Logaritmo naturale
– proprietà, esercizi e regole da conoscere riassunte in una facile mini-guida
Il logaritmo naturale è un logaritmo che ha alla base il numero di Nepero e. In matematica si esprime con il simbolo ln. In questa lezione vedremo tutto ciò che riguarda il logaritmo naturale, dal grafico alle sue proprietà. Iniziamo subito con la definizione matematica.
PROPRIETÀ DEL LOGARITMO NATURALE
In questo capitolo vedremo riassunte in breve quali sono le proprietà dei logaritmi naturali. Ti potrai subito accorgere che non c’è alcuna differenza con i logaritmi con base generica. Per approfondire l’argomento, ti consigliamo di leggere il nostro articolo sulle proprietà dei logaritmi. Troverai le varie regole spiegate passo passo con tanti esempi pratici.
Come puoi vedere dal grafico, la curva rossa che rappresenta il logaritmo naturale, ha un andamento che ricorda in tutto e per tutto quello dei logaritmi con base maggiore di 1. Per completezza sul grafico ti abbiamo riportato anche l’andamento in verde dell’esponenziale naturale.
Puoi vedere che le curve sono perfettamente simmetriche. Questo perché il logaritmo naturale è la funzione inversa dell’esponenziale naturale. Matematicamente questo si esprime come:
y=f(x)=lnx → y-1=f-1(x)=ex
ESERCIZI SVOLTI
Esempio 1)
ln(x-1)=3
Attenzione perché in questo esercizio c’è anche la x. Quindi non è un semplice logaritmo naturale, ma un’equazione logaritmica. Per risolverla bisogna rendere tutto in forma esponenziale a base e.
eln(x-1)=e3
x-1=e3
x=e3+1
Esempio 2)
In questo esercizio dobbiamo risolvere il logaritmo naturale del logaritmo naturale. Non facciamoci prendere dal panico guardandoci intorno chiedendoci come si fa. E’ molto semplice:
= ln(1) = → il logaritmo naturale di e abbiamo detto essere pari a 1
= 0 → il logaritmo naturale di 1 abbiamo detto essere pari a 0
Somma di logaritmi
– esempi ed esercizi svolti per l’addizione tra logaritmi
Nel paragrafo dedicato alle proprietà dei logaritmi abbiamo già parlato di come se eseguano le operazioni matematiche fondamentali tra logaritmi. In questa lezione faremo un approfondimento che riguarda la somma di logaritmi. Iniziamo facendo una rapido riassunto di quanto ci siamo già detti.
SOMMA DI LOGARITMI CON BASE DIVERSA
Fin ora niente di complicato. Cosa succede se invece devo fare l’addizione di logaritmi che hanno base differente? In quel caso è necessario modificare una delle due basi, così da riportarci nella situazione precedente. Per far ciò ti consigliamo di segnarti la formula per il cambiamento delle basi dei logaritmi.
E’ indifferente quale dei due logaritmi viene cambiato di base, la cosa importante è che la somma di logaritmi avvenga sempre con la stessa base.
ESEMPIO 1.
Un caso che spesso ci viene chiesto: come si fa quando ho la somma di logaritmi con lo stesso argomento? Se hanno la stessa base si risolve in pochi semplici passaggi. Vediamo subito praticamente come calcolare l’addizione:
ESEMPIO 2
Vediamo come si fa la somma di logaritmi con base diversa, applicando le formule studiate fino ad ora.
Nell’ultimo passaggio hai capito perché abbiamo eliminato il termine log33? Perché quando base e argomento sono uguali, il logaritmo fa 1. E 2×1 fa 2. Quindi a denominatore resta solo 2. A questo punto la mia somma di logaritmi diventa:
ESEMPIO 3
Un nostro studente ci ha chiesto, durante una lezione, come si risolve la somma di logaritmi con la x prima di uno dei due addendi. Vediamo il caso più nel dettaglio.
Più di questo, però, in questo esercizio non possiamo fare perché come detto non si tratta più di un’espressione, ma di un’equazione logaritmica in cui manca il secondo membro, per cui dobbiamo fermarci qui.
CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE
Le somme di logaritmi sono estremamente facili da risolvere. Si tratta di una piccola moltiplicazione tra gli argomenti degli addendi da sommare. Tuttavia la cosa che fa cadere spesso in errore gli studenti durante i compiti e verifiche è la contestualizzazione della regola assieme alle altre.
Cosa significa? Che non basta saper applicare la somma di logaritmi, ma è importante conoscere e saper applicare anche tutte le altre regole che riguardano i logaritmi, specialmente quella sulla potenza, utilizzata molto spesso per eliminare i coefficienti numerici.
Grafico logaritmo
– ecco come si disegna il grafico della funzione logaritmica
Il grafico della funzione logaritmica è uno di quegli elementi matematici da imparare a memoria, perché difficile da ricavare tramite calcoli. Ricordare però l’andamento del grafico logaritmo è importante per rispondere a tante domande immediate che potrebbero venirti chieste durante una verifica (per esempio quanto vale il logaritmo di zero o il logaritmo di infinito?)
IL GRAFICO DEL LOGARITMO… MA QUALE?
Ricordi quello che abbiamo detto quando abbiamo parlato della definizione di logaritmo? Abbiamo visto che la sua forma generica è:
La curva logaritmica cambia profondamente a seconda del valore della base. Ecco la ragione per cui distinguiamo due casi.
Riassumendo i contenuti di questa lezione in breve: abbiamo appreso che il grafico del logaritmo dipende dalla base utilizzata. Abbiamo distinto due casi differenti: quello in cui la base è maggiore di 1 (disegno sulla sinistra) e quello in cui la base è compresa tra o e 1. A parte alcune caratteristiche comuni, i due disegni si mostrano completamente differenti.
Logaritmo di 0? E’ impossibile!
– Ecco due modi per spiegarlo in maniera semplice ed immediata
Quanto vale il logaritmo di 0? Come si può calcolare log0 oppure ln0 senza usare la calcolatrice, visto che dà risultato impossibile? Scoprirai che non c’è differenza tra il logaritmo naturale e decimale, il risultato non cambia. Ma iniziamo un passo alla volta.
Innanzitutto, così come abbiamo detto nella lezione sul logaritmo di infinito, è impossibile calcolare il logaritmo di zero questo perché la funzione non è definita in quel valore. Scrivere quindi loga(0) oppure ln(0) o log(0) non ha alcun senso. Il risultato, ha ragione la calcolatrice, è impossibile!
Una risposta più coerente potrebbe darla chi ha fatto già analisi e sa studiare il dominio di una funzione o semplicemente chi conosce l’andamento della funzione logaritmica. Cerchiamo comunque di dare una risposta semplice ed esaustiva alla portata di tutti.
Cioè trovare un logaritmo significa trovare quell’esponente, applicato alla base a che mi da risultato l’argomento b. Per capire perché il logaritmo di 0 è impossibile prova a considerare l’esponenziale. Esiste un esponenziale che mi dà risultato 0? Considerando a>1, no!
Anche per questa ragione si dice che l’argomento del logaritmo, cioè b, deve essere maggiore di 0 (e non maggiore e uguale). Se questa prima spiegazione non ha convinto, ti diamo un’ulteriore dimostrazione con un metodo grafico.
LOGARITMO DI 0 SUL GRAFICO
Senza dover fare uno studio di funzione, complesso e lungo, proviamo a disegnare la funzione logaritmo assegnandole delle x in maniera arbitraria e calcolando di conseguenza la y con la calcolatrice. Avremo così delle coppie di punti (x,y) da andare ad inserire sul grafico.
Come puoi vedere dal grafico il logaritmo di 0 (in questo caso abbiamo usato calcolato il logaritmo decimale di zero) è impossibile perché la curva rossa della funzione non passa mai per la zona evidenziata in rosso. Cioè non va mai a toccare l’asse delle ordinate (la cui equazione della retta è x=0). Questo vuol dire che il logaritmo di 0 non può esistere.
Il grafico verrebbe molto simile anche provando a calcolare il logaritmo naturale di 0, anche provando a fare delle trasformazioni, come il cambiamento di base.
Quindi alla domanda: quanto vale il logaritmo di 0? Il risultato che devi scrivere sul tuo quaderno è impossibile, semplicemente perché l’argomento del logaritmo non può mai essere 0.
LIMITE DEL LOGARITMO DI 0
Una scappatoia c’è! Se stai studiando i limiti sai benissimo che non bisogna cercare il logaritmo di zero. La domanda sarebbe posta male in questo modo. Si calcola cioè il limite di log(0), cioè i valori che la funzione assume negli intorni di zero. In questo caso, sempre osservando il grafico, si nota che man mano che la x si avvicina a zero (muovendoci da destra verso sinistra), la funzione va verso il basso, quindi si spinge a meno infinito.
CONCLUSIONI
Possiamo quindi affermare che, a meno che tu non faccia riferimento ai limiti e quindi al programma che si studia in analisi, il logaritmo di zero è impossibile. Per questa ragione se ti trovi a risolvere delle espressioni o delle equazioni in cui ti appare log(0) oppure ln(0) allora semplicemente scrivi IMPOSSIBILE e termina l’esercizio.
Trinomio speciale o trinomio caratteristico
– definizione e scomposizione con alcuni esempi svolti
DEFINIZIONE DI TRINOMIO SPECIALE
Il trinomio speciale è detto anche trinomio caratteristico o notevole e rappresenta un particolare tipo di trinomio che può essere scomposto in maniera alternativa alla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, cioè non si usa il delta.
Volendo dare una definizione semplice di trinomio speciale, possiamo dire che essa si presenta nella forma:
x2-sx+p
Viene chiamato trinomio perché è un polinomio composto dalla somma di 3 monomi. Si definisce particolare o caratteristico o notevole perché si risolve con la tecnica della somma e prodotto.
Nonostante infatti x2-sx+p sia molto simile a ax2+bx+c=0 (vedi equazioni di secondo grado) non si esegue una scomposizione con il metodo del delta, ma si abbrevia il tutto a pochi semplici passaggi.
DIFFERENZA TRA TRINOMIO SPECIALE GENERALIZZATO E DI SECONDO TIPO
Il trinomio speciale generalizzato ha il coefficiente del termine di secondo grado sottinteso, cioè pari a 1. Nel caso in cui non dovesse verificarsi questa condizione, ci troveremmo di fronte ad un trinomio caratteristico di secondo tipo. Affronteremo anche questo caso all’interno di questa lezione, ma facciamo un passo alla volta.
Ciò che dobbiamo tener presente è che la lettera “s” sta ad indicare la somma delle soluzioni, mentre la lettera “p” il prodotto.
ESEMPIO PER INIZIARE
Vediamo subito praticamente come si effettua la scomposizione dei trinomi caratteristici andando ad analizzare un esempio concreto. Cerchiamo di scomporre il seguente trinomio speciale:
Per la scomposizione del trinomio caratteristico dell’esempio occorre trovare due numeri che sommati diano come risultato -3 e moltiplicati diano come risultato 2. Per semplicità partiamo dalla moltiplicazione: quali sono i numeri il cui prodotto fa +2?
VERIFICA DELLA SCOMPOSIZIONE DEL TRINOMIO CARATTERISTICO
Ricordiamoci di fare una piccola moltiplicazione per verificare che il procedimento eseguito sia corretto. Se moltiplichiamo le due parentesi ottenute dopo la scomposizione, dovremmo tornare alla traccia:
(x+2)(x+1) = x2+x+2x+1=x2+3x+2 (Verifica soddisfatta!)
SCOMPOSIZIONE TRINOMIO SPECIALE
Hai visto quanto è semplice la regola spiegata con un esempio concreto? Vediamo di riassumere in pochi passaggi ciò che bisogna fare per risolvere i trinomi notevoli con la tecnica somma e prodotto.
TRINOMIO CARATTERISTICO CON COEFFICIENTE (DI II TIPO)
Nel caso in cui non dovesse essere sottinteso il coefficiente del termine di II grado è necessario ricorrere ad una piccola modifica della formula, altrimenti i calcoli non si troverebbero. In questo caso ci troviamo di fronte a:
Quindi in questo caso andremo a trovare delle coppie di numeri che moltiplicate mi diano come risultato (c)(a) e tra queste verificheremo quale soddisfa la condizione per cui la loro somma è pari a -b. Vediamo subito con un esempio pratico come mettere in pratica questo caso, leggermente più complicato del precedente.
ESEMPIO CON COEFFICIENTE
Verifica: ti lasciamo come esercizio per casa la verifica dell’esercizio svolto. Moltiplica le due parentesi e vedrai che otterrai proprio la traccia.
Definizione di logaritmo
– cosa sono i logaritmi spiegati in maniera semplice
LA DEFINIZIONE DI LOGARITMO DEL LIBRO
Il primo passo è come sempre seguire la strada dei libri di testo. Quindi iniziamo dando subito la definizione di logaritmo che si trova in qualsiasi libro di matematica per le scuole superiori.
DEFINIZIONE: DATI A E B APPARTENENTI ALL’INSIEME DEI NUMERI REALI, SI DEFINISCE LOGARITMO IN BASE A DI B, L’ESPONENTE DA AGGIUNGERE ALLA A PER OTTENERE COME RISULTATO B.
Definizione di logaritmo decimale: è il logaritmo che ha base 10
Definizione di logaritmo naturale: è il logaritmo che ha base il numero di Nepero “e”.
UN PO’ PIÙ FACILE…
Ci hai capito poco, vero? Ti serve una spiegazione un po’ semplificata? Cerchiamo di fare un passo per volta. Ricordi che cos’è una funzione esponenziale? Si tratta una “potenza” del tipo: ac=b
In parole povere il logaritmo è l’operazione inversa dell’esponenziale. Non cercare di capire perché, si tratta di una definizione. Concentrati sul come! Vediamo subito con un esempio che cos’è il logaritmo in base a di b.
CONCLUSIONI
Abbiamo visto come la definizione di logaritmo possa essere applicata agli esercizi più semplici in cui è richiesto un calcolo quasi immediato di un logaritmo. Nella maggior parte dei casi non saremo così fortunati, ma potremo farci aiutare dalla calcolatrice e dalle proprietà dei logaritmi, che ti consigliamo invece di studiare in maniera approfondita perché ti saranno molto utili nel proseguo degli studi.
Il simbolo diverso
– qual è, come si fa su tastiera e su excel
I segni matematici sono fondamentali, anche se alcuni non sono molto frequenti. In questa piccola guida vediamo qual è il simbolo diverso, come si fa sulla tastiera, su word e su excel.
IL SIMBOLO DIVERSO
Si utilizza in matematica quando si vuole esprimere la diversità tra primo e secondo membro. E’ un segno matematico che compare molto spesso nelle equazioni fratte, quando cioè si vanno ad esprimere delle condizioni di esistenza.
COME SI FA IL SIMBOLO DIVERSO?
Essendo una negazione di un’uguaglianza, semplicemente si mette una barra trasversale sull’uguale. Proprio come abbiamo fatto nell’immagine seguente.
Come si legge? Immagina di dover leggere 5≠6. Leggeremo CINQUE DIVERSO DA SEI. Quindi il simbolo diverso esprime una disuguaglianza tra il primo e il secondo membro di un’equazione. Mi dice in parole povere che quello che è a sinistra è diverso da quello che è a destra del simbolo del diverso.
COME SI FA IL SIMBOLO DIVERSO SULLA TASTIERA?
Generalmente ci sono diversi unicode per indicare il simbolo di diverso da tastiera. Noi li abbiamo provati tutti e non funziona neanche uno, tanto è vero che nella tabella completa dei caratteri, il segno diverso non compare. Vi possiamo solo dire di provare:
LE EQUAZIONI CON IL SIMBOLO DIVERSO
Come dicevamo all’inizio il simbolo disuguale compare soprattutto nelle equazioni fratte, visto che bisogna imporre una condizione di esistenza. Dovendo imporre che il denominatore è diverso da 0, allora si ottiene un’equazione con il simbolo di diverso.
Lo studente generalmente va subito in crisi perché non sa come risolverle. In realtà non c’è nessun tipo di problema e per la risoluzione si procede esattamente come nelle normali equazioni. Facciamo un esempio con un’equazione di primo grado.
x+1≠0 →x≠-1
Quindi valgono esattamente le stesse regole già ben note delle equazioni.
mcm e mcd
– esercizi e spiegazione per imparare a risolvere i problemi
Mcm e mcd sono praticamente i fondamenti dell’algebra. Imparare a calcolare il minimo comune multiplo o conoscere la definizione di massimo comune divisore è fondamentale per risolvere problemi ed esercizi più complessi in cui compaiono le frazioni o la messa in evidenza.
MCD E MCM ESERCIZI
A questo punto prendiamo i diversi fattori trovati (2, 3 e 5) e possiamo calcolare mcm e mcd.
mcm= 22 x 33 x 5 =4 x 27 x 5 = 540
mcd= 3 = 3
Da notare come nella scomposizione di 240 e 270 abbiamo utilizzato le proprietà delle potenze. Infatti 2 x 23 = 24, poiché gli esponenti si sommano visto che la base della potenza è la stessa. Aiutati con una calcolatrice oppure scriviti da parte i calcoli delle moltiplicazioni, se necessario.
mcm = 33 x 24 x 5 = 2.160
mcd = 3 x 2 x 5 = 30
ESERCIZI CON MCM E MCD DA RISOLVERE PER CASA
Calcolare mcm e mcd tra i seguenti gruppi di numeri. Quella che ti mostriamo è una tabella. Sulla sinistra trovi i gruppi di numeri da traccia, sulla destra il risultato dell’esercizio. Buon calcolo!
Suggerimenti: Ricordati che se nel calcolo del massimo comune divisore non trovi fattori comuni, allora il risultato sarà 1.
PROBLEMA 1
Traccia: Giovanni il fioraio dispone di 24 margherite, 60 ciclamini e 84 tulipani. Quanti mazzetti uguali tra loro potrà fare e quale sarà la loro composizione?
Svolgimento e soluzione: il problema ci chiede di calcolare il mcd tra 24, 60 e 84. Quindi:
24 = 3 x 23
60 = 10 x 6 = 5 x 2 x 3 x 2 = 5 x 3 x 22
84 = 4 x 21 = 22 x 7 x 3
mcd = 3 x 22 = 12 mazzi di fiori
PROBLEMA 2
Traccia: Un cartolaio, dispone di 28 quaderni, 70 agende e 84 diari. Quante confezioni uguali potrà fare e quale sarà la loro composizione?
Svolgimento e soluzione: ancora una volta viene richiesto il calcolo del mcd. Quindi:
PROBLEMA 3
Traccia: Due amici sono nati nello stesso paese, ma si vedono raramente perché sempre in viaggio. Considerando che tornano a casa il primo ogni 35 giorni, il secondo ogni 25 giorni, quando si incontreranno di nuovo nel paese dove sono nati?
Svolgimento e soluzione: in questo caso viene richiesto il calcolo del mcm tra 25 e 35. Per questa ragione possiamo scrivere:
25 = 52
35 = 5 x 7
mcm = 7 x 52 = 175 giorni
Definizione di semiretta
– Che cos’è una semiretta?
La definizione di semiretta non è particolarmente complessa. Una volta chiaro che cos’è una retta, infatti, bastano pochi semplici passaggi, per arrivare alla definizione di semiretta e segmento.
La semiretta è un ente fondamentale geometrico, siamo quindi davvero alle spiegazioni fondamentali della geometria. Evita di imparare tutto a memoria e cerca di capire i meccanismi. Ti verrà tutto più semplice e non avrai problemi o lacune con la continuazione del programma.
SEMIRETTA DEFINIZIONE
SI DEFINISCE SEMIRETTA CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI UNA RETTA AB RIMANE DIVISA DA UN SUO PUNTO O.
Detto in parole semplici, la semiretta non è altro che una retta che ha un punto iniziale e non una fine. Al contrario invece della retta che era indefinita sia da un lato che dall’altro.
ALTRE DEFINIZIONI DELLA SEMIRETTA
Il punto O si considera appartenente alle due semirette ottenute e si chiama origine di entrambe le semirette.
Le due semirette si definiscono opposte, o anche l’una il prolungamento dell’altra.
I punti di una semiretta diversi dall’origine si definiscono interni
COME SI DISEGNA UNA SEMIRETTA ORIENTATA
Per disegnare una semiretta, hai bisogno semplicemente di una penna o di una matita, un foglio di carta e un righello. Ricordati che per definizione di semiretta, esiste un origine, quindi un punto fisso. Inizia disegnando questo indicandolo con una lettera maiuscola. La semiretta invece va indicata con una lettera minuscola.
OSSERVAZIONI SULLA SEMIRETTA
Nella figura sopra, la retta è stata divise nelle due semirette opposte a e b di origine O. E’ evidente che una semiretta contiene un punto O di una data retta r e tutti i suoi punti che seguono, o precedono O, sopra r.
Si chiama infine sostegno di due semirette opposte, la retta alla quale esse appartengono. Si noti che date due semirette opposte OA ed OB, resta individuata la loro retta sostegno AB. ;a data una retta AB, non resta individuata alcuna semiretta fino a quando non si fissa un punto origine O su di essa.
Massimo comune divisore
-mcd – definizione, calcolo ed esempi
Il calcolo del massimo comune divisore è uno degli argomenti più importanti di tutto il programma di algebra, così come il minimo comune multiplo (mcm). In questa lezione ti mostreremo come calcolare mcd in modo semplice e seguendo pochi semplici passaggi. Riuscirai con questa nostra breve regola a risolvere gli esercizi di matematica e di algebra più complessi.
Il calcolo di mcd, che all’inizio potrà sembrarti impegnativo, con il passare del tempo diventerà così automatico che riuscirai addirittura a calcolare il massimo comune divisore a mente, meglio di un calcolatore!
Sostanzialmente riuscirai a trovare un numero, partendo da quelli che ti assegna la traccia, che può essere il divisore di tutti. Ma non complichiamoci la vita da subito e facciamo un passo alla volta.
A CHE SERVE IL MASSIMO COMUNE DIVISORE
Prima di vedere la regola per calcolare il massimo comune divisore è importante che tu sappia che questo potente strumento ti servirà non solo nel calcolo delle frazioni negli esercizi sul m.c.d., ma anche negli esercizi sui monomi e sui polinomi.
In particolar modo studierai il raccoglimento a fattore comune che si basa interamente sul calcolo del mcd, su alcuni testi chiamato anche minimo comune divisore.
DEFINIZIONE DI MASSIMO COMUNE DIVISORE
Iniziamo cercando di capire qual è la definizione del mcd, ovvero che cos’è il massimo comune divisore. In tutti i libri di matematica che si usa a scuola viene enunciata la seguente regola.
Per il calcolo del mcd si prendono i fattori comuni presi una sola volta con il minimo esponente.
Si tratta di una definizione che nella matematica ritornerà molto spesso e non solo con le frazioni, tanto che la imparerai presto a memoria. Vediamo qual è il significato di questa definizione per poter ottenere così una regola, cioè un metodo che ci permetta di capire come calcolare il massimo comune divisore. Facciamo subito un esempio pratico, così da eliminare tutti i dubbi e le difficoltà.
– Calcolare il mcd dei seguenti numeri: 10;15;100.
La definizione ci dice di dover prendere i fattori comuni. Questo significa che il primo step è quello di dividere i vari numeri datici dalla traccia in fattori, cioè in numeri primi. Per il calcolo del mcd prenderemo, tra questi, solo quelli comuni a tutti e con il minimo esponente.
Nel nostro caso, cioè, 10=2x5, 15=3x5, 100=2^2x5^2. Dei vari fattori primi che abbiamo ottenuto scomponendo i numeri della traccia, solo 5 è quello che compare sempre e va preso con il minimo esponente. Per cui il massimo comune divisore dei numeri dati è 5.
NOTA BENE: se non ci sono elementi comuni tra i vari fattori, il massimo comune divisore è 1
CALCOLO MCD – ESEMPIO SVOLTO
Non ti è ancora chiaro e non hai capito oppure vorresti un altro esempio per togliere i dubbi che ti sono rimasti? Ebbene nell’esercizio svolto sul mcd che ti proponiamo ora ti mostriamo tutti gli step anche con delle immagini. Così ti facciamo vedere non solo come si calcola mcd ma anche esattamente cosa dovrai scrivere sul tuo quaderno quando farai gli esercizi.
Il metodo di calcolo che ti facciamo vedere è valido per tutti: come aiuto dislessia, per la scuola primaria, media o superiori. Tutti possono applicare questa regola così da rendere tutto più semplice. Ecco la traccia dell’esercizio.
– Calcolare il massimo comune divisore di 50, 10 e 30
Quello che ti proponiamo è un metodo a step infallibile, leggilo attentamente. E’ facile e noi cercheremo di essere chiari e di esportelo in modo semplice così che possa tu usare questa regola anche nei tuoi esercizi.
Questo vuol dire che il massimo comune divisore tra 50, 10 e 30 è 10.
ESERCIZI DA SVOLGERE
Ti abbiamo dato così una regola per calcolare il massimo comune divisore. Sei pronto quindi per provare se hai capito con degli esercizi facili. Ecco le tracce degli esercizi con risultati sul mcd.
