Numeri divisibili per 2
– quali sono e come si calcolano?
QUALI SONO I NUMERI DIVISIBILI PER 2
Si tratta di un concetto che abbiamo già studiato nella lezione dedicata ai criteri di divisibilità. Innanzitutto possiamo dire che un numero è divisibile per 2 quando è un suo multiplo.
Il criterio di divisibilità per 2 è uno dei più semplici e si studia già nella scuola primaria. Basta semplicemente verificare che il numero sia pari.
Se è pari, il numero è divisibile per 2.
Questo significa che l’ultima cifra del numero da analizzare deve essere 0, 2, 4, 6, 8.
Esempio:
Verificare che 2.035 appartenga all’insieme dei numeri divisibili per 2.
Soluzione
Poiché l’ultima cifra è 5, dispari, si può concludere rapidamente che il numero non è divisibile per 2
SECONDO MODO PER VERIFICARE LA DIVISIBILITÀ PER 2
Il primo metodo visto è rapido ed estremamente semplice: basta verificare che il numero sia pari. Se tuttavia non dovessi ricordarti come fare durante un compito o un’interrogazione, puoi sempre eseguire la divisione del numero da studiare per 2.
Se il resto della divisione è zero il numero è divisibile per 2.
Esempio
Verificare che il numero 2.014 appartiene all’insieme dei numeri divisibili per 2.
Soluzione
Facciamo subito la divisione così come ce l’hanno insegnata alle scuole elementari
Come si può osservare il resto della divisione è nullo, per cui 2014 è un numero rispecchia il criterio di divisibilità per 2 della divisione, cioè il resto è nullo.
TABELLA DEI NUMERI DIVISIBILI PER 2
Di seguito trovi la lista di tutti i numeri, fino a 200, divisibili per 2. Iniziamo subito:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140, 142, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158, 160, 162, 164, 166, 168, 170, 172, 174, 176, 178, 180, 182, 184, 186, 188, 190, 192, 194, 196, 198, 200.
Numeri divisibili per 11
– la tabella completa
QUANDO UN NUMERO È DIVISIBILE PER 11
Per capire se un numero può essere diviso per undici, è necessario fare la differenza della somma delle cifre di posto pari meno la somma delle cifre di posto dispari. Del numero che si ottiene si valuta il valore assoluto. Se questo è un multiplo di 11 allora il numero è divisibile per 11.
Cerchiamo di semplificare e di ridurre in step il metodo di calcolo:
– si sommano le cifre con posizione pari. Quindi si sommano le cifre in seconda, quarta, sesta, …, posizione.
– Si sommano le cifre con posizione dispari. Quindi si sommano le cifre in prima, terza, quinta, …, posizione.
– Si fa la differenza tra i due numeri ottenuti,
– Se ne calcola il valore assoluto.
– Se quest’ultimo è multiplo di 11 allora il numero di partenza è divisibile per 11.
Esempio:
Stabilire se 98.615 è divisibile per 11.
Dato che a mente è impossibile saperlo, proviamo a ripetere gli step visti.
– Sommiamo le cifre di posizione pari: 8+1=9
– Sommiamo le cifre di posizione dispari: 9+6+5=20
– Facciamo la differenza così che esca un numero positivo: 20-9=11
– Il numero è divisibile per 11!
QUANDO IL METODO NON CI AIUTA?
Può capitare che nell’ultimo passaggio, dalla sottrazione ci sia come risultato 0. In questo caso può essere utile eseguire la divisione tra i due numeri e verificare che il resto sia uguale a 0. In questo caso il numero è divisibile per 11.
Esempio:
TABELLA NUMERI DIVISIBILI PER 11
Per rispondere alla domanda “quali sono i numeri divisibili per 11?” abbiamo deciso di creare una piccola lista con tutti i multipli di 11 fino a 1.000.
Espressioni con potenze
– l’esercitazione completa con svolgimento e soluzione
Le espressioni con le potenze sono delle espressioni algebriche in cui compaiono numeri interi e frazioni con delle potenze. Generalmente si risolvono seguendo con poche operazioni matematiche e facendo attenzione alle parentesi presenti.
Per risolvere le espressioni con potenze è necessario applicare le proprietà delle potenze e poche altre semplici operazioni, come somme, prodotti o differenze. Attenzione ovviamente ai segni!
COME RISOLVERE LE ESPRESSIONI CON LE POTENZE – REGOLE
Di seguito abbiamo riassunto alcuni consigli e regole generali da tenere presente durante lo svolgimento degli esercizi.
– Segui la priorità dei calcoli che vengono dati dalle parentesi. Si ricorda che si risolvono prim le parentesi tonde, poi le quadre e per ultime le graffe.
– Applica se puoi le regole sulle potenze. Se ciò non fosse possibile puoi calcolare le potenze dei numeri a mente o con la calcolatrice.
– Esegui prima moltiplicazioni e divisioni, solo all fine addizioni e sottrazioni.
RISOLVI ESPRESSIONI CON POTENZE – ESERCIZI
Per aiutarti a capire come si fanno le espressioni con le potenze, iniziamo questa esercitazione con un esercizio facile e commentato passo passo.
ESERCIZIO 1
Risolvi le seguenti espressioni con potenze
Somma algebrica tra numeri relativi o con le frazioni
– Come si fanno?
Come si risolve una somma algebrica? Che differenza c’è tra le somme algebriche e le normali addizioni tra numeri interi?
Risposta
Le somme algebriche sono delle addizioni o delle sottrazioni tra numeri relativi. Questo significa che una somma algebrica può essere sia una somma che una differenza. Cerchiamo di essere più chiari sin da subito e di vedere un esempio concreto
Quella che hai appena visto è una somma algebrica tra numeri relativi. Essendo una somma, non cambia l’ordine degli addendi, per cui possiamo scrivere che -10+12 è equivalente a +12-10
Questa, che fino a qualche anno fa avresti considerato una banale sottrazione, può essere vista come la somma algebrica di un numero (+12) e l’opposto del secondo (-10). Cioè possiamo scrivere:
+12-10 = +12+(-10)
E’ proprio per questa ragione che, una volta che a scuola si è introdotto il concetto di numero relativo, non si parla più di addizione e sottrazione, ma semplicemente di somma algebrica.
COME SI FA LA SOMMA ALGEBRICA?
Possiamo distinguere due semplici casi: quello in cui i numeri sono concordi e quello in cui sono discordi.
SOMME ALGEBRICHE TRA NUMERI CONCORDI
Siano dati due numeri relativi con lo stesso segno, quindi concordi. La somma algebrica si calcola facendo semplicemente sommando le due parti numeriche e conservando il segno.
Esempio 1:
-3-5
Poiché i numeri hanno entrambi il meno, mantengo il segno e faccio l’addizione dei numeri.
-3-5=-8
Esempio 2:
+3+5
Poiché i numeri hanno entrambi il segno più, si mantiene il segno e si addizionano le parti numeriche.
+3+5=+8
SOMMA ALGEBRICA TRA NUMERI DISCORDI
Se i due numeri hanno segno opposto, allora si mantiene il segno della parte numerica maggiore e si esegue la sottrazione dei due numeri. Ovviamente ricordati di sottrarre il maggiore meno il minore.
Esempio 1
+3-5
Le due parti numeriche sono 5 e 3, dove ovviamente cinque è maggiore di 3. Per cui conservo il segno del 5 ed eseguo la sottrazione 5-3=2 a cui devo aggiungere il segno.
+3-5=-2
Esempio 2
+27-15
Poiché 27 è maggiore di 15, si conserva il segno + e si fa la sottrazione 27-15=12
+27-15=+12
SOMMA ALGEBRICA DI FRAZIONI
Quando ti trovi a dover eseguire la somma di numeri relativi sotto forma di frazione, diventa tutto estremamente meccanico.
– Calcola il minimo comune multiplo
– Dividi il mcm per il primo denominatore e moltiplicalo per il primo numeratore, conserva il segno.
– Esegui questa operazione per ogni numero da addizionare.
– Disponi i numeri sotto un unico denominatore.
– Addiziona gli elementi al numeratore della frazione
ESEMPIO 1
Come puoi vedere 5 e 2 concorrono a formare il minimo comune multiplo (10). Poi riscriviamo le due nuove frazioni con il mcm al denominatore e si sommano i numeratori. Si arriva presto al risultato.
ESEMPIO 2
Operazioni con i numeri relativi
– definizioni e consigli
Le operazioni con i numeri relativi sono un po’ diverse da quelle studiate nel programma di aritmetica. Risolvere delle espressioni con numeri relativi significa essere in grado di fare delle somme algebriche, moltiplicazioni, divisioni e potenze.
Prima di affrontare nel dettaglio l’argomento ed analizzare le varie operazioni con numeri relativi, vedremo qualche definizione iniziale di introduzione di ripasso sui numeri relativi.
CHE COSA SONO I NUMERI RELATIVI?
Come già detto nella lezione generale sui numeri relativi, non tutte le grandezze possono essere espresse da un numero. Basti pensare alla temperatura. Esiste una temperatura sopra lo zero e una sotto lo zero. Ad esempio d’estate si raggiungono i 30°C e d’inverno anche i -10°C. Allo stesso modo, il segno diventa un componente fondamentale in tutte le operazioni tra numeri relativi.
ESEMPIO
-30+10 = ?
Per introdurre la somma e la differenza rivediamo due definizioni:
– si parla di numeri relativi concordi quando hanno lo stesso segno
– si parla di numeri relativi discordi quando hanno segno opposto
LE OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI
Ti ricordi la retta orientata con i numeri negativi e positivi?
LA SOMMA ALGEBRICA
Una volta capita la linea dei numeri relativi è tutto più facile. Distinguiamo ancora una volta i tre casi.
1 – SOMMA ALGEBRICA TRA DUE NUMERI CONCORDI POSITIVI
Non cambia nulla rispetto all’addizione aritmetica. Per cui banalmente
+2+3=+5
2 – SOMMA ALGEBRICA TRA DUE NUMERI CONCORDI NEGATIVI
Si scrive lo stesso segno, cioè quello negativo, e si sommano i due numeri.
-7-12=-19
3 – SOMMA ALGEBRICA TRA DUE NUMERI DISCORDI.
Facendo finta per un attimo che i segni non esistano, si valuta il numero più grande tra i due e si tiene il suo segno. Infine si fa la differenza tra i due numeri.
Esempio:
-15+7=
Considerando solo i due numeri, cioè 7 e 15, chiaramente il numero maggiore è 15. Il suo segno è negativo, per cui il risultato della somma è negativo. Infine basta fare la differenza tra i due numeri, cioè 15-7.
Per cui il risultato è il seguente:
-15+7=-8
ALTRI ESEMPI
Prova a verificare se i risultati delle seguenti addizioni sono esatte:
-10+3=-7
+15-5=+10
+23-40=-17
SOTTRAZIONE CON I NUMERI RELATIVI
Il discorso è perfettamente analogo con la sottrazione. La regola generale per risolvere la sottrazione con i numeri negativi è che il segno meno cambia il segno del numero.
Ad esempio:
-5-(+4)=
La parentesi è stata utilizzata perché in genere non si pongono due segni vicini senza una parentesi. Inoltre, poiché il segno meno cambia i segni degli elementi della parentesi successiva, l’equazione scritta diventa:
-5-(+4)=-5-4=
Risolvendo come già illustrato sulla somma algebrica di numeri relativi concordi negativi, ottengo
-5-(+4)=-5-4=-9
Altri esempi che puoi provare a risolvere:
-4-(-15)=-4+15=+11
+3-(-4+7-1)=+3-(+3-1)=+3-(+2)=+3-2=+1
In quest’ultimo esempio è preferibile risolvere le addizioni in parentesi, in due passaggi distinti, e poi cambiare il segno.
LA REGOLA DEI SEGNI CON LE MOLTIPLICAZIONI
La regola base da tener presente è:
(+)(-)=(-)
(-)(+)=(+)
(-)(-)=(+)
(+)(+)=(+)
Nella regola dei segni basta ricordare che quando moltiplico due segni concordi il risultato è sempre positivo. Quando moltiplico due segni discordi il risultato è sempre negativo.
Per risolvere le moltiplicazioni tra numeri relativi basta infine moltiplicare i due numeri.
Ad esempio
(+3)(-5)=-15
Prova a verificare le moltiplicazioni seguenti:
(-3)(-4)=+12
(-1/2)(+3/5)=-3/10
Se hai avuto problemi con l’ultimo esercizio, prova a ripassare le operazioni con le frazioni
DIVISIONE TRA NUMERI RELATIVI
Non cambia nulla rispetto alla moltiplicazione. Si applica la regola dei segni e successivamente si esegue la divisione tra i numeri.
(-14):(-2)=+7
Ora prova tu a svolgere le divisioni tra numeri relativi seguenti:
(+40):(-4)=-10
(-32/25):(+2/5)=-16/5
Anche in questo secondo esempio, se hai avuto difficoltà ti consigliamo di rivedere gli appunti sulle frazioni.
POTENZE DI NUMERI RELATIVI
Mentre per il numero è sufficiente semplicemente elevare a potenza, per il segno basta ricordare che:
– se l’esponente è pari, il segno è sempre positivo
– se l’esponente è dispari, il segno non cambia
Esempi:
(-4)2=+16
(-4)3=-64
Se hai riscontrato difficoltà a svolgere questi due esercizi ti consigliamo di rivedere la lezione sulle proprietà delle potenze.
Esercizi sui radicali risolti con commento e soluzioni
ESERCIZI SUI RADICALI SVOLTI
Gli esercizi con le radici che stiamo per risolvere assieme sono ordinati in modo da aumentare il grado di difficoltà in maniera progressiva. Inizieremo da quelli più semplici, quasi banali, per arrivare poi a risolvere esercizi con radicali più complessi.
ESERCIZIO 1
Calcolare le seguenti radici riportando eventualmente i vari passaggi.
√64 3√125 √81 √121 3√1.000
Svolgimento
Questi semplici esercizi sulle radici potrebbero essere risolti in pochi istanti attraverso l’uso di una calcolatrice. Tuttavia, almeno per questi primi esercizi, i radicali verranno risolti a mente. In questo modo potrai capire anche il ragionamento che porta alla risoluzione del problema matematico.
√64
Poiché 8×8=64, allora possiamo scrivere che √64= 8.
3√125
Poiché 5×5×5=125, allora possiamo scrivere che la radice cubica 3√125=5.
√-81
ATTENZIONE: si tratta di una radice quadrata con un numero negativo! Quando l’indice è pari, come in questo caso, la radice negativa è impossibile. Quindi non esistono soluzioni reali.
√121
Poiché 11×11=121, allora posiamo scrivere che √121=11.
3√-1.000
Essendo la radice ad indice dispari, è consentito l’uso dei numeri negativi. Poiché inoltre 10×10×10=1.000, allora 3√-1.000=-10
ESERCIZIO 2
Risolvere la seguente radice sesta 6√729.
Svolgimento
Dovendo risolvere tutto a mente senza l’aiuto della calcolatrice, proviamo a calcolare la seguente radice scomponendo il numero 729.
729 → 729:3 = 243 → 243:3=81 → 81:3=27 → 27:3=9 → 9:3=3 → 3:3=1
Abbiamo diviso 729 per 3 ben 6 volte. Per cui possiamo scrivere che:
729=3×3×3×3×3×3
729=36
Facendo a questo punto la radice otteniamo:
6√36
La radice e la potenza si semplificano per cui 6 e 6 vanno via e restano 1 e 1. Quindi il risultato finale è 3.
ESERCIZIO 3
Risolvere il seguente esercizio con radicali letterali
4√(81 x8 y4)
Svolgimento
Le radici sono da risolvere in maniera analoga all’esercizio precedente. L’unica differenza è che questa volta ci sono anche delle lettere. Scomponiamo quindi il problema in 3 parti:
– la radice del numero → 4√81 = 4√34 =3.
– la radice della x → 4√x8 = x2 → Abbiamo semplificato 8 e 4 per ottenere 2 come esponente della potenza.
– la radice della y → 4√y4 = y → Abbiamo semplificato 4 e 4, così che spariscono sia la radice che l’esponente.
Ricomponiamo il monomio, per ottenere il risultato finale.
4√(81 x8 y4) = 3x2y
ESERCIZIO 4
Risolvere la seguente espressione con i radicali
√32+√200
Svolgimento
Ti ricordi cosa abbiamo detto sulle operazioni con le radici? Le somme non si possono fare, o almeno non così facilmente. Visto che non possiamo addizionare, l’unica cosa che possiamo fare in questo caso è fare delle semplificazioni. Proviamo a ridurre la radice di 32 e la radice di 200 così da scriverle in un’altra forma.
√32
Iniziamo scomponendo 32=2×2×2×2×2 → 32=24×2.
A questo punto ricomponiamo il radicale → √32 = √24 × √2
Semplificando otteniamo √24 × √2 = 22× √2 =4√2
√200
Anche in questo caso scomponiamo prima il numero: 200 = 100×2 = 102 ×2 = 52 × 22 × 2
Ri-applichiamo il radicale per ottenere: √200 = √52 × √22 × √2
Semplificando otteniamo: √52 × √22 × √2 = 5×2×√2 = 10√2
La nostra traccia è diventata quindi:
√32+√200 = 4√2 + 10√2
In questo caso la somma può essere eseguita perché c’è una radice comune. Il risultato finale è quindi:
= 14√2
ESERCIZIO 5
Esprimere le seguenti potenze utilizzando i radicali. Eseguire poi, se possibile, le opportune semplificazioni.
42/3 251/2 34/5
Svolgimento
Ti ricordi le proprietà delle potenze? Quando hai un esponente con una frazione, il numeratore resta come esponente della potenza, mentre il denominatore diventa indice di radice. In base a questa proprietà, possiamo risolvere facilmente gli esercizi sui radicali della traccia.
42/3 = 3√42
Ovviamente possiamo scrivere anche il 4 come una potenza (cioè 2 alla seconda).
3√(22)2 = 3√(24) = 3√(23×2) =
= 3√23 × 3√2 = 2 × 3√2
251/2 = √25 = 5
34/5 = 5√34
In questo ultimo esercizio non è possibile fare alcuna semplificazione. Per cui si arriva direttamente al risultato finale.
ESERCIZIO 6
Semplifica il seguente radicale
6√3/√2
Svolgimento
Ti ricordi come si risolvono gli esercizi con i radicali al denominatore? E’ necessario fare un’operazione che abbiamo chiamato razionalizzazione della radice. Si moltiplica e si divide per la radice presente al denominatore. Eseguiamo i calcoli…
ESERCIZIO 7
Semplifica il seguente radicale
3/(2+√2)
Svolgimento
A differenza del precedente esercizio, il radicale al denominatore compare con una somma. Si ricorre quindi al secondo metodo della razionalizzazione. Si moltiplica e divide per il denominatore cambiando il segno tra i due numeri. In questo modo si sfrutta la regola della somma per la differenza.
Regole e proprietà dei radicali in matematica
– con esercizi ed esempi commentati
I radicali in matematica vengono definiti come degli operatori (cioè che permettono di fare operazioni). Vengono espresse attraverso delle radici che hanno un indice intero. Le radici quadrate o più in generale i radicali mettono spesso in difficoltà gli studenti all’interno dei vari esercizi.
Proprio per questa ragione, abbiamo deciso di semplificare al massimo la lezione sui radicali, così da permettere davvero a tutti di comprenderne regole e proprietà. Iniziamo dalla definizione e da un esempio pratico di radice quarta.
Nell’esempio sopra vedi puoi vedere come si esprimono i radicali in matematica:
3 – viene chiamato coefficiente della radice;
2 – viene chiamato argomento della radice;
4 – viene chiamato indice di radice.
Le regole sui radicali sono abbastanza simili a quelle che abbiamo visto per le potenze. Si tratta quindi di poche semplici regole, utilissime tuttavia nella risoluzione degli esercizi.
Presta bene attenzione e magari segnati un appunto per ogni singola regola, perché in questa pagina troverai davvero tutto quello che ti serve per risolvere senza alcun problema gli esercizi contenenti operazioni tra radicali.
REGOLA SUI RADICALI FONDAMENTALE – LA SEMPLIFICAZIONE
Volendo costruire uno schema semplice su come risolvere i radicali, iniziamo dalla semplificazione, indicata dai testi come la fondamentale proprietà delle radici:
Moltiplicando l’indice della radice e l’esponente per uno stesso numero, il valore del radicale non cambia.
La regola vale anche al contrario. Ti capiterà spesso di incontrare, infatti, degli
esercizi sui radicali in cui dovrai semplificare l’indice di radice con l’indice di potenza.
In questo esempio all’inizio abbiamo moltiplicato l’indice di radice 2 (il numero in alto a sinistra) e l’indice di potenza 1 per lo stesso numero, cioè per 3. In questo caso abbiamo moltiplicato, ma la regola vale anche per la divisione.
OPERAZIONI CON I RADICALI
La somma e la differenza non possono essere eseguite. Errore comune di molti studenti è pensare che √3+√7=√10. In realtà è sbagliato! Il risultato è: √3+√7, cioè si lascia tutto così com’è. Tieni questo concetto ben presente tra le proprietà dei radicali.
LE MOLTIPLICAZIONI TRA RADICALI
La moltiplicazione di due o più radicali aventi lo stesso indice di radice è un radicale avente lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi.
Le moltiplicazioni tra radici sono tra le più semplici proprietà dei radicali. La regola vale solo se l’indice è lo stesso! Questa è l’unica cosa a cui bisogna prestare attenzione. Per risolvere i radicali con le moltiplicazioni è sufficiente moltiplicare i radicandi (cioè i numeri sotto radice). Vediamo con un esempio pratico:
Dal primo al secondo passaggio possiamo dedurre importantissima proprietà: è possibile scrivere le radici separatamente (radical due, radical tre e radical quattro) oppure inserirle sotto un’unica radice. La cosa importante che l’indice sia lo stesso, nel nostro esempio 3. Vediamo un altro caso concreto per capire bene questa regola sui radicali appena dedotta
Da notare che i radicali sono spariti perché abbiamo semplificato indice di radice ed esponente per due, applicando la fondamentale proprietà sui radicali.
LA DIVISIONE
Il quoziente di due radicali aventi lo stesso indice è un radicale avente lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi.
La formula per risolvere i radicali tra loro divisi è molto semplice. E’ sufficiente infatti dividere i radicandi. La conseguenza di questa regola, come si può vedere anche dalla formula è che possiamo scrivere sia due radicali separati che sotto un’unica radice. Ecco un esempio:
Da notare come negli esercizi sulle radici, è fondamentale cercare di esprimere i numeri in forma di potenze, così da poter provare poi a semplificare.
POTENZE DI RADICALI
Per elevare a potenza un radicale si eleva a potenza il radicando.
Nei due esempi che ti abbiamo illustrato, puoi vedere che questa regola sulle potenze è estremamente semplice: basta fare la potenza del numero sotto la radice!
RADICI DI RADICI
Questa è la proprietà delle potenze che maggiormente mette in difficoltà gli studenti. Non c’è bisogno neanche di fare schemi semplici, perché è immediato:
La radice di un radicale è uguale ad un radicale che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando.
Che tradotto significa: non ti fare troppi problemi, semplicemente moltiplica gli indici di radice e hai fatto, come puoi vedere nell’esempio:
Nel caso in cui sotto la radice non ci sia solo un numero ma ad esempio un binomio, allora bisogna ricorrere alla regola sui radicali doppi.
PORTARE FUORI RADICE ( E DENTRO LA RADICE)
Il trasporto fuori dal segno di radice si esegue scomponendo al massimo i numeri ed applicando le regole viste in precedenza. In genere si procede riscrivendo il radicando in forma di potenza e semplificando con la radice. Vediamo subito un esempio pratico:
In questo piccolo esercizio abbiamo scomposto il radicando e successivamente usato le proprietà delle potenze, in particolare la regola della moltiplicazione. Dalla singola radice siamo passati alle due radici moltiplicate e, semplificando ancora, abbiamo ottenuto il risultato finale.
Il trasporto di un numero dentro la radice è probabilmente anche più semplice. Il numero da portare sotto radice va elevato all’indice di radice e inserito nel radicando come se fosse una normale moltiplicazione. Ecco un esempio:
ESEMPI
Per aiutarti a fare i tuoi esercizi di matematica avendo ben capito come risolvere i radicali, ti presentiamo i nostri esercizi svolti. Applicheremo in maniera rigorosa tutte le proprietà dei radicali.
Semplificare i radicali applicando le regole sulle radici
Nell’ultimo esercizio abbiamo cercato di ridurre il denominatore a una potenza e, avendo lo stesso esponente del numeratore, abbiamo portato tutto nella stessa parentesi ed infine semplificato.
Eseguire le seguenti moltiplicazioni tra radicali
Quest’esercizio ha una particolarità: gli indici di radice sono tutti diversi. Questo significa che non è possibile usare la regola sulle moltiplicazioni tra radicali! Per poterne usufruire è necessario prima fare in modo che tutti gli indici di radice siano uguale. Ciò è possibile con il calcolo del minimo comune multiplo tra gli indici:
mcm(2,3,4)=12
Per cui l’indice comune sarà 12. Moltiplico quindi indice ed esponente del primo radicale per 6 (l’operazione che abbiamo eseguito è stata mcm:indice=12:2=6). Con il secondo ho fatto mcm:3=4, per cui ho moltiplicato indice ed esponente per 4 e così anche nell’ultimo radicale rimasto. A questo punto ho ottenuto tre radicali con stesso indice di radice e posso applicare normalmente la regola sulle moltiplicazioni.
Eseguire le seguenti divisioni tra radicali
Anche nell’esercizio sulle divisioni tra radicali compare lo stesso problema precedente: non ci sono indici uguali. Proprio per questo l’esercizio è stato risolto come prima: calcoliamo il minimo comune multiplo tra gli indici, riduciamo tutti i radicali allo stesso indice di radice e poi eseguiamo la divisione normalmente.
Portare sotto radice il fattore esterno e, se possibile, semplificare i risultati
L’esercizio non è particolarmente complesso, basta che ti ricordi le scomposizioni dei polinomi, dato che abbiamo fatto una messa in evidenza totale.
Eseguire le operazioni tra radici e semplificare
Potenze negative
– cosa fare con l’esponente negativo?
POTENZE NEGATIVE – COME TRASFORMARLE
Le potenze ad esponente negativo, dette anche potenze negative, si risolvono:
eliminando il segno meno dell’esponente negativo e passando al reciproco della base
Detto in poche parole devi togliere il segno meno dall’esponente e alla base inverti numeratore e denominatore. Se il denominatore non c’è, resta sottinteso 1. Nell’esempio:
(-5)^(-2)=
(-1/5)^(2)
ECCO COME FARE:
– il numeratore 5 è diventato il denominatore della nuova base;
– il denominatore sottinteso 1 è diventato il numeratore della nuova base;
– è stato eliminato l’esponente negativo. -2 è diventato 2;
– non è stato toccato il segno meno alla base.
Nel caso più generale di potenze negative, possiamo scrivere che:
FRAZIONE CON ESPONENTE NEGATIVO
E’ il caso su cui vengono commessi più errori. Tuttavia la regola generale non cambia. L’unica differenza è che questa volta il denominatore non è sottinteso, per cui nella nuova base non avrai un numeratore pari a 1. Quando hai quindi delle frazioni con esponente negativo semplicemente ricordati di invertire numeratore e denominatore. Ad esempio:
(-5/2)^(-2)=
(-2/5)^2
ECCO COME FARE:
– il numeratore 5 è diventato il nuovo denominatore;
– il denominatore 2 è diventato il nuovo numeratore;
– è sparita la potenza negativa. -2 è diventato 2;
– il segno meno alla base non è stato toccato;
Possiamo quindi scrivere la regola generale valida per tutte le frazioni con esponente negativo
ESERCIZI SULLE POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO
ESPRESSIONE 1
ESPRESSIONE 2
Proprietà delle potenze
– regole ed esercizi svolti
Le proprietà delle potenze sono delle regole matematiche che permettono di svolgere le principali operazioni con le potenze. Grazie a queste proprietà vengono semplificati notevolmente i calcoli, tanto che saranno spesso richiamate anche nelle equazioni letterarie, disequazioni, espressioni… Insomma trovano larga applicazione in molti tipi di esercizi, per questa ragione è importante conoscerle e soprattutto capirle bene.
Prima di partire è importante conoscere le proprietà base e le definizioni sull’elevamento a potenza. Se ti sono già note, possiamo iniziare subito con lo schema con le regole.
QUALI SONO LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE
Molto spesso gli studenti delle scuole superiori hanno notevoli difficoltà con le regole delle potenze. Il problema maggiore non sta tanto nell’applicare le varie formule sulle proprietà delle potenze, che stiamo per vedere, ma a saperle riconoscere.
Cominciamo mostrandoti subito la tabella con le proprietà delle potenze completa, così da avere un quadro sintetico della spiegazione di oggi.
Nella tabella riassuntiva che hai appena visto, sono elencate 6 regole che puoi analizzare singolarmente per eseguire le principali operazioni con le potenze. Prima di vedere nel dettaglio le regole sulle potenze, apriamo una piccola parentesi sulla questione dei segni, che spesso causa diversi errori negli esercizi di matematica.
LA REGOLA DEI SEGNI NEI NUMERI RELATIVI
In algebra i segni dei numeri sono fondamentali. Per evitare qualsiasi tipo di errore consigliamo di ricordare una sola semplice regola:
– esponente PARI – il segno della potenza sarà sempre positivo
– esponente DISPARI, il segno della potenza non cambia
Ad esempio, se devo risolvere una potenza negativa con indice pari, il risultato sarà sicuramente positivo.
(-5)2=+25
Se invece ho una potenza ad indice negativo, il segno meno resta.
(-5)3=-25
PROPRIETÀ DELLE POTENZE
Entriamo ora nel vivo della nostra lezione ed analizziamo le varie proprietà delle potenze, distinguendo i diversi casi a seconda delle basi e degli esponenti. Ecco le regole delle potenze da non dimenticare:
PROPRIETÀ DELLE POTENZE STESSA BASE
Il prodotto di due potenze con la stessa base è una nuova potenza che ha per base la stessa base ed esponente la somma degli esponenti.
(-5)2 x (-5)-3 = (-5)+2-3=(-5)-1
Nell’esempio si nota come le due potenze, con esponenti +2 e -3, abbiano la stessa base, cioè -5. Essendoci un prodotto, si riscrive la base e si fa la somma algebrica degli esponenti, quindi si farà la somma o la differenza.
La divisione, detta anche rapporto, tra due potenze con stessa base mi dà come risultato una potenza con stessa base e differenza – cioè sottrazione – degli esponenti.
(-5)2 x (-5)-3 = (-5)+2-(-3)=(-5)+5
In questo piccolo esercizio è possibile notare come l’unica differenza con il prodotto sta nel seno meno. Questo vuol dire che il -3 dovrà cambiare segno e diventare +3.
PROPRIETÀ DELLE POTENZE STESSO ESPONENTE
La moltiplicazione tra due potenze con stesso esponente mi dà come risultato una potenza in cui la base si ottiene dalla moltiplicazione delle due basi e l’esponente non cambia.
(-3)2 x (-5)2 = [(-3 x (-5)]+2=(-15)2
Per risolvere l’esempio è stato sufficiente eseguire una banale moltiplicazione tra numeri relativi e conservare l’esponente.
Il rapporto tra due potenze con stesso esponente mi genera una nuova potenza con il rapporto delle basi e stesso esponente.
(-30)-2 : (+5)-2 = [(-30 : (+5)]-2=(-6)-2
Anche in questo caso l’esercizio si risolve in maniera molto semplice dividendo algebricamente le due basi, quindi attenzione ai segni, e mantenendo lo stesso esponente.
POTENZA DI POTENZA
La potenza di una potenza è una nuova potenza che conserva la base e per esponente ha il prodotto degli esponenti.
[(-3)2 ]3 = (-3)(+2)x(3)=(-3)6
Al di là della definizione che sembra complessa, risolvere le regole sulle potenze di una potenza è molto semplice. Si mette la stessa base e si moltiplicano gli esponenti.
POTENZE CON ESPONENTE 0
Non rientrano proprio tra le proprietà delle potenze, ma si tratta di una breve parentesi molto semplice ma che non bisogna mai dimenticare.
Qualsiasi potenza con esponente pari a 0 dà come risultato sempre +1.
(-30)0 = +1
Insomma non importa quale sia la base o il segno. Se l’esponente è 0, il risultato sarà sempre +1.
POTENZA NEGATIVA
Se l’esponente è negativo è necessario invertire denominatore e numeratore della potenza. E se “sotto” non c’è nulla, si consideri il denominatore pari a 1. Vediamo come risolvere una potenza negativa, frazioni e non, con qualche semplice esempio
Per trasformare le potenze negative in positive, quindi basta semplicemente “capovolgere” la frazione, cioè si invertono numeratore e denominatore. In questo modo il -4 diventa +4. Nell’esempio scompare il segno meno dalla frazione perché l’esponente è pari, per cui il risultato è certamente positivo.
A questo punto non mi resta che elevare a potenza, magari aiutandomi con la calcolatrice, sia il numeratore che il denominatore ed ottengo il risultato finale.
=+16/81
FRAZIONI CON POTENZE
Non si tratta di una vera e propria regola da seguire, ma molti studenti vanno in difficoltà quando vendono un esponente su una frazione. L’unica cosa importante che non bisogna confondere è la seguente:
A sinistra abbiamo infatti che solo il 2 è elevato al quadrato. A destra invece c’è una frazione con la potenza ad indice 2. Ovviamene le due non vanno confuse perché nel primo caso semplicemente eleverò 2 al quadrato. Nel secondo caso bisogna elevare a potenza sia il numeratore che il denominatore.