altro, e il limite destro un altro ancora.

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CASO 3

Nell’ultimo caso che puoi vedere nell’immagine sotto, abbiamo una situazione in cui c’è un vero e proprio punto di discontinuità. Cioè la funzione nel punto C non esiste, per cui non è definito f(c). Tuttavia il limite destro e sinistro esistono, sono finiti e diversi tra loro.

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ESERCIZI SULLA DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE

Vediamo ora una esempio pratico di una funzione che presenta questo primo tipo di discontinuità.

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Abbiamo una funzione con un valore assoluto. Il primo passo è quello di calcolare il dominio della funzione. Essendo una fratta, si impone che il denominatore è diverso da zero. Per cui possiamo scrivere:

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Che significa quello che abbiamo scritto? Che, sul grafico:

 

# quando x>0, la funzione da studiare è y=+1, che è l’equazione di un retta orizzontale.

# quando x<0, la funzione da studiare è y=-1, anch’essa una retta orizzontale.

 

Poiché non esiste la funzione nel punto 0, perché non lo consentono le condizioni di esistenza, allora ho:

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Quindi la funzione dataci dalla traccia presenta una discontinuità di prima specie, con un salto do 2 unità. Infatti la distanza tra il risultato dei due limiti (cioè tra -1 e +1) è proprio pari a 2.

 

Intersezioni con gli assi

– come trovare i punti di intersezione con gli assi cartesiani

 

Le intersezioni con gli assi sono i punti di intersezione di una generica funzione f con gli assi cartesiani. Si tratta di un argomento estremamente importante nello studio di funzione perché permette di trovare preziosi informazioni sul grafico da disegnare.

Nel programma di geometria analitica avevamo già visto come trovare l’intersezione tra due rette. In questa lezione andremo a riprendere quanto già detto estendendo però il ragionamento a qualsiasi tipo di curva e funzione. Come si trovano i punti di intersezione con gli assi di una parabola, di una retta o di una qualsiasi funzione?

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI

I punti di intersezione del grafico con gli assi cartesiani sono dei punti che si ottengono intersecando la funzione y=f(x) con l’asse delle ascisse (che ha coordinate y=0) e con l’asse delle ordinate (che ha coordinate x=0).

Non è detto che la nostra funzione abbia dei punti di intersezione con gli assi, ma dalla loro individuazione si possono già ricavare preziose informazioni da riportare sul grafico. Vediamo come procedere con questo doppio calcolo in maniera semplice.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y (X=0)

E’ necessario costruire un sistema composto da due equazioni. Sul primo rigo avremo la funzione y=f(x), sul secondo rigo l’equazione dell’asse delle ordinate x=0.

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Questo significa, in parole povere, che bisogna trovare un punto che ha coordinate P(0 ; yP) dove yP = f(0) lo si determina andando a sostituire, all’interno della funzione, al posto della x il valore 0.

E’ in genere il calcolo più immediato che può essere risolto a volte addirittura a mente grazie alla sua semplicità. Vedrai negli esercizi svolti dopo quanto questo calcolo sia semplice.

ATTENZIONE: non è detto che esista l’intersezione con l’asse delle ordinate. Se questo punto esiste, sarà unico, in base alla definizione di funzione. Ricordi cosa avevamo detto? Che per ogni valore di x associa uno e un solo valore di y, per cui non possono esserci 2 intersezioni con l’asse delle y.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE DELLE X (Y=0)

E’ necessario costruire un sistema composto da due equazioni. Sul primo rigo avremo sempre la funzione y=f(x), mentre sul secondo rigo metteremo la retta corrispondente all’equazione dell’asse delle x, ovvero y=0.

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Il punto di intersezione con l’asse delle ascisse ha coordinate P(xP;0). Per trovare l’ascissa del punto di intersezione con gli assi bisogna quindi andare a sostituire il valore 0 al posto della y. Dalla risoluzione dell’equazione che si ottiene ci sono due possibili casi:

 

# le equazioni sono impossibili o non hanno soluzioni: non ci sono intersezioni con l’asse x;

# le equazioni ammettono 1 o più soluzioni: queste sono proprio i valori delle ascisse dei punti di intersezione con l’asse x.

 

UN PRIMO SEMPLICE ESEMPIO

Proviamo subito a mettere in pratica quello che abbiamo scritto in termini generici con un facile esercizio svolto.

Calcolare le intersezioni con gli assi della funzione:

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INTERSEZIONI CON L’ASSE DELLE ORDINATE

x=0

y=√(0²-0+2) → y=√2

 

Quindi abbiamo semplicemente sostituito, nell’equazione della funzione, il valore 0 al posto della x. Abbiamo così trovato il primo punto di intersezione con gli assi cartesiani: P(0; √2)

 

INTERSEZIONI CON L’ASSE DELLE ASCISSE

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Come puoi vedere in questo caso, andando a sostituire al posto della y il valore 0 nella funzione, si ottiene un’equazione irrazionale. Quini dobbiamo determinare le condizioni di esistenza e poi elevare al quadrato. In realtà, quando effettueremo lo studio di funzione completo, le condizioni di esistenza non saranno necessarie perché non saranno altro che una ripetizione del dominio della funzione.

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La disequazione di secondo grado, una volta risolta, mi dà come risultato un delta negativo. Questo vuol dire che non ci sono intersezioni con l’asse delle ordinate.

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

Calcolare le intersezioni con gli assi cartesiani della funzione:

y=log(x-1)

In questo caso abbiamo una funzione logaritmica da studiare. Il procedimento è sempre lo stesso per cui iniziamo subito con i calcoli.

 

ATTENZIONE: quando andrai a studiare la funzione negli esercizi di analisi, dovrai per prima cosa calcolarne il dominio. In questo caso la condizione di esistenza della funzione è x-1>0, cioè x>1. Questo significa che è inutile calcolare l’intersezione con l’asse y (cioè mettere a sistema con x=0) perché i valori delle x validi sono da +1 fino a infinito. Non sei convinto? Proviamo a calcolare comunque l’intersezione con l’asse delle ordinate

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y

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Come puoi vedere il calcolo non ha fatto altro che confermare quello che già dal dominio potevamo intuire. Per cui, per evitare di sprecare tempo e fare calcoli inutili, fai attenzione al dominio prima di trovare le intersezioni con gli assi.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE X

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Una volta imposto il sistema, abbiamo semplicemente risolto l’equazione logaritmica che ne è derivata e siamo arrivati alla soluzione.

P(2;0)

 

INTERSEZIONI CON GLI ASSI DELLE FUNZIONI ESPONENZIALI

Trovare i punti di intersezione con gli assi cartesiani della funzione:

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INTERSEZIONE CON L’ASSE X

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L’intersezione con l’asse x non porta ad alcun risultato perché il logaritmo di 0 non esiste nel campo dei numeri reali. Per cui la funzione non si interseca con l’asse delle ascisse.

 

INTERSEZIONE CON L’ASSE Y

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L’esercizio potrebbe anche essere terminato ma vogliamo esprimere più correttamente il valore dell’ordinata, per cui è necessario eseguire una razionalizzazione del radicale.

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CONCLUSIONI

Abbiamo visto come il calcolo delle intersezioni con gli assi della generica funzione si risolve imponendo un sistema di due equazioni in due incognite. Dalla risoluzione del sistema si ottengono le coordinate dei punti che appartengono sia alla funzione che agli assi cartesiani.

 

Studio del segno di una funzione

 – come calcolare la positività di una funzione

 

Lo studio del segno di una funzione, detto anche positività di una funzione, è una tecnica di calcolo che permette di individuare quelle zone del grafico dove la curva studiata sta al di sopra o al di sotto dell’asse delle x.

Generalmente si effettua lo studio del segno della funzione subito dopo il calcolo del dominio, perché ciò permette di escludere rapidamente della vaste zone del grafico. Infatti attraverso l’analisi della positività è possibile andare ad eliminare dal disegno quelle zone sicuramente non attraversate dalla funzione.

 

DEFINIZIONE DI SEGNO DI UNA FUNZIONE

Immaginiamo di avere una generica funzione f:DR, cioè data una curva f di dominio D appartenente al campo dei numeri reali. Per la definizione di funzione sappiamo che ad ogni valore di x corrisponde un unico valore di y, per cui y=f(x).

Questo significa che assegnando un valore alla x, otteniamo la y di conseguenza. Qual è il segno assunto dalla y in questo caso? Positivo o negativo? A questa domanda si risponde attraverso lo studio del segno di una funzione.

 

A CHE COSA SERVE LO STUDIO DEL SEGNO?

Sostanzialmente la positività di una funzione permette suddividere l’asse cartesiano, e quindi il grafico da realizzare, in delle aree con un segno specifico: più (+) o meno (-). Alla fine dei calcoli si può:

 

# ottenere un intervallo in cui la funzione è positiva, cioè si trova sopra l’asse delle x, quindi primo o secondo quadrante.

# ottenere un intervallo in cui la funzione è negativa, cioè si trova sotto l’asse delle x, quindi terzo o quarto quadrante.

 

COME STUDIARE IL SEGNO DI UNA FUNZIONE

Lo studio della positività della funzione è davvero semplice dal punto di vista concettuale, perché si calcola semplicemente imponendo la condizione:

f(x)>0

Si tratta quindi di andare a risolvere una disequazione. Lo studio del segno di una funzione è difficile solo se la funzione è particolarmente complessa. Risolvendo questa disequazione otterremo degli intervalli da sistemare poi sul grafico. Tutto ciò ti sarà molto più chiaro negli esempi che vedremo tra poco.

 

SEGNO DI UNA FUNZIONE POLINOMIALE

Il caso più semplice da analizzare riguarda lo studio del segno di una funzione polinomio del tipo y =axn+bxn-1+…+z

 

ESEMPIO

Studiare il segno della funzione y=x²+4x+3

La condizione per lo studio del segno è y=x²+4x+3 > 0, per cui tutto quello che bisogna fare è risolvere una disequazione di secondo grado. Ecco come fare:

x²+4x+3 > 0 → la formula col delta è:

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A questo punto essendo il verso e il primo coefficiente concordi si prendono soluzioni esterne, cioè il risultato è:

x<-3 U x>-1

Questa non è altro che la soluzione dello studio del segno della funzione polinomiale. Non ci resta che mettere su grafico i valori ottenuti.

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Come puoi vedere dal grafico abbiamo tirato degli assi in corrispondenza delle estremità dell’intervallo individuato. Come detto all’inizio, lo studio del segno di una funzione ci indica quali sono i valori per cui la curva è positiva (quindi sopra l’asse x). Ciò significa che:

 

# quando x<-3 siamo sicuri che la funzione si trova sopra (per cui la zona inferiore di grafico si può cancellare)

# quando x>-1 siamo sicuri che la funzione si trovi sopra (per cui anche questa zona si può eliminare)

# in tutti gli altri valori sono sicuro che la funzione si trova sotto (per cui posso cancellare la zona superiore del grafico).

 

Quindi il grafico ottenuto dallo studio del segno diventa:

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Attraverso queste cancellazioni abbiamo così ottenuto delle zone del grafico in cui passa la funzione. Dallo studio del segno possiamo quindi dedurre che in corrispondenza di x=-3 o x=-1 possono esserci dei punti di intersezione con gli assi o degli asintoti, a seconda del dominio e dello studio dei limiti.

 

STUDIO DEL SEGNO DI UNA RAZIONALE FRATTA

Inizia leggermente a complicarsi il calcolo visto che viene introdotto un denominatore. Per cui non bisognerà più risolvere una semplice disequazione razionale, ma una razionale fratta. Vediamo subito un esercizio svolto.

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Poiché si prendono i valori positivi, il risultato sarà x<-1 U x>0. Questo è anche il risultato dello studio del segno della funzione, per cui possiamo completare il grafico finale. Anche in questo caso andremo ad eliminare (annerendole) la parte inferiore del grafico nell’intervallo trovato dal risultato. In tutto il resto si elimina sopra.

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STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE IRRAZIONALE

In questo caso è importante avere una buona conoscenza sui metodi risolutivi delle disequazioni irrazionali. In caso contrario potremmo trovarci in difficoltà a risolvere le radici che si presenteranno per calcolare la positività della funzione.

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In questo caso dobbiamo studiare il segno di una funzione irrazionale fratta. Senza farci prendere dal panico per la presenza della radice, semplicemente applichiamo quanto visto fino ad ora, ovvero y>0.

Cerchiamo di essere furbi. Abbiamo una radice quadrata: hai mai visto una radice quadrata che come risultato da un numero negativo? NO! Questo perché la radice quadrata è una funzione sempre positiva, per cui la funzione si trova sempre sopra l’asse delle ascisse.

ATTENZIONE: in questo esercizio non è stato richiesto, ma la funzione ha ben due condizioni al dominio. Una disuguaglianza dovuta dalla presenza della radice (x+1)/(x-1)>0 e la condizione dettata dalla presenza del denominatore x≠+1. Questi valori devono essere cancellati anche dal grafico.

 

STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

In questo caso è importante conosce le nozioni base delle equazioni logaritmiche. Vediamo subito un esempio di positività di funzione logaritmica. In questo esercizio inseriamo anche lo studio di funzione, visto che generalmente nei grafici dello studio del segno ha una sua influenza.

y=log(x+1)

Ricordati che anche in questo caso è necessario calcolare il dominio, cioè x+1>0 → x>-1. Per quanto riguarda lo studio del segno vale sempre la stessa regola:

log(x+1)>0 → elog(x+1)>e0 → x+1>1

x>0

Possiamo inserire il risultato sul grafico eliminando già i valori esclusi dal dominio (cioè si cancella tutto ciò che si trova prima di -1 che potrebbe essere un asintoto verticale)

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STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

Per poter risolvere questo caso, è importante avere una buona conoscenza sulle equazioni esponenziali. Vediamo subito un esempio concreto su come si procede:

y=ex-1

y>0 → ex-1>0 →  ex>+1 → ln(ex)>ln(+1) → x>0

Il grafico in questo caso è estremamente semplice da realizzare, visto che si cancella la parte bassa del grafico in corrispondenza di x>0. Tutto il resto si cancella sopra.

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STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE TRIGONOMETRICA

Per poter risolvere questo caso è necessario sapere come si risolvono le disequazioni goniometriche. Vediamo come procedere con i calcoli in questo caso. Il dominio della funzione seno che vedrai dalla traccia include tutto R per cui non ci sono punti o zone di discontinuità.

y=sinx-1/2

sinx-1/2>0 → sinx>+1/2

Nella lezione sulla funzione seno abbiamo visto il grafico della sinusoide. Come puoi vedere dall’immagine in basso, il seno è maggiore di -1/2 per valori di x compresi da 0 a 210° e da 330° a 360°. Sul grafico finale andremo ad inserire proprio questi valori

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Definizione di funzione matematica

 

Qual è la definizione di funzione matematica? Si tratta di uno degli argomenti più importanti ma allo stesso tempo difficili da capire per gli studenti. Implica alcuni concetti e definizioni (come il dominio) che saranno molto utili negli esercizi di analisi.

Per capire questa lezione è importante avere alcune nozioni che riguardano la teoria egli insiemi. Infatti per parlare di definizioni di funzioni reali, dovremo valutare le alcune condizioni che riguardano due insiemi particolari. Entriamo però subito nel vivo della lezione

 

DEFINIZIONI DI FUNZIONI

Iniziamo subito questa lezione dandoti la definizione di funzione matematica che trovi in genere su tutti i libri di testo:

Si definisce funzione matematica quella legge che associa ad ogni elemento di un insieme A uno ed un solo elemento dell’insieme B.

Per capire che cos’è una funzione iniziamo disegnando due insiemi generici, A e B, non vuoti, cioè che al loro interno sono presenti degli elementi.

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CHE COS’È UNA FUNZIONE?

Come puoi vedere l’elemento dell’insieme A viene collegato con l’elemento dell’insieme B con una freccina che si chiama f. E’ proprio questo il concetto di funzione. Detto quindi in parole povere da un insieme A (che sarà il dominio, cioè l’insieme delle x), attraverso un oggetto matematico (appunto la funzione) arriviamo all’insieme B (che sarà l’insieme delle y).

Scritto in maniera matematica:

f:A → B

 

Che significa? Applicando una f all’insieme A arriviamo in B.

Un altro modo per indicare la funzione in matematica è f(a)=b dove a e b sono i generici elementi dell’insieme A e B rispettivamente. Molto spesso troverai infatti scritto sui libri: data la funzione y=f(x).

Ma che cos’è una funzione? La definizione l’abbiamo capita, ma nella pratica chi è f? E’ una qualsiasi operazione o operatore matematico applicato alla x. Ecco alcuni esempi:

 

# x+1 è una funzione perché dato un valore di x, f ci dice di aggiungere +1 per ottenere la y.

# è una funzione perché dato un valore di x, la f ci dice di farne la radice quadrata per ottenere la y.

# sin x anche il seno è una funzione perché data una x, la f ci dice di applicare il seno per ottenere la y.

 

CHE COSA SONO IL DOMINIO E IL CODOMINIO

Accanto alla definizione di funzione, ci sono due concetti importanti da conoscere e che andranno applicati negli esercizi di analisi e negli studi di funzione: dominio e codominio. Che cosa sono?

 

# L’elemento dell’insieme B (il puntino a destra) si definisce immagine dell’elemento nell’insieme A (il puntino a sinistra)

# L’elemento dell’insieme A si definisce controimmagine dell’elemento in B

# L’insieme A si definisce dominio della funzione f e si indica con la lettera D

# L’insieme B si definisce codominio della funzione f e si indica con la lettera C

 

ESEMPIO: È UNA FUNZIONE

Vediamolo più facilmente con un esempio. Ti ricordi come si disegna una retta? Molto brevemente assegnavamo un valore alla x a nostra scelta e calcolavamo la y di conseguenza.

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y=2x+1 è una funzione, nello specifico è l’equazione di una retta. Ad ogni valore di x corrisponde uno ed un solo valore di y, quindi è rispettata la definizione di funzione matematica.

 

ESEMPIO: NON È UNA FUNZIONE

La circonferenza non è una funzione matematica. Ti ricordi l’equazione della circonferenza? Vediamo l’esempio…

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Come puoi vedere in corrispondenza del valore 1/2 della x sono associati 2 valori alla y. Questo significa che la circonferenza goniometrica rappresentata dalla formula non è una funzione matematica.

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DEFINIZIONE DI FUNZIONE, ESERCIZI

Capito quindi che cos’è una funzione, consideriamo le seguenti equazioni e stabiliamo se esse rappresentano funzioni matematica.

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A partire dalla traccia abbiamo ricavato la y e poi verificato sul grafico la corrispondenza tra dominio e codominio. Questo primo esercizio è certamente una funzione perché per ogni valore di x che noi andiamo ad assegnare, esiste uno e un solo valore della y, proprio come dice la definizione di funzione. Il secondo esercizio invece è leggermente diverso.

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Una volta esplicitata la y in funzione della x, mi rendo subito conto che assegnando alla variabile indipendente (cioè alla x) un valore arbitrario, trovo due valori della variabile dipendente, cioè la y.

 

Dominio di una funzione

 – come si calcola il campo di esistenza

 

Il dominio di una funzione è l’insieme in cui la funzione stessa esiste ed è definita. In altre parole, nell’analisi matematica, il dominio di funzione va ad indicare quali valori della variabile x “non sono ammessi”. Per poterlo calcolare sono necessarie poche semplici regole da tenere presente.

E’ detto anche campo di esistenza ed è il primo passo per poter disegnare il grafico di una curva.

 

CHE COS’È IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

Quando abbiamo espresso la definizione di funzione matematica e della sua rappresentazione sul piano cartesiano abbiamo parlato anche di dominio e codominio.

 

ENUNCIATO

Il dominio di una funzione y=f(x) o campo di esistenza o anche insieme di definizione di f è l’insieme dei valori reali di x per i quali l’espressione f(x) ha significato.

Che significa ciò praticamente? Che il dominio della funzione f rappresenta quell’insieme dei valori che la x può assumere affinché la funzione stessa esista. Proprio per questa ragione il dominio di una funzione viene chiamata campo di esistenza.

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COME SI TROVA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

Molti libri e insegnanti propongono spesso metodi di calcolo che agli studenti risultano poco chiari o comunque non sempre applicabili in maniera istantanea.

Il nostro consiglio è di iniziare a riconoscere la funzione che si ha di fronte e di applicare per ciascuna di essa la regola che ti mostreremo. In base alla natura delle operazioni matematiche che caratterizzano f si sono classificate le funzioni in base ad uno schema preciso. Ecco come si trova il dominio delle funzioni elementari.

DOMINIO DI UNA FUNZIONE RAZIONALE INTERA

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Quando ti trovi di fronte ad un polinomio, non hai nulla di cui preoccuparti. Il grafico della tua funzione non avrà alcuna discontinuità per cui il dominio è “per ogni x appartenente a R“.

Questo significa che il campo di esistenza è tale per cui la funzione esiste per tutti i valori della x appartenenti all’insieme dei numeri reali. Lo stesso vale se devi fare il calcolo del dominio di una funzione di terzo grado, non ci sarà alcuna differenza

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE FRATTA

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Quando invece devi calcolare il dominio di una funzione razionale fratta dovrai escludere tutti i valori che annullano il denominatore.

Quindi la regola che devi applicare è imporre il denominatore diverso da zero. Quindi nella frazione A(x)/B(x) dovrai imporre B(x) diverso da 0.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE IRRAZIONALE

Come ben ricorderai dalle proprietà dei radicali e delle equazioni irrazionali, i casi che ti si possono presentare sono due. L’indice di radice può essere ad indice pari o ad indice dispari.

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# Per calcolare il dominio di una funzione irrazionale ad indice di radice dispari, ti è sufficiente imporre  “per ogni x appartenente a R”. Infatti in questo caso non ci sarà alcuna limitazione al campo di esistenza.

# Per calcolare il dominio delle funzioni irrazionali ad indice pari dovrai invece imporre il radicando maggiore e uguale di zero, visto che una radice non può essere negativa.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE ESPONENZIALE

85-

Il dominio di una funzione esponenziale è definito per ogni x appartenente a R. Quindi quando incontri questo tipo di funzione non avrai problemi, dato che non ci sono discontinuità.

Così come nelle equazioni esponenziali non andavi a definire un campo di esistenza, anche ora sul grafico nel dominio non dovrai andare ad effettuare alcuna modifica.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE LOGARITMICA

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Quando abbiamo affrontato le proprietà dei logaritmi ed in particolare quando abbiamo affrontato le equazioni logaritmiche abbiamo già calcolato il campo di esistenza, imponendo l’argomento maggiore di zero.

Nella formula generica che vedi al lato, dovrai semplicemente imporre tutto ciò che è nell’argomento del logaritmo maggiore di zero, cioè f(x)>0.

 

DOMINIO DI UNA FUNZIONE TRIGONOMETRICA

y= senx e y=cosx, cioè seno e coseno non hanno un campo di esistenza limitato, per cui possiamo scrivere che il dominio è definito per ogni x appartenente a R.

t=tgx, cioè la tangente di un angolo esiste invece solo quando x è diverso da π/2+kπ, cioè non può mai assumere valori multipli di 90° e 270°. Allo stesso modo la cotangente di un angolo è definita solo quando x è diverso da π+kπ, cioè per valori multipli di 180°.

 

A COSA SERVE IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE SUL GRAFICO?

Presa la nostra traccia, la prima cosa che abbiamo imparato a fare, fino ad ora, è riconoscere il tipo di funzione e da qui abbiamo capito come calcolare il campo di esistenza. Ma tutto ciò a cosa serve per lo studio di funzione? Come i valori del dominio che ho ottenuto possono essere sistemati sul grafico? I casi possibili sono sostanzialmente 3:

# il dominio è “per ogni x appartenente a R”. In tal caso il grafico non viene modificato in alcun modo dalle condizioni di esistenza, cioè la mia curva può attraversare tutto il grafico senza alcuna limitazione.

# il dominio è una equazione con il simbolo diverso. In tal caso si disegna una retta verticale (ecco cosa sono gli asintoti verticali) in corrispondenza di quell’ascissa. La mia curva non potrà mai toccare l’asintoto, ma solo avvicinarsi ad esso. Il caso più frequente si verifica con il dominio di una funzione fratta.

# il dominio è una disequazione è una disequazione, come nel caso dei logaritmi o delle funzioni sotto radice. In questo caso si andrà a cancellare, tratteggiandola, tutta la zona del grafico non indicata dal campo di esistenza calcolato.

 

ESEMPIO

Calcolare il dominio della funzione composta seguente.

87-

Nella traccia di questo piccolo esercizio si comincia facendo il riconoscimento della funzione. Che cosa subisce la x per diventare y? Gli viene applicato il logaritmo (quindi è una funzione logaritmica), poi gli viene sottratto 1 (quindi si va nelle funzioni razionali) e infine gli viene applicata la radice (sarà quindi anche funzione irrazionale).

Trascurando il fatto che sia funzione razionale, visto che il dominio è per ogni x appartenente ad R per cui non influenza il risultato finale, concentriamoci sul calcolo del dominio della funzione logaritmica irrazionale.

In figura ti abbiamo già cerchiato quali sono gli argomenti su cui lavorare. L’argomento della radice va imposto maggiore e uguale di zero, mentre l’argomento del logaritmo solo maggiore di zero. Queste due condizioni devono essere verificate contemporaneamente per cui andremo a scrivere un sistema di disequazioni.

88-FINE ANALI. MATE. - 2

Come puoi vedere è stato imposto il sistema di disequazioni e con pochi semplici passaggi algebrici siamo arrivati alla soluzione dell’esercizio. Ora il risultato va riportato sul grafico. Nella parte bassa puoi vedere che abbiamo disegnato gli assi cartesiani e riportato sull’asse delle ascisse il numero di Nepero e.

E’ stata cancellata tutta la porzione di grafico che non rientra nel dominio della funzione. Dato che il calcolo del campo di esistenza ci aveva dato come soluzione x maggiore e uguale di e, vuol dire che la funzione esiste solo dal valore di e in poi. Quindi tutto ciò che sta alla sinistra del numero di Nepero è stato cancellato.

In questo modo abbiamo escluso tutta una porzione del grafico e sappiamo con certezza che la nostra curva sicuramente non passerà per quell’area.

 

 

 

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