La parte decimale del logaritmo, la mantissa e la caratteristica di un logaritmo
Negli esercizi di matematica che svolgi in classe, infatti, difficilmente dovrai risolvere e calcolare la parte decimale del logaritmo di un numero. Questo anche grazie alle calcolatrici scientifiche utilizzate ormai da tutti gli studenti delle scuole superiori.
Il calcolo della caratteristica e della mantissa ci servono sostanzialmente per il calcolo logaritmi a mano, senza usare la calcolatrice.
Fatta questa doverosa premessa iniziamo subito dando la definizione di mantissa e caratteristica.
COME SI CHIAMA LA PARTE DECIMALE DEL LOGARITMO? COME SI CHIAMA QUELLA INTERA?
Se l’argomento del logaritmo è composto da un numero decimale, ecco le due definizioni.
Per capire come si calcola la parte decimale del logaritmo, cioè la mantissa, e la parte intera, cioè la caratteristica sono doverose alcune osservazioni preliminari.
ALCUNE REGOLE PER CALCOLARE UN LOGARITMO
… PER I NUMERI MAGGIORI O UGUALI DI 1
Ogni numero maggiore e uguale a 1 è sempre compreso tra due potenze successive in base 10, con esponente non negativo.
Che cosa significa questo? Che qualsiasi numero, anche se ha una parte decimale, è sempre compreso tra 10 elevato a qualcosa e 10 elevato allo stesso numero aumentato di 1. Facciamo qualche esempio per essere più chiari.
Questo significa che quando si fa il calcolo di un logaritmo di un numero generico N questo è sempre compreso tra il numero di cifre -1 e il numero di cifre. Ad esempio il logaritmo in base 10 di 20 è compreso tra 1 e 2, visto che il numero di cifre è 2.
… PER I NUMERI COMPRESI TRA 0 E 1
Allo stesso modo possiamo dire che ogni numero compreso tra 0 e 1 è sempre compreso tra due potenze successive in base 10, con esponente negativo. Vediamo subito qualche esempio:
CALCOLO LOGARITMI: COME CALCOLARE LA PARTE INTERA DI UN LOGARITMO?
A cosa ci servono queste due proprietà viste sopra? A calcolare la caratteristica, cioè la parte intera. Vedremo inseguito come calcolare la parte decimale del logaritmo. Facciamo subito un esempio per essere più chiari.
ESEMPIO 1
Immaginiamo di voler calcolare il logaritmo in base 10 di 5,84. 5 è la caratteristica, cioè la parte intera, mentre 84 è la parte decimale del logaritmo, cioè la mantissa.
Per il momento possiamo calcolare solo quanto vale la parte intera.
log 5,84= ?
Sappiamo che 5,84 è composto da 1 sola cifra prima della virgola per cui usando la prima formula ricavata ottengo che il suo logaritmo è compreso tra n-1 ed n.
0<log 5,84<1
Questo vuol dire che log 5,84= 0, …. cioè il logaritmo decimale di 5,84 è uguale a 0 virgola qualcosa.
ESEMPIO 2
Calcolo logaritmo decimale di 283,23. Per ora possiamo solo calcolare la caratteristica. Visto che n=numero di cifre intere=3, allora vale n-1<logN<n, quindi 2<log283,83<3. Questo vuol dire che log283,23=2, … cioè è pari a 2 virgola qualcosa.
ESEMPIO 3
Calcolo logaritmo decimale di 0,004. In questo caso applichiamo la seconda formula. Poiché n=numero di zeri compreso quello prima della virgola = 3, allora –n<logN<-(n+1), vuol dire che il log0,004 deve essere compreso tra -3 e -4. Cioè log0,004=-3,… cioè è pari a -3 virgola qualcosa.
COME SI CALCOLA LA PARTE DECIMALE DEL LOGARITMO, CALCOLO DELLA MANTISSA
Abbiamo visto sino ad ora come calcolare un logaritmo a mano o a mente, ma solo la parte intera. Vediamo come calcolare la parte decimale del logaritmo, cioè la mantissa. Purtroppo per avere un certo grado di precisione con le cifre decimali è necessario avere a disposizione delle tavole logaritmiche, che usavano i nostri genitori e i nostri nonni, oppure una calcolatrice.
Generalmente questa tavole sono disponibili alla fine di ogni libro di matematica e ne esiste una a seconda di quanti sono i numeri della parte decimale. Quella che ti mostriamo è infatti una tavola logaritmica per numeri da 1 a 100 con 4 cifre nella mantissa.
ESEMPIO
Immaginiamo ad esempio di voler capire come calcolare il logaritmo log40,2314. Per quanto abbiamo detto fino ad ora, sappiamo che la sua caratteristica è c=2. A questo punto entriamo nella tabella e nella colonna a sinistra in blu troviamo il numero 40. Muoviamoci sulla sua riga fino a quando non arriviamo alla sua prima cifra decimale.
In questo caso il numero che ci interessa è 6042. Si ripete a questo punto la stessa operazione anche sulla tavola delle differenze tabulari e si prende nota del numero. Si sommano i due valori individuati e si ottiene anche la parte decimale del logaritmo.
Hai potuto renderti conto in questa lezione che il calcolo logaritmi a mano o a mente non è difficile, ma si tratta di un’operazione piuttosto laboriosa che richiede un po’ di tempo. Oggi questo tipo di calcolo non si effettua più a scuola, né viene richiesto agli studenti. Questo perché le moderne calcolatrici sono in grado di calcolare il logaritmo di qualsiasi numero istantaneamente.
Numero di Nepero
– definizione e proprietà
La più classica delle domande che si pone ogni studente quando si trova ad affrontare i logaritmi è: che cos’è il Numero di Nepero? Generalmente il professore di matematica dà sempre la stessa risposta: è una costante, non preoccupatevi di lui perché non vi da fastidio nei calcoli. Allora lo studente replica: “Si ma quanto vale il numero di Nepero?” In questa lezione faremo un po’ di chiarezza, cercando di darti una spiegazione ed una definizione che sia facile e che allo stesso tempo risolva ogni tuo dubbio.
CHE COS’È IL NUMERO DI NEPERO?
Il numero di Nepero è una costante matematica indicata generalmente con la lettera e. Viene anche chiamata numero di Eulero ed è numero irrazionale trascende, cioè non si può esprimere con una frazione né come un numero con la virgola periodico. Questa caratteristica lo rende molto simile al PI GRECO.
Quanto vale il Numero di Nepero allora? E’ un numero positivo e vale 2,718, approssimando per eccesso a tre cifre decimali. In realtà ti accorgerai, risolvendo i vari esercizi sui logaritmi e sugli esponenziali che non è importante conoscere il valore del numero di Nepero.
DEFINIZIONE E DIMOSTRAZIONE
Per comprendere la definizione del numero di Nepero sono necessarie conoscenze avanzate della matematica, che vanno dai limiti alle equazioni differenziali. Mentre i primi si studiano, generalmente, nel programma di analisi, cioè al 5 anno del liceo, le equazioni differenziali si studiano solo all’università di fisica, matematica ed ingegneria. Noi ti riportiamo comunque, per curiosità la definizione più usata dagli studenti.
La formula che hai appena visto non è altro che il limite notevole del Numero di Nepero. Chi ha studiato il programma di analisi sa benissimo quanto i limiti notevoli siano importanti nello studio di funzione. Questa espressione venne usata per la prima volta da Bernulli, matematico del XVIII secolo. Se proviamo a sostituire dei valori al posto della n, vediamo quali sono i risultati.
Quello che si nota è che più aumenta n, più il risultato finale si avvicina al reale valore del numero di Nepero, che viene quindi raggiunto solo quando n tende ad infinito.
LA STORIA DEL NUMERO DI NEPERO
Quello di cui stiamo parlando oggi è un numero molto importante, quanto il PI GRECO, ma fuori dall’ambiente matematico sono in pochi a comprenderne il valore. L’uso del Numero di Nepero è fondamentale nelle operazioni di matematica finanziaria. Su un’antica tavoletta babilonese ( siamo nel 1.700 a.C.) uno studioso si chiedeva quanto tempo potesse volerci ad una somma economica per raddoppiare se ogni anno aumentava del 20%. Per risolvere questo semplice esercizio i babilonesi avrebbero dovuto usare le equazioni esponenziali, che ancora non conoscevano.
Il numero e nasce molto probabilmente nel XVII-XVIII secolo, un’epoca in cui si stavano per avviare le grandi rivoluzioni industriali e c’era un grande interesse per il capitale e sui possibili guadagni. Il primo ad avvicinarsi molto al valore di questa costante matematica fu Bernulli che calcolò una cifra compresa tra 2 e 3. Prima di lui altri avevano provato, come John Napier (in italiano Giovanni Nepero) a cercare un nuovo valore da assegnare alle basi dei logaritmi. Solo dopo la sua morte uscì un lavoro in cui la costante matematica venne chiamata con il nome che noi tutti oggi conosciamo.
LE APPLICAZIONI DEL NUMERO DI NEPERO
Una volta capito che cos’è, cerchiamo ora di capire a cosa serve il numero di Nepero. Oltre ai calcoli possibili nella matematica finanziaria con gli interessi composti e le capitalizzazioni, le possibili applicazioni della costante di Nepero sono moltissime: dal calcolo delle probabilità allo studio di funzioni, dalla formula di Eulero usata per i numeri immaginari alla più semplice risoluzione delle equazioni logaritmiche.
Definizione di monomio
– monomi simili, grado di un monomio.
DEFINIZIONE DI MONOMIO
Quando a scuola si inizia a parlare di monomi e polinomi, gli studenti iniziano ad andare in difficoltà. E’ normale dato che ci avviciniamo ad una matematica in cui i numeri saranno sempre meno importanti e ci saranno sempre più lettere.
Iniziamo però questa nostra lezione con calma, cercando di capire in maniera semplice e rapida cosa sono i monomi.
il monomio è un’espressione algebrica in cui lettere e numeri sono legati solo da moltiplicazioni e divisioni.
Chiara la definizione di monomio? Proviamo a spiegarla in altri termini: si tratta di una piccola espressione algebrica in cui compaiono sia numeri che lettere. Tra i vari elementi di un monomio ci sono solo moltiplicazioni e divisioni. Vediamo subito con un esempio:
Nei tre esempi che vi abbiamo presentato abbiamo 3 monomi perché ogni singolo pezzo è legato al successivo attraverso il segno “per” o “fratto”.
COSA SONO I MONOMI INTERI, FRATTI E INTERI
Si parla, inoltre, di monomi interi quando non compaiono lettere al denominatore. Si parla di monomi fratti o frazionari quando compaiono lettere al denominatore.
Oltre a capire cosa sono i monomi, è importante sapere cosa rappresentano i numeri e cosa le lettere. Possiamo così dire che la parte numerica si chiama coefficiente del monomio, mentre le lettere formano la parte letterale.
Se osservi bene l’ultimo esempio in alto, ti renderai conto che ci sono notevoli differenze con i primi due. Questo perché le moltiplicazioni non sono state ancora effettuate, vedremo dopo come risolverle. Proprio per questo si dice parla di monomi normali, quando sono state effettuate tutte le moltiplicazioni ed il monomio è formato da 1 sola parte numerica e 1 sola parte letterale.
Ovviamente se il monomio ha parate numerica pari a 0, cioè se il monomio è moltiplicato per 0 il risultato è pari a 0. Questo perché sia numeri che lettere moltiplicati per zero, danno come risultato zero.
GRADO DI UN MONOMIO
Si chiama grado di un monomio, rispetto ad una data lettera, l’esponente con cui compare quella lettera. La stessa definizione sarà valida anche con i grado dei polinomi. Vediamo subito con un esempio:
Il monomio è di grado 1 rispetto ad a, di grado 2 rispetto a b, di grado 4 rispetto a c. E’ di grado 0 rispetto a tutte le lettere che non compaiono. Il grado del monomio in questo caso è 7, ottenuto sommando i gradi delle singole lettere.
Quindi dire qual’ è il grado di un monomio significa andare ad analizzare il grado di ciascuna lettera e poi sommarle.
MONOMI SIMILI
Due monomi simili hanno la stessa parte letterale, cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti. Capire quando ci troviamo di fronte a due o più monomi simili è fondamentale importanza, vedremo, nelle somme algebriche.
Allo stesso modo possiamo dire che due monomi uguali quando sono simili ed hanno lo stesso coefficiente. Quindi tra i due non c’è alcuna differenza, sia nella parte numerica che letterale..
Due monomi sono opposti quando sono simili ed hanno i coefficienti opposti. Quindi ci troviamo in presenza di monomi perfettamente uguali ad eccezione del segno.
PRIMI SEMPLICI ESERCIZI SUI MONOMI
Verifichiamo quanto appreso fino ad ora con degli esempi facili facili.
Per scrivere in forma ridotta abbiamo prima moltiplicato solo i segni, poi solo i coefficienti e poi solo le lettere ricordando, per le regole e le proprietà delle potenze, che in caso di moltiplicazione di potenze con la stessa base, semplicemente si addizionano gli esponenti
Scrivere tre monomi simili a ciascuno dei seguenti monomi
Con questo esercizio cerchiamo di risolvere qualche esempio sui monomi simili. L’esercizio è molto semplice, basta riscrivere il monomio cambiando a proprio piacere solo segno e parte letterale. Abbiamo infatti visto che due monomi sono simili se hanno stessa parte letterale, esponenti compresi.
Esercizi sui logaritmi da svolgere e già svolti
Gli esercizi sui logaritmi che vedremo in questa lezione non sono altro che espressioni algebriche in cui, oltre ai numeri e alle lettere, compare anche l’operatore matematico “log” o “ln”. Vedremo quindi logaritmi ed esercizi con base naturale, numerica o in base dieci.
Le tracce che stai per affrontare si basano solo sull’applicazione delle regole dei logaritmi agli esercizi. Non affrontiamo per il momento né equazioni né disequazioni con i logaritmi dato che approfondiremo l’argomento più avanti. Oggi non abbiamo incognite, non dovremo calcolare la x, ma solo trasformare per quanto possibile gli esercizi con i logaritmi in espressioni più semplici.
ESERCIZI SUI LOGARITMI SVOLTI
Applicare le proprietà dei logaritmi e cercare di semplificare al massimo le seguenti espressioni algebriche.
COME RISOLVERE GLI ESERCIZI CON I LOGARITMI PASSO PASSO
ESERCIZI SVOLTI N.1-
Iniziamo con gli esercizi sui logaritmi più semplici, motivando ogni passaggio così che tu possa riuscire a capire bene tutto. Il primo esercizio svolto è:
ESERCIZI SVOLTI N.2 –
Questa espressione fa parte degli esercizi con i logaritmi con le lettere. Niente paura: non è più difficile degli esercizi normali. La traccia ci ha chiesto semplificare il tutto così da ottenere un solo logaritmo. Essendoci addizioni e sottrazioni, ancora una volta ricorrerò alla regola sulle addizioni e sottrazioni di logaritmi. Per farlo ho però bisogno di fare in modo che abbiano stesso coefficiente.
La radice quadrata, nel risultato, è comparsa perché, se ricordi le regole sui radicali e le proprietà delle potenze, un’esponente con la frazione diventa una radice il cui indice è proprio il denominatore della frazione.
ESERCIZI SVOLTI N.3 –
Stavolta, invece di ridurre tutto ad un unico logaritmo, proviamo direttamente ad ottenere un risultato numerico. Dovrebbe essere molto facile, proviamoci assieme:
ESERCIZI SVOLTI N.4 –
In questo esercizio l’unica difficoltà è nelle radici quadrate. Si risolve in maniera semplice, basta ricordarci che le radici non sono altro che potenze con le frazioni.
ESERCIZI SVOLTI N.5 –
Nell’ultimo argomenti sui logaritmi abbiamo una doppia radice quadrata, o meglio una radice dentro l’altra. Per risolvere il problema facciamo quello a cui ci siamo abituati con gli esercizi sulle potenze: cerchiamo di trasformare sia il 27 che la radice di 3 in potenze con la stessa base o lo stesso esponente.
Disequazioni con valore assoluto
– spiegazione ed esercizi svolti
CHE COS’È IL VALORE ASSOLUTO IN MATEMATICA?
E’ ovviamente la prima domanda che si pone lo studente. La definizione di valore assoluto fa riferimento ad una funzione che, se applicata a qualsiasi numero, me lo rende positivo. Il valore assoluto di un numero |-1|=1, si legge il valore assoluto di -1 è uguale a 1
DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO: SCHEMI E CASI
E’ possibile in matematica dover risolvere sia delle disequazioni che delle equazioni con valore assoluto fratte o intere. Nella lezione di oggi cercheremo di dare una spiegazione sulle disequazioni vedendo diversi casi. In questo modo quando dovrai risolvere gli esercizi, non dovrai altro che riconoscere in quale caso ti trovi e seguire la regola che vedrai indicata.
CASO 1
Il primo caso è quello in cui la funzione valore assoluto è maggiore di un’altra funzione. Abbiamo quindi un valore assoluto a primo membro, il verso maggiore, e a secondo membro una funzione o anche semplicemente un numero.
Per ricordarti questa regola puoi far riferimento alle disequazioni di secondo grado in cui si prendono valori esterni. Infatti dovrò scrivere la funzione in valore assoluto minore di -k unito alla funzione maggiore di k.
ESEMPIO:
CASO 2
Il secondo caso lo abbiamo nel momento in cui c’è a primo membro una funzione con valore assoluto, verso minore e a secondo membro un’altra funzione o una costante.
Per ricordarti questa formula fai sempre riferimento alle disequazioni di secondo grado. In questo caso verranno considerati i valori interni tra -k e +k.
ESEMPIO:
CASO 3
L’ultimo caso riguarda le disequazioni con più espressioni con valore assoluto. Per risolvere questo caso vanno imposte le varie funzioni in valore assoluto maggiori di zero e studiate su un grafico. Vediamo subito un esempio per chiarire questo ultimo e più difficile caso che nella pratica capirai essere in realtà molto facile:
Ogni linea del grafico corrisponde ad una funzione differente. Nella prima abbiamo disegnato 2x+3 mentre sulla seconda 1-x. Ti consigliamo di scriverle al lato così da rendere più facile l’esercizio.
A questo punto abbiamo il grafico diviso in tre zone: prima di -3/2, l’area centrale tra -3/2 e +1, l’ultima sulla destra dopo +1. Dovrò quindi scrivere tre sistemi diversi.
Per ogni sistema scriverò al primo rigo una disequazione che rappresenta dove mi trovo (prima di -3/2, tra -3/2 e +1, dopo +1) mentre al secondo rigo riscrivo le disequazioni con valore assoluto della traccia con questa regola:
– se sul grafico la funzione ha linea continua si riscrive così com’è;
– se sul grafico la funziona ha il tratteggio va scritta con il segno cambiato.
Cambiamento di base logaritmi con esempi
FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI
Per applicare le proprietà dei logaritmi che abbiamo visto nelle precedenti lezioni è necessario che i logaritmi siano tra loro “paragonabili”, cioè che abbiano praticamente la stessa base.
Non sempre però si è così fortunati negli esercizi. Spesso, infatti, per risolvere i logaritmi è necessario il cambiamento di base. Quella che vi mostriamo è la regola base che puoi imparare a memoria oppure sfruttare i suggerimenti che ti daremo:
Non c’è nulla di più da ricordare: nulla di difficile se provi a fare qualche esercizio.
COME USARE LA FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI?
La regola che hai appena visto si applica ogni volta che dovrai provare a semplificare un logaritmo in cui base ed argomento hanno un fattore in comune. Vediamo subito con un esempio:
Per risolvere il logaritmo in figura abbiamo fatto prima il cambiamento di base del logaritmo passando a base 2. Questo perché sia la vecchia base che l’argomento, cioè 8 e 256, sono multipli di 2.
Un altro caso in cui usare la formula del cambiamento di base dei logaritmi è nelle equazioni logaritmiche che vedremo però nelle prossime lezioni.
ESERCIZI SVOLTI SUL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI
Come puoi vedere otteniamo tre rapporti diversi a seconda della nuova base che andiamo a sostituire. Nell’ultimo caso al numeratore otteniamo 1 al numeratore perché il logaritmo con uguale base ed argomento è pari a 1
Sono state applicate semplicemente le proprietà dei logaritmi ed il cambiamento di base.
Al secondo rigo abbiamo sfruttato le regole sui radicali, in modo tale che tutti i numeri rientrino all’interno delle radici. Abbiamo usato le proprietà delle potenze e proseguito con calcoli e semplificazioni varie.
Frazioni algebriche
– spiegazione ed esercizi svolti
COSA SONO LE FRAZIONI ALGEBRICHE?
Definizione: Le frazioni algebriche sono delle particolari frazioni che hanno per numeratore e denominatore due espressioni algebriche. Cioè in poche parole si tratta di un rapporto in cui sia al numerato che al denominatore ci sono dei monomi e polinomi.
Dalla definizione riusciamo a ricavare subito un concetto molto importante per capire l’argomento di oggi. All’interno delle frazioni algebriche i polinomi possono comparire anche al denominatore.
Poiché inoltre non esiste ed è impossibile una frazione con lo zero al denominatore, è importante sottolineare come il denominatore sia necessariamente diverso da zero. Queste sono quelle che probabilmente hai sentito chiamare condizioni di esistenza.
Per il resto la spiegazione non è affatto difficile, dato che sono perfettamente uguali alle frazioni algebriche. Per questa ragione potremo semplificare il numeratore con il denominatore dividendoli per uno stesso monomio.
Mentre nel primo esempio le frazioni algebriche sono state semplificate semplicemente riducendo per i termini comuni – in realtà avremmo dovuto calcolare il massimo comune divisore, ma è possibile semplificare a occhio – nel secondo esercizio abbiamo dovuto applicare le regole delle scomposizioni di polinomi. In particolare al numeratore è stata fatta una messa in evidenza totale mentre al denominatore una differenza di quadrati. In questo modo abbiamo ottenuto la parentesi (x+y) moltiplicata sia sopra che sotto, per cui semplificabile.
OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE
ADDIZIONE E SOTTRAZIONE
Come per le frazioni aritimetiche, anche le addizioni di frazioni algebriche devono essere ridotte, cioè semplificate e poi in seguito è necessario calcolare il minimo comune multiplo, così che i denominatori siano gli stessi. Eseguite le somme tra le frazioni algebriche, se possibile, si semplifica il risultato ottenuto. Vediamo un esempio.
In questo primo passaggio abbiamo da subito provato a ridurre ai minimi termini, cioè a scomporre, i due denominatori.
Trucco per risolvere le frazioni algebriche: se trovi un polinomio di grado superiore a 1, cerca sempre di scomporre. Cioè se vedi un quadrato, un cubo o qualsiasi altra potenza prova a scomporre sempre. A questo punto calcolo il mcm di polinomi:
MOLTIPLICAZIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE
Per le moltiplicazioni si scrive una frazione avete per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Naturalmente, se possibile, conviene poi semplificare. Vediamo subito un esempio facile:
Ovviamente, come nel caso delle frazioni aritmetiche, è possibile semplificare i termini incrociati della moltiplicazione.
DIVISIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE
Le divisioni tra frazioni algebriche si risolvono trasformando il diviso in per e invertendo il secondo termine (il numeratore diventa denominatore e viceversa). Non è difficile e si risolve esattamente come una normale divisione tra frazioni. Per dubbi leggi la lezione sulle operazioni con i numeri relativi.
Vediamo un esempio più difficile:
Per risolvere la frazione algebrica è stata applicata la regola della differenza di cubi. Dopo la scomposizione è stato sufficiente applicare le normali regole sulle moltiplicazioni e semplificare.
POTENZE DI FRAZIONI ALGEBRICHE
E’ la parte più semplice della lezione. Per elevare a potenza una frazione algebrica basta elevare a quell’esponente il numeratore e il denominatore della frazione. Ricordati che anche in questo caso valgono le proprietà delle potenze.
Ecco un esercizio svolto:
Ti consigliamo di prestare molta attenzione a questo esercizio svolto, perché contiene un passaggio che molto spesso gli studenti sbagliano. Un errore molto comune è di semplificare la a del numeratore con quella del denominatore: è sbagliato! Al numeratore la è un addendo, cioè fa parte di una somma. Al denominatore è un prodotto (è come se fosse moltiplicata per 1), per cui non si possono assolutamente semplificare.
Operazioni con i monomi
– somma algebrica, potenza, moltiplicazione e divisione tra monomi
Le operazioni con i monomi sono le operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione tra monomi. Si tratta di calcoli che riguardano la parte numerica e letterale e che verranno poi utilizzati anche con i polinomi.
Proprio per questa ragione è importante imparare a risolvere le operazioni con i monomi in maniera rapida e senza avere difficoltà o dubbi.
SOMMA ALGEBRICA
Per comprendere pienamente le operazioni con i monomi è necessario che tu abbia capito perfettamente cosa sono i monomi simili e le operazioni con i numeri relativi. Se hai ben chiari questi due concetti, la somma algebrica sarà per te estremamente chiara.
Due o più monomi si possono sommare solo se sono simili; altrimenti ci limiteremo a scriverli uno di seguito all’altro con il proprio segno. Che significa? Vediamo un esempio di somma algebrica e tutti ci sarà più chiaro…
Per semplificarti la vita, mentre svolgi una somma algebrica ti consigliamo di sottolineare i termini simili in maniera differente tra loro. La differenza tra somma aritmetica e somma algebrica di monomi è evidente: nel primo caso hai solo dei numeri con le quattro operazioni fondamentali che si insegnano già alle scuole elementari. Con la somma algebrica di monomi devi tenere in considerazione del segno e della parte letterale.
MOLTIPLICAZIONE TRA MONOMI
La moltiplicazione tra monomi si esegue facendo il prodotto dei segni, il prodotto dei coefficienti e il prodotto delle lettere (per quest’ultima operazione ricordati le regole delle potenze e in particolare la moltiplicazione tra potenze con la stessa base). Ecco un esempio facile facile:
DIVISIONE TRA MONOMI
E’ tra le operazioni con i monomi più sbagliate dagli studenti durante i compiti, anche se la regola è perfettamente identica alla moltiplicazione.
Per fare la divisione tra monomi basta come sempre dividere i segni (il che equivale a moltiplicarli), dividere la parte numerica e dividere la parte letterale (per quest’ultima applicherai la divisione tra potenze con la stessa base).
Ciò che più è difficile per gli studenti non è tanto la parte letterale quanto la divisione tra frazioni! Ti ricordiamo che la divisione di frazione può essere eseguita trasformando il “diviso” in “per” e invertendo numeratore e denominatore del divisore (il secondo numero della divisione!). Vediamo subito un esempio:
Come puoi vedere dall’esempio, se i monomi non sono divisibili, il loro quoziente sarà una frazione. Ciò ovviamente riguarda anche le lettere. Se al divisore infatti avessimo avuto (-2abc) allora nel risultato finale avremmo dovuto mettere la lettera c al denominatore.
POTENZE
Per elevare a potenza un monomio si elevano a potenza il suo coefficiente numerico e la sua parte letterale. Ricordati: se la potenza ha indice dispari il segno si conserva, sia positivo che negativo. Se l’indice di potenza è pari il segno è sempre più! Vediamo un esempio:
Ricapitolando: nella somma algebrica di monomi, quindi addizione e sottrazione, è importante che i monomi siano simili. In tutti gli altri casi le operazioni con i monomi sono sempre eseguibili.