Raccoglimento a fattor comune totale e parziale
– ecco come svolgerli correttamente
DEFINIZIONE DI RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE
Negli esercizi sui polinomi, che ti trovi spesso a dover affrontare nei compiti in classe o nelle verifiche, ci sono spesso delle operazioni che possono semplificarti notevolmente i calcoli. Si tratta delle scomposizioni di polinomi, cioè quelle operazioni che ti permettono di scomporre il polinomio in fattori, cioè in tanti elementi che si moltiplicano tra di loro.
Il raccoglimento a fattor comune, detto anche messa in evidenza, è la prima di queste tecniche e puoi utilizzarla nel momento in cui ti accorgi che ci sono degli elementi comuni che compaiono nei vari monomi. Può essere un numero, una radice o anche delle lettere.
COME SI FA IL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE TOTALE?
Il tuo professore ti avrà certamente suggerito di applicare la proprietà distributiva, raccogliere i fattori e scrivere il polinomio dato come prodotto dei fattori comuni per un polinomio … E’ probabile che tu ci abbia capito poco, in realtà è molto più facile di quello che pensi.
Dal punto di vista didattico per fare il raccoglimento a fattor comune totale è necessario fare il massimo comune divisore (MCD) tra tutti gli elementi del polinomio e scrivercelo da parte. Un occhio un po’ allenato riesce a farne a meno e può capire al volo quali sono gli elementi che si ripetono nell’espressione che stiamo analizzando.
La prima operazione che abbiamo svolto nell’esempio è il massimo comune divisore. Abbiamo preso i fattori comuni presi una sola volta col minimo esponente per ottenere così un elemento che, guardando bene accomuna tutti i monomi. A questo punto si scrive l’elemento così individuato e si apre una parentesi tonda.
Si tratta a questo punto di fare la divisione di un polinomio per un monomio. Dentro la parentesi andranno gli elementi che si ottengono cioè dalla divisione tra monomi: quello di partenza il MCD.
L’esempio che abbiamo appena visto riguarda la messa in evidenza totale, o raccoglimento a fattor comune totale, dato che vengono coinvolti nel processo tutti gli elementi del polinomio.
RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE PARZIALE
Il raccoglimento parziale può essere necessario quando non ci sono fattori comuni a tutti i termini del polinomio, ma solo ad alcuni. Generalmente è possibile fare il raccoglimento parziale tra gruppi di due o più polinomi. Vediamo nel dettaglio come procedere:
Raccogliendo a tra i primi due monomi e b tra i secondi due si ottiene un risultato particolare. Perché particolare? Perché a questo punto posso fare un raccoglimento a fattor comune totale nel nuovo polinomio individuato, dato che la parentesi (x+y) compare in ogni elemento dell’espressione.
Il raccoglimento a fattor comune parziale è un po’ più difficile proprio perché prevede due raccoglimenti da fare in due momenti diversi: il primo iniziale e parziale relativo solo a gruppi di monomi, il secondo totale in base al risultato ottenuto.
ESERCIZI SUL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE
I primi esercizi sulla messa in evidenza che vi proponiamo sono già svolti, quindi hanno già la soluzione.
Come puoi vedere dagli esercizi svolti non è necessario che sia un unico monomio l’elemento comune, ma può essere anche una parentesi intera. Nel caso in cui devi svolgere esercizi con il raccoglimento con le frazioni ricordati di seguire semplicemente la regola: MCD e poi divisione di polinomi ed eviti di sbagliare.
Razionalizzazione radicali
– risolvere i radicali al denominatore
A CHE SERVE LA RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI?
Nelle scorse lezione hai potuto studiare le regole e le proprietà dei radicali, imparando a risolvere le operazioni fondamentali anche grazie ad esercizi svolti. Non abbiamo ancora visto il caso in cui abbiamo una frazione con al denominatore un radicale.
Affronteremo il discorso in maniera molto più complessa nelle lezioni sulle equazioni irrazionali. Per ora ci basti sapere che la razionalizzazione del denominatore di una frazione serve a fare in modo che il suo denominatore non contenga radici.
I metodi di razionalizzazione sono sostanzialmente due e riguardano la presenza, al denominatore, di un monomio o di un binomio. Analizziamoli assieme…
RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE CON UN MONOMIO
Il caso più semplice si presenta quando il denominatore irrazionale è un monomio, cioè quando nella frazione compare un’unico elemento sotto radice. In questo caso è sufficiente moltiplicare numeratore e denominatore per un radicale conveniente, come negli esempi che ti mostriamo:
La razionalizzazione della radice quadrata è il caso più semplice: basta riscrivere la frazione moltiplicando e dividendo per la stessa radice. Alla fine ci ritroviamo con un risultato in cui la radice quadrata non appare più nel denominatore.
Ciò che a scuola non ci insegnano, o che spesso alla lavagna non viene capito, è come fare la razionalizzazione di una radice cubica, in quanto non è sufficiente moltiplicare e dividere per la radice. Vediamo subito un esempio concreto:
(*) Svolgendo la razionalizzazione della radice cubica come nel caso della radice quadrata il risultato finale non mi porta ad eliminare il radicale dal denominatore. Il modo più semplice per razionalizzare, in questo caso è far in modo che il denominatore abbia un esponente pari all’indice di radice. Quindi 2 (sottinteso elevato a 1) deve diventare elevato a 3 dato che l’indice di radice è 3. Questo significa che va moltiplicato con esponente 2.
Vediamo un altro esempio sulla razionalizzazione di una radice cubica.
RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE CON UN BINOMIO
Se il denominatore è un binomio, basta moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso binomio, ma col secondo termine cambiato di segno, ricordando la regola dei prodotti notevoli:
Nulla di difficile: abbiamo due radici che si sommano al denominatore (nel nostro caso si sottraggono). E’ stato sufficiente moltiplicare e dividere per lo stesso binomio cambiando semplicemente il segno del secondo. Facciamo poi le semplificazioni e ci ritroviamo il risultato senza radicale al denominatore.
ESERCIZI SULLE RAZIONALIZZAZIONI DI RADICALI
Capito come si razionalizza una radice nei due metodi illustrati, proviamo a risolvere assieme alcuni esercizi. La traccia ci chiede di eseguire, per ogni esercizio, la razionalizzazione del denominatore con i metodi visti. Iniziamo subito:
Abbiamo fatto in modo che la radice cubica di b al quadrato diventasse radice cubica di b al cubo. Solo così infatti possiamo semplificare e riusciamo ad eliminare i radicali al denominatore.
Minimo comune multiplo come si calcola
– esercizi svolti ed esempi
MINIMO COMUNE MULTIPLO DEFINIZIONE
Il minimo comune multiplo (si scrive anche mcm) è il più piccolo numero che sia divisibile per tutti i numeri dati.
Che significa? Se io ho tre numeri, il mcm è, tra i tanti possibili divisori, il più piccolo.
Immagino che la definizione di mcm da sola non sia riuscita a farti comprendere molto sull’argomento. E’ normale, non preoccuparti. Continua a leggere e vedrai che ti sarà tutto più chiaro.
COME SI CALCOLA IL MINIMO COMUNE MULTIPLO
Per calcolare il mcm si prendono i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente.
Con questa definizione sul calcolo mcm in matematica, che siamo sicuri imparerai col tempo a memoria, si fa però una premessa. Cioè che tu abbia già studiato e sappia fare la scomposizione in numeri primi.
Tornando alla nostra domanda principale, cioè come si fa il minimo comune multiplo, il modo migliore per comprendere l’enunciato è con degli esempi pratici. Proviamo ad esempio a calcolare il minimo comune multiplo tra 20 15 30.
Si inizia con la scomposizione in numeri primi dei tre dati da traccia. Per cui si ottiene:
A questo punto riepilogando ottenuti scomponendo i numeri in fattori primi, usando le potenze posso scrivere:
20=22×5
15=5×3
30=2x5x3
Completata la scomposizione in numeri primi, guardo ora solo i termini a destra dell’uguale, cioè i fattori – ti ricordiamo che si chiamano così “i numeri che sono moltiplicati tra loro”.
Il trucco che ci suggeriamo di darvi è di cerchiare sul foglio su cui vi esercitate i termini che contribuiscono al calcolo del mcm. Esattattamente come vedi nella prossima immagine.
Se ti stai chiedendo, in tutto ciò, come si calcola il minimo comune multiplo, sappi che hai praticamente fino. Ti basta semplicemente moltiplicare i fattori che hai evidenziato e calcolare il risultato finale:
mcm=22 x 5 x 3=60
L’esercizio è così concluso. Tornando un attimo alla definizione di mcm, abbiamo detto che questo è che il più piccolo numero divisibile tra i tre assegnati. Immaginiamo infatti di voler trovare un numero che sia divisibile per 20, 15 e 30. Aiutandoci con una calcolatrice scopriamo che tra questi numeri il primo è 60 – visto che 60 possiamo dividerlo sia per 20, sia per 15 sia per 30 – poi abbiamo 120, 180, eccetera. Il più piccolo di questi è certamente 60, da cui la definizione di mcm.
A CHE SERVE IL MINIMO COMUNE MULTIPLO?
La domanda è certamente legittima, ma se hai già avuto modo di affrontare un esercizio con le frazioni, avrai certamente notato che il mcm è fondamentale per calcolare la sottrazione e la somma di frazioni. Ci servirà inoltre, più avanti, quando dovremo risolvere le equazioni fratte e le disequazioni fratte, per cui è importante che tu abbia capito bene l’argomento. Proprio per questa ragione, ti presentiamo ora altri esempi che possiamo risolvere assieme. Prendi carta e penna e seguici nei calcoli.
MINIMO COMUNE MULTIPLO ESERCIZI
Di seguito troviamo alcuni esempi per mettere in pratica la teoria vista fino a questo momento
ESEMPIO 1
Calcolare il minimo comune multiplo dei numeri 270, 144 e 224
Iniziamo come sempre a scomporre in fattori primi i numeri datici dalla traccia:
A questo punto mi scrivo in maniera più compatta i risultati ottenuti con la scomposizioni in numeri primi:
270=2 x 32 x 5
144=24 x 32
224=25 x 7
Prova cerchiare tu questa volta i fattori presi una sola volta con il massimo esponente. Dovrai così cerchiare 2 elevato a 5, 3 elevato a 2, infine 5 e 7 che compaiono senza potenze. Puoi così scrivere, per il calcolo del mcm, che:
mcm=25 x 33 x 5 x 7 = 30240
Per fare la verifica del minimo comune multiplo, basta che dividi il risultato finale, in questo caso 30.240, per i tre numeri dati dalla traccia. Se le tre divisioni escono tutte senza la virgola, allora il risultato è corretto.
ESEMPIO 2
Quello che vi proponiamo di risolvere assieme, ora, è un esercizio con semplici operazioni con i numeri relativi fratti, così che sia chiaro a che serve il minimo comune multiplo, almeno in questa prima parte del programma:
+3/12 – 4/15 + 1=
Iniziamo calcolando il minimo comune multiplo tra i tre denominatori. NOTA BENE: se uno degli addendi non ha la frazione, è sottinteso che il denominatore sia 1.
+3/12 – 4/15 + 1/1=
Scompongono 12, 15 in numeri primi. 1 posso anche ignorarlo…
12=22 x 3
15=5 x 3
mcm=5 x 3 x 22 = 60
A questo punto risolvo la frazione inserendo un solo denominatore comune, il minimo comune multiplo appena calcolato, così da poter scrivere:
In questo esercizio in realtà la seconda frazione, cioè 3/12, poteva essere semplificata: dato che 12:3=4, avrei più comodamente scrivere al posto di 3/12, la frazione 1/4. Il risultato sarebbe stato comunque lo stesso, ma avrei ridotto i calcoli. Attenzione: prova sempre a semplificare le frazioni! Ti semplificherà la vita…
ESEMPIO 3
Un esercizio conclusivo più semplice: calcolare il minimo comune multiplo tra 50 e 150
Questa volta lasciamo a voi la scomposizione in fattori primi con lo schema verticale, sarà un buon allenamento. Noi vi indichiamo direttamente i risultati del calcolo:
50 = 2 x 52
150 = 2 x 52 x 3
Cerchia i termini utili per il calcolo del mcm così come abbiamo fatto negli esercizi precedenti e potrai così trovare:
mcm= 2 x 52 x 3
E’ vero che questo esercizio era più semplice, ma non era possibile risolverlo in maniera più rapida e diretta?
CALCOLARE IL MINIMO COMUNE MULTIPLO IN MANIERA DIRETTA
Ecco un semplice trucco da ricordare per calcolare il minimo comune multipolo: verifica sempre che i numeri di cui vuoi calcolare il mcm siano tra loro divisibili. Il più piccolo dei due puoi anche ignorarlo!
Nel nostro esempio infatti avevamo 50 e 150. Ma 150:50=3. Questo significa che i due numeri sono tra loro divisibili. Possiamo così ignorare 50, per il calcolo del mcm. Ci resta solo 150. Il minimo comune multiplo è quindi 150.
E se avessimo avuto più numeri? Ad esempio 50, 70, 150? Nessun problema. Poiché 150 è divisibile per 50, quest’ultimo possiamo ignorarlo. Ma dato che 150 e 70 non sono tra loro divisibili allora il calcolo diretto si ferma. Dovremo ora solo calcolare il mcm tra 150 e 70 nella maniera vista sopra. Ad ogni modo, con questo semplice trucco, abbiamo ridotto notevolmente i calcoli da eseguire.
Risolti questi esercizi, non dovremmo più avere problemi con le frazioni. Puoi a questo punto passare ad esercizi più complessi come le espressioni algebriche.
Calcolo letterale esercizi svolti e teoria semplificata
INTRODUZIONE AL CALCOLO LETTERALE
Nella scorsa lezione abbiamo visto le espressioni algebriche con i numeri relativi, applicando, se necessario le proprietà delle potenze. Oggi inizieremo ad anticipare il calcolo letterale di monomi e polinomi.
PERCHÉ FARE I CALCOLI CON LE LETTERE?
Le espressioni algebriche che abbiamo imparato a risolvere non sono fatte solo di numeri, ma anche di lettere. Il calcolo letterale in geometria è fondamentale. Quando noi diciamo che l’area di un rettangolo si calcola base per altezza, vuol dire che possiamo scrivere:
Arettangolo=b x h
Questa altro non è che un’espressione algebrica con le lettere. Non dobbiamo quindi meravigliarci che, anche in algebra quindi, i nostri esercizi siano fatti di numeri ma anche di lettere.
Per rispondere alla domanda “il calcolo letterale a che serve?” possiamo solo solo dire per ora che sarà fondamentale nello studio delle equazioni che vedremo più avanti: in generale il calcolo letterale serve a permetterci di calcolare qualcosa che ancora non si conosce, cioè un’incognita.
CALCOLI ALGEBRICI E OPERAZIONI CON LE LETTERE
Ripassiamo assieme le operazioni con i numeri relativi usando questa volta le lettere.
+a-a=0
Se su una scrivania vuota io metto una penna, quindi sommo un determinato elemento e subito dopo la tolgo, chiaramente la scrivania resterà vuota. Questo significa che se ho una lettera, prima sommata e poi sottratta, il risultato sarà nullo, cioè 0.
+a+(+b-c)=+a+b-c
Se ho un segno “più” davanti ad una parentesi e al suo interno non ci sono operazioni da svolgere, posso rimuovere semplicemente la parentesi.
+a-(+b-c)=+a-b+c
Diverso è il caso in cui davanti una parentesi ho il segno meno. In questo caso, mai dimenticarlo, è necessario rimuovere la parentesi e cambiare tutti i segni all’interno.
(+a) x (+b) = +ab
Per moltiplicare due lettere tra loro diverse, semplicemente si accostano l’una accanto all’altra, moltiplicando i segni con la regola dei segni già vista nelle scorse lezioni nelle operazioni con i numeri relativi.
Questo implica anche che, ogni volta che troviamo due lettere vicine in un’espressione algebrica, queste sono tra loro moltiplicate. Essendo valide le regole dei segni, posso anche scrivere.
(-a) x (+b) = -ab
(-a) x (-b) = +ab
(+a) x (-b) = -ab
Per quanto riguarda le potenze, posso inoltre scrivere che se l’esponente è pari allora il segno meno può essere eliminato:
(-a)n=an
Se invece l’esponente è dispari è allora il segno rimane.
(-a)n=-an
Valgono inoltre le cinque proprietà delle potenze già viste nella scorsa lezione.
an x am= am+n
an : am= am-n
(an)m= amn
am : bm= (ab)m
am : bm= (a:b)m
CALCOLO LETTERALE, ESERCIZI SVOLTI E DA SVOLGERE
Generalmente teniamo separata la parte teorica da quella pratica. Tuttavia questa lezione di matematica, in fondo, non è stata altro che un ripasso di quanto già appreso precedentemente. Essendo stata molto rapida possiamo quindi passare immediatamente alle esercitazioni, iniziando come sempre da esercizi di calcolo letterale svolti.
(2a+b)3 -2(a+b)2
dove a=-1/2; b=-1
Questi tipi di esercizi sul calcolo letterale sono particolarmente semplici. E’ sufficiente sostituire alla lettera il valore indicato sulla destra per ottenere una semplice espressione algebrica numerica.
Consiglio: quando andiamo a sostituire, ricordiamoci di inserire una parentesi nei valori inseriti. Ecco come…
Ora proviamo a risolvere il calcolo letterale con una sola variabile, ovvero con una sola lettera. Sarà, ovviamente ancora più semplice:
Di seguito vi proponiamo un elenco di esercizi con cui poter fare pratica con l’argomento
ATTENZIONE QUANDO AL DENOMINATORE C’È IL NUMERO 0
L’ultimo esercizio, il n.224, lo abbiamo già svolto insieme. Il testo sottolinea anche come per a=-1 il risultato sia impossibile. Vi siete già fatti un’idea del perchè?
Se non sapete rispondere a questa domanda vi consiglio di prendere la vostra calcolatrice e di provare a fare una divisione tra due numeri. Il secondo deve essere 0. Ad esempio: sette diviso zero – non fatelo a mente – cosa dice la calcolatrice? ERRORE!
Questo perché è impossibile risolvere una divisione quando al denominatore c’è 0. Questa è una regola fondamentale che approfondiremo meglio quando parleremo di condizioni di esistenza, sia negli esercizi sulle equazioni che sugli esercizi di analisi del V anno.
Per ora ci basti sapere che un divisione non può mai avere al denominatore lo 0.
Espressioni algebriche
– esercizi svolti e da svolgere
ESPRESSIONI ALGEBRICHE ESERCIZI – LE TRACCE DA SVOLGERE
I primi esercizi che vi proponiamo saranno commentati in quasi ogni passaggio, così da evidenziare suggerimenti e tecniche da utilizzare durante lo svolgimento. Le tracce che svolgeremo assieme sono le seguenti tre:
COME RISOLVERE LE ESPRESSIONI ALGEBRICHE
ESERCIZIO 1
22+(94:272+320):(5×42:2)=
Per prima cosa iniziamo a risolvere le espressioni algebriche in parentesi. Si svolgono prima le potenze, anche quelle fuori parentesi, poi moltiplicazioni e divisioni, infine le addizioni.
4(6561:729+1):(5×16:2)=
In realtà, nonostante risolvere le potenze con la calcolatrice non sia sbagliato, è consigliabile sfruttare le proprietà delle potenze in caso di moltiplicazioni e divisioni. In questo modo i numeri che si ottengono sono molto minori. Trasformo 9 e 27 in due potenze con la stessa base, così da facilitare poi le operazioni successive:
=22x[(32)4:(33)2+1]:[5x(22)2:2]=
=22x[(32)4:(33)2+1]:[5×24:2]=
Applico a questo punto le proprietà delle potenze, in particolare la potenza di potenza, per cui moltiplico gli esponenti.
=22x[(38:36+1]:[5×24:2]=
Posso ora eseguire le moltiplicazioni e divisioni tra potenze con la stessa base.
=22x[(32+1]:[5×23]=
Trasformo ora le potenze in numeri interi.
=4x[(9+1]:[5×8]=
Seguono ora semplici calcoli aritmetici.
=40:40=1.
ESERCIZIO 2
Ricordando che il segno negativo davanti ad una parentesi fa cambiare il segno a tutti i numeri al suo interno, posso così continuare a risolvere l’esercizio.
ESERCIZIO 3
Vediamo ora come risolvere un’espressione algebrica in cui ci sono diverse linee di frazione. Si inizia allo stesso modo, cioè con le somme algebriche a numeratore e denominatore.
Il trucco è ricordare che la linea di frazione centrale è una semplice divisione. Per cui posso trasformare l’equazione algebrica in una divisione e poi, secondo le regole delle frazioni, “capovolgere” la seconda frazione.
Il numeratore diventa il denominatore e viceversa.
ESPRESSIONI ALGEBRICHE DA RISOLVERE
In matematica è importantissimo esercitarsi anche da soli, anche a costo di sbagliare e dover riprovare. Per cui, dopo aver capito assieme come risolvere i primi con esercizi svolti, vi invitiamo ad esercitarvi da soli sulle seguenti tracce. Sotto la traccia troverete comunque i nostri suggerimenti sulle tecniche da seguire, così da aiutarvi in questi primi esercizi che svolgete da soli.
Per questo primo esercizio consigliamo di risolvere, come sempre, prima le operazioni in parentesi e successivamente calcolare le potenze. Per cui iniziamo calcolando i minimo comune multiplo e svolgiamo le somme e differenze tra frazioni.
Per il secondo esercizio ricordiamo l’ordine di gerarchia delle parentesi. Si risolve prima la parentesi tonda, con le relative operazioni, poi la quadra ed infine la graffa, così come già appreso in aritmetica.