I blog di Alessioempoli

Data 26 novembre 2019

Come guadagnare con un blog

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Come guadagnare con un blog

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Cambiare lavoro e diventare un blogger di successo scrivendo delle proprie passioni è il sogno di molti. Alcuni ci sono riusciti diventando influencer e guadagnando cifre di tutto rispetto, ma davvero è così semplice monetizzare con un blog?

Guardando ai casi di successo si potrebbe pensare che sia facile, ma la realtà dei fatti è ben diversa. Sono poche le persone che riescono a trasformare la loro attività di blogger in un lavoro a tempo pieno e chi ci riesce ha davvero investito tutto sé stesso lavorando sodo ogni giorno, mettendoci impegno, competenze e strategia.

Non basta aprire un blog e scriverci su. Per diventare un blogger di professione dovrai lavorare per diventare un punto di riferimento del settore, costruendo una rete di relazioni e un seguito tale da influenzare le decisioni dei tuoi lettori, altrimenti le possibilità di guadagno saranno più contenute.

Per monetizzare il tuo blog esistono diverse soluzioni, tra cui

adsense,

affiliazioni,

– creazione di infoprodotti

vendita di servizi

Vediamo nel dettaglio come funzionano.

 

Monetizzare con pubblicità e affiliazioni

Adsense è sicuramente uno dei modi più conosciuti per monetizzare attraverso il blog. Adsense funziona con la logica del pay per click, cioè guadagni piccole cifre ogni volta che gli utenti del tuo blog cliccano su una pubblicità. Va da sé che più è alto il numero di utenti che visitano il tuo blog, più hai possibilità di guadagnare cifre consistenti. Per iniziare a monetizzare con Adsense devi iscriverti a questo link: https://www.google.com/adsense/start/#/?modal_active=none   

In alternativa al programma di Google puoi vendere direttamente i banner sul tuo sito oppure puntare sulle affiliazioni che ti consentono di guadagnare una commissione in base alla vendita di un prodotto distribuito da altri.

 

Esistono quattro principali tipologie di affiliazione:

 

1) Affiliazioni Pay Per Impression, guadagni ogni volta che un banner viene visualizzato sul tuo blog.

2) Affiliazioni Pay Per Sale, guadagni ogni volta che un utente procede all’acquisto del prodotto dopo aver cliccato sul link presente sul tuo blog.

3) Affiliazioni Pay Per Click, guadagni ogni volta che un utente clicca su un banner o un link di affiliazione.

4) Affiliazioni Pay Per Lead, guadagni ogni volta che un utente si registra al servizio pubblicizzato cliccando il banner o il link presente sul blog.

 

Per monetizzare tramite affiliazioni devi iscriverti ai principali programmi di affiliazione, come ad esempio quello di Amazon, e pubblicizzare prodotti in linea con i tuoi contenuti.

 

Guadagnare facendo consulenza

Un blog è uno strumento utilissimo per l’acquisizione di clienti. Il tuo obiettivo in questo caso è sfruttare il blog per costruire e accrescere il tuo personal branding, dimostrare le tue competenze e venderle attraverso consulenze o altri servizi.

Se decidi di guadagnare in questo modo devi principalmente muoverti su due strade:

 

proporre contenuti di qualità per intercettare domande e risolvere problemi degli utenti allo scopo di ottenere fiducia e credibilità;

creare relazioni e iniziare collaborazioni con persone del tuo stesso settore o affini.

 

Vendere servizi o infoprodotti

Attraverso il blog puoi anche vendere servizi o infoprodotti, cioè prodotti informativi in formato digitale come videocorsi, ebook o guide di ogni tipo. Per avere successo questi prodotti devono essere utili, capaci di insegnare qualcosa di nuovo, spiegare come fare qualcosa o risolvere un problema.

Il vantaggio degli infoprodotti è che devono essere realizzati una sola volta, dopodiché non ti resta che usare il tuo blog al meglio per promuoverli e venderli al maggior numero di persone interessate.

 

Guadagnare con un blog di cucina

La passione per la cucina accomuna un gran numero di persone, tanto che negli anni sono nati così tanti food blog che riuscire a imporsi e ottenere buoni risultati in questo settore è diventato estremamente difficile. In ogni caso se vuoi cimentarti in questa attività sappi che saper cucinare bene oggi non basta, dovrai acquisire conoscenze in diversi settori, come il web copywriting, la seo, la fotografia e il montaggio video. Detto in altri termini per fare bene ci vuole un impegno continuo e costante.

Come può guadagnare un food blogger?

Oltre ad adsense e agli altri metodi visti in precedenza, puoi iniziare collaborazioni con aziende del settore, scrivere ricette o recensioni retribuite.

Tuttavia se il blog di cucina non ha un grande seguito, sarà difficile trasformarlo in un vero e proprio lavoro, ma potrebbe tornare utile per arrotondare lo stipendio.

 

Di viaggi

Se invece la tua passione sono i viaggi potresti mettere su un travel blog.

Dal momento che guadagnare girando per il mondo è l’aspirazione di molte persone, vediamo come si può monetizzare grazie a un blog dedicato ai viaggi.

Hai diverse possibilità di guadagnare con un travel blog, ad esempio oltre ai soliti adsense e circuiti di affiliazione, puoi dedicarti alla scrittura di articoli retribuiti da aziende del settore interessate a promuovere il proprio servizio, puoi creare infoprodotti come guide turistiche con consigli pratici su cosa fare o vedere in una determinata meta, puoi fare consulenze e aiutare chi te lo chiede a organizzare il suo viaggio, puoi partecipare a blog tour o a progetti legati alla comunicazione di un territorio.

Anche in questo caso, come per tutti gli altri, maggiore sarà la tua reputazione nel settore più alte saranno le possibilità di guadagno.

 

Di libri

Sempre meno persone si dedicano alla lettura, ma non per questo devi rinunciare al tuo spazio web in cui scrivere (e parlare) di libri, anzi. Probabilmente i libri sono tra gli articoli maggiormente venduti on line considerando anche il mercato degli e-book e proprio per questo motivo il canale da preferire per guadagnare con il tuo blog di libri è quello delle affiliazioni. Oltre ad Amazon, ci sono tantissimi altri grandi e-commerce di vendita libri che propongono programmi di affiliazioni, quindi non ti resta altro che cercare quello che può fare al caso tuo.

 

Di moda

Come quello del food, anche il settore moda ha una concorrenza piuttosto alta e agguerrita. Per guadagnare con il fashion blog devi essere sempre sul pezzo, seguire le ultime tendenze e aggiornare costantemente il tuo blog.

I canali con cui monetizzare con un blog dedicato alla moda sono sostanzialmente i soliti, adsense, collaborazioni con aziende, scrittura di articoli retribuiti, ecc…

Inoltre in questo settore potresti pensare di guadagnare anche attraverso le consulenze, considera che la figura del personal shopper è sempre più richiesta e chi meglio di una persona attenta a moda e tendenze può ricoprire questo ruolo?

 

 

Data 23 novembre 2019

Windows 7: Microsoft dichiara la fine del supporto

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Windows 7: Microsoft dichiara la fine del supporto

 

Il 14 gennaio 2020 Microsoft dichiarerà terminato il periodo di supporto per Windows 7, il sistema operativo per PC distribuito per la prima volta il 22 ottobre 2009.

A distanza di oltre 10 anni, l’azienda ha deciso di dichiarare concluso il periodo di assistenza per aggiornamenti e patch di sicurezza, oltre a quello di assistenza telefonica e online.

 

Fine del supporto di Windows 7: cosa significa?

Ogni sistema operativo che Microsoft mette sul mercato è accompagnato da un periodo di supporto durante il quale l’azienda garantisce il rilascio continuo di aggiornamenti: dalle novità che correggono bug generici alle più specifiche patch di sicurezza per la risoluzione delle vulnerabilità.

Il periodo di supporto, per quanto riguarda i prodotti Microsoft, varia a seconda del tipo di software: per Windows 7 come per gli altri sistemi operativi destinati ai PC, l’azienda garantisce 10 anni di assistenza, suddivisi tra Mainstream Support ed Extended Support.

 

Nei primi 5 anni di supporto principale (cosiddetto mainstream) Microsoft rende disponibile agli utenti assistenza telefonica e online e rilascia periodicamente sia patch di sicurezza, sia altri miglioramenti a prestazioni, stabilità, plug in per nuovo hardware e funzionalità utente-macchina.

 Nel secondo quinquennio, invece (cosiddetto extended) Microsoft rilascia solo aggiornamenti di sicurezza.

 

Dal 14 gennaio 2020 nessuno di questi servizi sarà più disponibile, con la sola eccezione delle soluzioni Enterprise.

 

Utilizzare un sistema operativo non sicuro può rappresentare un grosso problema, soprattutto in ambito aziendale: per questo per professionisti e aziende che utilizzano molte workstation Windows 7, passare a Windows 10 è altamente consigliato.

Se ciò non fosse possibile, Microsoft darà comunque la possibilità alle imprese di acquistare “pacchetti” di supporto aggiuntivo valido per almeno altri tre anni.

 

Windows 7, “fine vita” di un sistema ancora molto usato

Il secondo martedì di ogni mese Microsoft rilascia le patch di sicurezza mensili per i sistemi operativi, quel giorno nel mese di gennaio 2020 cade il 14 e quello sarà dunque l’ultimo in cui anche Windows 7 riceverà gli aggiornamenti.

La decisione appare comprensibile per un prodotto così longevo in un settore che, nel frattempo, è stato letteralmente rivoluzionato.

Tuttavia secondo i dati di NetmarketShare Windows 7 è, ancora oggi, il secondo sistema operativo più utilizzato al mondo con una quota di mercato rilevante (36,9%) e di pochissimo inferiore al più diffuso Windows 10 (39,2% ); sempre secondo NetmarketShare il “sorpasso” tra i due si è registrato solo tra novembre e dicembre 2018.

 

Windows 7: storia di un riscatto

Più che di un successo durato oltre un decennio, Windows 7 è la storia di un riscatto.

Alla fine del 2009 la trasformazione dell’industria tecnologica verso i dispositivi mobili era solo all’inizio – Apple aveva già lanciato il rivoluzionario iPhone, ma Android si mostrava solo in una versione 1.x ancora molto acerba e dalla diffusione irrilevante – e l’interesse dei consumatori era ancora rivolto soprattutto ai Personal Computer, soprattutto grazie al formato dei piccoli “netbook” super-economici.

 

Proprio in quel periodo Microsoft stava affrontando una situazione critica in ambito PC: nonostante fossero trascorsi quasi tre anni dal lancio Windows Vista, moltissimi utenti avevano scelto di rimanere legati alla generazione precedente.

 

È in questo contesto che, fra luglio e ottobre del 2009, Microsoft rilascia la versione finale di Windows 7, il sistema che doveva riabilitare Windows dopo il flop di Vista. La storia ha indubbiamente dato ragione all’azienda, ma adesso che cosa succederà a chi lo usa ancora? I PC con windows 7 continueranno a funzionare?

 

Il termine del supporto rappresenta senza dubbio una conseguenza importante, ma non significa che i PC che utilizzano Windows 7 smetteranno di funzionare. Al contrario, continueranno a lavorare senza alcuna limitazione di sorta, ma saranno più esposti a rischi.

 

Fine vita Windows 7: aggiornare il PC o usare un nuovo dispositivo?

La pagina del supporto tecnico di Windows sconsiglia agli utenti di effettuare un aggiornamento da Windows 7 a Windows 10 per evitare il rischio di incompatibilità, soprattutto su prodotti datati.

Acquistando e installando una versione completa del software si può comunque effettuare questa operazione.

 

Usare Windows 7 dopo il 14 gennaio 2020: conseguenze

Come detto, una volta trascorsi i 5 anni di supporto esteso, Microsoft non distribuisce più patch di sicurezza, nemmeno in caso vengano scoperti problemi di importanza “critica”, ovvero tali da consentire ad utenti ostili di prendere il controllo dei PC.

Il computer sarà quindi più vulnerabile ed esposto ad attacchi, soprattutto se connesso a Internet.

Il ritiro del sistema operativo da parte di Microsoft, tuttavia, non coinciderà con la fine del supporto da parte dei principali produttori di browser web.

 

Per chi decidesse di utilizzare Windows 7 online sarà dunque fondamentale:

 

# Mantenere aggiornato il browser web

# Mantenere aggiornato il client di posta elettronica.

L’utilizzo di browser sempre aggiornati all’ultima versione permette di ridurre le possibilità di essere vittima di attacco, così come per client utilizzati per la gestione della posta elettronica. Un’altra possibilità è quella di accertarsi che i sistemi Windows 7 non siano direttamente esposti sulla rete Internet ma siano connessi in rete locale.

 

È consigliabile infatti:

 

# continuare a usare la workstation con Windows 7 in locale, cioè senza utilizzare la posta elettronica o navigare con il PC su internet;

# se più dispositivi sono connessi alla stessa rete locale isolare i sistemi Windows non aggiornati segmentando così il network.

Data 23 novembre 2019

ALGEBRA – 8

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Raccoglimento a fattor comune totale e parziale

 – ecco come svolgerli correttamente

 

DEFINIZIONE DI RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE

Negli esercizi sui polinomi, che ti trovi spesso a dover affrontare nei compiti in classe o nelle verifiche, ci sono spesso delle operazioni che possono semplificarti notevolmente i calcoli. Si tratta delle scomposizioni di polinomi, cioè quelle operazioni che ti permettono di scomporre il polinomio in fattori, cioè in tanti elementi che si moltiplicano tra di loro.

Il raccoglimento a fattor comune, detto anche messa in evidenza, è la prima di queste tecniche e puoi utilizzarla nel momento in cui ti accorgi che ci sono degli elementi comuni che compaiono nei vari monomi. Può essere un numero, una radice o anche delle lettere.

1-

COME SI FA IL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE TOTALE?

Il tuo professore ti avrà certamente suggerito di applicare la proprietà distributiva, raccogliere i fattori e scrivere il polinomio dato come prodotto dei fattori comuni per un polinomio … E’ probabile che tu ci abbia capito poco, in realtà è molto più facile di quello che pensi.

Dal punto di vista didattico per fare il raccoglimento a fattor comune totale è necessario fare il massimo comune divisore (MCD) tra tutti gli elementi del polinomio e scrivercelo da parte. Un occhio un po’ allenato riesce a farne a meno e può capire al volo quali sono gli elementi che si ripetono nell’espressione che stiamo analizzando.

2-

La prima operazione che abbiamo svolto nell’esempio è il massimo comune divisore. Abbiamo preso i fattori comuni presi una sola volta col minimo esponente per ottenere così un elemento che, guardando bene accomuna tutti i monomi. A questo punto si scrive l’elemento così individuato e si apre una parentesi tonda.

Si tratta a questo punto di fare la divisione di un polinomio per un monomio. Dentro la parentesi andranno gli elementi che si ottengono cioè dalla divisione tra monomi: quello di partenza il MCD.

3-

L’esempio che abbiamo appena visto riguarda la messa in evidenza totale, o raccoglimento a fattor comune totale, dato che vengono coinvolti nel processo tutti gli elementi del polinomio.

 

RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE PARZIALE

Il raccoglimento parziale può essere necessario quando non ci sono fattori comuni a tutti i termini del polinomio, ma solo ad alcuni. Generalmente è possibile fare il raccoglimento parziale tra gruppi di due o più polinomi. Vediamo nel dettaglio come procedere:

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Raccogliendo a tra i primi due monomi e b tra i secondi due si ottiene un risultato particolare. Perché particolare? Perché a questo punto posso fare un raccoglimento a fattor comune totale nel nuovo polinomio individuato, dato che la parentesi (x+y) compare in ogni elemento dell’espressione.

5-

Il raccoglimento a fattor comune parziale è un po’ più difficile proprio perché prevede due raccoglimenti da fare in due momenti diversi: il primo iniziale e parziale relativo solo a gruppi di monomi, il secondo totale in base al risultato ottenuto.

 

ESERCIZI SUL RACCOGLIMENTO A FATTOR COMUNE

I primi esercizi sulla messa in evidenza che vi proponiamo sono già svolti, quindi hanno già la soluzione.

6-

Come puoi vedere dagli esercizi svolti non è necessario che sia un unico monomio l’elemento comune, ma può essere anche una parentesi intera. Nel caso in cui devi svolgere esercizi con il raccoglimento con le frazioni ricordati di seguire semplicemente la regola: MCD e poi divisione di polinomi ed eviti di sbagliare.

7-

Razionalizzazione radicali

–  risolvere i radicali al denominatore

 

A CHE SERVE LA RAZIONALIZZAZIONE DI RADICALI?

Nelle scorse lezione hai potuto studiare le regole e le proprietà dei radicali, imparando a risolvere le operazioni fondamentali anche grazie ad esercizi svolti. Non abbiamo ancora visto il caso in cui abbiamo una frazione con al denominatore un radicale.

Affronteremo il discorso in maniera molto più complessa nelle lezioni sulle equazioni irrazionali. Per ora ci basti sapere che la razionalizzazione del denominatore di una frazione serve a fare in modo che il suo denominatore non contenga radici.

I metodi di razionalizzazione sono sostanzialmente due e riguardano la presenza, al denominatore, di un monomio o di un binomio. Analizziamoli assieme…

 

RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE CON UN MONOMIO

Il caso più semplice si presenta quando il denominatore irrazionale è un monomio, cioè quando nella frazione compare un’unico elemento sotto radice. In questo caso è sufficiente moltiplicare numeratore e denominatore per un radicale conveniente, come negli esempi che ti mostriamo:

8-

La razionalizzazione della radice quadrata è il caso più semplice: basta riscrivere la frazione moltiplicando e dividendo per la stessa radice. Alla fine ci ritroviamo con un risultato in cui la radice quadrata non appare più nel denominatore.

Ciò che a scuola non ci insegnano, o che spesso alla lavagna non viene capito, è come fare la razionalizzazione di una radice cubica, in quanto non è sufficiente moltiplicare e dividere per la radice. Vediamo subito un esempio concreto:

9-

(*) Svolgendo la razionalizzazione della radice cubica come nel caso della radice quadrata il risultato finale non mi porta ad eliminare il radicale dal denominatore. Il modo più semplice per razionalizzare, in questo caso è far in modo che il denominatore abbia un esponente pari all’indice di radice. Quindi 2 (sottinteso elevato a 1) deve diventare elevato a 3 dato che l’indice di radice è 3. Questo significa che va moltiplicato con esponente 2.

Vediamo un altro esempio sulla razionalizzazione di una radice cubica.

10-

RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE CON UN BINOMIO

Se il denominatore è un binomio, basta moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso binomio, ma col secondo termine cambiato di segno, ricordando la regola dei prodotti notevoli:

11-

Nulla di difficile: abbiamo due radici che si sommano al denominatore (nel nostro caso si sottraggono). E’ stato sufficiente moltiplicare e dividere per lo stesso binomio cambiando semplicemente il segno del secondo. Facciamo poi le semplificazioni e ci ritroviamo il risultato senza radicale al denominatore.

 

ESERCIZI SULLE RAZIONALIZZAZIONI DI RADICALI

Capito come si razionalizza una radice nei due metodi illustrati, proviamo a risolvere assieme alcuni esercizi. La traccia ci chiede di eseguire, per ogni esercizio, la razionalizzazione del denominatore con i metodi visti. Iniziamo subito:

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Abbiamo fatto in modo che la radice cubica di b al quadrato diventasse radice cubica di b al cubo. Solo così infatti possiamo semplificare e riusciamo ad eliminare i radicali al denominatore.

14-

Minimo comune multiplo come si calcola

 – esercizi svolti ed esempi

 

MINIMO COMUNE MULTIPLO DEFINIZIONE

Il minimo comune multiplo (si scrive anche mcm) è il più piccolo numero che sia divisibile per tutti i numeri dati.

Che significa? Se io ho tre numeri, il mcm è, tra i tanti possibili divisori, il più piccolo.

Immagino che la definizione di mcm da sola non sia riuscita a farti comprendere molto sull’argomento. E’ normale, non preoccuparti. Continua a leggere e vedrai che ti sarà tutto più chiaro.

 

COME SI CALCOLA IL MINIMO COMUNE MULTIPLO

Per calcolare il mcm si prendono i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente.

 

Con questa definizione sul calcolo mcm in matematica, che siamo sicuri imparerai col tempo a memoria, si fa però una premessa. Cioè che tu abbia già studiato e sappia fare la scomposizione in numeri primi.

Tornando alla nostra domanda principale, cioè come si fa il minimo comune multiplo, il modo migliore per comprendere l’enunciato è con degli esempi pratici. Proviamo ad esempio a calcolare il minimo comune multiplo tra 20 15 30.

Si inizia con la scomposizione in numeri primi dei tre dati da traccia. Per cui si ottiene:

15-

A questo punto riepilogando ottenuti scomponendo i numeri in fattori primi, usando le potenze posso scrivere:

 

20=22×5

15=5×3

30=2x5x3

 

Completata la scomposizione in numeri primi, guardo ora solo i termini a destra dell’uguale, cioè i fattori – ti ricordiamo che si chiamano così “i numeri che sono moltiplicati tra loro”.

Il trucco che ci suggeriamo di darvi è di cerchiare sul foglio su cui vi esercitate i termini che contribuiscono al calcolo del mcm. Esattattamente come vedi nella prossima immagine.

16-

17-

Se ti stai chiedendo, in tutto ciò, come si calcola il minimo comune multiplo, sappi che hai praticamente fino. Ti basta semplicemente moltiplicare i fattori che hai evidenziato e calcolare il risultato finale:

 

mcm=22 x 5 x 3=60

 

L’esercizio è così concluso. Tornando un attimo alla definizione di mcm, abbiamo detto che questo è che il più piccolo numero divisibile tra i tre assegnati. Immaginiamo infatti di voler trovare un numero che sia divisibile per 20, 15 e 30. Aiutandoci con una calcolatrice scopriamo che tra questi numeri il primo è 60 – visto che 60 possiamo dividerlo sia per 20, sia per 15 sia per 30 – poi abbiamo 120, 180, eccetera. Il più piccolo di questi è certamente 60, da cui la definizione di mcm.

 

A CHE SERVE IL MINIMO COMUNE MULTIPLO?

La domanda è certamente legittima, ma se hai già avuto modo di affrontare un esercizio con le frazioni, avrai certamente notato che il mcm è fondamentale per calcolare la sottrazione e la somma di frazioni. Ci servirà inoltre, più avanti, quando dovremo risolvere le equazioni fratte e le disequazioni fratte, per cui è importante che tu abbia capito bene l’argomento. Proprio per questa ragione, ti presentiamo ora altri esempi che possiamo risolvere assieme. Prendi carta e penna e seguici nei calcoli.

 

MINIMO COMUNE MULTIPLO ESERCIZI

Di seguito troviamo alcuni esempi per mettere in pratica la teoria vista fino a questo momento

 

ESEMPIO 1

Calcolare il minimo comune multiplo dei numeri 270, 144 e 224

Iniziamo come sempre a scomporre in fattori primi i numeri datici dalla traccia:

18-

A questo punto mi scrivo in maniera più compatta i risultati ottenuti con la scomposizioni in numeri primi:

 

270=2 x 32 x 5

144=24 x 32

224=25 x 7

 

Prova cerchiare tu questa volta i fattori presi una sola volta con il massimo esponente. Dovrai così cerchiare 2 elevato a 5, 3 elevato a 2, infine 5 e 7 che compaiono senza potenze. Puoi così scrivere, per il calcolo del mcm, che:

 

mcm=25 x 33 x 5 x 7 = 30240

 

Per fare la verifica del minimo comune multiplo, basta che dividi il risultato finale, in questo caso 30.240, per i tre numeri dati dalla traccia. Se le tre divisioni escono tutte senza la virgola, allora il risultato è corretto.

 

ESEMPIO 2

Quello che vi proponiamo di risolvere assieme, ora, è un esercizio con semplici operazioni con i numeri relativi fratti, così che sia chiaro a che serve il minimo comune multiplo, almeno in questa prima parte del programma:

+3/12 – 4/15 + 1=

Iniziamo calcolando il minimo comune multiplo tra i tre denominatori. NOTA BENE: se uno degli addendi non ha la frazione, è sottinteso che il denominatore sia 1.

+3/12 – 4/15 + 1/1=

Scompongono 12, 15 in numeri primi. 1 posso anche ignorarlo…

 

12=22 x 3

15=5 x 3

mcm=5 x 3 x 22 = 60

 

A questo punto risolvo la frazione inserendo un solo denominatore comune, il minimo comune multiplo appena calcolato, così da poter scrivere:

19-

In questo esercizio in realtà la seconda frazione, cioè 3/12, poteva essere semplificata: dato che 12:3=4, avrei più comodamente scrivere al posto di 3/12, la frazione 1/4. Il risultato sarebbe stato comunque lo stesso, ma avrei ridotto i calcoli. Attenzione: prova sempre a semplificare le frazioni! Ti semplificherà la vita…

 

ESEMPIO 3

Un esercizio conclusivo più semplice: calcolare il minimo comune multiplo tra 50 e 150

Questa volta lasciamo a voi la scomposizione in fattori primi con lo schema verticale, sarà un buon allenamento. Noi vi indichiamo direttamente i risultati del calcolo:

50 = 2 x 52

150 = 2 x 52 x 3

 

Cerchia i termini utili per il calcolo del mcm così come abbiamo fatto negli esercizi precedenti e potrai così trovare:

 

mcm= 2 x 52 x 3

 

E’ vero che questo esercizio era più semplice, ma non era possibile risolverlo in maniera più rapida e diretta?

 

CALCOLARE IL MINIMO COMUNE MULTIPLO IN MANIERA DIRETTA

Ecco un semplice trucco da ricordare per calcolare il minimo comune multipolo: verifica sempre che i numeri di cui vuoi calcolare il mcm siano tra loro divisibili. Il più piccolo dei due puoi anche ignorarlo!

Nel nostro esempio infatti avevamo 50 e 150. Ma 150:50=3. Questo significa che i due numeri sono tra loro divisibili. Possiamo così ignorare 50, per il calcolo del mcm. Ci resta solo 150. Il minimo comune multiplo è quindi 150.

E se avessimo avuto più numeri? Ad esempio 50, 70, 150? Nessun problema. Poiché 150 è divisibile per 50, quest’ultimo possiamo ignorarlo. Ma dato che 150 e 70 non sono tra loro divisibili allora il calcolo diretto si ferma. Dovremo ora solo calcolare il mcm tra 150 e 70 nella maniera vista sopra. Ad ogni modo, con questo semplice trucco, abbiamo ridotto notevolmente i calcoli da eseguire.

20-

Risolti questi esercizi, non dovremmo più avere problemi con le frazioni. Puoi a questo punto passare ad esercizi più complessi come le espressioni algebriche.

 

Calcolo letterale esercizi svolti e teoria semplificata

 

INTRODUZIONE AL CALCOLO LETTERALE

Nella scorsa lezione abbiamo visto le espressioni algebriche con i numeri relativi, applicando, se necessario le proprietà delle potenze. Oggi inizieremo ad anticipare il calcolo letterale di monomi e polinomi.

 

PERCHÉ FARE I CALCOLI CON LE LETTERE?

Le espressioni algebriche che abbiamo imparato a risolvere non sono fatte solo di numeri, ma anche di lettere. Il calcolo letterale in geometria è fondamentale. Quando noi diciamo che l’area di un rettangolo si calcola base per altezza, vuol dire che possiamo scrivere:

 

Arettangolo=b x h

 

Questa altro non è che un’espressione algebrica con le lettere. Non dobbiamo quindi meravigliarci che, anche in algebra quindi, i nostri esercizi siano fatti di numeri ma anche di lettere.

Per rispondere alla domanda “il calcolo letterale a che serve?” possiamo solo solo dire per ora che sarà fondamentale nello studio delle equazioni che vedremo più avanti: in generale il calcolo letterale serve a permetterci di calcolare qualcosa che ancora non si conosce, cioè un’incognita.

 

CALCOLI ALGEBRICI E OPERAZIONI CON LE LETTERE

Ripassiamo assieme le operazioni con i numeri relativi usando questa volta le lettere.

+a-a=0

Se su una scrivania vuota io metto una penna, quindi sommo un determinato elemento e subito dopo la tolgo, chiaramente la scrivania resterà vuota. Questo significa che se ho una lettera, prima sommata e poi sottratta, il risultato sarà nullo, cioè 0.

+a+(+b-c)=+a+b-c

Se ho un segno “più” davanti ad una parentesi e al suo interno non ci sono operazioni da svolgere, posso rimuovere semplicemente la parentesi.

+a-(+b-c)=+a-b+c

Diverso è il caso in cui davanti una parentesi ho il segno meno. In questo caso, mai dimenticarlo, è necessario rimuovere la parentesi e cambiare tutti i segni all’interno.

(+a) x (+b) = +ab

Per moltiplicare due lettere tra loro diverse, semplicemente si accostano l’una accanto all’altra, moltiplicando i segni con la regola dei segni già vista nelle scorse lezioni nelle operazioni con i numeri relativi.

 

Questo implica anche che, ogni volta che troviamo due lettere vicine in un’espressione algebrica, queste sono tra loro moltiplicate. Essendo valide le regole dei segni, posso anche scrivere.

 

(-a) x (+b) = -ab

(-a) x (-b) = +ab

(+a) x (-b) = -ab

 

Per quanto riguarda le potenze, posso inoltre scrivere che se l’esponente è pari allora il segno meno può essere eliminato:

(-a)n=an

Se invece l’esponente è dispari è allora il segno rimane.

(-a)n=-an

Valgono inoltre le cinque proprietà delle potenze già viste nella scorsa lezione.

 

an x am= am+n

an : am= am-n

(an)m= amn

am : bm= (ab)m

am : bm= (a:b)m

 

CALCOLO LETTERALE, ESERCIZI SVOLTI E DA SVOLGERE

Generalmente teniamo separata la parte teorica da quella pratica. Tuttavia questa lezione di matematica, in fondo, non è stata altro che un ripasso di quanto già appreso precedentemente. Essendo stata molto rapida possiamo quindi passare immediatamente alle esercitazioni, iniziando come sempre da esercizi di calcolo letterale svolti.

 

(2a+b)3 -2(a+b)2

dove a=-1/2;  b=-1

 

Questi tipi di esercizi sul calcolo letterale sono particolarmente semplici. E’ sufficiente sostituire alla lettera il valore indicato sulla destra per ottenere una semplice espressione algebrica numerica.

Consiglio: quando andiamo a sostituire, ricordiamoci di inserire una parentesi nei valori inseriti. Ecco come…

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Ora proviamo a risolvere il calcolo letterale con una sola variabile, ovvero con una sola lettera. Sarà, ovviamente ancora più semplice:

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Di seguito vi proponiamo un elenco di esercizi con cui poter fare pratica con l’argomento

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ATTENZIONE QUANDO AL DENOMINATORE C’È IL NUMERO 0

L’ultimo esercizio, il n.224, lo abbiamo già svolto insieme. Il testo sottolinea anche come per a=-1 il risultato sia impossibile. Vi siete già fatti un’idea del perchè?

Se non sapete rispondere a questa domanda vi consiglio di prendere la vostra calcolatrice e di provare a fare una divisione tra due numeri. Il secondo deve essere 0. Ad esempio: sette diviso zero – non fatelo a mente – cosa dice la calcolatrice? ERRORE!

Questo perché è impossibile risolvere una divisione quando al denominatore c’è 0. Questa è una regola fondamentale che approfondiremo meglio quando parleremo di condizioni di esistenza, sia negli esercizi sulle equazioni che sugli esercizi di analisi del V anno.

Per ora ci basti sapere che un divisione non può mai avere al denominatore lo 0.

 

Espressioni algebriche

–  esercizi svolti e da svolgere

 

ESPRESSIONI ALGEBRICHE ESERCIZI – LE TRACCE DA SVOLGERE

I primi esercizi che vi proponiamo saranno commentati in quasi ogni passaggio, così da evidenziare suggerimenti e tecniche da utilizzare durante lo svolgimento. Le tracce che svolgeremo assieme sono le seguenti tre:

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COME RISOLVERE LE ESPRESSIONI ALGEBRICHE

ESERCIZIO 1

22+(94:272+320):(5×42:2)=

 

Per prima cosa iniziamo a risolvere le espressioni algebriche in parentesi. Si svolgono prima le potenze, anche quelle fuori parentesi, poi moltiplicazioni e divisioni, infine le addizioni.

 

4(6561:729+1):(5×16:2)=

 

In realtà, nonostante risolvere le potenze con la calcolatrice non sia sbagliato, è consigliabile sfruttare le proprietà delle potenze in caso di moltiplicazioni e divisioni. In questo modo i numeri che si ottengono sono molto minori. Trasformo 9 e 27 in due potenze con la stessa base, così da facilitare poi le operazioni successive:

 

=22x[(32)4:(33)2+1]:[5x(22)2:2]=

=22x[(32)4:(33)2+1]:[5×24:2]=

Applico a questo punto le proprietà delle potenze, in particolare la potenza di potenza, per cui moltiplico gli esponenti.

=22x[(38:36+1]:[5×24:2]=

Posso ora eseguire le moltiplicazioni e divisioni tra potenze con la stessa base.

=22x[(32+1]:[5×23]=

Trasformo ora le potenze in numeri interi.

=4x[(9+1]:[5×8]=

Seguono ora semplici calcoli aritmetici.

=40:40=1.

 

ESERCIZIO 2

25-

Ricordando che il segno negativo davanti ad una parentesi fa cambiare il segno a tutti i numeri al suo interno, posso così continuare a risolvere l’esercizio.

26-

ESERCIZIO 3

Vediamo ora come risolvere un’espressione algebrica in cui ci sono diverse linee di frazione. Si inizia allo stesso modo, cioè con le somme algebriche a numeratore e denominatore.

27-

Il trucco è ricordare che la linea di frazione centrale è una semplice divisione. Per cui posso trasformare l’equazione algebrica in una divisione e poi, secondo le regole delle frazioni, “capovolgere” la seconda frazione.

Il numeratore diventa il denominatore e viceversa.

28-

ESPRESSIONI ALGEBRICHE DA RISOLVERE

In matematica è importantissimo esercitarsi anche da soli, anche a costo di sbagliare e dover riprovare. Per cui, dopo aver capito assieme come risolvere i primi con esercizi svolti, vi invitiamo ad esercitarvi da soli sulle seguenti tracce. Sotto la traccia troverete comunque i nostri suggerimenti sulle tecniche da seguire, così da aiutarvi in questi primi esercizi che svolgete da soli.

29-

Per questo primo esercizio consigliamo di risolvere, come sempre, prima le operazioni in parentesi e successivamente calcolare le potenze. Per cui iniziamo calcolando i minimo comune multiplo e svolgiamo le somme e differenze tra frazioni.

30-

 

Per il secondo esercizio ricordiamo l’ordine di gerarchia delle parentesi. Si risolve prima la parentesi tonda, con le relative operazioni, poi la quadra ed infine la graffa, così come già appreso in aritmetica.

Data 18 novembre 2019

ALGEBRA – 7

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La parte decimale del logaritmo, la mantissa e la caratteristica di un logaritmo

 

Negli esercizi di matematica che svolgi in classe, infatti, difficilmente dovrai risolvere e calcolare la parte decimale del logaritmo di un numero. Questo anche grazie alle calcolatrici scientifiche utilizzate ormai da tutti gli studenti delle scuole superiori.

Il calcolo della caratteristica e della mantissa ci servono sostanzialmente per il calcolo logaritmi a mano, senza usare la calcolatrice.

Fatta questa doverosa premessa iniziamo subito dando la definizione di mantissa e caratteristica.

 

COME SI CHIAMA LA PARTE DECIMALE DEL LOGARITMO? COME SI CHIAMA QUELLA INTERA?

Se l’argomento del logaritmo è composto da un numero decimale, ecco le due definizioni.

1-

Per capire come si calcola la parte decimale del logaritmo, cioè la mantissa, e la parte intera, cioè la caratteristica sono doverose alcune osservazioni preliminari.

 

ALCUNE REGOLE PER  CALCOLARE UN LOGARITMO

… PER I NUMERI MAGGIORI O UGUALI DI 1

Ogni numero maggiore e uguale a 1 è sempre compreso tra due potenze successive in base 10, con esponente non negativo.

Che cosa significa questo? Che qualsiasi numero, anche se ha una parte decimale, è sempre compreso tra 10 elevato a qualcosa e 10 elevato allo stesso numero aumentato di 1. Facciamo qualche esempio per essere più chiari.

2-

Questo significa che quando si fa il calcolo di un logaritmo di un numero generico N questo è sempre compreso tra il numero di cifre -1 e il numero di cifre. Ad esempio il logaritmo in base 10 di 20 è compreso tra 1 e 2, visto che il numero di cifre è 2.

 

… PER I NUMERI COMPRESI TRA 0 E 1

Allo stesso modo possiamo dire che ogni numero compreso tra 0 e 1 è sempre compreso tra due potenze successive in base 10, con esponente negativo. Vediamo subito qualche esempio:

3-

 

 

CALCOLO LOGARITMI: COME CALCOLARE LA PARTE INTERA DI UN LOGARITMO?

A cosa ci servono queste due proprietà viste sopra? A calcolare la caratteristica, cioè la parte intera. Vedremo inseguito come calcolare la parte decimale del logaritmo. Facciamo subito un esempio per essere più chiari.

 

ESEMPIO 1

Immaginiamo di voler calcolare il logaritmo in base 10 di 5,84. 5 è la caratteristica, cioè la parte intera, mentre 84 è la parte decimale del logaritmo, cioè la mantissa.

Per il momento possiamo calcolare solo quanto vale la parte intera.

log 5,84= ?

Sappiamo che 5,84 è composto da 1 sola cifra prima della virgola per cui usando la prima formula ricavata ottengo che il suo logaritmo è compreso tra n-1 ed n.

0<log 5,84<1

Questo vuol dire che log 5,84= 0, …. cioè il logaritmo decimale di 5,84 è uguale a 0 virgola qualcosa.

 

ESEMPIO 2

Calcolo logaritmo decimale di 283,23. Per ora possiamo solo calcolare la caratteristica. Visto che n=numero di cifre intere=3, allora vale n-1<logN<n, quindi 2<log283,83<3. Questo vuol dire che log283,23=2, … cioè è pari a 2 virgola qualcosa.

 

ESEMPIO 3

Calcolo logaritmo decimale di 0,004. In questo caso applichiamo la seconda formula. Poiché n=numero di zeri compreso quello prima della virgola = 3, allora –n<logN<-(n+1), vuol dire che il log0,004 deve essere compreso tra -3 e -4. Cioè log0,004=-3,… cioè è pari a -3 virgola qualcosa.

 

COME SI CALCOLA LA PARTE DECIMALE DEL LOGARITMO, CALCOLO DELLA MANTISSA

Abbiamo visto sino ad ora come calcolare un logaritmo a mano o a mente, ma solo la parte intera. Vediamo come calcolare la parte decimale del logaritmo, cioè la mantissa. Purtroppo per avere un certo grado di precisione con le cifre decimali è necessario avere a disposizione delle tavole logaritmiche, che usavano i nostri genitori e i nostri nonni, oppure una calcolatrice.

Generalmente questa tavole sono disponibili alla fine di ogni libro di matematica e ne esiste una a seconda di quanti sono i numeri della parte decimale. Quella che ti mostriamo è infatti una tavola logaritmica per numeri da 1 a 100 con 4 cifre nella mantissa.

 

ESEMPIO

Immaginiamo ad esempio di voler capire come calcolare il logaritmo log40,2314. Per quanto abbiamo detto fino ad ora, sappiamo che la sua caratteristica è c=2. A questo punto entriamo nella tabella e nella colonna a sinistra in blu troviamo il numero 40. Muoviamoci sulla sua riga fino a quando non arriviamo alla sua prima cifra decimale.

4-

In questo caso il numero che ci interessa è 6042. Si ripete a questo punto la stessa operazione anche sulla tavola delle differenze tabulari e si prende nota del numero. Si sommano i due valori individuati e si ottiene anche la parte decimale del logaritmo.

Hai potuto renderti conto in questa lezione che il calcolo logaritmi a mano o a mente non è difficile, ma si tratta di un’operazione piuttosto laboriosa che richiede un po’ di tempo. Oggi questo tipo di calcolo non si effettua più a scuola, né viene richiesto agli studenti. Questo perché le moderne calcolatrici sono in grado di calcolare il logaritmo di qualsiasi numero istantaneamente.

 

Numero di Nepero

–  definizione e proprietà

 

La più classica delle domande che si pone ogni studente quando si trova ad affrontare i logaritmi è: che cos’è il Numero di Nepero? Generalmente il professore di matematica dà sempre la stessa risposta: è una costante, non preoccupatevi di lui perché non vi da fastidio nei calcoli. Allora lo studente replica: “Si ma quanto vale il numero di Nepero?” In questa lezione faremo un po’ di chiarezza, cercando di darti una spiegazione ed una definizione che sia facile e che allo stesso tempo risolva ogni tuo dubbio.

 

CHE COS’È IL NUMERO DI NEPERO?

Il numero di Nepero è una costante matematica indicata generalmente con la lettera e. Viene anche chiamata numero di Eulero ed è numero irrazionale trascende, cioè non si può esprimere con una frazione né come un numero con la virgola periodico. Questa caratteristica lo rende molto simile al PI GRECO.

 

Quanto vale il Numero di Nepero allora? E’ un numero positivo e vale 2,718, approssimando per eccesso a tre cifre decimali. In realtà ti accorgerai, risolvendo i vari esercizi sui logaritmi e sugli esponenziali che non è importante conoscere il valore del numero di Nepero.

 

DEFINIZIONE E DIMOSTRAZIONE

Per comprendere la definizione del numero di Nepero sono necessarie conoscenze avanzate della matematica, che vanno dai limiti alle equazioni differenziali. Mentre i primi si studiano, generalmente, nel programma di analisi, cioè al 5 anno del liceo, le equazioni differenziali si studiano solo all’università di fisica, matematica ed ingegneria. Noi ti riportiamo comunque, per curiosità la definizione più usata dagli studenti.

5-

La formula che hai appena visto non è altro che il limite notevole del Numero di Nepero.  Chi ha studiato il programma di analisi sa benissimo quanto i limiti notevoli siano importanti nello studio di funzione. Questa espressione venne usata per la prima volta da Bernulli, matematico del XVIII secolo. Se proviamo a sostituire dei valori al posto della n, vediamo quali sono i risultati.

6-

Quello che si nota è che più aumenta n, più il risultato finale si avvicina al reale valore del numero di Nepero, che viene quindi raggiunto solo quando n tende ad infinito.

 

LA STORIA DEL NUMERO DI NEPERO

Quello di cui stiamo parlando oggi è un numero molto importante, quanto il PI GRECO, ma fuori dall’ambiente matematico sono in pochi a comprenderne il valore. L’uso del Numero di Nepero è fondamentale nelle operazioni di matematica finanziaria. Su un’antica tavoletta babilonese ( siamo nel 1.700 a.C.) uno studioso si chiedeva quanto tempo potesse volerci ad una somma economica per raddoppiare se ogni anno aumentava del 20%. Per risolvere questo semplice esercizio i babilonesi avrebbero dovuto usare le equazioni esponenziali, che ancora non conoscevano.

 

Il numero e nasce molto probabilmente nel XVII-XVIII secolo, un’epoca in cui si stavano per avviare le grandi rivoluzioni industriali e c’era un grande interesse per il capitale e sui possibili guadagni. Il primo ad avvicinarsi molto al valore di questa costante matematica fu Bernulli che calcolò una cifra  compresa tra 2 e 3. Prima di lui altri avevano provato, come John Napier (in italiano Giovanni Nepero) a cercare un nuovo valore da assegnare alle basi dei logaritmi. Solo dopo la sua morte uscì un lavoro in cui la costante matematica venne chiamata con il nome che noi tutti oggi conosciamo.

 

LE APPLICAZIONI DEL NUMERO DI NEPERO

Una volta capito che cos’è, cerchiamo ora di capire a cosa serve il numero di Nepero. Oltre ai calcoli possibili nella matematica finanziaria con gli interessi composti e le capitalizzazioni, le possibili applicazioni della costante di Nepero sono moltissime: dal calcolo delle probabilità allo studio di funzioni, dalla formula di Eulero usata per i numeri immaginari alla più semplice risoluzione delle equazioni logaritmiche.

 

Definizione di monomio

–  monomi simili, grado di un monomio.

 

DEFINIZIONE DI MONOMIO

Quando a scuola si inizia a parlare di monomi e polinomi, gli studenti iniziano ad andare in difficoltà. E’ normale dato che ci avviciniamo ad una matematica in cui i numeri saranno sempre meno importanti e ci saranno sempre più lettere.

Iniziamo però questa nostra lezione con calma, cercando di capire in maniera semplice e rapida cosa sono i monomi.

 

il monomio è un’espressione algebrica in cui lettere e numeri sono legati solo da moltiplicazioni e divisioni.

 

Chiara la definizione di monomio? Proviamo a spiegarla in altri termini: si tratta di una piccola espressione algebrica in cui compaiono sia numeri che lettere. Tra i vari elementi di un monomio ci sono solo moltiplicazioni e divisioni. Vediamo subito con un esempio:

7-

Nei tre esempi che vi abbiamo presentato abbiamo 3 monomi perché ogni singolo pezzo è legato al successivo attraverso il segno “per” o “fratto”.

 

COSA SONO I MONOMI INTERI, FRATTI E INTERI

Si parla, inoltre, di monomi interi quando non compaiono lettere al denominatore. Si parla di monomi fratti o frazionari quando compaiono lettere al denominatore.

Oltre a capire cosa sono i monomi, è importante sapere cosa rappresentano i numeri e cosa le lettere. Possiamo così dire che la parte numerica si chiama coefficiente del monomio, mentre le lettere formano la parte letterale.

Se osservi bene l’ultimo esempio in alto, ti renderai conto che ci sono notevoli differenze con i primi due. Questo perché le moltiplicazioni non sono state ancora effettuate, vedremo dopo come risolverle. Proprio per questo si dice parla di monomi normali, quando sono state effettuate tutte le moltiplicazioni ed il monomio è formato da 1 sola parte numerica e 1 sola parte letterale.

Ovviamente se il monomio ha parate numerica pari a 0, cioè se il monomio è moltiplicato per 0 il risultato è pari a 0. Questo perché sia numeri che lettere moltiplicati per zero, danno come risultato zero.

 

GRADO DI UN MONOMIO

Si chiama grado di un monomio, rispetto ad una data lettera, l’esponente con cui compare quella lettera. La stessa definizione sarà valida anche con i grado dei polinomi. Vediamo subito con un esempio:

8-

Il monomio è di grado 1 rispetto ad a, di grado 2 rispetto a b, di grado 4 rispetto a c. E’ di grado 0 rispetto a tutte le lettere che non compaiono. Il grado del monomio in questo caso è 7, ottenuto sommando i gradi delle singole lettere.

Quindi dire qual’ è il grado di un monomio significa andare ad analizzare il grado di ciascuna lettera e poi sommarle.

 

MONOMI SIMILI

Due monomi simili hanno la stessa parte letterale, cioè le stesse lettere con gli stessi esponenti. Capire quando ci troviamo di fronte a due o più monomi simili è fondamentale importanza, vedremo, nelle somme algebriche.

9-

Allo stesso modo possiamo dire che due monomi uguali quando sono simili ed hanno lo stesso coefficiente. Quindi tra i due non c’è alcuna differenza, sia nella parte numerica che letterale..

Due monomi sono opposti quando sono simili ed hanno i coefficienti opposti. Quindi ci troviamo in presenza di monomi perfettamente uguali ad eccezione del segno.

 

PRIMI SEMPLICI ESERCIZI SUI MONOMI

Verifichiamo quanto appreso fino ad ora con degli esempi facili facili.

10-

Per scrivere in forma ridotta abbiamo prima moltiplicato solo i segni, poi solo i coefficienti e poi solo le lettere ricordando, per le regole e le proprietà delle potenze, che in caso di moltiplicazione di potenze con la stessa base, semplicemente si addizionano gli esponenti

Scrivere tre monomi simili a ciascuno dei seguenti monomi

Con questo esercizio cerchiamo di risolvere qualche esempio sui monomi simili. L’esercizio è molto semplice, basta riscrivere il monomio cambiando a proprio piacere solo segno e parte letterale. Abbiamo infatti visto che due monomi sono simili se hanno stessa parte letterale, esponenti compresi.

11-

Esercizi sui logaritmi da svolgere e già svolti

 

Gli esercizi sui logaritmi che vedremo in questa lezione non sono altro che espressioni algebriche in cui, oltre ai numeri e alle lettere, compare anche l’operatore matematico “log” o “ln”. Vedremo quindi logaritmi ed esercizi con base naturale, numerica o in base dieci.

Le tracce che stai per affrontare si basano solo sull’applicazione delle regole dei logaritmi agli esercizi. Non affrontiamo per il momento né equazioni né disequazioni con i logaritmi dato che approfondiremo l’argomento più avanti. Oggi non abbiamo incognite, non dovremo calcolare la x, ma solo trasformare per quanto possibile gli esercizi con i logaritmi in espressioni più semplici.

 

ESERCIZI SUI LOGARITMI SVOLTI

Applicare le proprietà dei logaritmi e cercare di semplificare al massimo le seguenti espressioni algebriche.

12-

COME RISOLVERE GLI ESERCIZI CON I LOGARITMI PASSO PASSO

ESERCIZI SVOLTI N.1-

Iniziamo con gli esercizi sui logaritmi più semplici, motivando ogni passaggio così che tu possa riuscire a capire bene tutto. Il primo esercizio svolto è:

13-

ESERCIZI SVOLTI N.2 –

Questa espressione fa parte degli esercizi con i logaritmi con le lettere. Niente paura: non è più difficile degli esercizi normali. La traccia ci ha chiesto semplificare il tutto così da ottenere un solo logaritmo. Essendoci addizioni e sottrazioni, ancora una volta ricorrerò alla regola sulle addizioni e sottrazioni di logaritmi. Per farlo ho però bisogno di fare in modo che abbiano stesso coefficiente.

14-

La radice quadrata, nel risultato, è comparsa perché, se ricordi le regole sui radicali e le proprietà delle potenze, un’esponente con la frazione diventa una radice il cui indice è proprio il denominatore della frazione.

 

ESERCIZI SVOLTI N.3 –

Stavolta, invece di ridurre tutto ad un unico logaritmo, proviamo direttamente ad ottenere un risultato numerico. Dovrebbe essere molto facile, proviamoci assieme:

15-

ESERCIZI SVOLTI N.4 –

In questo esercizio l’unica difficoltà è nelle radici quadrate. Si risolve in maniera semplice, basta ricordarci che le radici non sono altro che potenze con le frazioni.

16-

ESERCIZI SVOLTI N.5 –

Nell’ultimo argomenti sui logaritmi abbiamo una doppia radice quadrata, o meglio una radice dentro l’altra. Per risolvere il problema facciamo quello a cui ci siamo abituati con gli esercizi sulle potenze: cerchiamo di trasformare sia il 27 che la radice di 3 in potenze con la stessa base o lo stesso esponente.

17-

Disequazioni con valore assoluto

–  spiegazione ed esercizi svolti

 

CHE COS’È IL VALORE ASSOLUTO IN MATEMATICA?

E’ ovviamente la prima domanda che si pone lo studente. La definizione di valore assoluto fa riferimento ad una funzione che, se applicata a qualsiasi numero, me lo rende positivo. Il valore assoluto di un numero |-1|=1, si legge il valore assoluto di -1 è uguale a 1

 

DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO: SCHEMI E CASI

E’ possibile in matematica dover risolvere sia delle disequazioni che delle equazioni con valore assoluto fratte o intere. Nella lezione di oggi cercheremo di dare una spiegazione sulle disequazioni vedendo diversi casi. In questo modo quando dovrai risolvere gli esercizi, non dovrai altro che riconoscere in quale caso ti trovi e seguire la regola che vedrai indicata.

 

CASO 1

Il primo caso è quello in cui la funzione valore assoluto è maggiore di un’altra funzione. Abbiamo quindi un valore assoluto a primo membro, il verso maggiore, e a secondo membro una funzione o anche semplicemente un numero.

18-

Per ricordarti questa regola puoi far riferimento alle disequazioni di secondo grado in cui si prendono valori esterni. Infatti dovrò scrivere la funzione in valore assoluto minore di -k unito alla funzione maggiore di k.

 

ESEMPIO:

19-

CASO 2

Il secondo caso lo abbiamo nel momento in cui c’è a primo membro una funzione con valore assoluto, verso minore e a secondo membro un’altra funzione o una costante.

20-

Per ricordarti questa formula fai sempre riferimento alle disequazioni di secondo grado. In questo caso verranno considerati i valori interni tra -k e +k.

 

ESEMPIO:

21-

CASO 3

L’ultimo caso riguarda le disequazioni con più espressioni con valore assoluto. Per risolvere questo caso vanno imposte le varie funzioni in valore assoluto maggiori di zero e studiate su un grafico. Vediamo subito un esempio per chiarire questo ultimo e più difficile caso che nella pratica capirai essere in realtà molto facile:

22-

23-

Ogni linea del grafico corrisponde ad una funzione differente. Nella prima abbiamo disegnato 2x+3 mentre sulla seconda 1-x. Ti consigliamo di scriverle al lato così da rendere più facile l’esercizio.

A questo punto abbiamo il grafico diviso in tre zone: prima di -3/2, l’area centrale tra -3/2 e +1, l’ultima sulla destra dopo +1. Dovrò quindi scrivere tre sistemi diversi.

24-

Per ogni sistema scriverò al primo rigo una disequazione che rappresenta dove mi trovo (prima di -3/2, tra -3/2 e +1, dopo +1) mentre al secondo rigo riscrivo le disequazioni con valore assoluto della traccia con questa regola:

– se sul grafico la funzione ha linea continua si riscrive così com’è;

– se sul grafico la funziona ha il tratteggio va scritta con il segno cambiato.

25-

 

 

Cambiamento di base logaritmi con esempi

 

FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI

Per applicare le proprietà dei logaritmi che abbiamo visto nelle precedenti lezioni è necessario che i logaritmi siano tra loro “paragonabili”, cioè che abbiano praticamente la stessa base.

Non sempre però si è così fortunati negli esercizi. Spesso, infatti, per risolvere i logaritmi è necessario il cambiamento di base. Quella che vi mostriamo è la regola base che puoi imparare a memoria oppure sfruttare i suggerimenti che ti daremo:

26-

Non c’è nulla di più da ricordare: nulla di difficile se provi a fare qualche esercizio.

 

COME USARE LA FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI?

La regola che hai appena visto si applica ogni volta che dovrai provare a semplificare un logaritmo in cui base ed argomento hanno un fattore in comune. Vediamo subito con un esempio:

27-

Per risolvere il logaritmo in figura abbiamo fatto prima il cambiamento di base del logaritmo passando a base 2. Questo perché sia la vecchia base che l’argomento, cioè 8 e 256, sono multipli di 2.

Un altro caso in cui usare la formula del cambiamento di base dei logaritmi è nelle equazioni logaritmiche che vedremo però nelle prossime lezioni.

 

ESERCIZI SVOLTI SUL CAMBIAMENTO DI BASE DEI LOGARITMI

28-

Come puoi vedere otteniamo tre rapporti diversi a seconda della nuova base che andiamo a sostituire. Nell’ultimo caso al numeratore otteniamo 1 al numeratore perché il logaritmo con uguale base ed argomento è pari a 1

29-

Sono state applicate semplicemente le proprietà dei logaritmi ed il cambiamento di base.

30-

Al secondo rigo abbiamo sfruttato le regole sui radicali, in modo tale che tutti i numeri rientrino all’interno delle radici. Abbiamo usato le proprietà delle potenze e proseguito con calcoli e semplificazioni varie.

 

Frazioni algebriche

–  spiegazione ed esercizi svolti

 

COSA SONO LE FRAZIONI ALGEBRICHE?

Definizione: Le frazioni algebriche sono delle particolari frazioni che hanno per numeratore e denominatore due espressioni algebriche. Cioè in poche parole si tratta di un rapporto in cui sia al numerato che al denominatore ci sono dei monomi e polinomi.

Dalla definizione riusciamo a ricavare subito un concetto molto importante per capire l’argomento di oggi. All’interno delle frazioni algebriche i polinomi possono comparire anche al denominatore.

 

Poiché inoltre non esiste ed è impossibile una frazione con lo zero al denominatore, è importante sottolineare come il denominatore sia necessariamente diverso da zero. Queste sono quelle che probabilmente hai sentito chiamare condizioni di esistenza.

Per il resto la spiegazione non è affatto difficile, dato che sono perfettamente uguali alle frazioni algebriche. Per questa ragione potremo semplificare il numeratore con il denominatore dividendoli per uno stesso monomio.

31-

Mentre nel primo esempio le frazioni algebriche sono state semplificate semplicemente riducendo per i termini comuni – in realtà avremmo dovuto calcolare il massimo comune divisore, ma è possibile semplificare a occhio – nel secondo esercizio abbiamo dovuto applicare le regole delle scomposizioni di polinomi. In particolare al numeratore è stata fatta una messa in evidenza totale mentre al denominatore una differenza di quadrati. In questo modo abbiamo ottenuto la parentesi (x+y) moltiplicata sia sopra che sotto, per cui semplificabile.

 

OPERAZIONI CON LE FRAZIONI ALGEBRICHE

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Come per le frazioni aritimetiche, anche le addizioni di frazioni algebriche devono essere ridotte, cioè semplificate e poi in seguito è necessario calcolare il minimo comune multiplo, così che i denominatori siano gli stessi. Eseguite le somme tra le frazioni algebriche, se possibile, si semplifica il risultato ottenuto. Vediamo un esempio.

32-

In questo primo passaggio abbiamo da subito provato a ridurre ai minimi termini, cioè a scomporre, i due denominatori.

 

Trucco per risolvere le frazioni algebriche: se trovi un polinomio di grado superiore a 1, cerca sempre di scomporre. Cioè se vedi un quadrato, un cubo o qualsiasi altra potenza prova a scomporre sempre. A questo punto calcolo il mcm di polinomi:

33-

MOLTIPLICAZIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Per le moltiplicazioni si scrive una frazione avete per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Naturalmente, se possibile, conviene poi semplificare. Vediamo subito un esempio facile:

34-

Ovviamente, come nel caso delle frazioni aritmetiche, è possibile semplificare i termini incrociati della moltiplicazione.

 

DIVISIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Le divisioni tra frazioni algebriche si risolvono trasformando il diviso in per e invertendo il secondo termine (il numeratore diventa denominatore e viceversa). Non è difficile e si risolve esattamente come una normale divisione tra frazioni. Per dubbi leggi la lezione sulle operazioni con i numeri relativi.

Vediamo un esempio più difficile:

35-

Per risolvere la frazione algebrica è stata applicata la regola della differenza di cubi. Dopo la scomposizione è stato sufficiente applicare le normali regole sulle moltiplicazioni e semplificare.

 

POTENZE DI FRAZIONI ALGEBRICHE

E’ la parte più semplice della lezione. Per elevare a potenza una frazione algebrica basta elevare a quell’esponente il numeratore e il denominatore della frazione. Ricordati che anche in questo caso valgono le proprietà delle potenze.

Ecco un esercizio svolto:

36-

Ti consigliamo di prestare molta attenzione a questo esercizio svolto, perché contiene un passaggio che molto spesso gli studenti sbagliano. Un errore molto comune è di semplificare la a del numeratore con quella del denominatore: è sbagliato! Al numeratore la è un addendo, cioè fa parte di una somma. Al denominatore è un prodotto (è come se fosse moltiplicata per 1), per cui non si possono assolutamente semplificare.

 

Operazioni con i monomi

 – somma algebrica, potenza, moltiplicazione e divisione tra monomi

 

Le operazioni con i monomi sono le operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione tra monomi. Si tratta di calcoli che riguardano la parte numerica e letterale e che verranno poi utilizzati anche con i polinomi.

Proprio per questa ragione è importante imparare a risolvere le operazioni con i monomi in maniera rapida e senza avere difficoltà o dubbi.

 

SOMMA ALGEBRICA

Per comprendere pienamente le operazioni con i monomi è necessario che tu abbia capito perfettamente cosa sono i monomi simili e le operazioni con i numeri relativi. Se hai ben chiari questi due concetti, la somma algebrica sarà per te estremamente chiara.

Due o più monomi si possono sommare solo se sono simili; altrimenti ci limiteremo a scriverli uno di seguito all’altro con il proprio segno. Che significa? Vediamo un esempio di somma algebrica e tutti ci sarà più chiaro…

37-

Per semplificarti la vita, mentre svolgi una somma algebrica ti consigliamo di sottolineare i termini simili in maniera differente tra loro. La differenza tra somma aritmetica e somma algebrica di monomi è evidente: nel primo caso hai solo dei numeri con le quattro operazioni fondamentali che si insegnano già alle scuole elementari. Con la somma algebrica di monomi devi tenere in considerazione del segno e della parte letterale.

 

MOLTIPLICAZIONE TRA MONOMI

La moltiplicazione tra monomi si esegue facendo il prodotto dei segni, il prodotto dei coefficienti e il prodotto delle lettere (per quest’ultima operazione ricordati le regole delle potenze e in particolare la moltiplicazione tra potenze con la stessa base). Ecco un esempio facile facile:

38-

DIVISIONE TRA MONOMI

E’ tra le operazioni con i monomi più sbagliate dagli studenti durante i compiti, anche se la regola è perfettamente identica alla moltiplicazione.

Per fare la divisione tra monomi basta come sempre dividere i segni (il che equivale a moltiplicarli), dividere la parte numerica e dividere la parte letterale (per quest’ultima applicherai la divisione tra potenze con la stessa base).

Ciò che più è difficile per gli studenti non è tanto la parte letterale quanto la divisione tra frazioni! Ti ricordiamo che la divisione di frazione può essere eseguita trasformando il “diviso” in “per” e invertendo numeratore e denominatore del divisore (il secondo numero della divisione!). Vediamo subito un esempio:

39-

Come puoi vedere dall’esempio, se i monomi non sono divisibili, il loro quoziente sarà una frazione. Ciò ovviamente riguarda anche le lettere. Se al divisore infatti avessimo avuto (-2abc) allora nel risultato finale avremmo dovuto mettere la lettera c al denominatore.

 

POTENZE

Per elevare a potenza un monomio si elevano a potenza il suo coefficiente numerico e la sua parte letterale. Ricordati: se la potenza ha indice dispari il segno si conserva, sia positivo che negativo. Se l’indice di potenza è pari il segno è sempre più! Vediamo un esempio:

40-

Ricapitolando: nella somma algebrica di monomi, quindi addizione e sottrazione, è importante che i monomi siano simili. In tutti gli altri casi le operazioni con i monomi sono sempre eseguibili.

Data 17 novembre 2019

ALGEBRA – 6

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Logaritmo naturale

 – proprietà, esercizi e regole da conoscere riassunte in una facile mini-guida

 

Il logaritmo naturale è un logaritmo che ha alla base il numero di Nepero e. In matematica si esprime con il simbolo ln. In questa lezione vedremo tutto ciò che riguarda il logaritmo naturale, dal grafico alle sue proprietà. Iniziamo subito con la definizione matematica.

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PROPRIETÀ DEL LOGARITMO NATURALE

In questo capitolo vedremo riassunte in breve quali sono le proprietà dei logaritmi naturali. Ti potrai subito accorgere che non c’è alcuna differenza con i logaritmi con base generica. Per approfondire l’argomento, ti consigliamo di leggere il nostro articolo sulle proprietà dei logaritmi. Troverai le varie regole spiegate passo passo con tanti esempi pratici.

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Come puoi vedere dal grafico, la curva rossa che rappresenta il logaritmo naturale, ha un andamento che ricorda in tutto e per tutto quello dei logaritmi con base maggiore di 1. Per completezza sul grafico ti abbiamo riportato anche l’andamento in verde dell’esponenziale naturale.

Puoi vedere che le curve sono perfettamente simmetriche. Questo perché il logaritmo naturale è la funzione inversa dell’esponenziale naturale. Matematicamente questo si esprime come:

y=f(x)=lnx → y-1=f-1(x)=ex

 

 ESERCIZI SVOLTI

Esempio 1)

ln(x-1)=3

 

Attenzione perché in questo esercizio c’è anche la x. Quindi non è un semplice logaritmo naturale, ma un’equazione logaritmica. Per risolverla bisogna rendere tutto in forma esponenziale a base e.

 

eln(x-1)=e3

x-1=e3

x=e3+1

 

Esempio 2)

In questo esercizio dobbiamo risolvere il logaritmo naturale del logaritmo naturale. Non facciamoci prendere dal panico guardandoci intorno chiedendoci come si fa. E’ molto semplice:

= ln(1) = → il logaritmo naturale di e abbiamo detto essere pari a 1

= 0 → il logaritmo naturale di 1 abbiamo detto essere pari a 0

 

Somma di logaritmi

 – esempi ed esercizi svolti per l’addizione tra logaritmi

 

Nel paragrafo dedicato alle proprietà dei logaritmi abbiamo già parlato di come se eseguano le operazioni matematiche fondamentali tra logaritmi. In questa lezione faremo un approfondimento che riguarda la somma di logaritmi. Iniziamo facendo una rapido riassunto di quanto ci siamo già detti.

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SOMMA DI LOGARITMI CON BASE DIVERSA

Fin ora niente di complicato. Cosa succede se invece devo fare l’addizione di logaritmi che hanno base differente? In quel caso è necessario modificare una delle due basi, così da riportarci nella situazione precedente. Per far ciò ti consigliamo di segnarti la formula per il cambiamento delle basi dei logaritmi.

E’ indifferente quale dei due logaritmi viene cambiato di base, la cosa importante è che la somma di logaritmi avvenga sempre con la stessa base.

 

ESEMPIO 1.

Un caso che spesso ci viene chiesto: come si fa quando ho la somma di logaritmi con lo stesso argomento? Se hanno la stessa base si risolve in pochi semplici passaggi. Vediamo subito praticamente come calcolare l’addizione:

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ESEMPIO 2

Vediamo come si fa la somma di logaritmi con base diversa,  applicando le formule studiate fino ad ora.

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Nell’ultimo passaggio hai capito perché abbiamo eliminato il termine log33? Perché quando base e argomento sono uguali, il logaritmo fa 1. E 2×1 fa 2. Quindi a denominatore resta solo 2. A questo punto la mia somma di logaritmi diventa:

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ESEMPIO 3

Un nostro studente ci ha chiesto, durante una lezione, come si risolve la somma di logaritmi con la x prima di uno dei due addendi. Vediamo il caso più nel dettaglio.

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Più di questo, però, in questo esercizio non possiamo fare perché come detto non si tratta più di un’espressione, ma di un’equazione logaritmica in cui manca il secondo membro, per cui dobbiamo fermarci qui.

 

CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE

Le somme di logaritmi sono estremamente facili da risolvere. Si tratta di una piccola moltiplicazione tra gli argomenti degli addendi da sommare. Tuttavia la cosa che fa cadere spesso in errore gli studenti durante i compiti e verifiche è la contestualizzazione della regola assieme alle altre.

Cosa significa? Che non basta saper applicare la somma di logaritmi, ma è importante conoscere e saper applicare anche tutte le altre regole che riguardano i logaritmi, specialmente quella sulla potenza, utilizzata molto spesso per eliminare i coefficienti numerici.

 

Grafico logaritmo

 – ecco come si disegna il grafico della funzione logaritmica

 

Il grafico della funzione logaritmica è uno di quegli elementi matematici da imparare a memoria, perché difficile da ricavare tramite calcoli. Ricordare però l’andamento del grafico logaritmo è importante per rispondere a tante domande immediate che potrebbero venirti chieste durante una verifica (per esempio quanto vale il logaritmo di zero o il logaritmo di infinito?)

 

IL GRAFICO DEL LOGARITMO… MA QUALE?

Ricordi quello che abbiamo detto quando abbiamo parlato della definizione di logaritmo? Abbiamo visto che la sua forma generica è:

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La curva logaritmica cambia profondamente a seconda del valore della base. Ecco la ragione per cui distinguiamo due casi.

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Riassumendo i contenuti di questa lezione in breve: abbiamo appreso che il grafico del logaritmo dipende dalla base utilizzata. Abbiamo distinto due casi differenti: quello in cui la base è maggiore di 1 (disegno sulla sinistra) e quello in cui la base è compresa tra o e 1. A parte alcune caratteristiche comuni, i due disegni si mostrano completamente differenti.

 

Logaritmo di 0? E’ impossibile!

– Ecco due modi per spiegarlo in maniera semplice ed immediata

 

Quanto vale il logaritmo di 0? Come si può calcolare log0 oppure ln0 senza usare la calcolatrice, visto che dà risultato impossibile? Scoprirai che non c’è differenza tra il logaritmo naturale e decimale, il risultato non cambia. Ma iniziamo un passo alla volta.

Innanzitutto, così come abbiamo detto nella lezione sul logaritmo di infinito, è impossibile calcolare il logaritmo di zero questo perché la funzione non è definita in quel valore. Scrivere quindi loga(0) oppure ln(0) o log(0) non ha alcun senso. Il risultato, ha ragione la calcolatrice, è impossibile!

Una risposta più coerente potrebbe darla chi ha fatto già analisi e sa studiare il dominio di una funzione o semplicemente chi conosce l’andamento della funzione logaritmica. Cerchiamo comunque di dare una risposta semplice ed esaustiva alla portata di tutti.

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Cioè trovare un logaritmo significa trovare quell’esponente, applicato alla base a che mi da risultato l’argomento b. Per capire perché il logaritmo di 0 è impossibile prova a considerare l’esponenziale. Esiste un esponenziale che mi dà risultato 0? Considerando a>1, no!

Anche per questa ragione si dice che l’argomento del logaritmo, cioè b, deve essere maggiore di 0 (e non maggiore e uguale). Se questa prima spiegazione non ha convinto, ti diamo un’ulteriore dimostrazione con un metodo grafico.

 

LOGARITMO DI 0 SUL GRAFICO

Senza dover fare uno studio di funzione, complesso e lungo, proviamo a disegnare la funzione logaritmo assegnandole delle x in maniera arbitraria e calcolando di conseguenza la y con la calcolatrice. Avremo così delle coppie di punti (x,y) da andare ad inserire sul grafico.

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Come puoi vedere dal grafico il logaritmo di 0 (in questo caso abbiamo usato calcolato il logaritmo decimale di zero) è impossibile perché la curva rossa della funzione non passa mai per la zona evidenziata in rosso. Cioè non va mai a toccare l’asse delle ordinate (la cui equazione della retta è x=0). Questo vuol dire che il logaritmo di 0 non può esistere.

Il grafico verrebbe molto simile anche provando a calcolare il logaritmo naturale di 0, anche provando a fare delle trasformazioni, come il cambiamento di base.

 

Quindi alla domanda: quanto vale il logaritmo di 0? Il risultato che devi scrivere sul tuo quaderno è impossibile, semplicemente perché l’argomento del logaritmo non può mai essere 0.

 

LIMITE DEL LOGARITMO DI 0

Una scappatoia c’è! Se stai studiando i limiti sai benissimo che non bisogna cercare il logaritmo di zero. La domanda sarebbe posta male in questo modo. Si calcola cioè il limite di log(0), cioè i valori che la funzione assume negli intorni di zero. In questo caso, sempre osservando il grafico, si nota che man mano che la x si avvicina a zero (muovendoci da destra verso sinistra), la funzione va verso il basso, quindi si spinge a meno infinito.

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CONCLUSIONI

Possiamo quindi affermare che, a meno che tu non faccia riferimento ai limiti e quindi al programma che si studia in analisi, il logaritmo di zero è impossibile. Per questa ragione se ti trovi a risolvere delle espressioni o delle equazioni in cui ti appare log(0) oppure ln(0) allora semplicemente scrivi IMPOSSIBILE e termina l’esercizio.

 

Trinomio speciale o trinomio caratteristico

– definizione e scomposizione con alcuni esempi svolti

 

DEFINIZIONE DI TRINOMIO SPECIALE

Il trinomio speciale è detto anche trinomio caratteristico o notevole e rappresenta un particolare tipo di trinomio che può essere scomposto in maniera alternativa alla formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, cioè non si usa il delta.

Volendo dare una definizione semplice di trinomio speciale, possiamo dire che essa si presenta nella forma:

 

x2-sx+p

 

Viene chiamato trinomio perché è un polinomio composto dalla somma di 3 monomi. Si definisce particolare o caratteristico o notevole perché si risolve con la tecnica della somma e prodotto.

Nonostante infatti x2-sx+p sia molto simile a ax2+bx+c=0 (vedi equazioni di secondo grado) non si esegue una scomposizione con il metodo del delta, ma si abbrevia il tutto a pochi semplici passaggi.

 

DIFFERENZA TRA TRINOMIO SPECIALE GENERALIZZATO E DI SECONDO TIPO

Il trinomio speciale generalizzato ha il coefficiente del termine di secondo grado sottinteso, cioè pari a 1. Nel caso in cui non dovesse verificarsi questa condizione, ci troveremmo di fronte ad un trinomio caratteristico di secondo tipo. Affronteremo anche questo caso all’interno di questa lezione, ma facciamo un passo alla volta.

Ciò che dobbiamo tener presente è che la lettera “s” sta ad indicare la somma delle soluzioni, mentre la lettera “p” il prodotto.

 

ESEMPIO PER INIZIARE

Vediamo subito praticamente come si effettua la scomposizione dei trinomi caratteristici andando ad analizzare un esempio concreto. Cerchiamo di scomporre il seguente trinomio speciale:

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Per la scomposizione del trinomio caratteristico dell’esempio occorre trovare due numeri che sommati diano come risultato -3 e moltiplicati diano come risultato 2. Per semplicità partiamo dalla moltiplicazione: quali sono i numeri il cui prodotto fa +2?

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VERIFICA DELLA SCOMPOSIZIONE DEL TRINOMIO CARATTERISTICO

Ricordiamoci di fare una piccola moltiplicazione per verificare che il procedimento eseguito sia corretto. Se moltiplichiamo le due parentesi ottenute dopo la scomposizione, dovremmo tornare alla traccia:

(x+2)(x+1) = x2+x+2x+1=x2+3x+2 (Verifica soddisfatta!)

 

SCOMPOSIZIONE TRINOMIO SPECIALE

Hai visto quanto è semplice la regola spiegata con un esempio concreto? Vediamo di riassumere in pochi passaggi ciò che bisogna fare per risolvere i  trinomi notevoli con la tecnica somma e prodotto.

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TRINOMIO CARATTERISTICO CON COEFFICIENTE (DI II TIPO)

Nel caso in cui non dovesse essere sottinteso il coefficiente del termine di II grado è necessario ricorrere ad una piccola modifica della formula, altrimenti i calcoli non si troverebbero. In questo caso ci troviamo di fronte a:

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Quindi in questo caso andremo a trovare delle coppie di numeri che moltiplicate mi diano come risultato (c)(a) e tra queste verificheremo quale soddisfa la condizione per cui la loro somma è pari a -b. Vediamo subito con un esempio pratico come mettere in pratica questo caso, leggermente più complicato del precedente.

 

ESEMPIO CON COEFFICIENTE

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Verifica: ti lasciamo come esercizio per casa la verifica dell’esercizio svolto. Moltiplica le due parentesi e vedrai che otterrai proprio la traccia.

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Definizione di logaritmo

 – cosa sono i logaritmi spiegati in maniera semplice

 

LA DEFINIZIONE DI LOGARITMO DEL LIBRO

Il primo passo è come sempre seguire la strada dei libri di testo. Quindi iniziamo dando subito la definizione di logaritmo che si trova in qualsiasi libro di matematica per le scuole superiori.

 

DEFINIZIONE: DATI A E B APPARTENENTI ALL’INSIEME DEI NUMERI REALI, SI DEFINISCE LOGARITMO IN BASE A DI B, L’ESPONENTE DA AGGIUNGERE ALLA A PER OTTENERE COME RISULTATO B.

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Definizione di logaritmo decimale: è il logaritmo che ha base 10

Definizione di logaritmo naturale: è il logaritmo che ha base il numero di Nepero “e”.

 

UN PO’ PIÙ FACILE…

Ci hai capito poco, vero? Ti serve una spiegazione un po’ semplificata? Cerchiamo di fare un passo per volta. Ricordi che cos’è una funzione esponenziale? Si tratta una “potenza” del tipo: ac=b

In parole povere il logaritmo è l’operazione inversa dell’esponenziale. Non cercare di capire perché, si tratta di una definizione. Concentrati sul come! Vediamo subito con un esempio che cos’è il logaritmo in base a di b.

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CONCLUSIONI

Abbiamo visto come la definizione di logaritmo possa essere applicata agli esercizi più semplici in cui è richiesto un calcolo quasi immediato di un logaritmo. Nella maggior parte dei casi non saremo così fortunati, ma potremo farci aiutare dalla calcolatrice e dalle proprietà dei logaritmi, che ti consigliamo invece di studiare in maniera approfondita perché ti saranno molto utili nel proseguo degli studi.

 

Il simbolo diverso

 – qual è, come si fa su tastiera e su excel

 

I segni matematici sono fondamentali, anche se alcuni non sono molto frequenti. In questa piccola guida vediamo qual è il simbolo diverso, come si fa sulla tastiera, su word e su excel.

 

IL SIMBOLO DIVERSO

Si utilizza in matematica quando si vuole esprimere la diversità tra primo e secondo membro. E’ un segno matematico che compare molto spesso nelle equazioni fratte, quando cioè si vanno ad esprimere delle condizioni di esistenza.

 

COME SI FA IL SIMBOLO DIVERSO?

Essendo una negazione di un’uguaglianza, semplicemente si mette una barra trasversale sull’uguale. Proprio come abbiamo fatto nell’immagine seguente.

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Come si legge? Immagina di dover leggere 5≠6. Leggeremo CINQUE DIVERSO DA SEI. Quindi il simbolo diverso esprime una disuguaglianza tra il primo e il secondo membro di un’equazione. Mi dice in parole povere che quello che è a sinistra è diverso da quello che è a destra del simbolo del diverso.

 

COME SI FA IL SIMBOLO DIVERSO SULLA TASTIERA?

Generalmente ci sono diversi unicode per indicare il simbolo di diverso da tastiera. Noi li abbiamo provati tutti e non funziona neanche uno, tanto è vero che nella tabella completa dei caratteri, il segno diverso non compare. Vi possiamo solo dire di provare:

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LE EQUAZIONI CON IL SIMBOLO DIVERSO

Come dicevamo all’inizio il simbolo disuguale compare soprattutto nelle equazioni fratte, visto che bisogna imporre una condizione di esistenza. Dovendo imporre che il denominatore è diverso da 0, allora si ottiene un’equazione con il simbolo di diverso.

Lo studente generalmente va subito in crisi perché non sa come risolverle. In realtà non c’è nessun tipo di problema e per la risoluzione si procede esattamente come nelle normali equazioni. Facciamo un esempio con un’equazione di primo grado.

x+1≠0 →x≠-1

Quindi valgono esattamente le stesse regole già ben note delle equazioni.

 

mcm e mcd

–  esercizi e spiegazione per imparare a risolvere i problemi

 

Mcm e mcd sono praticamente i fondamenti dell’algebra. Imparare a calcolare il minimo comune multiplo o conoscere la definizione di massimo comune divisore è fondamentale per risolvere problemi ed esercizi più complessi in cui compaiono le frazioni o la messa in evidenza.

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MCD E MCM ESERCIZI

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A questo punto prendiamo i diversi fattori trovati (2, 3 e 5) e possiamo calcolare mcm e mcd.

mcm= 22 x 33 x 5 =4 x 27 x 5 = 540

mcd= 3  = 3

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Da notare come nella scomposizione di 240 e 270 abbiamo utilizzato le proprietà delle potenze. Infatti 2 x 23 = 24, poiché gli esponenti si sommano visto che la base della potenza è la stessa. Aiutati con una calcolatrice oppure scriviti da parte i calcoli delle moltiplicazioni, se necessario.

 

mcm =  33 x 24 x 5 = 2.160

mcd = 3 x 2 x 5 = 30

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ESERCIZI CON MCM E MCD DA RISOLVERE PER CASA

Calcolare mcm e mcd tra i seguenti gruppi di numeri. Quella che ti mostriamo è una tabella. Sulla sinistra trovi i gruppi di numeri da traccia, sulla destra il risultato dell’esercizio. Buon calcolo!

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Suggerimenti: Ricordati che se nel calcolo del massimo comune divisore non trovi fattori comuni, allora il risultato sarà 1.

 

PROBLEMA 1

Traccia: Giovanni il fioraio dispone di 24 margherite, 60 ciclamini e 84 tulipani. Quanti mazzetti uguali tra loro potrà fare e quale sarà la loro composizione?

Svolgimento e soluzione: il problema ci chiede di calcolare il mcd tra 24, 60 e 84. Quindi:

24 = 3 x 23

60 = 10 x 6 = 5 x 2 x 3 x 2 = 5 x 3 x 22

84 = 4 x 21 = 22 x 7 x 3

mcd = 3 x 22 = 12 mazzi di fiori

 

PROBLEMA 2

Traccia: Un cartolaio, dispone di 28 quaderni, 70 agende e 84 diari. Quante confezioni uguali potrà fare e quale sarà la loro composizione?

Svolgimento e soluzione: ancora una volta viene richiesto il calcolo del mcd. Quindi:

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PROBLEMA 3

Traccia: Due amici sono nati nello stesso paese, ma si vedono raramente perché sempre in viaggio. Considerando che tornano a casa il primo ogni 35 giorni, il secondo ogni 25 giorni, quando si incontreranno di nuovo nel paese dove sono nati?

Svolgimento e soluzione: in questo caso viene richiesto il calcolo del mcm tra 25 e 35. Per questa ragione possiamo scrivere:

25 = 52

35 = 5 x 7

mcm = 7 x 52 = 175 giorni

 

Definizione di semiretta

– Che cos’è una semiretta?

 

La definizione di semiretta non è particolarmente complessa. Una volta chiaro che cos’è una retta, infatti, bastano pochi semplici passaggi, per arrivare alla definizione di semiretta e segmento.

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La semiretta è un ente fondamentale geometrico, siamo quindi davvero alle spiegazioni fondamentali della geometria. Evita di imparare tutto a memoria e cerca di capire i meccanismi. Ti verrà tutto più semplice e non avrai problemi o lacune con la continuazione del programma.

 

SEMIRETTA DEFINIZIONE

SI DEFINISCE SEMIRETTA CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI UNA RETTA AB RIMANE DIVISA DA UN SUO PUNTO O.

Detto in parole semplici, la semiretta non è altro che una retta che ha un punto iniziale e non una fine. Al contrario invece della retta che era indefinita sia da un lato che dall’altro.

 

ALTRE DEFINIZIONI DELLA SEMIRETTA

Il punto O si considera appartenente alle due semirette ottenute e si chiama origine di entrambe le semirette.

Le due semirette si definiscono opposte, o anche l’una il prolungamento dell’altra.

I punti di una semiretta diversi dall’origine si definiscono interni

 

COME SI DISEGNA UNA SEMIRETTA ORIENTATA

Per disegnare una semiretta, hai bisogno semplicemente di una penna o di una matita, un foglio di carta e un righello. Ricordati che per definizione di semiretta, esiste un origine, quindi un punto fisso. Inizia disegnando questo indicandolo con una lettera maiuscola. La semiretta invece va indicata con una lettera minuscola.

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OSSERVAZIONI SULLA SEMIRETTA

Nella figura sopra, la retta è stata divise nelle due semirette opposte a e b di origine O. E’ evidente che una semiretta contiene un punto O di una data retta r e tutti i suoi punti che seguono, o precedono O, sopra r.

Si chiama infine sostegno di due semirette opposte, la retta alla quale esse appartengono. Si noti che date due semirette opposte OA ed OB, resta individuata la loro retta sostegno AB. ;a data una retta AB, non resta individuata alcuna semiretta fino a quando non si fissa un punto origine O su di essa.

 

Massimo comune divisore

 -mcd – definizione, calcolo ed esempi

 

Il calcolo del massimo comune divisore è uno degli argomenti più importanti di tutto il programma di algebra, così come il minimo comune multiplo (mcm). In questa lezione ti mostreremo come calcolare mcd in modo semplice e seguendo pochi semplici passaggi. Riuscirai con questa nostra breve regola a risolvere gli esercizi di matematica e di algebra più complessi.

Il calcolo di mcd, che all’inizio potrà sembrarti impegnativo, con il passare del tempo diventerà così automatico che riuscirai addirittura a calcolare il massimo comune divisore a mente, meglio di un calcolatore!

Sostanzialmente riuscirai a trovare un numero, partendo da quelli che ti assegna la traccia, che può essere il divisore di tutti. Ma non complichiamoci la vita da subito e facciamo un passo alla volta.

 

A CHE SERVE IL MASSIMO COMUNE DIVISORE

Prima di vedere la regola per calcolare il massimo comune divisore è importante che tu sappia che questo potente strumento ti servirà non solo nel calcolo delle frazioni negli esercizi sul m.c.d., ma anche negli esercizi sui monomi e sui polinomi.

In particolar modo studierai il raccoglimento a fattore comune che si basa interamente sul calcolo del mcd, su alcuni testi chiamato anche minimo comune divisore.

 

DEFINIZIONE DI MASSIMO COMUNE DIVISORE

Iniziamo cercando di capire qual è la definizione del mcd, ovvero che cos’è il massimo comune divisore. In tutti i libri di matematica che si usa a scuola viene enunciata la seguente regola.

 

Per il calcolo del mcd si prendono i fattori comuni presi una sola volta con il minimo esponente.

 

Si tratta di una definizione che nella matematica ritornerà molto spesso e non solo con le frazioni, tanto che la imparerai presto a memoria. Vediamo qual è il significato di questa definizione per poter ottenere così una regola, cioè un metodo che ci permetta di capire come calcolare il massimo comune divisore. Facciamo subito un esempio pratico, così da eliminare tutti i dubbi e le difficoltà.

 

Calcolare il mcd dei seguenti numeri: 10;15;100.

 

La definizione ci dice di dover prendere i fattori comuni. Questo significa che il primo step è quello di dividere i vari numeri datici dalla traccia in fattori, cioè in numeri primi. Per il calcolo del mcd prenderemo, tra questi, solo quelli comuni a tutti e con il minimo esponente.

 

Nel nostro caso, cioè, 10=2x5, 15=3x5, 100=2^2x5^2.  Dei vari fattori primi che abbiamo ottenuto scomponendo i numeri della traccia, solo 5 è quello che compare sempre e va preso con il minimo esponente. Per cui il massimo comune divisore dei numeri dati è 5.

NOTA BENE: se non ci sono elementi comuni tra i vari fattori, il massimo comune divisore è 1

 

CALCOLO MCD – ESEMPIO SVOLTO

Non ti è ancora chiaro e non hai capito oppure vorresti un altro esempio per togliere i dubbi che ti sono rimasti? Ebbene nell’esercizio svolto sul mcd che ti proponiamo ora ti mostriamo tutti gli step anche con delle immagini. Così ti facciamo vedere non solo come si calcola mcd ma anche esattamente cosa dovrai scrivere sul tuo quaderno quando farai gli esercizi.

 

Il metodo di calcolo che ti facciamo vedere è valido per tutti: come aiuto dislessia, per la scuola primaria, media o superiori. Tutti possono applicare questa regola così da rendere tutto più semplice. Ecco la traccia dell’esercizio.

 

Calcolare il massimo comune divisore di 50, 10 e 30

 

Quello che ti proponiamo è un metodo a step infallibile, leggilo attentamente. E’ facile e noi cercheremo di essere chiari e di esportelo in modo semplice così che possa tu usare questa regola anche nei tuoi esercizi.

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Questo vuol dire che il massimo comune divisore tra 50, 10 e 30 è 10.

 

ESERCIZI DA SVOLGERE

Ti abbiamo dato così una regola per calcolare il massimo comune divisore. Sei pronto quindi per provare se hai capito con degli esercizi facili. Ecco le tracce degli esercizi con risultati sul mcd.

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Data 16 novembre 2019

ALGEBRA – 5

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Quadrato di un binomio

–  con esempi ed esercizi svolti

 

Saper risolvere un quadrato di binomio è fondamentale per riuscire a completare tantissime tipologie di esercizi e problemi. Si tratta di una regola semplice, ma che molti studenti spesso sbagliano.

 

COME CALCOLARE IL QUADRATO DI UN BINOMIO

Innanzitutto specifichiamo che cos’è un binomio: si tratta di una coppia di numeri o lettere che in genere vedrai raccolti all’interno di una parentesi. Fare il binomio al quadrato significa sostanzialmente moltiplicare quella piccola espressione matematica per se stessa.

Il quadrato di binomio rientra tra i prodotti notevoli perché non c’è bisogno di eseguire ogni volta tutte le moltiplicazioni (nel nostro caso moltiplicare il binomio per se stesso) ma ci si avvale di una regola che ci risparmia tempo e calcoli.

 

QUADRATO DI UN BINOMIO FORMULA:

Per eseguire correttamente il quadrato di binomio è necessario fare il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo termine e il doppio prodotto del primo per il secondo termine.

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Vediamo passo passo come si eleva al quadrato un binomio…

 

QUADRATO DEL PRIMO

I due termini, ovvero i due monomi, sono a e b. Il primo passo è di prendere il primo termine (non dimenticare il segno) ed elevarlo al quadrato.

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QUADRATO DEL SECONDO

Il secondo passaggio è quello di elevare al quadrato il secondo termine. Anche in questo caso un eventuale segno meno si trasforma in “+”.

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DOPPIO PRODOTTO

Arriviamo al passaggio che in tanti studenti dimenticano o sbagliano. L’errore che fanno tutti è di sbagliare il segno. La regola da seguire è:

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DIMOSTRAZIONE DEL QUADRATO DI UN BINOMIO

La regola del quadrato di binomio si dimostra in maniera molto semplice: basta moltiplicare la parentesi per se stessa così da ottenere la formula risolutiva.

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Come dicevamo, si tratta di un prodotto notevole, perché ci evitiamo ben due passaggi semplicemente ricordando la regola del quadrato di binomio. E’ un modo quindi per semplificarci la vita e ridurre il numero di moltiplicazioni e più in generale di operazioni.

 

ESERCIZI SVOLTI SUL QUADRATO DI UN BINOMIO

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Nel primo esercizio svolto ti abbiamo mostrato tutti i calcoli che devi svolgere. Come puoi vedere abbiamo fatto il quadrato del primo monomio, il quadrato del secondo e il doppio prodotto, moltiplicando prima i segni, poi i numeri e poi le lettere. Vediamo altri esercizi svolti.

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QUADRATO DI UN TRINOMIO

La regola è perfettamente analoga, per cui faremo: quadrato del primo termine, quadrato del secondo, quadrato del terzo, doppio prodotto del primo per il secondo, doppio prodotto del secondo per il terzo, doppio prodotto del primo per il terzo. Vediamo subito un esempio su come risolvere il quadrato del trinomio:

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ESERCIZI DA RISOLVERE – ESPRESSIONI CON BINOMI AL QUADRATO

Sviluppare i seguenti quadrati di binomio e di trinomio:

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Quadrato di un trinomio

 – la formula risolutiva con esempi svolti

 

Il quadrato di un trinomio è un prodotto notevole che permette di calcolare il quadrato di polinomi composti da 3 monomi. Applicandone la regola inversa, è possibile scomporre un polinomio per ottenere un quadrato di trinomio.

 

QUADRATO DI UN TRINOMIO FORMULA

Dato un polinomio composto da 3 monomi che si sommano tra di loro A(x), B(x) e C(x) che per semplicità chiameremo soltanto A, B e C. Per calcolare il quadrato di trinomio uso la formula:

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PER EVITARE GLI ERRORI PIÙ COMUNI

Come puoi notare calcolando i quadrati di trinomi si ottengono ben 6 elementi, cioè sei monomi. Se dopo il calcolo dovessi trovarne di meno, vuol dire che hai commesso un errore. Quindi alla fine del calcolo semplicemente conta quanti monomi hai ottenuto: se sono sei vuol dire che non hai tralasciato doppi prodotti. Uno degli errori maggiori infatti è proprio quello di dimenticare di moltiplicare alcuni dei termini.

 

Un altro errore molto frequente è quello di dimenticare i segni. Proprio per questa ragione ti suggeriamo, soprattutto per le prime volte e fino a quando non hai sufficiente pratica, di utilizzare molto le parentesi tonde. In questo modo hai la certezza di non sbagliare. Ecco come fare.

 

QUADRATO DI UN TRINOMIO NEGATIVO – ESEMPIO

(x-y-3)²=

=x²+y²+3²+2(x)(-y)+2(x)(-3)+2(-y)(-3)=

=x²+y²+9-2xy-6x-6y.

Quindi andando ad eseguire i calcoli abbiamo considerato ogni termine con il suo segno inserendolo all’interno di una parentesi.

 

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA

Come si ottiene la formula del quadrato di trinomio. Semplicemente prova a moltiplicare due trinomi identici.

 

(A+B+C)·(A+B+C) = A²+AB+AC+AB+B²+BC+AC+BC+C²

 

A questo punto si sommano i termini simili e si ottiene la formula definitiva: A²+B²+C²+2AB+2AC+2BC.

 

NOTA: seguendo il procedimento inverso si può ottenere la scomposizione del polinomio in quadrato di trinomio. Se cioè abbiamo i sei termini appena individuati e dobbiamo eseguire una scomposizione, sappiamo che otteniamo il trinomio al quadrato.

 

ESEMPI SUL QUADRATO TRINOMIO

La parte teorica è già finita. Ti consigliamo di fare attenzione con le frazioni e, come già detto, con i numeri negativi. Per il resto si tratta solo di fare un po’ di pratica. I quadrati di trinomi si risolvono con calcoli analoghi a quelli per i binomi. Facciamo qualche esempio pratico per togliere ogni dubbio.

 

ESERCIZIO 1

(x²+y³-5z)²

 

Per risolvere questo esercizio ricordate delle proprietà delle potenze, in particolare della potenza di potenza. Ricordati che in quel caso andavamo a moltiplicare gli esponenti. Ci servirà quando andremo a fare il quadrato di y alla terza. Siamo pronti a risolvere dopo questa piccola premessa.

 

(x²+y³-5z)²=

=(x²)²+(y³)²+(-5z)²+2(x²)(y³)+2(x²)(-5z)+2(y³)(-5z)=

=x4+y6+25z2+2x²y³-10x²z-10y³5z.

 

Come puoi vedere, in questo esercizio per calcolare il quadrato di un trinomio, abbiamo prima calcolato il quadrato di ogni termine, poi eseguito letteralmente il doppio prodotto di ogni singola combinazione tra i vari termini del polinomio.

 

ESERCIZIO 2

Proviamo a fare un esercizio un po’ più complesso usando anche le radici, visto che sono il terrore di ogni studente. In questo caso, senza neanche ricordarci le regole delle radicali, trattiamola come se fosse una lettera.

 

(x+1-√3)²=

=x²+1²+(√3)²+2(x)(1)+2(x)(-√3)+2(1)(-√3)=

=x²+1+3+2x+-2x√3-2√3.

 

SCOMPOSIZIONE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO

Così come esiste il trinomio scomponibile nel quadrato di un binomio, anche in questo caso se siamo attenti, possiamo riconoscere un polinomio composto da 6 monomi e scomporlo in un quadrato di trinomio. Ovviamente dovranno esserci 3 termini di cui è possibile fare la radice e 3 monomi pari, di cui cioè si stata fatto il doppio prodotto. Vediamo subito un esempio pratico:

11-

Il segno non lo si deduce dai termini al quadrato, visto che il quadrato rende il segno sempre positivo. Lo vediamo però dai doppi prodotti. Ad esempio 2xy ha segno positivo, per cui saranno entrambi positivi o entrambi negativi. 2xz ha invece segno negativo per cui i due monomi sono discordi: uno è positivo e l’altro è negativo. Ha senso quindi supporre che x e y siano positivi mentre z negativo.

 

Criterio di divisibilità per 7

 – quando si può dividere un numero per 7

 

CRITERIO DI DIVISIBILITÀ PER 7 – LA TEORIA

1- Criterio generale: per capire se un numero è divisibile per 7, lo trascriviamo escludendo le unità. Sommiamo il numero ottenuto con la cifra dell’unità moltiplicata per 5 e vediamo se otteniamo un numero che si riconosce facilmente come divisibile per 7. Se il numero è ancora troppo alto ripetiamo il passaggio.

Esempio: verificare che per il numero 2.401 è un multiplo di 7.

Partiamo riscrivendo il numero senza unità.

2.401 → 240

A questo aggiungiamo la cifra delle unità moltiplicata per 5 → 5=5

240+5=245

Ripetiamo l’operazione nuovamente:

245→24 + 5×5= 23+25=49

Poiché dalla tabellina del 7 risulta 7×7=49, allora il numero di partenza 2.401 è divisibile per 7.

 

2 – Criterio di divisibilità per 7 per i numeri maggiori di 70 e inferiori a 100 → quando abbiamo a che fare con un numero compreso tra 70 e 100 possiamo capire immediatamente se è divisibile per 7 con un metodo più rapido e semplice. Dal numero sottraiamo 70 e verifichiamo se il risultato è divisibile per 7.

Esempio: 84 è un numero divisibile per 7?

Sottraiamo al numero 70 → 84-70=14 e poiché 7×2=14, allora il numero è divisibile per 7.

3- Criterio di divisibilità per 7 per i numeri molto alti → dividiamo il numero in gruppi di cifre da 3 partendo da destra. Tra ogni gruppo si mette un segno alternato.

Esempio: 5.764.801 è divisibile per 7?

Dividiamo il numero in blocchi di 3 cifre:

801

764

5

Andiamo ad aggiungere tra questi un segno che si alterna partendo dal meno:

801-764+5 → 42 → Poiché 6×7=42, allora il numero è divisibile per 7.

 

ESERCIZI SVOLTI

Provare ad applicare uno dei criteri di divisibilità per 7 ai seguenti numeri.

861

Applichiamo il criterio generale, per cui consideriamo il numero intero ad esclusione delle unità.

861→86

 

A questo andiamo a sommare il quintuplo della cifra delle unità:

86+1×5=86+5=91

Non sappiamo ancora immediatamente se 91 è divisibile per 7 (perché non fa parte della tabellina del 7), ma essendo un numero piccolo possiamo applicare il secondo metodo. Si sottrae quindi 70 e si verifica che se è divisibile per 7.

91-70=21

Poiché 7×3=21, allora anche 861 è divisibile per 7.

3.441

Si applica il criterio generale, per cui riscrivo il numero senza le unità e ci sommo poi il quintuplo dell’unità.

3.441 → 344+5×1=349

Dato che non è un numero immediatamente riconducibile alla tabellina, applico di nuovo il criterio di divisibilità per 7.

349 → 34+9×5=34+45=79

Applichiamo il secondo criterio per i numeri più piccoli, cioè sottraiamo 70.

79-70=9 → 3.441 non è un multiplo di 7!

139.601

Dato che si tratta di un numero a 6 cifre possiamo applicare il terzo criterio di divisibilità per 7. Quindi dividiamo il numero in blocchi da 3 cifre partendo da destra e sottraendoli tra loro:

601-139=462

Applichiamo a questo punto il criterio generale visto in precedenza, quindi riscriviamo il numero senza unità, sommandogli il quintuplo dell’unità.

462 → 46+2×5=46+10=56

Poiché 7×8=56 allora 139.601 è un multiplo di 7.

 

CONCLUSIONI

Come hai potuto vedere, non è difficile capire quando un numero è divisibile per 7. Ti bastano inoltre pochi esempi ed esercizi per capire quanto questo criterio sia immediato. Certo non lo è come per la divisibilità per 2 (basta vedere se i numeri sono pari o dispari), ma i calcoli non sono così difficili come in tanti pensano.

 

Quadrati di trinomi

–  esercizi con svolgimento e soluzione

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Metodo risolutivo: quadrato del primo, del secondo e del terzo termine. Poi doppio prodotto del primo per il secondo, doppio prodotto del primo per il terzo, doppio prodotto del secondo per il terzo.

Per approfondimenti ti rimandiamo al quadrato di trinomio. Adesso ci concentriamo invece sugli esercizi e sulle tecniche applicative. Insomma dalla teoria, oggi passiamo alla pratica. Ecco le tracce che svolgeremo assieme:

 

1) (x+2y+4)²

2) (x-y+3t)²

3) (-a-3b-2c)²

4) (x²+y³-1)²

5) (x+√3-1/2)²

 

ESERCIZIO 1

Risolvere i seguenti quadrati di trinomi:  (x+2y+4)²

= x²+(2y)²+4²+2(x)(2y)+2(x)(4)+2(2y)(4)

Fino a questo momento abbiamo eseguito semplicemente la regola. Quindi quadrato del primo, quadrato del secondo quadrato del terzo termine, poi doppio prodotto del primo per il secondo, doppio prodotto del primo per il terzo, doppio prodotto del secondo per il terzo. Si possono a questo punto eseguire i calcoli.

= x²+4y²+16+4xy+8x+16y.

In due semplici passaggi siamo già arrivati a calcolare la soluzione dell’esercizio.

 

ESERCIZIO 2

Risolvere i seguenti quadrati di trinomio: (x-y+3t)²

=(x)²+(-y)²+(3t)²+2(x)(-y)+2(x)(3t)+2(-y)(3t).

Il procedimento è sempre lo stesso ma in questo caso c’è una piccola complicazione il segno meno. Per non avere mai problemi o dubbi durante gli esercizi ti consigliamo di inserire i vari termini tra parentesi in modo da non dimenticare mai il segno ed evitare errori.

=x²+y²+9t²-2xy+6xt-6yt.

Come hai potuto vedere l’uso delle parentesi non ha allungato lo svolgimento dell’esercizio. I passaggi effettuati per il calcolo sono sempre due, ma abbiamo evitato degli errori molto comuni proprio grazie alla parentesi.

 

ESERCIZIO 3

Risolvere i seguenti esercizi di quadrati di trinomio: (-a-3b-2c)²

=(-a)²+(-3b)²+(-2c)²+2(-a)(-3b)+2(-a)(-2c)+2(-3b)(-2c).

L’unica difficoltà in questo esercizio è che, rispetto al precedente, ci sono solo segni negativi. Risolviamo come il precedente usando le parentesi.

=a²+9b²+4c²+6ab+4ac+12b2c.

 

ESERCIZIO 4

Risolvere i seguenti esercizi di quadrati di trinomio: (x²+y³-1)²

=(x²)²+(y³)²+(-1)²+2(x²)(y³)+2(x²)(-1)+2(y³)(-1)=

=x4+y6+1+2x²y³-2x²-2y³.

 

ESERCIZIO 5

Risolvere i seguenti esercizi di quadrati di trinomio: (x+√3-1/2)²

=x²+(√3)²+(-1/2)²+2(x)(√3)+2(x)(-1/2)+2(√3)(-1/2)=

=x²+3+1/4+2x√3-x+√3.

L’errore più frequente che si commette in questi tipi di esercizi riguarda le radici. Lo studente in genere va in difficoltà quando vede questo tipo di operazione e non sa come risolvere l’esercizio. Il nostro consiglio è di considerarlo come se fosse una lettera. In questo modo è come se fosse un corpo estraneo da trattare al pari di tutti gli altri monomi che compongono il trinomio da elevare alla seconda e da risolvere.

 

Cubo di un trinomio

 – formula ed esempi pratici

Uno dei prodotti notevoli che creano maggiori difficoltà agli studenti di matematica è senza dubbio il cubo di un trinomio. La regola spesso non è neanche riportata nei libri e nei programmi di studio, ma quando la si ritrova poi in un esercizio non si sa come affrontarla. Ovviamente per poterla capire è importante aver presente la formula del cubo di binomio.

Ecco allora come si calcola il cubo di trinomio, partiamo subito dalla formula.

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CONSIDERAZIONI

Come puoi vedere la formula del cubo di trinomio non è molto semplice, soprattutto da ricordare c’è il rischio che ci si dimentichi di qualche moltiplicazione. E’ l’errore più frequente che si commette durante i compiti. Ecco la ragione per cui alcuni docenti consigliano di risolvere il cubo di un trinomi facendo la moltiplicazione 3 volte dello stesso trinomio, così come vedremo nella dimostrazione di seguito.

 

Riassumendo per il calcolo dato il trinomio T , possiamo fare il cubo come T³, oppure moltiplicare tutto come  T·T·T, oppure scriverlo come T²·T, cioè fare la moltiplicazione del quadrato di trinomio per il trinomio stesso. Le tecniche risolutive sono sostanzialmente 3 e puoi scegliere quella che preferisci e che ti crea meno problemi di calcolo:

– T·T·T → semplicemente moltiplica i tre trinomi;

– T²·T → esegui il quadrato del trinomio;

– T³ → usa la formula del cubo di trinomio.

 

DIMOSTRAZIONE

Fare il cubo di un trinomio, di un monomio o più in generale di un numero significa moltiplicarlo tre volte per se stesso. Cioè volendo fare il cubo di A significa voler calcolare: A³=A·A·A. Ricordi che cos’è un trinomio? E’ un polinomio composto da tre monomi. Quindi dato il generico polinomio:

(A+B+C)³=

=(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)=

 

Tra i primi due possiamo risolvere anche calcolando il quadrato di trinomio (A+B+C)·(A+B+C) = (A+B+C)², tuttavia per semplicità facciamo tutti i calcoli proseguendo con la moltiplicazione di polinomi.

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CUBO DI UN TRINOMIO NEGATIVO

Ovviamente l’esercizio si complica nel momento in cui compaiono anche dei segni negativi. Personalmente consigliamo ai nostri studenti, soprattutto quando non si ha molta pratica con il metodo di calcolo, di eseguire tutti i singoli passaggi utilizzando le parentesi.

Vediamone un esempio:

 

(A-B+C)³=

=A³ + (-B)³ + C³ + 3A²(-B) + 3A(-B)² + 3A²C + 3AC² + 3(-B)²C + 3(-B)C² + 6A(-B)C =

=A³ + -B³ + C³ – 3A²B + 3AB² + 3A²C + 3AC² + 3B²C – 3BC² – 6ABC.

 

Come hai potuto vedere nell’applicazione della regola semplicemente abbiamo inserito una parentesi in cui c’è il termine negativo.

 

ESEMPIO 2.

(2x+1-√3)³=

=(2x)³ + (1)³ + (-√3)³ + 3(2x)²(1) + 3(2x)(1)² + 3(2x)²(-√3) + 3(2x)(-√3)² + 3(1)²(-√3) + 3(1)(-√3)² + 6(2x)(1)(-√3) =

=8x³ + 1 – 3√3 + 3·4x² + 6x – 3·4x²√3 + 6x(3) – 3√3 + 3(3) – 12x√3 =

=8x³ + 1 – 3√3 + 12x² + 6x – 12x²√3 + 18x – 3√3 + 9 – 12x√3 =

=8x³ + 10 – 6√3 + 12x² + 6x – 12x²√3 + 18x – 12x√3 =

 

Volendo essere ancora più precisi possiamo effettuare una scomposizione con raccoglimento parziale di alcuni monomi.

=8x³ + 10 – 6√3 + 12x²(1-√3) + 12x(2x – √3)

 

Equazioni di grado superiore al secondo

 

Le equazioni di grado superiore al secondo vengono chiamate anche equazioni scomponibili perché il procedimento risolutivo in fattori che si moltiplicano tra di loro. A questo punto semplicemente applicando la legge dell’annullamento del prodotto, che vedremo a breve, si arriva rapidamente a calcolare la soluzione.

 

QUALI SONO LE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

Sono tutte quelle equazioni in cui il grado del polinomio supera il 2. Per esempio:

x4+3×3+2×2+4x+7=0

Quella nell’esempio è un’equazione di quarto grado. Si possono risolvere utilizzando vari metodi e in alcuni testi viene esplicitamente spiegato che quando le equazioni superano il quarto grado in generale non c’è un metodo specifico risolutivo e spesso si va a tentativi.

 

COSA SERVE SAPERE

Per comprendere questo argomento è importante che possegga le conoscenze di base che riguardano monomi e polinomi e soprattutto bisogna saper risolvere le equazioni di primo grado e quelle di secondo grado.  Ovviamente poiché si tratta di equazioni scomponibili è importante avere una buon conoscenza delle tecniche di scomposizione dei polinomi. Se pensi di non avere grosse lacune in materia, allora possiamo iniziare.

 

LEGGE DELL’ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO

E’ la regola fondamentale per risolvere le equazioni di grado superiore al secondo. Dati due polinomi A(x) e B(x), se abbiamo:

A(x)·B(x)=0

allora questa si può risolvere come:

A(x)=0  V  B(x)=0

Quindi riassumendo se abbiamo una moltiplicazione di polinomi con al secondo membro lo zero, si risolve ponendo ogni fattore uguale a zero. Per esempio:

(3x-2)(4x+1)=0

3x-2=0 → x=2/3

4x+1=0 → x=-1/4

 

EQUAZIONI RICONDUCIBILI A QUELLE DI SECONDO GRADO

Vediamo alcuni casi in cui queste equazioni sono scomponibili semplicemente attraverso un raccoglimento a fattor comune totale o parziale.

 

CASO 1: MANCA IL TERMINE NOTO

Nel caso in cui nell’equazione di terzo grado manchi il termine noto, cioè il numero senza la x, è sufficiente effettuare un raccoglimento totale della x stessa. Si mette cioè la x in evidenza e si ottengono due fattori, cioè due parentesi che si moltiplicano e sono uguali a zero. Applicando la legge dell’annullamento del prodotto si ottiene come prima soluzione immediata che x=0 mentre le altre due soluzioni si ottengono con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Per esempio:

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CASO 2: CI SONO TERMINI “SIMILI”

Quando nell’equazione di terzo grado noti la presenza di monomi con gli stessi coefficienti, allora puoi provare ad eseguire una scomposizione attraverso un raccoglimento parziale. In questo modo ottieni due parentesi che si moltiplicano, per cui come nei casi precedenti arrivi rapidamente alla soluzione. Per esempio:

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EQUAZIONI MONOMIE

Sono in assoluto le più facili equazioni di grado superiore al secondo. Si presentano nella forma:

axn=b

Le possibilità a questo punto sono 2:

 

CASO 1: N PARI

Se il grado del polinomio è pari, allora dovrai assicurarti che il secondo termine (cioè la b) sia maggiore e uguale di 0. Altrimenti otterresti un’equazione impossibile da risolvere nel campo dei numeri reali. Con b≥0, allora si risolve con la radice ennesima di entrambi i membri e aggiungendo il simbolo ± (non dimenticarlo, altrimenti l’esercizio è incompleto).

 

x=±n√(b/a)

 

CASO 2: N DISPARI

Se l’equazione di grado superiore al secondo ha indice dispari, quindi è alla terza o alla quinta, allora si risolve come il caso precedente ma non ci sono condizioni alla b. Può essere sia positiva che negativa. Inoltre nel risultato finale non bisogna più mettere il ±. Per cui:

 

x=n√(b/a)

 

 EQUAZIONI BIQUADRATICHE

Si tratta di equazioni di quarto grado in cui non ci sono il monomio di terzo e di primo grado. Si presenta cioè nella forma:

 

ax4+bx2+c=0

 

Quell che si nota è che, semplicemente effettuando una sostituzione y=x2, ti riconduci facilmente alle equazioni di secondo grado. Facciamo un esempio pratico:

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EQUAZIONI TRINOMIE

Il caso è del tutto analogo alle equazioni biquadratiche, cambia solo la sostituzione da eseguire. In questo caso la forma trovata è:

 

ax6+bx3+c=0

 

E’ un’equazione di sesto grado ma proviamo a considerare y=x3. Allora l’equazione diventa:

 

ay2+by+c=0

 

A questo punto risolviamo l’equazione di secondo grado calcolando le soluzioni in y, poi si sostituisce di nuovo come fatto con le biquadratiche.

 

METODO DI RUFFINI

In questa lezione faremo solo un breve accenno a questa regola, visto che abbiamo deciso di dedicarvi una lezione specifica. Per approfondimenti, infatti, ti rimandiamo ai nostri appunti sulla regola di Ruffini per la divisione di polinomi. In maniera molto sintetica, data un’equazione di grado superiore al secondo:

 

axn+bxn-1+ … +c=0

 

Si vanno ad analizzare i sottomultipli di c e si verifica quali di questi rappresentano uno zero del polinomio. Cosa vuol dire? Facciamo un esempio pratico:

 

x3-x+6=0

 

E’ un’equazione di terzo grado dove il termine noto è 6. I suoi sottomultipli sono ±1 ±3 ±2 ±6. Se provo a sostituire uno di questi al posto della x mi esce 0=0. Quali di questi? Si va per tentativi:

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Da notare come al posto del termine al quadrato, che manca nell’equazione di terzo grado della traccia, abbiamo inserito uno 0 nel primo rigo. Se non ti è chiaro come è stato svolto il calcolo il tabella, da un’occhiata veloce alla lezione sul metodo di Ruffini.

 

A questo punto abbiamo scomposto il polinomio da: x3-x+6=0 2 → (x+2)(x2-2x+3)=0

Ci siamo ricondotti ai casi precedenti, per cui si applica la legge dell’annullamento del prodotto e si arriva rapidamente alla soluzione.

 

EQUAZIONI RECIPROCHE

Meritano un discorso di approfondimento le equazioni reciproche, così definite perché hanno dei coefficienti uguali (o opposti). La definizione dice che un’equazione reciproca è un’equazione di grado superiore al secondo in cui sono uguali o opposti i coefficienti equidistanti dal centro dell’equazione. Cioè si presenta nella formula:

 

ax3+bx2+bx+a=0 oppure ax3-bx2+bx-a=0

 

Se si tratta di un’equazione di terzo grado, come nella forma generica che ti abbiamo mostrato, allora sicuramente l’equazione è divisibile per x=1 (se i coefficienti sono opposti) oppure per x=-1 (se i coefficienti sono uguali). Quindi possiamo risolvere immediatamente con Ruffini. Nel caso in cui ci sia da risolvere un equazione di quarto grado, non è detto che ciò sia vero, per cui è consigliabile procedere seguendo in maniera rigorosa il metodo di Ruffini.

 

In realtà ci sarebbe un metodo alternativo, forse un po’ più laborioso per risolverle, ma per quello vi rimandiamo alla lezione di approfondimento sulle equazioni reciproche.

 

Criteri di divisibilità

 – come e quando i numeri interi sono divisibili

 

I criteri di divisibilità indicano la possibilità che un certo numero intero possa  essere diviso per un altro.

 

Si tratta di un concetto che viene in genere affrontato alle Scuole Primarie, ma che è opportuno riprendere anche quando si iniziano le Scuole Secondarie. Il criterio di divisibilità può essere applicato ad esempio nel calcolo del minimo comune multiplo e nella riduzione di fattori in numeri primi.

 

La definizione non lascia spazio a dubbi. Attraverso i criteri di divisibilità riusciamo a capire se un numero è divisibile per un altro. Praticamente come facciamo a capire se un numero è divisibile per 2, per 3, per 5, …? Usando propri i criteri di divisibilità. Nella matematica classica ne sono specificati tanti. In questa guida vediamo i più importanti  che è bene ricordare.

 

NUMERI DIVISIBILI PER 2

Un numero è divisibile per 2 quando è una cifra pari o se finisce in 0.

Esempi:

10 è divisibile per 2 perché finisce con lo zero, infatti 10:2=5;

24 è divisibile per 2 perché è pari, infatti 24:2=12:

11 non è divisibile per 2 perché è dispari. Infatti 11:2 non fa un numero intero.

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Radicali doppi

– la formula per risolvere i radicali quadratici doppi con esercizi svolti e da svolgere

 

Si chiamano radicali quadratici doppi, o semplicemente radicali doppi, quelle espressioni contenenti una radice e nel radicando una somma o una differenza tra un numero e una radice. La forma generica in cui puoi trovare una radice doppia è:

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LA PRIMA OPERAZIONE DA SVOLGERE

Prima iniziare a risolvere i radicali doppi è importante fare in modo non ci sia un coefficiente davanti la radice interna. Cioè la “b” delle formule in alto non va bene lì dov’è. Quindi la prima operazione è quella di portare il coefficiente sotto radice. Come? Inserendolo al quadrato con il simbolo “per” all’interno della radice. Facciamo subito un esempio con un esercizio tipo:

√(11-6√2)

In questo caso il 6 va inserito all’interno della radice. Lo si eleva al quadrato e lo si mette sotto radice:

=√[11-√(36·2)]=

=√(11-√72)

A questo punto siamo pronti per applicare la formula per risolvere le radici doppie.

 

FORMULA RADICALI DOPPI

La formula risolutiva per i radicali quadratici doppi è:

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CONSIDERAZIONI

Lo vedi il simbolo “più” “meno” ? Significa che la formula si può risolvere sia con il più che con il meno. Cioè se nel tuo esercizio sui radicali doppi hai un segno più, considererai nella formula il segno “+” tra le due radici. Se invece nel tuo esercizio c’è il segno “-“, allora nella formula andrai a considerare il segno meno. Facile vero?

 

UN CONSIGLIO PER RICORDARLA

Così a prima vista la formula ti può sembrare difficile da ricordare, ma in realtà può facilitare la memorizzazione ricordandoti che si tratta della somma algebrica (cioè somma o differenza) di due radici.

All’interno di ogni radice trovi il primo termine sommato con una seconda radice interna all’interno della quale c’è il primo termine al quadrato meno il radicando della seconda radice. Il tutto fratto 2. Questa radice va sommata o sottratta ad una seconda radice, identica alla prima, ma con il segno interno cambiato.

 

QUANDO APPLICARE LA FORMULA DEI RADICALI DOPPI

La condizione fondamentale senza la quale gli esercizi non potrebbero essere svolti è che la quantità nel radicando sia maggiore o uguale di zero. Questo significa che se a2-b≥0 l’esercizio può essere risolto, altrimenti ti ritroveresti con una radice negativa, impossibile da svolgere nei numeri reali.

E’ importante inoltre che i numeri a e b siano dei quadrati perfetti, cioè la loro radice quadrata deve essere un numero intero. Se questa condizione non viene rispettata allora il metodo dei radicali doppi che stiamo vedendo in questa lezione potrebbe solo complicarti le cose.

 

ESERCIZIO SVOLTO

Torniamo dall’esempio precedente che avevamo interrotto a metà:

√(11-6√2)

Senza ripetere i passaggi fatti prima possiamo dire che questa radice è uguale a:

=√(11-√72)

Applichiamo la formula dei radicali doppi con la sottrazione:

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Come hai potuto vedere non è difficile semplificare i risultati doppi e ridurli in una forma più semplice ed accessibile. Ti consigliamo comunque di fare qualche esercizio così da verificare che ti sia effettivamente tutto chiaro. Verifica di essere in grado di applicare la formula svolgendo i seguenti esercizi.

 

RADICALI DOPPI ESERCIZI

Trasforma i seguenti radicali quadratici doppi nella somma algebrica di radicali semplici, quando possibile.

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Somma di radicali

 – come si fa l’addizione tra radici?

 

LA SOMMA DI RADICALI? E’ COME LA SOMMA DI MONOMI

Prima di addentrarci nel pieno dell’argomento, è necessario fare un piccolo ripasso. Ti ricordi come si fa la somma tra monomi? Riassumendo brevemente avevamo detto che, nell’espressione:

 

2xy+4x+3x3y+3x

 

i termini 4x e 3x hanno la stessa parte letterale, per cui si definiscono monomi simili. Si può fare la somma algebrica (cioè addizione o sottrazione) solo tra monomi simili.

 

COME SI FA LA SOMMA DI RADICI

Le somme di radicali applicano praticamente lo stesso principio. Si individuano dei termini simili, ma questa volta non la x cioè la lettera in comune, ma la radice. Il segreto sta quindi nell’individuare i radicali da sommare considerando solo quelli che hanno stessa radice.

Per stessa radice intendiamo stesso indice di radice e stesso radicando.

La somma di due radici è una nuova radice che ha stessa radice e somma dei coefficienti

In parole povere basta sommare i coefficienti accanto ad ogni radice simile per ottenere il risultato concreto. E’ come fare un’addizione astratta tra due oggetti: 1 tavolo + 2 tavoli fa 3 tavoli. Ma 1 tavolo + 1 sedia non si possono sommare… Abbiamo reso l’idea?

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Vediamo subito qualche esempio concreto.

 

ESEMPIO 1)

√2+√3

 

Radical due e radical tre sono due radici differenti per cui non possono essere sommati. Ti chiederai come si può semplificare questa espressione? In nessun modo. Non ci sono infatti altri passaggi da fare, l’esercizio non può essere risolto.

ESEMPIO 2)

√2+√3+5√2

 

In questo caso ci sono tre somme di radicali, ma dei tre addendi solo due hanno una radice in comune. Considerando che il primo elemento puoi scriverlo anche come 1√2 e che l’ultimo è 5√2, ti rendi perfettamente conto che hanno la radice di 2 in comune. In questo caso e solo tra questi due elementi è possibile calcolare la somma tra radici. Come?

1√2+5√2= ?

Il primo passo è quello di fare un raccoglimento a fattor comune dei termini in comune, cioè √2. Si ottiene quindi:

=√2(1+5)=

In questo modo si può eseguire la somma tra i due numeri (1+5)=6 per ottenere quindi

=√2(6)=

A questo punto mettiamo in ordine il numero appena trovato. Si mette prima il numero intero e poi dopo la radice, per cui il risultato è:

6√2

Tornando quindi nell’esercizio precedente:

√2+√3+5√2=√3+6√2

A questo punto non si può più procedere oltre e ci fermiamo. Non si possono fare altre somme tra radicali essendo radice di 2 e radice di 3 diverse.

 

ESEMPIO 3)

Prova a svolgere la seguente somma di radici:

√2+√8

 

La prima cosa che ci viene in mente è dire che l’addizione non si può svolgere perché le due radici non sono uguali. L’indice di radice è lo stesso, ma cambia il radicando. Quindi la somma tra radici non si può fare. Vero? SBAGLIATO! Perché è fondamentale che le radici non siano riducibili. La radice di 8 infatti può essere trasformata in 2√2. Come abbiamo fatto? Segui i passaggi:

√8 = √(4·2)=

Al posto di 8 abbiamo semplicemente scritto 4·2. Andiamo avanti dividendo le due radici…

√(4·2)=√4·√2=

A questo punto sappiamo che la radice di 4 fa 2, per cui otteniamo:

=√4·√2=2√2.

Tornando all’esercizio sulla somma di radici, abbiamo:

√2+√8= √2+2√2

Come puoi ben vedere, ora ci sono due radici “simili” cioè che possono essere sommate. Il risultato sarà quindi:

√2+2√2=3√2.

 

ESEMPIO 4)

Proviamo a risolvere un’espressione algebrica contenente una somma di radicali fratti.

√(25/36) + (√4)/6=

La prima operazione è verificare se ci sono delle radici che possono essere semplificate.

=5/6 + 2/6 =7/6

Per concludere questa lezione ti ricordiamo che nell’eventualità in cui dovesse presentarsi una radice al denominatore non direttamente risolvibile, è necessario procedere con la tecnica della razionalizzazione dei radicali.

 

Moltiplicazione tra radicali

 – come si fa il prodotto di due radici?

 

MOLTIPLICAZIONE TRA RADICALI CON LO STESSO INDICE DI RADICE

Vuoi un esempio concreto? Dobbiamo risolvere la moltiplicazione tra due radici quadrate. In questo caso la regola è molto semplice:

41-

Cosa abbiamo fatto in questo esercizio? La moltiplicazione dei radicandi e poi abbiamo estratto il 3 dalla radice quadrata.

 

PRODOTTO DI RADICI CON INDICE DIVERSO

La moltiplicazione tra radicali diventa leggermente più difficile nel caso in cui gli indici di radice sono differenti. L’operazione preliminare da eseguire in questo caso è quella di trasformare le radici facendo in modo che abbiano lo stesso indice. Per fare ciò, ecco i passaggi che devi seguire:

 

# calcola il minimo comune multiplo dei due indici di radice. Se hai ad esempio una radice quadrata e una cubica, allora il mcm è 6.

# le due radici vengono trasformate ed entrambe avranno come indice il mcm e lo stesso argomento, elevato però al rapporto tra mcm e indice di radice.

# a questo punto si tratta di risolvere il caso precedente, cioè una moltiplicazione di radicali con lo stesso indice.

 

Esempio:

E’ molto più facile mostrarti come si fa attraverso un esercizio svolto. La traccia è sempre la stessa. Calcolare la moltiplicazione tra le radici:

42-

Come abbiamo detto il primo passo è trasformare le radici in modo che abbiano lo stesso indice e ricondurci ad una moltiplicazione di radicali con stesso indice. Per fare ciò si calcola il minimo comune multiplo tra i due indici: 2 per la prima radice, 3 per la seconda radice. Quindi mcm=6. Poi si calcola:

43-

Cosa abbiamo fatto negli ultimi passaggi? Il 36 è diventato 6 elevato al quadrato e poi abbiamo semplificato l’indice di radice con l’esponente.

 

ESERCIZI SVOLTI

Oltre agli esempi svolti, che mostrano come calcolare la moltiplicazioni tra radici nei due casi, vogliamo mostrarti qualche caso concreto leggermente più impegnativo. Vediamo allora come comportarci di fronte ad un vero esercizio sul prodotto di radicali.

 

Esercizio 1)

Il primo esercizio è un’ottima occasione per ripassare anche il prodotto di una somma per una differenza. L’esercizio ci chiede non solo di calcolare la moltiplicazione tra radici, ma semplicemente di risolvere questa espressione algebrica:

(2+√5)(2-√5)

Non è necessario eseguire tutti i passaggi della moltiplicazione tra polinomi. E’ sufficiente moltiplicare i termini uguali tra loro e i segni delle due parentesi.

44-

Esercizio 2)

Con il secondo esercizio facciamo anche un ripasso del quadrato di binomio applicato alle radici.

45-

Data 14 novembre 2019

ALGEBRA – 4

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Portare fuori dalla radice un numero

 – quando e come si fa?

 

Come si fa a portare fuori radice un numero? C’è differenza tra una radice quadrata e una radice cubica in questo calcolo?

SOLUZIONE

Portare un numero fuori dalla radice consente di semplificare notevolmente gli esercizi con i radicali. Il metodo di calcolo per trasportare un fattore fuori al segno di radice è piuttosto semplice.

Sui libri di testo di matematica viene in genere illustrato un modo per portare fuori radice un numero che comporta la suddivisione del radicale in vari prodotti di radicali. Il nostro metodo, invece, è universale e molto più semplice. Vediamo subito come procedere con un esempio pratico.

 

COME PORTARE FUORI DALLA RADICE QUADRATA

ESERCIZIO 1

Semplificare il numero √96 portando fuori dalla radice i fattori opportuni

1) Il primo passo consiste nel riscriverci il numero 96 in fattori primi. Così come si faceva nel calcolo del mcm ci scriviamo quelli che sono i numeri primi che, moltiplicati tra loro, ci danno come risultato 96.

1-

Costruiamo una piccola tabella dove segniamo il numero 96. Sulla destra mettiamo il primo numero che ci viene in mente per cui 96 è divisibile, ad esempio 2. Facciamo 96 diviso 2 e il risultato lo riportiamo sotto. 48 a sua volta è divisibile per 2 (che scriviamo a destra) e il risultato lo riportiamo a sinistra sotto. Continuiamo così fino a quando non arriviamo al numero 1.

2) A questo punto, essendoci una radice quadrata (cioè indice 2), cerchiamo tutti i gruppi di numeri che si ripetono 2 volte.

2-

3) Riscriviamo il numero da portare fuori radice come la moltiplicazione dei numeri cerchiati (presi una sola volta per gruppo) per la radice dei numeri non cerchiati.

3-

4) Quindi possiamo scrivere: √96 = 2×2×√(2×3) = 4√6

 

VERIFICA DEL RISULTATO

Per verificare la correttezza del procedimento, prova ad elevare al quadrato il numero appena ottenuto (cioè 4√6). Se ottieni il numero di partenza, allora il risultato si trova. Nel nostro esercizio:

(4√6)²=16×6=96 → Risultato corretto

 

COME PORTARE UN NUMERO FUORI DALLA RADICE CUBICA

Il procedimento è perfettamente analogo al precedente, c’è un’unica sostanziale differenza. In questo caso andremo a cerchiare i gruppi di 3 numeri uguali visto che l’indice di radice è pari a 3. Proviamo a risolvere lo stesso esempio precedente stavolta provando a portare il numero fuori da radice terza.

 

ESERCIZIO 2

Semplificare il numero ³√96 portando fuori dalla radice i fattori opportuni.

Anche in questo caso iniziamo a compilare una tabella con la scomposizione del numero di partenza in fattori primi. A questo punto formiamo dei gruppi da 3 di numeri uguali.

4-

 

A questo punto possiamo scrivere il risultato seguendo la solita regola:

 

– si prende un numero per ogni gruppo

– il numero del gruppo va fuori radice

– tutti gli altri all’interno con il segno “per”.

Possiamo quindi dire che:

 

³√96=2׳√(2×2×3)=2³√12

 

VERIFICA DEL RISULTATO

In questo caso basta elevare al cubo il risultato ottenuto e verificare che il risultato coincida con il numero di partenza.

(2³√12)³=8×12=96.

 

IL METODO CLASSICO

E’ quello che viene insegnato a scuola e si bassa sulle proprietà dei radicali. Bisogna prendere il numero da portare fuori radice e lo si scompone in fattori primi.

 

ESERCIZIO 3

Semplificare il numero √96 portando fuori dalla radice i fattori opportuni.

E’ l’esercizio numero 1, che stavolta proviamo a risolvere con il metodo classico. Riscriviamo quindi il numero 96 come la moltiplicazione di tanti numeri primi.

√96=√(2×2×2×2×2×3)

√96=√(25×3)

A questo punto scriviamo ogni fattore della moltiplicazione con la radice:

√96 = √25×√3 = (√2²×√2²×√2)×√3 =

Nel passaggio precedente abbiamo riscritto la radice quadrata di 2 elevato a 5 come il prodotto di potenze con la stessa base (vedi proprietà delle potenze).

= 2×2×√2×√3 =

=4×√6

 

Anche il secondo metodo per portare dei numeri fuori dalle radici è piuttosto semplice, ma forse per gli studenti è un po’ più macchinoso. Per questa ragione noi consigliamo di imparare il primo che è più semplice ed immediato. Tuttavia la scelta è indifferente, visto che portano entrambi i metodo alla stessa soluzione.

 

CONCLUSIONI

Il metodo che abbiamo illustrato può essere applicato a qualsiasi tipo di radicale. Si può portare fuori dal segno di radice quadrata, cubica, quarta… La cosa importante è ricordarsi di scegliere bene il numero di fattori da inserire in ogni gruppo.

 

Grado di un polinomio complessivo e rispetto a una lettera

 

Il concetto di grado di un polinomio è fondamentale per imparare a risolvere e riconoscere le equazioni in modo corretto. Viene anche detto grado del polinomio e rappresenta il grado massimo dei monomi presenti.

Si tratta di un argomento che mette spesso in difficoltà gli studenti perché non capiscono se il grado massimo sia riferito alla lettera o tutto il monomio.  Vedremo che cos’è per definizione il grado di un polinomio, iniziando proprio dai due casi da distinguere:

 

GRADO COMPLESSIVO DI UN POLINOMIO

Per definizione il grado di un polinomio è il grado massimo dei monomi che lo compongono. Cioè tra tutti i monomi vediamo qual è quello con il grado più alto: quel numero sarà il grado complessivo di un polinomio. Vediamo subito un esempio:

5-

Nell’esempio in figura notiamo che il monomio è composto da 3 monomi. Come già hai imparato nelle precedenti lezioni il grado di un monomio si calcola sommando gli esponenti, per cui il primo monomio ha grado 5, il secondo ha grado 7 e il terzo 9. Per cui il grado complessivo del polinomio è 9.

 

GRADO DEL POLINOMIO RISPETTO ALLA LETTERA

La definizione è estremamente semplice: è il grado massimo di ogni mononio rispetto a quella lettera. Quello che abbiamo visto nell’esempio è il grado complessivo del polinomio. Ma possiamo anche dire che il polinomio è di terzo grado rispetto alla lettera a, di quarto grado rispetto alla lettera b e di quarto grado rispetto alla lettera c.

Questo significa che il grado di un polinomio rispetto a una lettera è dato dal massimo esponente con cui compare la lettera all’interno del polinomio dato. Ovviamente il polinomio deve essere stato già ridotto nella sua forma normale, per cui si presumono già risolte le operazioni tra monomi.

 

ESEMPIO SUL GRADO DI UN POLINOMIO

Ecco un bell’esercizio per mettere alla prova se le regole apprese fino ad ora sono chiare. Dell’espressione in basso dobbiamo cercare il grado del polinomio.

6-

Essendo la prima volta che fai questo tipo di calcolo, ragioniamo in maniera semplificata facendo tutti i passaggi. Iniziamo quindi con il calcolo del grado dei vari monomi.

7-

8-

9-

10-

 

RIASSUMENDO I DATI DELL’ESERCIZIO:

In definitiva possiamo dire che il polinomio:

11-

DEFINIZIONE DI POLINOMIO OMOGENEO

Concludiamo questa prima parte sugli appunti sul grado dei polinomi dando la definizione di polinomio omogeneo. Quando ci troviamo in presenza di un polinomio che abbia tutti i termini dello stesso grado, si parla di polinomio omogeneo. Ecco un esempio che ti aiuterà a chiarire la definizione appena esposta:

12-

Prima di concludere ti diamo un ultima definizione, piuttosto banale. Un polinomio è ordinato quando gli esponenti sono messi in ordine decrescente. Il termine senza incognita viene definito in genere termine noto. Esempio:

13-

Il polinomio in figura è di secondo grado, omogeneo ed ordinato secondo le potenze decrescenti di b, crescenti di a.

 

Moltiplicazioni tra polinomi

–  con esercizi ed esempi

 

PRODOTTO DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO

Ovviamente diamo per scontato che ricordi le operazioni con i monomi, in particolare la moltiplicazione. Per fare il prodotto di un polinomio per un monomio basta applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione, quindi:

14-

Il grado del polinomio è dato dalla somma dei gradi dei fattori, per le note regole delle potenze. Il primo fattore è di terzo grado, mentre il secondo fattore è di secondo grado. Il grado del polinomio finale è quindi 5.

Per eseguire la moltiplicazione di un monomio per un polinomio abbiamo semplicemente fatto il prodotto del monomio per ogni singolo elemento del polinomio.

 

PRODOTTO DI POLINOMI

Anche per questa operazione applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione. Per fare la moltiplicazione tra polinomi bisogna calcolare il prodotto di ciascuno termine del primo per tutti i termini del secondo.

15-

Il grado del polinomi finale è dato anche in questo caso dalla somma dei gradi dei polinomi che sono stati moltiplicati. Dato che il primo fattore ha grado 2 e il secondo ha grado 2, il grado del polinomi finale è 4.

Ti ricordiamo che se facendo il prodotto dovessero formarsi dei monomi simili, vanno semplificati, come nell’esempio seguente:

16-

Come nel caso dell’aritmetica, anche in algebra è necessario risolvere prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisione e infine le somme algebriche.

 

ESERCIZI SULLE MOLTIPLICAZIONI DI POLINOMI

17-

18-

Cubo di un binomio

–  regola, esempi ed esercizi svolti

 

Il cubo del binomio è un prodotto notevole che permette di sviluppare il cubo di un polinomio composto da due monomi in maniera veloce e facile (a patto di ricordare la formula ovviamente!). Allo stesso modo permette di scomporre un polinomio composto da 4 monomi in un cubo di binomio.

19-

20-

Nel secondo esempio analizzato come si risolve un cubo di binomio negativo. Non cambia assolutamente nulla, ma evitare di fare errori, soprattutto durante un compito in classe di matematica è preferibile inserire ogni monomio in una parentesi tonda. Così sicuramente non si commetteranno errori di segni, cosa che capita molto di frequente agli studenti quando calcolano un binomio al cubo.

21-

 

Negli esercizi svolti che vedi qui sopra non sono state usati accorgimenti particolari se non l’applicazione rigorosa della formula, tenendo ogni monomio tra parentesi tonde.

22-

Pigreco

 – Che cos’è e quanto vale in matematica

23-

Perché abbiamo messo i punti sospensivi? Perché in realtà il valore di pi greco supera le 4 decimali. Ma a questo ci arriviamo. Vediamo innanzitutto che cos’è questo simbolo matematico dalle origini così antiche.

 

CHE COS’È IL PIGRECO?

Il Pigreco π è un simbolo che rappresenta una costante matematica, cioè un valore fisso. E’ un numero che per definizione viene calcolato attraverso il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio. Questo significa che qualsiasi sia la circonferenza, basta fare la divisione tra la misura della circonferenza e il suo diametro per trovare sempre lo stesso valore. Si tratta di una formula nota già agli studenti delle scuole elementari e medie. π=C/d. Per la sua storia, che vedremo a breve, questa costante viene chiamata anche Costante di Archimede.

 

IL VALORE DEL PI GRECO

Pi Greco è un numero irrazionale, cioè non può essere il risultato di una divisione tra due numeri interi. Inoltre è un numero trascendente, cioè non il suo valore non si può esprimere usando un numero finito di interi. Da qui il problema della quadratura del cerchio. Che significa questo? Che il pigreco è un numero con la virgola e, dopo la virgola, ci sono infiniti numeri! Vuoi sapere quanto vale pi greco? Ecco…

 

π=3,14159265358979323846…

 

Per farti rendere conto di quanti numeri sia fatto il pigreco, abbiamo trovato questa interessante pagina di Wikipedia contenente i primi centomila numeri del pigreco dopo la virgola (vai al link). In realtà si va avanti all’infinito, per cui non ha minimamente senso ricordare tutti questi numeri. Alla domanda qual è il valore di pi greco, ti basta dire 3,14.

 

LA STORIA DEL PI GRECO

La parola circonferenza in greco si scrive περιφέρεια (cioè perifereia). La costante matematica di cui stiamo parlando oggi è proprio la prima lettera della parola circonferenza scritta in greco! Questo perché la sua scoperta risale a epoche molto lontane. Il simbolo π fu introdotto solo nel XVII secolo, ma i primi calcoli sul suo valore si ebbero già diversi secoli prima.

Nel 1650 a.C. uno scriba egizio affermava già allora che l’area di un cerchio di diametro d è uguale all’area di un quadrato con lato pari agli 8/9 del diametro d. Con questo primo calcolo arrivo quindi a dare un primo valore a pigreco.

24-

Un riferimento al calcolo del pigreco è presente addirittura nella Bibbia, con la costruzione del tempio di Salomone nel 968 a.C. e di un bacino di rame usato per i sacerdoti.

Il valore 3,14 di pigreco risale al matematico Archimede, vissuto nel III secolo a.C., che verificò che:

# la lunghezza di una circonferenza rettificata è maggiore del perimetro di un qualsiasi poligono regolare inscritto e minore del perimetro di qualsiasi poligono regolare circoscritto

Il suo ragionamento partì costruendo un quadrato circoscritto e un esagono inscritto. Successivamente inscrisse e circoscrisse poligoni regolari con un numero sempre maggiore di lati. Con questa sua procedura riusci a scoprire che il pigreco ha un valore compreso tra 3,140845 e 3,142857. Nella pratica stabilì quindi il valore che noi oggi usiamo, cioè 3,14.

 

Nel 1770 il matematico svizzero Johann Lambert dimostrò che questa costante matematica è in realtà un numero irrazionale e quindi un decimale illimitato. Molti matematici in seguito a rappresentare questo numero irrazionale con compasso e riga, ma con risultati molto deludenti. Fu solo alle fine dell’800 che il matematico Lindermann dimostrò l’impossibilità di questa costruzione geometrica del pigreco, essendo anche un numero trascendente.

 

APPLICAZIONI DEL  Π

Esistono tantissime formule in matematica che utilizzano il pigreco all’interno dei loro calcoli. Oltre alla geometria elementare con le figure piane e solide, questa costante matematica è importante anche nello studio della trigonometria, dato che la misura degli angoli in radianti si basa proprio sul π. Anche nel programma di analisi la costante ha un ruolo determinante nello studio degli integrali, come ad esempio l’integrale di Eulero o alcuni integrali definiti.

 

CURIOSITÀ SUL PIGRECO

– Il giorno 14 marzo è la giornata mondiale del pigreco (3 è il numero del mese di marzo, 14 è il giorno)

– Quasi un secolo fa, lo stato dell’Indiana, negli Stati Uniti, avrebbe cercato di fissare per legge il suo valore a 3,2 con diverse dimostrazioni

– Molti artisti e cantanti hanno dedicato alcune loro opere a questa affascinante costante matematica, come Kate Bush nel suo album Aerial del 2005 .

– Al cinema è uscito anche il film Pi Greco – Il teorema del delirio un thriller del 1999, il cui titolo rimanda alla costante di Archimede.

 

Regola di Ruffini

– il teorema per calcolare la divisione tra i polinomi

 

Viene chiamata Regola di Ruffini, metodo o anche Teorema di Ruffini. Si tratta di una tecnica di scomposizione piuttosto semplice che permette di eseguire la divisione tra un polinomio e un binomio di primo grado. Non tutti hanno ben chiaro come si usa, per cui vediamo quali sono i casi che si possono presentare in classe durante lo svolgimento degli esercizi.

 

CHE COS’È LA REGOLA DI RUFFINI?

La regola di Ruffini, nota anche come metodo di Ruffini o teorema di Ruffini, è un metodo per fare la divisione di un polinomio per un binomio generico. Il nome di questa tecnica fu elaborata per la prima volta dal matematico italiano Paolo Ruffini all’inizio del 1800.

 

DIVISIBILITÀ DI UN POLINOMIO PER UN BINOMIO

E’ necessario fare una premessa: farai uso della regola di Ruffini solo se il resto è 0, cioè se la divisione è esatta. Per far ciò è necessario capire quando un polinomio è divisibile per un binomio. Vediamo subito un esempio pratico:

25-

Per capire se il polinomio è divisibile per il binomio dato dalla traccia e quindi se posso applicare il teorema di Ruffini, è necessario sostituire il valore opposto di a (cioè il numero del binomio cambiato di segno), all’interno del polinomio al posto della x.

26-

Poiché il valore ottenuto è diverso da zero, allora la divisione non è esatta e il numero individuato rappresenta proprio il resto. Puoi verificare svolgendo il calcolo come hai nella lezione sulle divisioni tra polinomi.

 

COME USARE LA REGOLA DI RUFFINI?

La regola Ruffini si può applicare in tutte le divisioni tra un polinomio e un binomio, ma nella maggior parte degli esercizi di matematica che si svolgono al liceo e nelle successive lezioni sulle scomposizioni dei polinomi, si applica il metodo di Ruffini solo quando il resto sarà pari a 0.

 

LA SPIEGAZIONE PASSO PASSO – COME SI FA RUFFINI?

La spiegazione della Regola di Ruffini la vediamo passo passo con un esempio. Il primo step è quello di disegnare una piccolo schema in cui andiamo ad inserire tutti i coefficienti delle incognite, ordinate in senso decrescente.

27-

Prima di proseguire con il metodo, vediamo come trovare il divisore attraverso il metodo delle scomposizioni con Ruffini.

 

SCOMPOSIZIONE RUFFINI – COME TROVARE IL DIVISORE?

Mentre il primo coefficiente (1) può essere direttamente trasportato nel rigo in basso, la domanda che dobbiamo porci è cosa inserire a sinistra? Cioè quale sarà il numero per cui andremo ad effettuare la divisione?

In questa caso abbiamo già il binomio divisore (x-1), ma quando dovremo affrontare le scomposizioni, bisogna andare per tentativi e verificare la divisibilità del polinomio per quel binomio. Infatti molti studenti si chiedono proprio come trovare il divisore mediante Ruffini?

Immaginiamo di non avere ancora il divisore ma di doverlo individuare. E’ buona regola andare a vedere il termine noto del polinomio (cioè -1) e provare la divisibilità per tutti i suoi sottomultipli, con entrambi i segni. In questo caso potremo fare solo due tentativi prima di trovare il divisore, cioè +1 e -1.

 

Andando a sostituire -1 al posto della x nel polinomio dividendo otteniamo -1-1=-2 (divisione con resto)

Andando a sostituire +1 al posto della x nel polinomio dividendo, otteniamo +1-1=0 cioè la divisione è esatta. In base al numero trovato, cioè +1, si costruisce il divisore cambiandogli il segno e quindi diventa (x-1).

Il numero così individuato andrà inserito al posto del punto interrogativo cerchiato in rosso nella precedente figura. Visto che nell’esercizio ci viene già dato il divisore non abbiamo questo problema.

 

TEOREMA DI RUFFINI ESERCIZI

Proseguiamo ora con il nostro esempio inserendo il divisore al giusto posto.

28-

Cosa è stato fatto? Il primo 1 in alto è semplicemente traslato in basso, poi moltiplicato per il +1 a sinistra e il risultato scritto poco più a destra (basta seguire le frecce rosse). Infine si è fatta l’addizione 0+1 per ottenere così -1.

 

Riepilogando: si fa la moltiplicazione con il divisore a sinistra e l’addizione con il numero in alto. Attenzione: sono operazioni con i numeri relativi quindi non dimenticarti i segni!

Si procede poi sempre allo stesso modo:

29-

Avendo ottenuto il resto pari a 0, nel caso in cui stiamo risolvendo una scomposizione, vuol dire che abbiamo quasi terminato. Se stiamo invece facendo una semplice divisione tra polinomi con Ruffini allora il resto è per noi poco importante.

30-

Ai coefficienti ora individuati occorre associare le incognite. Basta prendere il grado del polinomio, 5 nel nostro esempio, abbassarlo di uno e poi affiancarlo ai vari coefficienti.

 

UN ALTRO ESERCIZIO SVOLTO

Il procedimento, come hai potuto vedere non è difficile, ma seguendo meccanicamente il metodo che ti abbiamo illustrato, potrai risolvere le divisioni con Ruffini in maniera semplice e senza commettere errori. Proviamo a fare un altro esempio sulla Regola di Ruffini:

31-

Data la traccia costruiamo subito la tabella per applicare Ruffini inserendo, nella riga in alto, i coefficienti del polinomio ordinati per grado (aggiungendo lo 0 per ogni termine assente). In basso riportiamo l’1 perché il primo termine si riporta sempre in basso mentre sulla sinistra prendiamo il termine noto del binomio divisore cambiandogli il segno.

La regola è sempre la stessa: i numeri in basso si moltiplicano a sinistra e si sommano algebricamente sulla verticale. Ecco quello che ne risulta:

32-

 

Abbiamo così ottenuto una soluzione che ha resto R=12 mentre il polinomio dividendo sarà x al quadrato – 5 x +10.

 

ESERCIZI SU RUFFINI

Per completare questa nostra spiegazione della regola di Ruffini , ti proponiamo qui una serie di esercizi da risolvere.

33-

Somma per differenza

–  il primo e più semplice dei prodotti notevoli

 

FORMULA DELLA SOMMA PER DIFFERENZA

Iniziamo la nostra trattazione dei prodotti notevoli con l’obiettivo di rendere più semplici le moltiplicazioni tra polinomi. Di alcuni prodotti infatti è possibile ottenere subito il prodotto, senza dover fare ogni volta il calcolo.

DIMOSTRAZIONE

34-

Eseguendo la moltiplicazione di somma per differenza di due polinomi perfettamente uguali ad eccezione di un segno, vediamo che si ottiene il primo termine al quadrato meno il secondo termine al quadrato.

La definizione più rigorosa che trovi sui libri di matematica è:

La somma di due monomi per la differenza degli stessi monomi è uguale alla differenza dei quadrati dei monomi dati.

 

In buona sostanza la formula della somma per differenza tra polinomi è:

35-

Come è possibile notare la formula è particolarmente semplice e non ha bisogno di schemi o trucchetti per essere memorizzata. Basterà qualche esempio per fare pratica e per imparare ad usarla correttamente negli esercizi di matematica sulle espressioni algebriche.

 

SOMMA PER DIFFERENZA: ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI

36-

Come puoi vedere gli esempi sono molto semplici, basta moltiplicare tra loro gli elementi uguali e interporre il segno meno. Si tratta dei più facili dei prodotti notevoli ed importante che tu sappia riconoscerli rapidamente e risolverli in maniera altrettanto semplice.

 

ESERCIZI DA SVOLGERE

E’ sempre utile, per quanto l’argomento di oggi sia estremamente semplice, eseguire qualche esercizio da soli. Risolvili tutti seguendo esattamente la regola: moltiplica i monomi uguali tra loro e inserisci il segno meno. Avrai così la soluzione per ciascuno degli esercizi senza crearti problemi.

37-

 

Data 12 novembre 2019

ALGEBRA – 3

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Esercizi ed espressioni con le potenze svolti e da svolgere

 

ESERCIZI SULLE POTENZE SVOLTI

Le prime espressioni con le potenze che vedremo, e che risolveremo assieme, non sono altro che delle moltiplicazioni tra numeri fratti che hanno lo stesso esponente. Per cui si risolvono in pochi semplici passaggi. Vediamo praticamente quindi come risolvere gli esercizi con le proprietà delle potenze.

ESEMPIO 1

1-

 

In questo primo esercizio iniziamo dando un’occhiata alla traccia. Cosa stiamo cercando? Innanzitutto se abbiamo divisioni o moltiplicazioni di potenze con la stessa base o lo stesso esponente. Trovandoci di fronte a questa situazione, infatti, il problema si risolve in maniera immediata.

 

Nella nostra espressione, abbiamo moltiplicazioni e divisioni di potenze con uguale esponente. Risolviamo così applicando direttamente le proprietà delle potenze, attraverso cioè la somma algebrica degli esponenti. Risolviamo la prima moltiplicazioni e poi la divisioni.

2-

L’esercizio è stato quindi risolto in pochi semplici passaggi. Forse l’unica operazione che poteva mettere in difficoltà uno studente poco attento era la divisione tra frazioni – si ricorda, secondo quanto visto nella lezione sulle operazioni con i numeri relativi, che questa si risolve trasformando la divisione in moltiplicazione e “capovolgendo” la seconda frazione.

 

ESEMPIO 2

Passiamo ora al secondo esercizio svolto:

3-

Il problema che stiamo risolvendo è praticamente un’espressione algebrica al cui interno compaiono anche le potenze. Si risolve sempre allo stesso modo: diamo priorità alle parentesi tonde, quindi risolviamo le operazioni al loro interno e solo poi pensiamo alle potenze.

In questo caso svolgiamo le addizioni in parentesi:

4-

Nel secondo passaggio dell’esercizio abbiamo invertito numeratore e denominatore delle frazioni, così da trasformare le due divisioni in parentesi quadra in moltiplicazione.

Attenzione al -2 elevato al quadrato. L’elevazione a potenza riguarda solo il numero e non il segno, altrimenti avremmo trovato (-2) al quadrato. Questo significa che il meno per ora non resta coinvolto nelle varie operazioni.

Ora posso trasformare le divisioni in parentesi quadra in moltiplicazioni ed eseguire i calcoli.

5-

ESERCIZIO 3

Passiamo ora al terzo esercizio sulle proprietà potenze. E’ un’espressione che può spaventare per l’uso delle parentesi graffe, ma in realtà è più semplice di quello che si può pensare.

6-

Attenzione agli esercizi con le potenze con “trabocchetto“. Lo studente disattento svolgerà questo esercizio con le proprietà delle potenze, dimenticandosi che queste in realtà valgono solo per moltiplicazioni e divisioni. In questo esercizio, invece, dobbiamo risolvere addizioni e sottrazioni, per cui le proprietà non possono essere applicate.

Per questa ragione, non potendo fare diversamente, iniziamo a risolvere le potenze con la calcolatrice.

7-

ESERCIZI DA RISOLVERE

A questo punto vi lasciamo una serie di esercizi sulle potenze da risolvere a cui allegheremo in basso delle piccole considerazioni e commenti per aiutarvi, come sempre, a risolverli.

8-

9-

CONSIGLI PER RISOLVERE GLI ESERCIZI SULLE POTENZE

Nelle tracce che vi abbiamo proposto sono un sunto di quanto appreso fino a questo momento. Il livello di difficoltà è basso, basta solo ricordare che le proprietà delle potenze possono essere applicate solo quando siamo di fronte a potenze che si moltiplicano o dividono ed hanno stessa base o esponente. Se mancano queste condizioni, il consiglio è di risolvere gli esercizi con la calcolatrice.

 

Divisioni tra polinomi

 – come si fanno?

 

Per comprendere questa lezione, soprattutto la parte che riguarda le lettere, è importante conoscere le proprietà delle potenze. In particolare, quando divido due elementi con coefficienti letterali, gli esponenti si sottraggono. Vedremo comunque meglio negli esercizi questo aspetto.

La regola generale da tener presente per calcolare la divisione di polinomi è:

A(X):B(X)=Q(X)×B(X)+R(X)

Quindi facendo dividendo i due polinomi A e B si ottiene il polinomio Q detto quoziente a cui va moltiplicato il divisore B e si somma infine il resto R. Vediamo nella pratica come si fanno i calcoli.

 

DIVISIONI TRA POLINOMI E MONOMI

La divisione polinomiale più semplice riguarda un polinomio da dividere per un monomio. In questo caso semplicemente semplicemente si applica la proprietà distributiva della divisione. Così come siamo stati abituati con le moltiplicazioni tra polinomi, è sufficiente dividere ciascun termine del polinomio per il monomio.

 

ESEMPIO 1

Vediamo subito un esempio su come si fa la divisione:

10-

COME LO ABBIAMO RISOLTO:

1) Il primo termine del polinomio va diviso per il monomio divisore → (8a5b) : (-4a²b) = -2a³

2) Si passa a questo punto al secondo termine → (-12a4b2 ) : (-4a²b) = +3a²b

3) Si divide l’ultimo termine del polinomio → (4a³b³): (-4a²b) = -ab²

 

ESEMPIO 2

In un secondo esercizio vediamo come si fanno le divisioni tra polinomi con frazioni. Non cambia nulla, per risolvere eventuali somme è importante solo che tu ricordi come si calcola il minimo comune multiplo.

11-

E’ importante, quando devi risolvere un esercizio con le frazioni, che fai prima la divisione tra i segni, poi tra i numeri (abbiamo visto nella lezione sulle operazioni tra numeri relativi che si trasforma in divisione “capovolgendo” il divisore) e infine le lettere.

 

DIVISIONE DI POLINOMI: SPIEGAZIONE PASSO PASSO

Questa regola possiamo dividerla in due parti: le divisioni tra polinomi con resto e senza resto. Si procede innanzitutto ordinando il polinomio in base al suo grado secondo le potenze decrescenti. Vediamo un esempio assieme commentando passo passo:

12-

OPERAZIONI SVOLTE:

6a³ : (-3a²) = -2a

Il risultato della prima operazione va in basso a destra (-2a) e fa parte del quoziente, cioè del risultato finale da ottenere. A questo punto moltiplichiamo questo valore ottenuto (-2a) per i tre monomi del divisore (-3a al quadrato +a e -1) e il risultato lo scriviamo sulla sinistra (cambiato di segno) sotto il polinomio (attenzione a mettere ben in colonna i termini con lo stesso grado).

13-

OPERAZIONI SVOLTE

(-2a) · (-3a²) = +6a² → cambio il segno → -6a²

(-2a) · (+a) = -2a² → cambio il segno → +2a²

(-2a) · (-1) = +2a → cambio il segno → -2a

A questo punto sommo algebricamente i termini in colonna delle due righe, per ottenere:

14-

OPERAZIONI SVOLTE

+6a³-6a³ = 0

 -5a²+2a²=-3a²

+3a-2a=+a

Riporto il -1 nell’ultima riga

 

Piccolo trucchetto per risolvere le divisioni:  il primo termine risultante dalla somma algebrica sia sempre pari a 0! Se non dovesse trovarsi, c’è qualche errore!

A questo punto si riparte nuovamente come dall’inizio. Cioè si divide il primo termine del nuovo polinomio (-3a al quadrato) per il primo termine del polinomio divisore (-3a al quadrato) … Prosegui da solo e vedrai che alla fine il risultato che otterrai sarà:

15-

Per cui il quoziente Q=-2a+1, mentre il resto R=0.

Come puoi vedere dalla figura il resto della divisione tra polinomi in questo caso è zero. Se avessimo trovato qualche monomio nella colonna di sinistra allora il resto sarebbe stato diverso da zero. In questo caso la divisione si dice esatta proprio dà resto nullo.

 

ESERCIZIO SVOLTO

Quella che stiamo per risolvere assieme è una divisione tra polinomi con coefficienti letterali. Ricordati che una delle tue lettere è l’incognita (nel nostro esempio a) mentre l’altra va trattata come se fosse semplicemente un numero. Vediamo come si risolve la divisione tra questi due polinomi:

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Due cose importanti che non abbiamo ancora specificato:

 

1) E’ necessario, come detto, mettere in ordine il polinomio con grado decrescente. La cosa importa è che se il grado manca, come nell’esempio, occorre mettere uno 0. Senza questo trucchetto, la regola delle divisioni tra polinomi non funziona e il risultato darà sempre errore.

2) Quando finisce la divisione? La divisione tra polinomi finisce quando nello spazio riservato al resto  c’è un monomio (o un polinomio) con grado inferiore al divisore. In questo caso è uscito -b alla quarta. Considerato che il polinomio è ordinato in base alla lettera, il grado è quindi 0. Minore del grado del divisore (a+b) che rispetto alla lettera a ha grado 1. Per cui la divisione finisce qui.

 

Volendo fare la prova della divisione appena svolta è necessario moltiplicare il quoziente per il divisore e si somma a questo il resto: si deve ottenere il dividendo.

Un modo alternativo per risolvere le divisioni tra polinomi è con Ruffini. Analizzeremo tuttavia il metodo di Ruffini in un’altra lezione. Per ora è preferibile continuare a fare pratica con qualche esercizio sulle divisioni tra polinomi.

 

ESERCIZI DA RISOLVERE

Eseguire le seguenti divisioni:

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Differenza di quadrati

 – come si esegue la scomposizione in modo corretto

 

La differenza di quadrati è uno dei più ricorrenti metodi di scomposizione di polinomi. Attraverso questa regola è possibile scomporre un binomio composto da una differenza di due quadrati in un prodotto di due binomi molto simili tra loro.

Negli esercizi capiterà molto spesso di dover calcolare una differenza di quadrati, per cui si tratta di una regola molto importante anche se estremamente semplice.

 

COME SI FA LA DIFFERENZA DI QUADRATI?

La premessa è doverosa in questa lezione. TI ricordi quando abbiamo parlato del prodotto di una somma per una differenza? Ti consentiva di risolvere in maniera semplice la moltiplicazione (a+b)(a-b), cioè due polinomi identici a meno di un segno.

Ebbene questa lezione sulle scomposizioni di polinomi sarà particolarmente semplice perché faremo lo stesso calcolo ma al contrario. Vediamo una prima definizione che puoi trovare su qualsiasi libro

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La differenza di due quadrati si scompone nel prodotto della somma per la differenza della basi.

 

Quindi, in parole povere, per calcolare la differenza di quadrati ti basta scrivere lo stesso binomio in parentesi e aggiungere a questa una seconda parentesi in cui semplicemente si andrà a cambiare il segno.

Domanda: E’ possibile risolvere la differenza di quadrati come se fosse un quadrato di binomio?

Risposta: Falso. Non è possibile perché manca il doppio prodotto. In quel caso puoi andare a leggerti come risolvere il trinomio caratteristico.

 

DIFFERENZA DI QUADRATI – ESERCIZI SVOLTI

ESERCIZIO 1

4-9x²

Per risolvere questo primo esercizio, procediamo lentamente e facciamo tutti i passaggi. Lo step iniziale è di identificare la differenza di quadrati. C’è un segno meno per cui si tratta realmente di una sottrazione e i due monomi che si sottraggono sono “radicabili”, cioè puoi fare la radice quadrata a mente senza problema e non si generano virgole o cose strane. Si tratta quindi di un caso semplice. Ecco come risolverlo.

 

1) Riscrivo lo stesso binomio, facendo la radice dei due elementi che si sottraggono. Quindi in pratica sto calcolando radice di 4 meno radice di 9 x al quadrato: (2-3x)

2) Alla fine della prima parentesi metterò una seconda parentesi con lo stesso binomio ma con il segno cambiato: (2-3x) (2+3x)

Per cui possiamo dire che:

4-9x² =(2x-3)(2x+3)

 

ESERCIZIO 2

1/25 x² – y²

 

Abbiamo iniziato a complicare gli esercizi introducendo una frazione. Non lasciarti però spaventare. Come si fa la differenza di quadrati con frazioni? Anche in questo caso facciamo radice del primo e radice del secondo e le inseriamo in due parentesi diverse con il segno cambiato. Poiché la radice di 1/25 è 1/5, allora possiamo scrivere:

(1/5 x + y)(1/5 x – y)

 

ESERCIZIO 3

(a+b)²-c²

La tentazione in questo caso è quella di andare a risolvere il quadrato di binomio. Ciò però non ci permetterà di scomporre il polinomio nel migliore dei modi e l’esercizio sarà sbagliato. Pensiamo però alla regola della differenza di quadrati: c’è un primo termine al quadrato e un secondo termine al quadrato.

Il primo termine non è altro che a prima parentesi, mentre il secondo termine è la c². Per andremo a fare la radice di (a+b)² e la radice quadrata di c². Ecco quindi che l’esercizio può essere sviluppato come:

[(a+b)-c][(a+b)+c] → (a+b-c)(a+b+c)

 

ESERCIZIO 4

a²-(b+c)²

Il caso è praticamente identico all’esercizio precedente. Non ci dilunghiamo quindi in ulteriori spiegazioni e risolviamo direttamente.

a²-(b+c)² = [a-(b+c)][a+b+c] = (a-b-c)(a+b+c)

 

L’unica cosa su cui devi stare attento è il segno da invertire in questo caso. Il segno è sempre quello tra i due termini al quadrato. Se avessi cambiato il segno all’interno della parentesi (b+c) avrei sbagliato.

 

ESERCIZIO 5

a²+2ab+b²-4-4x-x²

In questo caso la traccia non ci fornisce direttamente i due termini al quadrato, ma proviamo ad analizzare i vari pezzi. a²+2ab+b² non è altro che (a+b)². Nella seconda parte ho invece, raccogliendo il segno meno, -(4+4x+x²) che possiamo riscrivere come -(x+2)².

Quindi l’espressione diventa:

(a+b)²-(x+2)²

A questo punto abbiamo una differenza di quadrati due binomi. Il caso è del tutto analogo ai due precedenti, per cui possiamo risolviamo direttamente senza dilungarci:

= [(a+b)-(x+2)] · [(a+b)+(x+2)] =

(a+b-x-2)(a+b+x+2)

 

ESERCIZI CON SOLUZIONI

Gli esercizi sono particolarmente semplici per cui vi consigliamo di risolverli tutti.

19-

Somma di due cubi

 – la regola per la scomposizione

 

La somma di cubi è una scomposizione che appartiene alla famiglia dei prodotti notevoli. Si tratta di una regola che permette di scomporre la somma di due cubi nel prodotto di un binomio di primo grado per un trinomio di secondo grado.

In questa lezione vedremo come si scompone la somma di cubi del tipo:

x³+a³

Questo tipo di scomposizione si incontra piuttosto frequentemente negli esercizi di algebra, ma anche nei programmi di matematica più avanzati. E’ importante quindi impararla a memoria e vedremo proprio il trucco per memorizzarla senza fatica. Vediamo intanto subito qual è la formula da usare.

 

SOMMA DI CUBI – LA FORMULA

Dato il binomio composto dall’addizione di due cubi x³+a³, vale la regola seguente:

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La somma di cubi è pari al prodotto di un binomio somma di primo grado per un trinomio di secondo grado a segni alternati.

Il nostro consiglio, come detto, è di imparare la regola a memoria per evitare di doverla ricavare ogni volta usando l’espressione che vedremo nella dimostrazione. C’è una logica di fondo per memorizzare la formula. Quale? Eccola…

 

IL TRUCCO PER RICORDARLA

E’ possibile scomporre la somma di due cubi (x³+a³) scrivendo un binomio identico ma senza esponenti (x+a). A questo va moltiplicato un trinomio molto simile al quadrato di binomio negativo ma senza il 2 del doppio prodotto (x²-ax+a²). L’unica differenza con la differenza di cubi è il segno meno nel trinomio.

Proviamo a mettere in pratica questa facile regola:

x³+8

 

– riscriviamo il binomio senza usare gli esponenti (x+2)

– aggiungiamo il simbolo della moltiplicazione

– scriviamo il quadrato del binomio di primo grado (con il segno meno però!) appena ricavato, ma senza il 2 del doppio prodotto (x²-2x+4)

 

Per cui la somma di cubi x³+8=(x+2)·(x²-2x+4)

 

GLI ERRORI DA EVITARE

Un piccolo consiglio: attenzione a non confondere la somma di due cubi con la somma di quadrati, che invece non si può scomporre. Evita di confonderla anche con il cubo di un binomio del tipo (x+a)³. Nel nostro caso infatti, sono i singoli monomi ad essere al cubo e non l’intero binomio.

 

DIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA

Per dimostrare come si scompone la somma di due cubi, semplicemente eseguiamo la moltiplicazione di polinomi che compare al secondo membro della formula vista.

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SCOMPOSIZIONE DI SOMMA DI BINOMI DI GRADO DISPARI

La regola vista sopra può essere scomposta anche ai casi in cui l’esponente non sia 3, ma anche 5, 7 …. L’importante è che sia di grado dispari che si tratti di una somma. Se infatti il grado fosse pari non sarebbe possibile eseguire la scomposizione.

22-

Per scomporre la somma di due potenze ad indice dispari si scrive un prodotto in cui il primo fattore è lo stesso binomio ma di grado 1. Il secondo fattore è invece dato dalla somma algebrica dei due monomi inseriti il primo con indice di potenza decrescente (puoi notare che si parte con x4, poi c’è x³, …) e il secondo con indice di potenza crescente (si parte da a0, poi a1, a2, …).

 

ESERCIZI SVOLTI SULLE SOMME DI CUBI

Scomporre i seguenti binomi con le regole viste in questa lezione.

23-

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Differenza di cubi

–  scomposizione ed esercizi

 

La differenza di cubi è un tipo di scomposizione appartenente alla famiglia dei prodotti notevoli. Grazie a questa semplice regola è possibile scomporre la differenza tra due cubi nel prodotto di un binomio di primo grado per un trinomio di secondo grado.

Vedremo come si scompone la differenza di due cubi del tipo:

x³-a³

E’ una regola molto utilizzata durante le espressioni e gli esercizi e, per quanto possa sembrare difficile, in realtà vedremo che è molto facile imparare a memoria come si scompone la differenza di cubi.

 

SCOMPOSIZIONE CON DIFFERENZA DI CUBI

Come già detto sopra, consideriamo la differenza di due cubi generici x³-a³. Per fare la scomposizione la formula da seguire è la seguente:

25-

La differenza di cubi è pari al prodotto di un binomio di primo grado per un trinomio di secondo grado. Il nostro consiglio è di impararla a memoria imparando la logica che c’è dietro piuttosto che provare a ricavarla ogni volta.

 

COME RICORDARLA – IL TRUCCO PER GLI STUDENTI

Qual’ è la regola che c’è dietro questa formula? Prova ad osservare il secondo membro. Abbiamo il prodotto tra due polinomi. Il primo è un binomio identico al primo membro ma senza gli esponenti. Il secondo invece è un trinomio molto simile ad un quadrato di binomio ma non c’è il 2 con il doppio prodotto e i segni sono tutti positivi.

Proviamo a mettere in pratica questa regola facendo un esempio:

 

x³-8 → Poiché 8 è pari a 2³, allora possiamo vedere la traccia come x³-2³. Applichiamo a questo punto la formula vista:

x³-a³=(x-a)(x²+ax+a²) dove ovviamente a=2

x³-2³ = (x-2)(x²+2x+4).

 

Attenzione a non confondere la differenza di cubi con il cubo di un binomio o con la differenza di quadrati. In questo caso abbiamo delle potenze con indice dispari.

 

DIMOSTRAZIONE DELLA DIFFERENZA DI CUBI

Ti stai chiedendo come si arriva ad ottenere la formula che abbiamo visto? Semplicemente proviamo a risolvere il prodotto che compare al secondo membro dell’equazione:

(x-a)(x²+ax+a²) =

= x³+ax²+a²x–ax²-a²x-a³ =

Eliminiamo tutti i termini opposti e alla fine otteniamo:

= x³-a³

 

DIFFERENZA DI BINOMI AD INDICE DISPARI

Anche se l’esponente non è 3, è possibile fare la scomposizione di polinomi: la cosa importante è che l’indice della potenza sia dispari. Vediamo subito le formule per scomporre un binomio:

26-

Possiamo quindi sintetizzare la regola per la differenza di cubi e più in generale per la scomposizione di binomi di grado dispari come:

La differenza di potenze con identico esponente dispari si scompone nel prodotto della differenza delle basi per un polinomio di 1 grado inferiore, ordinandolo così che abbia le potenze decrescenti del primo monomio e crescenti del secondo, i segni sono tutti positivi.

 

ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI

Eseguire le scomposizioni delle seguenti differenze di cubi.

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ESERCIZI DA RISOLVERE

Gli esercizi che ti proponiamo di risolvere non hanno riportato la soluzione intenzionalmente. Sono elencati non solo delle sottrazioni di cubi, ma anche le somme di cubi (trovi la lezione a questo link). Sono molto semplici per cui mettiti alla prova come se stessi affrontando un compito in classe.

Scomporre in fattori le seguenti somme e differenze di cubi

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Proprietà dei logaritmi

– tabella, esercizi e teoremi

 

Le proprietà dei logaritmi sono delle regole che permettono di svolgere le quattro operazioni applicate ai logaritmi. In questa lezione ne vedremo una spiegazione completa con alcuni facili esercizi per risolvere ogni dubbio o problema.

PROPRIETÀ DEI LOGARITMI TABELLA

30-

Prima di affrontare nel dettaglio le varie regole dei logaritmi riassunte in questa tabella, è importante saper riconoscere che cos’è la base e che cos’è l’argomento di questo particolare operatore matematico. Per questa ragione vediamo una spiegazione in breve sulla definizione di logaritmo.

 

DEFINIZIONE DI LOGARITMI

L’argomento di oggi è uno dei più odiati dagli studianti, che trovano le proprietà dei logaritmi difficili e vanno spesso in confusione con le varie regole. Iniziamo dando una facile definizione di logaritmi.

 

Che cosa sono i logaritmi? Per capirlo partiamo dall’equazione esponenziale più semplice. Per calcolare l’incognita in questa semplice equazione si passa al logaritmo di n in base b.

31-

Per memorizzare questa regola puoi ricordarti che la base dell’esponente diventa la base del logaritmo. Ne deriva la seguente definizione di logaritmo:

Dicesi logaritmo di un numero positivo n, rispetto ad una base b, il numero x che si deve dare come esponente alla base b per ottenere un numero n.

 

Da questa spiegazione ricaviamo subito alcune proprietà dei logaritmi:

 

1) Esistono solo logaritmi di numeri positivi.

2) Il logaritmo di 1 fa 0. Questo perché l’esponenziale con indice di potenza 0 dà come risultato 1.

3) Il logaritmo della base logaritmica è 1. Detto in parole povere quando ho un logaritmo con base ed argomento uguali posso scrivere direttamente 1.

4) Il logaritmo della base elevata ad un certo esponenziale è uguale a quell’esponente. Una spiegazione più semplice? Quando ho logaritmo con base ed argomento uguale con un esponente, il risultato è proprio pari all’esponente.

 

REGOLE E PROPRIETÀ DEI LOGARITMI

Le 4 regole che stiamo per analizzare saranno fondamentali non solo per risolvere i più facili esercizi sui logaritmi, ma anche per le equazioni logaritmiche che vedremo nelle prossime lezioni.

 

PRODOTTO DI LOGARITMI

Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori

32-

Il prodotto di logaritmi, o meglio la moltiplicazione tra gli argomenti, si risolve scrivendo una somma di logaritmi con la stessa base.

Per la dimostrazione della proprietà dei logaritmi, scriviamone due generici e applichiamo subito la definizione:

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ESERCIZI FACILI SUI LOGARITMI

Proveremo a risolvere solo esercizi più facili mentre rimanderemo quelli più difficili ad una esercitazione interamente dedicata all’argomento.

Applica le proprietà dei logaritmi per risolvere le seguenti espressioni algebriche

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37-

Triangolo di Tartaglia

–  spiegazione ed esempi

 

Il triangolo di Tartaglia è una tabella a forma di piramide contenente dei numeri naturali. Questi non sono altro che i coefficienti binomiali. Il triangolo di Tartaglia è ha una dimensione praticamente infinita (come capirai a breve) ed è di fondamentale importanza per risolvere l’elevazione a potenza di un binomio.

 

A CHE SERVE IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA?

Nella lezione sul quadrato di un binomio abbiamo visto che (a+b)² mi genera un trinomio a²+2ab+b². I coefficienti di quest’ultimo sono i tre numeri: 1 – 2 – 1. Il triangolo di Tartaglia serve proprio per conoscere in anticipo quali sono questi coefficienti, qualsiasi sia l’indice di potenza. Lo stesso si può dire anche per il cubo di un binomio (a+b)³ porta al polinomio a³+3a²b+3ab²+b³. I coefficienti, che ci ritroveremo quindi nel triangolo di Tartaglia sono 1 – 3 – 3 – 1.

 

Questo ragionamento si può estendere a tutte le potenze, ragion per cui quella che viene considerata Piramide di Tartaglia è potenzialmente infinita. Quindi sostanzialmente il triangolo di Tartaglia ti permette di sviluppare le potenze di binomi senza dover fare tutti i calcoli.

 

COME SI COSTRUISCE IL TRIANGOLO DI TARTAGLIA?

Partiamo da una semplice considerazione, ovvero che per le regole delle potenze, qualsiasi numero o lettera (inclusi i monomi e i polinomi) elevati a 0, danno come risultato 1.

(a+b)0 → 1

Elevando lo stesso binomio alla 1, invece, otteniamo lo stesso binomio, per cui i coefficienti sono 1 e 1

38-

A questo punto possiamo proseguire con la costruzione del triangolo di Tartaglia con semplici operazioni aritmetiche. Osserviamo infatti che ogni numero inserito nella nostra piramide è uguale al numero che sta subito in alto sommato a quello che sta in alto immediatamente a sinistra. La regola inoltre prevede che quando c’è casella bianchi si consideri il numero pari a 0. Vediamo praticamente come si fa passo passo:

39-

Possiamo proseguire in questo modo ed ottenere i coefficienti di tutte le potenze di un binomio. Quella che vi mostriamo ora è la tabella che arriva fino a 7. Ovviamente si può tranquillamente andare oltre, non ci sono limiti. E’ proprio questo il punto di forza di questa regola generale.

40-

Come hai potuto vedere la spiegazione del Triangolo di Tartaglia è estremamente semplice e necessita di poche somme aritmetiche. Da notare che la prima colonna contiene solo numeri 1 così come la diagonale di questo triangolo rettangolo.

 

COME CALCOLARE LE POTENZE DI UN BINOMIO

A questo punto per calcolare la potenza generica di un binomio la regola è semplicissima: il primo monomio lo si fa iniziare con il grado massimo e lo si decresce di 1 per ogni singolo monomio, mentre il secondo monomio inizia con grado 0 e finisce con il grado massimo.

Per capire meglio come calcolare le potenze, vediamo come si usa il Triangolo di Tartaglia con un esempio:

Risolvere il binomio alla quarta (a+b)4

41-

Come abbiamo risolto l’esercizio? Dato che il binomio è alla quarta andiamo a considerare i coefficienti della relativa riga sul triangolo (che abbiamo segnato in rosso). Il primo termine avrà quindi quindi coefficiente 1, il secondo 4, il terzo 6, il quarto 4 e l’ultimo 1. Per quanto riguarda le lettere, invece la a avrà da subito grado 4 mentre b grado 0 (infatti non c’è!). Il secondo termine la a avrà grado 3, mentre b grado 1. Il terzo termine avrà coefficiente 6, grado della a 2 e grado di b 2 e così via.

 

ESERCIZI CON SOLUZIONE

Una delle domande che potrebbe porsi lo studente è: ma come si risolvono le potenze con Tartaglia se ho dei monomi negativi? Vediamo subito in un esempio:

42-

Hai visto che anche con una potenza di un binomio con un segno meno non cambia la regola di Tartaglia: anzi, per evitare di sbagliare, è sufficiente che tu la applichi in maniera rigorosa usando bene le parentesi tonde. Metti ogni monomio all’interno delle parentesi e vedrai che i segni non ti creeranno problemi. Ovviamente per ogni esercizio non c’è bisogno di riscrivere il triangolo da capo, ti basta avere uno schema che puoi consultare ogni volta che dovrai risolvere un esercizio.

43-

ESERCIZI DA RISOLVERE

Non resta che esercitarti con semplici tracce.

44-

Da notare che l’ultimo esercizio include una radice quadrata. Se hai ben presente le regole delle radici, non spaventarti e prova a risolvere normalmente l’esercizio. Se segui alla lettera la regola che abbiamo studiato oggi assieme, vedrai che non avrai alcun problema.

Data 10 novembre 2019

ALGEBRA – 2

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Numeri divisibili per 2

 – quali sono e come si calcolano?

 

QUALI SONO I NUMERI DIVISIBILI PER 2

Si tratta di un concetto che abbiamo già studiato nella lezione dedicata ai criteri di divisibilità. Innanzitutto possiamo dire che un numero è divisibile per 2 quando è un suo multiplo.

Il criterio di divisibilità per 2 è uno dei più semplici e si studia già nella scuola primaria. Basta semplicemente verificare che il numero sia pari.

 

Se è pari, il numero è divisibile per 2.

 

Questo significa che l’ultima cifra del numero da analizzare deve essere 0, 2, 4, 6, 8.

 

Esempio:

Verificare che 2.035 appartenga all’insieme dei numeri divisibili per 2.

 

Soluzione

Poiché l’ultima cifra è 5, dispari, si può concludere rapidamente che il numero non è divisibile per 2

 

SECONDO MODO PER VERIFICARE LA DIVISIBILITÀ PER 2

Il primo metodo visto è rapido ed estremamente semplice: basta verificare che il numero sia pari. Se tuttavia non dovessi ricordarti come fare durante un compito o un’interrogazione, puoi sempre eseguire la divisione del numero da studiare per 2.

 

Se il resto della divisione è zero il numero è divisibile per 2.

 

Esempio

Verificare che il numero 2.014 appartiene all’insieme dei numeri divisibili per 2.

Soluzione

Facciamo subito la divisione così come ce l’hanno insegnata alle scuole elementari

1-

 

Come si può osservare il resto della divisione è nullo, per cui 2014 è un numero rispecchia il criterio di divisibilità per 2 della divisione, cioè il resto è nullo.

 

TABELLA DEI NUMERI DIVISIBILI PER 2

Di seguito trovi la lista di tutti i numeri, fino a 200, divisibili per 2. Iniziamo subito:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140, 142, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158, 160, 162, 164, 166, 168, 170, 172, 174, 176, 178, 180, 182, 184, 186, 188, 190, 192, 194, 196, 198, 200.

 

Numeri divisibili per 11

 – la tabella completa

 

QUANDO UN NUMERO È DIVISIBILE PER 11

Per capire se un numero può essere diviso per undici, è necessario fare la differenza della somma delle cifre di posto pari meno la somma delle cifre di posto dispari. Del numero che si ottiene si valuta il valore assoluto. Se questo è un multiplo di 11 allora il numero è divisibile per 11.

 

Cerchiamo di semplificare e di ridurre in step il metodo di calcolo:

 

– si sommano le cifre con posizione pari. Quindi si sommano le cifre in seconda, quarta, sesta, …, posizione.

– Si sommano le cifre con posizione dispari. Quindi si sommano le cifre in prima, terza, quinta, …, posizione.

– Si fa la differenza tra i due numeri ottenuti,

– Se ne calcola il valore assoluto.

– Se quest’ultimo è multiplo di 11 allora il numero di partenza è divisibile per 11.

 

Esempio:

Stabilire se 98.615 è divisibile per 11.

Dato che a mente è impossibile saperlo, proviamo a ripetere gli step visti.

 

– Sommiamo le cifre di posizione pari: 8+1=9

– Sommiamo le cifre di posizione dispari: 9+6+5=20

– Facciamo la differenza così che esca un numero positivo: 20-9=11

– Il numero è divisibile per 11!

 

QUANDO IL METODO NON CI AIUTA?

Può capitare che nell’ultimo passaggio, dalla sottrazione ci sia come risultato 0. In questo caso può essere utile eseguire la divisione tra i due numeri e verificare che il resto sia uguale a 0. In questo caso il numero è divisibile per 11.

Esempio:

2-

TABELLA NUMERI DIVISIBILI PER 11

Per rispondere alla domanda “quali sono i numeri divisibili per 11?” abbiamo deciso di creare una piccola lista con tutti i multipli di 11 fino a 1.000.

3-

 

Espressioni con potenze

 – l’esercitazione completa con svolgimento e soluzione

 

Le espressioni con le potenze sono delle espressioni algebriche in cui compaiono numeri interi e frazioni con delle potenze. Generalmente si risolvono seguendo con poche operazioni matematiche e facendo attenzione alle parentesi presenti.

Per risolvere le espressioni con potenze è necessario applicare le proprietà delle potenze e poche altre semplici operazioni, come somme, prodotti o differenze. Attenzione ovviamente ai segni!

 

COME RISOLVERE LE ESPRESSIONI CON LE POTENZE – REGOLE

Di seguito abbiamo riassunto alcuni consigli e regole generali da tenere presente durante lo svolgimento degli esercizi.

 

– Segui la priorità dei calcoli che vengono dati dalle parentesi. Si ricorda che si risolvono prim le parentesi tonde, poi le quadre e per ultime le graffe.

– Applica se puoi le regole sulle potenze. Se ciò non fosse possibile puoi calcolare le potenze dei numeri a mente o con la calcolatrice.

– Esegui prima moltiplicazioni e divisioni, solo all fine addizioni e sottrazioni.

 

RISOLVI ESPRESSIONI CON POTENZE – ESERCIZI

Per aiutarti a capire come si fanno le espressioni con le potenze, iniziamo questa esercitazione con un esercizio facile e commentato passo passo.

 

ESERCIZIO 1

Risolvi le seguenti espressioni con potenze

4-

 

5-

6-

 

7-

8-

 

Somma algebrica tra numeri relativi o con le frazioni

 – Come si fanno?

 

Come si risolve una somma algebrica? Che differenza c’è tra le somme algebriche e le normali addizioni tra numeri interi?

 

Risposta

Le somme algebriche sono delle addizioni o delle sottrazioni tra numeri relativi. Questo significa che una somma algebrica può essere sia una somma che una differenza. Cerchiamo di essere più chiari sin da subito e di vedere un esempio concreto

9-

Quella che hai appena visto è una somma algebrica tra numeri relativi. Essendo una somma, non cambia l’ordine degli addendi, per cui possiamo scrivere che -10+12 è equivalente a +12-10

Questa, che fino a qualche anno fa avresti considerato una banale sottrazione, può essere vista come la somma algebrica di un numero (+12) e l’opposto del secondo (-10). Cioè possiamo scrivere:

 

+12-10 = +12+(-10)

 

E’ proprio per questa ragione che, una volta che a scuola si è introdotto il concetto di numero relativo, non si parla più di addizione e sottrazione, ma semplicemente di somma algebrica.

 

COME SI FA LA SOMMA ALGEBRICA?

Possiamo distinguere due semplici casi: quello in cui i numeri sono concordi e quello in cui sono discordi.

 

SOMME ALGEBRICHE TRA NUMERI CONCORDI

Siano dati due numeri relativi con lo stesso segno, quindi concordi. La somma algebrica si calcola facendo semplicemente sommando le due parti numeriche e conservando il segno.

Esempio 1:

-3-5

Poiché i numeri hanno entrambi il meno, mantengo il segno e faccio l’addizione dei numeri.

-3-5=-8

 

Esempio 2:

+3+5

Poiché i numeri hanno entrambi il segno più, si mantiene il segno e si addizionano le parti numeriche.

+3+5=+8

 

SOMMA ALGEBRICA TRA NUMERI DISCORDI

Se i due numeri hanno segno opposto, allora si mantiene il segno della parte numerica maggiore e si esegue la sottrazione dei due numeri. Ovviamente ricordati di sottrarre il maggiore meno il minore.

 

Esempio 1

+3-5

Le due parti numeriche sono 5 e 3, dove ovviamente cinque è maggiore di 3. Per cui conservo il segno del 5 ed eseguo la sottrazione 5-3=2 a cui devo aggiungere il segno.

+3-5=-2

 

Esempio 2

+27-15

Poiché 27 è maggiore di 15, si conserva il segno + e si fa la sottrazione 27-15=12

+27-15=+12

 

SOMMA ALGEBRICA DI FRAZIONI

Quando ti trovi a dover eseguire la somma di numeri relativi sotto forma di frazione, diventa tutto estremamente meccanico.

 

– Calcola il minimo comune multiplo

– Dividi il mcm per il primo denominatore e moltiplicalo per il primo numeratore, conserva il segno.

– Esegui questa operazione per ogni numero da addizionare.

– Disponi i numeri sotto un unico denominatore.

– Addiziona gli elementi al numeratore della frazione

 

ESEMPIO 1

10-

Come puoi vedere 5 e 2 concorrono a formare il minimo comune multiplo (10). Poi riscriviamo le due nuove frazioni con il mcm al denominatore e si sommano i numeratori. Si arriva presto al risultato.

 

ESEMPIO 2

11-

 

Operazioni con i numeri relativi

– definizioni e consigli

 

Le operazioni con i numeri relativi sono un po’ diverse da quelle studiate nel programma di aritmetica. Risolvere delle espressioni con numeri relativi significa essere in grado di fare delle somme algebriche, moltiplicazioni, divisioni e potenze.

 

Prima di affrontare nel dettaglio l’argomento ed analizzare le varie operazioni con numeri relativi, vedremo qualche definizione iniziale di introduzione di ripasso sui numeri relativi.

 

CHE COSA SONO I NUMERI RELATIVI?

Come già detto nella lezione generale sui numeri relativi, non tutte le grandezze possono essere espresse da un numero. Basti pensare alla temperatura. Esiste una temperatura sopra lo zero e una sotto lo zero. Ad esempio d’estate si raggiungono i 30°C e d’inverno anche i -10°C. Allo stesso modo, il segno diventa un componente fondamentale in tutte le operazioni tra numeri relativi.

 

ESEMPIO

-30+10 = ?

 

Per introdurre la somma e la differenza rivediamo due definizioni:

 

– si parla di numeri relativi concordi quando hanno lo stesso segno

– si parla di numeri relativi discordi quando hanno segno opposto

 

LE OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI

Ti ricordi la retta orientata con i numeri negativi e positivi?

12-

LA SOMMA ALGEBRICA

Una volta capita la linea dei numeri relativi è tutto più facile. Distinguiamo ancora una volta i tre casi.

 

1 – SOMMA ALGEBRICA TRA DUE NUMERI CONCORDI POSITIVI

Non cambia nulla rispetto all’addizione aritmetica. Per cui banalmente

 

+2+3=+5

 

2 – SOMMA ALGEBRICA TRA DUE NUMERI CONCORDI NEGATIVI

Si scrive lo stesso segno, cioè quello negativo, e si sommano i due numeri.

 

-7-12=-19

 

3 – SOMMA ALGEBRICA TRA DUE NUMERI DISCORDI.

Facendo finta per un attimo che i segni non esistano, si valuta il numero più grande tra i due e si tiene il suo segno. Infine si fa la differenza tra i due numeri.

Esempio:

-15+7=

 

Considerando solo i due numeri, cioè 7 e 15, chiaramente il numero maggiore è 15. Il suo segno è negativo, per cui il risultato della somma è negativo. Infine basta fare la differenza tra i due numeri, cioè 15-7.

Per cui il risultato è il seguente:

-15+7=-8

 

ALTRI ESEMPI

Prova a verificare se i risultati delle seguenti addizioni sono esatte:

 

-10+3=-7

+15-5=+10

+23-40=-17

 

SOTTRAZIONE CON I NUMERI RELATIVI

Il discorso è perfettamente analogo con la sottrazione. La regola generale per risolvere la sottrazione con i numeri negativi è che il segno meno cambia il segno del numero.

 

 Ad esempio:

-5-(+4)=

 

La parentesi è stata utilizzata perché in genere non si pongono due segni vicini senza una parentesi. Inoltre, poiché il segno meno cambia i segni degli elementi della parentesi successiva, l’equazione scritta diventa:

-5-(+4)=-5-4=

Risolvendo come già illustrato sulla somma algebrica di numeri relativi concordi negativi, ottengo

-5-(+4)=-5-4=-9

 

Altri esempi che puoi provare a risolvere:

-4-(-15)=-4+15=+11

+3-(-4+7-1)=+3-(+3-1)=+3-(+2)=+3-2=+1

 

In quest’ultimo esempio è preferibile risolvere le addizioni in parentesi, in due passaggi distinti, e poi cambiare il segno.

 

LA REGOLA DEI SEGNI CON LE MOLTIPLICAZIONI

La regola base da tener presente è:

 

(+)(-)=(-)

(-)(+)=(+)

(-)(-)=(+)

(+)(+)=(+)

 

Nella regola dei segni basta ricordare che quando moltiplico due segni concordi il risultato è sempre positivo. Quando moltiplico due segni discordi il risultato è sempre negativo.

 

Per risolvere le moltiplicazioni tra numeri relativi basta infine moltiplicare i due numeri.

 

Ad esempio

(+3)(-5)=-15

 

Prova a verificare le moltiplicazioni seguenti:

 

(-3)(-4)=+12

(-1/2)(+3/5)=-3/10

 

Se hai avuto problemi con l’ultimo esercizio, prova a ripassare le operazioni con le frazioni

 

DIVISIONE TRA NUMERI RELATIVI

Non cambia nulla rispetto alla moltiplicazione. Si applica la regola dei segni e successivamente si esegue la divisione tra i numeri.

(-14):(-2)=+7

Ora prova tu a svolgere le divisioni tra numeri relativi seguenti:

(+40):(-4)=-10

(-32/25):(+2/5)=-16/5

 

Anche in questo secondo esempio, se hai avuto difficoltà ti consigliamo di rivedere gli appunti sulle frazioni.

 

POTENZE DI NUMERI RELATIVI

Mentre per il numero è sufficiente semplicemente elevare a potenza, per il segno basta ricordare che:

 

– se l’esponente è pari, il segno è sempre positivo

– se l’esponente è dispari, il segno non cambia

 

Esempi:

(-4)2=+16

(-4)3=-64

 

Se hai riscontrato difficoltà a svolgere questi due esercizi ti consigliamo di rivedere la lezione sulle proprietà delle potenze.

 

Esercizi sui radicali risolti con commento e soluzioni

 

ESERCIZI SUI RADICALI SVOLTI

Gli esercizi con le radici che stiamo per risolvere assieme sono ordinati in modo da aumentare il grado di difficoltà in maniera progressiva. Inizieremo da quelli più semplici, quasi banali, per arrivare poi a risolvere esercizi con radicali più complessi.

 

ESERCIZIO 1

Calcolare le seguenti radici riportando eventualmente i vari passaggi.

√64   3√125  √81  √121  3√1.000

Svolgimento

Questi semplici esercizi sulle radici potrebbero essere risolti in pochi istanti attraverso l’uso di una calcolatrice. Tuttavia, almeno per questi primi esercizi, i radicali verranno risolti a mente. In questo modo potrai capire anche il ragionamento che porta alla risoluzione del problema matematico.

√64

Poiché 8×8=64, allora possiamo scrivere che √64= 8.

3√125 

Poiché 5×5×5=125, allora possiamo scrivere che la radice cubica 3√125=5.

√-81 

ATTENZIONE: si tratta di una radice quadrata con un numero negativo! Quando l’indice è pari, come in questo caso, la radice negativa è impossibile. Quindi non esistono soluzioni reali.

√121

Poiché 11×11=121, allora posiamo scrivere che √121=11.

3√-1.000

 

Essendo la radice ad indice dispari, è consentito l’uso dei numeri negativi. Poiché inoltre 10×10×10=1.000, allora 3√-1.000=-10

 

ESERCIZIO 2

Risolvere la seguente radice sesta 6√729.

Svolgimento

Dovendo risolvere tutto a mente senza l’aiuto della calcolatrice, proviamo a calcolare la seguente radice scomponendo il numero 729.

729 → 729:3 = 243 → 243:3=81 → 81:3=27 → 27:3=9 → 9:3=3 → 3:3=1

Abbiamo diviso 729 per 3 ben 6 volte. Per cui possiamo scrivere che:

729=3×3×3×3×3×3

729=36

Facendo a questo punto la radice otteniamo:

6√36

La radice e la potenza si semplificano per cui 6 e 6 vanno via e restano 1 e 1. Quindi il risultato finale è 3.

 

ESERCIZIO 3

Risolvere il seguente esercizio con radicali letterali

4√(81 x8 y4)

Svolgimento

Le radici sono da risolvere in maniera analoga all’esercizio precedente. L’unica differenza è che questa volta ci sono anche delle lettere. Scomponiamo quindi il problema in 3 parti:

 

– la radice del numero → 4√81 = 4√34 =3.

– la radice della x → 4√x8 = x2 → Abbiamo semplificato 8 e 4 per ottenere 2 come esponente della potenza.

– la radice della y → 4√y4 = y → Abbiamo semplificato 4 e 4, così che spariscono sia la radice che l’esponente.

 

Ricomponiamo il monomio, per ottenere il risultato finale.

4√(81 x8 y4) = 3x2y

 

ESERCIZIO 4

Risolvere la seguente espressione con i radicali

√32+√200

Svolgimento

Ti ricordi cosa abbiamo detto sulle operazioni con le radici? Le somme non si possono fare, o almeno non così facilmente. Visto che non possiamo addizionare, l’unica cosa che possiamo fare in questo caso è fare delle semplificazioni. Proviamo a ridurre la radice di 32 e la radice di 200 così da scriverle in un’altra forma.

√32

Iniziamo scomponendo 32=2×2×2×2×2 → 32=24×2.

A questo punto ricomponiamo il radicale → √32 = √24 × √2

Semplificando otteniamo  √24 × √2 = 22× √2 =4√2

√200

Anche in questo caso scomponiamo prima il numero: 200 = 100×2 = 102 ×2 = 52 × 22 × 2

Ri-applichiamo il radicale per ottenere: √200 = √52 × √22 × √2

 

Semplificando otteniamo: √52 × √22 × √2 = 5×2×√2 = 10√2

La nostra traccia è diventata quindi:

√32+√200 = 4√2 + 10√2

In questo caso la somma può essere eseguita perché c’è una radice comune. Il risultato finale è quindi:

= 14√2

 

ESERCIZIO 5

Esprimere le seguenti potenze utilizzando i radicali. Eseguire poi, se possibile, le opportune semplificazioni.

42/3   251/2   34/5

Svolgimento

Ti ricordi le proprietà delle potenze? Quando hai un esponente con una frazione, il numeratore resta come esponente della potenza, mentre il denominatore diventa indice di radice. In base a questa proprietà, possiamo risolvere facilmente gli esercizi sui radicali della traccia.

42/3 = 3√42

Ovviamente possiamo scrivere anche il 4 come una potenza (cioè 2 alla seconda).

3√(22)2 = 3√(24) = 3√(23×2) =

= 3√23 × 3√2 = 2 × 3√2

251/2 = √25 = 5

34/5 = 5√34

In questo ultimo esercizio non è possibile fare alcuna semplificazione. Per cui si arriva direttamente al risultato finale.

 

ESERCIZIO 6

Semplifica il seguente radicale

6√3/√2

Svolgimento

Ti ricordi come si risolvono gli esercizi con i radicali al denominatore? E’ necessario fare un’operazione che abbiamo chiamato razionalizzazione della radice. Si moltiplica e si divide per la radice presente al denominatore. Eseguiamo i calcoli…

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ESERCIZIO 7

Semplifica il seguente radicale

3/(2+√2)

Svolgimento

A differenza del precedente esercizio, il radicale al denominatore compare con una somma. Si ricorre quindi al secondo metodo della razionalizzazione. Si moltiplica e divide per il denominatore cambiando il segno tra i due numeri. In questo modo si sfrutta la regola della somma per la differenza.

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Regole e proprietà dei radicali in matematica

 – con esercizi ed esempi commentati

 

I radicali in matematica vengono definiti come degli operatori (cioè che permettono di fare operazioni). Vengono espresse attraverso delle radici che hanno un indice intero. Le radici quadrate o più in generale i radicali mettono spesso in difficoltà gli studenti all’interno dei vari esercizi.

Proprio per questa ragione, abbiamo deciso di semplificare al massimo la lezione sui radicali, così da permettere davvero a tutti di comprenderne regole e proprietà. Iniziamo dalla definizione e da un esempio pratico di radice quarta.

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Nell’esempio sopra vedi puoi vedere come si esprimono i radicali in matematica:

 

3 – viene chiamato coefficiente della radice;

2 – viene chiamato argomento della radice;

4 – viene chiamato indice di radice.

 

Le regole sui radicali sono abbastanza simili a quelle che abbiamo visto per le potenze. Si tratta quindi di poche semplici regole, utilissime tuttavia nella risoluzione degli esercizi.

Presta bene attenzione e magari segnati un appunto per ogni singola regola, perché in questa pagina troverai davvero tutto quello che ti serve per risolvere senza alcun problema gli esercizi contenenti operazioni tra radicali.

 

REGOLA SUI RADICALI FONDAMENTALE – LA SEMPLIFICAZIONE

Volendo costruire uno schema semplice su come risolvere i radicali, iniziamo dalla semplificazione, indicata dai testi come la fondamentale proprietà delle radici:

Moltiplicando l’indice della radice e l’esponente per uno stesso numero, il valore del radicale non cambia.

16-

La regola vale anche al contrario. Ti capiterà spesso di incontrare, infatti, degli

esercizi sui radicali in cui dovrai semplificare l’indice di radice con l’indice di potenza.

In questo esempio all’inizio abbiamo moltiplicato l’indice di radice 2 (il numero in alto a sinistra) e l’indice di potenza 1 per lo stesso numero, cioè per 3. In questo caso abbiamo moltiplicato, ma la regola vale anche per la divisione.

 

OPERAZIONI CON I RADICALI

La somma e la differenza non possono essere eseguite. Errore comune di molti studenti è pensare che √3+√7=√10. In realtà è sbagliato! Il risultato è: √3+√7, cioè si lascia tutto così com’è. Tieni questo concetto ben presente tra le proprietà dei radicali.

 

LE MOLTIPLICAZIONI TRA RADICALI

La moltiplicazione di due o più radicali aventi lo stesso indice di radice è un radicale avente lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi.

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Le moltiplicazioni tra radici sono tra le più semplici proprietà dei radicali. La regola vale solo se l’indice è lo stesso! Questa è l’unica cosa a cui bisogna prestare attenzione. Per risolvere i radicali con le moltiplicazioni è sufficiente moltiplicare i radicandi (cioè i numeri sotto radice). Vediamo con un esempio pratico:

18-

Dal primo al secondo passaggio possiamo dedurre importantissima proprietà: è possibile scrivere le radici separatamente (radical due, radical tre e radical quattro) oppure inserirle sotto un’unica radice. La cosa importante che l’indice sia lo stesso, nel nostro esempio 3. Vediamo un altro caso concreto per capire bene questa regola sui radicali appena dedotta

19-

Da notare che i radicali sono spariti perché abbiamo semplificato indice di radice ed esponente per due, applicando la fondamentale proprietà sui radicali.

 

LA DIVISIONE

Il quoziente di due radicali aventi lo stesso indice è un radicale avente lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi.

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La formula per risolvere i radicali tra loro divisi è molto semplice. E’ sufficiente infatti dividere i radicandi. La conseguenza di questa regola, come si può vedere anche dalla formula è che possiamo scrivere sia due radicali separati che sotto un’unica radice. Ecco un esempio:

21-

Da notare come negli esercizi sulle radici, è fondamentale cercare di esprimere i numeri in forma di potenze, così da poter provare poi a semplificare.

 

POTENZE DI RADICALI

Per elevare a potenza un radicale si eleva a potenza il radicando.

22-

Nei due esempi che ti abbiamo illustrato, puoi vedere che questa regola sulle potenze è estremamente semplice: basta fare la potenza del numero sotto la radice!

 

RADICI DI RADICI

Questa è la proprietà delle potenze che maggiormente mette in difficoltà gli studenti. Non c’è bisogno neanche di fare schemi semplici, perché è immediato:

La radice di un radicale è uguale ad un radicale che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando.

Che tradotto significa: non ti fare troppi problemi, semplicemente moltiplica gli indici di radice e hai fatto, come puoi vedere nell’esempio:

23-

 

Nel caso in cui sotto la radice non ci sia solo un numero ma ad esempio un binomio, allora bisogna ricorrere alla regola sui radicali doppi.

 

PORTARE FUORI RADICE ( E DENTRO LA RADICE)

Il trasporto fuori dal segno di radice si esegue scomponendo al massimo i numeri ed applicando le regole viste in precedenza. In genere si procede riscrivendo il radicando in forma di potenza e semplificando con la radice. Vediamo subito un esempio pratico:

24-

In questo piccolo esercizio abbiamo scomposto il radicando e successivamente usato le proprietà delle potenze, in particolare la regola della moltiplicazione. Dalla singola radice siamo passati alle due radici moltiplicate e, semplificando ancora, abbiamo ottenuto il risultato finale.

Il trasporto di un numero dentro la radice è probabilmente anche più semplice. Il numero da portare sotto radice va elevato all’indice di radice e inserito nel radicando come se fosse una normale moltiplicazione. Ecco un esempio:

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ESEMPI

Per aiutarti a fare i tuoi esercizi di matematica avendo ben capito come risolvere i radicali, ti presentiamo i nostri esercizi svolti. Applicheremo in maniera rigorosa tutte le proprietà dei radicali.

Semplificare i radicali applicando le regole sulle radici

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Nell’ultimo esercizio abbiamo cercato di ridurre il denominatore a una potenza e, avendo lo stesso esponente del numeratore, abbiamo portato tutto nella stessa parentesi ed infine semplificato.

Eseguire le seguenti moltiplicazioni tra radicali

27-

Quest’esercizio ha una particolarità: gli indici di radice sono tutti diversi. Questo significa che non è possibile usare la regola sulle moltiplicazioni tra radicali! Per poterne usufruire è necessario prima fare in modo che tutti gli indici di radice siano uguale. Ciò è possibile con il calcolo del minimo comune multiplo tra gli indici:

mcm(2,3,4)=12

Per cui l’indice comune sarà 12. Moltiplico quindi indice ed esponente del primo radicale per 6 (l’operazione che abbiamo eseguito è stata mcm:indice=12:2=6). Con il secondo ho fatto mcm:3=4, per cui ho moltiplicato indice ed esponente per 4 e così anche nell’ultimo radicale rimasto. A questo punto ho ottenuto tre radicali con stesso indice di radice e posso applicare normalmente la regola sulle moltiplicazioni.

 

Eseguire le seguenti divisioni tra radicali

28-

Anche nell’esercizio sulle divisioni tra radicali compare lo stesso problema precedente: non ci sono indici uguali. Proprio per questo l’esercizio è stato risolto come prima: calcoliamo il minimo comune multiplo tra gli indici, riduciamo tutti i radicali allo stesso indice di radice e poi eseguiamo la divisione normalmente.

Portare sotto radice il fattore esterno e, se possibile, semplificare i risultati

29-

L’esercizio non è particolarmente complesso, basta che ti ricordi le scomposizioni dei polinomi, dato che abbiamo fatto una messa in evidenza totale.

Eseguire le operazioni tra radici e semplificare

30-

 

Potenze negative

 – cosa fare con l’esponente negativo?

 

POTENZE NEGATIVE – COME TRASFORMARLE

Le potenze ad esponente negativo, dette anche potenze negative, si risolvono:

eliminando il segno meno dell’esponente negativo e passando al reciproco della base

 

Detto in poche parole devi togliere il segno meno dall’esponente e alla base inverti numeratore e denominatore. Se il denominatore non c’è, resta sottinteso 1. Nell’esempio:

(-5)^(-2)=

(-1/5)^(2)

 

ECCO COME FARE:

 

– il numeratore 5 è diventato il denominatore della nuova base;

– il denominatore sottinteso 1 è diventato il numeratore della nuova base;

– è stato eliminato l’esponente negativo. -2 è diventato 2;

– non è stato toccato il segno meno alla base.

 

Nel caso più generale di potenze negative, possiamo scrivere che:

31-

FRAZIONE CON ESPONENTE NEGATIVO

E’ il caso su cui vengono commessi più errori. Tuttavia la regola generale non cambia. L’unica differenza è che questa volta il denominatore non è sottinteso, per cui nella nuova base non avrai un numeratore pari a 1. Quando hai quindi delle frazioni con esponente negativo semplicemente ricordati di invertire numeratore e denominatore. Ad esempio:

(-5/2)^(-2)=

(-2/5)^2

 

ECCO COME FARE:

 

– il numeratore 5 è diventato il nuovo denominatore;

– il denominatore 2 è diventato il nuovo numeratore;

– è sparita la potenza negativa. -2 è diventato 2;

– il segno meno alla base non è stato toccato;

 

Possiamo quindi scrivere la regola generale valida per tutte le frazioni con esponente negativo

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ESERCIZI SULLE POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO

ESPRESSIONE 1

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ESPRESSIONE 2

34-

35-

36-

 

Proprietà delle potenze

 – regole ed esercizi svolti

 

Le proprietà delle potenze sono delle regole matematiche che permettono di svolgere le principali operazioni con le potenze. Grazie a queste proprietà vengono semplificati notevolmente i calcoli, tanto che saranno spesso richiamate anche nelle equazioni letterarie, disequazioni, espressioni… Insomma trovano larga applicazione in molti tipi di esercizi, per questa ragione è importante conoscerle e soprattutto capirle bene.

Prima di partire è importante conoscere le proprietà base e le definizioni sull’elevamento a potenza. Se ti sono già note, possiamo iniziare subito con lo schema con le regole.

 

QUALI SONO LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE

Molto spesso gli studenti delle scuole superiori hanno notevoli difficoltà con le regole delle potenze. Il problema maggiore non sta tanto nell’applicare le varie formule sulle proprietà delle potenze, che stiamo per vedere, ma a saperle riconoscere.

Cominciamo mostrandoti subito la tabella con le proprietà delle potenze completa, così da avere un quadro sintetico della spiegazione di oggi.

37-

Nella tabella riassuntiva che hai appena visto, sono elencate 6 regole che puoi analizzare singolarmente per eseguire le principali operazioni con le potenze. Prima di vedere nel dettaglio le regole sulle potenze, apriamo una piccola parentesi sulla questione dei segni, che spesso causa diversi errori negli esercizi di matematica.

 

LA REGOLA DEI SEGNI NEI NUMERI RELATIVI

In algebra i segni dei numeri sono fondamentali. Per evitare qualsiasi tipo di errore consigliamo di ricordare una sola semplice regola:

 

esponente PARI – il segno della potenza sarà sempre positivo

esponente DISPARI, il segno della potenza non cambia

 

Ad esempio, se devo risolvere una potenza negativa con indice pari, il risultato sarà sicuramente positivo.

(-5)2=+25

Se invece ho una potenza ad indice negativo, il segno meno resta.

(-5)3=-25

 

PROPRIETÀ DELLE POTENZE

Entriamo ora nel vivo della nostra lezione ed analizziamo le varie proprietà delle potenze, distinguendo i diversi casi a seconda delle basi e degli esponenti. Ecco le regole delle potenze da non dimenticare:

 

PROPRIETÀ DELLE POTENZE STESSA BASE

Il prodotto di due potenze con la stessa base è una nuova potenza che ha per base la stessa base ed esponente la somma degli esponenti.

(-5)2 x (-5)-3 = (-5)+2-3=(-5)-1

Nell’esempio si nota come le due potenze, con esponenti +2 e -3, abbiano la stessa base, cioè -5. Essendoci un prodotto, si riscrive la base e si fa la somma algebrica degli esponenti, quindi si farà la somma o la differenza.

 

La divisione, detta anche rapporto, tra due potenze con stessa base mi dà come risultato una potenza con stessa base e differenza – cioè sottrazione – degli esponenti.

(-5)2 x (-5)-3 = (-5)+2-(-3)=(-5)+5

In questo piccolo esercizio è possibile notare come l’unica differenza con il prodotto sta nel seno meno. Questo vuol dire che il -3 dovrà cambiare segno e diventare +3.

 

PROPRIETÀ DELLE POTENZE STESSO ESPONENTE

La moltiplicazione tra due potenze con stesso esponente mi dà come risultato una potenza in cui la base si ottiene dalla moltiplicazione delle due basi e l’esponente non cambia.

(-3)2 x (-5)2 = [(-3 x (-5)]+2=(-15)2

Per risolvere l’esempio è stato sufficiente eseguire una banale moltiplicazione tra numeri relativi e conservare l’esponente.

 

Il rapporto tra due potenze con stesso esponente mi genera una nuova potenza con il rapporto delle basi e stesso esponente.

(-30)-2 : (+5)-2 = [(-30 : (+5)]-2=(-6)-2

Anche in questo caso l’esercizio si risolve in maniera molto semplice dividendo algebricamente le due basi, quindi attenzione ai segni, e mantenendo lo stesso esponente.

 

POTENZA DI POTENZA

La potenza di una potenza è una nuova potenza che conserva la base e per esponente ha il prodotto degli esponenti.

[(-3)2 ]3 = (-3)(+2)x(3)=(-3)6

Al di là della definizione che sembra complessa, risolvere le regole sulle potenze di una potenza è molto semplice. Si mette la stessa base e si moltiplicano gli esponenti.

 

POTENZE CON ESPONENTE 0

Non rientrano proprio tra le proprietà delle potenze, ma si tratta di una breve parentesi molto semplice ma che non bisogna mai dimenticare.

Qualsiasi potenza con esponente pari a 0 dà come risultato sempre +1.

(-30)0 = +1

Insomma non importa quale sia la base o il segno. Se l’esponente è 0, il risultato sarà sempre +1.

 

POTENZA NEGATIVA

Se l’esponente è negativo è necessario invertire denominatore e numeratore della potenza. E se “sotto” non c’è nulla, si consideri il denominatore pari a 1. Vediamo come risolvere una potenza negativa, frazioni e non, con qualche semplice esempio

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Per trasformare le potenze negative in positive, quindi basta semplicemente “capovolgere” la frazione, cioè si invertono numeratore e denominatore. In questo modo il -4 diventa +4. Nell’esempio scompare il segno meno dalla frazione perché l’esponente è pari, per cui il risultato è certamente positivo.

A questo punto non mi resta che elevare a potenza, magari aiutandomi con la calcolatrice, sia il numeratore che il denominatore ed ottengo il risultato finale.

=+16/81

 

FRAZIONI CON POTENZE

Non si tratta di una vera e propria regola da seguire, ma molti studenti vanno in difficoltà quando vendono un esponente su una frazione. L’unica cosa importante che non bisogna confondere è la seguente:

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A sinistra abbiamo infatti che solo il 2 è elevato al quadrato. A destra invece c’è una frazione con la potenza ad indice 2. Ovviamene le due non vanno confuse perché nel primo caso semplicemente eleverò 2 al quadrato. Nel secondo caso bisogna elevare a potenza sia il numeratore che il denominatore.

Data 10 novembre 2019

ALGEBRA – 1

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Potenza di potenza

 

ELEVAMENTO A POTENZA DI POTENZA

La formula generale che puoi seguire è la seguente.

1-INIZIO ALGEBRA - 1

Si tratta quindi di una potenza che ha due esponenti, generalmente separati da una parentesi (può capitare anche che qualche testo la ometta). Ecco la regola da seguire così come la trovi sui libri di testo:

la potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

La definizione può sembrare difficile ma si tratta di un’operazione molto semplice. Quello che devi fare è:

 

individuare la base e riscriverla: ti ricordi come fare? Ne abbiamo parlato in termini generali nella lezione sull’elevamento a potenza.

individuare gli esponenti e moltiplicarli tra loro

 

Quindi il risultato che si ottiene è:

2-

POTENZA DI POTENZA DI POTENZA …

Molti studenti ci hanno chiesto: come fare quando invece ci sono più di due esponenti? Non cambia assolutamente nulla. Ti capiterà molto raramente, ma anche in tal caso basta semplicemente moltiplicarli tutti. Ecco la regola generale.

3-

Anche avendo a che fare con più parentesi, la situazione come hai visto non è cambiata.

 

… ABBIAMO GIÀ FINITO!

Si, non c’è altro da sapere. La regola sulle potenze di potenze è davvero semplice, vediamo però ora con qualche esempio o caso particolare come si applica agli esercizi.

 

ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI

POTENZA DI POTENZA CON PARENTESI

Vediamo di mettere in pratica quello che abbiamo appreso con un esempio semplicissimo. Proviamo a risolverlo assieme:

4-

Come abbiamo fatto? Trascriviamo subito la base, cioè 3. Successivamente si moltiplicano i due esponenti (2 e 2). Il risultato è evidentemente 3 elevato a 4.

 

POTENZA DI POTENZA CON ESPONENTE NEGATIVO

Abbiamo già parlato nelle precedenti lezioni di come si calcolano le potenze negative. In questo caso cerchiamo di evitare di porci inutili problemi e applichiamo solo la regola vista in questa lezione:

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Nella prima parte non è cambiato nulla. Abbiamo fatto una moltiplicazione tra due numeri di segno opposto. Quindi (+2)×(-2) = -4.

A questo punto, non si tratta più di risolvere una potenza di una potenza, ma di un semplice esponente negativo. Per cui si invertono numeratore e denominatore e si lascia l’esponente togliendo il segno.

 

POTENZA DI POTENZA CON BASE NEGATIVA

Che succede invece quando è la base ad avere il segno meno? Anche in questo caso applichiamo semplicemente la regola senza preoccuparci.

6-

A questo punto poi, se l’esponente è pari, allora il segno meno andrà via, altrimenti si conserva. Nelle espressioni con sulle potenze, in genere, però non si fanno calcoli ulteriori e si lascia tutto così come abbiamo riportato.

 

POTENZA DI POTENZA CON FRAZIONI

Nel caso in cui la base sia una frazione non cambia assolutamente nulla rispetto al caso più banale visto nel primo esempio. Nel caso invece in cui ci siano degli esponenti con frazioni, allora si tratta di una semplice moltiplicazione di frazioni.

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L’operazione banale da eseguire è 2/3 × 1/2 che dà come risultato 1/2.

 

POTENZA DI POTENZA ELEVATA A ZERO

Sappiamo che qualsiasi numero elevato a 0 dà come risultato 1. Per questa ragione, anche quando ci sono le potenze di potenze, il risultato sarà sempre 1. Vediamo un esempio pratico.

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Elevamento a potenza

 – che cos’è e quali regole segue?

 

L’elevamento a potenza è un’operazione matematica che viene utilizzata quando un numero a viene moltiplicato per se stesso n volte.

9-

 

Il numero a viene definito base della potenza, mentre il numero n si chiama esponente. Vedremo tra un istante il significato di questi due termini.

CONSIGLIO: “si legge a alla enne”

L’esponente viene indicato all’apice del numero, mentre potrebbe capitarti di trovare su computer e strumenti informatici il simbolo ^

Ad esempio 2^3 significa 2 elevato a 3 e si legge 2 alla 3

 

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11-

 

CHE SIGNIFICA ELEVARE A POTENZA?

Immaginiamo di dover risolvere una moltiplicazione. Si voglia, ad esempio, moltiplicare il numero 3 per se stesso 4 volte. Quindi dal punto di vista aritmetico dovremmo scrivere:

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Poiché il numero 3 si moltiplica per 4 volte per se stesso, allora quel numero 4 diventa l’esponente della potenza, mentre il 3 diventa la base.

 

QUINDI CHE COSA SONO LE POTENZE?

Elevare a potenza significa moltiplicare un numero (detto base) un certo numero di volte n (detto esponente) per se stesso.

Esempio: 2^5 → il numero 2 viene moltiplicato 5 volte: 2×2×2×2×2

 

Volendo semplificare al massimo, possiamo dire che le potenze sono delle moltiplicazioni ripetute di uno stesso numero.

Esempio: elevare al cubo il numero 2. → 2^3=2×2×2=8

 

ELEVAMENTO A POTENZA – CASI PARTICOLARI

Di seguito vediamo alcuni utili consigli da applicare agli esercizi ed alcune “potenze particolari” che possono essere risolte in maniera più semplice e veloce.

 

COME SI RISOLVE SE LA BASE È UNA FRAZIONE?

Le frazioni con potenze mettono spesso in difficoltà gli studenti, ma in realtà sono estremamente semplici. Bisogna solo fare attenzione e chiedersi se l’esponente si riferisca a tutta la frazione, solo al numeratore o solo al denominatore. In tal senso sono utilissime le parentesi.

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CHE SUCCEDE SE LA BASE DELLA POTENZA È NEGATIVA?

Capita molto spesso negli esercizi di algebra, in cui non si lavora più con i numeri naturali, ma con quelli relativi, razionali o irrazionali.

La parte numerica non subisce alcuna variazione dal punto di vista dei calcoli. Bisogna solo fare attenzione ai segni. In particolar modo:

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CHE SUCCEDE SE L’ESPONENTE È NEGATIVO?

Nel caso in cui ci sia una potenza negativa, cioè elevamento a potenza con esponente negativo, allora si trasforma la base: si invertono numeratore e denominatore (se non c’è è sottinteso 1) e a quel punto si può togliere il meno dall’esponente.

 

Ad esempio:

2^(-2) = (1/2)^2  = 1/4

(2/3)^(-2) = (3/2)^2 = 9/4

Quindi le potenze ad esponente negativo se elevano semplicemente con 1 passaggio matematico in più.

 

Prodotti notevoli

 – esercizi ed esempi svolti

 

PRODOTTI NOTEVOLI, ESERCIZI CON SOLUZIONI

In questa fase vedremo delle espressioni con prodotti notevoli da semplificare. Cerca di applicare le regole viste nella parte teorica ed evita, se possibile, di fare tutti i calcoli. In questa esercitazione cerchiamo un metodo semplice per risolvere gli esercizi. Concentrati quindi sul

 

ESERCIZIO 1

Semplificare le seguenti espressioni algebriche

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Il primo degli esercizi sui prodotti notevoli è stato svolto applicando semplicemente la regola del quadrato e del cubo di binomio. Poche somme algebriche tra monomi e il risultato si ottiene in 5 passaggi.

 

ESERCIZIO SVOLTO N.2

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Nel secondo esempio, arrivare alla soluzione dell’esercizio sul prodotto notevole è stato molto semplice: è bastato fare il quadrato di binomio due volte, la divisione di due monomi e pochi facili passaggi algebrici.

 

ESERCIZIO SVOLTO N.3

Il prossimo esercizio è leggermente più complesso, vediamo di risolverlo assieme e di commentare il modo in cui è stato risolto.

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La vera difficoltà di questo esercizio sta nel riconoscere la moltiplicazione di una somma per la differenza. Negli esercizi più semplici sui prodotti notevoli siamo stati abituati a trovare quasi sempre una formula del tipo: (a+b)(a-b). In realtà è possibile trovare anche qualcosa di più complesso:

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Cosa possiamo notare? Che il primo termine è lo stesso, mentre nel secondo c’è un binomio che si ripete in cui cambia solo il segno iniziale. Per cui possiamo scriverlo come:

21-

A questo punto ci siamo ricondotti al caso precedente (a+b)(a-b) dove il primo monomio (la “a”) è in realtà un binomio e possiamo quindi risolvere con la regola dei prodotti notevoli:

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ESERCIZIO SVOLTO N.4

Semplifica la seguente espressione nel modo più rapido possibile.

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La prima tentazione dello studente è di risolvere questo esercizio sui prodotti notevoli facendo tutti i calcoli. In questo modo il problema diventa molto più difficile e lungo, con la conseguenza che è più facile sbagliare. Cerchiamo invece di osservare: c’è un elemento che si ripete sempre. a^m+a^n

Quindi il modo più veloce di arrivare alla soluzione è fare una messa in evidenza totale.

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Come puoi vedere una volta eseguito il raccoglimento, bastano pochi semplici passaggi algebrici per arrivare alla soluzione.

 

ESERCIZI DA RISOLVERE

Vi alleghiamo direttamente una pagina di un testo in cui potete trovare esercizi con soluzioni sui prodotti notevoli.

 

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e elevato a infinito

 – quanto vale l’esponenziale all’infinito?

 

Quanto fa e elevato a infinito? E’ un espressione che ricorre spesso negli esercizi con i limiti, ma tanti studenti vanno in difficoltà e si confondono.

 

E ELAVATO A INFINITO QUANTO FA?

Il risultato di questa operazione è proprio infinito, cioè possiamo scrivere che:

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Ti starai chiedendo perché questo risultato. Per rispondere a questa domanda possiamo dare due diverse motivazioni, una numerica e una grafica.

 

E ELEVATO A INFINITO – È UNA POTENZA!

Analizzando l’operazione da svolgere, puoi renderti conto che si tratta di una semplice potenza. La base è un numero finito, e che abbiamo già definito come Numero di Nepero e pari a 2,71. L’esponente è un infinito che possiamo approssimare però ad un numero molto alto.

Prova sulla tua calcolatrice a scrivere 2,71 elevato a 100… vedrai un’espressione del tipo 1,98e+43, che corrisponde a 1,98·10^43. Si tratta di un numero incredibilmente alto, cioè infinito.

 

E ELEVATO A INFINITO COL METODO GRAFICO

La prima spiegazione è la più semplice da ricordare ma forse quella meno rigorosa e matematica. Se vuoi fare bella figura con l’insegnante è meglio citare il grafico della funzione esponenziale.

Non te lo ricordi? Eccolo in figura…

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Chiediamoci: cosa succede alla y quando la x va verso infinito? Cioè che succede alla curva man mano che procede verso la parte destra del grafico?

La curva si alza sempre di più, quindi vuol dire che la y diventa sempre più grande, cioè va verso infinito.

Quindi semplicemente ricordandoti il grafico

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Poiché 1/e è un numero compreso tra 0 e 1 (se non ci credi prova sulla tua calcolatrice), allora il grafico della funzione esponenziale cambia.

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In questo caso quando la x si sposta verso destra, cioè verso infinito, la curva si abbassa sempre più verso lo 0. In questo caso infatti y=0 è un asintoto orizzontale della funzione.

Quindi e elevato a infinito con il segno meno è proprio pari a 0.

 

Numeri  razionali

– quali sono e che proprietà hanno?

 

I numeri razionali sono quei numeri che possono essere espressi attraverso una frazione di un numeratore su un denominatore. In matematica l’insieme dei numeri razionali viene indicato con la lettera Q ed ha un numero infinito di elementi.

 

PERCHÉ ESISTONO I NUMERI RAZIONALI?

Nell’insieme dei numeri naturali N e dei numeri relativi Z non sempre è possibile eseguire una divisione. Se provi a svolgere 7:2 ottieni un numero non intero, cioè 3,5.

Per poter sempre fare la divisione, è necessario ampliare l’insieme dei numeri interi relativi aggiungendo quelli che sono definiti come numeri razionali.

Che utilità hanno nella vita reale? Ecco un esempio concreto: “oggi mezza classe era assente”. Quella parola mezza indica la divisione 1:2 che non ha un risultato intero.

 

NUMERI RAZIONALI – DEFINIZIONE

Oltre alla definizione che abbiamo dato all’inizio di questa lezione, possiamo anche dire che l’insieme dei numeri razionali Q è dato da tutti i numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione.

Ti ricordi che cos’è una frazione? E’ un’operazione matematica (identica alla divisione) in cui, dati due numeri a e b, si ha:

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Tutto ciò che si trova al di sopra della linea di frazione si chiama numeratore. Ciò che si trova al di sotto della linea di frazione si chiama denominatore.

Si fa notare come i numeri interi e i numeri relativi siano un sottoinsieme dei numeri razionali. Questo perché anche un numero intero può essere espresso come una frazione con al denominatore 1.

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Ad esempio:

 

2/3 = 0,6666…… NON E’ UN NUMERO IRRAZIONALE

√2 = 1,414213562…. E’ UN NUMERO IRRAZIONALE

 

NUMERI RAZIONALI A CONFRONTO – QUAL È IL PIÙ GRANDE?

Non è semplice giudicare, tra due frazioni, quale delle due mi dia come risultato il numero razionale maggiore. Esistono tuttavia alcune tecniche che rendono il confronto tra due numeri razionali molto semplice e veloce:

 

1) Se due numeri razionali hanno stesso numeratore e stesso denominatore allora sono uguali.

2) Se due numeri razionali hanno stesso denominatore, allora sarà maggiore il numero con il numeratore maggiore.

Esempio: 7/6 è maggiore di 5/6

3) Se due numeri razionali hanno stesso numeratore, allora sarà maggiore il numero con il denominatore minore.

Esempio: 7/4 è maggiore di 7/5

4) Se due numeri hanno numeratore e denominatori diversi, allora bisogna trasformare le frazioni in modo che abbiano lo stesso denominatore. Si calcola quindi il minimo comune multiplo.

 

Esempio:

 

Date le due frazioni 3/4 e 4/5, quale delle due è maggiore?

Dobbiamo innanzitutto calcolare il mcm tra 4 e 5, che è pari a 20. A questo punto trasformiamo entrambe le frazioni, dividendo il mcm per il denominatore e moltiplichiamo il risultato per il numeratore.

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ESERCIZI SUI NUMERI RAZIONALI

ESERCIZIO 1

In base a quello che abbiamo studiato in questa lezione, prova a rispondere alle seguenti domande.

 

– che cos’è un numero razionale?

– esiste un numero razionale uguale al suo opposto? Qual è?

– perché il concetto di “successivo” nei numeri razionali non ha senso? (ricordati che i numeri razionali sono infiniti)

 

ESERCIZIO 2

Inserisci il simbolo < (minore) o > (maggiore) al posto dei puntini

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Doppio prodotto

 – che cos’è e come si calcola?

 

DOPPIO PRODOTTO SIGNIFICATO

Il doppio prodotto è in generale una moltiplicazione che si effettua tra due quantità, chiamate fattori, che vanno poi moltiplicate per due.

 

COME SI CALCOLA?

Dati cioè due elementi generici che chiamiamo A e B, il doppio prodotto si calcola moltiplicando 2 per A per B. Scritto matematicamente:

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DOPPIO PRODOTTO TRA DUE NUMERI

E’ molto semplice da eseguire e non richiede grosse competenze a livello algebrico. Basta saper semplicemente fare le moltiplicazioni.

 

ESEMPIO

Calcolare il doppio prodotto tra 10 e 14

Svolgimento

Come detto nella definizione generale, è sufficiente moltiplicare tra loro i due numeri e poi moltiplicare il risultato per 2.

Doppio prodotto = 2 × 10 × 14 = 280

 

DOPPIO PRODOTTO TRA MONOMI

Si trova spesso nei prodotti notevoli e consiste nella moltiplicazione di monomi il cui risultato va poi moltiplicato ulteriormente per 2.

Vediamo subito un esercizio svolto, calcolando un quadrato di un binomio.

 

ESEMPIO

Svolgere il seguente prodotto notevole

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Svolgimento

La regola per svolgere i quadrati di binomi è: quadrato del primo, quadrato del secondo e doppio prodotto. Quindi otteniamo

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Come puoi vedere l’ultimo termine è un doppio prodotto negativo. In questo caso, essendoci una moltiplicazione doppia con lettere e segni, bisogna usare anche le parentesi.

In questo modo si eviterà l’errore più comune in questo tipo di calcolo: il segno. Così come per i numeri e l’incognita x, bisogna svolgere anche il prodotto dei segni.

 

CONCLUSIONI

Il doppio prodotto è una moltiplicazione tra due elementi (numeri, frazioni, monomi, polinomi, …) il cui risultato va moltiplicato per 2.

Come detto l’unica cosa a cui bisogna prestare attenzione sono i segni dei fattori che si moltiplicano. Il problema si risolve usando in maniera corretta le parentesi.

 

Terne pitagoriche

 – cosa sono, come si calcolano e come riconoscerle

 

Le terne pitagoriche rispondono ad uno dei quesiti matematici più antichi che si sia mai posto l’uomo: esistono e quali sono i triangoli rettangoli i cui lati hanno lunghezza intera? In questa lezione parleremo del problema delle terne pitagoriche, andandone ad analizzare in maniera semplificata tutte le varie sfaccettature. Iniziamo però subito dando una definizione di terna pitagorica…

 

CHE COSA SONO LE TERNE PITAGORICHE?

Una terna pitagorica è una terna di numeri interi non nulli, per cui vale:

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Si parla di terne pitagoriche primitive nel momento in cui, oltre alla condizione precedente, si verifica anche che il massimo comune divisore dei tre numeri sia pari a 1.

 

CENNI STORICI

Si parla di calcolo della terna pitagorica perché si attribuisce il problema alla scuola di Pitagora (VI secolo a.C.). Esistono però numerose testimonianze scritte che le terne pitagoriche fossero conosciute già ai tempi dei Babilonesi.

Si tratta di un problema spesso affrontato dai matematici di tutti i tempi e che è stato ripreso in epoca moderna da Sierpinski nel 1962 nel suo testo Pythagorean Triangles. Sull’argomento ci sono tante osservazioni, lemmi e dimostrazioni che potremmo riportare, ma cerchiamo di affrontare l’argomento con il massimo della chiarezza.

 

FORMULE PER CALCOLARLE

Tutte le terne pitagoriche positive (x,y,z) in cui il primo elemento è pari, possono essere calcolate con la formula:

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dove s > t sono due numeri interi positivi, con MCD=1, uno pari e l’altro dispari.

Esempio:

Consideriamo i due numeri s=5 e t=4. Sono interi, positivi, con MCD=1, uno pari e l’altro dispari. Per cui applicando la formula vista, si ottiene che:

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COME RICONOSCERLE?

Prova a guardare nella tabella sopra le terne pitagoriche più famose che abbiamo segnato. Si notano subito due particolari:

 

1) moltiplicando i primi due elementi della terna pitagorica, si ottiene un numero divisibile per 12;

2) moltiplicando i tre elementi della terna pitagorica, si ottiene un numero divisibile per 60.

 

Quindi puoi riconoscere istantaneamente se 3 valori costituiscono una terna pitagorica, basta verificare che il prodotto dei primi due sia divisibile per 12 e che il prodotto di tutti i valori sia divisibile per 60.

 

ALCUNE OSSERVAZIONI

 

– Ogni terna pitagorica può essere ottenuta moltiplicando gli elementi della terna per un numero intero.

 

Esempio:

 

(3,4,5) è una terna pitagorica intera perché 3²+4²=5² MCD=1. Da notare che (3,4,5) è una delle terne pitagoriche più famose.

 

Moltiplicando questa terna per un numero intero (ad esempio 2) ottengo:

 

(3,4,5) → (6,8,10)

 

Quest’ultima è una terna pitagorica perché 6²+8²=10² mentre il MCD=2 (il numero per cui abbiamo moltiplicato).

 

– Sia (x,y,z) una terna pitagorica primitiva positiva. Allora se x è pari allora y è dispari e viceversa.

 

Esempio:

Date le due terne pitagoriche primitive composte da numeri interi positivi (3,4,5) e (8,15,17), si nota che se il primo è dispari il secondo è pari e viceversa.

 

ESERCIZI

Si chiama triangolo pitagorico un triangolo rettangolo avente lati di lunghezza intera. Dimostrare che:

 

– esistono triangoli pitagorici diversi che hanno la stessa area;

– due triangoli equivalenti, formati da lati con misure pari alla terna pitagorica e stessa ipotenusa sono uguali;

– per ogni intero positivo Δ, esiste un numero finito di triangoli pitagorici aventi area uguale a Δ;

 

Risoluzione

 

– Iniziamo con il primo punto.

Dobbiamo dimostrare che esistono triangoli pitagorici diversi con la stessa area. Consideriamo ad esempio le due terne pitagoriche  (21; 20; 29) e (35; 12; 37). Per calcolare l’area dei due triangoli rettangoli, sapendo che il lato lungo è l’ipotenusa, allora possiamo usare la formula:

 

A=(Cateto1×Cateto2)/2

A1=20×21/2=210

A2=35×12/2=210

 

Vuol dire che abbiamo due terne pitagoriche (x,y,z) e (a,b,c) associate ai due triangoli rettangoli. Immaginiamo ad esempio le due terne.

 

– Per dimostrare il secondo punto, abbiamo due triangoli con la stessa area e stessa ipotenusa, per cui valgono le 4 relazioni:

 

1) x·y/2=a·b/2 →xy=ab , perché hanno stessa area

2) z=c , perché hanno stessa ipotenusa

3) x²+y²=z²

4) a²+b²=c²

 

Se vale la numero 2, allora possiamo compattare la numero 3 e la 4 riscrivendole come:

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Per la prima relazione scritta, se vale xy=ab, moltiplicando entrambi i membri per 2, otteniamo l’uguaglianza: 2xy=2ab. Questo vuol dire che l’ultima equazione può essere riscritta come:

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Da questa doppia relazione (puoi risolverla come i sistemi di primo grado con il metodo della somma o della differenza) si ottiene che x=a e y=b. Quindi i due triangoli sono uguali.

 

– Il terzo quesito ci chiede di dimostrare che esiste un numero finito di triangoli pitagorici con area Δ.

Si dimostra facilmente notando che

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Mentre le terne pitagoriche sono infinite, in questo caso invece abbiamo una possibilità limitata di soluzioni.