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Data 12 novembre 2019

ALGEBRA – 3

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Esercizi ed espressioni con le potenze svolti e da svolgere

 

ESERCIZI SULLE POTENZE SVOLTI

Le prime espressioni con le potenze che vedremo, e che risolveremo assieme, non sono altro che delle moltiplicazioni tra numeri fratti che hanno lo stesso esponente. Per cui si risolvono in pochi semplici passaggi. Vediamo praticamente quindi come risolvere gli esercizi con le proprietà delle potenze.

ESEMPIO 1

1-

 

In questo primo esercizio iniziamo dando un’occhiata alla traccia. Cosa stiamo cercando? Innanzitutto se abbiamo divisioni o moltiplicazioni di potenze con la stessa base o lo stesso esponente. Trovandoci di fronte a questa situazione, infatti, il problema si risolve in maniera immediata.

 

Nella nostra espressione, abbiamo moltiplicazioni e divisioni di potenze con uguale esponente. Risolviamo così applicando direttamente le proprietà delle potenze, attraverso cioè la somma algebrica degli esponenti. Risolviamo la prima moltiplicazioni e poi la divisioni.

2-

L’esercizio è stato quindi risolto in pochi semplici passaggi. Forse l’unica operazione che poteva mettere in difficoltà uno studente poco attento era la divisione tra frazioni – si ricorda, secondo quanto visto nella lezione sulle operazioni con i numeri relativi, che questa si risolve trasformando la divisione in moltiplicazione e “capovolgendo” la seconda frazione.

 

ESEMPIO 2

Passiamo ora al secondo esercizio svolto:

3-

Il problema che stiamo risolvendo è praticamente un’espressione algebrica al cui interno compaiono anche le potenze. Si risolve sempre allo stesso modo: diamo priorità alle parentesi tonde, quindi risolviamo le operazioni al loro interno e solo poi pensiamo alle potenze.

In questo caso svolgiamo le addizioni in parentesi:

4-

Nel secondo passaggio dell’esercizio abbiamo invertito numeratore e denominatore delle frazioni, così da trasformare le due divisioni in parentesi quadra in moltiplicazione.

Attenzione al -2 elevato al quadrato. L’elevazione a potenza riguarda solo il numero e non il segno, altrimenti avremmo trovato (-2) al quadrato. Questo significa che il meno per ora non resta coinvolto nelle varie operazioni.

Ora posso trasformare le divisioni in parentesi quadra in moltiplicazioni ed eseguire i calcoli.

5-

ESERCIZIO 3

Passiamo ora al terzo esercizio sulle proprietà potenze. E’ un’espressione che può spaventare per l’uso delle parentesi graffe, ma in realtà è più semplice di quello che si può pensare.

6-

Attenzione agli esercizi con le potenze con “trabocchetto“. Lo studente disattento svolgerà questo esercizio con le proprietà delle potenze, dimenticandosi che queste in realtà valgono solo per moltiplicazioni e divisioni. In questo esercizio, invece, dobbiamo risolvere addizioni e sottrazioni, per cui le proprietà non possono essere applicate.

Per questa ragione, non potendo fare diversamente, iniziamo a risolvere le potenze con la calcolatrice.

7-

ESERCIZI DA RISOLVERE

A questo punto vi lasciamo una serie di esercizi sulle potenze da risolvere a cui allegheremo in basso delle piccole considerazioni e commenti per aiutarvi, come sempre, a risolverli.

8-

9-

CONSIGLI PER RISOLVERE GLI ESERCIZI SULLE POTENZE

Nelle tracce che vi abbiamo proposto sono un sunto di quanto appreso fino a questo momento. Il livello di difficoltà è basso, basta solo ricordare che le proprietà delle potenze possono essere applicate solo quando siamo di fronte a potenze che si moltiplicano o dividono ed hanno stessa base o esponente. Se mancano queste condizioni, il consiglio è di risolvere gli esercizi con la calcolatrice.

 

Divisioni tra polinomi

 – come si fanno?

 

Per comprendere questa lezione, soprattutto la parte che riguarda le lettere, è importante conoscere le proprietà delle potenze. In particolare, quando divido due elementi con coefficienti letterali, gli esponenti si sottraggono. Vedremo comunque meglio negli esercizi questo aspetto.

La regola generale da tener presente per calcolare la divisione di polinomi è:

A(X):B(X)=Q(X)×B(X)+R(X)

Quindi facendo dividendo i due polinomi A e B si ottiene il polinomio Q detto quoziente a cui va moltiplicato il divisore B e si somma infine il resto R. Vediamo nella pratica come si fanno i calcoli.

 

DIVISIONI TRA POLINOMI E MONOMI

La divisione polinomiale più semplice riguarda un polinomio da dividere per un monomio. In questo caso semplicemente semplicemente si applica la proprietà distributiva della divisione. Così come siamo stati abituati con le moltiplicazioni tra polinomi, è sufficiente dividere ciascun termine del polinomio per il monomio.

 

ESEMPIO 1

Vediamo subito un esempio su come si fa la divisione:

10-

COME LO ABBIAMO RISOLTO:

1) Il primo termine del polinomio va diviso per il monomio divisore → (8a5b) : (-4a²b) = -2a³

2) Si passa a questo punto al secondo termine → (-12a4b2 ) : (-4a²b) = +3a²b

3) Si divide l’ultimo termine del polinomio → (4a³b³): (-4a²b) = -ab²

 

ESEMPIO 2

In un secondo esercizio vediamo come si fanno le divisioni tra polinomi con frazioni. Non cambia nulla, per risolvere eventuali somme è importante solo che tu ricordi come si calcola il minimo comune multiplo.

11-

E’ importante, quando devi risolvere un esercizio con le frazioni, che fai prima la divisione tra i segni, poi tra i numeri (abbiamo visto nella lezione sulle operazioni tra numeri relativi che si trasforma in divisione “capovolgendo” il divisore) e infine le lettere.

 

DIVISIONE DI POLINOMI: SPIEGAZIONE PASSO PASSO

Questa regola possiamo dividerla in due parti: le divisioni tra polinomi con resto e senza resto. Si procede innanzitutto ordinando il polinomio in base al suo grado secondo le potenze decrescenti. Vediamo un esempio assieme commentando passo passo:

12-

OPERAZIONI SVOLTE:

6a³ : (-3a²) = -2a

Il risultato della prima operazione va in basso a destra (-2a) e fa parte del quoziente, cioè del risultato finale da ottenere. A questo punto moltiplichiamo questo valore ottenuto (-2a) per i tre monomi del divisore (-3a al quadrato +a e -1) e il risultato lo scriviamo sulla sinistra (cambiato di segno) sotto il polinomio (attenzione a mettere ben in colonna i termini con lo stesso grado).

13-

OPERAZIONI SVOLTE

(-2a) · (-3a²) = +6a² → cambio il segno → -6a²

(-2a) · (+a) = -2a² → cambio il segno → +2a²

(-2a) · (-1) = +2a → cambio il segno → -2a

A questo punto sommo algebricamente i termini in colonna delle due righe, per ottenere:

14-

OPERAZIONI SVOLTE

+6a³-6a³ = 0

 -5a²+2a²=-3a²

+3a-2a=+a

Riporto il -1 nell’ultima riga

 

Piccolo trucchetto per risolvere le divisioni:  il primo termine risultante dalla somma algebrica sia sempre pari a 0! Se non dovesse trovarsi, c’è qualche errore!

A questo punto si riparte nuovamente come dall’inizio. Cioè si divide il primo termine del nuovo polinomio (-3a al quadrato) per il primo termine del polinomio divisore (-3a al quadrato) … Prosegui da solo e vedrai che alla fine il risultato che otterrai sarà:

15-

Per cui il quoziente Q=-2a+1, mentre il resto R=0.

Come puoi vedere dalla figura il resto della divisione tra polinomi in questo caso è zero. Se avessimo trovato qualche monomio nella colonna di sinistra allora il resto sarebbe stato diverso da zero. In questo caso la divisione si dice esatta proprio dà resto nullo.

 

ESERCIZIO SVOLTO

Quella che stiamo per risolvere assieme è una divisione tra polinomi con coefficienti letterali. Ricordati che una delle tue lettere è l’incognita (nel nostro esempio a) mentre l’altra va trattata come se fosse semplicemente un numero. Vediamo come si risolve la divisione tra questi due polinomi:

16-

Due cose importanti che non abbiamo ancora specificato:

 

1) E’ necessario, come detto, mettere in ordine il polinomio con grado decrescente. La cosa importa è che se il grado manca, come nell’esempio, occorre mettere uno 0. Senza questo trucchetto, la regola delle divisioni tra polinomi non funziona e il risultato darà sempre errore.

2) Quando finisce la divisione? La divisione tra polinomi finisce quando nello spazio riservato al resto  c’è un monomio (o un polinomio) con grado inferiore al divisore. In questo caso è uscito -b alla quarta. Considerato che il polinomio è ordinato in base alla lettera, il grado è quindi 0. Minore del grado del divisore (a+b) che rispetto alla lettera a ha grado 1. Per cui la divisione finisce qui.

 

Volendo fare la prova della divisione appena svolta è necessario moltiplicare il quoziente per il divisore e si somma a questo il resto: si deve ottenere il dividendo.

Un modo alternativo per risolvere le divisioni tra polinomi è con Ruffini. Analizzeremo tuttavia il metodo di Ruffini in un’altra lezione. Per ora è preferibile continuare a fare pratica con qualche esercizio sulle divisioni tra polinomi.

 

ESERCIZI DA RISOLVERE

Eseguire le seguenti divisioni:

17-

 

Differenza di quadrati

 – come si esegue la scomposizione in modo corretto

 

La differenza di quadrati è uno dei più ricorrenti metodi di scomposizione di polinomi. Attraverso questa regola è possibile scomporre un binomio composto da una differenza di due quadrati in un prodotto di due binomi molto simili tra loro.

Negli esercizi capiterà molto spesso di dover calcolare una differenza di quadrati, per cui si tratta di una regola molto importante anche se estremamente semplice.

 

COME SI FA LA DIFFERENZA DI QUADRATI?

La premessa è doverosa in questa lezione. TI ricordi quando abbiamo parlato del prodotto di una somma per una differenza? Ti consentiva di risolvere in maniera semplice la moltiplicazione (a+b)(a-b), cioè due polinomi identici a meno di un segno.

Ebbene questa lezione sulle scomposizioni di polinomi sarà particolarmente semplice perché faremo lo stesso calcolo ma al contrario. Vediamo una prima definizione che puoi trovare su qualsiasi libro

18-

La differenza di due quadrati si scompone nel prodotto della somma per la differenza della basi.

 

Quindi, in parole povere, per calcolare la differenza di quadrati ti basta scrivere lo stesso binomio in parentesi e aggiungere a questa una seconda parentesi in cui semplicemente si andrà a cambiare il segno.

Domanda: E’ possibile risolvere la differenza di quadrati come se fosse un quadrato di binomio?

Risposta: Falso. Non è possibile perché manca il doppio prodotto. In quel caso puoi andare a leggerti come risolvere il trinomio caratteristico.

 

DIFFERENZA DI QUADRATI – ESERCIZI SVOLTI

ESERCIZIO 1

4-9x²

Per risolvere questo primo esercizio, procediamo lentamente e facciamo tutti i passaggi. Lo step iniziale è di identificare la differenza di quadrati. C’è un segno meno per cui si tratta realmente di una sottrazione e i due monomi che si sottraggono sono “radicabili”, cioè puoi fare la radice quadrata a mente senza problema e non si generano virgole o cose strane. Si tratta quindi di un caso semplice. Ecco come risolverlo.

 

1) Riscrivo lo stesso binomio, facendo la radice dei due elementi che si sottraggono. Quindi in pratica sto calcolando radice di 4 meno radice di 9 x al quadrato: (2-3x)

2) Alla fine della prima parentesi metterò una seconda parentesi con lo stesso binomio ma con il segno cambiato: (2-3x) (2+3x)

Per cui possiamo dire che:

4-9x² =(2x-3)(2x+3)

 

ESERCIZIO 2

1/25 x² – y²

 

Abbiamo iniziato a complicare gli esercizi introducendo una frazione. Non lasciarti però spaventare. Come si fa la differenza di quadrati con frazioni? Anche in questo caso facciamo radice del primo e radice del secondo e le inseriamo in due parentesi diverse con il segno cambiato. Poiché la radice di 1/25 è 1/5, allora possiamo scrivere:

(1/5 x + y)(1/5 x – y)

 

ESERCIZIO 3

(a+b)²-c²

La tentazione in questo caso è quella di andare a risolvere il quadrato di binomio. Ciò però non ci permetterà di scomporre il polinomio nel migliore dei modi e l’esercizio sarà sbagliato. Pensiamo però alla regola della differenza di quadrati: c’è un primo termine al quadrato e un secondo termine al quadrato.

Il primo termine non è altro che a prima parentesi, mentre il secondo termine è la c². Per andremo a fare la radice di (a+b)² e la radice quadrata di c². Ecco quindi che l’esercizio può essere sviluppato come:

[(a+b)-c][(a+b)+c] → (a+b-c)(a+b+c)

 

ESERCIZIO 4

a²-(b+c)²

Il caso è praticamente identico all’esercizio precedente. Non ci dilunghiamo quindi in ulteriori spiegazioni e risolviamo direttamente.

a²-(b+c)² = [a-(b+c)][a+b+c] = (a-b-c)(a+b+c)

 

L’unica cosa su cui devi stare attento è il segno da invertire in questo caso. Il segno è sempre quello tra i due termini al quadrato. Se avessi cambiato il segno all’interno della parentesi (b+c) avrei sbagliato.

 

ESERCIZIO 5

a²+2ab+b²-4-4x-x²

In questo caso la traccia non ci fornisce direttamente i due termini al quadrato, ma proviamo ad analizzare i vari pezzi. a²+2ab+b² non è altro che (a+b)². Nella seconda parte ho invece, raccogliendo il segno meno, -(4+4x+x²) che possiamo riscrivere come -(x+2)².

Quindi l’espressione diventa:

(a+b)²-(x+2)²

A questo punto abbiamo una differenza di quadrati due binomi. Il caso è del tutto analogo ai due precedenti, per cui possiamo risolviamo direttamente senza dilungarci:

= [(a+b)-(x+2)] · [(a+b)+(x+2)] =

(a+b-x-2)(a+b+x+2)

 

ESERCIZI CON SOLUZIONI

Gli esercizi sono particolarmente semplici per cui vi consigliamo di risolverli tutti.

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Somma di due cubi

 – la regola per la scomposizione

 

La somma di cubi è una scomposizione che appartiene alla famiglia dei prodotti notevoli. Si tratta di una regola che permette di scomporre la somma di due cubi nel prodotto di un binomio di primo grado per un trinomio di secondo grado.

In questa lezione vedremo come si scompone la somma di cubi del tipo:

x³+a³

Questo tipo di scomposizione si incontra piuttosto frequentemente negli esercizi di algebra, ma anche nei programmi di matematica più avanzati. E’ importante quindi impararla a memoria e vedremo proprio il trucco per memorizzarla senza fatica. Vediamo intanto subito qual è la formula da usare.

 

SOMMA DI CUBI – LA FORMULA

Dato il binomio composto dall’addizione di due cubi x³+a³, vale la regola seguente:

20-

La somma di cubi è pari al prodotto di un binomio somma di primo grado per un trinomio di secondo grado a segni alternati.

Il nostro consiglio, come detto, è di imparare la regola a memoria per evitare di doverla ricavare ogni volta usando l’espressione che vedremo nella dimostrazione. C’è una logica di fondo per memorizzare la formula. Quale? Eccola…

 

IL TRUCCO PER RICORDARLA

E’ possibile scomporre la somma di due cubi (x³+a³) scrivendo un binomio identico ma senza esponenti (x+a). A questo va moltiplicato un trinomio molto simile al quadrato di binomio negativo ma senza il 2 del doppio prodotto (x²-ax+a²). L’unica differenza con la differenza di cubi è il segno meno nel trinomio.

Proviamo a mettere in pratica questa facile regola:

x³+8

 

– riscriviamo il binomio senza usare gli esponenti (x+2)

– aggiungiamo il simbolo della moltiplicazione

– scriviamo il quadrato del binomio di primo grado (con il segno meno però!) appena ricavato, ma senza il 2 del doppio prodotto (x²-2x+4)

 

Per cui la somma di cubi x³+8=(x+2)·(x²-2x+4)

 

GLI ERRORI DA EVITARE

Un piccolo consiglio: attenzione a non confondere la somma di due cubi con la somma di quadrati, che invece non si può scomporre. Evita di confonderla anche con il cubo di un binomio del tipo (x+a)³. Nel nostro caso infatti, sono i singoli monomi ad essere al cubo e non l’intero binomio.

 

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA

Per dimostrare come si scompone la somma di due cubi, semplicemente eseguiamo la moltiplicazione di polinomi che compare al secondo membro della formula vista.

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SCOMPOSIZIONE DI SOMMA DI BINOMI DI GRADO DISPARI

La regola vista sopra può essere scomposta anche ai casi in cui l’esponente non sia 3, ma anche 5, 7 …. L’importante è che sia di grado dispari che si tratti di una somma. Se infatti il grado fosse pari non sarebbe possibile eseguire la scomposizione.

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Per scomporre la somma di due potenze ad indice dispari si scrive un prodotto in cui il primo fattore è lo stesso binomio ma di grado 1. Il secondo fattore è invece dato dalla somma algebrica dei due monomi inseriti il primo con indice di potenza decrescente (puoi notare che si parte con x4, poi c’è x³, …) e il secondo con indice di potenza crescente (si parte da a0, poi a1, a2, …).

 

ESERCIZI SVOLTI SULLE SOMME DI CUBI

Scomporre i seguenti binomi con le regole viste in questa lezione.

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Differenza di cubi

–  scomposizione ed esercizi

 

La differenza di cubi è un tipo di scomposizione appartenente alla famiglia dei prodotti notevoli. Grazie a questa semplice regola è possibile scomporre la differenza tra due cubi nel prodotto di un binomio di primo grado per un trinomio di secondo grado.

Vedremo come si scompone la differenza di due cubi del tipo:

x³-a³

E’ una regola molto utilizzata durante le espressioni e gli esercizi e, per quanto possa sembrare difficile, in realtà vedremo che è molto facile imparare a memoria come si scompone la differenza di cubi.

 

SCOMPOSIZIONE CON DIFFERENZA DI CUBI

Come già detto sopra, consideriamo la differenza di due cubi generici x³-a³. Per fare la scomposizione la formula da seguire è la seguente:

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La differenza di cubi è pari al prodotto di un binomio di primo grado per un trinomio di secondo grado. Il nostro consiglio è di impararla a memoria imparando la logica che c’è dietro piuttosto che provare a ricavarla ogni volta.

 

COME RICORDARLA – IL TRUCCO PER GLI STUDENTI

Qual’ è la regola che c’è dietro questa formula? Prova ad osservare il secondo membro. Abbiamo il prodotto tra due polinomi. Il primo è un binomio identico al primo membro ma senza gli esponenti. Il secondo invece è un trinomio molto simile ad un quadrato di binomio ma non c’è il 2 con il doppio prodotto e i segni sono tutti positivi.

Proviamo a mettere in pratica questa regola facendo un esempio:

 

x³-8 → Poiché 8 è pari a 2³, allora possiamo vedere la traccia come x³-2³. Applichiamo a questo punto la formula vista:

x³-a³=(x-a)(x²+ax+a²) dove ovviamente a=2

x³-2³ = (x-2)(x²+2x+4).

 

Attenzione a non confondere la differenza di cubi con il cubo di un binomio o con la differenza di quadrati. In questo caso abbiamo delle potenze con indice dispari.

 

DIMOSTRAZIONE DELLA DIFFERENZA DI CUBI

Ti stai chiedendo come si arriva ad ottenere la formula che abbiamo visto? Semplicemente proviamo a risolvere il prodotto che compare al secondo membro dell’equazione:

(x-a)(x²+ax+a²) =

= x³+ax²+a²x–ax²-a²x-a³ =

Eliminiamo tutti i termini opposti e alla fine otteniamo:

= x³-a³

 

DIFFERENZA DI BINOMI AD INDICE DISPARI

Anche se l’esponente non è 3, è possibile fare la scomposizione di polinomi: la cosa importante è che l’indice della potenza sia dispari. Vediamo subito le formule per scomporre un binomio:

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Possiamo quindi sintetizzare la regola per la differenza di cubi e più in generale per la scomposizione di binomi di grado dispari come:

La differenza di potenze con identico esponente dispari si scompone nel prodotto della differenza delle basi per un polinomio di 1 grado inferiore, ordinandolo così che abbia le potenze decrescenti del primo monomio e crescenti del secondo, i segni sono tutti positivi.

 

ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI

Eseguire le scomposizioni delle seguenti differenze di cubi.

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ESERCIZI DA RISOLVERE

Gli esercizi che ti proponiamo di risolvere non hanno riportato la soluzione intenzionalmente. Sono elencati non solo delle sottrazioni di cubi, ma anche le somme di cubi (trovi la lezione a questo link). Sono molto semplici per cui mettiti alla prova come se stessi affrontando un compito in classe.

Scomporre in fattori le seguenti somme e differenze di cubi

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Proprietà dei logaritmi

– tabella, esercizi e teoremi

 

Le proprietà dei logaritmi sono delle regole che permettono di svolgere le quattro operazioni applicate ai logaritmi. In questa lezione ne vedremo una spiegazione completa con alcuni facili esercizi per risolvere ogni dubbio o problema.

PROPRIETÀ DEI LOGARITMI TABELLA

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Prima di affrontare nel dettaglio le varie regole dei logaritmi riassunte in questa tabella, è importante saper riconoscere che cos’è la base e che cos’è l’argomento di questo particolare operatore matematico. Per questa ragione vediamo una spiegazione in breve sulla definizione di logaritmo.

 

DEFINIZIONE DI LOGARITMI

L’argomento di oggi è uno dei più odiati dagli studianti, che trovano le proprietà dei logaritmi difficili e vanno spesso in confusione con le varie regole. Iniziamo dando una facile definizione di logaritmi.

 

Che cosa sono i logaritmi? Per capirlo partiamo dall’equazione esponenziale più semplice. Per calcolare l’incognita in questa semplice equazione si passa al logaritmo di n in base b.

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Per memorizzare questa regola puoi ricordarti che la base dell’esponente diventa la base del logaritmo. Ne deriva la seguente definizione di logaritmo:

Dicesi logaritmo di un numero positivo n, rispetto ad una base b, il numero x che si deve dare come esponente alla base b per ottenere un numero n.

 

Da questa spiegazione ricaviamo subito alcune proprietà dei logaritmi:

 

1) Esistono solo logaritmi di numeri positivi.

2) Il logaritmo di 1 fa 0. Questo perché l’esponenziale con indice di potenza 0 dà come risultato 1.

3) Il logaritmo della base logaritmica è 1. Detto in parole povere quando ho un logaritmo con base ed argomento uguali posso scrivere direttamente 1.

4) Il logaritmo della base elevata ad un certo esponenziale è uguale a quell’esponente. Una spiegazione più semplice? Quando ho logaritmo con base ed argomento uguale con un esponente, il risultato è proprio pari all’esponente.

 

REGOLE E PROPRIETÀ DEI LOGARITMI

Le 4 regole che stiamo per analizzare saranno fondamentali non solo per risolvere i più facili esercizi sui logaritmi, ma anche per le equazioni logaritmiche che vedremo nelle prossime lezioni.

 

PRODOTTO DI LOGARITMI

Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori

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Il prodotto di logaritmi, o meglio la moltiplicazione tra gli argomenti, si risolve scrivendo una somma di logaritmi con la stessa base.

Per la dimostrazione della proprietà dei logaritmi, scriviamone due generici e applichiamo subito la definizione:

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ESERCIZI FACILI SUI LOGARITMI

Proveremo a risolvere solo esercizi più facili mentre rimanderemo quelli più difficili ad una esercitazione interamente dedicata all’argomento.

Applica le proprietà dei logaritmi per risolvere le seguenti espressioni algebriche

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Triangolo di Tartaglia

–  spiegazione ed esempi

 

Il triangolo di Tartaglia è una tabella a forma di piramide contenente dei numeri naturali. Questi non sono altro che i coefficienti binomiali. Il triangolo di Tartaglia è ha una dimensione praticamente infinita (come capirai a breve) ed è di fondamentale importanza per risolvere l’elevazione a potenza di un binomio.

 

A CHE SERVE IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA?

Nella lezione sul quadrato di un binomio abbiamo visto che (a+b)² mi genera un trinomio a²+2ab+b². I coefficienti di quest’ultimo sono i tre numeri: 1 – 2 – 1. Il triangolo di Tartaglia serve proprio per conoscere in anticipo quali sono questi coefficienti, qualsiasi sia l’indice di potenza. Lo stesso si può dire anche per il cubo di un binomio (a+b)³ porta al polinomio a³+3a²b+3ab²+b³. I coefficienti, che ci ritroveremo quindi nel triangolo di Tartaglia sono 1 – 3 – 3 – 1.

 

Questo ragionamento si può estendere a tutte le potenze, ragion per cui quella che viene considerata Piramide di Tartaglia è potenzialmente infinita. Quindi sostanzialmente il triangolo di Tartaglia ti permette di sviluppare le potenze di binomi senza dover fare tutti i calcoli.

 

COME SI COSTRUISCE IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA?

Partiamo da una semplice considerazione, ovvero che per le regole delle potenze, qualsiasi numero o lettera (inclusi i monomi e i polinomi) elevati a 0, danno come risultato 1.

(a+b)0 → 1

Elevando lo stesso binomio alla 1, invece, otteniamo lo stesso binomio, per cui i coefficienti sono 1 e 1

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A questo punto possiamo proseguire con la costruzione del triangolo di Tartaglia con semplici operazioni aritmetiche. Osserviamo infatti che ogni numero inserito nella nostra piramide è uguale al numero che sta subito in alto sommato a quello che sta in alto immediatamente a sinistra. La regola inoltre prevede che quando c’è casella bianchi si consideri il numero pari a 0. Vediamo praticamente come si fa passo passo:

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Possiamo proseguire in questo modo ed ottenere i coefficienti di tutte le potenze di un binomio. Quella che vi mostriamo ora è la tabella che arriva fino a 7. Ovviamente si può tranquillamente andare oltre, non ci sono limiti. E’ proprio questo il punto di forza di questa regola generale.

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Come hai potuto vedere la spiegazione del Triangolo di Tartaglia è estremamente semplice e necessita di poche somme aritmetiche. Da notare che la prima colonna contiene solo numeri 1 così come la diagonale di questo triangolo rettangolo.

 

COME CALCOLARE LE POTENZE DI UN BINOMIO

A questo punto per calcolare la potenza generica di un binomio la regola è semplicissima: il primo monomio lo si fa iniziare con il grado massimo e lo si decresce di 1 per ogni singolo monomio, mentre il secondo monomio inizia con grado 0 e finisce con il grado massimo.

Per capire meglio come calcolare le potenze, vediamo come si usa il Triangolo di Tartaglia con un esempio:

Risolvere il binomio alla quarta (a+b)4

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Come abbiamo risolto l’esercizio? Dato che il binomio è alla quarta andiamo a considerare i coefficienti della relativa riga sul triangolo (che abbiamo segnato in rosso). Il primo termine avrà quindi quindi coefficiente 1, il secondo 4, il terzo 6, il quarto 4 e l’ultimo 1. Per quanto riguarda le lettere, invece la a avrà da subito grado 4 mentre b grado 0 (infatti non c’è!). Il secondo termine la a avrà grado 3, mentre b grado 1. Il terzo termine avrà coefficiente 6, grado della a 2 e grado di b 2 e così via.

 

ESERCIZI CON SOLUZIONE

Una delle domande che potrebbe porsi lo studente è: ma come si risolvono le potenze con Tartaglia se ho dei monomi negativi? Vediamo subito in un esempio:

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Hai visto che anche con una potenza di un binomio con un segno meno non cambia la regola di Tartaglia: anzi, per evitare di sbagliare, è sufficiente che tu la applichi in maniera rigorosa usando bene le parentesi tonde. Metti ogni monomio all’interno delle parentesi e vedrai che i segni non ti creeranno problemi. Ovviamente per ogni esercizio non c’è bisogno di riscrivere il triangolo da capo, ti basta avere uno schema che puoi consultare ogni volta che dovrai risolvere un esercizio.

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ESERCIZI DA RISOLVERE

Non resta che esercitarti con semplici tracce.

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Da notare che l’ultimo esercizio include una radice quadrata. Se hai ben presente le regole delle radici, non spaventarti e prova a risolvere normalmente l’esercizio. Se segui alla lettera la regola che abbiamo studiato oggi assieme, vedrai che non avrai alcun problema.

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