Potenza di potenza
ELEVAMENTO A POTENZA DI POTENZA
La formula generale che puoi seguire è la seguente.
Si tratta quindi di una potenza che ha due esponenti, generalmente separati da una parentesi (può capitare anche che qualche testo la ometta). Ecco la regola da seguire così come la trovi sui libri di testo:
la potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
La definizione può sembrare difficile ma si tratta di un’operazione molto semplice. Quello che devi fare è:
– individuare la base e riscriverla: ti ricordi come fare? Ne abbiamo parlato in termini generali nella lezione sull’elevamento a potenza.
– individuare gli esponenti e moltiplicarli tra loro
Quindi il risultato che si ottiene è:
POTENZA DI POTENZA DI POTENZA …
Molti studenti ci hanno chiesto: come fare quando invece ci sono più di due esponenti? Non cambia assolutamente nulla. Ti capiterà molto raramente, ma anche in tal caso basta semplicemente moltiplicarli tutti. Ecco la regola generale.
Anche avendo a che fare con più parentesi, la situazione come hai visto non è cambiata.
… ABBIAMO GIÀ FINITO!
Si, non c’è altro da sapere. La regola sulle potenze di potenze è davvero semplice, vediamo però ora con qualche esempio o caso particolare come si applica agli esercizi.
ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI
POTENZA DI POTENZA CON PARENTESI
Vediamo di mettere in pratica quello che abbiamo appreso con un esempio semplicissimo. Proviamo a risolverlo assieme:
Come abbiamo fatto? Trascriviamo subito la base, cioè 3. Successivamente si moltiplicano i due esponenti (2 e 2). Il risultato è evidentemente 3 elevato a 4.
POTENZA DI POTENZA CON ESPONENTE NEGATIVO
Abbiamo già parlato nelle precedenti lezioni di come si calcolano le potenze negative. In questo caso cerchiamo di evitare di porci inutili problemi e applichiamo solo la regola vista in questa lezione:
Nella prima parte non è cambiato nulla. Abbiamo fatto una moltiplicazione tra due numeri di segno opposto. Quindi (+2)×(-2) = -4.
A questo punto, non si tratta più di risolvere una potenza di una potenza, ma di un semplice esponente negativo. Per cui si invertono numeratore e denominatore e si lascia l’esponente togliendo il segno.
POTENZA DI POTENZA CON BASE NEGATIVA
Che succede invece quando è la base ad avere il segno meno? Anche in questo caso applichiamo semplicemente la regola senza preoccuparci.
A questo punto poi, se l’esponente è pari, allora il segno meno andrà via, altrimenti si conserva. Nelle espressioni con sulle potenze, in genere, però non si fanno calcoli ulteriori e si lascia tutto così come abbiamo riportato.
POTENZA DI POTENZA CON FRAZIONI
Nel caso in cui la base sia una frazione non cambia assolutamente nulla rispetto al caso più banale visto nel primo esempio. Nel caso invece in cui ci siano degli esponenti con frazioni, allora si tratta di una semplice moltiplicazione di frazioni.
L’operazione banale da eseguire è 2/3 × 1/2 che dà come risultato 1/2.
POTENZA DI POTENZA ELEVATA A ZERO
Sappiamo che qualsiasi numero elevato a 0 dà come risultato 1. Per questa ragione, anche quando ci sono le potenze di potenze, il risultato sarà sempre 1. Vediamo un esempio pratico.
Elevamento a potenza
– che cos’è e quali regole segue?
L’elevamento a potenza è un’operazione matematica che viene utilizzata quando un numero a viene moltiplicato per se stesso n volte.
Il numero a viene definito base della potenza, mentre il numero n si chiama esponente. Vedremo tra un istante il significato di questi due termini.
CONSIGLIO: “si legge a alla enne”
L’esponente viene indicato all’apice del numero, mentre potrebbe capitarti di trovare su computer e strumenti informatici il simbolo ^
Ad esempio 2^3 significa 2 elevato a 3 e si legge 2 alla 3
CHE SIGNIFICA ELEVARE A POTENZA?
Immaginiamo di dover risolvere una moltiplicazione. Si voglia, ad esempio, moltiplicare il numero 3 per se stesso 4 volte. Quindi dal punto di vista aritmetico dovremmo scrivere:
Poiché il numero 3 si moltiplica per 4 volte per se stesso, allora quel numero 4 diventa l’esponente della potenza, mentre il 3 diventa la base.
QUINDI CHE COSA SONO LE POTENZE?
Elevare a potenza significa moltiplicare un numero (detto base) un certo numero di volte n (detto esponente) per se stesso.
Esempio: 2^5 → il numero 2 viene moltiplicato 5 volte: 2×2×2×2×2
Volendo semplificare al massimo, possiamo dire che le potenze sono delle moltiplicazioni ripetute di uno stesso numero.
Esempio: elevare al cubo il numero 2. → 2^3=2×2×2=8
ELEVAMENTO A POTENZA – CASI PARTICOLARI
Di seguito vediamo alcuni utili consigli da applicare agli esercizi ed alcune “potenze particolari” che possono essere risolte in maniera più semplice e veloce.
COME SI RISOLVE SE LA BASE È UNA FRAZIONE?
Le frazioni con potenze mettono spesso in difficoltà gli studenti, ma in realtà sono estremamente semplici. Bisogna solo fare attenzione e chiedersi se l’esponente si riferisca a tutta la frazione, solo al numeratore o solo al denominatore. In tal senso sono utilissime le parentesi.
CHE SUCCEDE SE LA BASE DELLA POTENZA È NEGATIVA?
Capita molto spesso negli esercizi di algebra, in cui non si lavora più con i numeri naturali, ma con quelli relativi, razionali o irrazionali.
La parte numerica non subisce alcuna variazione dal punto di vista dei calcoli. Bisogna solo fare attenzione ai segni. In particolar modo:
CHE SUCCEDE SE L’ESPONENTE È NEGATIVO?
Nel caso in cui ci sia una potenza negativa, cioè elevamento a potenza con esponente negativo, allora si trasforma la base: si invertono numeratore e denominatore (se non c’è è sottinteso 1) e a quel punto si può togliere il meno dall’esponente.
Ad esempio:
2^(-2) = (1/2)^2 = 1/4
(2/3)^(-2) = (3/2)^2 = 9/4
Quindi le potenze ad esponente negativo se elevano semplicemente con 1 passaggio matematico in più.
Prodotti notevoli
– esercizi ed esempi svolti
PRODOTTI NOTEVOLI, ESERCIZI CON SOLUZIONI
In questa fase vedremo delle espressioni con prodotti notevoli da semplificare. Cerca di applicare le regole viste nella parte teorica ed evita, se possibile, di fare tutti i calcoli. In questa esercitazione cerchiamo un metodo semplice per risolvere gli esercizi. Concentrati quindi sul
ESERCIZIO 1
Semplificare le seguenti espressioni algebriche
Il primo degli esercizi sui prodotti notevoli è stato svolto applicando semplicemente la regola del quadrato e del cubo di binomio. Poche somme algebriche tra monomi e il risultato si ottiene in 5 passaggi.
ESERCIZIO SVOLTO N.2
Nel secondo esempio, arrivare alla soluzione dell’esercizio sul prodotto notevole è stato molto semplice: è bastato fare il quadrato di binomio due volte, la divisione di due monomi e pochi facili passaggi algebrici.
ESERCIZIO SVOLTO N.3
Il prossimo esercizio è leggermente più complesso, vediamo di risolverlo assieme e di commentare il modo in cui è stato risolto.
La vera difficoltà di questo esercizio sta nel riconoscere la moltiplicazione di una somma per la differenza. Negli esercizi più semplici sui prodotti notevoli siamo stati abituati a trovare quasi sempre una formula del tipo: (a+b)(a-b). In realtà è possibile trovare anche qualcosa di più complesso:
Cosa possiamo notare? Che il primo termine è lo stesso, mentre nel secondo c’è un binomio che si ripete in cui cambia solo il segno iniziale. Per cui possiamo scriverlo come:
A questo punto ci siamo ricondotti al caso precedente (a+b)(a-b) dove il primo monomio (la “a”) è in realtà un binomio e possiamo quindi risolvere con la regola dei prodotti notevoli:
ESERCIZIO SVOLTO N.4
Semplifica la seguente espressione nel modo più rapido possibile.
La prima tentazione dello studente è di risolvere questo esercizio sui prodotti notevoli facendo tutti i calcoli. In questo modo il problema diventa molto più difficile e lungo, con la conseguenza che è più facile sbagliare. Cerchiamo invece di osservare: c’è un elemento che si ripete sempre. a^m+a^n
Quindi il modo più veloce di arrivare alla soluzione è fare una messa in evidenza totale.
Come puoi vedere una volta eseguito il raccoglimento, bastano pochi semplici passaggi algebrici per arrivare alla soluzione.
ESERCIZI DA RISOLVERE
Vi alleghiamo direttamente una pagina di un testo in cui potete trovare esercizi con soluzioni sui prodotti notevoli.
e elevato a infinito
– quanto vale l’esponenziale all’infinito?
Quanto fa e elevato a infinito? E’ un espressione che ricorre spesso negli esercizi con i limiti, ma tanti studenti vanno in difficoltà e si confondono.
E ELAVATO A INFINITO QUANTO FA?
Il risultato di questa operazione è proprio infinito, cioè possiamo scrivere che:
Ti starai chiedendo perché questo risultato. Per rispondere a questa domanda possiamo dare due diverse motivazioni, una numerica e una grafica.
E ELEVATO A INFINITO – È UNA POTENZA!
Analizzando l’operazione da svolgere, puoi renderti conto che si tratta di una semplice potenza. La base è un numero finito, e che abbiamo già definito come Numero di Nepero e pari a 2,71. L’esponente è un infinito che possiamo approssimare però ad un numero molto alto.
Prova sulla tua calcolatrice a scrivere 2,71 elevato a 100… vedrai un’espressione del tipo 1,98e+43, che corrisponde a 1,98·10^43. Si tratta di un numero incredibilmente alto, cioè infinito.
E ELEVATO A INFINITO COL METODO GRAFICO
La prima spiegazione è la più semplice da ricordare ma forse quella meno rigorosa e matematica. Se vuoi fare bella figura con l’insegnante è meglio citare il grafico della funzione esponenziale.
Non te lo ricordi? Eccolo in figura…
Chiediamoci: cosa succede alla y quando la x va verso infinito? Cioè che succede alla curva man mano che procede verso la parte destra del grafico?
La curva si alza sempre di più, quindi vuol dire che la y diventa sempre più grande, cioè va verso infinito.
Quindi semplicemente ricordandoti il grafico
Poiché 1/e è un numero compreso tra 0 e 1 (se non ci credi prova sulla tua calcolatrice), allora il grafico della funzione esponenziale cambia.
In questo caso quando la x si sposta verso destra, cioè verso infinito, la curva si abbassa sempre più verso lo 0. In questo caso infatti y=0 è un asintoto orizzontale della funzione.
Quindi e elevato a infinito con il segno meno è proprio pari a 0.
Numeri razionali
– quali sono e che proprietà hanno?
I numeri razionali sono quei numeri che possono essere espressi attraverso una frazione di un numeratore su un denominatore. In matematica l’insieme dei numeri razionali viene indicato con la lettera Q ed ha un numero infinito di elementi.
PERCHÉ ESISTONO I NUMERI RAZIONALI?
Nell’insieme dei numeri naturali N e dei numeri relativi Z non sempre è possibile eseguire una divisione. Se provi a svolgere 7:2 ottieni un numero non intero, cioè 3,5.
Per poter sempre fare la divisione, è necessario ampliare l’insieme dei numeri interi relativi aggiungendo quelli che sono definiti come numeri razionali.
Che utilità hanno nella vita reale? Ecco un esempio concreto: “oggi mezza classe era assente”. Quella parola mezza indica la divisione 1:2 che non ha un risultato intero.
NUMERI RAZIONALI – DEFINIZIONE
Oltre alla definizione che abbiamo dato all’inizio di questa lezione, possiamo anche dire che l’insieme dei numeri razionali Q è dato da tutti i numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione.
Ti ricordi che cos’è una frazione? E’ un’operazione matematica (identica alla divisione) in cui, dati due numeri a e b, si ha:
Tutto ciò che si trova al di sopra della linea di frazione si chiama numeratore. Ciò che si trova al di sotto della linea di frazione si chiama denominatore.
Si fa notare come i numeri interi e i numeri relativi siano un sottoinsieme dei numeri razionali. Questo perché anche un numero intero può essere espresso come una frazione con al denominatore 1.
Ad esempio:
2/3 = 0,6666…… NON E’ UN NUMERO IRRAZIONALE
√2 = 1,414213562…. E’ UN NUMERO IRRAZIONALE
NUMERI RAZIONALI A CONFRONTO – QUAL È IL PIÙ GRANDE?
Non è semplice giudicare, tra due frazioni, quale delle due mi dia come risultato il numero razionale maggiore. Esistono tuttavia alcune tecniche che rendono il confronto tra due numeri razionali molto semplice e veloce:
1) Se due numeri razionali hanno stesso numeratore e stesso denominatore allora sono uguali.
2) Se due numeri razionali hanno stesso denominatore, allora sarà maggiore il numero con il numeratore maggiore.
Esempio: 7/6 è maggiore di 5/6
3) Se due numeri razionali hanno stesso numeratore, allora sarà maggiore il numero con il denominatore minore.
Esempio: 7/4 è maggiore di 7/5
4) Se due numeri hanno numeratore e denominatori diversi, allora bisogna trasformare le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore. Si calcola quindi il minimo comune multiplo.
Esempio:
Date le due frazioni 3/4 e 4/5, quale delle due è maggiore?
Dobbiamo innanzitutto calcolare il mcm tra 4 e 5, che è pari a 20. A questo punto trasformiamo entrambe le frazioni, dividendo il mcm per il denominatore e moltiplichiamo il risultato per il numeratore.
ESERCIZI SUI NUMERI RAZIONALI
ESERCIZIO 1
In base a quello che abbiamo studiato in questa lezione, prova a rispondere alle seguenti domande.
– che cos’è un numero razionale?
– esiste un numero razionale uguale al suo opposto? Qual è?
– perché il concetto di “successivo” nei numeri razionali non ha senso? (ricordati che i numeri razionali sono infiniti)
ESERCIZIO 2
Inserisci il simbolo < (minore) o > (maggiore) al posto dei puntini
Doppio prodotto
– che cos’è e come si calcola?
DOPPIO PRODOTTO SIGNIFICATO
Il doppio prodotto è in generale una moltiplicazione che si effettua tra due quantità, chiamate fattori, che vanno poi moltiplicate per due.
COME SI CALCOLA?
Dati cioè due elementi generici che chiamiamo A e B, il doppio prodotto si calcola moltiplicando 2 per A per B. Scritto matematicamente:
DOPPIO PRODOTTO TRA DUE NUMERI
E’ molto semplice da eseguire e non richiede grosse competenze a livello algebrico. Basta saper semplicemente fare le moltiplicazioni.
ESEMPIO
Calcolare il doppio prodotto tra 10 e 14
Svolgimento
Come detto nella definizione generale, è sufficiente moltiplicare tra loro i due numeri e poi moltiplicare il risultato per 2.
Doppio prodotto = 2 × 10 × 14 = 280
DOPPIO PRODOTTO TRA MONOMI
Si trova spesso nei prodotti notevoli e consiste nella moltiplicazione di monomi il cui risultato va poi moltiplicato ulteriormente per 2.
Vediamo subito un esercizio svolto, calcolando un quadrato di un binomio.
ESEMPIO
Svolgere il seguente prodotto notevole
Svolgimento
La regola per svolgere i quadrati di binomi è: quadrato del primo, quadrato del secondo e doppio prodotto. Quindi otteniamo
Come puoi vedere l’ultimo termine è un doppio prodotto negativo. In questo caso, essendoci una moltiplicazione doppia con lettere e segni, bisogna usare anche le parentesi.
In questo modo si eviterà l’errore più comune in questo tipo di calcolo: il segno. Così come per i numeri e l’incognita x, bisogna svolgere anche il prodotto dei segni.
CONCLUSIONI
Il doppio prodotto è una moltiplicazione tra due elementi (numeri, frazioni, monomi, polinomi, …) il cui risultato va moltiplicato per 2.
Come detto l’unica cosa a cui bisogna prestare attenzione sono i segni dei fattori che si moltiplicano. Il problema si risolve usando in maniera corretta le parentesi.
Terne pitagoriche
– cosa sono, come si calcolano e come riconoscerle
Le terne pitagoriche rispondono ad uno dei quesiti matematici più antichi che si sia mai posto l’uomo: esistono e quali sono i triangoli rettangoli i cui lati hanno lunghezza intera? In questa lezione parleremo del problema delle terne pitagoriche, andandone ad analizzare in maniera semplificata tutte le varie sfaccettature. Iniziamo però subito dando una definizione di terna pitagorica…
CHE COSA SONO LE TERNE PITAGORICHE?
Una terna pitagorica è una terna di numeri interi non nulli, per cui vale:
Si parla di terne pitagoriche primitive nel momento in cui, oltre alla condizione precedente, si verifica anche che il massimo comune divisore dei tre numeri sia pari a 1.
CENNI STORICI
Si parla di calcolo della terna pitagorica perché si attribuisce il problema alla scuola di Pitagora (VI secolo a.C.). Esistono però numerose testimonianze scritte che le terne pitagoriche fossero conosciute già ai tempi dei Babilonesi.
Si tratta di un problema spesso affrontato dai matematici di tutti i tempi e che è stato ripreso in epoca moderna da Sierpinski nel 1962 nel suo testo Pythagorean Triangles. Sull’argomento ci sono tante osservazioni, lemmi e dimostrazioni che potremmo riportare, ma cerchiamo di affrontare l’argomento con il massimo della chiarezza.
FORMULE PER CALCOLARLE
Tutte le terne pitagoriche positive (x,y,z) in cui il primo elemento è pari, possono essere calcolate con la formula:
dove s > t sono due numeri interi positivi, con MCD=1, uno pari e l’altro dispari.
Esempio:
Consideriamo i due numeri s=5 e t=4. Sono interi, positivi, con MCD=1, uno pari e l’altro dispari. Per cui applicando la formula vista, si ottiene che:
COME RICONOSCERLE?
Prova a guardare nella tabella sopra le terne pitagoriche più famose che abbiamo segnato. Si notano subito due particolari:
1) moltiplicando i primi due elementi della terna pitagorica, si ottiene un numero divisibile per 12;
2) moltiplicando i tre elementi della terna pitagorica, si ottiene un numero divisibile per 60.
Quindi puoi riconoscere istantaneamente se 3 valori costituiscono una terna pitagorica, basta verificare che il prodotto dei primi due sia divisibile per 12 e che il prodotto di tutti i valori sia divisibile per 60.
ALCUNE OSSERVAZIONI
– Ogni terna pitagorica può essere ottenuta moltiplicando gli elementi della terna per un numero intero.
Esempio:
(3,4,5) è una terna pitagorica intera perché 3²+4²=5² MCD=1. Da notare che (3,4,5) è una delle terne pitagoriche più famose.
Moltiplicando questa terna per un numero intero (ad esempio 2) ottengo:
(3,4,5) → (6,8,10)
Quest’ultima è una terna pitagorica perché 6²+8²=10² mentre il MCD=2 (il numero per cui abbiamo moltiplicato).
– Sia (x,y,z) una terna pitagorica primitiva positiva. Allora se x è pari allora y è dispari e viceversa.
Esempio:
Date le due terne pitagoriche primitive composte da numeri interi positivi (3,4,5) e (8,15,17), si nota che se il primo è dispari il secondo è pari e viceversa.
ESERCIZI
Si chiama triangolo pitagorico un triangolo rettangolo avente lati di lunghezza intera. Dimostrare che:
– esistono triangoli pitagorici diversi che hanno la stessa area;
– due triangoli equivalenti, formati da lati con misure pari alla terna pitagorica e stessa ipotenusa sono uguali;
– per ogni intero positivo Δ, esiste un numero finito di triangoli pitagorici aventi area uguale a Δ;
Risoluzione
– Iniziamo con il primo punto.
Dobbiamo dimostrare che esistono triangoli pitagorici diversi con la stessa area. Consideriamo ad esempio le due terne pitagoriche (21; 20; 29) e (35; 12; 37). Per calcolare l’area dei due triangoli rettangoli, sapendo che il lato lungo è l’ipotenusa, allora possiamo usare la formula:
A=(Cateto1×Cateto2)/2
A1=20×21/2=210
A2=35×12/2=210
Vuol dire che abbiamo due terne pitagoriche (x,y,z) e (a,b,c) associate ai due triangoli rettangoli. Immaginiamo ad esempio le due terne.
– Per dimostrare il secondo punto, abbiamo due triangoli con la stessa area e stessa ipotenusa, per cui valgono le 4 relazioni:
1) x·y/2=a·b/2 →xy=ab , perché hanno stessa area
2) z=c , perché hanno stessa ipotenusa
3) x²+y²=z²
4) a²+b²=c²
Se vale la numero 2, allora possiamo compattare la numero 3 e la 4 riscrivendole come:
Per la prima relazione scritta, se vale xy=ab, moltiplicando entrambi i membri per 2, otteniamo l’uguaglianza: 2xy=2ab. Questo vuol dire che l’ultima equazione può essere riscritta come:
Da questa doppia relazione (puoi risolverla come i sistemi di primo grado con il metodo della somma o della differenza) si ottiene che x=a e y=b. Quindi i due triangoli sono uguali.
– Il terzo quesito ci chiede di dimostrare che esiste un numero finito di triangoli pitagorici con area Δ.
Si dimostra facilmente notando che
Mentre le terne pitagoriche sono infinite, in questo caso invece abbiamo una possibilità limitata di soluzioni.