Limite destro e sinistro di una funzione
Il calcolo del limite destro e sinistro di una funzione si rende necessario qualora si voglia studiare il comportamento di una curva nell’intorno destro o sinistro di un suo punto.
In particolare il limite sinistro è un limite in cui i valori tendono da sinistra al punto x0. Il limite destro è un limite in cui i valori tendono da destra al punto x0.
Vediamo però di essere più chiari e di spiegare in maniera più semplice ma precisa cosa sono il limite destro e sinistro di una funzione.
COSA SONO IL LIMITE DESTRO E SINISTRO?
Capiterà più volte di dover studiare il comportamento di una funzione nell’intorno di un punto x0, detto punto di accumulazione. Può essere interessante capire cosa succede un po’ prima o un po’ dopo che la x raggiunga questo punto.
Per questa ragione si studiano il limite destro o sinistro, a seconda che ci si concentri sull’intorno destro o sinistro del punto x0.
Detto in maniera più semplice: se stiamo studiando una curva, a quale valore tende la y, se la x tende
# da sinistra a x0, cioè ha dei valori che aumentano sempre più fino ad arrivare a x0? (LIMITE SINISTRO)
# da destra a x0, cioè ha dei valori che diminuiscono sempre più fino ad arrivare a x0? (LIMITE DESTRO)
Vedremo anche degli esempi in basso in cui studieremo proprio il comportamento di una funzione analizzandone limite destro e sinistro. Prima vediamo le definizioni…
DEFINIZIONE DI LIMITE DESTRO E SINISTRO
LIMITE DESTRO
Data una funzione reale y=f(x) con un punto di accumulazione x0, diremo che il valore l è il limite destro della funzione f(x) e si scrive come:
SUGGERIMENTI UTILI
# Da notare come scrivere x0< x< x0+δ faccia proprio riferimento all’intorno destro di x0.
# Non confondere il limite destro e sinistro di una funzione. Il destro in questo caso ha vicino il punto di accumulazione il simbolo + (più).
LIMITE SINISTRO
Data una funzione reale f(x), con un punto di accumulazione x0 appartenente al dominio della funzione, diciamo che essa tende a l da sinistra e scriviamo:
SUGGERIMENTI UTILI
# In questo caso l’intorno sinistro è rappresentato da x0-δ< x< x0 .
# Per distinguere il limite destro e sinistro, in questo caso si usa il simbolo – (meno) accanto al punto di accumulazione.
LIMITE DESTRO E SINISTRO INFINITO
Le definizioni che abbiamo analizzato nei casi precedenti riguardano il caso di limite finito che tende a un valore finito.
Sappiamo che esistono altre tre casi da prendere in considerazione. Puoi trovare i casi generali nella lezione sulla definizione di limite. Per arrivare ai casi con i limiti infiniti basterà fare dei piccoli aggiustamenti e considerare, per il limite destro e sinistro, rispettivamente l’intorno destro e sinistro di x0.
CALCOLO LIMITE DESTRO E SINISTRO ESERCIZI SVOLTI
Eseguire il calcolo del limite destro e sinistro, tenendo presente le definizioni viste sopra.
ESERCIZIO SVOLTO 1
Svolgimento
Siamo nel caso di limite finito per x tendente a valore finito da sinistra. Come facciamo a dirlo? Dal segno – (meno) che compare sul punto di accumulazione.
Analizziamo l’ultima diseguaglianza. Questa equivale ad un sistema di disequazioni di primo grado. Questo perché le diseguaglianze devono essere verificate contemporaneamente.
Una volta impostato il sistema e scritte le condizioni di esistenza delle disequazioni irrazionali, passiamo al loro svolgimento.
La seconda è sempre verificata a patto che siano rispettate le condizioni di esistenza, cioè per x∈(-∞;0] U [+1;+∞)
Punto di accumulazione
x0 è un punto di accumulazione per l’insieme A se in ogni intorno di x0 cadono infiniti elementi di A.
In questa lezione vedremo che cosa sono i punti di accumulazione, un concetto non sempre facile per gli studenti, ma che serve per introdurre poi il concetto di limite.
Per poter capire che cos’è un punto di accumulazione è necessario sapere cosa si intende per sottoinsieme e per intorni di un punto.
PUNTO DI ACCUMULAZIONE DEFINIZIONE
Sia A un sottoinsieme di R, cioè A⊆R, un numero reale x0 si definisce punto di accumulazione di A se ogni intorno di x0 contiene almeno un elemento di A diverso da x0.
Su altri libri di testo viene anche scritto che x0 si dice punto di accumulazione quando per ogni intorno di x0 cadono infiniti elementi di A.
Le due definizioni sono perfettamente analoghe e possono essere utilizzate entrambe senza alcuna differenza.
Possiamo scrivere in termini matematici:
x0 è un punto di accumulazione per A⊆R se
ALCUNE RAPIDE CONSIDERAZIONI
Nella definizione di punto di accumulazione ci sono alcune parole su cui è importante prestare la giusta attenzione.
Infatti affinché x0 possa definirsi punto di accumulazione è necessario che qualsiasi suo intorno contenga i punti del sottoinsieme A. Questo significa che non basta trovare un generico intorno che soddisfi la definizione, ma è importante che la proprietà valga per ogni intorno di x0.
Ci rendiamo perfettamente conto che per uno studente i punti di accumulazione possono risultare astratti e difficili da comprendere. Proprio per questa ragione vediamo di seguito alcuni esempi svolti e commentati.
ESEMPI SUI PUNTI DI ACCUMULAZIONE
ESEMPIO 1
Iniziamo studiando la funzione seguente:
Andiamo a determinare il dominio della funzione D. Poiché la funzione è composta da due funzioni irrazionali, è sufficiente imporre il maggiore e uguale per ogni radicando.
Si ottengono così due disequazioni di secondo grado che si risolvono molto agevolmente e che poi vanno unite.
Consideriamo ora D come sottoinsieme dei numeri reali R.
Tutti i punti che si trovano nell’intervallo [0;1] possono essere chiamati punti di accumulazione, perché qualsiasi intervallo se ne consideri all’interno, questo ricade sempre all’interno del dominio D. Vediamo graficamente di essere più chiari.
Nell’intervallo del dominio D (sottoinsieme di R) prendiamo in generico punto x0 che disegniamo in blu per chiarezza grafica.
Tutti i punti dell’intorno disegnato in arancione ricadono nel sottoinsieme D. Per cui x0 è un punto di accumulazione. Puoi provare a disegnare qualsiasi punto all’interno di [0;1] e qualsiasi tipo di intervallo, avrai sempre lo stesso risultato.
Ciò invece non si può dire del punto x=2. Non essendo possibile disegnare degli intorni i cui punti ricadano nel dominio D, allora non è un punto di accumulazione e viene chiamato punto isolato.
Esempio 2
Dato il sottoinsieme A, verificare che x0 è un punto di accumulazione.
Svolgimento
Consideriamo per semplicità degli intorni sferici. Ad esempio sia I(0,ε) un intorno sferico di 0. Verifichiamo se viene rispettata la definizione di punto di accumulazione, cioè se tutti i suoi punti appartengono ad A.
Deve risultare che 1/n<ε. Cioè qualsiasi ε piccolo a piacere noi individuiamo ricadrà sempre in A. Se ad esempio:
ε=0.01, allora risulterà che ogni elemento 1/n, con n>1/ε=1/0,01=100 appartiene all’intorno scelto.
Ciò significa che la proprietà vale per ogni intorno di 0, per cui x0 è un punto di accumulazione.
CONCLUSIONI
L’argomento generalmente a scuola non viene trattato in maniera molto approfondita. Tuttavia non è da trascurare perché è la premessa per la teoria dei limiti.
Un’ultima osservazione: il punto di accumulazione avrà anche una definizione non semplice da capire, ma alla fine si chiama “accumulazione” proprio perché all’interno vi si accumulano i punti.
Codominio di una funzione, che cos’è e come si trova?
Il codominio di una funzione matematica è il sottoinsieme in cui sono contenute le immagini della funzione.
Dominio e codominio sono senza dubbio uno degli argomenti più importanti ma allo stesso tempo più difficili per gli studenti delle superiori. In tanti ci hanno chiesto che cos’è e come trovare il codominio di una funzione.
In questa lezione vedremo di spiegare, attraverso anche degli esempi pratici, che cos’è il codominio, come si definisce e come si calcola in maniera semplice senza rischio di fare errori.
DEFINIZIONE CODOMINIO
Ti ricordi la definizione di funzione matematica? Avevamo detto che è una relazione tra due insiemi A e B per cui, per ogni elemento di A, si associa uno e un solo elemento di B.
L’insieme di partenza A è detto dominio della funzione, mentre il sottoinsieme B, formato dalle immagini di A, si definisce codominio della funzione f.
Attenzione: non confondere le immagini della funzione con il codominio. Mentre infatti le immagini sono gli elementi che da A sono passati in B, il codominio di una funzione è l’insieme che contiene le immagini.
Quindi diremo che gli elementi x appartengono al dominio, mentre gli elementi y appartengono al codominio.
CODOMINIO ESERCIZI ED ESEMPI
Di seguito vediamo due esercizi svolti che ci aiuteranno a capire come si trova il codominio di una funzione.
Il primo esempio è un po’ più semplice, generalmente viene assegnato come esercitazione quando si studiano dominio e codominio. Il secondo esercizio è invece più complesso e potrebbe essere la traccia di un compito in classe.
ESERCIZIO 1
Determinare il codominio delle seguenti funzioni, di cui è dato il dominio A.
Svolgimento
La traccia ci fornisce alcuni elementi del dominio. La prima cosa da fare è quindi determinare le immagini degli elementi di A, come nel grafico sotto…
Calcoliamo quindi f nei 3 punti datici dalla traccia. Praticamente andiamo a sostituire ciascuno dei tre punti al posto della x della funzione.
Ricordati che il codominio di una funzione è un insieme e come tale va espresso attraverso delle parentesi graffe.
ESERCIZIO 2
Studiare dominio e codominio della funzione:
Svolgimento
Uno dei modi più semplici per trovare il codominio di una funzione è l’analisi del suo grafico. Se ricordiamo l’equazione della retta, possiamo renderci subito conto che la funzione è formata da 2 rette: la prima arriva fino a x minore è uguale di 1. Subito dopo vale la seconda retta.
Per cui possiamo disegnare il grafico:
La retta arancione è -3x-1, mentre quella in verde è 2x-1/2. Si può notare che non si tratta di una funzione continua, poiché nel punto di ascissa x=1 c’è una discontinuità di prima specie, cioè c’è un salto.
Il dominio è: D(-∞;-1] U [+1;+∞)
Per calcolare il codominio si uniscono i codomini delle due funzioni. Per quanto riguarda la prima funzione, quella arancione, si parte dal valore +2 e si va a +∞.
Per quanto riguarda la retta y=2x-1/2, vediamo dal grafico sotto che parte dal punto -5/2 (che si può calcolare sostituendo il valore -1 al posto della x) e va a infinito.
Unendo i due grafici possiamo dire che, partendo dal basso:
# si parte da y=-5/2
# c’è un’interruzione per y=-2
# si tende poi a + infinito
Il risultato finale, cioè il codominio della funzione è:
ESERCIZIO 3
Trovare il codominio di una funzione esponenziale
Svolgimento
Per trovare il codominio di una funzione possiamo applicare un altro metodo oltre a quello grafico visto nell’esercizio 2.
Che cos’è il codominio? Alcuni lo definiscono come il dominio della funzione di arrivo. Per cui basta calcolare la funzione inversa e trovarne il dominio. Ecco come procedere:
Per trovare il codominio a questo punto imponiamo l’argomento del logaritmo strettamente maggiore di 0.
Bisognerà a questo punto risolvere una semplice disequazione fratta di primo grado per ottenere la soluzione.
CONCLUSIONI
Abbiamo visto come si calcola il codominio di una funzione matematica utilizzando ben 3 diversi metodi di calcolo.
L’ultimo, in realtà, è il più utilizzato perché permette di trovare la soluzione anche quando le funzioni da analizzare sono più complesse.
Asintoto verticale
– definizione, formula ed esempi
L’asintoto verticale è una retta verticale che indica l’andamento tendenziale della funzione in corrispondenza di un intorno x0, generalmente non definito dal dominio. Tra i vari tipi di asintoti, quello verticale è il più facile da individuare e può essere sinistro, destro o bilatero.
DEFINIZIONE ASINTOTO VERTICALE
Sia f(x) una funzione definita in un sottoinsieme di R e sia x0 un punto di accumulazione del dominio. Allora se vale la relazione:
la retta di equazione x=x0 è un asintoto verticale.
ALCUNI CHIARIMENTI
In poche parole quando la funzione si avvicina ad un punto finito sull’asse delle x, la sua y tende a più infinito o meno infinito. Nello studio di funzione generalmente si effettua il calcolo del limite sia sinistro che destro in quell’interno.
Nel primo caso si parla di asintoto verticale sinistro, nel secondo caso, quando invece il limite viene da destra, si parla di asintoto verticale destro. Nel caso in cui siano verificate entrambi i limiti, allora si parla di asintoto verticale bilatero.
OSSERVAZIONE
Si sottolinea che non necessariamente il limite destro e sinistro devono tendere allo stesso infinito. In tantissimi esercizi capiterà che il limite destro tenda a più infinito mentre quello sinistro a meno infinito (o viceversa). Ciò non viola la definizione data, per cui saremo ancora in presenta di rette asintotiche verticali.
CALCOLO ASINTOTO VERTICALE
Come si procede in genere per trovare gli asintoti verticali di una funzione?
# Si effettua lo studio del dominio della funzione e si trovano eventuali punti di discontinuità. Nelle razionali fratte, ad esempio, imponendo il denominatore diverso da zero, si otterrà un risultato del tipo x≠x0. E’ proprio quest’ultimo valore che inseriremo all’interno dei limiti verticali.
# Si calcolano il limite destro e sinistro della funzione attorno al punto x0. Se i limiti tendono a ±∞, allora la retta x=x0 è un asintoto orizzontale.
LA DIFFERENZA CON GLI ALTRI ASINTOTI
Rispetto all’asintoto orizzontale o all’asintoto obliquo, in questo caso la ricerca del limite non avviene su valori infiniti. Nei casi precedenti eravamo abituati a studiare il limite della funzione per x che tende a infinito. In questo caso invece il limite va studiato in corrispondenza di un valore finito.
ASINTOTO VERTICALE ESEMPI
Quando una funzione presenta un asintoto verticale è sempre possibile stabilire con esattezza l’andamento del suo grafico in prossimità dell’asintoto calcolando i limiti destro e sinistro. In particolare sono possibili quattro casi:
CASO 1
CASO 2
CASO 3
CASO 4
ESERCIZI SVOLTI
Trovare gli asintoti verticali della seguente funzione:
Svolgimento
Poiché la funzione è una razionale fratta, il dominio è:
D: x≠0
Si tratta di un dominio illimitato, visto che può andare sia a più che a meno infinito. C’è un punto singolare che genera la discontinuità. Può avere quindi un asintoto verticale. Per capirlo, calcoliamo il limite della funzione per x che tende a 0, sia da destra che da sinistra.
Da notare come a sinistra della retta x=0 (che coincide con l’asse delle ordinate), la curva tenda a meno infinito, mentre a destra di x=0 la funzione tende a più infinito.
Asintoto obliquo
– definizione, formule ed esercizi svolti
L’asintoto obliquo è una retta che indica l’andamento di una funzione ai suoi estremi. Per il calcolo degli asintoti obliqui è necessario che siano verificate tre condizioni, semplici ma indispensabili.
CALCOLO ASINTOTO OBLIQUO
Immaginiamo una funzione f(x) definita in un intervallo illimitato. Questo significa che dallo studio del dominio della funzione non vengono esclusi più infinito e meno infinito. Allora l’equazione della retta y=mx+q rappresenta un asintoto obliquo se sono verificate tutte le seguenti condizioni.
CONDIZIONE 1
Il limite della funzione, per x che tende a infinito, deve essere pari a infinito.
Questa condizione esclude per definizione la presenza di un asintoto orizzontale, visto lo stesso limite avrebbe dovuto portare ad un valore finito. Nel calcolo degli asintoti obliqui invece è fondamentale che i limiti, per x che tende a infinito, siano infinito.
Se questa prima condizione non risulta verificata, è inutile verificare le altre due. Abbiamo infatti già la certezza che non esiste asintoto obliquo.
CONDIZIONE 2
Il limite, per x che tende a infinito, della funzione intera fratto x, è pari ad un numero finito che indichiamo con la lettera m.
Se la condizione 2 risulta essere soddisfatta, allora possiamo verificare la terza e ultima condizione. Nel caso in cui invece il limite non dovesse esistere o se il limite è infinito, allora non esiste asintoto obliquo. Quella che abbiamo indicato con la lettera “m” sarà il coefficiente angolare della retta asintotica obliqua.
CONDIZIONE 3
Il limite per x che tende a infinito della funzione a cui si sottrae “m·x” è un numero finito e viene indicato con la lettera q.
Se il limite non dovesse esistere o dovesse essere infinito, allora possiamo scrivere che non esiste asintoto obliquo. In caso contrario abbiamo verificato le tre condizioni e ricavato i coefficienti m e q della retta. Possiamo quindi scrivere che:
ASINTOTI OBLIQUI DESTRO E SINISTRO
Nella prima condizione abbiamo verificato che il limite della funzione per x che tende a infinito fosse pari a infinito. Se la condizione vale sia per x→+∞ che per x→-∞ , allora bisogna calcolare i limiti delle condizioni 2 e 3 anche per x→-∞, perché potrebbero esserci due asintoti obliqui differenti.
GRAFICO DI UN ASINTOTO OBLIQUO
La funzione f(x), man mano che la sua ascissa procede verso infinito, si avvicina sempre di più alla retta asintoto obliquo.
OSSERVAZIONE: In questo grafico abbiamo ipotizzato che la funzione, prima di tendere a infinito, venisse dal basso. In realtà con il solo calcolo dell’asintoto obliquo non possiamo dirlo. Per poter sapere con certezza l’andamento della curva è necessario studiarne il dominio, lo studio del segno e le intersezioni con gli assi.
ESEMPIO
Trovare gli asintoti obliqui, se esistono, della seguente funzione.
Svolgimento
Per verificare il calcolo dell’asintoto obliquo vanno verificate le tre condizioni. Partiamo dalla prima: limite per x che tende a infinito della funzione. Se il risultato è infinito, allora possiamo proseguire.
OSSERVAZIONI
Come puoi vedere, nel grafico dell’esercizio precedente è stata disegnata la curva anche in corrispondenza di meno infinito. Prova a calcolare i limiti nel caso in cui x tende a meno infinito. Vedrai che uscirà la stessa identica retta.
Puoi anche notare che il grafico più probabile, con le informazioni ricevute con il calcolo dell’asintoto obliquo, tende alla retta y=x sia dall’alto che dal basso. Per scoprirne il comportamento è necessario calcolare il dominio della funzione, studio del segno, …
CONCLUSIONI
Abbiamo visto come non esista un’unica formula per l’asintoto obliquo, ma ci siano piuttosto 3 condizioni da soddisfare. Per risolvere gli esercizi senza commettere errori, procedi dalla prima condizioni e verificale una alla volta. Ne basta una che non sia verificata per cui il calcolo degli asintoti obliqui può considerarsi concluso.
Asintoto orizzontale
– definizione, esempi ed esercizi svolti
L’asintoto orizzontale è una retta orizzontale a cui la funzione tende verso infinito. Va a rappresentare l’andamento del grafico tendenziale di una curva nei suoi estremi più infinito o meno infinito.
DEFINIZIONE DI ASINTOTO ORIZZONTALE DESTRO
Una condizione fondamentale affinché una funzione abbia un asintoto orizzontale, è che questa sia illimitata sia superiormente che inferiormente. Che significa? Che la funzione deve tendere ad un numero finito quando l’ascissa va a +∞ e -∞. Dal punto di vista matematico, questo si traduce con l’espressione:
Cioè il limite della funzione per x che tende a più infinito è uguale a l. Allora l’equazione della retta y=l è per definizione un asintoto orizzontale destro.
Vediamo graficamente invece questo cosa significa:
Come puoi osservare dalla figura, data la funzione segnata in rossa, esaminiamo il punto P, di coordinate x e f(x). Man mano che l’ascissa di P si avvicina a +∞, la y si avvicinerà sempre di più alla y della retta asintoto orizzontale.
DEFINIZIONE DI ASINTOTO ORIZZONTALE SINISTRO
Il caso è analogo per il limite che tende a meno infinito. In questo caso si parla di asintoto orizzontale sinistro. Dal punto di vista matematico questo si può scrivere come:
Cioè il limite della funzione, per x che tende a meno infinito è uguale a l. In questo caso la retta di equazione y=l è per definizione un asintoto orizzontale sinistro.
Vediamo dal punto di vista grafico che cosa significa questa definizione:
Come si vede dalla figura, data la figura segnata in rosso, quando l’ascissa del punto P si avvicina a -∞, la sua ordinata si avvicina sempre di più alla y della retta asintoto orizzontale.
ASINTOTO ORIZZONTALE ESEMPIO
Determiniamo le equazioni dei possibili asintoti orizzontali delle seguenti funzioni, rappresentandone il grafico probabile agli estremi del dominio.
Svolgimento
Bisogna calcolare i limiti di y agli estremi:
Calcolando l’asintoto orizzontale della funzione fratta si nota che sia a destra che a sinistra la funzione tende a +1. Possiamo scrivere che:
y=1
è un asintoto orizzontale. Dal punto di vista grafico possiamo dedurre che:
Questo significa che la funzione a più infinito e meno infinito tende a +1, ma in assenza di ulteriori informazioni non sappiamo se vi tende dall’alto o dal basso. Per avere quest’ulteriore informazione dovremmo conoscere anche gli eventuali asintoti verticali e il dominio.