Quadrato di un binomio
– con esempi ed esercizi svolti
Saper risolvere un quadrato di binomio è fondamentale per riuscire a completare tantissime tipologie di esercizi e problemi. Si tratta di una regola semplice, ma che molti studenti spesso sbagliano.
COME CALCOLARE IL QUADRATO DI UN BINOMIO
Innanzitutto specifichiamo che cos’è un binomio: si tratta di una coppia di numeri o lettere che in genere vedrai raccolti all’interno di una parentesi. Fare il binomio al quadrato significa sostanzialmente moltiplicare quella piccola espressione matematica per se stessa.
Il quadrato di binomio rientra tra i prodotti notevoli perché non c’è bisogno di eseguire ogni volta tutte le moltiplicazioni (nel nostro caso moltiplicare il binomio per se stesso) ma ci si avvale di una regola che ci risparmia tempo e calcoli.
QUADRATO DI UN BINOMIO FORMULA:
Per eseguire correttamente il quadrato di binomio è necessario fare il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo termine e il doppio prodotto del primo per il secondo termine.
Vediamo passo passo come si eleva al quadrato un binomio…
QUADRATO DEL PRIMO
I due termini, ovvero i due monomi, sono a e b. Il primo passo è di prendere il primo termine (non dimenticare il segno) ed elevarlo al quadrato.
QUADRATO DEL SECONDO
Il secondo passaggio è quello di elevare al quadrato il secondo termine. Anche in questo caso un eventuale segno meno si trasforma in “+”.
DOPPIO PRODOTTO
Arriviamo al passaggio che in tanti studenti dimenticano o sbagliano. L’errore che fanno tutti è di sbagliare il segno. La regola da seguire è:
DIMOSTRAZIONE DEL QUADRATO DI UN BINOMIO
La regola del quadrato di binomio si dimostra in maniera molto semplice: basta moltiplicare la parentesi per se stessa così da ottenere la formula risolutiva.
Come dicevamo, si tratta di un prodotto notevole, perché ci evitiamo ben due passaggi semplicemente ricordando la regola del quadrato di binomio. E’ un modo quindi per semplificarci la vita e ridurre il numero di moltiplicazioni e più in generale di operazioni.
ESERCIZI SVOLTI SUL QUADRATO DI UN BINOMIO
Nel primo esercizio svolto ti abbiamo mostrato tutti i calcoli che devi svolgere. Come puoi vedere abbiamo fatto il quadrato del primo monomio, il quadrato del secondo e il doppio prodotto, moltiplicando prima i segni, poi i numeri e poi le lettere. Vediamo altri esercizi svolti.
QUADRATO DI UN TRINOMIO
La regola è perfettamente analoga, per cui faremo: quadrato del primo termine, quadrato del secondo, quadrato del terzo, doppio prodotto del primo per il secondo, doppio prodotto del secondo per il terzo, doppio prodotto del primo per il terzo. Vediamo subito un esempio su come risolvere il quadrato del trinomio:
ESERCIZI DA RISOLVERE – ESPRESSIONI CON BINOMI AL QUADRATO
Sviluppare i seguenti quadrati di binomio e di trinomio:
Quadrato di un trinomio
– la formula risolutiva con esempi svolti
Il quadrato di un trinomio è un prodotto notevole che permette di calcolare il quadrato di polinomi composti da 3 monomi. Applicandone la regola inversa, è possibile scomporre un polinomio per ottenere un quadrato di trinomio.
QUADRATO DI UN TRINOMIO FORMULA
Dato un polinomio composto da 3 monomi che si sommano tra di loro A(x), B(x) e C(x) che per semplicità chiameremo soltanto A, B e C. Per calcolare il quadrato di trinomio uso la formula:
PER EVITARE GLI ERRORI PIÙ COMUNI
Come puoi notare calcolando i quadrati di trinomi si ottengono ben 6 elementi, cioè sei monomi. Se dopo il calcolo dovessi trovarne di meno, vuol dire che hai commesso un errore. Quindi alla fine del calcolo semplicemente conta quanti monomi hai ottenuto: se sono sei vuol dire che non hai tralasciato doppi prodotti. Uno degli errori maggiori infatti è proprio quello di dimenticare di moltiplicare alcuni dei termini.
Un altro errore molto frequente è quello di dimenticare i segni. Proprio per questa ragione ti suggeriamo, soprattutto per le prime volte e fino a quando non hai sufficiente pratica, di utilizzare molto le parentesi tonde. In questo modo hai la certezza di non sbagliare. Ecco come fare.
QUADRATO DI UN TRINOMIO NEGATIVO – ESEMPIO
(x-y-3)²=
=x²+y²+3²+2(x)(-y)+2(x)(-3)+2(-y)(-3)=
=x²+y²+9-2xy-6x-6y.
Quindi andando ad eseguire i calcoli abbiamo considerato ogni termine con il suo segno inserendolo all’interno di una parentesi.
DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA
Come si ottiene la formula del quadrato di trinomio. Semplicemente prova a moltiplicare due trinomi identici.
(A+B+C)·(A+B+C) = A²+AB+AC+AB+B²+BC+AC+BC+C²
A questo punto si sommano i termini simili e si ottiene la formula definitiva: A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC.
NOTA: seguendo il procedimento inverso si può ottenere la scomposizione del polinomio in quadrato di trinomio. Se cioè abbiamo i sei termini appena individuati e dobbiamo eseguire una scomposizione, sappiamo che otteniamo il trinomio al quadrato.
ESEMPI SUL QUADRATO TRINOMIO
La parte teorica è già finita. Ti consigliamo di fare attenzione con le frazioni e, come già detto, con i numeri negativi. Per il resto si tratta solo di fare un po’ di pratica. I quadrati di trinomi si risolvono con calcoli analoghi a quelli per i binomi. Facciamo qualche esempio pratico per togliere ogni dubbio.
ESERCIZIO 1
(x²+y³-5z)²
Per risolvere questo esercizio ricordate delle proprietà delle potenze, in particolare della potenza di potenza. Ricordati che in quel caso andavamo a moltiplicare gli esponenti. Ci servirà quando andremo a fare il quadrato di y alla terza. Siamo pronti a risolvere dopo questa piccola premessa.
(x²+y³-5z)²=
=(x²)²+(y³)²+(-5z)²+2(x²)(y³)+2(x²)(-5z)+2(y³)(-5z)=
=x4+y6+25z2+2x²y³-10x²z-10y³5z.
Come puoi vedere, in questo esercizio per calcolare il quadrato di un trinomio, abbiamo prima calcolato il quadrato di ogni termine, poi eseguito letteralmente il doppio prodotto di ogni singola combinazione tra i vari termini del polinomio.
ESERCIZIO 2
Proviamo a fare un esercizio un po’ più complesso usando anche le radici, visto che sono il terrore di ogni studente. In questo caso, senza neanche ricordarci le regole delle radicali, trattiamola come se fosse una lettera.
(x+1-√3)²=
=x²+1²+(√3)²+2(x)(1)+2(x)(-√3)+2(1)(-√3)=
=x²+1+3+2x+-2x√3-2√3.
SCOMPOSIZIONE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO
Così come esiste il trinomio scomponibile nel quadrato di un binomio, anche in questo caso se siamo attenti, possiamo riconoscere un polinomio composto da 6 monomi e scomporlo in un quadrato di trinomio. Ovviamente dovranno esserci 3 termini di cui è possibile fare la radice e 3 monomi pari, di cui cioè si stata fatto il doppio prodotto. Vediamo subito un esempio pratico:
Il segno non lo si deduce dai termini al quadrato, visto che il quadrato rende il segno sempre positivo. Lo vediamo però dai doppi prodotti. Ad esempio 2xy ha segno positivo, per cui saranno entrambi positivi o entrambi negativi. 2xz ha invece segno negativo per cui i due monomi sono discordi: uno è positivo e l’altro è negativo. Ha senso quindi supporre che x e y siano positivi mentre z negativo.
Criterio di divisibilità per 7
– quando si può dividere un numero per 7
CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 7 – LA TEORIA
1- Criterio generale: per capire se un numero è divisibile per 7, lo trascriviamo escludendo le unità. Sommiamo il numero ottenuto con la cifra dell’unità moltiplicata per 5 e vediamo se otteniamo un numero che si riconosce facilmente come divisibile per 7. Se il numero è ancora troppo alto ripetiamo il passaggio.
Esempio: verificare che per il numero 2.401 è un multiplo di 7.
Partiamo riscrivendo il numero senza unità.
2.401 → 240
A questo aggiungiamo la cifra delle unità moltiplicata per 5 → 1×5=5
240+5=245
Ripetiamo l’operazione nuovamente:
245→24 + 5×5= 23+25=49
Poiché dalla tabellina del 7 risulta 7×7=49, allora il numero di partenza 2.401 è divisibile per 7.
2 – Criterio di divisibilità per 7 per i numeri maggiori di 70 e inferiori a 100 → quando abbiamo a che fare con un numero compreso tra 70 e 100 possiamo capire immediatamente se è divisibile per 7 con un metodo più rapido e semplice. Dal numero sottraiamo 70 e verifichiamo se il risultato è divisibile per 7.
Esempio: 84 è un numero divisibile per 7?
Sottraiamo al numero 70 → 84-70=14 e poiché 7×2=14, allora il numero è divisibile per 7.
3- Criterio di divisibilità per 7 per i numeri molto alti → dividiamo il numero in gruppi di cifre da 3 partendo da destra. Tra ogni gruppo si mette un segno alternato.
Esempio: 5.764.801 è divisibile per 7?
Dividiamo il numero in blocchi di 3 cifre:
801
764
5
Andiamo ad aggiungere tra questi un segno che si alterna partendo dal meno:
801-764+5 → 42 → Poiché 6×7=42, allora il numero è divisibile per 7.
ESERCIZI SVOLTI
Provare ad applicare uno dei criteri di divisibilità per 7 ai seguenti numeri.
861
Applichiamo il criterio generale, per cui consideriamo il numero intero ad esclusione delle unità.
861→86
A questo andiamo a sommare il quintuplo della cifra delle unità:
86+1×5=86+5=91
Non sappiamo ancora immediatamente se 91 è divisibile per 7 (perché non fa parte della tabellina del 7), ma essendo un numero piccolo possiamo applicare il secondo metodo. Si sottrae quindi 70 e si verifica che se è divisibile per 7.
91-70=21
Poiché 7×3=21, allora anche 861 è divisibile per 7.
3.441
Si applica il criterio generale, per cui riscrivo il numero senza le unità e ci sommo poi il quintuplo dell’unità.
3.441 → 344+5×1=349
Dato che non è un numero immediatamente riconducibile alla tabellina, applico di nuovo il criterio di divisibilità per 7.
349 → 34+9×5=34+45=79
Applichiamo il secondo criterio per i numeri più piccoli, cioè sottraiamo 70.
79-70=9 → 3.441 non è un multiplo di 7!
139.601
Dato che si tratta di un numero a 6 cifre possiamo applicare il terzo criterio di divisibilità per 7. Quindi dividiamo il numero in blocchi da 3 cifre partendo da destra e sottraendoli tra loro:
601-139=462
Applichiamo a questo punto il criterio generale visto in precedenza, quindi riscriviamo il numero senza unità, sommandogli il quintuplo dell’unità.
462 → 46+2×5=46+10=56
Poiché 7×8=56 allora 139.601 è un multiplo di 7.
CONCLUSIONI
Come hai potuto vedere, non è difficile capire quando un numero è divisibile per 7. Ti bastano inoltre pochi esempi ed esercizi per capire quanto questo criterio sia immediato. Certo non lo è come per la divisibilità per 2 (basta vedere se i numeri sono pari o dispari), ma i calcoli non sono così difficili come in tanti pensano.
Quadrati di trinomi
– esercizi con svolgimento e soluzione
Metodo risolutivo: quadrato del primo, del secondo e del terzo termine. Poi doppio prodotto del primo per il secondo, doppio prodotto del primo per il terzo, doppio prodotto del secondo per il terzo.
Per approfondimenti ti rimandiamo al quadrato di trinomio. Adesso ci concentriamo invece sugli esercizi e sulle tecniche applicative. Insomma dalla teoria, oggi passiamo alla pratica. Ecco le tracce che svolgeremo assieme:
1) (x+2y+4)²
2) (x-y+3t)²
3) (-a-3b-2c)²
4) (x²+y³-1)²
5) (x+√3-1/2)²
ESERCIZIO 1
Risolvere i seguenti quadrati di trinomi: (x+2y+4)²
= x²+(2y)²+4²+2(x)(2y)+2(x)(4)+2(2y)(4)
Fino a questo momento abbiamo eseguito semplicemente la regola. Quindi quadrato del primo, quadrato del secondo quadrato del terzo termine, poi doppio prodotto del primo per il secondo, doppio prodotto del primo per il terzo, doppio prodotto del secondo per il terzo. Si possono a questo punto eseguire i calcoli.
= x²+4y²+16+4xy+8x+16y.
In due semplici passaggi siamo già arrivati a calcolare la soluzione dell’esercizio.
ESERCIZIO 2
Risolvere i seguenti quadrati di trinomio: (x-y+3t)²
=(x)²+(-y)²+(3t)²+2(x)(-y)+2(x)(3t)+2(-y)(3t).
Il procedimento è sempre lo stesso ma in questo caso c’è una piccola complicazione il segno meno. Per non avere mai problemi o dubbi durante gli esercizi ti consigliamo di inserire i vari termini tra parentesi in modo da non dimenticare mai il segno ed evitare errori.
=x²+y²+9t²-2xy+6xt-6yt.
Come hai potuto vedere l’uso delle parentesi non ha allungato lo svolgimento dell’esercizio. I passaggi effettuati per il calcolo sono sempre due, ma abbiamo evitato degli errori molto comuni proprio grazie alla parentesi.
ESERCIZIO 3
Risolvere i seguenti esercizi di quadrati di trinomio: (-a-3b-2c)²
=(-a)²+(-3b)²+(-2c)²+2(-a)(-3b)+2(-a)(-2c)+2(-3b)(-2c).
L’unica difficoltà in questo esercizio è che, rispetto al precedente, ci sono solo segni negativi. Risolviamo come il precedente usando le parentesi.
=a²+9b²+4c²+6ab+4ac+12b2c.
ESERCIZIO 4
Risolvere i seguenti esercizi di quadrati di trinomio: (x²+y³-1)²
=(x²)²+(y³)²+(-1)²+2(x²)(y³)+2(x²)(-1)+2(y³)(-1)=
=x4+y6+1+2x²y³-2x²-2y³.
ESERCIZIO 5
Risolvere i seguenti esercizi di quadrati di trinomio: (x+√3-1/2)²
=x²+(√3)²+(-1/2)²+2(x)(√3)+2(x)(-1/2)+2(√3)(-1/2)=
=x²+3+1/4+2x√3-x+√3.
L’errore più frequente che si commette in questi tipi di esercizi riguarda le radici. Lo studente in genere va in difficoltà quando vede questo tipo di operazione e non sa come risolvere l’esercizio. Il nostro consiglio è di considerarlo come se fosse una lettera. In questo modo è come se fosse un corpo estraneo da trattare al pari di tutti gli altri monomi che compongono il trinomio da elevare alla seconda e da risolvere.
Cubo di un trinomio
– formula ed esempi pratici
Uno dei prodotti notevoli che creano maggiori difficoltà agli studenti di matematica è senza dubbio il cubo di un trinomio. La regola spesso non è neanche riportata nei libri e nei programmi di studio, ma quando la si ritrova poi in un esercizio non si sa come affrontarla. Ovviamente per poterla capire è importante aver presente la formula del cubo di binomio.
Ecco allora come si calcola il cubo di trinomio, partiamo subito dalla formula.
CONSIDERAZIONI
Come puoi vedere la formula del cubo di trinomio non è molto semplice, soprattutto da ricordare c’è il rischio che ci si dimentichi di qualche moltiplicazione. E’ l’errore più frequente che si commette durante i compiti. Ecco la ragione per cui alcuni docenti consigliano di risolvere il cubo di un trinomi facendo la moltiplicazione 3 volte dello stesso trinomio, così come vedremo nella dimostrazione di seguito.
Riassumendo per il calcolo dato il trinomio T , possiamo fare il cubo come T³, oppure moltiplicare tutto come T·T·T, oppure scriverlo come T²·T, cioè fare la moltiplicazione del quadrato di trinomio per il trinomio stesso. Le tecniche risolutive sono sostanzialmente 3 e puoi scegliere quella che preferisci e che ti crea meno problemi di calcolo:
– T·T·T → semplicemente moltiplica i tre trinomi;
– T²·T → esegui il quadrato del trinomio;
– T³ → usa la formula del cubo di trinomio.
DIMOSTRAZIONE
Fare il cubo di un trinomio, di un monomio o più in generale di un numero significa moltiplicarlo tre volte per se stesso. Cioè volendo fare il cubo di A significa voler calcolare: A³=A·A·A. Ricordi che cos’è un trinomio? E’ un polinomio composto da tre monomi. Quindi dato il generico polinomio:
(A+B+C)³=
=(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)=
Tra i primi due possiamo risolvere anche calcolando il quadrato di trinomio (A+B+C)·(A+B+C) = (A+B+C)², tuttavia per semplicità facciamo tutti i calcoli proseguendo con la moltiplicazione di polinomi.
CUBO DI UN TRINOMIO NEGATIVO
Ovviamente l’esercizio si complica nel momento in cui compaiono anche dei segni negativi. Personalmente consigliamo ai nostri studenti, soprattutto quando non si ha molta pratica con il metodo di calcolo, di eseguire tutti i singoli passaggi utilizzando le parentesi.
Vediamone un esempio:
(A-B+C)³=
=A³ + (-B)³ + C³ + 3A²(-B) + 3A(-B)² + 3A²C + 3AC² + 3(-B)²C + 3(-B)C² + 6A(-B)C =
=A³ + -B³ + C³ – 3A²B + 3AB² + 3A²C + 3AC² + 3B²C – 3BC² – 6ABC.
Come hai potuto vedere nell’applicazione della regola semplicemente abbiamo inserito una parentesi in cui c’è il termine negativo.
ESEMPIO 2.
(2x+1-√3)³=
=(2x)³ + (1)³ + (-√3)³ + 3(2x)²(1) + 3(2x)(1)² + 3(2x)²(-√3) + 3(2x)(-√3)² + 3(1)²(-√3) + 3(1)(-√3)² + 6(2x)(1)(-√3) =
=8x³ + 1 – 3√3 + 3·4x² + 6x – 3·4x²√3 + 6x(3) – 3√3 + 3(3) – 12x√3 =
=8x³ + 1 – 3√3 + 12x² + 6x – 12x²√3 + 18x – 3√3 + 9 – 12x√3 =
=8x³ + 10 – 6√3 + 12x² + 6x – 12x²√3 + 18x – 12x√3 =
Volendo essere ancora più precisi possiamo effettuare una scomposizione con raccoglimento parziale di alcuni monomi.
=8x³ + 10 – 6√3 + 12x²(1-√3) + 12x(2x – √3)
Equazioni di grado superiore al secondo
Le equazioni di grado superiore al secondo vengono chiamate anche equazioni scomponibili perché il procedimento risolutivo in fattori che si moltiplicano tra di loro. A questo punto semplicemente applicando la legge dell’annullamento del prodotto, che vedremo a breve, si arriva rapidamente a calcolare la soluzione.
QUALI SONO LE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO
Sono tutte quelle equazioni in cui il grado del polinomio supera il 2. Per esempio:
x4+3×3+2×2+4x+7=0
Quella nell’esempio è un’equazione di quarto grado. Si possono risolvere utilizzando vari metodi e in alcuni testi viene esplicitamente spiegato che quando le equazioni superano il quarto grado in generale non c’è un metodo specifico risolutivo e spesso si va a tentativi.
COSA SERVE SAPERE
Per comprendere questo argomento è importante che possegga le conoscenze di base che riguardano monomi e polinomi e soprattutto bisogna saper risolvere le equazioni di primo grado e quelle di secondo grado. Ovviamente poiché si tratta di equazioni scomponibili è importante avere una buon conoscenza delle tecniche di scomposizione dei polinomi. Se pensi di non avere grosse lacune in materia, allora possiamo iniziare.
LEGGE DELL’ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO
E’ la regola fondamentale per risolvere le equazioni di grado superiore al secondo. Dati due polinomi A(x) e B(x), se abbiamo:
A(x)·B(x)=0
allora questa si può risolvere come:
A(x)=0 V B(x)=0
Quindi riassumendo se abbiamo una moltiplicazione di polinomi con al secondo membro lo zero, si risolve ponendo ogni fattore uguale a zero. Per esempio:
(3x-2)(4x+1)=0
3x-2=0 → x=2/3
4x+1=0 → x=-1/4
EQUAZIONI RICONDUCIBILI A QUELLE DI SECONDO GRADO
Vediamo alcuni casi in cui queste equazioni sono scomponibili semplicemente attraverso un raccoglimento a fattor comune totale o parziale.
CASO 1: MANCA IL TERMINE NOTO
Nel caso in cui nell’equazione di terzo grado manchi il termine noto, cioè il numero senza la x, è sufficiente effettuare un raccoglimento totale della x stessa. Si mette cioè la x in evidenza e si ottengono due fattori, cioè due parentesi che si moltiplicano e sono uguali a zero. Applicando la legge dell’annullamento del prodotto si ottiene come prima soluzione immediata che x=0 mentre le altre due soluzioni si ottengono con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Per esempio:
CASO 2: CI SONO TERMINI “SIMILI”
Quando nell’equazione di terzo grado noti la presenza di monomi con gli stessi coefficienti, allora puoi provare ad eseguire una scomposizione attraverso un raccoglimento parziale. In questo modo ottieni due parentesi che si moltiplicano, per cui come nei casi precedenti arrivi rapidamente alla soluzione. Per esempio:
EQUAZIONI MONOMIE
Sono in assoluto le più facili equazioni di grado superiore al secondo. Si presentano nella forma:
axn=b
Le possibilità a questo punto sono 2:
CASO 1: N PARI
Se il grado del polinomio è pari, allora dovrai assicurarti che il secondo termine (cioè la b) sia maggiore e uguale di 0. Altrimenti otterresti un’equazione impossibile da risolvere nel campo dei numeri reali. Con b≥0, allora si risolve con la radice ennesima di entrambi i membri e aggiungendo il simbolo ± (non dimenticarlo, altrimenti l’esercizio è incompleto).
x=±n√(b/a)
CASO 2: N DISPARI
Se l’equazione di grado superiore al secondo ha indice dispari, quindi è alla terza o alla quinta, allora si risolve come il caso precedente ma non ci sono condizioni alla b. Può essere sia positiva che negativa. Inoltre nel risultato finale non bisogna più mettere il ±. Per cui:
x=n√(b/a)
EQUAZIONI BIQUADRATICHE
Si tratta di equazioni di quarto grado in cui non ci sono il monomio di terzo e di primo grado. Si presenta cioè nella forma:
ax4+bx2+c=0
Quell che si nota è che, semplicemente effettuando una sostituzione y=x2, ti riconduci facilmente alle equazioni di secondo grado. Facciamo un esempio pratico:
EQUAZIONI TRINOMIE
Il caso è del tutto analogo alle equazioni biquadratiche, cambia solo la sostituzione da eseguire. In questo caso la forma trovata è:
ax6+bx3+c=0
E’ un’equazione di sesto grado ma proviamo a considerare y=x3. Allora l’equazione diventa:
ay2+by+c=0
A questo punto risolviamo l’equazione di secondo grado calcolando le soluzioni in y, poi si sostituisce di nuovo come fatto con le biquadratiche.
METODO DI RUFFINI
In questa lezione faremo solo un breve accenno a questa regola, visto che abbiamo deciso di dedicarvi una lezione specifica. Per approfondimenti, infatti, ti rimandiamo ai nostri appunti sulla regola di Ruffini per la divisione di polinomi. In maniera molto sintetica, data un’equazione di grado superiore al secondo:
axn+bxn-1+ … +c=0
Si vanno ad analizzare i sottomultipli di c e si verifica quali di questi rappresentano uno zero del polinomio. Cosa vuol dire? Facciamo un esempio pratico:
x3-x+6=0
E’ un’equazione di terzo grado dove il termine noto è 6. I suoi sottomultipli sono ±1 ±3 ±2 ±6. Se provo a sostituire uno di questi al posto della x mi esce 0=0. Quali di questi? Si va per tentativi:
Da notare come al posto del termine al quadrato, che manca nell’equazione di terzo grado della traccia, abbiamo inserito uno 0 nel primo rigo. Se non ti è chiaro come è stato svolto il calcolo il tabella, da un’occhiata veloce alla lezione sul metodo di Ruffini.
A questo punto abbiamo scomposto il polinomio da: x3-x+6=0 2 → (x+2)(x2-2x+3)=0
Ci siamo ricondotti ai casi precedenti, per cui si applica la legge dell’annullamento del prodotto e si arriva rapidamente alla soluzione.
EQUAZIONI RECIPROCHE
Meritano un discorso di approfondimento le equazioni reciproche, così definite perché hanno dei coefficienti uguali (o opposti). La definizione dice che un’equazione reciproca è un’equazione di grado superiore al secondo in cui sono uguali o opposti i coefficienti equidistanti dal centro dell’equazione. Cioè si presenta nella formula:
ax3+bx2+bx+a=0 oppure ax3-bx2+bx-a=0
Se si tratta di un’equazione di terzo grado, come nella forma generica che ti abbiamo mostrato, allora sicuramente l’equazione è divisibile per x=1 (se i coefficienti sono opposti) oppure per x=-1 (se i coefficienti sono uguali). Quindi possiamo risolvere immediatamente con Ruffini. Nel caso in cui ci sia da risolvere un equazione di quarto grado, non è detto che ciò sia vero, per cui è consigliabile procedere seguendo in maniera rigorosa il metodo di Ruffini.
In realtà ci sarebbe un metodo alternativo, forse un po’ più laborioso per risolverle, ma per quello vi rimandiamo alla lezione di approfondimento sulle equazioni reciproche.
Criteri di divisibilità
– come e quando i numeri interi sono divisibili
I criteri di divisibilità indicano la possibilità che un certo numero intero possa essere diviso per un altro.
Si tratta di un concetto che viene in genere affrontato alle Scuole Primarie, ma che è opportuno riprendere anche quando si iniziano le Scuole Secondarie. Il criterio di divisibilità può essere applicato ad esempio nel calcolo del minimo comune multiplo e nella riduzione di fattori in numeri primi.
La definizione non lascia spazio a dubbi. Attraverso i criteri di divisibilità riusciamo a capire se un numero è divisibile per un altro. Praticamente come facciamo a capire se un numero è divisibile per 2, per 3, per 5, …? Usando propri i criteri di divisibilità. Nella matematica classica ne sono specificati tanti. In questa guida vediamo i più importanti che è bene ricordare.
NUMERI DIVISIBILI PER 2
Un numero è divisibile per 2 quando è una cifra pari o se finisce in 0.
Esempi:
10 è divisibile per 2 perché finisce con lo zero, infatti 10:2=5;
24 è divisibile per 2 perché è pari, infatti 24:2=12:
11 non è divisibile per 2 perché è dispari. Infatti 11:2 non fa un numero intero.
Radicali doppi
– la formula per risolvere i radicali quadratici doppi con esercizi svolti e da svolgere
Si chiamano radicali quadratici doppi, o semplicemente radicali doppi, quelle espressioni contenenti una radice e nel radicando una somma o una differenza tra un numero e una radice. La forma generica in cui puoi trovare una radice doppia è:
LA PRIMA OPERAZIONE DA SVOLGERE
Prima iniziare a risolvere i radicali doppi è importante fare in modo non ci sia un coefficiente davanti la radice interna. Cioè la “b” delle formule in alto non va bene lì dov’è. Quindi la prima operazione è quella di portare il coefficiente sotto radice. Come? Inserendolo al quadrato con il simbolo “per” all’interno della radice. Facciamo subito un esempio con un esercizio tipo:
√(11-6√2)
In questo caso il 6 va inserito all’interno della radice. Lo si eleva al quadrato e lo si mette sotto radice:
=√[11-√(36·2)]=
=√(11-√72)
A questo punto siamo pronti per applicare la formula per risolvere le radici doppie.
FORMULA RADICALI DOPPI
La formula risolutiva per i radicali quadratici doppi è:
CONSIDERAZIONI
Lo vedi il simbolo “più” “meno” ? Significa che la formula si può risolvere sia con il più che con il meno. Cioè se nel tuo esercizio sui radicali doppi hai un segno più, considererai nella formula il segno “+” tra le due radici. Se invece nel tuo esercizio c’è il segno “-“, allora nella formula andrai a considerare il segno meno. Facile vero?
UN CONSIGLIO PER RICORDARLA
Così a prima vista la formula ti può sembrare difficile da ricordare, ma in realtà può facilitare la memorizzazione ricordandoti che si tratta della somma algebrica (cioè somma o differenza) di due radici.
All’interno di ogni radice trovi il primo termine sommato con una seconda radice interna all’interno della quale c’è il primo termine al quadrato meno il radicando della seconda radice. Il tutto fratto 2. Questa radice va sommata o sottratta ad una seconda radice, identica alla prima, ma con il segno interno cambiato.
QUANDO APPLICARE LA FORMULA DEI RADICALI DOPPI
La condizione fondamentale senza la quale gli esercizi non potrebbero essere svolti è che la quantità nel radicando sia maggiore o uguale di zero. Questo significa che se a2-b≥0 l’esercizio può essere risolto, altrimenti ti ritroveresti con una radice negativa, impossibile da svolgere nei numeri reali.
E’ importante inoltre che i numeri a e b siano dei quadrati perfetti, cioè la loro radice quadrata deve essere un numero intero. Se questa condizione non viene rispettata allora il metodo dei radicali doppi che stiamo vedendo in questa lezione potrebbe solo complicarti le cose.
ESERCIZIO SVOLTO
Torniamo dall’esempio precedente che avevamo interrotto a metà:
√(11-6√2)
Senza ripetere i passaggi fatti prima possiamo dire che questa radice è uguale a:
=√(11-√72)
Applichiamo la formula dei radicali doppi con la sottrazione:
Come hai potuto vedere non è difficile semplificare i risultati doppi e ridurli in una forma più semplice ed accessibile. Ti consigliamo comunque di fare qualche esercizio così da verificare che ti sia effettivamente tutto chiaro. Verifica di essere in grado di applicare la formula svolgendo i seguenti esercizi.
RADICALI DOPPI ESERCIZI
Trasforma i seguenti radicali quadratici doppi nella somma algebrica di radicali semplici, quando possibile.
Somma di radicali
– come si fa l’addizione tra radici?
LA SOMMA DI RADICALI? E’ COME LA SOMMA DI MONOMI
Prima di addentrarci nel pieno dell’argomento, è necessario fare un piccolo ripasso. Ti ricordi come si fa la somma tra monomi? Riassumendo brevemente avevamo detto che, nell’espressione:
2xy+4x+3x3y+3x
i termini 4x e 3x hanno la stessa parte letterale, per cui si definiscono monomi simili. Si può fare la somma algebrica (cioè addizione o sottrazione) solo tra monomi simili.
COME SI FA LA SOMMA DI RADICI
Le somme di radicali applicano praticamente lo stesso principio. Si individuano dei termini simili, ma questa volta non la x cioè la lettera in comune, ma la radice. Il segreto sta quindi nell’individuare i radicali da sommare considerando solo quelli che hanno stessa radice.
Per stessa radice intendiamo stesso indice di radice e stesso radicando.
La somma di due radici è una nuova radice che ha stessa radice e somma dei coefficienti
In parole povere basta sommare i coefficienti accanto ad ogni radice simile per ottenere il risultato concreto. E’ come fare un’addizione astratta tra due oggetti: 1 tavolo + 2 tavoli fa 3 tavoli. Ma 1 tavolo + 1 sedia non si possono sommare… Abbiamo reso l’idea?
Vediamo subito qualche esempio concreto.
ESEMPIO 1)
√2+√3
Radical due e radical tre sono due radici differenti per cui non possono essere sommati. Ti chiederai come si può semplificare questa espressione? In nessun modo. Non ci sono infatti altri passaggi da fare, l’esercizio non può essere risolto.
ESEMPIO 2)
√2+√3+5√2
In questo caso ci sono tre somme di radicali, ma dei tre addendi solo due hanno una radice in comune. Considerando che il primo elemento puoi scriverlo anche come 1√2 e che l’ultimo è 5√2, ti rendi perfettamente conto che hanno la radice di 2 in comune. In questo caso e solo tra questi due elementi è possibile calcolare la somma tra radici. Come?
1√2+5√2= ?
Il primo passo è quello di fare un raccoglimento a fattor comune dei termini in comune, cioè √2. Si ottiene quindi:
=√2(1+5)=
In questo modo si può eseguire la somma tra i due numeri (1+5)=6 per ottenere quindi
=√2(6)=
A questo punto mettiamo in ordine il numero appena trovato. Si mette prima il numero intero e poi dopo la radice, per cui il risultato è:
6√2
Tornando quindi nell’esercizio precedente:
√2+√3+5√2=√3+6√2
A questo punto non si può più procedere oltre e ci fermiamo. Non si possono fare altre somme tra radicali essendo radice di 2 e radice di 3 diverse.
ESEMPIO 3)
Prova a svolgere la seguente somma di radici:
√2+√8
La prima cosa che ci viene in mente è dire che l’addizione non si può svolgere perché le due radici non sono uguali. L’indice di radice è lo stesso, ma cambia il radicando. Quindi la somma tra radici non si può fare. Vero? SBAGLIATO! Perché è fondamentale che le radici non siano riducibili. La radice di 8 infatti può essere trasformata in 2√2. Come abbiamo fatto? Segui i passaggi:
√8 = √(4·2)=
Al posto di 8 abbiamo semplicemente scritto 4·2. Andiamo avanti dividendo le due radici…
√(4·2)=√4·√2=
A questo punto sappiamo che la radice di 4 fa 2, per cui otteniamo:
=√4·√2=2√2.
Tornando all’esercizio sulla somma di radici, abbiamo:
√2+√8= √2+2√2
Come puoi ben vedere, ora ci sono due radici “simili” cioè che possono essere sommate. Il risultato sarà quindi:
√2+2√2=3√2.
ESEMPIO 4)
Proviamo a risolvere un’espressione algebrica contenente una somma di radicali fratti.
√(25/36) + (√4)/6=
La prima operazione è verificare se ci sono delle radici che possono essere semplificate.
=5/6 + 2/6 =7/6
Per concludere questa lezione ti ricordiamo che nell’eventualità in cui dovesse presentarsi una radice al denominatore non direttamente risolvibile, è necessario procedere con la tecnica della razionalizzazione dei radicali.
Moltiplicazione tra radicali
– come si fa il prodotto di due radici?
MOLTIPLICAZIONE TRA RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE
Vuoi un esempio concreto? Dobbiamo risolvere la moltiplicazione tra due radici quadrate. In questo caso la regola è molto semplice:
Cosa abbiamo fatto in questo esercizio? La moltiplicazione dei radicandi e poi abbiamo estratto il 3 dalla radice quadrata.
PRODOTTO DI RADICI CON INDICE DIVERSO
La moltiplicazione tra radicali diventa leggermente più difficile nel caso in cui gli indici di radice sono differenti. L’operazione preliminare da eseguire in questo caso è quella di trasformare le radici facendo in modo che abbiano lo stesso indice. Per fare ciò, ecco i passaggi che devi seguire:
# calcola il minimo comune multiplo dei due indici di radice. Se hai ad esempio una radice quadrata e una cubica, allora il mcm è 6.
# le due radici vengono trasformate ed entrambe avranno come indice il mcm e lo stesso argomento, elevato però al rapporto tra mcm e indice di radice.
# a questo punto si tratta di risolvere il caso precedente, cioè una moltiplicazione di radicali con lo stesso indice.
Esempio:
E’ molto più facile mostrarti come si fa attraverso un esercizio svolto. La traccia è sempre la stessa. Calcolare la moltiplicazione tra le radici:
Come abbiamo detto il primo passo è trasformare le radici in modo che abbiano lo stesso indice e ricondurci ad una moltiplicazione di radicali con stesso indice. Per fare ciò si calcola il minimo comune multiplo tra i due indici: 2 per la prima radice, 3 per la seconda radice. Quindi mcm=6. Poi si calcola:
Cosa abbiamo fatto negli ultimi passaggi? Il 36 è diventato 6 elevato al quadrato e poi abbiamo semplificato l’indice di radice con l’esponente.
ESERCIZI SVOLTI
Oltre agli esempi svolti, che mostrano come calcolare la moltiplicazioni tra radici nei due casi, vogliamo mostrarti qualche caso concreto leggermente più impegnativo. Vediamo allora come comportarci di fronte ad un vero esercizio sul prodotto di radicali.
Esercizio 1)
Il primo esercizio è un’ottima occasione per ripassare anche il prodotto di una somma per una differenza. L’esercizio ci chiede non solo di calcolare la moltiplicazione tra radici, ma semplicemente di risolvere questa espressione algebrica:
(2+√5)(2-√5)
Non è necessario eseguire tutti i passaggi della moltiplicazione tra polinomi. E’ sufficiente moltiplicare i termini uguali tra loro e i segni delle due parentesi.
Esercizio 2)
Con il secondo esercizio facciamo anche un ripasso del quadrato di binomio applicato alle radici.
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